A fa hordók geometriájáról Érdekesnek ígérkezik a címbeli témán elmolyolni egy keveset. Itt, bár vannak, nem nagyon kell keresni az elméleti mélységeket, hiszen ez csak egy ujjgyakorlat lesz. A könyvekben lapozgatva azt láttam, hogy leginkább az alábbi három dongaalak fajta fordul elő, közelítésként: a koszinusz - , a parabola - és a körív - darab szerinti. Ezeket mutatom meg együtt egy példán, az 1. ábrán. y ( m)
f(x)=3/4+1/4*cos(pi*x/2) f(x)=(1-1/4*x*x) f(x)=(-9/8+sqrt((17/8)^(2)-x*x))
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x ( m) -1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1. ábra Jól látszik, hogy a példabeli görbék csak kevéssé térnek el egymástól. Először ezek egyenletét írjuk fel. I. A hordódonga alakjának koszinusz - görbével való közelítése Erre a dongagörbe - fajtára [ 1 ] - ben bukkantam rá. Ott nem pont úgy dolgoztak vele, mint én itt. Az alkalmazott jelöléseket a 2. ábrán mutatom meg. A hordó sugara egy
y ( x ) = r + ( R − r ) ⋅ cos α ( x )
alakú függvénnyel írható le, ahol:
(1)
1.1
1.2
2
2. ábra
h h ≤x≤ 2 2 r≤ y≤R .
−
,
(2)
Az α( x ) argumentum meghatározásához az alábbi arányosságot alkalmazzuk:
α x = , π/2 h/2
innen:
α = π⋅
x . h
(3)
Most ( 1 ) és ( 3 ) - mal:
x y ( x ) = r + ( R − r ) ⋅ cos π ⋅ . h
(4)
Az ábrázolási példához választott adatok: R = 1 m; r = 3 / 4 m; h = 2 m.
(A)
Majd ( 4 ) és ( A ) - val:
x y ( x ) = 3 / 4 + 1/ 4 ⋅ cos π ⋅ ( m ) . 2 Az ( 5 ) függvény grafikonja a 3. ábrán szemlélhető.
(5)
3 y ( m)
f(x)=3/4+1/4*cos(pi*x/2) r(t)=1/cos(t) r(t)=-1/cos(t)
1.1
f(x)=0.75
1
Koszinusz - függvény 0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x ( m) -1.3
-1.2
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
-0.1
3. ábra II. A hordódonga alakjának parabola - görbével való közelítése Ez a téma részletesen kidolgozva megtalálható [ 2 ] - ben is. A 2. ábra jelöléseivel a másodfokú parabola egyenlete:
y ( x ) = R − k ⋅ x2 ,
(6)
ahol k egy meghatározandó állandó. Meghatározásához azt a feltételt használjuk fel, hogy
h y x = = r ; 2
(7)
most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: 2
h r = R − k ⋅ , 2
(8)
innen:
k=
R−r
h 2
2
;
(9)
4
ezután ( 6 ) és ( 9 ) - cel: 2
x y ( x) = R − 4 ⋅( R − r ) ⋅ . h
( 10 )
Most ( 10 ) és ( A ) - val számszerűen:
1 y ( x ) = 1 − ⋅ x2 ( m ) . 4
( 11 )
A ( 11 ) függvény grafikonja a 4. ábrán szemlélhető. y ( m)
f(x)=(1-1/4*x*x)
1.1
r(t)=1/cos(t) r(t)=-1/cos(t) f(x)=0.75
1
Parabola 0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x ( m) -1.2
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
4. ábra III. A hordódonga alakjának körívvel való közelítése Először meghatározzuk a körív ρ sugarát. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! Pitagorász tételével kapjuk, hogy
ρ = (ρ − f ) 2
2
2
h + , 2
( 12 )
ahol:
f = R−r .
( 13 )
1.2
5
5. ábra Most ( 12 ) - t kifejtve és rendezve: 2
h ρ = ρ − 2 ⋅ f ⋅ρ + f + , 2 2
2
2
2
h 2 ⋅ f ⋅ρ = f + , 2 2
2
h f + f h2 2 , ρ= = + 2⋅ f 2 8⋅ f 2
tehát:
f h2 ρ= + . 2 8⋅ f
( 14 )
Majd ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:
R−r h2 . ρ= + 2 8⋅(R − r)
( 15 )
Most felírjuk a kör egyenletét. Ehhez tekintsük a 6. ábrát is! A donga - körív egy kiválasztott P pontjára Pitagorász - tétellel, elhagyva a P indexet:
X 2 + Y 2 = ρ 2 → Y 2 = ρ2 − X 2 ; ámde a 6. ábra szerint is fennállnak az alábbi összefüggések:
( 16 )
6
6. ábra
X =x, Y = y+a
, a = ρ − R ,
( 17 )
így ( 16 ) és ( 17 ) - tel kapjuk, hogy
( y + a)
2
= ρ2 − x 2 → y + a = ρ2 − x 2 → y = ρ2 − x 2 − a = ρ2 − x 2 − ( ρ − R ) ,
tehát:
y ( x ) = ρ2 − x 2 − ( ρ − R ) .
( 18 )
Most ( A ), ( 15 ) és ( 18 ) - cal: 2
9 17 y ( x ) = − x 2 − (m) . 8 8 A ( 19 ) függvény grafikonja a 7. ábrán szemlélhető.
( 19 )
7 1.1
y
f(x)=sqrt(sqr(17/8)-sqr(x))-9/8 r(t)=1/cos(t) r(t)=-1/cos(t) f(x)=0.75
1
Körív 0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x -1.2
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
-0.1
7. ábra Eddig a donga alakjával foglalkoztunk. Most meghatározzuk az adott donga - alakú hordó térfogatát. A forgástest térfogatát megadó általános képlet – [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] – : h 2
V = π ⋅ ∫ y 2 ( x ) dx ;
( 20 )
h − 2
azonban a szimmetria miatt elegendő a félhordó térfogat - képletével dolgoznunk, majd a kapott eredmény kétszeresét vennünk: h 2
V = 2 ⋅ π ⋅ ∫ y 2 ( x ) dx .
( 21 )
0
A térfogat - eredményre egy további ellenőrzést ad az alábbi reláció:
Vr henger < Vhordó < VR henger → r 2 ⋅ π ⋅ h < Vhordó < R 2 ⋅ π ⋅ h .
( 22 )
1. A koszinusz - görbe dongájú hordó térfogatának meghatározása Most ( 4 ) és ( 21 ) - gyel: h 2
Vcos
2
x = 2 ⋅ π ⋅ ∫ r + ( R − r ) ⋅ cos π ⋅ dx . h 0
( 23 )
1.2
8
Most az
u ( x) = π ⋅
x h
( 24 )
helyettesítéssel ( 4 ) és ( 24 ) szerint adódik, hogy y ( u ) = r + ( R − r ) ⋅ cos u ( x) , u ( x = 0) = 0 , h π ux = = , 2 2 h dx = du . π
( 25 )
Majd ( 23 ) és ( 25 ) - tel: π 2
Vcos = 2 ⋅ h ⋅ ∫ r + ( R − r ) ⋅ cos u du ≡ 2 ⋅ h ⋅ I . 2
( 26 )
0
Az I határozott integrál kiszámítása az alábbiak szerinti. π 2
π 2
0
0
2 2 I = ∫ r + ( R − r ) ⋅ cos u du = ∫ r 2 + 2 ⋅ r ⋅ ( R − r ) ⋅ cos u + ( R − r ) ⋅ cos 2 u du = π 2
π 2
π 2
= ∫ r 2 du + ∫ 2 ⋅ r ⋅ ( R − r ) ⋅ cos u du + ∫ ( R − r ) ⋅ cos 2 u du = 0
0
2
0
π 2
π 2
0
0
π 2
= r 2 ⋅ ∫ du + 2 ⋅ r ⋅ ( R − r ) ⋅ ∫ cos u du + ( R − r ) ⋅ ∫ cos 2 u du = 2
0
= r ⋅ I1 + 2 ⋅ r ⋅ ( R − r ) ⋅ I 2 + ( R − r ) ⋅ I 3 , 2
2
tehát:
I = r 2 ⋅ I1 + 2 ⋅ r ⋅ ( R − r ) ⋅ I 2 + ( R − r ) ⋅ I 3 ,
π π π 2 2 2 2 I1 = ∫ du , I 2 = ∫ cos u du , I 3 = ∫ cos u du . 0 0 0 2
( 27 )
Az Ii ( i : 1, 2, 3 ) integrálokhoz [ 3 ] táblázatából vesszük ki a primitív függvényeket:
9 π 2
I1 = ∫ du = [u ] 0 π 2 π π I 2 = ∫ cos u du = [sin u ]02 = sin − sin 0 = 1 − 0 = 1 ; 2 0 π π 2 1 1 2 1 π 1 π I 3 = ∫ cos 2 u du = ⋅ u + ⋅ sin ( 2 ⋅ u ) = ⋅ − 0 + ⋅ sin 2 ⋅ − sin ( 2 ⋅ 0 ) = 4 2 0 2 2 4 2 0 π 1 π = + ⋅ ( sin ( π ) − sin ( 0 ) ) = . 4 4 4 ( 28 ) π 2 0
π π = −0 = ; 2 2
Ezután ( 27 ) és ( 28 ) - cal: π π 2 I = ⋅ r2 + 2 ⋅ r ⋅( R − r ) + ⋅( R − r ) = 2 4 π π = ⋅ r 2 + 2 ⋅ r ⋅ R − 2 ⋅ r 2 + ⋅ R2 − 2 ⋅ R ⋅ r + r 2 = 2 4 π π π π = r 2 ⋅ − 2 + + r ⋅ R ⋅ 2 − + R2 ⋅ , 4 2 4 2
(
)
tehát:
π π 3⋅ π I = r2 ⋅ − 2 + r ⋅ R ⋅ 2 − + R2 ⋅ ; 2 4 4
( 29 )
majd ( 26 ) és ( 29 ) - cel: 3⋅ π π π Vcos = 2 ⋅ h ⋅ r 2 ⋅ − 2 + r ⋅ R ⋅ 2 − + R2 ⋅ = h 2 4 4
3 ⋅ π π ⋅ − 4 ⋅ r 2 + ( 4 − π) ⋅ r ⋅ R + ⋅ R2 , 2 2
tehát:
3 ⋅ π π Vcos = h ⋅ − 4 ⋅ r 2 + ( 4 − π) ⋅ r ⋅ R + ⋅ R2 . 2 2
( 30 )
Most áttérünk a sugarakról a könnyebben mérhető átmérőkre az
d , 2 D R= 2
r=
( 31 )
10
képletekkel. Ekkor ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: h 3 ⋅ π π Vcos = ⋅ − 4 ⋅ d 2 + ( 4 − π) ⋅ d ⋅ D + ⋅ D2 = 4 2 2 h = ⋅ ( 3 ⋅ π − 8 ) ⋅ d 2 + ( 8 − 2 ⋅ π ) ⋅ d ⋅ D + π ⋅ D 2 , 8 tehát:
Vcos =
h ⋅ ( 3 ⋅ π − 8 ) ⋅ d 2 + ( 8 − 2 ⋅ π ) ⋅ d ⋅ D + π ⋅ D 2 . 8
( 32 )
Számpélda Most ( A ) és ( 30 ) szerint: 3 ⋅ π 3 π 9 Vcos = 2 ( m ) ⋅ − 4 ⋅ + ( 4 − π ) ⋅ ⋅1 + ⋅12 m 2 = 5, 230641276 m3 ≈ 5, 2306 m3 , 4 2 16 2
( )
( )
tehát:
Vcos ≅ 5, 2306 m3 .
( E cos - 1 )
Ugyanezt numerikus integrálással elvégezve – 8. ábra:
8. ábra
Vcos ≅ 5, 2306 m3 .
( E cos - 2 )
11
Ez megegyezik ( E cos - 1 ) - gyel. Most ( 22 ) szerint is ellenőrizve: r 2 ⋅ π⋅ h < Vhordó < R 2 ⋅ π ⋅ h ,
( ) 9 r ⋅ π⋅ h = ( m ) ⋅ π ⋅ 2 ( m ) ≈ 3,5343 ( m ) 16 R ⋅ π ⋅ h = 1 ( m ) ⋅ π⋅ 2 ( m ) ≈ 6, 2832 ( m )
Vhordó ,cos ≅ 5, 2306 m 3 , 2
2
2
2
3
2
Ez is teljesül.
3
3 3 3 → 3,5343 m < 5, 2306 m < 6, 2832 m . , ,
☺
2. A parabola - dongájú hordó térfogatának meghatározása Most ( 10 ) és ( 21 ) - gyel: h 2
V par
2
2 x = 2 ⋅ π ⋅ ∫ R − 4 ⋅ ( R − r ) ⋅ dx = 2 ⋅ π ⋅ J , h 0 h 2
( 33 )
h
2
2 2 4 2 2 x x x 2 J = ∫ R − 4 ⋅ ( R − r ) ⋅ dx = ∫ R − 8 ⋅ R ⋅ ( R − r ) ⋅ + 16 ⋅ ( R − r ) ⋅ dx = h h h 0 0 h 2
= R 2 ⋅ ∫ dx − 8 ⋅ 0 h 2 0
= R2 ⋅ [ x]
R ⋅(R − r) h
2
h 2
⋅ ∫ x 2 dx + 16 ⋅
(R − r) h
0 h 2
2
4
h 2
⋅ ∫ x 4 dx = 0 h
R ⋅ ( R − r ) x3 ( R − r ) ⋅ x5 2 = −8⋅ ⋅ + 16 ⋅ h2 h4 3 0 5 0 2
h 8 R ⋅ ( R − r ) h3 16 ( R − r ) h5 h 2 h h 2 =R ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ R − ⋅ R ⋅(R − r) + ⋅(R − r) = 2 4 2 3 h 8 5 h 32 2 3 10 h 2 1 h 2 2 1 2 = ⋅ R2 − ⋅ R ⋅ ( R − r ) + ⋅ ( R − r ) = ⋅ R2 − ⋅ R2 + ⋅ R ⋅ r + ⋅ R2 − 2 ⋅ R ⋅ r + r 2 = 2 3 5 3 3 5 2 h 1 h 8 4 3 1 1 2 2 = ⋅ R2 ⋅ + + R ⋅ r ⋅ − + r 2 ⋅ = ⋅ R2 ⋅ + R ⋅ r ⋅ + r 2 ⋅ = 2 5 2 15 15 15 3 5 3 5 2
2
(
=
)
h ⋅ 8 ⋅ R 2 + 4 ⋅ R ⋅ r + 3 ⋅ r 2 , 2 ⋅15
tehát:
J=
h ⋅ 8 ⋅ R 2 + 4 ⋅ R ⋅ r + 3 ⋅ r 2 ; 30
( 34 )
12
majd ( 33 ) és ( 34 ) - gyel:
V par =
π⋅h ⋅ 8 ⋅ R 2 + 4 ⋅ R ⋅ r + 3 ⋅ r 2 . 15
( 35 )
Ezután ( 31 ) és ( 35 ) - tel:
V par =
π⋅h 3 ⋅ 2 ⋅ D2 + D ⋅ d + ⋅ d 2 . 15 4
( 36 )
Ezt a képletet [ 2 ] - ben is levezetik. Számpélda Most ( A ) és ( 35 ) szerint: π⋅2 ( m ) 2 3 9 V par = ⋅ 8 ⋅1 + 4 ⋅1 ⋅ + 3 ⋅ ( m 2 ) = 5, 314527572 ( m3 ) ≈ 5,3145 ( m3 ) , 15 4 16 tehát:
V par ≅ 5,3145 m3 .
( E par - 1 )
Ugyanezt numerikus integrálással elvégezve – 9. ábra:
9. ábra
13
V par ≅ 5,3145 m3 .
( E par - 2 )
Ez megegyezik ( E par - 1 ) - gyel. Most ( 22 ) szerint is ellenőrizve: r 2 ⋅ π⋅ h < Vhordó < R 2 ⋅ π ⋅ h ,
( ) 9 r ⋅ π⋅ h = ( m ) ⋅ π ⋅ 2 ( m ) ≈ 3,5343 ( m ) 16 R ⋅ π ⋅ h = 1 ( m ) ⋅ π⋅ 2 ( m ) ≈ 6, 2832 ( m )
Vhordó , par ≅ 5,3145 m3 , 2
2
2
2
3
2
Ez is teljesül.
3
3 3 3 → 3,5343 m < 5,3145 m < 6, 2832 m . , ,
☺ 3. A körív - dongájú hordó térfogatának meghatározása
Most ( 18 ) és ( 21 ) - gyel: h 2
Vkör
2
= 2 ⋅ π⋅ ∫ ρ2 − x 2 − ( ρ − R ) dx = 2 ⋅ π ⋅ K , 0
( 37 )
ahol: h 2
2 K = ∫ ρ2 − x 2 − 2 ⋅ ( ρ − R ) ⋅ ρ2 − x 2 + ( ρ − R ) dx = 0 h 2
h 2
0
0
h 2
2 = ρ2 + ( ρ − R ) ⋅ ∫ dx − ∫ x 2 dx − 2 ⋅ ( ρ − R ) ⋅ ∫ ρ2 − x 2 dx = 0 h 2
h 2
1 x x 2 = ρ2 + ( ρ − R ) ⋅ [ x ] − − 2 ⋅ ( ρ − R ) ⋅ ⋅ x ⋅ ρ2 − x 2 + ρ2 ⋅ arcsin = ρ 0 3 0 2 h 2 0
3
2 h h h 1 h3 1 h 2 2 2 2 = = ρ + ( ρ − R ) ⋅ − ⋅ − 2 ⋅ ( ρ − R ) ⋅ ⋅ ⋅ ρ − + ρ ⋅ arcsin 2 3 8 2 ⋅ρ 2 2 2 2 h 2 h2 h 2 2 h 2 2 , = ⋅ ρ + ( ρ − R ) − − ( ρ − R ) ⋅ ρ − + ⋅ρ ⋅ arcsin 2 12 2 h 2 ⋅ρ
tehát:
14 2 h 2 h2 h h 2 2 2 2 . ( 38 ) K = ⋅ ρ + ( ρ − R ) − − ( ρ − R ) ⋅ ρ − + ⋅ρ ⋅ arcsin 2 12 2 h 2 ⋅ρ
Most ( 37 ) és ( 38 ) - cal: 2 h2 h 2 2 h 2 2 2 = Vkör = π ⋅ h ⋅ ρ + ( ρ − R ) − − ( ρ − R ) ⋅ ρ − + ⋅ρ ⋅ arcsin 12 2 h 2 ⋅ρ h arcsin 2 2 2 R 1 h R h 2 ⋅ρ = π ⋅ h ⋅ρ2 ⋅ 1 + 1 − − ⋅ − 1 − ⋅ 1 − + , h ρ 3 2 ⋅ρ ρ 2 ⋅ρ 2 ⋅ρ tehát:
Vkör
h arcsin 2 2 2 R 1 h R h 2 ⋅ρ = π ⋅ h ⋅ρ2 ⋅ 1 + 1 − − ⋅ − 1 − ⋅ 1 − + . h ρ 3 2 ⋅ρ ρ 2 ⋅ρ 2 ⋅ρ ( 39 ) Számpélda
Most ( A ) és ( 15 ) - tel:
17 R 1 8 9 h 2 8 ρ= (m) , 1 − = 1 − = 1− = ; = = . 17 8 ρ 17 17 2 ⋅ρ 2 ⋅ 17 17 8 8
(B)
Majd ( 39 ) és ( B ) - vel:
8 2 2 2 arcsin 9 9 1 8 17 8 17 = Vkör = π⋅ 2 (m) ⋅ (m 2 ) ⋅ 1 + − ⋅ − ⋅ 1 − + 8 8 17 17 3 17 17 17 = 5,337692658 m3 , 2
tehát:
15
Vkör ≅ 5, 3377 m3 .
( E kör - 1 )
Ugyanezt numerikus integrálással elvégezve – 10. ábra:
10. ábra
Vkör ≅ 5, 3377 m3 .
( E kör - 2 )
Ez megegyezik ( E kör - 1 ) - gyel. Most ( 22 ) szerint is ellenőrizve: r 2 ⋅ π⋅ h < Vhordó < R 2 ⋅ π ⋅ h ,
( ) 9 r ⋅ π⋅ h = ( m ) ⋅ π ⋅ 2 ( m ) ≈ 3,5343 ( m ) 16 R ⋅ π ⋅ h = 1 ( m ) ⋅ π⋅ 2 ( m ) ≈ 6, 2832 ( m )
Vhordó ,kör ≅ 5,3377 m3 , 2
2
2
2
Ez is teljesül.
2
☺
3
3
3 3 3 → 3,5343 m < 5,3377 m < 6, 2832 m . , ,
16
Megjegyzések: M1. A számpélda - térfogatok összegyűjtve: Vcos ≅ 5, 2306 m3 , V par ≅ 5,3145 m3 , (C) 3 Vkör ≅ 5,3377 m . Eszerint a körrel való közelítéssel kapjuk a legnagyobb térfogatot; v. ö.: 1. ábra. A legnagyobb és a legkisebb térfogat százalékos eltérése:
5,3377 m3 − 5, 2306 m3 δV = ⋅100 = 2, 0 % , 5,3377 m3
(D)
ami nem nagy érték. M2. A térfogatszámítás során három lépcsőt jártunk be: ~ integrálás primitív függvénnyel, ~ integrálás numerikusan, ~ ellenőrzés a közrefogó hengerek térfogatával. Ez elsőre talán túlzásnak tűnhet. Hogy nem az, azt maga az élet mutatja meg minden kinek. Például a primitív függvénnyel való számolás közben elkövetett hibát valószí nűleg felderíthetjük a numerikus integrálással, majd mindkettőt ellenőrzi − akár csak nagyságrendileg is – a közrefogásos lépés. Minden ellenőrzés aranyat ér! Ugyanis a napi munkában valószínűtlen, hogy valaki majd megmondja nekünk a helyes ered ményt. Ahhoz neki is valami hasonló utat kell bejárnia. M3. Nem került szóba, hogy a donga - alakok közelítése mennyire megalapozott, fizikailag. Ehhez jól kellene ismernünk a fa hordógyártás technológiáját, melynek alapján fizikai modell(eke)t kellene alkotnunk, azzal alapozva meg a dongaválasztást. Ez még odébb van. M4. Olvastuk, hogy a fa hordóknál fontos az egységnyi térfogatra jutó nedvesített fe lület is; minél kisebb a hordó, annál nagyobb a fajlagos felülete, s annál intenzívebb a beoldódás – http://hu.wikipedia.org/wiki/P%C3%A1linkaf%C5%91z%C3%A9s . M5. Eredményeinket dl - pontossággal adtuk meg; ez még értékes mennyiség lehet. M6. Találtunk témánkban régebbi írásokat is, de ezek szövege ma már alig érthető; pl.: http://erdeszetilapok.oszk.hu/00054/pdf/EL_1923_12_251-261.pdf M7. Magyarul meglepően kevés helyen találtunk témánkba vágó képleteket. Főként kézikönyvekben, részletes levezetés nélkül, kivéve [ 2 ] - t. Érdekes a 11. ábrán látható szöveg, melynek forrása: http://www.gyogyszeresztortenet.hu/letolt/Gyakorlati_gyogyszereszet_1.pdf .
17
11. ábra Az itt közölt képlet, a mi jelöléseinkkel:
2⋅ R + r V = ( 40 ) ⋅π⋅h , 3 Ez egy olyan helyettesítő henger térfogatát adja meg, melynek sugara a hordó középső és alsó / felső sugarainak súlyozott számtani átlaga. Alkalmazzuk ( 40 ) - et, ( A ) - val! Ekkor kapjuk, hogy 2
2 ⋅1 + 3 / 4 3 3 V = ( 40 / 1 ) ⋅ π ⋅ 2 m ≅ 5,2796 m . 3 Ez nagyobb a koszinuszos térfogatnál, de kisebb a másik kettőnél. Egészen jó! Továbbá egyszerűbb a ( 40 ) képlet alkalmazása, mint a fentebb levezetetteké. 2
M8. Megemlítjük, hogy a helyettesítő hengert gyakran alkalmazzuk a farönkök térfogatának közelítő meghatározására is, persze másfajta módon.
18
M9. A 11. ábrán mérőedényt is látunk, mellyel a gyakorlatban elegendő pontossággal meghatározhatjuk a hordóban lévő folyadék térfogatát. M10. A [ 4 ] zsebkönyvben is a parabola dongájú hordó térfogat - számítási képletét adják meg, nem említve a donga alakját. Az [ 5 ] zsebkönyvben is a körív dongájú hordó térfogatának számítására a következő közelítő képletet adják meg, a fenti jelölésekkel:
Vkör ≈
π ⋅ h ⋅ 2 ⋅ D2 + d 2 . 12
(
)
( 41 )
Ez feltehetően úgy állt elő, hogy ( 39 ) - ben sorbafejtést és elhanyagolásokat alkal maztak. Láttuk, hogy a körív - donga esetéhez tartozó térfogat a legnagyobb a fentiek közül, így az elhanyagolásokkal is használható térfogat - közelítést kaphatunk. Nézzük meg, így van - e! ( 41 ) - re alkalmazva ( A ) - t:
Vkör
2 π 3 3 2 ≈ ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 + m ≅ 5,3669 m 3 . 12 2
( 41 / 1 )
Ez jóval nagyobb, mint az 5,3377 m3 - es „pontos” érték! Hoppá! Ezt nem árt tudni! A [ 6 ], [ 7 ] kézikönyvekben a ( 41 ) és a ( 43 / 2 ) szerinti képletek is szerepelnek, a donga - alak megadásával. M11. A 12. ábra egy gönci hordót mutat.
Gönci hordó
forrás: http://vinopedia.hu/gonci-hordo
12. ábra
19
M12. Fentiek megírása után még nézelődtem egy keveset az interneten, és ismerős képletekre bukkantam, itt: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~klinker/Paper/Gauss_Klinker.pdf . Innen származik a 13. ábra is.
13. ábra Ez azért érdekes, mert megmutatják, hogy az ellipszis ívdarabnak a nagytengelye körüli megforgatásával előálló „hordótest” térfogatát a ( 41 ) képlet jobb oldala pontosan adja meg, azaz
Vell =
π ⋅ h ⋅ 2 ⋅ D2 + d 2 . 12
(
)
( 41 / 2 )
Ezt sem árt tudni! Ez azt is jelentheti, hogy a ( 41 ) képlettel kapcsolatos feltevésem helytelen: nem a kör - dongájú hordó „pontos” térfogat - képletének közelítő alakjá val, hanem az ellipszis - dongájú hordó „pontos ” térfogat - képletének a kör dongájú hordóra való közelítő alkalmazásával van itt dolgunk. A sugarakkal felírt ( 41 / 2 ) képletet egyébként a Kepler - féle hordószabályként emlegetik. Ezután ugyanitt levezetik a ( 39 ) képletünket – kicsit más alakban felírva – , majd bemutatnak egy összehasonlító táblázatot, a ( 39 ) és ( 41 ) képletekkel való számítás eredményeire. Végül megállapítják, hogy a körív - donga esetére a Kepler - szabályt alkalmazni nem alaptalan. Mindezt azért részleteztük, mert örömünkre szolgál, hogy van olyan része e világnak, ahol ezekkel a mellékesnek tűnő kérdésekkel alaposabban foglalkoznak. M13. Johannes Kepler (1571 ~ 1630 ), a híres német matematikus, csillagász és optikus talán kevésbé ismert műve A boroshordók új térfogatméréséről (1615) ; ld.: http://hu.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler . Nem véletlen, hogy eredménye itt is szóba került. M14. Egy további közelítő képletet találhatunk a körív dongájú hordó térfogatára [ 3 ] - ban. Erről azonban könnyű kimutatni, hogy megegyezik ( 40 ) - nel.
20
Az eredmények összefoglalása A hordódonga - alakok egyenlete:
x ycos ( x ) = r + ( R − r ) ⋅ cos π ⋅ ; h ..................................................... 2 x y par ( x ) = R − 4 ⋅ ( R − r ) ⋅ ; h .................................................... 2 2 ykör ( x ) = ρ − x − ( ρ − R ) , R−r h2 ρ= + . 2 8⋅(R − r)
( 42 )
A hordótérfogatok képletei: h Vcos = ⋅ ( 3 ⋅ π − 8 ) ⋅ d 2 + ( 8 − 2 ⋅ π ) ⋅ d ⋅ D + π ⋅ D 2 , 8 ...................................................................................
π⋅h 3 ⋅ 2 ⋅ D2 + D ⋅ d + ⋅ d 2 , 15 4 .........................................................
V par =
h arcsin 2 2 2 h D 1 h D 2 ⋅ρ Vkör = π ⋅ h ⋅ρ2 ⋅ 1 + 1 − − ⋅ − 1 − ⋅ 1 − + h 2 ⋅ρ 3 2 ⋅ρ 2 ⋅ρ 2 ⋅ρ 2 ⋅ρ D−d h2 ρ= + . 4 4⋅(D − d )
( 43 ) Látjuk, hogy a parabola - közelítés eredményei az egyszerűbbek. -------------------------------------------------------------------------------------------------------Végül megemlítem, hogy egy még sosem látott képletet is találtam – 14. ábra. Forrása: http://erdeszetilapok.oszk.hu/01072/pdf/EL_1953_04_369-381.pdf
21
14. ábra Remélem, áttekintésünk nem volt haszontalan!
Irodalom: [ 1 ] – Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok A. V*. Határozott integrál ( Első rész ) Tankönyvkiadó, Budapest, 1973., 194. o. [ 2 ] – Reiman István: Matematika Typotex, Budapest, 2011., 543. o. [ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. [ 4 ] – Szerk. Fogarasi Mihály: Mélyépítő művezetők és technikusok zsebkönyve 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960., 48. o. [ 5 ] – Szerk. Hir Alajos: Építők zsebkönyve 4. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980., 152. o. [ 6 ] – Szerk. Palotás László: Mérnöki kézikönyv I. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981., 76. o. [ 7 ] – Szerk. Boldizsár Tibor: Bányászati kézikönyv I. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1956., 46. o.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. február 28.
