Dr. Gergó Lajos elõadásjegyzetei alapján készítették:
Dr. Gergó Lajos Dr. Meskó Attiláné Gillemotné Dr. Orbán Katalin Semmelweis Egyetem, Gyógyszerésztudományi Kar, Egyetemi Gyógyszertár, Gyógyszerügyi Szervezéstani Intézet
© Dr. Gergó Lajos Budapest, 2005, 2010
ISBN-ekönyv 978 963 331 033 5
Az e-könyv alapja: dr. Gergó Lajos: Matematika gyógyszerészhallgatók számára (ISBN 963 9214 86 8) 2005-ös kiadás.
A könyv és adathordozó (legyen az e-könyv, CD vagy egyéb digitális megjelenés) szerzõi jogi oltalom és kizárólagos kiadói felhasználási jog alatt áll. Az e-könyv kódrendszer – DRM, avagy digitális másolásvédelem – feltörése bûncselekmény! Bármely részének vagy egészének mindennemû többszörözése kizárólag a szerzõ és a kiadó elõzetes írásbeli engedélye alapján jogszerû.
Semmelweis Verlag
A kiadásért felel dr. Táncos László, a Semmelweis Kiadó igazgatója Nyomda alá rendezte Békésy János Borítóterv: Táncos László SKD: SKD043-e
TARTALOMJEGYZÉK
Bevezetés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Halmazok . . . . . . . . 1.1. Halmaz . . . . . . . 1.2. A halmaz megadása 1.3. Halmazműveletek . 1.4. Számhalmazok . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
7
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
9 9 9 11 13
2. Függvények . . . . . . . . . . . . 2.1. A függvény definíciója . . . . . 2.2. Függvény inverze . . . . . . . . 2.3. Valós függvények tulajdonságai 2.4. Függvény műveletek . . . . . . 2.5. Függvény megadása . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. 19 . 19 . 21 . 23 . 24 . 24
3. Halmazok számossága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Néhány fontos inverz függvény . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4
Tartalomjegyzék 4.1. Gyökfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Exponenciális függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Trigonometrikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Valós számsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. A számsorozat definíciója, tulajdonságai . . . . . . . . . . . 5.2. A konvergencia definíciója, műveletek konvergens sorozatokkal 5.3. A legfontosabb konvergens sorozatok . . . . . . . . . . . . 5.4. Műveletek konvergens sorozatokkal . . . . . . . . . . . . . 5.5. Divergens sorozat +∞, −∞ határértéke . . . . . . . . . . 5.6. Végtelen sorok, mértani sor . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Függvények határértéke . . . . . . . . . . . . . 6.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. A függvény határértéke véges helyen véges . . 6.3. A függvény határértéke a véges helyen végtelen 6.4. A függvény határértéke a végtelenben véges . . 6.5. A függvény határértéke a végtelenben végtelen 6.6. Jobb- és baloldali határérték . . . . . . . . . . 6.7. Alapműveletek és határérték . . . . . . . . . . 6.8. Néhány elemi függvény határértéke ±∞-ben . 6.9. Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Racionális törtfüggvények . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
28 29 30 33 33 34 35 36 37 39
. 41 . 41 . 42 . 44 . 47 . 49 . 50 . 51 . 52 . 52 . 52
7. Folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8. Differenciálszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. A differenciálhatóság definíciója . . . . . . . . . . 8.2. A derivált geometriai jelentése . . . . . . . . . . . 8.3. Az alapműveletek és a deriválás kapcsolata . . . . 8.4. A deriváltfüggvény és az alapfüggvények deriváltjai 8.5. Összetett függvény deriváltja . . . . . . . . . . . 8.6. Inverz függvény deriváltja . . . . . . . . . . . . . 8.7. f (x)g(x) alakú függvények deriválása . . . . . . . 8.8. Magasabb rendű deriváltak . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. 57 . 58 . 60 . 60 . 61 . 62 . 63 . 64 . 65
Tartalomjegyzék
5
8.9. L’Hospital szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Függvényvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11. Néhány alkalmazás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67 69 74
9. Integrálszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Határozatlan integrál . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Integrálási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Racionális törtek integrálása . . . . . . . . . . . . 9.4. Egyéb trükkök, átalakítások, szabályok alkalmazása 9.5. Határozott integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1. Integrálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2. A határozott integrál tulajdonságai . . . . 9.5.3. Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Improprius integrál . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. 78 . 78 . 81 . 82 . 83 . 86 . 87 . 88 . 90 . 93
10.Többváltozós függvények . . . . . . . . . . . 10.1. Halmazok Descartes-szorzata . . . . . . . . 10.2. Kétváltozós valós függvények . . . . . . . . 10.3. Kétváltozós függvények szemléltetése . . . . 10.4. Kétváltozós függvények határértéke . . . . . 10.5. Többváltozós függvények differenciálhatósága 10.6. Szélsőérték számítása . . . . . . . . . . . . 10.7. Legkisebb négyzetek módszere . . . . . . . . 10.8. Vonalintegrál . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
95 95 96 97 98 101 105 106 111
11.Differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Differenciálegyenletre vezető gyakorlati feladatok 11.1.1. Sugárzás intenzitásának csökkenése . . . 11.1.2. Élő szervezetek szaporodása, fogyása . . 11.1.3. Kémiai reakciók . . . . . . . . . . . . . 11.1.4. Rekeszmodellek, kompartment modellek .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
117 122 122 123 124 127
Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
BEVEZETÉS
Ez a jegyzet az I. éves gyógyszerészhallgatók számára készült. Elsősorban a matematika előadás anyagát tartalmazza, de számos feladatot is kidolgoztunk éppen azért, hogy az adott témát, fogalmat azonnal megvilágítsuk egy-egy gyakorlati példa megoldása kapcsán. Jelen jegyzet tömörsége nem véletlen. Célunk az volt, hogy az előadáson bevezetett tömör matematikai nyelven csak a lényeget foglaljuk össze minden bővebb, külön magyarázat nélkül. Éppen ezért ebben a formában csak az előadás kiegészítésének tekintjük. Mivel a vizsgákon az elméleti tudást kérjük számon, nagy segítség lehet az anyag pontos elsajátításához, megtanulásához és a vizsgára való felkészüléshez. A matematika oktatásának célja elsősorban a tanulmányok során előforduló természettudományos tárgyakkal (fizika, kémia, biológia) kapcsolatos matematikai fogalmak, eszközök megismertetése, helyes használatuk elsajátítása. Nem mondhatunk le bizonyos szintű matematikai szemlélet, gondolkodás kialakításáról sem. Mindezek mellett fontos szempont számunkra a világos gondolkodásra, pontosságra, precíz fogalmazásra nevelés is, aminek szintén kiváló eszköze a matematika. A jegyzet megírása során örömmel támaszkodtunk elődeink kiváló munkáira is (lásd Irodalomjegyzék).
8
Bevezetés
Köszönetet mondok kollégáimnak, Dr. Meskó Attilánénak és Gillemotné Dr. Orbán Katalinnak, hogy részt vettek a jegyzet elkészítésében. Köszönettel tartozom Olajos Adriennek szép munkájáért, a jegyzet gondos gépeléséért, Gergó Balázsnak az ábrák megrajzolásáért és Dr. Szili Lászlónak a menet közben felmerülő Latex problémák megoldásában nyújtott sok segítségéért.
Budapest, 2005. szeptember 13. Dr. Gergó Lajos
1. HALMAZOK
1.1.
HALMAZ
A halmaz és a halmaz eleme alapfogalmak, ezeket nem definiáljuk. Tapasztalataink szerint halmaz alatt dolgok, fogalmak, matematikai objektumok stb. jól meghatározott gyűjteményét, együttesét, csoportját értjük. A halmazt megadtuk, ha minden dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzátartozik-e a halmazhoz, vagy sem. Egy x dolog, ha hozzátartozik egy A halmazhoz, akkor azt mondjuk, hogy eleme A-nak. Jelölés: x ∈ A. Egy y dolog, ha nem tartozik az A halmazhoz, akkor y nem eleme A-nak. Jelölés: y ∈ A.
1.2.
A HALMAZ MEGADÁSA
a) A halmaz megadható elemeinek felsorolásával (sorrend mindegy, minden elem csak egyszer írandó). Legyenek a, b, c, d, e elemei az A halmaznak, ezt így jelöljük: A := {a, b, c, d, e}.
10
1. Halmazok
Példa: A := {1, 3, 7}, B := {cm, m, kg}. b) A halmazt megadhatjuk elemei tulajdonságaival is. Az A halmaz legyen olyan x elemek halmaza, melyek a T (x) tulajdonsággal rendelkeznek, ezt így jelöljük: A := {x | T (x)}.
Példa: A := {x ∈ R | x ≥ −1}, B := {n ∈ N | 2|n}, C := {n ∈ Z | n = 5k + 3, k ∈ Z}. 1.2.1. Definíció: A ⊂ B, ha ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B. Szóban: az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme eleme a B halmaznak is. Ebből egyenesen következik, hogy minden halmaz önmagának részhalmaza. Jelölés: Az üres halmazt jelölje ∅. Ez a halmaz nem tartalmaz egyetlen elemet sem. Ennek egyenes következménye, hogy ∅ ⊂ A, bármely A esetében. A következő definícióban kimondjuk, hogy azok az egyenlő halmazok, amelyek ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. 1.2.2. Definíció: A = B, ha A és B elemei ugyanazok. Ezek után kimondható az alábbi állítás, amely a halmazok egyenlőségével foglalkozik. 1.2.1. Tétel: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A. A halmazokat szokásos úgynevezett Venn diagramokkal szemléltetni. A Venn diagramok zárt görbékkel határolt síkbeli alakzatoknak feleltetik meg a halmazokat.
IRODALOMJEGYZÉK
[ 1 ] Dr. Nagy János, Matematika gyógyszerészek részére, Budapesti Orvostudományi Egyetem Gyógyszerésztudományi Kar, 1969 [ 2 ] Hajtman Béla, Matematika gyógyszerészhallgatók részére, Semmelweis Orvostudományi Egyetem, Gyógyszerésztudományi Kar, 1973 [ 3 ] Hajtman Béla, Matematika orvosok és gyógyszerészek részére, Medicina Könyvkiadó, Budapest, 1980 [ 4 ] Leindler L., és Schipp F., Analízis I., ELTE, Budapest, 1994 [ 5 ] Pál J., Simon P., Schipp F., Analízis II., ELTE, Budapest, 1994
