˝ ada ´ s re ´szletes tematika ´ ja A Matematika I. elo 2005/6, I. f´el´ev ´s rela ´cio ´k 1. Halmazok e ˝veletek halmazokkal 1.1 Mu Defin´ıci´ ok, fogalmak: halmaz, elem, u ¨res halmaz, halmazok egyenl˝os´ege, r´eszhalmaz, halmazok uni´oja, metszete, k¨ ul¨onbs´ege, (Descartes– f´ele) szorzata, halmaz komplementere, uni´o ´es metszet halmazrendszer eset´en. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: a r´eszhalmaz rel´aci´o tulajdons´agai, a halmaz m˝ uveletek tulajdons´agai. ´cio ´ k, fu ¨ggve ´nyek 1.2 Rela Defin´ıci´ ok, fogalmak: bin´er rel´aci´o, ´ertelmez´esi tartom´any, ´ert´ekk´eszlet, inverz rel´aci´o. Fontos rel´aci´o t´ıpusok: ekvivalencia rel´aci´o, f´elig rendez´es, (rendez´es), f¨ uggv´eny. F¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya, ´ert´ekk´eszlete, injekt´ıv, sz¨ urjekt´ıv, bijekt´ıv f¨ uggv´eny. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: ekvivalencia rel´aci´ok jellemz´ese az alaphalmaz oszt´alyoz´as´aval. ´ mossa ´ ga 1.3 Halmazok sza Defin´ıci´ ok, fogalmak: egyenl˝o sz´amoss´ag´ u halmazok, v´eges, v´egtelen, megsz´aml´alhat´oan v´egtelen, kontinuum sz´amoss´ag. Megsz´aml´alhat´o (=v´eges vagy megsz´aml´alhat´oan v´egtelen) ´es nem megsz´aml´alhat´o halmazok. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: ld. gyakorlat anyaga ´ s sza ´ mok 2. Valo ´ s sza ´ mok axio ´ marendszere 2.1 A valo Defin´ıci´ ok, fogalmak: m˝ uvelet, test, rendezett test, teljes rendezett test. Fel¨ ulr˝ol ´es alulr´ol korl´atos (r´esz)halmaz (f´elig rendezett halmazban), pontos als´o ´es fels˝o korl´at. Intervallumok, abszol´ ut ´ert´ek, t´avols´ag. Az R, Q, Z, N halmazok. 1
2
T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: R l´etez´ese ´es egy´ertelm˝ us´ege, abszol´ ut ´ert´ek, ´es t´avols´ag tulajdons´agai. Cantor t´etel(B) ´ gikus fogalmak, Bolzano–Weierstrass te ´tel 2.2 Topolo Defin´ıci´ ok, fogalmak: k¨ornyezet, R–beli halmaz bels˝o, izol´alt, torl´od´asi, hat´arpontja. Ny´ılt ´es z´art halmaz. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: z´art halmazok jellemz´ese, Bolzano–Weierstrass t´etel(B). ´mok 3. Komplex sza ´ e ´s alaptulajdonsa ´gok 3.1 Defin´ıcio Defin´ıci´ ok, fogalmak: komplex sz´amtest defin´ıci´oja, komplex sz´amok alakjai (sz´amp´ar, binom, trigonometrikus alak), komplex sz´am konjug´altja, abszol´ ut ´ert´eke, val´os ´es k´epzetes r´esze. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: konjug´al´as ´es abszol´ ut ´ert´ek tulajdons´agai (B). ´mok a ´ bra ´ zola ´sa 3.2 A komplex sza Defin´ıci´ ok, fogalmak: komplex sz´amok ´abr´azol´asa a komplex s´ıkon, hatv´anyoz´as, gy¨okvon´as. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: az ¨osszead´as, szorz´as, oszt´as, hatv´anyoz´as, gy¨okvon´as geometriai interpret´aci´oja. 4. Sorozatok ´ tossa ´ g, monotonita ´s 4.1 Konvergencia, korla Defin´ıci´ ok, fogalmak: sorozat, korl´atoss´ag, monotonit´as, konvergencia, divergencia. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: hat´ar´ert´ek egy´ertelm˝ us´ege, konvergencia k¨ornyezetes ´atfogalmaz´asa, v´eges sok elem befoly´asa a konvergenci´ara. Konvergencia ´es korl´atoss´ag kapcsolata, monoton korl´atos sorozat konvergenci´aja (B). ˝ veletek konvergens sorozatokkal 4.2 Mu Defin´ıci´ ok, fogalmak: m˝ uveletek defin´ıci´oja.
3
T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: m˝ uveletek ´es konvergencia, hat´ar´ert´ek kapcsolata. ´s rendeze ´s 4.3 Konvergencia e Defin´ıci´ ok, fogalmak: jeltart´os´ag. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: konvergencia ´es jeltart´os´ag, monotonit´as kapcsolata, rend˝ort´etel. ˝ vitett valo ´ s sza ´ mok, ve ´gtelenhez tarto ´ sorozatok 4.4 Bo Defin´ıci´ ok, fogalmak: Rb , sz´amol´asi szab´alyok, rendez´es kapcsolata, v´egtelenhez tart´o sorozatok, inf, sup kiterjeszt´ese. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: m˝ uveletek ´es hat´ar´ert´ek kapcsolata, ha a hat´ar´ert´ek Rb –ben van. ´ re ´rte ´kek 4.5 Nevezetes hata Defin´ıci´ ok, fogalmak:– T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: nevezetes sorozatok konvergenci´aja, hat´ar´ert´ekei. 5. Sorok ´ msorok, konvergencia 5.1 Sza Defin´ıci´ ok, fogalmak: sor, konvergencia, ¨osszeg, divergencia, geometriai ´es harm´onikus sor, abszol´ ut ´es felt´eteles konvergencia. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: a konvergencia sz¨ uks´eges felt´etele, Leibniz t´etel v´altakoz´o el˝ojel˝ u sorokra, abszol´ ut konvergens sorok tulajdons´agai. ´ sorok 5.2 Pozit´ıv tagu Defin´ıci´ ok, fogalmak: pozit´ıv tag´ u sor, major´al´as, minor´al´as. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: major´ans (minor´ans) teszt, h´anyados (d’Alembert) ´es gy¨ok (Cauchy) teszt, limeszes alakok (B). ¨ ggve ´nysorok, hatva ´nysorok 5.3 Fu Defin´ıci´ ok, fogalmak: f¨ uggv´enysor, konvergencia, divergenciahalmaz, hatv´anysor.
4
T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: hatv´anysor konvergenciahalmaza, konvergenciasug´ar, ´es kisz´amol´asa. ¨ ggve ´nyek hata ´ re ´rte ´ke e ´s folytonossa ´ ga 6. Fu ¨ggve ´ny hata ´ re ´rte ´ke 6.1 Fu Defin´ıci´ ok, fogalmak: f¨ uggv´eny v´eges hat´ar´ert´eke, ´es ´altal´anos´ıt´asai: hat´ar´ert´ek a v´egtelenben, v´egtelen hat´ar´ert´ek, egyoldali hat´ar´ert´ek. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: hat´ar´ert´ek egy´ertelm˝ us´ege (B), ´atviteli elv (B), k¨ornyezetes ´atfogalmaz´as. M˝ uveletek, monotonit´as ´es hat´ar´ert´ek kap¨ csolata, rend˝ort´etel. Osszetett f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke. ¨ggve ´nyek folytonossa ´ ga 6.2 Fu Defin´ıci´ ok, fogalmak: folytonoss´ag egy pontban, ´atviteli elv, a defin´ıci´o k¨ornyezetes ´atfogalmaz´asa. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: folytonos f¨ uggv´enyek ¨osszeg´enek sz´amszoros´anak, szorzat´anak, hanyados´anak folytonoss´aga, ¨osszetett f¨ uggv´eny folytonoss´aga. ´tos za ´ rt intervallumon folytonos fu ¨ggve ´nyek 6.3 Korla Defin´ıci´ ok, fogalmak: f¨ uggv´eny korl´atoss´aga, monotonit´asa, lok´alis ´es glob´alis (szigor´ u) minimuma, maximuma (sz´els˝o´ert´eke), egyenletes folytonoss´ag egy halmazon. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: folytonos f¨ uggv´eny jeltart´o (B), korl´atos z´art intervallumon folytonos f¨ uggv´eny korl´atos (B), felveszi a f¨ uggv´eny´ert´ekek sup, inf–j´et (van maximum, minimum) (B), egyenletesen folytonos. Egy intervallumon folytonos f¨ uggv´eny felvesz minden k¨ozbens˝o ´ert´eket (B), ha szigor´ uan monoton is, akkor injekt´ıv, ´es inverze is folytonos, szigor´ uan monoton. ¨ ggve ´nyek folytonossa ´ga 6.4 Elemi fu Defin´ıci´ ok, fogalmak: elemi f¨ uggv´eny, ln x, ax , loga x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x defin´ıci´oja. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: az elemi f¨ uggv´enyek folytonosak. ¨ ggve ´nyhata ´ re ´rte ´kek 6.5 Nevezetes fu
5
Defin´ıci´ ok, fogalmak:– T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: 1 x
lim (1 + x) ,
x→0
ex − 1 lim , x→0 x
sin x . x→0 x lim
´ lsza ´m´ıta ´s 7. Differencia ´lhato ´ sa ´ g, differencia ´ la ´si szaba ´lyok 7.1 Differencia Defin´ıci´ ok, fogalmak: differenci´alhat´os´ag, deriv´alt. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: a deriv´alt geometriai, fizikai jelent´ese, differenci´alhat´os´agb´ol k¨ovetkezik a folytonoss´ag. Differenci´al´asi szab´alyok, ¨osszeg, szorzat, t¨ort, ¨osszetett f¨ uggv´eny, inverz f¨ uggv´eny differenci´alhat´os´aga, differenci´alhat´os´ag ´es line´aris approxim´alhat´os´ag ekvivalenci´aja. ¨ ggve ´nyek deriva ´ ltjai 7.2 Az elemi fu Defin´ıci´ ok, fogalmak:– T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: az ex , sin x, cos x, ln x, tg x, ctg x, ax , xα , loga x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x f¨ uggv´enyek differenci´alhat´os´aga ´es deriv´altjaik. ¨ ze ´ pe ´rte ´kte ´telek, L’Hospital szaba ´ly 7.3 Ko Defin´ıci´ ok, fogalmak:– T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: differenci´alhat´o f¨ uggv´eny sz´els˝o´ert´ek´enek sz¨ uks´eges felt´etele bels˝o pontban. Cauchy–f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel, ´es k¨ovetkezm´enyei: Lagrange ´es Rolle t´etelei. A monotonit´as jellemz´ese deriv´altakkal. A L’Hospital szab´aly (B csak spec. esetben) ˝ deriva ´ ltak, konvexita ´s 7.4 Magasabbrendu Defin´ıci´ ok, fogalmak: magasabbrend˝ u deriv´altak, konvex ´es konk´av f¨ uggv´eny, inflexi´os pont. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: egyszer ill. k´etszer differenci´alhat´o konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyek jellemz´ese. ´tel, sze ´lso ˝e ´rte ´ksza ´ m´ıta ´s 7.5 Taylor te Defin´ıci´ ok, fogalmak: Taylor polinom, marad´ektag, Taylor sor.
6
T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: Taylor t´etele, a sz´els˝o´ert´ek sz¨ uks´eges felt´etele, a sz´els˝o´ert´ek elegend˝o felt´etele. ¨ bbva ´ltozo ´ s fu ¨ggve ´nyek 8. To ´s topolo ´ gia Rn -ben 8.1 Metrika e Defin´ıci´ ok, fogalmak: m˝ uveletek, bels˝o szorzat, norma, t´avols´ag, k¨ornyezet , topol´ogikus fogalmak az n –dimenzi´os t´erben. Vektor´ert´ek˝ u sorozat konvergenci´aja. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: Schwarz egyenl˝otlens´eg, a norma tulajdons´agai (B), vektor´ert´ek˝ u sorozat konvergenci´aj´anak jellemz´ese a komponensek seg´ıts´eg´evel(B). ´ re ´rte ´k e ´s folytonossa ´g 8.2 Hata Defin´ıci´ ok, fogalmak: f : D ⊂ Rn → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke ´es folytonoss´aga. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: mint egy v´altoz´on´al. ´ lhato ´ sa ´g 8.2 Differencia Defin´ıci´ ok, fogalmak: tot´alis, ir´anymenti ´es parci´alis differenci´alhat´os´ag ´es deriv´alt. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: ir´anymenti deriv´alt kisz´am´ıt´asa ha a f¨ uggv´eny (tot´alisan) differenci´alhat´o, (tot´alisan) differenci´alhat´os´ag ´es folytonoss´ag kapcsolata, (tot´alisan) differenci´alhat´os´ag ´es parci´alis differenci´alhat´os´ag kapcsolata. ˝ parcia ´ lis deriva ´ltak 8.3 Magasabbrendu Defin´ıci´ ok, fogalmak: magasabbrend˝ u parci´alis deriv´altak. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: a vegyes parci´alis deriv´altak f¨ uggetlens´ege a differenci´al´as sorrendj´et˝ol. ¨ bbva ´ ltozo ´ s fu ¨ ggve ´nyek sze ´lso ˝e ´rte ´ksza ´ m´ıta ´ sa 8.4 To Defin´ıci´ ok, fogalmak: f : D ⊂ Rn → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek sz´els˝o´ert´eke.
7
T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: a sz´els˝o´ert´ek sz¨ uks´eges felt´etele, a sz´els˝o´ert´ek elegend˝o felt´etele. ´teles sze ´lso ˝e ´rte ´k, Lagrange multiplika ´ torok 8.5 Felte Defin´ıci´ ok, fogalmak: felt´eteles sz´els˝o´ert´ek. T´ etelek, ´ all´ıt´ asok: sz¨ uks´eges felt´etel a felt´eteles sz´els˝o´ert´ekre, Lagrange multiplik´atorok m´odszere.