2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 17. Leadás dátuma: 2008. 10. 08.
1
1.
Mérések ismertetése
Az első részben egy téglalap keresztmetszetű rúd Young-modulusát határozzuk meg úgy, hogy adott hosszúság mellett különböző erővel terheljük, és mérjük a minta lehajlását. A második részben egy kör keresztmetszetű rúd Youngmodulusát határozzuk meg úgy, hogy adott terhelés mellett a rúd hosszának változtatásával mérjük a rúd lehajlását. A két oldalán feltámasztott, középen terhelt rúd lehajlását kétkarú emelőt tartalmazó berendezéssel végezzük.
1. ábra. A mérési összeállítás A harmadik részben pedig egy vékony torziószálból készült inga periódusidejét mérjük különböző tehetetlenségi nyomatékok mellett úgy, hogy változtatjuk a tárcsák helyzetét az inga keretén. Ebből a mérésből meghatározható a torziószál toziómodulusa és az üres ingakeret tehetetlenségi nyomatékát.
2. ábra. A mérési összeállítás
1
2.
Hasáb Young-modulusa
Az A4-es számú rúd éleit csavarmikrométerrel mértük több ponton, ezek átlaga: a = (7, 935 ± 0, 005)mm és b = (11, 934 ± 0, 005)mm. A rudat mindkét élével behelyezzük az emelőbe, és adott l = (360 ± 0, 5)mm hosszúság mellett figyeljük a mérőórán a lehajlást. Az értékek hibájának alapjául a leolvasási hibát vesszük, majd hibaterjedéssel számolunk tovább. Először úgy rakjuk be, hogy a hosszabb él az alap és a rövidebb a magasság, így a keresztmetszet másodrendű nyomatéka: ba3 = (497 ± 1)mm4 12 A különböző tömegek esetében a lehajlás mértékét az 1. táblázat tartalmazza. I1 =
tömeg (kg) 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 4.00 4.25 4.50
s (0,01 mm) 58 61 70 77 84 92 98 112 119 126 132 139 152 159 166
1. táblázat. Lehajlás különböző terhelő tömegek esetén A terhelő tömeg nagyságát meg kell szorozni a nehézségi gyorsulás értékével (9.81 sm2 ). Ezután ábrázoljuk a lehajlást (s) a tehelő erő (F ) függvényében, majd az adatokra egyenest illesztünk (3.ábra), melynek meredekségéből (m) kiszámolható a minta anyagának Young-modulusa (E). s=
1 l3 1 l3 1 l3 F =⇒ m = =⇒ E = 48 EI 48 EI 48 mI
(1)
Az egyenesillesztésből kapott meredekség: m1 = (2, 79 ± 0, 02) 0,01mm N A (1) képletbe való behelyettesítéssel megkaphatjuk a minta anyagának Young-modulusát: N E1 = (7, 01 ± 0, 09) · 1010 2 m 2
180 160
s [0.01mm]
140 120 100 80 60 40 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
F [N]
3. ábra. Lehajlás a terhelő erő függvényében
Második esetben a másik élével lefelé mérjük a mintarudat. Ekkor az alap és a magasság szerepe felcserélődik, ezért a keresztmetszet másodrendű nyomatéka: I2 =
ab3 = (1124 ± 2)mm4 12
A 2. táblázatban találhatóak a különböző terhelő tömegekhez tartozó lehajlások. tömeg (kg) 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.50 4.00 4.25 4.75 5.00
s (0,01 mm) 53 55 59 62 65 73 78 81 84 87 93 99 102 109 112
2. táblázat. Lehajlás különböző terhelő tömegek esetén
3
Ebben az esetben is átszámoljuk a tömeget nehézségi erővé, majd ábrázoljuk az adatokat, és egyenest illesztünk rá (4.ábra). Az egyenesillesztésből kapott meredekség: m2 = (1, 35 ± 0, 02) 0,01mm N 120 110
s [0.01mm]
100 90 80 70 60 50 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
F [N]
4. ábra. Lehajlás a terhelő erő függvényében A (1) képletbe való behelyettesítéssel megkaphatjuk a minta anyagának Young-modulusát és annak hibáját: ∆E2 ∆l ∆m2 ∆a ∆b =3 + + +3 E2 l m2 a b E2 = (6, 406 ± 0, 134) · 1010
N m2
A téglalap keresztmetszetű mintán végzett mérések alapján ellenőrizzük a (2) összefüggést. m1 I2 = (2) m2 I1 Átírjuk az (2) egyenletet: mI = konstans
(3)
Az első mérésből a konstans számértéke mértékegység és hiba nélkül: m1 I1 = 1386, 6 a második mérésből pedig m2 I2 = 1517, 4 A második mérés viszonylag nagy hibája miatt nem tökéletesen egyeznek meg ezek az értékek.
4
3.
Rúd Young-modulusa
Az S9-es számú kör keresztmetszetű rúd átmérőjét csavarmikrométerrel mértük több ponton, és ezek átlagából a kör sugara: r = (4, 705 ± 0, 005)mm. A keresztmetszet másodrendű nyomatéka a kör keresztmetszet esetén: I=
π 4 r = (384, 9 ± 1, 6)mm4 4
Állandó terhelés mellett mértük a rúd lehajlását különböző hosszúságok mellett. A terhelés nagysága a terhelő tömeg (4kg) és a nehézségi gyorsulás (9, 81 sm2 ) szorzatából jön ki: F = (39, 24 ± 0, 39)N . Mivel a különböző hosszúságokhoz át kell szerelnünk a berendezést, elcsúszhat a mérőóra nullhelyzete. Ennek kiküszöbölésére minden mérésnél felraktunk egy alapterhelést, aminél felírtuk a nullhelyzetet, és ezután raktuk fel a terhelést, és mértük meg a lehajlást. A lehajlás és a nullhelyzet különbségéből kaptuk meg a valódi lehajlást (s), amit a 3.táblázatban rögzítettünk a hossz (l) függvényében. l (m) 0.20 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40
s (mm) 0.19 0.32 0.41 0.49 0.60 0.76 0.86 1.05 1.20 1.39
3. táblázat. Lehajlás különböző hosszúságoknál A (4) képletek alapján ábrázoljuk a lehajlást (s) a hosszúság (l) köbének függvényében (5.ábra), majd egyenest illesztünk az adatpontokra. Az illesztett egyenes meredekségéből (m) kiszámolható a Young-modulus (E). s=
1 F 3 1 F 1 F l =⇒ m = =⇒ E = 48 EI 48 EI 48 mI
(4)
Az illesztett egyenes meredeksége: m = (21, 5 ± 0, 3) mm m3 A (4) képletbe való behelyettesítéssel a minta anyagának Young-modulusa és annak hibája: ∆F ∆m ∆r ∆E = + +4 E F m r E = (9, 88 ± 0, 28) · 1010
5
N m2
1.6 1.4 1.2
s [mm]
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
l^3 [m^3]
5. ábra. Lehajlás a hossz köbének függvényében
4.
Torziós inga
Az 5-ös számú torziószál torzimodulusának kiszámításához szükségünk van a szál, illetve a tárcsák adataira. A szál hosszát mérőszalaggal mértük meg: l = (0, 59 ± 0, 0005)m, az átmérőjét csavarmikrométerrel több ponton mértük meg, ebből a szál sugara: r = (2, 51 ± 0, 02) · 10−4 m. Ezekből meghatározható a szál K állandója: 8πl 1 K = 4 = (3, 74 ± 0, 06) · 1014 3 r m A tárcsák tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához lemértük a tárcsák tömegét digitális mérleggel és átmérőjét tolómérővel néhány ponton, ezekből határoztuk meg a tárcsák sugarát. Az első tárcsa tömege m1 = 194, 644g, sugara r1 = (21, 01 ± 0, 05) · 10−3 m. A második tárcsa tömege m2 = 196, 314g, sugara r2 = (21, 03 ± 0, 05) · 10−3 m. Ezekből a tehetetlenségi nyomatékuk: 1 m1 r12 = (4, 297 ± 0, 025) · 10−5 kgm2 2 1 Θ2 = m2 r22 = (4, 339 ± 0, 025) · 10−5 kgm2 2 A következő (5) képlet alapján tudjuk kiszámolni a szál torziómodulusát (G) és az üres inga tehetetlenségi nyomatékát (Θu ): Θ1 =
T2 =
K(m1 + m2 ) 2 K a + (Θ1 + Θ2 + Θu ) G G
(5)
Ehhez mértünk különböző középponttól mért távolságok (a) esetén 10 periódusidőt (T ), amit digitális óra mért fénykapuval. Ezeket az adatokat rögzítettük a 4. táblázatban. 6
a (cm) 0 3 4 5 6 7 8 9 10
10T (s) 53.0 65.7 74.2 83.8 94.2 105.2 116.6 128.2 140.3
4. táblázat. Periódusidő különböző középponttól mért távolságoknál
A (5) képlet alapján ábrázoljuk a periódusidő négyzetét a középponttól mért távolság négyzetének függvényében (6. ábra), majd egyenest illesztünk az adatokra, melynek meredekségéből kiszámítható a torziómodulus, tengelymetszetéből pedig az üres inga tehetetlenségi nyomatéka. 200 180 160
T^2 [s^2]
140 120 100 80 60 40 20 0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
a^2 [m^2]
6. ábra. Periódusidő négyzete a távolság négyzetének függvényében Az egyenesillesztés paraméterei a következőknek adódtak: a meredekség m = s2 2 16860 ± 13 m 2 , a tengelymetszet b = 28, 05 ± 0, 07s . A következő képletek határozzák meg a végeredményeket és azok hibáját: G=K
m1 + m1 m
∆G ∆K ∆m1 + ∆m2 ∆m = + + G K m1 + m2 m 7
(6) (7)
Gb − Θ1 − Θ2 K ∆G ∆K ∆b ∆Θu = Θu ( + + ) + ∆Θ1 + ∆Θ2 G K b A végeredmények behelyettesítés után: Θu =
G = (8, 0 ± 0, 1) · 1010
(8) (9)
N m2
Θu = (56, 4 ± 4, 6) · 10−5 kgm2 Azzal, hogy a 6. ábrán T 2 és a2 között lineáris összefüggés mutatkozik, lényegében a Steiner-tételt is bebizonyítottuk. Az illesztés során a korrelációs együttható R = 0, 9999-nek adódott, ami számszerűsíti a lineáris összefüggés jóságát.
8
