Rugalmas állandók mérése (2-es számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Rugalmas állandók mérése (2-es számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Készítette: Puszta Adrián, II. éves fizikus Mérés ideje: 2007. 10. 02. Beadás ideje: 2007. 10. 09.

1/9

Rugalmas állandók mérése

A mérés leírása: A mérés során különbözõ alakú és anyagú rudak Young-moduluszát, valamint egy torziós szál torziómoduluszát akarjuk meghatározni. Elõbbit egy kétkarú emelõt is tartalmazó mûszerrel mérjük. A rudat különbözõ súlyokkal terhelve mérõórával (± 0.01 mm) megmérjük a rúd behajlását. Kétféle módszer szerint mérünk, elõször adott hosszúságú minta behajlását vizsgáljuk a terhelés függvényében, másik esetben pedig egy adott terheléshez tartozó behajlást mérjük a hosszúság függvényében. A torziómoduluszt a mérési leírásban szereplõ módon, a szálra erõsített torziós inga lengésidejébõl határozhatjuk meg. A mérés során az A5 jelû téglalap alapú rudat, és az S9 jelû hengeres rudat mértem.

A rudak geometriája: A téglalap alapú rúd hosszabb oldalát a-val, rövidebb oldalát b-vel jelölöm. Mindkét oldalát a rúd több pontján mértem, ezeknek az adatoknak az átlagát fogadom el, mint a rúd valós mérete. a = 11.95 mm ± 0.084 % b = 8.04 mm ± 0.224 % A henger átmérõje: d = 10.42 mm ± 0.038 % 1. mérés: Elsõ alkalommal a téglalap keresztmetszetû rudat fogtam be a mûszerbe, amely a hosszabb oldalán feküdt föl a tartószerkezetre. A mérés során a rúd hossza állandó volt (l = 38 cm), és a feszítõerõt változtattam. Az adatok lejjebb láthatók, az elsõ oszlopban a feszító erõ van (N), a másodikban a rúd behajlása 0.01 mm egységekben. 200

t_a_l =

Mérés ideje: 2007. okt. 2.

1

4.905

55

1

9.81

71

2

14.715

82

3

19.62

103

4

24.525

120

5

29.43

137

6

34.335

152

7

39.24

167

8

44.145

183

Lehajlás (0.01 mm)

0 0

150

100

50 0

10

2/9

20 30 Feszítõ erõ (N)

40

Készítette: Puszta Adrián II. éves fizikus


Az adatokra egyenest illesztettem, ennek egyenlete: y = 3.30955*x + 37.72222 Az s :=

3

1

l

⋅ F képletben az F együtthatója az illesztett függvény meredeksége (m). Ebbõl 48 E⋅ I 3

3

1 l a⋅ b ⋅ kifejezhetjük a Young-moduluszt: E := . Az I értéke ebben az esetben az 48 m⋅ I 12 képletbõl számolható, melynek értéke: 5.176 × 10

− 10

4

m.

Az adatokat SI mértékrendszerbe konvertálva, és behelyettesítve: E = 6.674 * 1010 Pa.

2. mérés: A mérést ugyanezen a rúdon végeztem, csak itt a terhelõ erõ volt állandó (4 kg -> 39.24 N), és az alátámasztásokkal a rúd hosszát változtattam. Az adatok lejjebb láthatók, az elsõ oszlopban a rúd hossza van (cm), a másodikban a rúd behajlása 0.01 mm egységekben.

t_a_m =

180

1

0

38 167

1

37 158

2

36 152

3

35 140

4

34 134

5

33 130

6

32 123

7

31 120

8

30 118

Lehajlás (0.01 mm)

0

160

140

120

100

30

32 34 36 Rúd hossza (cm)

38

Az (l3, s) adatpárokra egyenest illesztettem, amibõl aztán a harmadfokú görbe egyenletét is megkaptam: y = 1.824*10-3 *x3 + 65.083


3/9



1 F 3 3 ⋅ l képletben az l együtthatója az illesztett függvény meredeksége (m). Ebbõl 48 E⋅ I 1 F ⋅ kifejezhetjük a Young-moduluszt: E := . Az I értéke ugyanannyi, mint az elõbbi mérés 48 m⋅ I Az s :=

során, 5.176 × 10

− 10

4

m.

Az adatokat SI mértékrendszerbe konvertálva, és behelyettesítve: E = 8.661 * 1010 Pa. 3. mérés: Ez alkalommal szintén a téglalap keresztmetszetû rudat fogtam be a mûszerbe, amely a rövidebb oldalán feküdt föl a tartószerkezetre. A mérés során a rúd hossza állandó volt (l = 38 cm), és a feszítõerõt változtattam. Az adatok lejjebb láthatók, az elsõ oszlopban a feszító erõ van (N), a másodikban a rúd behajlása 0.01 mm egységekben. 140

t_b_l =

1

0

4.905

56

1

9.81

68

2

14.715

75

3

19.62

82

4

24.525

90

5

29.43

97

6

34.335

104

7

39.24

111

8

44.145

119

9

49.05

126

Lehajlás (0.01 mm)

0

120 100 80 60 40

0

10


40

Az adatokra egyenest illesztettem, ennek egyenlete: y = 1.53214*x + 51.46667 3

1 l ⋅ F képletben az F együtthatója az illesztett függvény meredeksége (m). Ebbõl Az s := 48 E⋅ I 3

3

1 l a ⋅b ⋅ kifejezhetjük a Young-moduluszt: E := . Az I értéke ebben az esetben az 48 m⋅ I 12 képletbõl számolható, melynek értéke: 1.143 × 10

− 10

4

m.



4/9



4. mérés: A mérést ugyanezen a rúdon végeztem, csak itt a terhelõ erõ volt állandó (5 kg -> 49.05 N), és az alátámasztásokkal a rúd hosszát változtattam. Az adatok lejjebb láthatók, az elsõ oszlopban a rúd hossza van (cm), a másodikban a rúd behajlása 0.01 mm egységekben.

t_a_m =

1

0

38 167

1

37 158

2

36 152

3

35 140

4

34 134

5

33 130

6

32 123

7

31 120

8

30 118

Lehajlás (0.01 mm)

0

120

100

80

30


38

Az (l3, s) adatpárokra egyenest illesztettem, amibõl aztán a harmadfokú görbe egyenletét is megkaptam: y = 1.311*10-3 *x3 + 51.818 1 F 3 3 ⋅ l képletben az l együtthatója az illesztett függvény meredeksége (m). Ebbõl 48 E⋅ I 1 F ⋅ kifejezhetjük a Young-moduluszt: E := . Az I értéke ugyanannyi, mint az elõbbi mérés 48 m⋅ I Az s :=

során, 1.143 × 10

− 10

4

m.

Az adatokat SI mértékrendszerbe konvertálva, és behelyettesítve: E = 6.819 * 1010 Pa. Összegzés: A rúd Young-moduluszára a különbözõ mérésekbõl a következõ értékek adódtak: 6.819, 6.526, 8.661, 6.674 (* 10 GPa). Ebbõl a 8.661-es érték nagyon eltér a többitõl, valószínûleg mérési hiba miatt, ezért nem veszem figyelembe a pontos érték kiszámításánál. A Young-modulusz anyagra jellemzõ, így a három adat átlagát veszem pontos értéknek: 6.673 * 10 GPa


5/9



Hibaszámítás: A hibát az 1. és 3. mérésben használt képlet tényezõinek hibájának összegébõl számolom. Mivel b-nek nagyobb a hibája, mint a-nak, ezért a b3-t tartalmazó I hibáját számolom. Az egyenes hibáját 0.015-nek becsülöm, és a hibát felfelé kerekítem, ezzel valószínûleg túlbecsülöm. ∆E ∆l ∆m ∆a ∆b := 3⋅ + + + 3⋅ = 2.5 % E l m a b A Young-modulusza a téglalap alapú rúdnak tehát: 6.673 * 10 GPa ± 2.5 % 5. mérés: Ez alkalommal a hengeres rudat fogtam be a mûszerbe. A mérés során a rúd hossza állandó volt (l = 38 cm), és a feszítõerõt változtattam. Az adatok lejjebb láthatók, az elsõ oszlopban a feszító erõ van (N), a másodikban a rúd behajlása 0.01 mm egységekben.

200

h_l =

1

0

4.905

67

1

9.81

85

2

14.715

101

3

19.62

111

4

24.525

132

5

29.43

148

6

34.335

162

7

39.24

179

8

44.145

194

9

49.05

209

Lehajlás (0.01 mm)

0

150

100

50 0

10


40

Az adatokra egyenest illesztettem, ennek egyenlete: y = 3.21255*x + 52.13333 Az s :=

1

3

l

⋅ F képletben az F együtthatója az illesztett függvény meredeksége (m). Ebbõl 48 E⋅ I 3

1 l π 4 ⋅ kifejezhetjük a Young-moduluszt: E := . Az I értéke ebben az esetben az ⋅ R 48 m⋅ I 4 képletbõl számolható, melynek értéke: 5.787 × 10

− 10

4

m.



6/9



6. mérés: A mérést ugyanezen a rúdon végeztem, csak itt a terhelõ erõ volt állandó (6 kg -> 58.86 N), és az alátámasztásokkal a rúd hosszát változtattam. Az adatok lejjebb láthatók, az elsõ oszlopban a rúd hossza van (cm), a másodikban a rúd behajlása 0.01 mm egységekben, a harmadikban a nullpont helyzete, a negyedikben a 2. és 3. oszlop különbsége. 200

h_m =

1

2

3

38 278

98 180

1

37 260

96 164

2

36 247

96 151

3

35 233

94 139

4

34 221

92 129

5

33 208

90 118

6

32 194

87 107

7

31 185

88

97

8

30 175

85

90

Lehajlás (0.01 mm)

0 0

150

100

30


38

Az (l3, s) adatpárokra egyenest illesztettem, amibõl aztán a harmadfokú görbe egyenletét is megkaptam: y = 3.212*10-3 *x3 + 2.112 1 F 3 3 ⋅ l képletben az l együtthatója az illesztett függvény meredeksége (m). Ebbõl 48 E⋅ I 1 F ⋅ kifejezhetjük a Young-moduluszt: E := . Az I értéke ugyanannyi, mint az elõbbi mérés 48 m⋅ I Az s :=

során, 5.176 × 10

− 10

4

m.

Az adatokat SI mértékrendszerbe konvertálva, és behelyettesítve: E = 6.596 * 1010 Pa. Hibaszámítás: A hibát az 5. mérésben használt képlet tényezõinek hibájának összegébõl számolom. Az egyenes hibáját 0.015-nek becsülöm, és a hibát felfelé kerekítem, ezzel valószínûleg itt is túlbecsülöm. ∆E ∆l ∆m ∆R := 3⋅ + + 4⋅ = 1.9 % E l m R Legvalószínûbb értéknek a két mérésbõl származó értékek átlagát veszem. A Young-modulusza a hengeres rúdnak tehát: 6.359 * 10 GPa ± 1.9 %


7/9



7. mérés A mérés során egy vékony szál torziómoduluszát (G) mértem torziós inga segítségével. Az ingára két tömeget A mérési adatok lejjeb láthatók, az elsõ oszlopban a tömegek távolsága a forgástengelytõl (a), a másodikban 10 lengés ideje van (10 T).

torzio =

200

1

0

0

53.36

1

3

66.2

2

4 74.707

3

5 84.463

4

6 94.944

5

7 105.932

6

8 117.532

7

9 129.098

8

10 141.36

T négyzet

0

100

0

100

0

50 'a' négyzet

100

Az (a2, T2) adatpárokra egyenest illesztettem, aminek egyenlete: T2 = 1.711*a2 + 28.462 Az egyenes meredekségébõl a G kiszámolható: G := K⋅

m1 + m2 m

, ahol K :=

8πl 4

, m és m az

r

1

2

ingára helyezett testek tömege, m az egyenes meredeksége. Adatok: m1 = (196.3615 ± 0.0001) g m2 = (194.6567 ± 0.0001) g r = (0.255 ± 0.005) mm l = (59.5 ± 0.25) cm

(8-as jelû tömeg) (5-ös jelû tömeg)

Az adatokat SI-be átváltva (m-et is !) G-re a következõ érték adódik: G = 8.081 * 10 GPa Az egyenes tengelymetszetébõl megkapjuk az üres inga tehetetlenségi nyomatékát: Θ ü :=

G⋅ b K

− Θ s1 − Θ s2 , ahol b a tengelymetszet, Θ és Θ s1

s2

a tömegek tehetetlenségi

nyomatéka.


8/9



Adatok: Θs1 = 0.5*m1*R12 Θs2 = 0.5*m2*R22 R1 = (2.25 ± 0.05) cm R2 = (2.25 ± 0.05) cm Az adatokat SI-be átváltva, és behelyettesítve: Θü = 5.514 * 10-4 kg*m2 Hibaszámítás: A torziómodulusz hibája: ∆G ∆l ∆ ( 2⋅ r) ∆m := + 4⋅ + = 5.8 % G l ( 2⋅ r) m A tömegmérés hibáját elhanyagoltam, illetve belevettem az egyenes meredekségének hibájába, mert 10-7 nagyságrendû a hibája. A torziómodulusz tehát: G = 8.081 * 10 GPa ± 5.8 % Az üres inga tehetetlenségi nyomatékának hibája: ∆Θü = ∆(b*(m1 + m2)/m) + ∆Θs1 + ∆Θs2 ∆Θ s1 Θ s1 ∆Θ s2 Θ s2

:=

:=

∆m1 m1 ∆m2 m2

+ 2⋅

+ 2⋅

∆ ( 2⋅ R1) 2 R1 ∆ ( 2⋅ R2) 2 R2

-6

2

-6

2

= 2.2 % --> ∆Θ = 1.092 * 10 kg*m s1

= 2.2 % --> ∆Θ = 1.084 * 10 kg*m s2

Az elsõ tag hibáját nem számolom ki, nagyságrendileg ugyanannyi lehet, mint az elõzõ két tag hibája. ∆Θü = 3 * 1.09 * 10-6 = 3.27 * 10-6 kg*m2 Az üres inga tehetetlenségi nyomatéka tehát: Θü = (5.51 ± 0.03) * 10-4 kg*m2


9/9


Rugalmas állandók mérése (2-es számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Recommend Documents