6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI 6.1. Tönkremeneteli elméletek a) Speciális eset: az F feszültségi tenzornak csak egy eleme nem nulla (pl. rudak egyszerű igénybevételeinél).
σ z ≤ σ meg ,
τ ϕ z ≤ τ meg .
Itt nincs probléma, mert az anyagjellemzők ezekre az egyszerű esetekre rendelkezésre állnak. b) Általános eset: Probléma: Nem tudom, hogy melyik feszültségkoordinátát ⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ hasonlítsam össze a σ meg megengedett feszültség⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ gel! ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ ⎣ ⎦ Redukált feszültség: Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültségi állapotot tönkremenetel szempontjából egyértelműen jellemzi. Redukált feszültség ≡ egyenértékű feszültség ≡ összehasonlító feszültség. A redukált feszültség bevezetésével az általános térbeli feszültségállapotot visszavezetjük a speciális egyszerű esetre. A redukált feszültség meghatározására különböző elméletek vannak. - Coulomb elmélet: (kiejtése: kulomb) Egy feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi állapothoz tartozó legnagyobb normál feszültség kisebb az anyag szakítószilárdságánál. Redukált feszültség:
σ red ( Coulomb ) = max ( σ 1 , σ 3 ) , ahol σ 1 a legnagyobb, σ 3 a legkisebb főfeszültség.
- Mohr elmélet: (kiejtése: mór) Egy feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi állapothoz tartozó legnagyobb és legkisebb főfeszültség különbsége kisebb, mint az anyag folyáshatára / szakítószilárdsága Redukált feszültség:
σ red ( Mohr ) = (σ 1 − σ 3 ) , ahol σ 1 a legnagyobb, σ 3 a legkisebb főfeszültség.
- Huber - Mises - Hencky elmélet: (kiejtése huber-mizesz-henki) Két feszültségi állapot akkor egyformán veszélyes, ha a hozzájuk tartozó torzulási energia azonos. Redukált feszültség (a σ red négyzete arányos a fajlagos torzulási energiával):
σ red ( HMH ) =
1⎡ 2 2 2 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤⎦ , 2⎣
ahol σ 1 , σ 2 , σ 3 főfeszültségek, vagy
81
σ red ( HMH ) =
2 2 1⎡ 2 σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy2 + τ yz2 + τ xz2 ) ⎤⎥ . ( ⎢ ⎣ ⎦ 2
6.2. Húzás – nyomás és egyenes hajlítás y
y
S
N
x
N
z
M hx M hx
M hx
l
A y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye ⇒ az x és y tengelyek a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei. Feszültségi állapot: σ z = σ z′ + σ z′′ , ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ N M ⎢ F ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ , σ z = + hx y . ⎣ xyz ⎦ ⎢ 0 0 σ ⎥ A Ix z⎦ ⎣ Veszélyes pont: ahol a σ z a maximális (ez általában a keresztmetszetnek az x tengelytől legtávolabb levő pontja, ahol a σ z′′ és σ z′ azonos előjelű).
6.3. Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás – nyomása és csavarása y
y x
S
Mc N
D
N
σz =
N , A
Veszélyes pontok: a keresztmetszet kerületén lévő pontok ( R = D / 2 ). Redukált feszültség:
- σ red = σ z2 + βτ ϕ2z
82
z
l
A rúd keresztmetszete kör, vagy körgyűrű lehet. Feszültségi állapot: ⎡0 0 0⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ F ⎥ = ⎢0 0 τ ϕ z ⎥ , ⎣ Rϕ z ⎦ ⎢0 τ σ z ⎥⎦ zϕ ⎣
- σ red ( Coulomb ) =
Mc
σz
⎛σ + ⎜ z 2 ⎝ 2 ⎧β = 3 , ⎨ ⎩β = 4
2
⎞ 2 ⎟ + τϕz , ⎠ Huber − Mises − Hencky ( HMH ),
Mohr.
τϕz =
Mc R. Ip
6.4. Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása
y
y S
x Mc
M hx
M hx
D
Mc z
l
A rúd keresztmetszete kör, vagy körgyűrű lehet. (Egyenes hajlítás) Feszültségi állapot: M ⎡0 0 0⎤ τϕz = c R , ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ IP ⎢ F ⎥ = ⎢0 0 τ ϕ z ⎥ ⎣ Rϕ z ⎦ ⎢0 τ σ z ⎥⎦ zϕ ⎣ Feszültségeloszlás:
σz =
y
y
M hx y. Ix y
A S M hx
τ xz
σz
x
Mc
B
σz
x
τ yz x
Veszélyes pontok: A, B Maximális feszültségek: σ z max =
M hx D M hx = , Ix 2 Kx
Kör és körgyűrű keresztmetszet esetén: I p = 2 I x
τ ϕ z max = ⇒
Mc D Mc = . Ip 2 Kp
K p = 2K x .
⎧ β = 3 HMH , Redukált feszültség: σ red = σ z2 + βτ ϕ2z , ⎨ ⎩ β = 4 Mohr. σ red max = σ red ( A ) = σ red ( B ) .
σ red max = σ z2 max + βτ ϕ2z max =
M hx2 β M c2 M red + = , K x2 Kx 4 K x2
M red = M hx2 +
β 4
M c2 .
83
6.5. Ferde hajlítás y
G Ferde hajlítás esetén az M S nyomatékvektor nem párhuzamos egyik S ponti tehetetlenségi főtengellyel sem. G G G M S = ( M hx ex − M hy ey ) .
G MS
S
x
Az x, y tengelyek a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei. Tehetetlenségi főtengely: I xy = I yx = 0 .
Ferde hajlítás ≡ két egyenes hajlítás szuperpozíciója (összege). Feszültségi állapot:
Zérusvonal: σ z = 0 =
M hx Ix
σ z = σ z′ + σ z′′ ,
⎡0 0 0 ⎤ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 σ z ⎥⎦ M hy M hy I x y+ x, y = − x Iy M hx I y
σz =
M hy M hx y+ x Ix Iy
- a zérusvonal nem párhuzamos a
nyomatékkal. Feszültségeloszlás: Veszélyes pontok: A, B (a keresztmetszeten zérusvonaltól legtávolabb lévő pontok).
B S
M hy A
η
y
zérusvonal
σ z′
σ z′′
y
x
M hx
y
σ z′
σ z′′
G MS x
ξ
x
η
σz
6.6. Nyírás és hajlítás A nyírás rúdszerkezeteknél általában hajlítással együtt lép fel. A nyírás és hajlítás kapcsolata: z d M hx ( z ) = −Ty ( z ) , M hx ( z ) − M hx ( z = 0 ) = − ∫ Ty (ζ ) d ζ dz ζ =0 Közelítő megoldás: a) σ z úgy számítható, mint tiszta hajlításnál. b) x, y a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei. G c) a τ z feszültségek az y tengelyen egy pontban metsződnek. d) az x tengellyel párhuzamos egyenes mentén a τ yz állandó. A feszültségek kiszámítása:
84
O
y
y
A′( y )
Ty > 0
τ yz = áll.
a( y )
y x S
S
Ty
Közepes nyírófeszültség: τ köz =
Ty A
M hx y, Ix
σz =
τ yz = − y x
Ty S x ( A′ )
G
.
Ix a( y)
τ xz a τ z irányából határozha-
Ty
tó meg.
.
⎡0 0 τ xz ⎤ ⎢ ⎥ 0 τ yz ⎥ . A feszültségi tenzor: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ ⎣ ⎦
y
A τ yz számítása téglalap keresztmetszetű rúdnál:
τ yz ( y ) = −
6 Ty ⎛ 1 y 2 ⎞ ⎜ − ⎟ − parabola, A ⎝ 4 b2 ⎠
A=a b,
y
S
b
y
τ yz
x
Ty > 0
3 2
τ yz max = τ köz .
a
⎞ 4 Ty 4 ⎛ d 2 − y 2 ⎟ − parabola, τ yz ( y ) = − 2 ⎜ 3 A d ⎝ 4 ⎠ d 2π A= , 4 4 τ yz max = τ köz . 3
y
y
A τ yz számítása kör keresztmetszetű rúdnál:
a(y )
ϕ
G
τ z (y, z )
y
S ϕ Ty > 0
τ yz x
d
6.7. Gyakorló feladatok rudak összetett igénybevételeire 6.7.1. feladat: Húzás-nyomás és egyenes hajlítás
20 80
20
y
C
S
y x
20 60
D
A
Adott:
F1 K
B F2
e e
z
F1 = 80 kN , F2 = 120 kN , e = 250 mm , σ meg = 100 MPa
85
Feladat: a) Az AB rúdszakasz igénybevételi ábráinak megrajzolása. b) Feszültségeloszlás megrajzolása a K keresztmetszeten. c) A σ z feszültség meghatározása a C , S és a D pontokban. d) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra. Kidolgozás: a) Az AB rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása: y z Veszélyes keresztmetszet: a rúd AB szakaA K B sza azonos mértékben veszélyes. N [kN ] 200 z 200
M hx [kNm]
z
− 10
− 10
b) Feszültségeloszlás megrajzolása a K keresztmetszeten:
C
S
E
y
y
y
σ ′z′
σ ′z
x
N M hx y = σ z′ + σ z′′ , + A Ix N = 200 kN=állandó , M hx = −10 kNm=állandó .
y
σ z ( y) =
σz
Veszélyes pontok: az ED szakasz minden pontja azonos mértékben veszélyes
D
c) A σ z feszültség meghatározása a C , S és a D pontokban: A keresztmetszeti jellemzők: A = 60 ⋅ 120 − 80 ⋅ 40 = 4000 mm 2 , A feszültségek: σ z ( S ) =
N M hx + A Ix
60 ⋅ 1203 20 ⋅ 803 −2 = 6, 933 ⋅ 106 mm 4 . 12 12 200 ⋅ 103 = 50 MPa , yS = 4000 Ix =
200 ⋅ 103 −107 N M hx + + 60 = yC = 4000 6, 933 ⋅ 106 A Ix = 50 − 86, 54 = −36, 54 MPa ,
σ z (C ) =
N M hx 200 ⋅ 103 −107 + yD = + (−60) = A Ix 4000 6, 933 ⋅ 106 = 50 + 86, 54 = 136, 54 MPa .
σ z ( D) =
d) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra:
86
A tartó szilárdsági szempontból megfelel, ha a veszélyes keresztmetszet veszélyes pontjában σ z max ≤ σ meg . A veszélyes pontokban a feszültség: σ z max = σ z ( D) = σ z ( E ) = 136, 54 MPa . A tartó nem felel meg, mert a σ z max ≤ σ meg egyenlőtlenség nem teljesül. Itt σ z max = 136, 54 MPa > σ meg = 100 MPa , tehát a tartó szilárdsági szempontból nem felel meg. 6.7.2. feladat: Húzás-nyomás és egyenes hajlítás y
I 400 MSz 325 − 51 η
ξ
C 4m
s
A
2,5 m
D F
B
3m
z
Adott: F = 20 kN , σ F = R p 0,2 = 160 MPa ,
nF = 2, 5 . Az I 400-as szelvény keresztmetszeti jellemzői szabványból: A = 118 cm 2 , Iξ = 29 210 cm 4 , Kξ = 1460 cm3 .
Feladat: a) Az ABCD rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása. b) Feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten, a veszélyes pont meghatározása. c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra. Kidolgozás: a) Az ABCD rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása:
A N 20
η
B
[kN]
20
C
20
D
s
20 s
Tη [kN ] 20
20 80kNm M hξ [kNm ] 80
s
80
s
Veszélyes keresztmetszet: az AB rúdszakasz minden keresztmetszete. b) Feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten:
87
η
η
η
η
Q
P
ξ
400
σ ′z
σ ′′z
σz
Veszélyes pontok: a PQ vonalszakasz minden pontja c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra: Megfelel a tartó, ha a veszélyes keresztmetszet veszélyes pontjaiban: R σ z max ≤ p 0,2 . nF A veszélyes pontban a feszültség: σ z max = σ z′ max + σ z′′max ,
σ z′ max =
M hξ N , illetve σ z′′max = . A Kξ
Behelyettesítve: σ z max =
N M hξ 20 ⋅ 103 80 ⋅ 106 + = + = 1, 69 + 54, 79 = 56, 48 MPa . 118 ⋅ 102 1460 ⋅ 103 A Kξ
A megengedett legnagyobb feszültség: σ meg = A tartó megfelel, mert σ z max
R p 0, 2
= 64 MPa . nF ≤ σ meg , vagyis 56, 48 < 64 .
6.7.3. feladat: Húzás-nyomás és csavarás y
y
F1 x
Adott: F1 = 5 kN , F2 = 20 kN ,
F1
F2
B
A F1 ∅D
F1
∅d
z
d = 80 mm , D = 1, 2 m , R p 0,2 = 180 MPa , nF = 1, 5 .
l
Feladat: a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása. b) A feszültségeloszlás megrajzolása a z = l / 2 helyen, a veszélyes pontok meghatározása. c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra. Kidolgozás: a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása:
88
y B
A N
z
A M c csavaró nyomaték nagysága: M c = D F1 = 1, 2 ⋅ 5 = 6 kNm .
z
Veszélyes keresztmetszet: a tartó minden keresztmetszete azonos mértékben veszélyes.
[kN]
20
20
M c [kNm] 6
6 z
b) A feszültségeloszlás megrajzolása a z = l / 2 helyen, a veszélyes pontok meghatározása: y y y d Veszélyes pontok: a palást pontjai ( R = ). Mc > 0 2 τ xz σz x S
σz
x
τ yz
x
c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra: Megfelel a tartó, ha a veszélyes keresztmetszet veszélyes pontjaiban: σ 180 σ red maxσ meg = F = = 120 MPa . nF 1, 5 Keresztmetszeti
jellemzők:
A=
d 2π 802 π = = 5026, 5 mm 2 , 4 4
d 3π 803 π = = 100, 53 ⋅ 103 mm3 . 16 16 A feszültségi koordináták a palást pontjaiban ( R = D / 2 ): M N 20 ⋅ 103 6 ⋅ 106 σz = = = 59, 68 MPa . = 3, 98 MPa , τ zy max = c = A 5026, 5 K p 100, 53 ⋅ 103 Kp =
A σ red max Mohr szerint:
σ red max = σ red ( P) = σ z2 + β τ yz2 max = 3, 982 + 4 ⋅ 59, 682 = 119, 43 MPa . A tartó Mohr elmélet szerint megfelel, mert σ red max = 119, 43 MPa < σ meg = 120 MPa teljesül. A σ red max Huber-Mises-Hencky szerint:
σ red max = σ red ( P) = σ z2 + β τ yz2 max = 3, 982 + 3 ⋅ 59, 682 = 103, 45 MPa A tartó Huber-Mises-Hencky szerint megfelel, mert
89
σ red max = 103, 45 MPa < σ meg = 120 MPa teljesül. 6.7.4. feladat: Csavarás és egyenes hajlítás Adott: egy körgyűrű keresztmetszetű tartó veszélyes kereszty metszetének igénybevétele: G G G G G M S = ( M c ez + M hx ex ) = (800ez − 600ex ) Nm , valamint M hx x D = 2 d , σ meg = 80 MPa . S ∅d Feladat: a) Feszültségeloszlások rajzolása a keresztmetszet x és y tengelye mentén, valamint a veszélyes pont(ok) meghatározása. b) Az M red redukált nyomaték meghatározása. c) A keresztmetszet méretezése Mohr elmélet szerint.
Mc
∅D
Kidolgozás: a) Feszültségeloszlások rajzolása a keresztmetszet x és y tengelye mentén, valamint a veszélyes pont(ok) meghatározása: M y y y σ z = hx y , A Ix Mc −M c M hx σz τ xz τ xz = I y, τ zy = I x x S p p
Mc B
σz
τ yz
Veszélyes pontok: - hajlításból az A és B pont, - csavarásból a palást valamennyi pontja, - hajlításból és csavarásból együttesen az A és B pont veszélyes. Tehát a keresztmetszet méretezését az A, vagy B pontbeli redukált feszültségek figyelembevételével kell elvégezni.
x x
b) Az M red redukált nyomaték meghatározása: 2
σ red max == σ z2 + β τ xz2
⎛M ⎞ = ⎜ hx ⎟ + β ⎝ Kx ⎠
Mohr szerint β = 4 : M red = M hx2 +
⎛M ⎜⎜ c ⎝ Kp
β 4
M hx2 +
2
⎞ ⎟⎟ = ⎠
M c2 =
β
Kx ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
602 +
4
M c2
=
M red . Kx
4 2 ⎞⎟ 4 80 ⎟ 10 = 1000 Nm . ⎟ 4 ⎠
Huber-Mises-Hencky szerint β = 3 : M red = M hx2 +
β 4
M c2 =
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
602 +
3 2 ⎞⎟ 4 80 ⎟ 10 = 916, 5 Nm . ⎟ 4 ⎠
c) A keresztmetszet méretezése Mohr szerint: A tartó megfelel, ha σ red max ≤ σ meg ,
90
⇒
M red ≤ σ meg . Kx
Ebből K x ≥
M red
σ meg
.
Mivel D = 2 d , ezért K x =
( D 4 − d 4 ) π 2 (16 − 1) d 4 π 15 3 = = d π D 64 64 d 64
A méretezési egyenlőtlenségből: d ≥
⇒
3
64 M red = 15 π σ meg
3
64 106 = 25, 7 mm , 15 π 80
D = 51, 4 mm .
Szabványos külső átmérőt választva (MSz 4337-64): D = 60 mm és d = 30 mm.
6.7.5. feladat: Húzás-nyomás és egyenes hajlítás
5kN
y A
∅ 300
C
B
z
Adott: A kör keresztmetszetű kéttámaszú tartó méretei és σ meg = R p 0,2 = 160 MPa ,
E = 2 ⋅ 105 MPa . Feladat: a) Az ACB rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes ke200 400 resztmetszet meghatározása. b) A feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten. c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra. d) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása. Kidolgozás: a) Az ACB rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása: y M = −5 ⋅ 0,15 = −0, 75 kNm 1, 25 kN
A
N Ty
5 kN
[kN]
C
0,75 kNm
c
5 kN z
B
5
[kN]
1,25 kN
FBy = −1, 25 kN ,
5
z
M b = 0 = FAy 0, 6 − 0, 75 , FAy = 1, 25 kN ,
0,75 kNm
1,25
M a = 0 = −0, 75 − FBy 0, 6 ,
1, 25
z
∑F
= 0 = −5 + FBx , FBx = 5 kN . x
M hx [kNm ]
0,5
z
Veszélyes keresztmetszet a C + .
0, 25
b) Feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten:
91
y
y
y
Veszélyes pont: P .
y
P S
σ ′z
x
σ ′z′
σz
c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra: A tartó megfelel, ha a veszélyes keresztmetszet veszélyes pontjaiban σ z max ≤ σ meg .
σ z max = σ z′ max + σ z′′max =
N M hx , + A Kx
d2 π d3 π Kx = , . 4 32 A keresztmetszeti jellemzőket a méretezési egyenlőtlenségbe behelyettesítve: 4 N 32 M hx + 3 ≤ σ meg . Ez a d ismeretlenre nézve harmadfokú egyenlet. d2 π d π
a keresztmetszeti jellemzők: A =
A harmadfokú egyenlet megoldása helyett a tartót először csak hajlításra méretezzük, majd a kapott méretet megnövelve hajlításra és húzásra ellenőrizzük: 32 M hx ≤ σ meg d3 π
⇒
d3
32 M hx
σ meg π
=
3
32 ⋅ 0, 5 ⋅ 106 = 33, 96 mm . 160 π
Az átmérőre egy ennél nagyobb szabványos d értéket (MSz 4337-64) választva, legyen: d = 36 mm . Ezzel az átmérővel a keresztmetszeti jellemzők: A =
362 π = 1 017, 88 mm 2 , 4
363 π 364 π = 4 580, 44 mm3 , I x = = 82 447, 96 mm 4 . 32 64 A rúd ellenőrzése húzásra és hajlításra: N M 5 ⋅ 103 0, 5 ⋅ 106 + = 4, 91 + 109,16 = 114, 07 MPa . σ z max = + hx = A K x 1017, 88 4580, 44
Kx =
A rúd megfelel, mivel σ z max ≤ σ meg , vagyis 114, 07 < 130 . d) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása: U = U húz. + U hajl. + U nyír. . A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagolva: 1 N2 1 M2 U= ∫ dz + ∫ hx dz = 2 (l ) A E 2 (l ) I x E =
92
1 N 2 lCB 1 l AC ⎧ 2 2⎫ ⎨ 0 + 4 [ M hx (0,1)] + [ M hx (0, 2)] ⎬ + + ⎩ ⎭ 2 AE 2 Ix E 6
+
1 lCB (5 ⋅ 103 ) 2 ⋅ 0, 4 ⋅ 103 2 2 [ (0 , 2)] + 4 [ (0 , 4)] + 0 = M M { hx } 2 ⋅1017, 88 ⋅ 2 ⋅105 + hx 2 Ix E 6
1 0, 2 ⋅ 103 ⎡ 6 2 6 2⎤ ⎢ 0 + 4 ⋅ ( −0,125 ⋅ 10 ) + ( −0, 25 ⋅ 10 ) ⎥ + 5 ⎣ ⎦ 2 ⋅ 82447, 96 ⋅ 2 ⋅ 10 6 1 0, 4 ⋅ 103 ⎡⎣(0, 5 ⋅ 106 ) 2 + 4 (⋅0, 25 ⋅ 106 ) 2 + 0 ⎤⎦ = + 5 2 ⋅ 82447, 96 ⋅ 2 ⋅ 10 6 = 24, 56 + 63,17 + 505, 37 = 593,1 Nmm = 0,5931 J . +
6.7.6. feladat: Csavarás és egyenes hajlítás Adott: y A d átmérőjű rúd igénybevételi A B C z ábrái és a rúd anyagának σ meg = 120 MPa megengedett M hx [kNm] 6 feszültsége. z Feladat: a) A veszélyes keresztmetszet M hy [kNm] z meghatározása és a feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten. −8 M c [kNm] b) A Mohr szerinti redukált nyomaték meghatározása a ve12 12 szélyes keresztmetszeten. z c) A rúd méretezése Mohr szerint. Kidolgozás: a) A veszélyes keresztmetszet meghatározása és a feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten: A veszélyes keresztmetszet: B . A σ z ( x, y ) feszültségeloszlás zérusy y y y vonala: M hy < 0 M M σ z ( x, y ) = hx y + hy x = 0 . M hx > 0 ′′ τ ′ σ σ x xz z z Ix Iy S Mivel I x = I y , ezért a zérusvonal
Mc
σ ′z
σ ′′z τ yz
x x x
egyenlete: y = −
M hy
x. M hx A keresztmetszet veszélyes pontjai: - csavarásból az R = d / 2 pontok, - hajlításból a zérusvonaltól legtávolabb levő két pont. A zérusvonal párhuzamos az G G G M h = M hx ex − M hy ey nyomatékvektorral ⇒ egyenes hajlítás.
93
b) A Mohr szerinti redukált nyomaték meghatározása a veszélyes keresztmetszeten:
M red = ( M hx2 + M hy2 ) +
β
M c2 = 62 + 82 + 122 = 15, 62 kNm .
4 c) A rúd méretezése a Mohr elmélet szerint: A tartó megfelel, ha: σ red max ≤ σ meg .
A veszélyes pontban a feszültség: σ red max = 32 M red ≤ σ meg d3 π
⇒
d3
32 M red
σ meg π
M red , Kx
=3
Kx =
d3 π . 32
32 ⋅ 15, 62 ⋅ 106 = 109, 86 mm . 120 π
Szabványos (MSz 4337-64) d értéket választva, a rúd átmérője: d = 110 mm .
6.7.7. feladat: Ferde hajlítás Adott: y A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele: B G G G M S = (160 ex − 100 ey ) kNm , a = 25 mm , b = 50 mm . x Feladat: b S G a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok MS meghatározása. C a A b) A feszültségállapot meghatározása az A , B és C pontokban. c) A zérusvonal egyenletének meghatározása. Kidolgozás: a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok meghatározása: y y y Feszültségeloszlás: M B M σ z ( x, y ) = σ z′ + σ z′′ = hx y + hy x . Ix Iy σ z′ σ z′′ x S Veszélyes pontok a B és C .
G MS
A x
C σ z′
x
σ z′′ b) A feszültségállapot meghatározása az A , B és C pontokban: Keresztmetszeti jellemzők: 2 I y 50 ⋅ 252 2I 25 ⋅ 502 = 10417 mm 3 = = 5208 mm 3 . Ky = Kx = x = 6 6 a b A keresztmetszet igénybevétele ferde hajlítás: M hx = 160 Nm , M hy = 100 Nm .
94
A σ z feszültség a keresztmetszet tetszőleges P pontjában: σ z =
M hy M hx yP + xP . Ix Iy
Feszültségállapot az A , B és C pontokban: M M M M 160 ⋅ 103 100 ⋅ 103 + = 3,84 MPa , σ z ( A) = hx y A + hy xA = − hx + hy = − Ix Iy Kx Ky 10417 5208 0 ⎤ ⎡0 0 ⎢ ⎡F ⎤ = 0 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎣ A⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 3, 84 ⎥⎦
y
F ( A)
x
A
3,84 z
σ z ( B) =
[MPa]
M hy M hy 160 ⋅ 103 100 ⋅ 103 M hx M = + = 34,56 MPa , yB + xB = hx + 10417 5208 Ix Iy Kx Ky
0 ⎤ ⎡0 0 ⎢ ⎡F ⎤ = 0 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎣ B⎦ ⎢ ⎢⎣0 0 34, 56 ⎥⎦
y
F ( B)
[MPa] x
B
34,56
z
σ z (C ) =
M hy M hy M hx M 160 ⋅ 103 100 ⋅ 103 =− − = −34,56 MPa yC + xC = − hx − 10417 5208 Ix Iy Kx Ky 0 ⎤ ⎡0 0 ⎢ ⎡F ⎤ = 0 0 0 ⎥⎥ MPa ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 −34, 56 ⎥⎦
y
F (C )
−34,56
[MPa ] x
C
z
c) A zérusvonal egyenletének meghatározása: M M σ z = hx y + hy x = 0 . Ix Iy
y=−
M hy I x M hy K x b 100 10417 50 x = −2, 5 x . x=− x =− 160 5208 25 M hx I y M hx K y a
y = −2,5 x
y
S
x
G MS
95
6.7.8. feladat: Excentrikus húzás-nyomás Adott: a z F = 6 MN = 6 ⋅ 106 N , a = 1, 2 m, b=2,5 m , b xE E = ( 0, 8;−0, 4; l ) m , B = (1, 2; 0; 0 ) m , l = 3 m , S F C = ( 0; 0, 5; 0 ) m , D = (1, 2; 0, 5; 0 ) m . yE E Feladat: a) A z = 0 keresztmetszeten a rúd igénybevételének, a keresztmetszet jellemzőinek, illetve az l S , B , C és a D pontokban a feszültségeknek a meghatározása. S C b) A zérusvonal egyenletének a felírása és a veszélyes pont meghatározása. BD y c) Feszültségeloszlás megrajzolása az x és az y tengelyek mentén, valamint. x d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása. e) Az önsúlyt figyelembe véve az a) és d) feladat megoldása, ha ρ = 8600 kg/m 3 . Kidolgozás: a) A z = 0 keresztmetszeten a rúd igénybevételének, a keresztmetszet jellemzőinek, illetve az S , B , C és a D pontokban a feszültségeknek a meghatározása: A keresztmetszet igénybevétele: N = − F = −6 ⋅ 106 N , M hx = − F yE = −6 ⋅ 106 (−0, 4) = 2, 4 ⋅ 106 Nm ,
M hy = − F xE = −6 ⋅ 106 ⋅ 0, 8 = −4, 8 ⋅ 106 Nm . A keresztmetszet geometriai jellemzői: A = a b = 1, 2 ⋅ 2, 5 = 3 m 2 ,
a b3 1, 2 ⋅ 2, 53 = = 1, 5625 m 4 . 12 12 M hy N M hx y+ x, Feszültség számítás: σ z = σ z′ + σ z′′ + σ z′′′ = + A Ix Iy Ix =
b a 3 2, 5 ⋅ 1, 23 = = 0, 36 m 4 , 12 12
Iy =
σ z (S ) =
M hy −6 ⋅ 106 N M hx + = −2 MPa , yS + xS = 3 ⋅ 106 A Ix Iy
σ z ( B) =
M hy −6 ⋅ 106 −4, 8 ⋅ 109 N M hx + + 1, 2 ⋅ 103 = yB + xB = 3 ⋅ 106 1, 5625 ⋅ 1012 A Ix Iy
= −2 − 3, 69 = −5, 69 MPa , M −6 ⋅ 106 2, 4 ⋅ 109 N M + 0, 5 ⋅ 103 = σ z (C ) = + hx yC + hy xC = 6 12 3 ⋅ 10 0, 36 ⋅ 10 A Ix Iy = −2 + 3, 33 = 1, 33 MPa , M N M −6 ⋅ 106 −4, 8 ⋅ 109 2, 4 ⋅ 109 3 σ z ( D) = + hx yD + hy xD = 1 2 10 0, 5 ⋅ 103 = + , ⋅ + 3 ⋅ 106 1, 5625 ⋅ 1012 0, 36 ⋅ 1012 A Ix Iy = −2 − 3, 69 + 3, 33 = −2, 36 MPa .
96
b) A zérusvonal egyenletének a felírása és a veszélyes pont meghatározása: M N M x σ z = σ z′ + σ z′′ + σ z′′′ = + hx y + hy x = 0 , zérusvonal A Ix Iy V E 1 I x xE I x N I x M hy I x xE − − y=− x=− x, M hx A M hx I y yE A yE I y y
S
1 0, 36 0, 8 0, 36 y=− − x, −0, 4 3 −0, 4 1, 5625
yE
Zérusvonal egyenlete: y = 0, 3 + 0, 4608 x . Veszélyes pont: V – a keresztmetszet zérusvonaltól legtávolabb lévő pontja. c) Feszültségeloszlás megrajzolása az x és az y tengelyek mentén:
x
x
x
x
x
V
y
S
y
σ ′z
y
σ ′z′
y
y
σ ′z
σ ′z′
σ ′z′′
σz
σ ′z′′ σz
d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása: M N M σ z max = σ z (V ) = σ z′ (V ) + σ z′′ (V ) + σ z′′′(V ) = + hx yV + hy xV , A Ix Iy −6 ⋅ 106 −4, 8 ⋅ 106 2, 4 ⋅ 106 + 1, 25 + (−0, 6) = 3 1, 5625 0, 36 = −2 ⋅ 106 − 3, 84 ⋅ 106 − 4 ⋅ 106 = −9, 84 ⋅ 106 Pa = −9, 84 MPa .
σ z max =
e) Az önsúlyt figyelembevéve az a ) és d ) feladat megoldása: Terhelés az önsúlyból: N g = −G = − ρ g l a b = −8600 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 1, 2 ⋅ 2, 5 = −774000 N . Az igénybevételek: N = − F + N g = −6 ⋅ 106 − 774000 = −6, 774 ⋅ 106 N . Az M hx -et és az M hy -t nem változtatja meg az önsúly figyelembevétele. A feszültségek:
97
σ z (S ) =
M hy −6, 774 ⋅ 106 N M hx + = −2, 258 MPa , yS + xS = 3 ⋅ 106 A Ix Iy
σ z ( B) =
M hy −6, 774 ⋅ 106 −4, 8 ⋅ 109 N M hx + + 1, 2 ⋅ 103 = yB + xB = 3 ⋅ 106 1, 5625 ⋅ 1012 A Ix Iy
= −2, 258 − 3, 69 = −5, 948 MPa , M −6, 774 ⋅ 106 2, 4 ⋅ 109 N M + 0, 5 ⋅ 103 = σ z (C ) = + hx yC + hy xC = 3 ⋅ 106 0, 36 ⋅ 1012 A Ix Iy = −2, 258 + 3, 33 = 1, 072 MPa , M N M σ z ( D) = + hx yD + hy xD = A Ix Iy −6, 774 ⋅ 106 −4, 8 ⋅ 109 2, 4 ⋅ 109 3 + 1 , 2 ⋅ 10 + 0, 5 ⋅ 103 = 3 ⋅ 106 1, 5625 ⋅ 1012 0, 36 ⋅ 1012 = −2, 258 − 3, 69 + 3, 33 = −2, 618 MPa . Veszélyes pont: változatlanul a V. A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség a meghatározása: M N M σ z max = σ z (V ) = σ z′ (V ) + σ z′′ (V ) + σ z′′′(V ) = + hx yV + hy xV , A Ix Iy =
σ z max =
−6, 774 ⋅ 106 −4, 8 ⋅ 106 2, 4 ⋅ 106 + 1, 25 + (−0, 6) = 3 1, 5625 0, 36
= −2, 258 ⋅ 106 − 3, 84 ⋅ 106 − 4 ⋅ 106 = −10, 098 ⋅ 106 Pa = −10, 098 MPa . 6.7.9. feladat: Nyírás és hajlítás
D
b
C S G F a
Adott: G G F = (−30 ey ) kN , a = 20 mm ,
G F
y
y
z G x MS l
b = 60 mm , l = 50 mm , yC = 20 mm .
Feladat: a) A rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása és a veszélyes keresztmetszet meghatározása.
b) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a veszélyes keresztmetszeten. c) A feszültségállapot meghatározása a veszélyes keresztmetszeten a D , C és az S pontokban. d) A Mohr szerinti σ red redukált feszültség meghatározása a veszélyes pontokban. Kidolgozás: a) A rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása és a veszélyes keresztmetszet meghatározása:
98
A
y
Veszélyes keresztmetszet a befalazás helye: A.
B z
A veszélyes keresztmetszet igénybevétele: - x tengely körüli hajlítás: M hx = 1, 5 kNm , - y irányú nyírás: Ty = 30 kN .
l Ty [ kN ] 30
30 z
A keresztmetszet x tengelyre számított másodrendű nyomatéka: a b3 20 ⋅ 603 = = 0, 36 ⋅ 106 mm 4 . Ix = 12 12
1,5kNm M hx [ kNm ] 1,5
z
b) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a veszélyes keresztmetszeten: y y y σ = M hz y , y x H D B Iz b
J
C yC S G MG K x S F
σz
τ yz
τ xz
τ yz = −
Ty S x ( y )
=−
I x a( y)
Ty
2I
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜ x ⎝
⎞ b2 ⎟ − y 2 ⎟⎟ . ⎟ 4 ⎠
Veszélyes pontok: Hajlításból a BDH és EG egyenes pontjai, nyírásból az x tengely, azaz a JSK E G a egyenes pontjai. c) A feszültségállapot meghatározása a veszélyes keresztmetszeten a D , C és az S pontokban: M y A D pontban: τ yz ( D) = 0 , σ z ( D) = hx yD , [MPa ] FD Ix
σ z ( D) =
1, 5 ⋅ 106 30 = 125 MPa . 0, 36 ⋅ 106
⎡0 0 0 ⎤ ⎡ F ⎤ = ⎢ 0 0 0 ⎥ MPa . ⎥ ⎣ D⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 125⎥⎦
z
A C pontban: 3 T ⎛ 4 y2 ⎞ τ yz (C ) = − y ⎜1 − 2C ⎟ = b ⎠ 2A⎝ 3 ⋅ 30 ⋅ 103 ⎛ 4 ⋅ 202 ⎞ =− ⎜1 − ⎟ = −20, 83 MPa , 2 ⋅ 20 ⋅ 60 ⎝ 602 ⎠
σ z (C ) =
M hx 1, 5 ⋅ 10 20 = 83, 33 MPa . yC = 0, 36 ⋅ 106 Ix
x
D 125
y FD
−20,83
D
[MPa]
x
6
z
83,33
0 0 ⎤ ⎡0 ⎡ F ⎤ = ⎢0 −20, 83⎥⎥ MPa . 0 ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 −20, 83 83, 33 ⎥⎦
99
y
Az S pontban: σ z ( S ) = 0 , 3T 3 ⋅ 30 ⋅ 103 = −37, 5 MPa , τ yz ( S ) = − y = − 2A 2 ⋅ 20 ⋅ 60
FD
0 0 ⎤ ⎡0 ⎡ F ⎤ = ⎢0 −37, 5⎥⎥ MPa . 0 ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 −37, 5 0 ⎥⎦
−37,5
[MPa]
x
D
z
d) A Mohr szerinti σ red redukált feszültség meghatározása a veszélyes pontokban.
σ red = σ z2 + β τ yz2 = σ z2 + 4 τ yz2 . A BDH és EG egyenes mentén csak hajlításból származó feszültség ébred: τ yz ( y = ±b / 2) = 0 . ⇒ σ red = σ z max = σ z ( D) = 125 MPa . A JSK egyenes mentén csak nyírásból származó feszültség ébred: σ z ( y = 0) = 0 . ⇒ σ red = 2 | τ yz max |= 2 | τ yz ( S ) |= 2 ⋅ 37, 5 = 75 MPa . A keresztmetszeten a redukált feszültség maximuma: σ red max = 125 MPa . 6.7.10. feladat: Nyírás és hajlítás y
12 10
30
A GB MS
öv
C
G F S 10
10
x gerinc
G G Adott: a keresztmetszet méretei és F = (25 e y ) kN , G G M S = (−ex ) kNm .
Feladat: a) A feszültségeloszlások megrajzolása. b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A , B , C és S pontjában.
öv
30
Kidolgozás: a) A feszültségeloszlások megrajzolása:
y
y
σz
x S
ξ τ xz
100
y
ξ
τ yz
T S ( y) M hx y, τ yz = − y x , I x a( y) Ix Ebben az esetben M hx < 0 és Ty < 0 .
σz =
τ xz = −
Ty S x ( x) I x a ( x)
.
A τ feszültség nyílfolyama a szelvény középvonala mentén folytonos ⇒ ebből adódik ki a τ xz feszültség előjele. A τ yz eloszlásban a szakadás abból adódik, hogy a gerincben a = 10 mm, az övben pedig a = 30 mm. A keresztmetszet sraffozott tartományaiban a τ feszültségek nagysága bizonytalan.
b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A , B , C és S pontjában: Az I x másodrendű nyomaték: I x =
30 ⋅ 503 20 ⋅ 303 − = 267, 5 ⋅ 103 mm 4 . 12 12
- Az A pontban:
τ yz ( A) = 0 , σ z ( A) = τ xz ( A) = − τ xz ( A) = −
Ty S x ( x A ) Ix v
M hx −106 25 = −93, 46 MPa , yA = 267, 5 ⋅ 103 Ix
,
S x ( x A ) = 10 ⋅ 10 ⋅ 20 = 2000 mm3 ,
v = 10 mm ,
25 ⋅ 103 ⋅ 2000 = −18, 69 MPa , 267, 5 ⋅ 103 ⋅ 10
0 −18, 69 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎡F ⎤ = 0 0 0 ⎥⎥ MPa, ⎣ A⎦ ⎢ ⎢⎣ −18, 69 0 −93, 46 ⎥⎦
σ red ( A) = σ z2 + 4 τ xz2 =
y FA
−18, 69 x
−18, 69 z
[MPa ]
−93, 46
= 93, 46 + 4 ⋅ 18, 69 = 100, 65 MPa . - A B pontban: M −106 15 = −56, 07 MPa , τ yz ( B ) = 0 , σ z ( B ) = hx yB = 267, 5 ⋅ 103 Ix T S (x ) τ xz ( B ) = y x B , S x ( xB ) = 10 ⋅ 3 ⋅ 20 = 600 mm3 , v = 10 mm , Ix v 2
τ xz ( B ) = −
2
25 ⋅ 103 ⋅ 600 = −5, 61 MPa , 267, 5 ⋅ 103 ⋅ 10
101
0 −5, 61 ⎤ ⎡ 0 ⎡F ⎤ = ⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa, ⎣ B⎦ ⎢ ⎢⎣ −5, 61 0 −56, 07 ⎥⎦
y
−5, 61
−5, 61
σ red ( B ) = σ + 4 τ = 2 z
[MPa ]
FB
2 xz
2
x
−56, 07
z
= 56, 07 + 4 ⋅ 5, 69 = 57,19 MPa . 2
- A C pontban:
τ xz (C ) = 0 . τ yz (C ) = −
Ty S x ( yC )
Ix a σ z (C ) = σ z ( B) = −56, 07 MPa ,
=−
−25 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 30 ⋅ 20 = 56, 07 MPa , 267, 5 ⋅ 103 ⋅ 10 y
0 0 ⎤ ⎡0 ⎢ ⎡F ⎤ = 0 0 56, 07 ⎥⎥ MPa, ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 56, 07 −56, 07 ⎥⎦
FC
[MPa ]
56, 07 56, 07
σ red (C ) = σ z2 + 4 τ yz2 = z
. = 56, 07 2 + 4 ⋅ 56, 07 2 = 125, 38 MPa - Az S pontban: σ z ( S ) = 0 , τ xz ( S ) = 0 ,
τ yz ( S ) = −
x
−56, 07
Ty S x ( yS ) Ix a
.
S x ( yS ) = 10 ⋅ 30 ⋅ 20 + 15 ⋅ 10 ⋅ 7, 5 = 7125 mm3 ,
τ yz ( S ) = −
−30 ⋅ 103 ⋅ 7125 = 79, 91 MPa , 267, 5 ⋅ 103 ⋅ 10 y
0 0 ⎤ ⎡0 ⎡ F ⎤ = ⎢0 0 79, 91⎥⎥ MPa, ⎣ S⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 79, 91 0 ⎥⎦
FS
σ red ( S ) = σ z2 + 4 τ yz2 = 2 τ yz =
79,91
= 2 ⋅ 79, 91 = 159, 82 MPa
[MPa ] 79,91 x
z
A keresztmetszet veszélyes pontjai az x tengelyen vannak. 6.7.11. feladat: Nyomás és egyenes hajlítás Adott: y a = 40 mm, b = 60 mm, G G G G G MS x F = (−120 ez ) kN, M S = (4 ey ) kNm, G R p 0,2 = σ F = 390 MPa. S F z
b
a
102
Feladat: a) A rúd igénybevételeinek meghatározása. b) A zérusvonal egyenletének felírása. c) Feszültségeloszlás megrajzolása az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása. d) A legnagyobb feszültségek meghatározása. e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása. Megoldás: x a) A rúd igénybevételei: z A rúd nyomott: N = −120 kN. N <0
x
A rúd y tengely körül hajlított: M hy = −4 kNm.
z M hy < 0
b) A zérusvonal egyenlete: N M σ x = σ x, + σ x,, = + hy x = 0 A Iy
⇒
x=−
N Iy A M hy
c) Feszültségeloszlás az x, y tengelyek mentén: Veszélyes pontok: az AB oldalon lévő pontok. d) A legnagyobb feszültségek: N σ z′ = = −50 MPa, A M ⎛a⎞ σ z′′( x = a / 2) = hy ⎜ ⎟ = −250 MPa, Iy ⎝ 2 ⎠
σ z max = σ z ( x = a / 2) = 50 + 250 = 300 MPa.
⇒ x = −4 mm.
y M hy
A x
y
y
y
σ z′
σ z′′
σz
B
σ z′ x σ z′′
x
σz x e) A tényleges biztonsági tényező: R R p 0, 2 390 σ nt = σ z max ≤ jell = p 0,2 ⇒ = = 1, 3 . σ z max 300 n n 6.7.12. feladat: Ferde hajlítás
y
B
G MS x
S
b A
a
Adott: A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele: G G G M S = (160 ex + 100e y ) Nm, a = 25 mm, b = 50 mm.
C
Feladat: a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése. b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban. c) A zérusvonal egyenletének meghatározása.
103
Megoldás: a) Feszültségeloszlás és a veszélyes pontok:
y
Veszélyes pontok a B és C.
y
G MS
B
M hy < 0
σz
x
S M >0 hx
A
σz
C
x
b) Feszültségállapot az A, B és C pontokban: M M M M σ z ( A) = hx y A + hy xA = − hx + hy = 3,84 MPa, Ix Iy Kx Ky
σ z ( B) =
M hy M hy M hx M yB + xB = hz + = 34,56 MPa, Ix Iy Kz Ky
σ z (C ) =
M hy M hy M hx M yC + zC = − hz − = −34,56 MPa, Ix Iy Kz Ky
0 ⎤ 0 ⎤ 0 ⎤ ⎡0 0 ⎡0 0 ⎡0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎡F ⎤ = 0 0 0 ⎥ MPa, ⎡ F B ⎤ = ⎢ 0 0 0 ⎥ MPa, ⎡ F C ⎤ = ⎢0 0 0 ⎥⎥ MPa. ⎣ A⎦ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ 0 0 34, 56 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 −34, 56 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 3, 84 ⎥⎦
y
c) A zérusvonal egyenlete: M M σ z = hx y + hy x = 0 . Ix Iy y=−
G MS
B S
y = 2,5 x A
M hy I x M hy K x b x=− x, M hx I y M hx K y a
x C
y = 2,5 x . 6.7.13. feladat: Húzás-nyomás, csavarás
y
y
Adott: F = 117, 8 kN,
Mc F
F Mc
Mc
z P
S
∅d Feladat:
104
M c = 0, 9818 kNm, x d = 50 mm, G = 80 GPa, ν = 0, 3 .
a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása. b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása. c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kockán. d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban. e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban. Megoldás: a) A keresztmetszet területe és poláris másodrendű nyomatéka: d2 π d4 π = 1963, 5 mm4, I p = = 613, 6 ⋅ 103 mm 4 . A= 4 32 b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása:
y x
P Mc
y
y
σz
S
σz τ yz
τ xz
Veszélyes pontok: Húzásból veszélyes a keresztmetszet valamennyi pontja.
σz =
N . A
Csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő pontjai.
Mc R. Ip
x
τϕz =
x
Együttesen húzásból és csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő pontjai.
c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kockán: x ⎡0 0 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ [MPa ] ⎢ ⎥ FP ⎡ F ⎤ = 0 0 τ yz = ⎢ 0 0 −40 ⎥ MPa, ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ P⎦ ⎢ ⎢0 τ zy σ z ⎥ ⎢⎣ 0 −40 60 ⎥⎦ ⎣ ⎦ 60 M N z σ z = = 60 MPa, τ yz = c xP == −40 MPa. − 40 A Ip y d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban: −σ 0 0 det 0 −σ −40 = (−σ ) ⎡⎣ −60σ + σ 2 − 1600 ⎤⎦ = 0 0 −40 (60 − σ )
60 ± 3600 + 6400 60 ± 100 = . 2 2 A főfeszültségek: σ 1 = 80 MPa, σ 2 = 0 , σ 3 = −20 MPa. Redukált feszültség Coulomb szerint: σ red = σ 1 = 80 MPa . Redukált feszültség Mohr szerint: σ red = σ 1 − σ 3 = 100 MPa, vagy
σ 2 − 60σ − 1600 = 0 ,
σ 1,3 =
σ red = (σ x ) 2 + 4 τ xy2 = 100 MPa.
105
Redukált feszültség Huber-Mises-Hencky szerint:
σ red = (σ x )2 + 3 τ xy2 = 91, 65 MPa. e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban: ⎡ A ⎤ = 1 ⎡ F − ν FI E ⎤ , FI = σ x + σ y + σ z = 60 MPa, ⎥ ⎣ P ⎦ 2 G ⎢⎣ P 1 + ν ⎦
εz =
1 ⎡ ν 1 ⎡ ν ⎤ ⎤ −4 σz − FI ⎥ = 2, 88 ⋅ 10−4 , ε y = ⎢σ y − 1 + ν FI ⎥ = −0, 86 ⋅ 10 , 2 G ⎢⎣ 1 +ν 2 G ⎦ ⎣ ⎦
εx =
1 ⎡ ν 1 1 ⎡ ν ⎤ ⎤ τ xy σx − FI ⎥ = −0, 86 ⋅ 10−4 , γ yz = = −2, 5 ⋅ 10−4 , τ yz − FI ⋅ 0 ⎥ = ⎢ ⎢ 2G ⎣ 1 +ν + 2 2 1 ν 2 G G ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
ε
0
0
εy
1γ 2
1γ 2 zy
ε
⎡A ⎤ = 0 ⎣ P⎦ 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ yz ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ z ⎥ ⎦
0 0 ⎤ ⎡ −0,86 ⎢ =⎢ 0 −0, 86 −2, 5⎥⎥ 10 −4 . ⎢⎣ 0 −2, 5 2, 88 ⎥⎦
6.7.14. feladat: Excentrikus húzás-nyomás z b xD S
Adott:
a F
F = 10 MN = 107 N , D ( 0,3 ; 0, 6 ; l ) m , a = 1 m, b = 2 m
D yD
y l S x
Feladat: a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek meghatározása a z = 0 keresztmetszeten. b) A zérusvonal egyenletének felírása és a veszélyes pont meghatározása. c) Feszültségeloszlás az x és a y tengelyek mentén. d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása.
Megoldás: a) A rúd igénybevételei a z = 0 keresztmetszeten és a keresztmetszet jellemzők: A D pontban támadó erőt redukáljuk a keresztmetszet súlypontjába: a keresztmetszet igénybevétele nyomás és ferde hajlítás: N = − F = −107 N , M hx = − F yD = −6 ⋅ 106 Nm , M hy = − F xD = −3 ⋅ 106 Nm .
106
y M hy
D S
M hx 1m
x 2m
A keresztmetszet geometriai jellemzői: A = a b = 2 m 2 , b a3 a b3 = 0,1667 m 4 , I x = = 0, 6667 m 4 . 12 12 b) A zérusvonal egyenlete és a veszélyes pont: M N M σ x = σ x, + σ x,, + σ x,,, = + hx y + hy x = 0 , A Ix Iy Iy =
y=−
M hy I x N Ix , x− M hx I y M hx A
y yD D S xD
y = −2 x − 0, 5556 .
Veszélyes pont: V – a keresztmetszet zérusvonaltól legtávolabb lévő pontja.
M hy d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség: σ z max = σ z (V ) = σ z′ (V ) + σ z′′(V ) + σ z′′′(V ) = =
M hy
N M hx + yV + xV . A Ix Iy
σ z max = −23 MPa.
S
x
σ ′z
x
σ ′z′
x
x
zérusvonal
y
y
c) Feszültségeloszlás az x és a y tengelyek mentén:
V
σ ′z
y
σ ′z′
y
y
σ ′z′′
σz
M hx
σ ′z′′ σz
x x
6.7.15. feladat: Nyírás és hajlítás Adott: y A rúd egy keresztmetszetének méretei és igénybevételei: G G G G M S = ( 0,72ex ) kNm , F = (−24 ey ) kN , a = 40 mm , b = 60 mm . D Feladat: S a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) b x G MG meghatározása. S F b) A feszültségkoordináták felírása a D pontban az yD függvényében. a
c) A σ red redukált feszültség meghatározása Mohr szerint a veszélyes pontokban. d) A σ red redukált feszültség meghatározása Huber-Mises-Hencky szerint a veszélyes pontokban.
107
Megoldás: a) A feszültségeloszlások és a veszélyes pont(ok): A keresztmetszet igénybevétele: M hx = 0, 72 kNm és Ty = 24 kN .
y
B
b
J
y
C
D yD S G MG K x S F
E
σz
y
τ yz
M hx y, Ix
y
σz =
τ xz
τ yz = −
Ty S x ( y ) I x a( y )
=−
Ty 2I
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜ x ⎝
⎞ b2 ⎟ − y 2 ⎟⎟ ⎟ 4 ⎠
Veszélyes pontok: hajlításból a BC és EG egyenes szakasz pontjai, nyírásból az x tengely.
a
b) A feszültségkoordináták a D pontban az yD függvényében:
σ z ( D) =
M hx 12 M hx a b3 yD , I x = ,σ z ( D) = yD . Ix a b3 12
τ yz ( D) = −
Ty S x ( yD ) Ixa
12 Ty
τ yz ( D) = −
,
S x ( yD ) =
⎞ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎛⎜ b b 1 ⎛⎜ b 2 ⎟ + yD ⎟⎟ a ⎜⎜ − yD ⎟⎟ = ⎜⎜ − yD2 ⎟⎟ a . ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2⎝2 2 ⎜⎝ 4 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎠
⎞ 1 ⎛⎜ b 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ − y D⎟ a ⎟ 3 Ty ⎛ 4 yD2 2 ⎜⎜⎝ 4 ⎠ = − ⎜1 − 2 2A⎝ a b3 a b
⎞ ⎟. ⎠
c) A σ red redukált feszültség Mohr szerint a veszélyes pontokban:
σ red = σ z2 + β τ yz2 = σ z2 + 4 τ yz2 . A BC és EG egyenes mentén csak hajlításból származó feszültség ébred: τ yz = 0 ,
σ red = σ z max =
12 | M hx | | ymax |= 30 MPa . a b3
A JK egyenes mentén csak nyírásból származó feszültség ébred: σ z = 0 . 3T σ red = 2 | τ yz max |= 2 y = 30 MPa . 2A d) A σ red redukált feszültség Huber-Mises-Hencky szerint a veszélyes pontokban.
σ red = σ z2 + β τ yz2 = σ z2 + 3 τ yz2 . A BC és EG egyenes mentén csak hajlításból származó feszültség ébred: τ yz = 0 , 12 | M hx | | ymax |= 30 MPa . a b3 A JK egyenes mentén csak nyírásból származó feszültség ébred: σ z = 0 . 3T σ red = 3 | τ yz max |= 3 y = 25, 98 MPa . 2A
σ red = σ z max =
108
6.7.16. feladat: Redukált feszültségek
Adott: A szilárd test P pontjában a feszültségi tenzor zérustól különböző elemei: σ x = −30 MPa , σ y = 30 MPa , σ z = 90 MPa , τ zy = τ yz = −40 MPa . Feladat: (a) A P pontbeli feszültségi tenzor mátrixának felírása. (b) A főfeszültségek meghatározása. (c) A Huber-Mises-Hencky-féle, a Coulomb-féle és a Mohr-féle redukált feszültség kiszámítása. Kidolgozás: (a) A P pontbeli feszültségi tenzor mátrixa: ⎡σ x 0 0 ⎤ ⎡ -30 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ F ⎤ = 0 σ τ = 0 30 -40 ⎥ MPa. y yz ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ P ⎦⎥ ⎢ ⎢ 0 τ zy σ z ⎥ ⎢⎣ 0 -40 90 ⎥⎦ ⎣ ⎦ (b) A főfeszültségek meghatározása:
G
Főfeszültségek meghatározása ⇒ sajátérték feladat: ( F − σ E ) e = 0. ⎡( -30 - σ ) ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0
0 ( 30-σ ) -40
0 ⎤ ⎥ -40 ⎥ ( 90-σ )⎥⎦
⎡ ex ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢e ⎥ = ⎢0 ⎥ . ⎢ y⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ez ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
A nemtriviális megoldás létezésének feltétele: det F − σ E = 0. Karakterisztikus egyenlet: ( −30 − σ ) ⎡⎣( 30 − σ )( 90 − σ ) − 1600 ⎤⎦ = 0.
( −30 − σ ) (σ 2 − 120σ + 1100 ) = 0. A karakterisztikus egyenlet megoldásai:
( −30 − σ ) = 0
⇒
σ = −30 MPa ,
⎡ σ 2 − 120σ − 1100 ⎤ = 0 ⎣ ⎦
σ=
⇒
120 ± 14400 − 4400 110 MPa =〈 . 10 MPa 2
A főfeszültségek: σ 1 = 110 MPa, σ 2 = 10 MPa, σ 3 = −30 MPa. (c) A Huber-Mises-Hencky-féle, a Coulomb-féle és a Mohr-féle redukált feszültség: A Huber-Mises-Hencky-féle redukált feszültség:
σ red ( HMH ) = σ red ( HMH ) =
1⎡ 2 2 2 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 ) ⎤⎦ , ⎣ 2
(
1 100 2 + 140 2 + 40 2 2
)
= 124, 9 MPa.
A Coulomb-féle redukált feszültség: σ red ( Coulomb ) = σ 1 = 110 MPa. A Mohr-féle redukált feszültség: σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 = 110 − ( −30 ) = 140 MPa.
109
6.7.17. feladat: Redukált feszültségek Adott: A szilárd test P pontjában a feszültségi tenzor zérustól különböző elemei: σ x = 70 MPa , σ y = 50 MPa , σ z = 10 MPa , τ zx = τ xz = 40 MPa . Feladat: (a) A P pontbeli feszültségi tenzor mátrixának felírása. (b) A főfeszültségek és a feszültségi főirányok meghatározása. (c) A Huber-Mises-Hencky-féle, a Coulomb-féle és a Mohr-féle redukált feszültség kiszámítása. Kidolgozás: (a) A P pontbeli feszültségi tenzor mátrixának felírása: ⎡σ x 0 τ xz ⎤ ⎡ 70 0 40 ⎤ ⎡F ⎤ = ⎢ 0 σ 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 50 0 ⎥⎥ MPa. y ⎢⎣ P ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣τ zx 0 σ z ⎥⎦ ⎢⎣ 40 0 10 ⎥⎦ (b) A főfeszültségek és a feszültségi főirányok meghatározása:
(
)G
G
Főfeszültségek meghatározása ⇒ sajátérték feladat: F − σ E e = 0. ⎡( 70 − σ ) ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 40
0 ( 50 − σ ) 0
⎤ ⎥ ⎥ (10 − σ ) ⎥⎦ 40 0
⎡ ex ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢e ⎥ = ⎢0 ⎥ . ⎢ y⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ez ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
A nemtriviális megoldás létezésének feltétele,: det F − σ E = 0.
(
)
A karakterisztikus egyenlet: ( 50 − σ ) σ 2 − 80σ − 900 = 0. A karakterisztikus egyenlet megoldásai: ( 50 − σ ) = 0 ⇒ σ = 50 MPa , ⎡ σ 2 − 80σ − 900 ⎤ = 0 ⎣ ⎦
⇒
90 MPa 80 ± 6400 + 3600 =〈 . −10 MPa 2 σ 2 = σ y = 50 MPa, σ 3 = −10 MPa.
σ=
A főfeszültségek: σ 1 = 90 MPa,
A főfeszültségi irányok meghatározása – visszahelyettesítés a lineáris algebrai egyenletrendszerbe:
G
- A σ 1 = 90 MPa főfeszültséghez tartozó e1 főirány meghatározása: ⎡( 70 − σ 1 ) ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 40
0 ( 50 − σ 1 ) 0
40 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 10 σ − ( 1 )⎦
⎡ ex ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢e ⎥ = ⎢0 ⎥ , ⎢ y⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ez ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡-20 0 40 ⎤ ⎢ 0 -40 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 40 0 -80 ⎥⎦
Az egyenletrendszer megoldása: −20 ex + 40ez = 0 , ⇒ ex = 2ez . −40e y = 0 , ⇒ ey = 0 . 40 ex − 80ez = 0 ,
110
⇒ e x = 2e z .
⎡ ex ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢e ⎥ = ⎢0⎥ . ⎢ y⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ez ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Az egyenletek nem függetlenek egymástól, így az egyik változót szabadon megválaszthatjuk. Legyen ex = 1 , ekkor e y = 0 , ez = 0, 5 .
G
G
G
Az irányvektor : e1 = ( ex + 0, 5ez ) .
G
G
G
( e + 0,5ez ) ⎛ 2 G 1 G ⎞ e G G Az irány egységvektor: e1 = G1 = x =⎜ e x+ ez ⎟ = ( 0,894e x +0,447ez ) . 2 2 e1 5 ⎠ ⎝ 5 1 + 0,5 Hasonló gondolatmenet alapján: G∗
G
(G )
G
(G )
e2 = e y , e2∗ = e y ,
σ 2 = 50 MPa,
G
G
G
G
G
G
e3 = ( −ex +2ez ) , e3∗ = ( -0,447ex +0,894ez ) .
σ 3 = −10 MPa,
A sajátvektorok (feszültségi főirányok) szemléltetése:
G
y
x
G
e2
−1
G
P
0,5
e3 z
G
1
G
x
e1
α 1z
⇒ e31
P
x
G
e11
α1z z
⇒
tgα 1z =
90 MPa
10 MPa G e31
α 1z P
z 10 MPa
90 MPa
2 1 =2 0,5
e1∗
1
G
e3∗
α 1z = 63,43o .
⇒
G
G
Megjegyzés: Az ei∗ , (i=1, 2, 3) és a −ei∗ egyaránt főfeszültségi irányok.
G
G
G
Az e1∗ és e2∗ főirány meghatározása után az ei∗ főirányt úgy vettük fel, hogy
G G G
G
G
G
az e1∗ , e2∗ , e3∗ vektorhármas jobbsodrású rendszert alkosson. e3∗ = e1∗ × e2∗ . c) A redukált feszültségek meghatározása: A Huber-Mises-Hencky-féle redukált feszültség: 1⎡ 2 2 2 σ red ( HMH ) = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 ) ⎤⎦ , ⎣ 2 σ red ( HMH ) =
1⎡ ( 90 − 50 )2 + ( 50 − (−10) )2 + + ( −10 − 90 )2 ⎤⎦ = 87,18 MPa. 2⎣
A Coulomb-féle redukált feszültség: σ red ( Coulomb ) = σ 1 = 90 MPa. A Mohr-féle redukált feszültség: σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 = 90 − ( −10 ) = 100 MPa.
111
