A HŐMÉRSÉKLET ÉS HŐKÖZLÉS KÉRDÉSEI BETONRÉTEGBE ÁGYAZOTT FŰTŐCSŐKÍGYÓK ESETÉBEN A LINEÁRIS HŐVEZETÉS TÖRVÉNYSZERŰSÉGEINEK FIGYELEMBEVÉTELÉVEL
Általános észrevételek A sugárzó fűtőtestek konstrukciójából következik, hogy a hőleadó felületen képzelt koordináta-rendszer koordinátái szerint változó hőmérséklettel kell számolnunk. Ha elfogadjuk a csőkígyóba be- és onnan kilépő fűtőközeg hőfokának számtani közepét „fűtővíz-hőmérsékletnek”, akkor a hőleadó testben vagy testen elhelyezett csőszálak közötti hőmérséklet-változást és az ebből adódó közepes hőmérsékletet kell meghatároznunk. A számítás menetében bizonyos változást okoz az, hogy betonba vagy vakolatba beágyazott avagy fémlemezzel kapcsolatba hozott csőkígyóval van dolgunk. A berendezések méretezésének tárgyalásakor látni fogjuk, hogy a fűtőfelület közepes hőmérséklete szinte kivétel nélkül előre megválasztható, s így feladatunk ennek alapján a fűtőtest konstrukciójának és a fűtőközeg hőmérsékletének meghatározása. A következőkben tehát adott közepes felületi hőmérséklet esetén az egyes konstrukciós megoldásokban az menettávolságot, s ebben elsősorban a csőfalon beálló hőmérsékletet fogjuk meghatározni.
A hazánkban érvényes következő számítási mód alapgondolata KALOUS prágai tanártól ered, továbbfejlesztésén KOLLMAR érdemesen dolgozott, de e téren a külföldi szerzők is megemlékeznek a Budapesti Műszaki Egyetem Épületgépészeti I. Tanszékének jelentős tevékenységéről.
A hőmérséklet-megoszlás és a közepes hőmérséklet számítása állandósult állapotban
A megoldás igen vékony = 0,001 − 0,002 m és jó hővezetési tényezőjű ≈ 50 −
100 ⁄° lemezekben szolgáltat szinte teljesen pontos eredményt, tehát olyan esetben, ha
az ún. tényező értéke
= ℎ ∙
10 = ∙ = ∙ 0,001 = 1 ∙ 10 2 2 100
(1)
nagyságrendű. Az összehasonlító számítások azonban azt is mutatják, hogy a kétirányú hővezetés figyelembevételével nyert eredményektől a tényező lényegesen nagyobb értéke
esetén a lineáris hővezetésen alapuló számítások csak a gyakorlatban megengedhető kis mértékben térnek el. Az érvényességi határt =
10 ∙ ≈ ∙ 0,03 = 0,3 2 1
(2) 1
nagyságban szabhatjuk meg. Természetes itt a
= 0,3
értékben nem a benne szereplő tényezők egyedi értékei fontosak. A 0,3-et ezúttal betonrétegbe ágyazott csőkígyó figyelembevételével számítottuk. A hőmérséklet-megoszlás számítása érdekében a következő feltételezésekkel éltünk: a) a sík felületű fűtőtest méretei igen nagyok, vastagsága ≈ 0,07 − 0,08 m;
b) a fűtőtest anyaga beton, amely homogén és izotrópnak tekinthető;
c) a betonrétegben egymástól távolságban fűtőcsövek helyezkednek el, amelyeket első közelítésben szélességű, de elenyésző vastagságú, hőmérsékletű pántoknak tekintünk (1. ábra);
d) a betonréteget mindkét síkja felől hőmérsékletű környezet övezi (2. ábra);
e) a betonréteg hővezetési tényezője , hőátadási tényezője fölfelé , lefelé ; f) a hőáramlás az
-ben képzelt szimmetriasíktól jobbra és balra egymásnak tükörképe
(analóg a két végén beágyazott tartóval). Az ! = 0 síkban elhelyezkedő szélességű " hőmérsékletű pánttól ! távolságban levő #
keresztmetszeten vezetés útján átáramló hő
$% & = −# '
( ) (! *
(3)
illetve + = − túlhőmérséklettel kifejezve $% & = −# '
1. ábra. Sugárzó fűtőtest elvi szemléltető vázlata
(+ ) (! *
(4)
2. ábra. Sugárzó fűtőtest hőmérséklet megoszlásának számítása
2
A következőkben # = 1 m széles síkra vizsgáljuk a hőmérséklet-megoszlást, így $% & = − '
Az ! + (! távolságban levő 2 keresztmetszeten
(+ ) (! *
(5)
(+ $% = − ' ) (! *-.*
(6)
(+ (+ $& − $ = +(!/ + 0 = − 1' ) − ' ) 2 , (! * (! *-.*
(7)
hő áramlik át. A kettő különbsége az 1 ∙ (! felületről felfelé és lefelé átadott hő, azaz
amiből rendezés után nyerjük, hogy
(+ (+ + 3(! 4*-.* − 3(! 4* ( + + = = (! (!
(8)
(! → 0
mivel az egyenlet jobb oldalán az első differenciálhányadosok differenciálhányadosának limesze, azaz a második differenciálhányados szerepel. A + együtthatójára vezessük be az + =
(9)
jelölést, minthogy ez a hányados csak pozitív szám lehet. Így a ( + − +=0 (!
(10)
ismert differenciálegyenletet nyerjük. Ennek céljainknak megfelelő egyik általános megoldása + = 6& 7 8* + 6 7 8*
(11)
A 6& és 6 állandókat a határfeltételekből számíthatjuk. Ugyanis ha ! = 0, akkor + = +
(12) 3
és a szimmetrikus hőáramlás miatt az középvonalon hő nem áramlik át, azaz ha ! =
.9
, akkor 3.* 4
*:
; <
=0
(13)
Az első feltételből + = +" = 6& + 6
(14)
6& = +" − 6
(15)
(+ ' ) = /6& 7 8* − 6 7 8* 0 = 0 *: (! *:
(16)
(+ ' ) = =/+ − 6 07 8* − 6 7 8* > = 0 *: (! *:
(17)
s ebből
A második feltételből
s így
+ /7 8* 0
*:
= 6 /7 8* + 7 8* 0
*:
(18)
amiből 6 =
7
+ 7
8
8
+ 7
8
(19)
Viszont 6& = + − 6 = + ?1 −
7
8
7
8
+7
8 @
(20)
illetve
4
6& =
7
+ 7
8
8
+7
8
(21)
Behelyettesítve (11)-be nyerjük, hogy +=
7
+ 7
8
8
+7
8
∙ 7 8* +
7
+ 7
8
8
+7
8
∙ 7 8*
(22)
azaz + = +
7
83 *4
7
8
+7 +7
83 *4 8
(23)
Felhasználva, hogy 7 * + 7 * = Aℎ ! nyerjük, hogy + = +
Aℎ 32 − !4 Aℎ 2
(24)
A kapott eredmény a határfeltételeket kielégíti, mert ha ! = 0 , akkor + = +
(25)
és
ha ! = , akkor ( Aℎ 32 − !4 + + =− ∙ Bℎ ' − !) (! 2 *: Aℎ 2 Aℎ 2 és −
+ ∙ Bℎ 0 = 0 Aℎ 2
(26)
(27) 5
Tehát az összefüggés hűen írja le, hogy a középvonalon hő nem hatol át. A hőmérséklet-
megoszlást az szélességű sávon a 3. ábra mutatja, amely természetesen többszörösen
ismétlődik. Az ábrát egyben a középhőmérséklet kiszámítására is felhasználjuk.
3. ábra. A hőmérséklet megoszlása sugárzó fűtőtest felületén
Vizsgálatunkban a hőátadási tényezőket konstansnak, azaz az szélességű sávon
változatlannak tekintjük és középértékükkel helyettesítjük. Így /!0 = és /!0 =
Ezzel a feltevéssel az szélességű sávon leadott hő
$% = C= /!0 + /!0>+(! = / + 0 C +(! = +D / + 0 "
"
formában írható. Ebből
1 +D = C +(!
(28)
(29)
illetve +D = =
+
C Aℎ ' − !) (! = 2 ∙ Aℎ 2 " +
∙ Aℎ 2
1−
1 Bℎ ' − !)2 = 2 "
(30) (31a)
6
=
+
∙ Aℎ 2
(ugyanis Bℎ/−!0 = −Bℎ/!0 és
1−
1 'Bℎ '− ) − Bℎ )2 2 2
ℎ 2 + 2 Bℎ 2 +D = ∙ = + Aℎ 2 2 EF * GF *
(31b)
(32)
= ℎ !).
Még mielőtt a (32)-es összefüggésből a következtetéseket levonnánk, rámutatunk arra,
hogy a közepes hőmérsékletet abból a megfontolásból is le lehet vezetni, hogy a +
hőmérsékletű pántból + ! és – ! irányban a betonrétegbe vezetéssel jutó hő egyenlő az szélességű sáv hőleadásával, azaz
− '
(+ ) = +D / + 0 (! *:" 2
(33)
amiből a műveletek elvégzése után szintén
ℎ 2 +D = + 2
(34)
összefüggést nyerjük. Ez arra mutat, hogy a közepes hőmérséklet annál nagyobb, mennél nagyobb a + hőmérséklet, de mennél kisebb az
mivel
+ = I 2 2
(35)
ℎ ! =1 *→" !
(2)
lim
ami fizikailag azonnal érthető, hiszen ha a + hőmérsékletű pántok egymáshoz tapadóan
volnának a betonrétegben (tehát = 0 volna), akkor a réteg közepes hőmérséklete szintén + lenne. Ha viszont igen nagy, sőt a végtelen felé közeledne, akkor ℎ ! =0 *→M ! lim
(2)
7
miatt a közepes túlhőmérséklet szintén +D = 0-vá válnék.
Ez a vizsgálat tehát egymagában nem dönti el, hogy vajon nagy, vagy kis távolságban
érdemes-e a mostanáig „pántnak” nevezett hőforrásokat elhelyezni. Rögtön hű képet kapunk erről, ha azt a követelményt tűzzük ki, hogy egy pántból (ami helyett a továbbiakban majd
csövet helyezünk) minél több hőt nyerhessünk. A +D közepes hőmérsékletű betonréteg hőközlése ugyanis
$% = $% + $% = +D / + 0
(36)
Az egységnyi hosszúságú pánt szélességű sávja közvetíti ezt a hőt, azaz
kifejtve +D értékét nyerjük, hogy
$% = $% = +D / + 0
(37)
ℎ 2 / + 0 $% = + 2
(38)
$% = 2+ N/ + 0 O ℎ
2
(39)
Ebből az összefüggésből most már világosan látható, hogy 1 fm beépített pántból akkor kapjuk a legtöbb hőt, ha −
minél nagyobb + túlhőmérséklete van a pántnak
−
ha a pánt szélessége minél nagyobb
−
s ha az
−
ha a réteg hővezetési tényezője O minél nagyobb 8
tényező, illetve azt a legjobban befolyásoló menettávolság minél nagyobb.
Ezek a felismerések útmutatók, de teljes egészükben nem vihetők át a betonrétegbe
ágyazott csőkígyók esetére, mivel a lineáris hővezetés mellett a használt tételek a ≤ 0,3 értékből következően csak kb. 0,06-0,08 m rétegvastagságig közelítik meg a valóságot és
mivel a beépített cső átmérője ( < és természetszerűleg nem pánt alakú. Mégis sok
tanulsággal szolgálnak a (32) és (39) összefüggések, mivel elsősorban arra mutatnak rá, hogy minél nagyobb hőmérsékletű hőhordozó közeget kell alkalmaznunk, tehát mindenütt, ahol a hőmérséklet korlátozott, nem kapunk jó anyagkihasználást (pl. a mennyezetfűtésben).
8
