A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy axiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az axiómarendszer alapfogalmait és az axiómák a vizsgált rendszer tételei. A segítségül hívott rendszer jelen esetben R2 geometriája. R2 el van látva a kanonikus skaláris szorzattal, melyb˝ol R2 kanonikus metrikája származik: a P = (p1 , p2 ), Q = (q1 , q2 ) pontok P Q-val jelölt távolsága: p P Q = (p1 − p2 )2 + (q1 − q2 )2 . Legyen O = (0, 0) és: ω = { (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1 },
int ω = { (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1 }.
A továbbiakban gyakran használjuk az inverziót (ω-ra vonatkozót és más inverziót is), s a fogalmazás megkönnyítése végett R2 egydimenziós lineáris sokaságaira és köreire egyaránt mint körökre, vagy E-körökre hivatkozunk. Inverzió alatt pedig tengelyes tükrözést vagy közönséges inverziót értünk. (Ld. az inverzív síknál alkalmazott terminológiát.) Az interpretálandó struktúra: (E, L, d, m). 1. Definíció. E = int ω = { (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1 }. Egyenes alatt egy ω-t mer˝olegesen metsz˝o E-kör és int ω metszetét értjük.
O
O
ω
ω
1. ábra. Egyenesek a Poincaré-féle körmodellben.
1. Tétel. A (E, L) struktúrára teljesülnek az illeszkedési axiómák. Bizonyítás: I1: Bármely egyenesnek van legalább két pontja.– Nyilvánvaló. I2: Bármely két különböz˝o pontra egyértelm˝uen illeszkedik egyenes. – Legyen a két pont P és Q. A P pont ω-ra vonatkozó inverzét jelölje P 0 . A {P, Q, P 0 } ponthármasra egyértelm˝uen illeszkedik egy ω-t mer˝olegesen metsz˝o kör. Ennek int ω-val való metszete a kívánt egyenes. I3: Létezik három nem kollineáris pont. – Nyilvánvaló. 2. Tétel. A (E, L) struktúrában HPP teljesül. 1
P0
P
Q
O
ω
2. ábra. Két pontra illeszked˝o egyenes. ←−→ Bizonyítás: Legyen R ∈ E, R ∈ / P Q . Az R ω-ra vonatkozó inverzét jelölje R0 . Az R-re és R0 -re illeszked˝o körök ω-t mer˝olegesen metszik. Ezek közül végtelen sok lesz olyan, mely int ω-ba ←−→ es˝o része P Q -val párhuzamos egyenest határoz meg. 2. Definíció. Hiperbolikus tükrözésnek nevezzük az alábbi transzformációkat: Az ω-t mer˝olegesen metsz˝o E-körre vonatkozó inverziót (ha a kör nem tartalmazza O-t), vagy tengelyes tükrözést (ha a kör tartalmazza O-t). Az ω-t mer˝olegesen metsz˝o kört a rá vonatkozó hiperbolikus tükrözés tengelyének nevezzük. 3. Tétel. A hiperbolikus tükrözések E bijektív leképezései. Bizonyítás: A tengelyes tükrözésre az állítás nyilvánvaló, inverzióra pedig következik az inverzió tulajdonságaiból: a szóban forgó inverziónak mind ω, mind int ω invariáns alakzata. A következ˝o lépésben a távolságfüggvény interpretációjára kerül sor. 3. Definíció. Legyenek P, Q ∈ E pontok. A P -re és Q-ra illeszked˝o, ω-t mer˝olegesen metsz˝o kör és ω metszéspontjai legyenek U és V . Legyen ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ U P U Q ¯. d(P, Q) = ¯¯ln : P V QV ¯ d(P, Q) jól definiált, azaz nem függ attól, hogy melyik metszéspontot jelöltük U -val illetve V -vel: !¯ ¯ ¯ µ µ ¶¯ ¯ µ ¶¯ ¯¯ à ¶¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ V P U P QV ¯¯ V Q QU 1 V P ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ln : = ln · = ¯ln U P QV ¯ = ¯− ln · = ¯ P U QU ¯ ¯ PU V Q ¯ ¯ PV UQ ¯ · UQ ¯ PV ¯ µ ¶¯ ¯ U P QV ¯¯ ¯ = ¯ln · . PV UQ ¯ 2
R0
R
P Q ω
3. ábra. HPP
4. Tétel. A hiperbolikus tükrözés távolságtartó. Bizonyítás: Ha a tengely O-t tartalmazza, akkor az állítás nyilvánvaló, mert ekkor az euklidészi távolságok is meg˝orz˝odnek, tehát a bel˝olük képezett hányadosok, s ezek logaritmusa is. Ha a tengely nem tartalmazza O-t, akkor jelöljük a tükrözést (mely most inverzió) ρ-val, hatjel. ványát α-val, pólusát K-val. Legyen ρ(X) = X 0 Az inverzióra teljesül, hogy X 0 Y 0 = |α|
XY . KX · KY
Legyen k a P és Q pontokra illeszked˝o, ω-t mer˝olegesen metsz˝o kör. k ∩ ω = {U, V }. ρ(k) = k 0 a P 0 -re és Q0 -re illeszked˝o, ω-t mer˝olegesen metsz˝o kör, tehát k 0 ∩ ω = {U 0 , V 0 }. Ekkor: !¯ ¯ µ 0 0 ¶¯ ¯¯ à QV ¯ UP 0 0 ¯ |α| ¯ |α| U P U Q ¯ ¯ KQ·KV KU ·KP ¯ = ¯ln d(P 0 , Q0 ) = ¯¯ln : · ¯= P V U Q ¯ 0 0 0 0 ¯ P V QV |α| KP ·KV |α| KU ·KQ ¯ ¯ µ ¶¯ ¯ U P U Q ¯¯ ¯ : = d(P, Q). = ¯ln P V QV ¯
5. Tétel. A d függvényre teljesül a vonalzó axióma. Bizonyítás: RP1 teljesülése nyilvánvaló. RP2-t el˝oször arra az esetre ellen˝orizzük, amikor ←−→ O ∈ P Q = `. Legyen VP f : ` → R, f (P ) = ln . PU 3
Belátjuk, hogy f bijektív. Legyen U P = x! Ekkor f (P ) = ln
2−x x
(0 < x < 2).
Az x 7→ ln 2−x függvényr˝ol belátható, hogy szigorúan monoton fogyó, továbbá: x lim ln
x→+0
2−x = ∞, x
x→2,x<2
2−x = −∞. x
1
x
lim ln
y
függvény grafikonja. 4. ábra. Az x 7→ ln 2−x x RP2 valóban teljesül: ¯ µ ¶¯ ¯ µ ¶ µ ¶¯ ¯ V P V Q ¯¯ ¯¯ V Q ¯¯ VP ¯ d(P, Q) = ¯ln : = ln − ln = |f (P ) − f (Q)|. P U QU ¯ ¯ PU QU ¯ ←−→ Most bebizonyítjuk RP2-t arra az esetre, amikor O ∈ / P Q . Legyen ρ olyan hiperbolikus tük←−−→ rözés, melyre Q0 = O. Ekkor a P 0 Q0 = `0 egyenes nyilván tartalmazza O-t. `0 – már bizonyítottan létez˝o - koordinátaleképezését jelölje f . Legyen f 0 : ` → R, f 0 = f ◦ ρ. d(P, Q) = d(P 0 , Q0 ) = |f (P 0 ) − f (Q0 )| = |f (ρ(P )) − f (ρ(Q))| = |f 0 (P ) − f 0 (Q)|. Tehát teljesül RP. 4. Definíció. m egyezzen meg az euklidészi szögmértékkel, azaz az egyenesek hiperbolikus szöge egyezzen meg az egyeneseknek, mint E-köröknek a szögével. 4
A további axiómák ellen˝orzésénél – melyt˝ol eltekintünk – fontos szerepet játszik az a tény, hogy a hiperbolikus tükrözések szögtartó transzformációk. 1. Megjegyzés. Az 5. tétel bizonyításában kihasználtuk, hogy E két tetsz˝oleges pontját hiperbolikus tükrözéssel egymásba tudjuk vinni. Ennek bizonyítása a következ˝o. Jelölje a két pontot P és Q. Vegyünk fel egy olyan k kört, mely mindkét pontra illeszkedik (s célszer˝u, ha metszi ω-t is.) Feltehet˝o, hogy a P Q (euklidészi) egyenes és a két kör hatványvonala metszi egymást. Az M metszéspontból egybevágó érint˝oszakaszok vonhatók ω-hoz és k-hoz. Jelölje az egyik érintési pontot E. A keresett hiperbolikus tükrözés ` tengelye az M középpontú E-re illeszked˝o kör int ω-ba es˝o íve. Mivel ` mer˝olegesen metszi ω-t, ezért valóban hiperbolikus tükrözést definiáltunk, mivel ` mer˝olegesen metszi k-t, ezért P és Q egymás képei az `-re vonatkozó inverzióban. Azt is mondhatjuk, hogy az el˝oz˝o szerkesztéssel a P Q szakasz felez˝omer˝olegesét szerkesztettük meg (5. ábra).
P Q M E
5. ábra. Szakasz felez˝omer˝olegese.
2. Megjegyzés. Vizsgáljuk meg, hogy milyen alakzatok lesznek a hiperbolikus távolság szerinti körök a modellben. Egyszer˝u számítás mutatja, hogy két pont akkor és csakis akkor van egyenl˝o távolságra O-tól a hiperbolikus távolság szerint, ha az euklidészi távolság szerint. Az O középpontú euklidészi körök tehát egyben hiperbolikus körök is – mindaddig, amíg E-ben vannak –, és megfordítva. (A körök sugara természetesen más a két metrika szerint.) Ha a kör középpontja nem O, akkor vigyük át a hiperbolikus távolság szerinti kört hiperbolikus tükrözéssel egy O középpontú körbe – már tudjuk, hogy egy euklidészi kört kapunk. Mivel az inverzió körtartó, ezért az eredeti alakzat is egy euklidészi kör volt. A hiperbolikus távolság szerinti kör tehát ebben az esetben is euklidészi kör volt. Most a két körnek (mely ugyanaz a ponthalmaz) sem a sugara, sem a középpontja nem egyezik meg. 5
A következ˝o ábrán láthatunk egy olyan háromszöget, melynek oldalfelez˝o mer˝olegesei egy pontban metszik egymást, s így van körülírt köre, illetve egy olyan háromszöget, melynek oldalfelez˝o mer˝olegesei nem metszik egymást: nincs körülírt köre. A három pontra illeszked˝o euklidészi kör az els˝o esetben benne van E-ben, (így ez a kör egyben a háromszög hiperbolikus körülírt köre is), míg a második esetben onnan kilóg.
6. ábra. Háromszögek oldalfelez˝o mer˝olegesei és a körülírt kör létezése.
Kovács Zoltán, 2006. november 8.
6
7. ábra. Ezen az ábrán (a hiperbolikus mérték szerint) egyenl˝o sugarú körök vannak
7
