5. Fajhő mérése jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 10. 08. Leadás dátuma: 2008. 10. 15.
1
1.
A mérési összeállítás
A mérés során a 6-os számú minta fajhőjét akarjuk meghatározni. Ezt kalomiterben végezzük el kétféle módszerrel. A 1. ábrán látható a mérési összeállítás. A kaloriméter úgy van kialakítva, hogy egy R ellenállású drót van körétekerve, amirea tápegységből kapcsolhatunk egyenfeszültséget, amivel fűthetjük a kalorimétert. A kaloriméter környezetét az áramló víz adja, ami biztosítja a mérés során az állandó környezeti hőmérsékletet. A hőkulcson is keresztüláramlik ez a víz, tehát ha a hőkulcsot belerakjuk a kaloriméterbe, akkor gyorsabban beáll a kaloriméterben az egyensúlyi hőmérséklet. A kaloriméter hőmérsékletét egy tranzisztoros hőmérő méri, amin a feszültség arányos a hőmérséklettel, így ezt a feszültséget méri a digitális voltmérő. A voltmérő össze van kötve a számítógéppel, ami átszámítja a feszültséget hőmérsékletté ◦ C-ban, és másodpercenként veszi fel az eltelt idő és hőmérséklet adatpárokat, amiket egy adatfájlban rögzít. A termosztát a mintát melegíti fel a kívánt hőmérsékletre, és úgy van kialakítva, hogy az aljából a minta egyenesen a kaloriméter belsejébe esik.
1. ábra. A mérési összeállítása
1
2.
A mérések ismertetése
A minta fajhőjének meghatározásához ismernünk kell a kaloriméter hőkapacitását. A mérés megkezdéséhez kaloriméter hőmérsékletének meg kell egyezni az áramló víz hőmérsékletével. Ehhez behelyezzük a hőkulcsot a kaloriméterbe, és a számítógép Fajhő nevű programjával figyeljük az egyensúlyi hőmérséklet beállását. Ha már alig változik a hőmérséklet kivehetjük a hőkulcsot, és várjuk, hogy egyensúlyba kerüljön a kaloriméter hőmérséklete. Ezután elkezdhetjük az üres kaloriméter hőkapacitásának mérését. A mérés egy két perces előszakasszal kezdődik, ami alapján a kiértékelés során a környezeti hőmérsékletet határozzuk meg. Ezután bekapcsoljuk a fűtést annyi időre, hogy 2-3 fokkal megemelkedjen a hőmérséklet, ez lesz a főszakasz. A fűtés kikapcsolása után következik az utószakasz, ami addig tart, hogy a mérés hossza körülbelül 15 perc legyen. Az adatok elmentése után, visszarakhatjuk a hőkulcsot, hogy visszaálljon az egyensúlyi hőmérséklet. A második rész a minta fajhőjének meghatározása úgy, hogy az ismert hőmérsékletre felmelegített mintát két perces előszakasz után beleejtjük a kaloriméterbe, és figyeljük a kaloriméter hőmérsékletének változását. Ezt a mérést is 15 percig végezzük, majd az adatok elmentése után visszahelyezzük a mintára a hőkulcsot, hogy visszaálljon az egyensúlyi hőmérséklet. A harmadik részben a minta fajhőjét a következő módszerrel mérjük meg: A környezeti hőmérsékletű mintát és kalorimétert egyszerre fűtjük egy kétperces előszakasz után addig, amíg 2-3 fokkal emelkedik a hőmérsékletük. Ezután várunk addig, hogy 15 perces legyen ez a mérés is, és elmentjük az adatokat. A három adatsor kiértékelését a számítógép Fajhő kiértékelés nevű programjával végezzük. A Kiértékelés menü pontjainak elvégzésével megkapunk minden szükséges paramétert, amikből számolhatunk. Ezután kinyomtatjuk a három ábrát.
3.
A kaloriméter hőkapacitásának meghatározása
A kaloriméter hőkapacitása, másszóval vízértéke (v) definíció alapján: v=
Q ∆T
Ez a képlet nem veszi figyelembe a veszteségeket, amit a Newton-féle lehűlési törvénnyel írhatunk le, ami alapján az időegység alatt a környezetnek átadott hő arányos a környezet és a kaloriméter hőmérsékletének különbségével: dQh = −h(T − Tk ) dt Ezek és a termodinamika első főtétele alapján a következő differenciálegyenletre jutunk: dT dQ v = − h(T − Tk ) dt dt 2
A differenciálegyenlet az utószakaszban leegyszerűsödik, mert ott csak a lehűlési hőnek van szerepe, és ennek megoldása: Tu (t) = Tk + Ce−ε0 t Az exponenciális függvény kitevőjét az utószakaszra való illesztésből határozza meg a számítógép. A differenciálegyenlet megoldásából meghatározható a kaloriméter korrigált hőmérséklete, ami a veszteségektől mentes rendszerre lenne jellemző, amit ugyancsak a számítógép illeszt rá az ábránkra: Z t T ∗ (t) = T (t) + ε0 (T (t′ ) − Tk )dt′ 0
Ezen kívül a vízérték meghatározásához szükségünk van a betáplált hőre, amit a Joule-hő ad. A t ideig az R ellenállásra rákapcsolt U fűtőfeszültségből származó Joule-hő: U2 t Q= R Ezek alapján már kiszámolható a kaloriméter vízértéke: v=
U2 R t T∗ − T
k
A vízérték hibáját a hibaterjedés alapján számoljuk: ∆U ∆R ∆Tk + ∆T ∗ ∆v =2 + + v U R T ∗ − Tk A mért idő-hőmérséklet grafikon a 2. ábrán található, amin szerepel az illesztett korrigált hőmérséklet. A mérési adatainkat a hibáikkal együtt a következő táblázatban rögzítettük, amikből behelyettesítés után kiszámolható a kaloriméter vízértéke. Fűtőfeszültség: U A drót ellenállása: R Fűtésidő: t Környezeti hőm.: Tk Korrigált hőm.: T ∗ Lehűlési paraméter: ε0
(1, 779 ± 0, 0005) V (7, 07 ± 0, 01)Ω 158, 74 s (17, 482 ± 0, 001) ◦ C (20, 69 ± 0, 01) ◦ C 1 0, 0816 min
1. táblázat. Az első mérés adatai Behelyettesítések után a kaloriméter hőkapacitása hibával együtt: v = (22, 15 ± 0, 12)
3
J K
4.
A minta fajhőjének meghatározása az a. módszerrel
A mintából és a kaloriméterből álló rendszer hőmérsékletének időbeli változását leíró differenciálegyenlet most így néz ki: dT (t) dTm (t) +w = −h(T (t) − Tk ) dt dt ahol v az előzőekben meghatározott vízérték, w a minta hőkapacitása, vagyis w = cm. Az előző részhez hasonló megfontolások alapján bevezethető a minta korrigált hőmérséklete: v
∗ Tm = Tk +
ε′ (T ∗ − Tk ) ε′ − ε0
ahol ε′ a mintát tartalmazó kaloriméter főszakaszát leíró függvény kitevőjében szereplő állandó. Ezek alapján a minta fajhője a következő kifejezésből számolható: v T ∗ − Tk c= ∗ m Tm0 − Tm A fajhő hibáját a hibaterjedés törvényeivel számoljuk a következő módon: ∗ ∆c ∆v ∆m ∆(T ∗ − Tk ) ∆(Tm0 − Tm ) = + + + ∗ c v m T ∗ − Tk Tm0 − Tm
Az idő-hőmérséklet grafikon a 3. ábrán látható, amin szerepel az illesztett korrigált hőmérséklet és a főszakaszra illesztett exponenciális függvény. A mérési eredményeinket a következő táblázatban rögzítettük, és ezeket helyettesítjük be a képletekbe. Környezeti hőm.: Tk Korrigált hőm.: T ∗ Minta kezdeti hőm.: Tm0 ∗ Minta korrigált hőm.: Tm ∗ T − Tk ∗ Tm0 − Tm Lehűlési paraméter: ε′ Minta tömege: m
(17, 31 ± 0, 005) ◦ C (20, 67 ± 0, 005) ◦ C (32, 0 ± 0, 05) ◦ C 20, 6704 ◦ C (3, 36 ± 0, 01) K (11, 3296 ± 0, 06)K 1 1, 5405 min (14, 4234 ± 0, 00005) g
2. táblázat. Az második mérés adatai Behelyettesítések után a 6-os számú minta fajhője az a. módszerrel, és ennek hibája: J ca = (455, 4 ± 6, 2) kgK J A vas fajhőjének irodalmi értéke: cF e = 460 kgK , amit ebben a mérésben jól meghatároztunk.
4
5.
A minta fajhőjének meghatározása a b. módszerrel
Az eddigiekhez hasonló módon számolhatjuk a minta fajhőjét a b. módszernél is. A differenciálegyenletbe beleírjuk a fűtésre használt Joule-hő teljesítményét: v
dT (t) dTm (t) dQ +w = − h(T (t) − Tk ) dt dt dt
Itt a kezdeti feltételünk, hogy Tm0 = Tk , és felhasználjuk a minta korrigált hőmérsékletére vonatkozó összefüggést az előző részből, így megkaphatjuk a minta fajhőjére vonatkozó képletet: c=
1 Q − v(T ∗ − Tk ) ∗ −T m Tm k
ahol
U2 t R A mérés során a minta korrigált hőmérsékletét nem tudjuk meghatározni közvetlenül, de a meghatározására két módszerünk is van. Az egyik módszer szerint a minta korrigált hőmérséklete megegyezik a kaloriméter korrigált hőmérsékletével, a másik módszer szerint az előző mérésben meghatározott ε′ felhasználásával határozzuk meg a minta korrigált hőmérsékletét. A következőkben mindkét módszerrel kiszámoljuk a minta fajhőjét. A mérési eredményinket a következő táblázat tartalmazza: Q=
Fűtőfeszültség: U A drót ellenállása: R Fűtésidő: t Környezeti hőm.: Tk Korrigált hőm.: T ∗ T ∗ − Tk Minta tömege: m
(1, 777 ± 0, 0005) V (7, 07 ± 0, 01)Ω 158, 73 s (17, 161 ± 0, 001) ◦ C (19, 644 ± 0, 005) ◦ C (2, 483 ± 0, 006) K (14, 4234 ± 0, 00005) g
3. táblázat. Az harmadik mérés adatai ∗ Ha úgy számolunk, hogy Tm = T ∗ , akkor a következő fajhőre jutunk, aminek hibáját megbecsültük:
cb1 = (443, 9 ± 10, 0)
J kgK
Ha behelyettesítjük a következő képletbe az előző mérésekből a paramétereket: 1 1 ε0 = 0, 0816 min és ε′ = 1, 5405 min . ∗ Tm = Tk +
ε′ (T ∗ − Tk ) = (19, 783 ± 0, 007)◦C ε′ − ε0 5
Így a fajhő becsült hibával: cb2 = (420, 2 ± 10, 0)
J kgK
Ez a mérésünk jóval pontatlanabb értékeket adott a vas fajhőjére, mivel itt kevésbé pontosan számoltunk. A mérés idő-hőmérséklet grafikonja a 4. ábrán látható. Az ábrán jól látszik, hogy a hőmérséklet túlmegy az egyensúlyi hőmérsékleten, és onnan hűl vissza. Ennek oka, hogy a minta és a kaloriméter között a hőátadás nem tökéletes, tehát a minta hőmérséklete lassan követi a kaloriméterét a fűtés alatt. Tehát amikor kikapcsoljuk a fűtést az egyensúlyi hőmérséklet a hőkapacitások arányában a minta és a kaloriméter hőmérséklete között áll be egy egyensúlyi szintre. Az ábra és a hőkapacitások alapján kiszámolható, hogy a fűtés kikapcsolásakor, mekkora volt a hőmérsékletkülönbség a minta és a kaloriméter között: A kaloriméter maximális hőmérséklete és az egyensúlyi hőmérséklet között a különbség 0,116 J fok. A kaloriméter hőkapacitása v = 22, 15 K , a minta hőkapacitása w = cm = J 6, 568 K . A minta hőmérséklete, és az egyensúlyi hőmérséklet közti különbség körülbelül: 0, 116 wv = 0, 39 fok. Tehát a fűtés kikapcsolásakor a kaloriméter és a minta között fellépett hőmérsékletkülönbség körülbelül 0,5 fok, aminek hatása már jól látható az ábrán. Kisebb hőkapacitású minta esetén nem biztos, hogy látható ez a különbség, mert a hőátadási tényező arányos a hőkapacitással. Ez az eltérés ugyancsak hibákat okozhat a számolásainkban.
6.
A hőátadási tényezők
A Newton-féle lehűlési törvényben szereplő h a kaloriméter és a környezete közötti hőátadási tényező. Az üres kaloriméter hőkapacitásának mérési eredményeiből ez meghatározható. A kiszámításához a következő összefüggést használjuk fel: h = ε0 v A hibaterjedés szerint ennek a hibája: ∆h ∆ε0 ∆v = + h ε0 v 1 Az első mérés eredményeinek behelyettesítésével (ε0 = 0, 0816 min és J v = (22, 15 ± 0, 12) K ) a hőátadási tényező:
h = (1, 81 ± 0, 01)
J min · K
A k hőátadási tényező a kaloriméter és a minta közötti hővezetésre jellemző. A kiszámításához a következő két összefüggést használjuk fel: k=
εε′ w ε0 6
ε=
h ε′ v + w ε′ −ε 0
Behelyettesíthetjük az előzőekben meghatározott értékeket, és így a hőátadási tényező: J k = (10, 7 ± 0, 2) min · K Látható, hogy a minta és a kaloriméter közötti hőátadási tényező egy nagyságrenddel nagyobb, mint a kaloriméter és a környezete közötti hőátadási tényező, tehát érvényes az a közelítés, amit a levezetések során kimondatlanul is kihasználtunk, hogy h << k.
7
