K LASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 2.
MÉRÉS
Rugalmas állandók mérése
Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE
Mérés id˝opontja:
2011. november 16. Szerda délel˝otti csoport
1. A mérés rövid leírása Mérésem során különböz˝o anyagok rugalmas tulajdonságait kellett vizsgálnom. Erre két módszert alkalmaztam. Az egyikben egy hengeres rúd s egy téglatest Young-moduluszát határoztam meg statikusan, különböz˝o súlyokkal terhelve o˝ ket, és a lehajlásukat vizsgálva. Ebben a mérésben a téglalap alapú hasáb rövidebb és hosszabb élére is megvizsgáltam az összefüggést. A másik módszerrel egy torziós szál torziómoduluszának meghatározására a torziós inga periódusidejét határoztam meg, különböz˝o tehetetlenségi nyomatékokra.
2. A mérés eszközei • A3 jel˝u téglalap alpú hasáb • S9 jel˝u hengeres rúd • Súlyok • Kétkarú emel˝o • 7-es és 8-as tárcsák • Tolómér˝o, mér˝oszalag, csavarmikrométer • Torziós inga • Analitikai mérleg
3. A mérés elmélete 3.1. A Young-modulusz mérése A mérés alapja a testek rugalmas deformációjának azon jellemz˝oje, hogy a testek bizonyos részei lehajlás során rövidülnek, vagy megnyúlnak, de mindig lesz egy olyan rész, az ún. neutrális zóna, melynek hossza állandó marad. Erre [1] alapján felírhatjuk az alábbi összefüggést: s=
1 l3 F 48 EI
ahol s a lehajlás nagysága, l a felfüggesztések távolsága, I a keresztmetszet másodrend˝u nyomatéka F a testre ható, deformáló er˝o, E pedig a keresett Youngmodulusz. I definíciója: Z z 2 dF
I=
F
1
Ezt tehát a minta alakja határozza meg. Mérésünkben kör keresztmetszet˝u, és téglalap alakú formák fordulnak el˝o, ezekre: Ik =
R4 π 4
It =
ab3 12
ahol a az alap, és b a magasság.
3.2. Torziós modulusz mérése A torziós modulusz (G) és az inga periódusideje (T ) között az alábbi összefüggés áll fenn: Θ G=k 2 T 8πl K= 4 r ahol Θ a rendszer tehetetlenségi nyomatéka és K a torziós szál jellemzésére használt mennyiség, l a torziás szál hossza, r a sugara. Θ nem ismert, ezért a felhelyezett két tárcsát úgy célszer˝u választanunk, hogy azok közel azonos tömeg˝uek legyenek, és Θ1 ≈ Θ2 . A távolságuk a tengelyt˝ol a. A tehetetlenségi nyomatéka a tárcsáknak, ha R a tárcsa sugara: 1 Θtárcsa = mR2 2 Ekkor igaz az alábbi összefüggés: Θ = Θü + Θ1 + Θ2 + (m1 + m2 )a2 ahol Θü az üres inga tehetetlenségi nyomatéka, (m1 + m2 )a2 pedig a Steiner-tétel következménye. K(m1 + m2 ) 2 K (Θ + Θ1 + Θ2 ) + a G G A T 2 (a2 ) adatokra egynest illesztek, innen számolhatóak al alábbi mennyiségek: T2 =
K (m1 + m2 ) G K b = Θ + Θ1 + Θ2 G ahol m az egyenes meredksége, b pedig a tengelymetszete. A torziómodulusz innen tehát: m1 + m2 G=K m Az üres inga tehetetlenségi nyomatéka: m=
Θ=
Gb − Θ1 − Θ2 K 2
4. Mérési eredmények és kiértékelés 4.1. Young-modulusz Fontos eltérés a mérési leírásban ([1]) szerepl˝o módszerhez képest, hogy a kapott mintákat a kétkarú emel˝obe való befogáskor nem használtam állandó terhelést. Ezt azért tehettem, mert a számomra fontos adat az er˝o-behajlás egyenes meredeksége, nem pedig a tengellyel alkotott metszéspontja. Azonban azt biztosítottam, hogy a terhel˝o kar mindig megfeszüljön, hogy a minta ne mozdulhasson el, ezáltal a mér˝oóra állása ne változzon. A testeket lehet˝oleg szimmetrikusan támasztottam alá.
4.1.1.
Az A3 jelu˝ hasáb
Az általam mért A3 jel˝u hasábra kapott geometriai adatok:
Átlag
Hosszabb él a [mm] 11,98 12,01 11,99 11,99
Rövidebb él b [mm] 7,86 7,87 7,86 7,86
1. táblázat. Az A3 jel˝u test geometriai adatai A hosszmérés hibája ∆a = ∆b = 0.01mm. Ennek lehajlási nyomatéka: Ia oldal =
ab3 = 486 ± 1, 9mm4 12
ba3 = 1133 ± 6, 5mm4 12 A rögzítés távolsága l = 36 cm volt. Az erre mért lehajlási értékek a (2). táblázatban találhatók. Az ezen pontokra illesztett egyenesek paraméterei: Ib oldal =
ma alap = 0, 0277 ± 0, 0005
mm N
ba alap = 0, 15 ± 0, 02mm mm mb alap = 0, 0126 ± 0, 0002 N bb alap = 0, 26 ± 0, 01mm Az egyenesek egyenlete a (1). ábrán láthatók. 3
Hosszabb él, a az alap m [kg] F [N] s [mm] 0,75 7,36 0,40 1 9,81 0,43 1,25 12,26 0,47 2 19,62 0,67 2,5 24,53 0,80 3 29,43 0,95 3,5 34,34 1,09 4 39,24 1,22 4,5 44,15 1,37 5 49,05 1,51 5,5 53,96 1,67
Rövidebb él, b az alap m [kg] F [N] s [mm] 1 9,81 0,42 1,5 14,72 0,45 2 19,62 0,50 2,5 24,53 0,56 3 29,43 0,62 3,5 34,34 0,68 4 39,24 0,75 4,5 44,15 0,81 5 49,05 0,87 5,5 53,96 0,93 6 58,86 1,01 6,5 63,77 1,08 7 68,67 1,15
2. táblázat. Az A3 jel˝u test tömeg-er˝o-lehajlás értékei
Illesztett egyenes, a alap Adatok, a alap Illesztett egyenes, b alap Adatok, b alap
2
s [mm]
1.5
1
0.5
10
20
30
40
50
60
F [N]
1. ábra. A hasáb adataira illesztett egyenesek, és a mért adatok Ezekb˝ol már számolható a Young-modulusz: Ea =
1 l3 = (72, 3 ± 2, 1) GPa 48 Ia ma 4
70
1 l3 = (67, 9 ± 2, 2) GPa 48 Ib mb A hibát az alábbi képlet alapján számoltam: ∆m ∆l ∆I +3 + ∆E = E m l I Eb =
4.1.2.
Az S9 jelu˝ rúd
Ezután lemértem az S9 jel˝u rudat, aminek az alábbiak a geometriai adatai:
Átlag Sugár
Átmér˝o d [mm] 9,92 9,91 9,91 9,91 4,96
3. táblázat. Az A3 jel˝u test geometriai adatai Ennek lehajlási nyomatéka: R4 π = 474 ± 1, 1mm4 4 Az erre mért lehajlási értékek a (4). táblázatban találhatók. Irúd =
m [kg] 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
F [N] 4,91 7,36 9,81 12,26 14,72 19,62 24,53 29,43 34,34 39,24 44,15 49,05
s [mm] 0,52 0,58 0,64 0,71 0,77 0,90 1,03 1,17 1,28 1,42 1,56 1,71
4. táblázat. Az S9 jel˝u rúd tömeg-er˝o-lehajlás értékei Az ezen pontokra illesztett egyenesek paraméterei: mrúd = 0, 0267 ± 0, 0002 5
mm N
brúd = 0, 379 ± 0, 005mm Az egyenesek a (2). ábrán láthatók.
Illesztett egyenes Adatok
1.8 1.6
s [mm]
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
F [N]
2. ábra. A rúd adataira illesztett egyenes, és a mért adatok Ezekb˝ol már számolható a Young-modulusz: Erúd = 4.1.3.
1 l3 = (72, 3 ± 1, 4) GPa 48 Irúd mrúd
A lehajlás és az alátámasztás közti összefüggés
Ezt követ˝oen vizsgáltam a lehajlás (s) és az alátámastás helye (l) közötti összefüggést. A mérést az A3-as hasábbal végeztem. Azért ezt választottam, és nem a rudat, mert a rúd elfordulásából származó hibát így kiküszöbölhetem. Minden hossznál két tömeggel végeztem el a mérést. A feladat az volt, hogy kimutassam, hogy s l köbével lesz arányos, azaz s(l3 ) (Itt s = s2 −s1 , azaz a két lehajlás különbsége). A két tömegem m1 = 1kg és m2 = 6kg voltak. Az adatokat a (5). táblázat, az illesztett egyenest a (3). grafikon tartalmazza.
6
l3 [m3 ] 0,0017 0,0041 0,0080 0,0138 0,0220 0,0328 0,0467 0,0640
l/2 [m] 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40
s1 [mm] 0,26 0,28 0,42 0,32 0,32 0,44 0,53 0,51
s2 [mm] 0,45 0,44 0,61 0,77 1,21 1,53 2,01 2,46
s [mm] 0,19 0,16 0,19 0,45 0,89 1,09 1,48 1,95
5. táblázat. Az A3 jel˝u hasáb mért értékei
Illesztett egyenes Adatok
2
s [mm]
1.5
1
0.5
0 0
0.01
0.02
0.03 3
0.04
0.05
0.06
0.07
3
l [m ]
3. ábra. A rúd adataira illesztett egyenes, és a mért adatok
m = 29, 94 ± 1, 5
mm m3
1 F = 70, 2 ± 4, 1GPa 48 Im Jól láthatóan itt a hiba nagyobb, mint az el˝oz˝o mérésnél, ám az értékek jó közelítéssel egyeznek. E=
7
4.2. Torziómodulusz mérése A következ˝o feladatom a torziós inga torziómoduluszának kimérése volt. Az inga periódusidejét vizsgáltam különböz˝o tárcsahelyzetek, azaz tehetetlenségi nyomatékok esetén. A tárcsák geometriai- és tömegadatait a (6). táblázat tartalmazza. Szám 7 8
m [g] 196,8395 196,2783
d [cm] 4,505 4,5
R [cm] 2,25 2,25
6. táblázat. A tárcsák adatai A tárcsák tehetetlenségi nyomatékai: Θ7 = 4, 892 ± 0, 2210−5 kgm2 Θ8 = 4, 968 ± 0, 2210−5 kgm2
Ahol a hiba:
∆Θi = Θi
∆Ri ∆mi +2 mi Ri
A torziós szál l = 59, 7 ± 0, 1cm hosszú, és d = 0, 51 ± 0, 01mm átmér˝oj˝u, azaz a sugara r = 0, 255 ± 0, 005mm. Innen számolható a K: K=
1 8πl = 3, 55 · 1015 ± 0, 28 · 1015 3 r4 m
Itt K hibáját a következ˝o módon számoltam: ∆l ∆r ∆K = K +4 l r A periódusid˝oket a (7). táblázat mutatja. A hibamérés a (8). táblázatban található. a [cm] 0 3 4 5 6 7 8 9 10
a2 [cm2 ] 0 9 16 25 36 49 64 81 100
10T [s] 55,257 68,189 76,461 86,552 97,290 108,440 121,105 131,751 142,814
T [s] 5,526 6,819 7,646 8,655 9,729 10,844 12,111 13,175 14,281
7. táblázat. A mért periódusid˝ok 8
T 2 [s2 ] 30,5334 46,4974 58,4628 74,9125 94,6534 117,5923 146,6642 173,5833 203,9584
T1 T2 T3 10T ∆10T ∆T
86,552 86,768 86,753 86,691 0,14 0,014
8. táblázat. A mért 5. periódusid˝o - hibaszámítás A mért, és megfelel˝o hatványra hozott adatpontokra egyenest illesztettem, ennek grafikonja a (4).
Illesztett egyenes Adatok
200
T2 [s2]
150
100
50
0
20
40
60 2
2
a [cm ]
4. ábra. A toziós inga T 2 (a2 ) grafikonja Az egyenes paraméterei: m = 1, 75 ± 0, 02
s2 cm2
b = 31, 2 ± 0, 9 s2 Ebb˝ol már számolhatjuk a torziómoduluszt: G=K
M7 + M8 = 79, 5 ± 7 GPa m 9
80
100
A tengelymetszet segítségével számolható az üres inga tehetetlenségi nyomatéka: Θüres = (M7 + M8 ) ahol: ∆G = G
b − Θ7 − Θ8 = 6 · 10−4 ± 4, 3 · 10−6 kgm2 m
∆M7 + ∆M8 ∆m ∆K + + K M7 + M8 m
Hivatkozások [1] Böhönyey - Havancsák - Huhn: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, Szerkesztette: Havancsák Károly, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2003.
10
