A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről – szaktanároknak Középiskolai tanulmányaink fontos része volt az elemi síkgeometriai tananyag. Ennek egyik nevezetes tétele így szól – [ 1 ] – : Az ugyanazon köríven nyugvó kerületi szög fele a megfelelő középponti szögnek. Ennek közismert igazolása megtalálható pl. [ 1 ] - ben is. Ez nem igazán nehéz, bárki megértheti és sikerrel alkalmazhatja napi munkájában. Annak apropóját, hogy ezt most elővettük, az adja, hogy egy szakmai feladatban ennek alkalmazásával egysze rűbb, elegánsabb eredményhez juthatunk. Erről majd később. Most először a tételről és annak igazolásáról beszélgessünk inkább! Szóval, emlékszem, amikor a szakközépiskolában ezt tanultuk, megtörtént, ami már sokszor azelőtt is: lemaradtam, így aztán már nem is értettem a magyarázatot, hogy az erre épülő látókörív - szerkesztésről már ne is beszéljünk. Nem hagyható figyelmen kívül, hogy ez ma is megtörténhet, csak fordított szereposztásban… Az ellenszer: az öntevékeny, szorgalmas újratanulás. Ennek azonban nem kell feltét lenül követnie a régi mintát. Mi lenne, ha kitalálnánk valami mást? Most ezt kíséreljük meg. Minthogy nem vagyunk matematikusok – csak tanárok – , nem árt, ha először körülnézünk, hogy eredményünket nem láttuk - e már valamely ismert szakirodalmi munkában. Nos, úgy tűnik, a „nagyok” ezt másképp’ csinálják. Ettől persze a saját megoldás még jó lehet. A szakirodalom szerint – [ 1 ] – négy esetet kell vizsgálnunk – 1. ábra.
1. ábra 1. 2. 3. 4.
eset: A kör középpontja a kerületi szög szárai között fekszik. eset: A kör középpontja a kerületi szög egyik szárán fekszik. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárain kívül fekszik. eset: A kerületi szög egyik szára érintő.
Mielőtt nekifognánk, lássunk be egy segédtételt, csak úgy gyalog! Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2
2. ábra Segédtétel: A valamely befogójára – mint t tengelyre – tükrözött derékszögű háromszög: egyenlő szárú háromszög, melyre – az előállításból fakadóan – igazak az alábbi tulajdonságok: ~ az mc = a1 = a2 magasság felezi a c alapot; ~ az mc magasság merőleges a c alapra; ~ az mc magasság felezi a c - vel szemközti γ szöget. Most már nekiláthatunk a címbeli tétel saját, házi használatra szánt igazolásának.
1. eset: ehhez tekintsük a 3. ábrát! Az AB) ívhez tartozó λ kerületi és γ középponti szögek összefüggését vizsgáljuk. A teljes körre:
α + β + γ = 360ο , innen:
α β γ + + = 180ο , 2 2 2
ebből:
3
γ α β = 180ο − − . 2 2 2
(1)
3. ábra Most a 3. ábra szerint:
α β α β λ = 90ο − + 90ο − = 180ο − − ; 2 2 2 2
(2)
majd ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
λ=
γ . 2
(3)
A ( 3 ) képlet a tétel állítását adja az 1. esetre. Természetesen hasonló eredményre jutunk a BC), ill. a CA) ívek használatával is, a megfelelő szögekkel.
4
2. eset: ehhez tekintsük a 4. ábrát!
4. ábra A B pontnál lévő ~ λ1 szög egyenlő λ - val, mert az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek – v.ö.: 2. ábra; ~ λ2 szög egyenlő λ - val, mert váltószögek; ezzel ismét a 4. ábra szerint:
γ = λ1 + λ 2 = λ + λ = 2 ⋅ λ , innen:
λ=
γ . 2
(4)
A ( 4 ) képlet a tétel állítását adja a 2. esetre. Megjegyezzük, hogy a 2. eset igazolása nem tér el jelentősen az [ 1 ] - belitől.
5
3. eset: ehhez tekintsük az 5. ábrát!
5. ábra Eszerint:
α β β α λ = 90ο − − 90ο − = − , 2 2 2 2 tehát:
λ=
β α − . 2 2
Most ismét az 5. ábráról:
β=α+γ ,
innen:
(5)
6
γ =β−α , ebből pedig:
γ β α = − ; 2 2 2
(6)
majd ( 5 ) és ( 6 ) összehasonlításából:
λ=
γ . 2
(7 )
A ( 7 ) képlet a tétel állítását adja a 3. esetre.
4. eset: ehhez tekintsük a 6. ábrát!
6. ábra Eszerint, merőleges szárú szögek miatt:
λ=
γ . 2
(8)
7
A ( 8) képlet a tétel állítását adja a 4. esetre. Megjegyezzük, hogy a 4. eset igazolása nem tér el az [ 1 ] - belitől. Ezzel a tételt bebizonyítottuk, kicsit másként. Nyilván adja magát a kérdés, hogy miért térjünk el a pl. [ 1 ] - ben is megtalálható igazolástól. Erre több válasz is adható: ~ mert részben más, mint a szokásos; ~ mert a levezetés viszonylag egyszerű: alig kíván többet, mint ami az órán közvet lenül elmagyarázható, és hiányos előismeretekkel is követhető; ~ mert egyszerűen példázza, hogy egy ilyen levezetés – egy idő után – szinte bárki számára megvalósítható, stb. Most nézzük, hogy mi vezetett a fenti tételen való elmélkedéshez! A kiváltó szakmai feladat: boltöv számítása – [ 2 ]. Mint már említettük, szerettünk volna egy egyszerű és elegáns megoldást mutatni az alábbi feladatra. Feladat: Adott az alábbi ábra szerinti szegmens - ív, a jellemző adataival. Jelölések: ~ d: húrhossz / falköz; ~ h: ívmagasság; ~ r: ívsugár; ~ α: középponti szög.
Határozza meg a jellemző adatok közti összefüggéseket, képlet formájában! Részletezve: ~ fejezze ki r - et d és h függvényében; ~ fejezze ki α - t d és h függvényében! Útmutatás: alkalmazza a Pitagorász - tételt és valamely szögfüggvényt!
8
Megoldás: A sugár képlete Pitagorász tételével: 2
2 d r = + (r − h) ; 2 2
folytatva: 2
d r = + r2 − 2 ⋅ r ⋅ h + h2 , 2 2
2
d 2 ⋅ r ⋅ h = + h2 , 2 innen:
d2 h r= + . 8⋅ h 2
(a) A középponti szög képlete
Ehhez tekintsük az alábbi ábrát is!
9
Leolvasható róla, hogy az AC) íven nyugvó középponti szög: α / 2, a megfelelő kerületi szög pedig β . A fenti tétel szerint:
1 α α β= ⋅ = . 2 2 4
(b)
Most az utóbbi ábra alapján:
tgβ =
h 2⋅h = . d/2 d
(c)
Majd ( b ) és ( c ) szerint:
tg
α 2⋅h = , 4 d
innen:
α 2⋅h = arctg , 4 d ebből pedig:
2⋅h α = 4 ⋅ arctg . d
(d)
Az ( a ) és ( d ) képletek a kitűzött feladat egy szép megoldását adják.
Irodalom: [ 1 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ 2 ] – Szerényi István ~ Gazsó Anikó: Építőipari szakmai számítások Szerényi és Gazsó Bt., Pécs, 2000.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. május 5.
