2. Rugalmas állandók mérése Tóth Bence fizikus, 2. évfolyam
2005.02.25. péntek délelőtt beadva: 2005.03.04.
1
1.
A mérés első felében fémrudak Young-moduluszát mérjük, pontosabban behajlást mérünk, és ebből számolunk Young-moduluszt. Külön vizsgáljuk az állandó rúdhossz és az állandó hajlítóerő esetét az erre a célra szolgáló állítható feltámasztásos, mérőórás kétkarú emelővel.
Először lemértem csavarmikromérővel a két rúd paramétereit: a henger átmérőjét és a téglatest két rövidebbik oldalát. Ezekre az adatokra a végső, Young-moduluszra vonatkozó képletben lesz szükség.
V3-as rúd i di(mm) ∆di=di-d (mm) (∆di)2*10-5 (mm2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10,005 10,015 10,010 10,005 10,015 10,010 10,010 10,005 10,005
-0,0039 0,0061 0,0011 -0,0039 0,0061 0,0011 0,0011 -0,0039 -0,0039
1,512 3,734 0,123 1,512 3,734 0,123 0,123 1,512 1,512
ahol di a rúd átmérője az i-edik mérés szerint d =10,0089mm 9
sd =
∑ (∆d )
2
i
i =1
= 0,00139mm 9 *8 d=(10,009±0,001)mm És a sugár: r=(5,0045±0,0005)mm
Az alábbi táblázat a használt súly tömegét (már beszorozva a k fakorral), az ebből számított erőt valamint a behajlás mérőórával mért értékét mutatja. Az s értékéhez mindenhol hozzáadódik egy ±0,005mm-es hiba, de ezt nem írtam bele a táblázatba. m(g) 500 750 1000 1250 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6500
F(N) 4,905 7,3575 9,81 12,2625 14,715 19,62 24,525 29,43 34,335 39,24 44,145 49,05 53,955 63,765
s(0,01mm) 97 103 109 114 120 130 141 152 163 172 184 194 205 226 2
A behajlás a rúdra ható erő függvényében: 260 "v3.txt" f(x) 240
220
-5 s(0,01mm) s(10 m)
200
180
160
140
120
100
80 0
10
20
30
40
50
60
70
F(N)
Itt az egyenes meredeksége m=(2.181±0.008)*10-5 valamint tengelymetszete b=(87.3±0.3)*10-5
1 l3 egyenletből a Young-modulusz: 48 mI ∆E ∆l ∆m ∆I 0,0005 0,008 0,2 =3 + + =3 + + =0,00782 E l m I 0,4 2,181 492,6
Ahonnan az E=
E=(1,24±0,02)*1011Pa
ahol l=(40±0,05)cm=(0,4±0,0005)m a két alátámasztás távolsága m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben kör keresztmetszetű rúdra π π π I= R4 = [(5,0045±0,0005)mm]4= (5,0045±0,0005)4*10-12m4= 4 4 4 π π = (627,2530±4*0,0627) *10-12m4= (627,2530±0,2508) *10-12m4≈(492,6±0,2) *10-12m4 4 4
3
Erre a rúdra mértem ki a lehajlás l3 függését. 5500g hatott a rúdra, ez 53,955N. i li(cm) li3(cm3) s0(0,01mm) s(0,01mm) ∆s=s-s0(0,01mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
40 36 32 28 24 20 16 12 8
64000 46656 32768 21952 13824 8000 4096 1728 512
98 38 65 73 66 62 57 54 53
205 114 120 110 89 77 64 57 55
107 76 55 37 23 15 7 3 2
A behajlás a rúd hossza a négyzetének a függvényében: "l3.txt" 120
f(x)
100
∆s(10-5m)
80
60
40
20
0 0
10000
20000
30000
40000
3
3
li (cm ) Itt az egyenes meredeksége m=0,0165±0,0001 valamint tengelymetszete b= (7±4)*10-6
4
50000
60000
70000
1 F ∆E ∆m ∆I 1 0,2 egyenletből a Young-modulusz: = + = + =0,00650 48 mI E m I 164 492,6 E=(1,383±0,009)*1011Pa
Innen az E=
ahol F=53,955N a ráakasztott súlyok által kifejtett erő m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben téglalap keresztmetszetű rúdra, ahol a az alap, b a magasság. a=(12,438±0,001)mm b=(8,425±0,002)mm I-t az előbb kiszámoltuk: I=(492,6±0,2) *10-12m4
A4-es rúd i di(mm) ∆di=di-d (mm) (∆di)2*10-5 (mm2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12,440 12,440 12,440 12,445 12,435 12,440 12,435 12,430 12,440
0,0017 0,0017 0,0017 0,0067 -0,0033 0,0017 -0,0033 -0,0083 0,0017
0,277 0,277 0,277 4,444 1,111 0,277 1,111 6,944 0,277
ahol di a rúd hosszabbik oldalának nagysága az i-edik csavarmikromérővel való mérés szerint. d =12,438mm 9
∑ (∆d )
2
i
sd =
i =1
= 0,00144mm 9 *8 A hosszabbik oldal: d=(12,438±0,001)mm i di(mm) ∆di=di-d (mm) (∆di)2*10-5 (mm2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8,320 8,425 8,440 8,445 8,440 8,440 8,440 8,445 8,430
-0,1181 -0,0131 0,0019 0,0069 0,0019 0,0019 0,0019 0,0069 -0,0081
1395,4 17,22 0,352 4,727 0,352 0,352 0,352 4,727 6,602
di a rúd rövidebbik oldalának nagysága az i-edik mérés szerint – szintén csavarmikromérővel. d =8,425mm 8
∑ (∆d )
2
i
sd =
i =1
8*7
= 0,00249mm≈0,002mm
5
A rövidebbik oldal: d=(8,425±0,002)mm Az első adatot kihagytam a számolásból, nagyon kiugró volt, és nagyon pontatlanná tette volna a végső értéket. Az alábbi táblázat a használt súly tömegét (már beszorozva a k fakorral), az ebből számított erőt valamint a behajlás mért értékét mutatja a rúd fektetett ( ) állásában. Az s értékéhez mindenhol hozzáadódik egy ±0,005mm-es hiba, de ezt nem írtam bele a táblázatba. m(g)
F(N)
500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000
4,905 7,3575 9,81 12,2625 14,715 17,1675 19,62 22,0725 24,525 26,9775 29,43
s(0,01mm) 60 70 79 89 98 108 117 127 135 145 154
A behajlás a fektetett rúdra ható erő függvényében: "a4_f.txt" f(x)
160
-5 s(10 m) s(0,01mm)
140
120
100
80
60 5
10
15
20 F(N)
6
25
30
Itt az egyenes meredeksége m=(3,83±0,02)*10-5 valamint tengelymetszete b=(41,7±0,3)*10-5 1 l3 egyenletből a Young-modulusz: 48 mI 0,0005 0,02 0,005 ∆E ∆l ∆m ∆I + + =0,00978 =3 + + =3 E l m I 0,4 3,83 6,198
Innen az E=
E=(5,62±0,06)*1010Pa
ahol l=(40±0,05)cm=(0,4±0,0005)m a két alátámasztás távolsága m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben téglalap keresztmetszetű rúdra, ahol a az alap, b a magasság. a=(12,438±0,001)mm b=(8,425±0,002)mm ab 3 =(6,198±0,005)*10-10m4 I= 12
∆I ∆a ∆b 0,001 0,002 = +3 = +3 =0,000793 I a b 12,438 8,425 Az alábbi táblázat a használt súly tömegét (már beszorozva a k fakorral), az ebből számított erőt valamint a behajlás mért értékét mutatja a rúd álló ( ) helyzetében. Az s értékéhez mindenhol hozzáadódik egy ±0,005mm-es hiba, de ezt nem írtam bele a táblázatba. m(g) 500 750 1000 1250 1500 2000 2500 3000 4000 5000 7000
F(N) 4,905 7,3575 9,81 12,2625 14,715 19,62 24,525 29,43 39,24 49,05 68,67
s(0,01mm) 62 67 71 75 79 88 96 104 121 137 169
7
A behajlás az álló rúdra ható erő függvényében: "a4_a.txt" 180
f(x)
160
-5 s(10 m) s(0,01mm)
140
120
100
80
60 0
10
20
30
40
50
60
70
F(N)
Itt az egyenes meredeksége m=(1,676±0,008)*10-5 valamint tengelymetszete b=(54,6±0,2)*10-5 1 l3 egyenletből a Young-modulusz: 48 mI ∆E ∆l ∆m ∆I 0,0005 0,008 0,0008 =3 + + =3 + + =0,00912 E l m I 0,4 1,676 1,3510
Ahonnan az E=
E=(5,89±0,05)*1010Pa
ahol l=(40±0,05)cm=(0,4±0,0005)m a két alátámasztás távolsága m a meredekség I pedig a keresztmetszet másodrendű nyomatéka, jelen esetben téglalap keresztmetszetű rúdra, ahol a az alap, b a magasság. a=(8,425±0,002)mm b=(12,438±0,001)mm I=
ab 3 =(1,3510±0,0008)*10-9m4 12
∆I ∆a ∆b 0,002 0,001 = +3 = +3 =0,000479 I a b 8,425 12,438 8
2.
A mérés második felében a 4-es számú torziós szál torziómoduluszát mérjük meg egy torziós ingával. Ennek kiszámításához szükség van a huzal és az inga paramétereire, valamint az inga periódusidejére. Ezek ismeretében már ki tudjuk számítani az ingával ismeretlen testek tehetetlenségi nyomatékát – igaz ez ebben a mérésben már nem szerepelt. A mérési összeállítás olyan, hogy függ attól, hogy hogyan állítottam be az elején a torziós szál tartócsavarját, milyen magasan van az inga, akár a lengés amplitúdójától is, de attól mindenképpen, hogy az inga vertikálisan mozog-e, és ha igen, mennyire. Ezek itt nem igazán küszöbölhetőek ki, ezért érdemes kimérni ezek hatását a lengésre. Az első beállításnál ötször hagytam csillapodni, és mértem a periódusidőt. Ugyanazzal a tárcsahelyzettel (4. lyuk) leengedtem, újra összeraktam a mérést, ebből lett a második, majd megint elölről kezdve a harmadik mérés. i az összerakás sorszáma, x a mérés sorszáma (a másodiknál és a harmadiknál ez értelemszerűen egy), Tix pedig az i-dik összeállítás x-dik mérésből kapott periódusideje. i
x Tix(s)
1
1 2 3 4 5 2 3
7,4131 7,4105 7,4146 7,4104 7,4168 7,4110 7,4150
Csak az első öt adattal számolva, megnézve a csillapodás hatását: Az csillapodó periódusidő eltérése az átlagtól:
T1x=7,41308s 5
sT =
∑ ( ∆T
1x
0,000020s -0,002580s 0,001520s -0,002680s 0,003720s
)2
i =1
=0,00122450s 5*4 Vagyis az utolsó két, gép által mért jegyben már eltérés van a mérés alatti perturbációk miatt. 1x
Az első öt mérés átlagát és a második harmadik beállítást véve így függ a periódusidő a beállítástól: A beállítástól függő periódusidő eltérése az átlagtól:
Ti =7,4129s 3
sT =
∑ ( ∆T
ix
0,000187s -0,001893s 0,001707s
)2
i =1
=0,00104341s 3* 2 Tehát a beállítás miatti eltérés is az utolsó két jegyen már meglátszik. i
9
a(m) a2(m2) 0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
0 0,0009 0,0016 0,0025 0,0036 0,0049 0,0064 0,0081 0,01
T2(s2)
T(s) 5,2941 6,5688 7,4146 8,363 9,410 10,493 11,627 12,790 13,965
28,0275 43,1491 54,9763 69,940 88,548 110,103 135,187 163,584 195,021
Itt a a tárcsa távolsága az inga forgástengelyétől. Ennek hibája ±0,05mm, T az inga lengésének periódusideje, aminek a hibája az előbb számolt ±0,001s. Ezek nincsenek benne a táblázatban. A periódusidő négyzete a tengelytől való távolság négyzetének függvényében: "T.txt" f(x)
200
T2(s2)
150
100
50
0
0.002
0.004
0.006 2
2
a (m )
Itt az egyenes meredeksége m=(16700±20) valamint tengelymetszete b=28,2±0,08
10
0.008
0.01
Az ingára rakott két tárcsa (a 6-os és az 5-ös számú) adatai: i d6i(cm) ∆d6i=d6i-d6 (cm)
d5i(cm)
1 2 3 4 5
4,50 4,51 4,51 4,50 4,51
-0,0080 0,0020 0,0020 -0,0080 0,0120
4,50 4,51 4,51 4,50 4,52
∆d5i=d5i-d5 (cm) -0,0060 0,0040 0,0040 -0,0060 0,0040
ahol dxi az x-edik tárcsa átmérője az i-dik mérés szerint. A 6. számú tárcsa adatai: d6 =4,508cm 5
sd =
∑ ( ∆d
6i
)2
i =1
= 0,003742cm 5*4 d6=(4,508±0,004)cm r6=(2,254±0,002)cm m6=0,19629kg 6
Az 5. számú tárcsa adatai: d5 =4,506cm 5
sd =
∑ ( ∆d
5i
)2
i =1
= 0,002449cm 5*4 d5=(4,506±0,002)cm r5=(2,253±0,001)cm m5=0,19465kg 5
A torziós szál adatai: di a szál i-dik, csavarmikromérővel mért átmérője. i
di(mm) ∆di=di-d (mm)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0,511 0,511 0,509 0,508 0,512 0,510 0,511 0,509 0,510 0,508 0,508
0,0012727 0,0012727 -0,0007273 -0,0017273 0,0022727 0,0002727 0,0012727 -0,0007273 0,0002727 -0,0017273 -0,0017273
d =0,5097mm 5
sd = 5
∑ ( ∆d
5i
i =1
5*4
)2
=0,002449mm
11
d=(0,510±0,002)mm r=(0,255±0,001)mm l=(58,9±0,05 )cm A K állandó csak egy egyszerűsítés, hogy a végképletben ne kelljen ezt mindig kiírni. ∆K ∆l ∆r 0,05 0,001 = +4 = +4 =0,0165 K l r 58,9 0,255 8πl 0,589 =(3,50±0,06)*1015m-3 K= 4 =8π 4 0,000255 r Ezekből a torziómodulusz: ∆G ∆K ∆m 0,002 = + =0,0165+ =0,0177 G K m 1,67 m + m5 0,19629 + 0,19465 G=K 6 =3,5*1015* =(8,2±0,1)*1010GPa 16700 m A két tárcsa tehetetlenségi nyomatéka: ∆Θ 6 ∆r 0,002 =0,0017746 =2 6 =2 Θ6 r6 2,254 ∆Θ 5 ∆r 0,001 =2 5 =2 =0,0008878 Θ5 r5 2,253 1 1 Θ6= m6r62= *0,19629*0,0005081=(4,986±0,009)*10-5m2kg 2 2 1 1 Θ5= m5r52= *0,19465*0,02253=(4,940±0,004)*10-5m2kg 2 2 ∆b ∆m 8 0,002 + = + =0,004034 b m 2820 1,67
Θ=Θü+Θ6+Θ5+(m6+m5)a2=
=28,2
a(m)
Θ(m2kg)
0,00
0,000660
0,03
0,001012
0,04
0,001286
0,05
0,001638
0,06
0,002068
0,07
0,002576
0,08
0,003162
0,09
0,003827
0,10
0,004570
m + m5 Gb -Θ6-Θ5+ Θ6+Θ5+(m6+m5)a2=b 6 +(m6+m5)a2= k m
0,19629 + 0,19465 +(0,19629+0,19465)a2=6,6015*10-4+0,39094a2 16700
A fenti táblázatban az inga+tárcsák rendszer tehetetlenségi nyomatékát számoltam ki. Ez ábrázolva gyakorlatilag egy eltolt négyzetgyök. És végül az üres inga tehetetlenségi nyomatéka: m + m5 Θü=b 6 -Θ6-Θ5=(0,561±0,002)*10-3m2kg m
12
