7. APLIKASI INTEGRAL
7.1 Menghitung Luas Daerah a.Misalkan daerah D ( x, y) | a x b, 0 y f ( x) Luas D = ? f(x)
Langkah :
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar) x
D a
x
b
A f ( x)x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b
Luas D = A =
f ( x)dx a
INF228 Kalkulus Dasar
2
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 2 y x , sumbu x, dan x = 2. kurva
Luas irisan yx
A x 2 x
2
x2 x 2
Luas daerah 2
1 3 8 2 A x dx x 3 0 3 0 2
INF228 Kalkulus Dasar
3
b) Misalkan daerah D ( x, y) | a x b, g ( x) y h( x) h(x)
Luas D = ?
D
h(x)-g(x)
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar) x
g(x) a
x
Langkah :
b
A (h( x) g ( x))x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b
Luas D = A =
(h( x) g ( x))dx a INF228 Kalkulus Dasar
4
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola y x 2 2
Titik potong antara garis dan parabola
x 4 x2 2
( x 4) ( x 2) 2
y x2 2
y=x+4 -2
x 3
x2 x 6 0 ( x 3)( x 2) 0 x = -2, x = 3
Luas irisan
A (( x 4) ( x 2 2))x INF228 Kalkulus Dasar
5
Sehingga luas daerah : 3
3
2
2
A (( x 4) ( x 2 2))dx ( x 2 x 6)dx 3
1 3 1 2 125 x x 6 x 3 2 6 2 Ctt :
Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
INF228 Kalkulus Dasar
6
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,
y x2
dan y = -x + 2
Jawab Titik potong
x2 x 2
x2 x 2 0
( x 2)( x 1) 0 x = -2, x = 1
Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi dua bagian y x2
y=-x+2
x1
x
2
Luas irisan I
A1 x 2 x Luas irisan II
A2 ( x 2)x INF228 Kalkulus Dasar
7
Luas daerah I 1
1 A1 x dx x | 3 0 2
1 3
3 1 0
Luas daerah II 2
A2 x 2 dx 12 x 2 2 x |12 1
1 (2 4) ( 2) 2 1 2
Sehingga luas daerah
1 1 5 A A1 A2 3 2 6 INF228 Kalkulus Dasar
8
c). Misalkan daerah D ( x, y) | c y d , g ( y) x h( y) d
g(y)
Luas D = ?
D h(y)
yy h(y)-g(y) c
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) y
A (h( y) g ( y))y 2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: d
Luas D = A =
(h( y) g ( y)) dy c INF228 Kalkulus Dasar
9
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x 3 y 2 dan
y x 1
Jawab :
Titik potong antara garis dan parabola
y x 1
y 1 3 y2
y2 y 2 0
1
( y 2)( y 1) 0
y
y = -2 dan y = 1
(3 y 2 ) ( y 1)
Luas irisan
x 3 y2
-2
A ((3 y 2 ) ( y 1)) y
INF228 Kalkulus Dasar
10
Sehingga luas daerah : 1
1
2
2
L ((3 y 2 ) ( y 1))dy ( y 2 y 2)dy 1
1 3 1 2 9 y y 2 y . 3 2 2 2 Ctt :
Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
INF228 Kalkulus Dasar
11
7.2 Menghitung volume benda putar 7.2.1 Metoda Cakram a. Daerah
D ( x, y) | a x b , 0 y f ( x) diputar terhadap sumbu x f(x) D
a Daerah D
b
? Volume benda putar INF228 Kalkulus Dasar
Benda putar 12
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
f(x) D
x
a
b
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal x dan jari-jari f(x). sehingga
V f 2 ( x) x
f(x) b
V f 2 ( x) dx x
a
INF228 Kalkulus Dasar
13
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah D yang dibatasi oleh y x , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x
Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari x 2 dan tebal x
y x2
x2 x
2
Sehingga
V ( x 2 ) 2 x x 4 x Volume benda putar
x2
x
2
32 V x dx x | 5 5 0 4
INF228 Kalkulus Dasar
5 2 0
14
b. Daerah D
( x, y) | c y d , 0 x g ( y)
diputar terhadap sumbu y d
d
x=g(y) D
c
c
Daerah D
Benda putar ? Volume benda putar INF228 Kalkulus Dasar
15
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal y dan Jari-jari g(y).
d
y
x=g(y) D
sehingga
c
V g 2 ( y) y g ( y)
d
y
V g 2 ( y ) dy c INF228 Kalkulus Dasar
16
Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah yang dibatasi oleh y x garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y Jika irisan dengan tinggi y dan tebal y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari y dan tebal y
4
y y
y x2
x y
Sehingga
V ( y ) 2 y y y Volume benda putar 4
y
y
V ydy 0
INF228 Kalkulus Dasar
2
y 2 |04 8 17
7.2.2 Metoda Cincin a. Daerah
D ( x, y) | a x b , g ( x) y h( x)
diputar terhadap sumbu x h(x) D g(x) a
b
Daerah D
? Volume benda putar INF228 Kalkulus Dasar
Benda putar 18
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. h(x)
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal x dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).
D
g(x) a h(x)
x
b
sehingga
V (h 2 ( x) g 2 ( x))x
x g(x)
b
V (h 2 ( x) g 2 ( x))dx a INF228 Kalkulus Dasar
19
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1 Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 1 x 2
Sehingga
y x2
D 1
V (( x 2 1) 2 12 )x
1 x2 x
2
( x 4 2 x 2 1 1)x y=-1
( x 4 2 x 2 )x
Volume benda putar : 2
V x 4 2 x 2 dx ( 15 x 5 23 x 3 |02 ) ( 325 163 ) 186 15 0
INF228 Kalkulus Dasar
20
7.2.3 Metoda Kulit Tabung Diketahui D ( x, y) | a x b , 0 y f ( x) Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
f(x) D a
b
Daerah D
Benda putar Volume benda putar ?
INF228 Kalkulus Dasar
21
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal x
f(x) D
x
a
x
b
sehingga
x
V 2 x f ( x) x f(x) x
b
V 2 xf ( x)dx a INF228 Kalkulus Dasar
22
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y 2
Jika irisan dengan tinggi x ,tebal x dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung 2 dengan tinggi x , tebal x dan jari jari x
y x2
x2
D x
x
2
Sehingga
V 2 x x 2 x 2 x 3 x Volume benda putar 2
V 2 x 3 dx 0
INF228 Kalkulus Dasar
2
x 4 |02 8 23
Catatan : -Metoda cakram/cincin
Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung
Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola y x 2 ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap a. Garis y = 4 b. Garis x = 3
INF228 Kalkulus Dasar
24
a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin
y=4
(4 x ) 2
2 Jari-jari dalam =rd (4 x )
4
y x2
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan Jari-jari luar = rl 4
Sehingga D
V ((4) 2 (4 x 2 ) 2 )x
x 2
(8x 2 x 4 )x
Volume benda putar 2
V (8 x 2 x 4 )dx ( 83 x 3 15 x 5 ) |02 ( 643 325 ) 0
INF228 Kalkulus Dasar
224 15
25
(ii) Metoda kulit tabung
y=4 4 y
yx
Jari-jari = r = 4 y
2
Tinggi = h = 2 y
y
y
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan
D 2 y
2
Tebal =
y
Sehingga
V 2 (4 y)(2 y )y 2 (8 4 y 2 y y y )y
Volume benda putar 4
V 2 (8 4 y 2 y y y )dy 2 (8 y 8 y 3 / 2 y 2 3
2 5
y 5 / 2 ) |04
224 15
0 INF228 Kalkulus Dasar
26
b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin
x=3
Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam = rd 1 Jari-jari luar = rl 3 y
y x2
y
1 3 y
D
y
Sehingga
V ((3 y ) 2 (1) 2 )y
2
(8 6 y y)y
3
Volume benda putar 4
V (8 6 y y )dy (8 y 4 y 3 / 2 8 |04 ) 8 0 INF228 Kalkulus Dasar
27
(ii) Metoda kulit tabung
x=3
Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan Tinggi = h = x 2
y x2
x
2
D
x 2 3-x
x
Jari-jari = r = 3-x Tebal = x
Sehingga
V 2 (3 x) x 2 x
3
2 (3x 2 x 3 )x
Volume benda putar 2
V 2 (3x 2 x 3 )dx 2 ( x 3 14 x 4 ) |02 2 (8 4) 8 0 INF228 Kalkulus Dasar
28
7.3 Panjang Kurva Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t) y = g(t)
,a t b
(1)
Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva. Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika
(i) f ' dan g ' kontinu pada [a,b] Kurva tidak berubah sekonyong-konyong (ii) f ' dan g '
tidak secara bersamaan nol pada (a,b)
INF228 Kalkulus Dasar
29
Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva
Langkah 1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian
a t o t1 t 2 ... t n b Qi 1
●
Qi
●
●
Qo
●
a t1
● ● t i 1 t i
● t n 1 b
Qn
Q1●
●
Partisi pada [a,b] Paritisi pada kurva
INF228 Kalkulus Dasar
30
2. Hampiri panjang kurva
si
Qi
si
panjang busur Qi 1Qi
wi
panjang tali busur Qi 1Qi
Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur wi Qi 1
xi
y i
si wi (xi ) 2 (yi ) 2
[ f (t i ) f (t i 1 )]2 [ g (t i ) g (t i 1 )]2 Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat tˆi , t i (t i 1 , t i )sehingga
f (t i ) f (t i 1 ) f ' (t i )t
g (t i ) g (t i 1 ) g ' (tˆi )t INF228 Kalkulus Dasar
31
t i t i t i 1
dengan sehingga
wi [ f ' (ti )ti ]2 [ g ' (tˆi )ti ]2 [ f ' (ti )]2 [ g ' (tˆi )]2 ti Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur n
L [ f ' (ti )]2 [ g ' (tˆi )]2 ti i 1
Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh b
L [ f ' (t )]2 [ g ' (t )]2 dt a
INF228 Kalkulus Dasar
32
Ctt:
Jika persamaan kurva y=f(x), a x b b
L [ f ' (t )] [ g ' (t )] dt 2
2
a
b
a
2
b
[ a
dx 2 dy 2 ] [ ] dt dt dt 2
dx 2 dy dy ( ) (1 )dt 1 dx dt dx dx a b
Jika persamaan kurva x=g(y), c y d d
L [ f ' (t )] [ g ' (t )] dt 2
c d
c
2
d
c
dx 2 dy 2 [ ] [ ] dt dt dt
2 2 d dx 2 dy dy ( ) 1 dt 1 dx dt dx dx c
INF228 Kalkulus Dasar
33
Contoh : Hitung panjang kurva 1.
x t3, y t2; 0 t 4 x' (t ) 3t 2 , y' (t ) 2t Panjang kurva 4
4
4
0
0
0
L (3t 2 ) 2 (2t ) 2 dt 9t 4 4t 2 dt t 2 (9t 2 4)dt 4
t 9t 4 dt 2
0
4
t (9t 4) 2
0
181 23 (9t 2 4) 3 / 2 |04
1 27
1/ 2
d (9t 2 4) 18t
(40 40 8)
INF228 Kalkulus Dasar
1 27
(80 10 8)
34
2.
y 2x 3 / 2
antara x =1/3 dan x=7
Jawab :
dy 3x1 / 2 dx 7
L
1 3x
dx
1/ 2 2
1/ 3
2 27
(1 9 x) 3 / 2 |17/ 3
7
1 9 x dx
7
1 9
1/ 2 ( 1 9 x ) d (1 9 x)
1/ 3
1/ 3
2 27
(512 8) 37 13
INF228 Kalkulus Dasar
35
Soal Latihan A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh
1.
y x 2 dan y x 2
2.
y x3 , y x, dan y 8
3. y 4.
= x , y = 4x , y = -x +2
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2.
INF228 Kalkulus Dasar
36
B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x 1.
y x3 , y 0, dan x 2
2.
y 9 x 2 dan y 0
3.
y x 2 dan y 4 x
4.
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = /4
5.
y x3 dan y x, di kuadran 1
INF228 Kalkulus Dasar
37
C. Daerah D dibatasi oleh kurva y x dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
(1) sumbu x (2) garis x = -1 (3) garis y = 4
(4) sumbu y (5) garis y = -2 (6) garis x = 4
D. Daerah D dibatasi oleh parabol y 4 x x 2 dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
(1) sumbu x (2) garis x = 6
(3) sumbu y (4) garis y = -1
INF228 Kalkulus Dasar
38
E. Hitung panjang kurva berikut 1.
x 4 sin t , y 4 cos t 5; 0 t
2.
x 3t 2 2, y 2t 3 1 / 2; 1 t 4
3. 4. 5.
1 y ( x 2 2) 3 / 2 , 0 x 1 3 x 2 ln x y , 2 x4 2 4 y ln(1 x 2 ), 0 x 1 / 2
1 y ( y 3), 0 y 9 6. x 3 INF228 Kalkulus Dasar
39