Térbeli káosz diszkrét mechanikai rendszerekben: rugalmas rúdláncok és rugalmas rúdhálók

TARTÓSZERKEZETEK M ECHANIKÁJA TANSZÉK

Térbeli káosz diszkrét mechanikai rendszerekben: rugalmas rúdláncok és rugalmas rúdhálók PhD értekezés

KOCSIS Attila

Tudományos vezet˝o: Dr. K ÁROLYI György

Budapest, 2008.

TARTALOMJEGYZÉK

Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

ii

Ábrák jegyzéke

v

Nyilatkozat

vi

1. El˝ozmények, célkituzések ˝ 1.1. Az Euler-feladat folytonos és diszkrét modelljei . . . . . . . . . 1.1.1. A folytonos modell és kapcsolata a matematikai ingával 1.1.2. A diszkrét modell és kapcsolata a standard leképezéssel 1.2. Konzervatív kaotikus rendszerek jellemz˝oi . . . . . . . . . . . . 1.3. Az értekezés felépítése, célkit˝uzései . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1 . 3 . 3 . 5 . 9 . 12

2. Rugalmas rúdláncok 2.1. Követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc síkbeli kihajlása . . . . . . 2.1.1. Kételem˝u, követ˝oer˝os, kéttámaszú rugalmas rúdlánc . . . . . . . . . . 2.1.2. Kett˝onél több elem˝u, követ˝oer˝os, kéttámaszú rugalmas rúdláncok . . . 2.2. Konzolos rugalmas rúdláncok síkbeli kihajlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Általános terhelés, nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedés . . . . . 2.2.2. Az egyensúlyi helyzetek rendszerezése néhány konkrét terhelési esetben 2.3. Térbeli káosz rugalmas rúdláncoknál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Egyensúlyi konfigurációk és periodikus pályák . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. A megoldások száma, a tartomány hossza és a térbeli bonyolultság . . . 2.4. Rugalmas rúdláncok bifurkációanalízise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes er˝o a szabad végen . . . . . . . 2.4.2. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes er˝o a csuklókon . . . . . . . . . 2.4.3. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes megoszló teher . . . . . . . . . 2.4.4. Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc . . . . . . . . . 2.4.5. Követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc . . . . . . . . . . .

14 15 17 19 22 23 27 36 36 40 44 44 50 52 54 55

3. Rugalmas rúdhálók 3.1. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Egyensúlyi egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Globális szimmetriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57 58 61

i

TARTALOMJEGYZÉK

3.1.3. Bifurkációanalízis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Katasztrófaanalízis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Kisebb méret˝u rúdhálók egyensúlyi helyzetei – analitikus megoldás . 3.1.6. Az egyensúlyi egyenletek numerikus megoldása . . . . . . . . . . . 3.2. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló el˝ofeszített spirálrugókkal 3.2.1. Egyensúlyi egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Globális szimmetriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Bifurkációanalízis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Az egyensúlyi állapotok numerikus számítása . . . . . . . . . . . . . 3.3. Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Egyensúlyi egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Globális szimmetriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Bifurkációanalízis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Az egyensúlyi egyenletek megoldásáról . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Rugalmas rúdháló és csak nyírási deformációra képes rúd . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

61 63 65 71 79 80 81 81 82 84 84 86 86 86 89

4. Az eredmények összefoglalása, tézisek

93

Összefoglaló és tézisek angol nyelven – Summary and Theses

97

Köszönetnyilvánítás

99

A. Függelék. Részletes bizonyítások A.1. Konzolos rugalmas rúdláncok egyensúlyi helyzetei és a megfelel˝o dinamikai rendszer periodikus pályái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. A J mátrix sajátértékei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló potenciális energia függvényének szétválasztása a kritikus pontban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló triviális egyensúlyi útjának elágazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irodalomjegyzék

100 . 100 . 105 . 106 . 109 111

ii

ÁBRÁK JEGYZÉKE

Ábrák jegyzéke 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Az Euler-kihajlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az Euler-kihajlás bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc . . . . . . . . . . . . Négyelem˝u, kéttámaszú, támaszvonalában terhelt rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Kéttámaszú, követ˝oer˝ovel terhelt rugalmas rúdlánc mechanikai modellje . . . 2.2. Követ˝oer˝o által végzett munka egy zárt pályán . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Kételem˝u, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Négyelem˝u, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Hételem˝u, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc mechanikai modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Követ˝oer˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje . . . . 2.8. Vízszintes megoszló er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Vízszintes megoszló er˝o által végzett munka egy zárt pályán . . . . . . . . . 2.10. Négyelem˝u, vízszintes megoszló er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit származtató leképezés fázisportréi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Négyelem˝u, szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Tizenötelem˝u, szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Vízszintes er˝ovel a csuklókon terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Négyelem˝u, csuklóin vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

. . .

3 4 5

.

7

. 15 . 16 . 19 . 21 . 21 . 22 . 27 . 29 . 29 . 30 . 31 . 32 . 33 . 33 . 34 . 35

ÁBRÁK JEGYZÉKE

2.17. A megfelel˝o dinamikai rendszer periodikus pályája – általános terhelés˝u, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18. Szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja és a megfelel˝o dinamikai rendszer egy periodikus pályája közötti kapcsolat szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19. Megoldások száma a teherparaméter függvényében szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, különböz˝o elemszámú, konzolos rugalmas rúdláncoknál . . . . . 2.20. Megoldások száma a teherparaméter függvényében vízszintes megoszló er˝ovel terhelt, különböz˝o elemszámú, konzolos rugalmas rúdláncoknál . . . . . . . . 2.21. Nyújtás és hajtogatás a fázistérben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22. Háromelem˝u, vízszintes er˝ovel a szabad végén terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és a lehetséges megoldások tartományát jelöl˝o határok 2.23. Az összes megoldás a teherparaméter függvényében szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, különböz˝o elemszámú, konzolos rugalmas rúdláncoknál . . . . . 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10.

3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16.

3.17.

A rugalmas rúdháló mechanikai modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló . . . . . . . . . . . . . . Az egyensúlyi egyenletek fizikai tartalma: rúdháló-szeletek vetületi egyenletei Egyensúlyi konfigurációk származtatása a szimmetria-tulajdonságokból . . . Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja, M = 2, N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . A k-ra tett korlátok magyarázata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az l-re tett korlátok magyarázata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramjának részlete, M = 2, N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Néhány egyensúlyi konfiguráció az A) és a B) megoldásokra, M = 2, N = 3 Példa az M = 2 oszlopsoros, N = 3 gerendasoros, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló egy egyensúlyi konfigurációjából nagyobb méret˝u rúdhálók egyensúlyi helyzeteinek származtatására . . . . . . . . . . . . . . . Megoldások száma a teherparaméter függvényében különböz˝o méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál . . . . . . . . . . . . . . Egyensúlyi utak az M = 8, N = 3 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyensúlyi utak az M = 4, N = 4 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyensúlyi utak a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 8, N = 3 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál Egyensúlyi utak a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4, N = 4 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál A paramétertér diszkretizálásából adódó 2-es típusú parazitamegoldások a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4, N = 4 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál . . . . . . . . . . . . . . . Egyensúlyi utak a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4, N = 5 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál iv

. . . .

38

39 40 41 43 50 51 57 58 60 62

. 66 . 67 . 68 . 69 . 70

. 71 . 74 . 75 . 75 . 77 . 77

. 78 . 78

ÁBRÁK JEGYZÉKE

3.18. Speciálisan el˝ofeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19. Megoldások száma a teherparaméter függvényében az N = 2, M = 2, 3, 4, 5, 6 méret˝u, speciálisan el˝ofeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20. Megoldások száma a teherparaméter függvényében az N = 3, M = 2, 3, 4, 5, 6 méret˝u, speciálisan el˝ofeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21. Fix csuklóval és a terhelés irányára mer˝oleges er˝o felvételére képes görg˝os támasszal ellátott, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló . . . . . . 3.22. Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló néhány egyensúlyi felülete, M = 2, N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.23. A rugalmas rúdháló nyírási merevségének szemléltetése: egy szegmens elemi nyírási torzulása és a szegmens oszlopainak kapcsolati er˝oi . . . . . . . . . . 3.24. Az egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló és a támaszvonalában terhelt, kéttámaszú, csak nyírási deformációra képes rúd közötti, a triviális egyensúlyi út kis környezetében érvényes analógia szemléltetése . . . . . . . . . . 3.25. Az egyirányban terhelt, alsó csomopontjainál megtámasztott rugalmas rúdháló és a befogott, szabad végén tengelyirányban terhelt, csak nyírási deformációra képes rúd közötti, a triviális egyensúlyi út kis környezetében érvényes analógia szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

. 79

. 83

. 83 . 84 . 87 . 89

. 91

. 91

NYILATKOZAT

Nyilatkozat Jelen értekezés bírálatai és a védésr˝ol készült jegyz˝okönyv az eljárás lezárultával a Budapesti M˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Épít˝omérnöki Karának Dékáni Hivatalában elérhet˝oek. Alulírott Kocsis Attila kijelentem, hogy ezt a doktori értekezést magam készítettem, és abban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint, vagy azonos tartalomban, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelm˝uen, a források megadásával megjelöltem.

Budapest, 2008. június 9. Kocsis Attila

vi

˝ ˝ 1. FEJEZET. ELOZMÉNYEK, CÉLKITUZÉSEK

1. fejezet El˝ozmények, célkituzések ˝ Az els˝o kihajlási feladat [25] megoldása óta sokféle rúd és rúdszerkezet esetében határozták meg a kritikus terhet, illetve az egyensúlyi konfigurációkat. A mérnöki gyakorlatban többnyire az els˝o kihajlási alak és a hozzá tartozó kritikus teher az érdekes, a tökéletlenség-érzékenység szempontjából azonban fontos a posztkritikus állapotok vizsgálata is. A mérnöki gyakorlaton túl a biológiában is fontos szerep jut a rudak és rúdszerkezetek egyensúlyi konfigurációinak: szálas biológiai struktúráknál – mint a DNS, a bio-polimerek, vagy a kacsok, indák – bonyolult térbeli megjelenés figyelhet˝o meg [9–11, 13, 20, 31–32, 52–53, 58, 63]. A biológiai alkalmazásokból vett példákban közös, hogy (folytonos vagy diszkrét) rúdmodellt használnak a modellezéshez, illetve, hogy a posztkritikus viselkedés vizsgálata kerül a figyelem középpontjába. Ezek eredményeit a sok-sok egyensúlyi helyzet, az azokhoz tartozó bonyolult térbeli alakok és a komplex bifurkációs diagram jellemzi. Rudak illetve rúdszerkezetek bonyolult konfigurációinak leírásához a káoszelmélet nyújt megfelel˝o eszközöket. A kihajlott rúdszerkezetek bonyolult térbeli alakjához a térbeli káosz [1, 12, 15, 18, 23–24, 43, 45–46, 54, 68] fogalmát társítják, mivel a kihajlási problémát leíró egyenletek egy kaotikus dinamikai rendszerre emlékeztetnek, azzal a különbséggel, hogy a változó nem az id˝o, hanem egy térbeli változó (pl. a rúd ívhossza). Az elnevezés mérnökök számára félrevezet˝o lehet, mivel mi a térbeli jelz˝ohöz a háromdimenziós Euklideszi teret társítjuk. A térbeli káosz elnevezést ennek ellenére az egy térbeli változóval (pl. ívhosszal) leírható, bonyolult, sokféle egyensúlyi alakokat felvenni képes szerkezetekre (is) használják, ezzel jelezve, hogy itt a kaotikus viselkedés nem id˝oben jelentkezik. Emiatt lehetne a jelenséget id˝ot˝ol független káosznak is nevezni, mi azonban a továbbiakban megmaradunk a szakirodalomban elterjedtebb térbeli káosz elnevezésnél. Ilyen térben kaotikus viselkedést figyeltek meg makromolekulák konfigurációjának vizsgálatakor [53, 63], a DNS feltekeredésének leírásakor [9–10], vagy kacsok, indák, kúszó növények [31–32] mechanikai modellezésénél, valamint mágnesszalagok, tengeri kábelek feltekeredésekor [33, 36] és periodikusan változó hajlítómerevség˝u folytonos rudak kihajlott alakjainak jellemzésekor [12] is. Az id˝obeli káosz jól definiált, a térbeli káosz jellemzésénél azonban két probléma is felmerül. Az egyik, hogy egy kihajlási feladat mindig peremérték-feladatra vezet, az egyenleteket véges tartományon, peremfeltételek figyelembevételével kell megoldani, az eredményül kapott trajektóriák véges hosszúságúak. A dinamikai rendszerek kezdetiérték-feladatok, az egyenleteket kezdetiértékek mellett kell megoldani és az eredményül kapott trajektóriák vég1


telen hosszúak. A másik probléma, hogy míg egyetlen lényeges térbeli kiterjedéssel rendelkez˝o szerkezeteknél (például rudaknál) az ívhossznak megfeleltethet˝o az id˝o, addig több (2 vagy 3) lényeges térbeli kiterjedéssel bíró szerkezeteknél (lemezek, tárcsák, héjak, tömbök) a térbeli változóknak több (2 vagy 3) id˝ováltozó felelne meg, így az id˝obeliség analógiájára itt már nem támaszkodhatunk, még a vizsgált tartomány végtelen kiterjesztésével sem. A térbeli káosz fogalma nincs még kell˝oen tisztázva. Úgy szokták definiálni, mint a dinamikai rendszerek kaotikus viselkedését, de ez csak akkor állja meg a helyét, ha a probléma egyetlen térbeli változóval leírható és a vizsgált tartomány végtelen hosszú. Jogosan merül fel a kérdés, hogy hogyan lehet a térbeli káoszt úgy definiálni, hogy az alkalmazható legyen véges és egynél magasabb dimenziós tartományokon is. Mindeddig kihajlásvizsgálatot f˝oleg konzervatív er˝okkel terhelt szerkezetekre végeztek. Konzervatívnak nevezünk egy er˝oteret, ha az id˝oben állandó, és van olyan U = U (x, y, z) egyérték˝u skalár függvény – a potenciál –, melynek negatív gradiense az er˝o: F = − grad U [8]. Ebb˝ H ol következik, hogy konzervatív er˝otérben bármely zárt görbe mentén végzett munka zérus: F · ds = 0 [8]. A továbbiakban a konzervatív er˝oket potenciálosnak hívjuk. Ha egy szerkezetre csak potenciálos er˝ok hatnak, az egyensúlyi vizsgálathoz energia-módszer, vagy egyensúlyi (statikai) módszer egyaránt alkalmazható [48]. Az egyensúlyi helyzetek stabilitása energia-módszerrel határozható meg. Van néhány példa nemkonzervatív er˝o hatására történ˝o kihajlás vizsgálatára is, mint pl. a Beck-probléma, vagyis a követ˝oer˝ovel terhelt gerenda vizsgálata [5, 60], ami azt mutatja, hogy a nemkonzervatív terhek hatása is érdekes és fontos lehet. Egyensúlyi vizsgálatokhoz nemkonzervatív er˝oknél az energia-módszer nem alkalmazható. Az egyensúlyi módszerrel is csak az egyensúlyi helyzetek számíthatók, de az egyensúlyi helyzetek stabilitása nem tárgyalható, ahhoz a dinamikai stabilitásvesztéshez tartozó állapotokat kell kinetikai módszerrel meghatároznunk [48]. Az értekezésben egy és két lényeges térbeli kiterjedés˝u, diszkrét mechanikai modellek statikai egyensúlyi helyzeteinek rendszerezését, néhány speciális esetben az egyensúlyi állapotok stabilitását, valamint az egyensúlyi helyzetek alkotta egyensúlyi utak bifurkációs pontjainak számítását mutatjuk be. Ezen keresztül a térbeli káosz megjelenésének ismertet˝ojeleivel, azonosításával foglalkozunk. Tekintsünk át el˝oször néhány fontos eredményt folytonos és diszkrét rúdmodellek kihajlásával kapcsolatban, valamint a kaotikus dinamikának a konzervatív kaotikus rendszerekre használt azon alapfogalmait és mennyiségeit, melyek a dolgozat megértéséhez szükségesek!

2


1.1.

Az Euler-feladat folytonos és diszkrét modelljei

1.1.1. A folytonos modell és kapcsolata a matematikai ingával Az Euler-feladat [25] egy fix csuklóval és egy görg˝os támasszal a végein megtámasztott, L hosszúságú, folytonos rúd síkban történ˝o kihajlásának vizsgálata a görg˝os támasznál statikusan m˝uköd˝o, a támaszokon átmen˝o hatásvonalú, központos P nyomóer˝o hatására (1.1. ábra). A rúd homogén, egyenes tengely˝u, állandó keresztmetszt˝u, lineárisan rugalmas, végtelen nagy nyíróés normálmerevség˝u, EI hajlítómerevség˝u és érvényes rá a sík keresztmetszetek elve. A feladat EI

α (s) y(s) P

s=0

s=L

000 111 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111

000 111 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

P

1.1. ábra. Az Euler-kihajlás [42] az összes létez˝o egyensúlyi állapot megkeresése. Az egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletekb˝ol a λ = P L2 /(EI) dimenziótlan teherparaméter és az s → sL dimenziótlan ívhossz bevezetésével az alábbi másodrend˝u, közönséges, homogén, nemlineáris differenciálegyenlet írható fel [15, 70]: d2 α(s) + λ sin α(s) = 0, (1.1) ds2 ahol s ∈ [0, 1] a rúd dimenziótlan ívhossza, α(s) a rúdtengely érint˝ojének szöge. Az (1.1) differenciálegyenlet a hozzá tartozó dα(s) dα(s) = 0, =0 ds s=0 ds s=1 peremfeltételekkel együtt egy peremérték-feladatot alkot. Az (1.1) másodrend˝u differenciálegyenletet két els˝orend˝u differenciálegyenletté átírva az analitikusan megoldható a Jacobi elliptikus függvények használatával [19, 70]. Az egyensúlyi állapotok rendszerezése az ún. bifurkációs diagramon történik. A diagram függ˝oleges tengelyén a λ teherparaméter nagysága, vízszintes tengelyén a rúdtengely kezd˝oponti érint˝ojének α0 szöge van feltüntetve. A diagram minden egyes pontja egy-egy egyensúlyi állapotot jelöl. Ezen pontok vonalakat, ún. egyensúlyi utakat rajzolnak ki az (α0 , λ) síkon. Az 1.2. ábra mutatja az Euler-kihajlás bifurkációs diagramját az α0 ∈ [0, π], λ/π 2 ∈ [0, 30] tartományon. Néhány egyensúlyi úthoz sematikus rúdalakok is ábrázolva vannak. A diagram tükörszimmetrikus az α0 = 0 függ˝oleges tengelyre. A triviális egyensúlyi út a kihajlási feladat triviális megoldásainak összessége (α0 ≡ 0, λ tetsz˝oleges). A diagramon ez a függ˝oleges α0 = 0 egyenes, a hozzá tartozó egyensúlyi alak a kezdeti, egyenes rúdtengely. A triviális egyensúlyi útról végtelen sok másodlagos út ágazik le szimmetrikus elágazások (vasvillabifurkációk) formájában a λkr = n2 π 2 kritikus teherparaméterek értékeinél [39–40]. A kihajlott 3

˝ ˝ 1. FEJEZET. ELOZMÉNYEK, CÉLKITUZÉSEK alak a triviális út környékén minden esetben szinuszgörbe az n értékét˝ol függ˝o hullámhosszal és hullámszámmal. A triviális út elágazásainál így tükör- és pontszimmetrikus kihajlási alakok követik egymást. A triviális egyensúlyi úton lév˝o megoldások az els˝o elágazásig stabilak, azután instabilak. A triviális egyensúlyi útról leágazó végtelen sok másodlagos út között csak egyetlen stabil van: az els˝o. Ez az elágazás λkr1 = π 2 kritikus teherparaméternél következik be, a kihajlott egyensúlyi alak a kritikus er˝o környékén a fél szinuszhullám [39]. Az n2 π 2 < λ < (n + 1)2 π 2 teherparaméterhez így n pár kihajlott egyensúlyi konfiguráció tartozik. Mivel λ ∼ P L2 , a megoldások száma lineárisan n˝o a rúd hosszának növelésével.

1.2. ábra. Az Euler-kihajlás bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja az α0 ∈ [0, π], λ/π 2 ∈ [0, 30] tartományon

Kirchofftól származik az a felismerés [44], hogy az Euler-kihajlás (1.1) differenciálegyenlete analóg a matematikai inga (súlytalannak tekinthet˝o rúdon leng˝o tömegpont) differenciálegyenletével, mely a d2 φ(t) g + sin φ(t) = 0 (1.2) dt2 ℓ alakba írható, ahol ℓ az inga hossza, g a gravitációs gyorsulás és φ(t) az inga függ˝olegessel bezárt szöge az id˝o függvényében. Formai különbség (1.1) és (1.2) egyenletek között, hogy el˝obbiben az s (dimenziótlan) ívhossz a változó, utóbbiban pedig a t id˝o, illetve el˝obbiben a λ (dimenziótlan) teherparaméter, míg utóbbiban a g/ℓ arányszám a szinuszfüggvény amplitúdója. Lényegi különbség viszont, hogy a kihajlási feladathoz peremfeltételek tartoznak és az értelmezési tartomány (a rúd – dimenziótlan – hossza) véges, míg a matematikai inga mozgásának leírásához kezdetifeltételek tartoznak és az értelmezési tartomány (az id˝o) végtelen hosszú lehet. 4


A matematikai inga mozgása reguláris, integrálható, ez tette lehet˝ové, hogy a megfelel˝o peremérték-feladatot Euler több, mint 250 éve nemcsak felírta, de meg is tudta oldani [25]. Általános terhelés mellett azonban a kihajlás differenciálegyenletét nem lehet analitikusan megoldani. Ilyen esetekben a feladatot diszkretizálással oldjuk meg. A diszkretizálás lehet matematikai, amikor a differenciálegyenletet diszkretizáljuk, vagy mechanikai, mikor magát a mechanikai modellt diszkretizáljuk. A következ˝o pontban a folytonos rúd egy diszkrét mechanikai modelljét, az ún. rugalmas rúdláncot [27] és az azzal kapcsolatos korábbi eredményeket mutatjuk be röviden.

1.1.2. A diszkrét modell és kapcsolata a standard leképezéssel A rugalmas rúdlánc a folytonos, lineárisan rugalmas, véges hajlítómerevség˝u, végtelen nagy nyíró- és normálmerevség˝u rúd diszkrét mechanikai modellje: N darab ℓ hosszúságú merev rúdelemet csuklósan kapcsolunk egymáshoz és páronként ρ = EI/ℓ merevség˝u spirálrugóval kötjük össze o˝ ket. Itt EI a folytonos rúdnak a kihajlás síkjára mer˝oleges tengelyre vett hajlítómerevsége. 1 A spirálrugókban ébred˝o nyomaték nagysága egyenesen arányos a csuklókban lév˝o relatív szögelfordulással, az arányossági tényez˝o a ρ rugómerevség. Ha a rugalmas rúdláncot a folytonos modellel megegyez˝oen támasztjuk meg és terheljük, az Euler-kihajlás az 1.3. ábrán látható diszkrét mechanikai modelljét kapjuk [27]. Az i-edik csukló távolságát a támaszok vonalától yi , az i-edik elemnek az er˝o hatásvonalával bezárt szögét pedig αi jelöli. i

ρ =EI/l

αi−1

yi

i−1

l Ν

1

P

0

α0

N

1.3. ábra. Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc – az Euler-kihajlás diszkrét mechanikai modellje [42] A geometriai, egyensúlyi és anyagegyenletek egy leképezéshez vezetnek, ami a következ˝o dimenziótlanított alakba írható: yi+1 = yi + sin αi , αi+1 = αi − λyi+1 ,

i = 0, 1, · · · , N − 1,

(1.3)

ahol λ = P ℓ2 /(EI) a dimenziótlanított er˝oparaméter, yi → yi ℓ dimenziótlan távolság. A peremfeltételek a megtámasztott végpontok függ˝oleges eltolódásának nullérték˝uségét fejezik ki: y0 = yN = 0. (1.4) 1

A két széls˝o elem hosszát ℓ/2-re, vagy a széls˝o rugók merevségét (2/3)EI/ℓ-re felvéve a folytonos rúd egy pontosabb diszkrét mechanikai modelljét kapnánk, ami nehezebben kezelhet˝o, a pontosságbeli különbség pedig hosszabb rúdláncoknál nem számottev˝o.

5


Megjegyezzük, hogy a folytonos esetre vonatkozó (1.1) differenciálegyenlet matematikai diszkretizációja a szemi-implicit Euler-módszer szerint ugyanerre a leképezésre vezet [15, 40], tehát (1.3) megoldásai nemcsak pontos megoldásai a diszkrét mechanikai modellnek, hanem egyben közelítései (1.1) differenciálegyenlet megoldásainak is [15]. Az (1.3) és (1.4) által meghatározott diszkrét peremérték-feladat megoldásai egyértelm˝uen számíthatók. Ezek a megoldások kett˝onél több elem˝u rúdlánc esetén analitikusan már nem állíthatók el˝o, rendelkezésünkre áll azonban egy egyszer˝u numerikus eljárás, az ún. tüzérségi módszer [14], mellyel a megoldások tetsz˝oleges pontossággal számíthatók. Ennek alapgondolata, hogy rögzítjük (1.3) két paraméterét, az N elemszámot és a λ teherparamétert, valamint teljesítjük az y0 = 0 els˝o peremfeltételt és tetsz˝olegesen felvesszük az α0 szöget. Ezt követ˝oen az (1.3) leképezést iteráljuk N lépésen keresztül, majd ellen˝orizzük, hogy teljesül-e a második peremfeltétel, yN = 0. Ha igen, akkor a peremérték-feladat egy megoldását kaptuk, vagyis az adott N elemszámú rúdláncnak létezik egyensúlyi állapota az adott λ er˝oparaméter és a felvett α0 kezd˝oszög mellett. Gyakorlatilag az (1.3) leképezést mint kezdetiérték-feladatot kezeljük és annak összes (végtelen sok) megoldása közül választjuk ki azokat, melyek a peremfeltételeket is teljesítik. A numerikus számítás során persze a kezdetiérték-feladat megoldásaiból csak véges sokat tudunk el˝oállítani, így az yN értéke tipikusan nem lesz zérus. A szimuláció során az α0 kezd˝oszöget finoman változtatva annak minden egyes értékéhez számítjuk az yN értékét (a továbbiakban: kompatibilitási feltételt) és figyeljük, hogy az el˝ojelet váltott-e az el˝oz˝o lépéshez képest. Ha igen, akkor épp átléptünk egy megoldáson, amihez tartozó α0 kezd˝oszög interpolálással közelít˝oleg megkapható. Az α0 kezd˝oszög kell˝oen finom léptetésével az összes megoldást megkaphatjuk a vizsgált tartományon. Ezt az iterációt adott N elemszámú rugalmas rúdláncnál elvégezhetjük a λ teherparaméternek egy adott tartományon belüli, kis lépésközökben rögzített értékeire. A megoldásokat az (α0 , λ) bifurkációs diagramon egyértelm˝uen ábrázolhatjuk, mivel y0 = 0 adott, az N elemszám és a λ teherparaméter rögzített, így (1.3) iterálásával az α0 kezd˝oszög ismeretében a többi változó egyértelm˝uen számítható. Az egyensúlyi utak csak az elágazási pontokban metszhetik egymást [27]. (Az (α0 , λ) síkon való ábrázolás csak akkor nem egyértelm˝u, ha a két támasz egy pontba kerül [27]. Ekkor ellentétes irányú, de azonos nagyságú függ˝oleges reakcióer˝ok ébredhetnek a támaszokban, melyek külön változóként kezelend˝ok.) Az N = 4 elem˝u rúdlánc bifurkációs diagramját az α0 ∈ [0, π], λN 2 /π 2 ∈ [0, 10] tartományon az 1.4. ábra mutatja. A diagram felett néhány egyensúlyi konfiguráció is látható. A közel vízszintes érint˝oj˝u egyensúlyi utaknak a fent vázolt iterációval legfeljebb néhány pontját kapjuk meg, amint az az ábrán látszik. Célszer˝u ezért az iterációt úgy is elvégezni, hogy az N elemszám rögzítése mellett az α0 szöget rögzítjük és a λ teherparamétert változtatjuk finom lépésközökkel, számítjuk az yN kompatibilitási feltételt és interpoláljuk a megoldásokhoz tartozó λ teherparamétert. Ezt az eljárást megismételjük az α0 egy adott tartományán belül annak sok rögzített értékére. Az 1.1. ábrán mutatott bifurkációs diagramnál az 1.4. ábrán látható sokkal komplexebb. Ennek ismérvei, hogy a teherparaméter növelésével rohamosan n˝o az egyensúlyi helyzetek száma, melyek között sok stabilis van [40, 42], nem csak a triviális útról vannak elágazások, és az ágak aszimptotikus viselkedése sem egyféle: az 1.4. ábra egyensúlyi útjai a λ → ∞ határátmenetben tarthatnak 0-hoz és π-hez is. A triviális egyensúlyi úton N darab rúdelem esetén N − 1 elágazás van [15] vasvilla bifurkációk formájában [40], melyek a folytonos esetnél az 1.1.

6


10

λN2/π2

8

6

4

2

0 0

π/4

π/2 α0

3π/4

π

1.4. ábra. Az N = 4 elem˝u, kéttámaszú, támaszvonalában terhelt rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja az α0 ∈ [0, π], λN 2 /π 2 ∈ [0, 10] tartományon [40].

ábrán látott els˝o N − 1 elágazás – kihajlási mód – közelít˝o megoldásai, így tükör- és pontszimmetrikus kihajlott rúdláncalakok váltják ott egymást. Nagy számban jelennek meg azonban olyan egyensúlyi utak is, melyeknek nincs közük a folytonos feladat megoldásaihoz: a triviális egyensúlyi út leágazásai tovább ágaznak (másodlagos) vasvilla bifurkációk formájában, ha a rúdelemek N száma páros [27], ezekt˝ol elkülönülve nyereg-csomó bifurkációk formájában újabb és újabb egyensúlyi ágak is felbukkannak [40]. Ezeket a megoldásokat parazitamegoldásoknak szokás nevezni [35], mert nincsenek kapcsolatban a folytonos feladat megoldásaival és nagy számban megjelenve ellehetetlenítik a folytonos feladatot közelít˝o diszkrét rendszer megoldásainak megtalálását [20]. A parazitamegoldásoknak négy ismert típusa van. Az els˝o típus az ívhossz menti diszkretizálás [15] folyamán jelenik meg, olyan egyensúlyi utakat alkotva, melyek a folytonos feladatnak nem megoldásai, de a diszkrét modellnek igen – erre láttunk példát az itt tárgyalt rugalmas rúdláncnál. A második típus megjelenésének oka a paramétertér 7


diszkretizálása [28]; ezek a megoldások rendszerint nem alkotnak különálló utakat, hanem elszórtan, vagy kis köröket formázva jelennek meg a bifurkációs diagramon. A harmadik típus a hibafüggvények (melyek zérus értéke esetén a diszkrét rendszer egy egyensúlyi állapotáról beszélünk) nem megfelel˝o megfogalmazása miatt bukkanhat fel [21]. Ezek sem megoldásai az eredeti, folytonos feladatnak és a bifurkációs diagramon rendszerint elkülönült utakat alkotnak. A negyedik típusra [55] mutat példát: az ívhossz menti diszkretizálás nyomán felírt hibafüggvény megoldása nem egyértelm˝u bizonyos tehertartományban, holott a folytonos feladat megoldása az. Ezért olyan megoldások is felbukkannak a numerikus számítás során, melyek nem megoldásai a diszkrét feladatnak sem. Ezek a parazita megoldások nemcsak diszkrét modelleknél jelenhetnek meg. Domokos és Holmes megmutatták [16], hogy az Euler-feladat strukturálisan instabil: a homogén, folytonos rúdmodellen bármely olyan perturbáció, mely a hajlítómerevség lokális minimumát okozza (a rúdon ejtett apró karcolás, például), másodlagos (az eredeti, "karcmentes" feladatnál nem létez˝o) egyensúlyi ágak megjelenését vonja maga után a bifurkációs diagramon. Ezt a tételt szokás karc-tételnek is nevezni. Az (1.3) leképezés az Ii = −λyi , Θi = αi + π, K = λ transzformációval az Ii+1 = Ii + K sin Θi , Θi+1 = Θi + Ii+1

(1.5)

alakot ölti [15], ami a standard leképezés, egy jól ismert kaotikus, területtartó leképezés [49]. A folytonos és a diszkrét modellre kapott bifurkációs diagramok közötti markáns különbség oka épp abban rejlik, hogy míg a folytonos rúd kihajlására kapott peremérték-feladatnak megfelel˝o kezdetiérték-feladat, a matematikai inga reguláris, addig a rugalmas rúdlánc kihajlását leíró peremérték-feladatnak megfelel˝o kezdetiérték-feladat, a standard leképezés kaotikus. A rugalmas rúdlánc kihajlását okozó, a támaszok vonalában ható P er˝o potenciálos, az egyensúlyi helyzeteket szolgáltató leképezés pedig területtartó. Így az itt bemutatott potenciálos teher alatti kihajlás vizsgálatával kapott peremérték-feladatnak egy disszipatív hatásoktól mentes kezdetiérték-feladat feleltethet˝o meg. Felmerül a kérdés, hogy ez törvényszer˝u-e, illetve hogy milyen leképezésre jutunk nemkonzervatív er˝ok hatására történ˝o kihajlás vizsgálatából. Domokos [20] térben komplexnek (kaotikusnak) definíciószer˝uen akkor nevez egy peremérték-feladatot, ha megoldásaihoz egy N > 1 elem˝u teljes, független, fizikailag releváns kód rendelhet˝o egyértelm˝uen. Nem tisztázott azonban, hogy ilyen kód létezik-e és el˝oállíthatóe minden térben komplex feladatnál. A dolgozat egyik célja, hogy a térbeli káosznak egy olyan definíciót adjon, ami bizonyíthatóan mindig létezik. Károlyi [43] azt javasolja, hogy a térbeli káosz definíciója a megoldások növekedési ütemének a vizsgált tartomány hosszától való függésén alapuljon. Dolgozatunkban megmutatjuk, hogy ez a definíció kapcsolatba hozható egy, a dinamikai rendszerek elméletéb˝ol ismert mennyiséggel, és alkalmas a térben kaotikus viselkedés definiálására.

8


1.2.

Konzervatív kaotikus rendszerek jellemz˝oi

Ebben a szakaszban Tél és Gruiz [67] könyve alapján áttekintjük a kaotikus konzervatív rendszerek legfontosabb ismérveit. A folytonos id˝oben zajló folyamatokat (rendszerint másodrend˝u) differenciálegyenletekkel írjuk le, melyek mindig átírhatók els˝orend˝u differenciálegyenletek rendszerévé. Az x˙ = f (x) alakban megadott dinamikai rendszerben nincs explicit id˝ofüggés, így az autonóm rendszer. Itt az x ≡ [x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)] vektor az ismeretlen id˝ofüggvényeket tartalmazza, míg az f (x) ≡ [f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)] a függ˝o változók n-dimenziós vektora, melyben szerepl˝o függvények egyike sem függ expliciten az id˝ot˝ol. A rendszer mozgása n független koordináta változását jelenti az id˝oben, melyek egy n-dimenziós koordináta-rendszerben egyértelm˝uen megadhatók. Ez az n-dimenziós koordináta-rendszer feszíti ki a vizsgált rendszer fázisterét. Adott kezd˝ofeltételekhez mindig egyértelm˝u megoldás tartozik, a fázistérbeli trajektóriák nem metszhetik egymást. A fázistérbeli mozgást célszer˝u egy leképezés formájában követni. Ennek eszköze a Poincaré-leképezés: a fázistérben egy hiperfelületet kiválasztva azt vizsgáljuk, hogy a trajektória hol metszi azt át. Ezen az n − 1 dimeziós hiperfelületen yk = [yk,1 , yk,2 , · · · , yk,n−1 ] jelöli a k-adik metszéspontot, ekkor a trajektóriát követve meghatározható a következ˝o metszéspont: yk+1 = F (yk ). Ez az összefüggés adja meg a Poincaré-leképezést. Szokás ezzel a képlettel közvetlenül is diszkrét dinamikai rendszert definiálni, amelyhez nem tartozik folytonos dinamikai rendszer. A fázistérben egy adott tartományt kitölt˝o pontokból inditott trajektóriák kés˝obb egy másik tartományt fognak lefedni. A lefedett tartomány Γ fázistérfogata folytonos rendszer esetén a Γ˙ = div f Γ képlet szerint változik. Leképezések esetén a leképezés változók szerinti els˝o deriváltjaiból képzett |J| Jacobi-determinánsa adja meg a diszkrét rendszer fázistérfogatváltozását. Egy folytonos idej˝u dinamikai rendszer területtartó (más néven fázistérfogattartó), ha div f ≡ 0 és disszipatív, ha div f < 0. Egy diszkrét idej˝u dinamikai rendszer pedig akkor területtartó (fázistérfogattartó), ha a Jacobi-determináns egységnyi, |J| ≡ 1, és akkor disszipatív, ha |J| < 1 [67]. A mozgások egy speciális osztályát alkotják azok, melyekben disszipatív hatások nem játszanak szerepet. Ilyenek a légüres térben lejátszódó mozgások. Olyan jelenségek, mint az u˝ rhajók, égitestek Naprendszeren belüli helyváltoztatása, vagy a töltött részecskék mozgása gyorsítók, ill. fúziós berendezések mágneses terében jó közelítéssel súrlódásmentes folyamatoknak tekinthet˝ok. Súrlódásmentesnek tekinthet˝o els˝o közelítésben (a folyadékok összenyomhatatlansága miatt) az áramlással sodrott részecskék, szennyezések dinamikája is. Ezen mozgások alapvet˝o tulajdonsága, hogy fejl˝odésük során a fázistérfogat nem változik, ezért szokás ezeket konzervatív rendszereknek is nevezni [67], noha gerjesztett esetben a mechanikai összenergia (T + U ) nem megmaradó mennyiség. Ha a rendszer konzervatív (fázistérfogattartó), akkor a fázistérnek nincs olyan részhalmaza, melyre a térfogat ráhúzódna, így nem létezhetnek attraktorok sem. A mozgás tehát még hosszú id˝o után is „emlékszik” a kezd˝ofeltételekre, tipikus nemlineáris rendszerekben bizonyos értékekhez kaotikus, másokhoz egyszer˝u mozgás tartozik. 9


Konzervatív rendszereknél együtt lehet jelen tehát szabályos és kaotikus mozgás. A szabályos mozgás a fázister speciális képz˝odményein, úgynevezett tóruszokon zajlik. A tóruszok a leképezés fázistérképén zárt, invariáns görbeként jelennek meg az elliptikus fixpontok körül. A tóruszokon történ˝o legbonyolultabb mozgás kváziperiodikus, két (vagy több) különböz˝o periódusú periodikus mozgás kombinációja. Konzervatív, kaotikus rendszerekben a tóruszok közötti részt kaotikus trajektóriák töltik ki, a tóruszokat ekkor szokás KAM-szigeteknek is nevezni. A konzervatív kaotikus rendszerek megértésében fontos szerepet játszik a standard leképezés, mely számos dinamikai rendszer (rezg˝o asztalon pattogó labda [37], töltött részecske mozgása részecskegyorsítóban [51], lökdösött rotátor [67]) vizsgálata során bukkant fel. Tekintsük például a periodikusan lökdösött rotátort: egy súlytalan rúd végéhez rögzített tömegpont vízszintes síkban történ˝o mozgása T periódusonként érkez˝o lökdösés hatására. Ennek leképezése (dimenziótlanítás el˝ott): φn+1 = φn + ωn T, ωn+1 = ωn + A sin(φn+1 ), ahol A > 0 a lökdösési amplitúdó, φi a szögelfordulás és ωi a szögsebesség az i-edik id˝opillanatban. Ha a fenti egyenleteket átrendezzük (a φn és az ωn mennyiségeket átvisszük a baloldalra) és elosztjuk a T periódusid˝ovel, a T → 0 határátmenetben az els˝o egyenlet a φ˙ ≡ ω, míg a második a φ¨ = A/T sin(φ) alakot ölti. A T → 0, A/T → g/ℓ határesetben a lökdösött rotátor egyenletéb˝ol a matematikai inga (1.2) mozgásegyenletét kapjuk. A periodikusan lökdösött rotátor az Euler-kihajlás diszkrét modelljével felírható peremérték-feladatnak megfelel˝o kezdetiérték-feladat, mivel mindkett˝o a standard-leképezésre vezet, határátmenetben pedig a megfelel˝o folytonos feladatot, az Euler-kihajlást, illetve a matematikai ingát adják. Ilyen értelemben az Euler-kihajlás diszkrét modelljének egy gerjesztett, disszipatív hatásoktól mentes, kaotikus dinamikai rendszer feleltethet˝o meg. A matematikai inga folytonos dinamikája egy kétdimenziós fázistérben zajlik, ahol kaotikus mozgás nem lehetséges [67]. A lökdösött rotátor mozgását kétdimenziós leképezés írja le, ahol kaotikus mozgás már létrejöhet [67] (s˝ot, tipikusan létre is jön nemlineáris mozgásegyenletek esetén). Vigyázni kell ezért a differenciálegyenletek numerikus megoldása (matematikai diszkretizációja) során, mert ha a lépésközt túl nagyra vesszük fel, nem várt eredményekre, paraziták megjelenésére juthatunk. A kaotikus mozgás f˝o tulajdonságai a szabálytalanság, az el˝orejelezhetetlenség és a rendezett, de komplex fázistérbeli szerkezet. Ezen tulajdonságokhoz rendelhet˝o mér˝oszámokat az alábbiakban ismertetjük. A bonyolultság mér˝oszáma a topologikus entrópia [57, 67]. Egy kaotikus rendszerben az m hosszúságú (mT periódusidej˝u) instabil pályák Nm száma a kaotikus sávban (disszipatív rendszerek esetén a kaotikus attraktoron) elegend˝oen nagy m ciklushosszakra nézve exponenciálisan változik: Nm ∼ ehm , (1.6)

ahol h > 0 a kaotikus rendszer topologikus entrópiája. A topologikus entrópia egyben a vonaldarabok hosszának megnyúlási rátája is a fázistérben. Kaotikus rendszer esetén egy kezdetben L0 hosszú, fázistérbeli vonaldarab hossza n ≫ 1 iterálás után exponenciálisan n˝o, a növekedés ütemét a topologikus entrópia adja: Ln ∼ L0 ehn . A káosz egy lehetséges definíciója is 10


ezzel a mennyiséggel kapcsolatos: egy dinamikai rendszert akkor nevezünk kaotikusnak, ha topologikus entrópiája pozitív: h > 0 [67]. Az el˝orejelezés nehézségének mér˝oszáma a Ljapunov-exponens. Ha a kaotikus sáv (disszipatív rendszerek esetén a kaotikus attraktor) r pontja körül két pont kezdeti fázistérbeli ∆r0 (r) távolsága elég kicsi, akkor a pontokból inditott trajektóriák n ≫ 1 lépés után tipikusan exponenciálisan távolodnak egymástól az alábbi összefüggés szerint: ∆rn (r) = ∆r0 (r)eλ(r)n . A λ(r) mennyiséget lokális Ljapunov-exponensnek nevezzük. Átlagos értelemben is igaz, hogy tipikus pontpárok a kaotikus sávban (disszipatív rendszereknél az attraktoron) valamilyen λ átlagos Ljapunov-exponenssel távolodnak egymástól: ∆rn = ∆r0 eλn . Ezzel a mennyiséggel kapcsolatos a káosz egy másik lehetséges definíciója. Kaotikus dinamikai rendszerben az átlagos Ljapunov-exponens pozitív: λ > 0 [67]. A fázistérbeli rend mér˝oszáma a fraktáldimenzió. Egy halmaz D0 fraktáldimenziója a d = 1-, 2-, vagy 3-dimeziós euklideszi térben a halmazt lefed˝o d-dimenziós, ε oldalél˝u kockák minimális N (ε) számával definiálható: D0 = ln N (ε)/ ln(1/ε), ha ε → 0 [26, 50, 66]. A halmaz megfigyelt térfogata, V (ε) = εd N (ε) = εd−D0 alapján kétféle fraktált szokás megkülönböztetni: sovány fraktálokat és kövér fraktálokat. Sovány fraktáloknak nevezzük az olyan alakzatokat, melyek fraktáldimenziója kisebb a tér dimenziójánál, megfigyelt térfogata csökken, és az ε → 0 határátmenetben elt˝unik. A kövér fraktál olyan halmaz, melynek fraktáldimenziója megegyezik a tér dimenziójával, viszont szerkezete alapvet˝oen tagolt. A kövér fraktálok egy mérhet˝o tulajdonsága, hogy a megfigyelt térfogatuk eltérése egy véges V térfogattól az ε felbontás hatványával arányosan csökken: V (ε) − V ∼ εα , ahol α a kövér fraktál exponense [34]. Disszipatív rendszerekben az id˝ofejl˝odés során a trajektóriák egyre közelebb kerülnek egy attraktorhoz, mely kaotikus esetben sovány fraktál, fraktáldimenziója tört szám. Konzervatív kaotikus rendszerek esetén a kaotikus sáv kövér fraktál (térkitölt˝o alakzat) nemtriviális kövérfraktál-exponenssel [67]. Tehát a káosz lehetséges definíciói konzervatív dinamikai rendszer esetén az alábbiak: • a kaotikus sáv topologikus entrópiája pozitív, • a kaotikus sávon belül az átlagos Ljapunov-exponens pozitív, • a térkitölt˝o kaotikus sávok kövérfraktál-exponense nem triviális. Ezek a definíciók azonban végtelen id˝ointervallumra vett mennyiségek: a topologikus entrópia meghatározásakor a ciklushossz tart a végtelenhez, az átlagos Ljapunov-exponens végtelen id˝ointervallumra vett átlag, a trajektóriák pedig végtelen id˝o alatt húzódnak rá a kaotikus attraktorra, illetve töltik ki a kaotikus sávot. Peremérték-feladatokra így közvetlenül egyik definíció sem alkalmazható, hiszen ott véges hosszúságú tartománnyal van dolgunk.

11


1.3.

Az értekezés felépítése, célkituzései ˝

Az el˝ozmények és célkit˝uzések ismertetése után a 2. fejezetben el˝oször a rugalmas rúdláncokra ható nemkonzervatív er˝ok hatása áll a vizsgálat középpontjában. Arra keressük a választ, hogy megjelenhet-e térbeli káosz nemkonzervatív er˝o esetén is, és ha igen, megtalálhatók-e annak a potenciálos er˝ovel terhelt rugalmas rúdláncnál megfigyelt jellemz˝oi (területtartó leképezés, komplex bifurkációs diagram). Els˝o lépésben módosítjuk az 1.1.2. pontban ismertetett feladatot oly módon, hogy a görg˝os támasznál a támaszokat összeköt˝o vonalban m˝uköd˝o P er˝o helyett egy, a görg˝os támasznál ható, az els˝o elem tengelyébe es˝o hatásvonalú úgynevezett követ˝oer˝ot m˝uködtetünk a szerkezetre. A követ˝oer˝o egy jól ismert nemkonzervatív er˝o [5, 60], így a látszólag apró módosítással kapott kihajlási probléma alapvet˝oen különbözik az eredeti feladattól, mégis közös vonások jelennek meg. Ezt követ˝oen nemlineárisan rugalmas rúdláncot vizsgálunk általános terhelés alatt, nemlineárisan rugalmas befogással megtámasztva. A terhelést úgy írjuk le, hogy az akár nemkonzervatív er˝oket is modellezhessen, és a rugalmas rúdláncok kihajlását leíró peremértékfeladat egy fontos jellemz˝ojére derítünk fényt. A vizsgált szerkezet a gyakorlatban a rúdtengely hossza mentén változó hajlítómerevség˝u, végtelen nagy nyíró- és normálmerevség˝u, nemlineáris anyagi viselkedés˝u, rugalmasan befogott, tetsz˝oleges statikus teherrel terhelt folytonos rúd egy diszkrét mechanikai modellje lehet síkban történ˝o kihajlás vizsgálatára. Megjegyezzük, hogy a diszkrét modell a valósághoz közelebb álló megoldásokat szolgáltathat, mint a folytonos – gondolunk itt a kapcsolatok lokális merevségcsökkent˝o/-növel˝o hatásának, a szerkezeti anyagok inhomogenitásának, vagy a geometria tökéletlenségének a karc-tétellel kapcsolatos következményeire. Az általános esetre vonatkozó eredményeket a 2.2.2. pontban néhány konkrét terhelési esetben szemléltetjük. A potenciálos és a nemkonzervatív er˝ok okozta kihajlásoknál megfigyelt közös jellemz˝ok után a 2.3. szakaszban a térbeli káosz új definícióját javasoljuk, amely kiterjeszthet˝o több lényeges kiterjedéssel bíró szerkezetek vizsgálatára is. A definíció a dinamikai rendszerek elméletéb˝ol jól ismert mennyiségen, a topologikus entrópián alapul, amely bármely rendszernél létezik és kaotikus rendszereknél pozitív mennyiség. A fejezet hátralév˝o, 2.4. szakaszában az értekezésben addig bemutatott különböz˝o terhelés˝u és megtámasztású rugalmas rúdláncok egyensúlyi útjainak megjelenési és elágazási, közös néven bifurkációs pontjainak számításával foglalkozunk. Részletesen tárgyaljuk a triviális egyensúlyi út elágazásait. Az értekezés 3. fejezetében olyan síkbeli, két lényeges térbeli kiterjedéssel bíró szerkezetet vizsgálunk, ahol a térbeli káosz jellemz˝oi figyelhet˝ok meg. Ez a rugalmas rúdháló, ami egy csuklókkal és spirálrugókkal összekapcsolt, azonos hosszúságú merev elemek alkotta síkbeli négyzetháló, mely a gy˝ur˝odés egy egyszer˝u modelljének tekinthet˝o. A rugalmas rúdháló gyakorlati szempontból (a konkrét feladatnak megfelel˝oen megtámasztva és terhelve) rugalmas keretszerkezetek globális síkbeli stabilitásvesztésének vizsgálatára szolgálhat. Ezen kívül kapcsolatba hozható csak nyírási deformációra képes rúd stabilitásvesztésének vizsgálatával is. Az értekezés keretein belül csak egyirányú, egyparaméteres terhelés hatását vizsgáljuk egyszer˝u megtámasztási viszonyok mellett. Az egyensúlyi helyzetek számításán túl foglalkozunk az egyensúlyi utak bifurkációs pontjainak meghatározásával is, részletesen vizsgálva a triviális egyensúlyi út elágazásait.

12


Az értekezésben tehát az alábbi kérdésekre keressük a választ: • Megjelenhet-e térben kaotikus viselkedés nemkonzervatív er˝o alatti kihajlás során? • Van-e közös ismertet˝ojele potenciálos és nemkonzervatív er˝o okozta kihajlási feladatoknak? • Miként definiálható a térbeli káosz véges – akár többdimenziós – tartományon? • Megjelenik-e térbeli káosz egy speciális, két lényeges térbeli kiterjedéssel rendelkez˝o szerkezet síkbeli kihajlásának vizsgálata során, és milyen kapcsolatban van az a tartomány kiterjedéseivel?

13

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK

2. fejezet Rugalmas rúdláncok Ebben a fejezetben rugalmas rúdláncok kihajlásával foglalkozunk potenciálos és nemkonzervatív er˝ok alatt, nagy elmozdulásokkal számolva. Az els˝o, 2.1. szakaszban módosítjuk az Euler-kihajlás bevezetésben bemutatott diszkrét (mechanikai) modelljét úgy, hogy a görg˝os támasznál ható vízszintes er˝o helyett egy, az els˝o elem tengelyébe es˝o hatásvonalú, ún. követ˝oer˝ot m˝uködtetünk a szerkezetre (2.1. ábra). Ezzel az eredeti, potenciálos er˝ot egy nemkonzervatív er˝ore cseréljük le, a kihajlást nemkonzervatív er˝o okozza. Megmutatjuk, hogy az eredeti feladatnál megfigyelt néhány jellegzetes tulajdonság („parazita” megoldások, az egyensúlyi utak számának rohamos növekedése az er˝o növelésével, komplex bifurkációs diagram) megjelenik a módosított feladatnál is. Azt is látni fogjuk, hogy a nemkonzervatív er˝o ellenére egy területtartó leképezést alkotnak az egyensúlyi helyzeteket leíró egyenletek. A második, 2.2. szakaszban egy egyik végén befogott, másik végén szabad, ún. nemlineárisan rugalmas konzolos rúdlánc egyensúlyi helyzeteit vizsgáljuk általános terhelés alatt. Megmutatjuk, hogy terhelést˝ol és anyagi nemlinearitástól függetlenül az egyensúlyi konfigurációkat területtartó leképezésb˝ol számíthatjuk. A kapott eredményt néhány konkrét terhelési esetben szemléltetjük. A 2.3. szakaszban arra keressük a választ, hogy hogyan ismerhet˝o fel és miként definiálható a térbeli káosz rugalmas rúdláncoknál. Megmutatjuk, hogy a peremérték-feladat megoldásai kapcsolatban állnak a megfelel˝o kezdetiérték-feladat (bizonyos periódushosszú) periodikus pályáival. Ezzel a térbeli káosz definícióját egy, a dinamikai rendszereknél jól ismert mennyiséghez, a topologikus entrópiához köthetjük. A fejezet utolsó, 2.4. szakaszában az addig tárgyalt különböz˝o terhelés˝u és megtámasztású rugalmas rúdláncok egyensúlyi útjainak bifurkációs pontjait keressük. Levezetjük a bifurkációra vonatkozó feltételeket és a triviális egyensúlyi úton lév˝o elágazásokat részletesen elemezzük.

14


2.1.

Követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc síkbeli kihajlása

E szakaszban a 2.1. ábrán látható, követ˝oer˝ovel terhelt kéttámaszú rugalmas rúdlánc kihajlását leíró peremérték-feladatnak megfelel˝o leképezést vizsgáljuk, illetve az egyensúlyi helyzeteket rendszerezzük két- és többelem˝u rúdláncok esetén. i

ρ =EI/l

α i−1

1

yi

i−1

Ν

α0

Ν

P

0

l

2.1. ábra. Kéttámaszú, követ˝oer˝ovel terhelt rugalmas rúdlánc mechanikai modellje

A szerkezet az 1.1.2. pontban vázolt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc, mely terheletlen állapotában vízszintes, lineáris spirálrugói el˝ofeszítetlenek. A teher a görg˝os támasznál ható P nagyságú, az els˝o elem tengelyébe es˝o hatásvonalú követ˝oer˝o, ami egy nemkonzervatív er˝o. A követ˝oer˝o nemkonzervatív voltát könnyen beláthatjuk a 2.2. ábrán bemutatott lépések nyomán. Itt a kiindulási és a végállapot ugyanaz, a rugók feszítetlen állapotból feszítetlen állapotba kerülnek, a bels˝o munka így zérus a teljes zárt pályán. A második lépésben végzett küls˝o munka is zérus, hiszen az er˝o támadáspontja nem mozdul el. Azonban az els˝o és a harmadik lépésben végzett küls˝o munka összege nem zérus, mert az er˝o támadáspontjának elmozdulása mindkét esetben ugyanakkora nagyságú, ellentétes irányú, de az er˝o elmozdulás irányába es˝o vetülete a két lépésben különböz˝o (az els˝o lépésben változik P és egy annál kisebb érték között, a harmadik lépésben konstans P ). Tehát a követ˝oer˝o által végzett munka nem zérus a teljes zárt pályán, ezért az nemkonzervatív er˝o. Ennél a feladatnál nem létezik potenciálisenergia-függvény. A fix csuklóra felírt nyomatéki egyensúlyból adódik, hogy a követ˝oer˝o függ˝oleges komponensét a görg˝os támasz veszi fel, 1 így az er˝o vízszintes komponense az, ami a kihajlást okozza. Ezért a feladat visszavezethet˝o az 1.1.2. pontban bemutatott, támaszvonalban ható er˝ovel terhelt esetre úgy, hogy az ott felírt (1.3) leképezésben a teher helyébe a követ˝oer˝o vízszintes komponensét helyettesítjük. Vezessük be a λ = P ℓ/ρ dimenziótlan teherparamétert, ahol P a követ˝oer˝o nagysága, ℓ a rúdelemek hossza, ρ = EI/ℓ a spirálrugó merevsége! Így az egyensúlyi helyzetek számításához szükséges leképezést az (1.3) leképezésben a λ → λ cos α0 helyettesítést elvégezve kapjuk: yi+1 = yi + sin αi , αi+1 = αi − λyi+1 cos α0 ,

i = 0, 1, · · · , N − 1.

(2.1)

1 A görg˝os támaszban ébred˝o függ˝oleges er˝o a követ˝oer˝o függ˝oleges komponensének ellentettjét˝ol különbözhet, ha a két támasz egy pontba kerül. Ezekkel az esetekkel az értekezés keretein belül nem foglalkozunk, a két támasz egy pontba kerülése esetén a görg˝os támaszban ébred˝o reakciót a követ˝oer˝o függ˝oleges komponensének tekintjük.

15

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK P 1

P

2

P 3 P

2.2. ábra. Követ˝oer˝o által végzett munka egy zárt pályán

A peremfeltételek továbbra is a megtámasztott végpontok függ˝oleges eltolódásának nullérték˝uségét fejezik ki: y0 = yN = 0. (2.2) Egy adott hosszúságú, kéttámaszú rugalmas rúdlánc egyensúlyi konfigurációit a követ˝oer˝o adott értéke mellett (2.1) és (2.2) által alkotott peremérték-feladatból határozhatjuk meg. Egy egyensúlyi konfigurációt rögzített N elemszám és λ teher – (2.1) paraméterei – mellett az α0 kezd˝oszöge egyértelm˝uen meghatároz, az egyensúlyi alak a kezd˝oszög ismeretében egyértelm˝uen számítható. A megoldások tehát egyértelm˝uen ábrázolhatók az (α0 , λ) bifurkációs diagramon minden rögzített N elemszám esetén. Megjegyezzük, hogy ha a két támasz egy pontba kerül, a reakcióer˝ok egyértelm˝uen számíthatók (az els˝o elemre felírt nyomatéki egyenletb˝ol) mindaddig, míg α0 6= π/2 + kπ. Ha a (2.1) leképezést mint kezdetiérték-feladatot nézzük, belátható, hogy az területtartó. Ennek feltétele, hogy (2.1) Jacobi mátrixának determinánsa 1 legyen [67]. A (2.1) leképezés Jacobi-mátrixa: " # ∂yi+1 ∂yi+1 1 cos αi ∂yi ∂αi J = ∂αi+1 ∂αi+1 = . −λ cos α0 1 − λ cos α0 cos αi ∂y ∂α i

i

Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy |J| = 1, vagyis az 1.1.2. pontban bemutatott Euler-feladat diszkrét modelljéhez hasonlóan most is területtartó leképezéshez jutottunk, holott a kihajlást most nemkonzervatív er˝o okozta. Megjegyezzük, hogy az analitikus mechanikában ismert az általánosított potenciál fogalma, mely az általános koordináták, az általános koordináta-sebességek, és az id˝o olyan skalár függvénye, melyb˝ol az általános er˝oket el˝o tudjuk állítani az általánosított potenciál deriváltjaként [8]. Ilyen függvény található számos olyan dinamikai rendszernél, melyben nemkonzervatív er˝ok is szerepelnek. Valószín˝uleg hasonló rendszer bújik meg ennek a feladatnak a hátterében is. 16


Az egyensúlyi helyzetek meghatározása és a bifurkációs diagram megszerkesztése során kihasználjuk (2.1) szimmetria-tulajdonságait. Tegyük fel, hogy α0 = α∗ egy megoldás (egyensúlyi helyzet) adott λ∗ mellett! Visszahelyettesítéssel ellen˝orizhet˝o, hogy A) α0 = −α∗ is megoldás, B) α0 = α∗ + π is megoldás az adott λ∗ teher mellett. Az A) tulajdonság a geometriai térben a támaszokat összeköt˝o vízszintes egyenesre vonatkozó tükörszimmetria, míg a megoldásokat rendszerez˝o (α0 , λ) bifurkációs diagramon az α0 = 0 függ˝oleges egyenesre vonatkozó tükörszimmetria. (Ez a szimmetria az eredeti feladatra is igaz.) A B) tulajdonság a geometriai térben a fix támasz körüli 180◦ -os forgási, míg a bifurkációs diagramon a vízszintes α0 tengely mentén értend˝o π eltolási szimmetria. (Ez a szimmetria az eredeti feladatnál negatív teher mellett érvényes.) A két szimmetria-tulajdonság egymás utáni végrehajtásából következik, hogy α0 = π − α∗ is megoldás az adott λ∗ mellett. Ez a geometriai térben a fix támaszon átmen˝o függ˝oleges tengelyre vonatkozó tükörszimmetriát, a bifurkációs diagramon pedig az α0 ∈ [0, π] tartományon az α0 = π/2 függ˝oleges egyenesre vonatkozó tükörszimmetriát jelenti. A bifurkációs diagram megszerkesztésekor így elegend˝o az α0 ∈ [0, π/2] tartományt vizsgálni egy adott λ ∈ [a, b] tehertartományon. Az így kapott diagram az α0 = π/2-re vett tükörképével együtt az α0 ∈ [0, π] térrészen ábrázolja az egyensúlyi utakat. Ezt π többszöröseivel az α0 tengely mentén eltolva a bifurkációs diagram a teljes α0 ∈ (−∞, ∞), λ ∈ [a, b] tartományon el˝oállítható. El˝oször az analitikusan is megoldható kételem˝u rúdláncot tárgyaljuk, majd a csak numerikusan számítható, kett˝onél több elem˝u rúdláncok egyensúlyi helyzeteit határozzuk meg.

2.1.1. Kételemu, ˝ követ˝oer˝os, kéttámaszú rugalmas rúdlánc A megoldásokat az α0 ∈ [0, π/2] tartományon keressük. Az y0 = 0 els˝o peremfeltétel teljesítésével iteráljuk (2.1) leképezést egyszer: y1 = sin α0 , α1 = α0 − λ cos α0 sin α0 .

(2.3)

A következ˝o iterációból a második peremfeltétel: y2 = sin α0 + sin α1 = 0.

(2.4)

A két elem vízszintessel bezárt szöge közötti kapcsolatot (2.4) alapján két csoportba lehet sorolni: A) α1 = −α0 +2kπ, vagy B) α1 = α0 −(2l+1)π, ahol k és l tetsz˝oleges egész számok. Ezek után a megoldásokhoz elég (2.3) második egyenletét vizsgálnunk, mivel a peremfeltételek teljesülnek, y1 pedig α0 ismeretében egyértelm˝uen számítható. Nézzük a két csoportot különkülön!

17

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK A) csoport: α1 = −α0 + 2kπ. Ezt visszahelyettesítve (2.3) második egyenletébe megkapjuk az egyensúly feltételét az α0 kezd˝oszög függvényében: 2α0 =

λ sin(2α0 ) + 2kπ. 2

(2.5)

A megoldásokat (2.5) függvény-geometriai jelentése alapján a 2 meredekség˝u egyenes és a 2kπ-vel függ˝oleges irányban eltolt, λ/2 amplitúdójú sin(2α0 ) hullám metszéspontjai adják. Ha k = 0 és λ < 2, akkor csak a triviális (α0 ≡ 0, α1 ≡ 0) megoldás létezik: az említett szinuszhullám és egyenes egyetlen metszéspontja az origó. A triviális útról λ = λkr = 2 értékénél egy új egyensúlyi út ágazik le: ekkora teherparaméter mellett érinti a szinuszhullám a 2 meredekség˝u egyenest az α0 = 0 pontban. Ha k < 0, akkor a teherparaméter egy kritikus (pozitív) értéke alatt nincs megoldás, a felett pedig 2 új megoldást kapunk minden k < 0-hoz. Ha k > 0, akkor a teherparaméter egy kritikus (negatív) értéke felett nincs megoldás, az alatt pedig 2 új megoldást kapunk minden k > 0-hoz. A teherparamétert kifejezve (2.5)-b˝ol megkapjuk a bifurkációs diagramon megjelen˝o egyensúlyi utak egyenleteit: 4α0 − 4kπ λ(α0 ) = . (2.6) sin(2α0 ) Ha egy egyensúlyi helyzetben (2.6) α0 szerinti deriváltja zérus, akkor ott a ponton átmen˝o egyensúlyi útnak vagy elágazása van, vagy vízszintes az érint˝oje az (α0 , λ) síkon. Ezeket a pontokat a továbbiakban bifurkációs pontoknak hívjuk. A derivált nullérték˝uségének feltétele: tan(2α0 ) = 2α0 − 2kπ.

(2.7)

Ezek szerint a tan(2α0 ) függvény és a 2kπ-vel lefelé eltolt, 2 meredekség˝u egyenes metszéspontjai lehetnek a bifurkációs pontok. Ennek további feltétele, hogy (2.5) egyensúlyi egyenlet is teljesüljön. Az említett metszéspontokban az alábbi kritikus teherparaméter esetén teljesülnek az egyensúlyi egyenletek is: 2 λkr = . (2.8) cos(2α0 ) A bifurkációs pontok (2.7) alapján α0 = π/4-hez tartanak, ha |k| → ∞ és ekkor λkr → ∞. B) csoport: α1 = α0 − (2l + 1)π. Ezt visszahelyettesítve (2.3) második egyenletébe az egyensúlyi helyzeteket az α0 kezd˝oszög függvényében megadó alábbi összefüggést kapjuk: λ sin(2α0 ) = (2l + 1)π. 2

(2.9)

Tehát az (λ/2) sin(2α0 ) szinuszhullám és az (2l + 1)π vízszintes egyenes metszéspontjai adják a megoldásokat. Egy rögzített l ≥ 0 esetén a teherparaméter egy kritikus (pozitív) értéke felett 2 megoldást kapunk, míg egy rögzített l < 0 esetén a teherparaméter egy kritikus (negatív) értéke alatt kapunk 2 megoldást. Kifejezve (2.9)-b˝ol a teherparamétert az egyensúlyi utak egyenlete: λ(α0 ) =

2π + 4lπ . sin(2α0 ) 18

(2.10)

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Bifurkációs pontban (2.10) α0 szerinti deriváltja zérus, valamint (2.9) is teljesül. A bifurkációs pontok ezek alapján: α0 = π/4, λkr = 2π + 4lπ. A 2.3. ábrán a kételem˝u rúdlánc bifurkációs diagramja látható az α0 ∈ [0, π/2], λ ∈ [0, 50] tartományon. Az A) csoportba tartozó egyensúlyi utakat folytonos, míg a B) csoportba tartozó utakat szaggatott vonallal ábrázoltuk. Mivel a diagram csak pozitív teherparaméterhez tartozó egyensúlyi helyzeteket ábrázol, a k > 0, illetve az l < 0 értékekhez tartozó egyensúlyi utak nem láthatók. 50 l=3

40

k=−3 l=2

30 λ

k=−2 l=1

20

k=−1

10

k=0

l=0 k=0

0

π /4 α0

0

π /2

2.3. ábra. Az N = 2 elem˝u, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α0 ∈ [0, π/2], λ ∈ [0, 50] tartományon

2.1.2. Kett˝onél több elemu, ˝ követ˝oer˝os, kéttámaszú rugalmas rúdláncok A (2.1) leképezés analitikus megoldása nem lehetséges tetsz˝oleges elemszám esetén. Numerikusan azonban a bevezet˝oben ismertetett tüzérségi módszer [14] segítségével meg lehet találni az összes megoldást tetsz˝oleges pontossággal. A megoldásokat adott N elemszámnál elég az α0 ∈ [0, π/2] tartományon számítani, ennél nagyobb α0 kezd˝oszöghöz tartozó megoldások a szimmetria-tulajdonságokból származtathatók. A kezdeti feltételek a numerikus eljáráshoz: y0 = 0 az els˝o peremfeltétel, α0 finoman léptetett, λ rögzített, illetve a közel vízszintes érint˝oj˝u egyensúlyi utakon lév˝o pontok megtalálása érdekében λ finoman léptetett, α0 rögzített. A (2.1) leképezés N -szeri iterálása után a kompatibilitási feltétel az yN = 0 második peremfeltétel. A számítást elvégezzük a λ, illetve az α0 sok rögzített értékére az adott tartományon. A 2.4. ábra a négyelem˝u, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramját mutatja az α0 ∈ [0, π/2], λ ∈ [0, 20] tartományon. A 2.5. ábra az α0 ∈ [0, 2π], λ ∈ [−15, 15] tartományon mutatja a hételem˝u rúdlánc bifurkációs diagramját. Mindkét diagram 19

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK el˝oállításánál a tartományok felosztásának finomsága 0.001 volt. A 2.5. ábrán jól látszanak a szimmetria-tulajdonságok. Figyeljük meg, hogy nagy számban jelennek meg egyensúlyi utak a teherparaméter növelésével! A numerikus szimulációkkal egy N elem˝u rúdláncnál N − 1 elágazást találtunk a triviális úton. Ennek analitikus vizsgálatára a 2.4. szakaszban visszatérünk. A követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja el˝oállítható a bevezet˝oben ismertetett, támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramjából is azonos elemszám mellett a leképezés felírásánál már felhasznált λ → λ cos α0 transzformáció segítségével. A két bifurkációs diagram topológiailag ekvivalens. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az α0 ∈ [0, π], λ > 0 tartományon a potenciálos er˝ovel terhelt esetre kapott bifurkációs diagram (1.4. ábra a négyelem˝u esetre) egyensúlyi útjait π/2-nél megfogjuk és „felhúzzuk” a végtelenbe, majd az α0 ∈ [π/2, π] tartományt tükrözzük a vízszintes tengelyre. Ezután mind az α0 ∈ [0, π/2], λ > 0, mind az α0 ∈ [π/2, π], λ < 0 tartományokon lév˝o utakat tükrözzük az α0 = π/2 függ˝oleges tengelyre. Az így kapott diagramot az α0 tengely mentén π egész számú többszöröseivel eltolva a diagram a teljes síkon el˝oállítható. Ezek alapján kimondhatjuk az értekezés 1. tézisét: 1. tézis. Megmutattam, hogy a kéttámaszú rugalmas rúdlánc síkbeli kihajlásának vizsgálata egy nemkonzervatív teher, a követ˝oer˝o alatt is területtartó leképezésre vezet. Rámutattam, hogy az egyensúlyi helyzeteket rendszerez˝o bifurkációs diagram topológiailag ekvivalens a támaszvonalában potenciálos er˝ovel terhelt feladatéval. Jogosan tehetjük fel ezek után a kérdést, hogy létezik-e olyan terhelés, melynek hatására a rugalmas rúdlánc kihajlása egy olyan peremérték-feladatra vezet, ami valamilyen disszipatív dinamikai rendszernek feleltethet˝o meg. A következ˝o szakaszban erre keressük a választ.

20


2.4. ábra. Az N = 4 elem˝u, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α0 ∈ [0, π/2], λ ∈ [0, 20] tartományon

2.5. ábra. Az N = 7 elem˝u, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α0 ∈ [0, 2π], λ ∈ [−15, 15] tartományon

21


2.2.

Konzolos rugalmas rúdláncok síkbeli kihajlása

Ebben a szakaszban a 2.6. ábrán látható konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdláncot vizsgáljuk általános terhelés alatt. A szerkezet N darab különböz˝o, ℓi (i = 1, 2, · · · , N ) hosszúságú merev rúdelemb˝ol áll, melyek spirálrugókkal felszerelt csuklókkal kapcsolódnak egymáshoz. A rugalmas rúdlánc egyik végén lév˝o csuklót egy mozdulatlan falhoz rögzítjük, az ehhez kapcsolódó rúdelemet spirálrugóval a falhoz kötjük. A rúdlánc másik vége szabad. A mozdulatlan falhoz rögzítjük a globális X, Y Descartes-féle balkezes derékszög˝u koordinátarendszert. Az egyensúlyi konfigurációk leírására a rúdlánc szabad végéhez rögzített lokális x, y Descartes-féle balkezes derékszög˝u koordináta-rendszert használjuk, melynek tengelyei a globális koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosak, irányukat a 2.6. ábra mutatja. Az i-edik csukló függ˝oleges távolságát a vízszintes x tengelyt˝ol yi , vízszintes távolságát a függ˝oleges y tengelyt˝ol xi , az i-edik rúdelem vízszintessel bezárt szögét αi−1 jelöli. Így αN = 0 a fal elfordulása, melyet azonosíthatunk egy utolsó, mereven befogott rúdelemmel is. A globális és a lokális koordináta-rendszerek között az alábbi kapcsolat áll fenn: Xi =

N −1 X j=0

ℓj+1 cos αj − xi ,

Yi =

N −1 X j=0

ℓj+1 sin αj − yi .

xi ci

Vi

X Y i

Hi

α i−1 i−1

V1

yi

li

di

mi

Ν

m1 H1 1

y

x 0

2.6. ábra. Általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc mechanikai modellje

Mivel a rúdelemek merev testek, a rájuk ható terhek helyettesíthet˝ok az ered˝ojükkel. Szétszórt síkbeli er˝orendszer ered˝oje lehet er˝o vagy er˝opár. Ennek megfelel˝oen egy koncentrált er˝ot és egy nyomatékot m˝uködtetünk minden egyes merev rúdelemre. A teher általános leírása érdekében megengedjük, hogy egy adott, i-edik rúdelemre ható teher függvénye legyen a rúdelem geometriáját leíró xi−1 , yi−1 és αi−1 változóknak, így az mind potenciálos, mind nemkonzervatív er˝oket modellezhet. Az i-edik rúdelemre ható er˝ot vízszintes Hi (xi−1 , yi−1 , αi−1 ) és 22

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK függ˝oleges Vi (xi−1 , yi−1 , αi−1 ) komponenseivel helyettesítjük, míg a koncentrált nyomatékot mi (xi−1 , yi−1 , αi−1 ) adja. A könnyebb áttekinthet˝oség kedvéért a továbbiakban jelölje ezeket a komponenseket Hi illetve Vi , valamint a nyomatékot mi . A Vi , Hi er˝okomponenseknek az iedik rúdelem tengelyével való metszéspontját az i-edik csuklótól vízszintes értelemben ci jelöli, így a metszéspont függ˝oleges távolsága az i-edik csuklótól di = ci tan αi−1 . Irányítottságuk a lokális koordinátarendszerben olyan, hogy ci pozitív, ha cos αi−1 pozitív. Az i-edik csuklónál lév˝o rugóban keletkez˝o nyomatékot a nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedés leírása érdekében a csukónál lév˝o relatív szögelfordulás tetsz˝oleges, egy-egyérték˝u, páratlan függvényének tekintjük: Mi = Mi (αi − αi−1 ). Ennek megfelel˝oen a szerkezet egy, a rúdtengely hossza mentén változó hajlítómerevség˝u, végtelen nagy nyíró- és normálmerevség˝u, nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedés˝u, nemlineárisan rugalmasan befogott, tetsz˝oleges statikus teherrel terhelt folytonos rúd diszkrét mechanikai modellje. Rugalmas befogás modellezésénél a falhoz kapcsolódó rugó merevsége (az abban keletkez˝o MN (−αN −1 ) nyomaték) nemcsak az oda kapcsolt rúd felének hajlékonyságát, hanem a befogás engedékenységét is magában kell foglalja. Merev befogás esetén a mozdulatlan falat egy N + 1-edik, vízszintes, mereven befogott merev rúdelemnek tekinthetjük. A szerkezet terheletlen állapotban vízszintes, a rugók el˝ofeszítetlenek. A terhelést egy paraméter szerint változtatjuk. A következ˝o, 2.2.1. pontban az általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc kihajlását vizsgáljuk. A teher lehet nemkonzervatív is, melynél nem létezik potenciálisenergia-függvény. Ezért az egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletek segítségével fogalmazzuk meg az egyensúlyi konfigurációk számításához szükséges peremérték-feladatot, majd bizonyítjuk a neki megfelel˝o leképezés területtartó voltát. Ezután a 2.2.2. pontban néhány speciális terhelési esetben felírjuk a konkrét peremérték-feladatot és rendszerezzük annak megoldásait a különböz˝o N elemszámhoz tartozó bifurkációs diagramok megszerkesztésével.

2.2.1. Általános terhelés, nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedés A szerkezetre ható általános teher lehet nemkonzervatív is, ezért az egyensúlyi helyzetek számításához a szerkezet geometriai, egyensúlyi és anyagegyenleteit használjuk fel. Az összefüggéseket a szabad véghez rögzített lokális x, y derékszög˝u koordináta-rendszerben írjuk fel. A merev rúdelemek geometriáját leíró egyenletek az alábbiak: yi − yi−1 xi − xi−1 sin αi−1 = , cos αi−1 = , i = 1, 2, · · · , N. (2.11) ℓi ℓi A spirálrugókban ébred˝o nyomatékokat a csuklóknál lév˝o ∆αi = αi − αi−1 (i = 1, 2, · · · , N ) relatív szögelfordulás ismertnek feltételezett, páratlan, egy-egyérték˝u függvényei adják. Ezek az anyagegyenletek: Mi = Mi (∆αi ), i = 1, 2, · · · , N. (2.12)

A szerkezetre felírható független egyensúlyi egyenletek közül N darab nyomatéki egyenletet használunk fel: az i-edik egyenlethez az i-edik csuklónál kettészedjük a rúdláncot, és e csukló körül írunk fel nyomatéki egyenletet a szabad vég fel˝oli részre (i-edik rúdlánc-szeletre): Mi (∆αi ) +

i X j=1

Hj (yi − yj + dj ) +

i X j=1

Vj (xi − xj + cj ) + 23

i X j=1

mj = 0,

i = 1, · · · , N. (2.13)


A peremfeltételek: y0 = 0,

x0 = 0,

αN = 0.

(2.14)

A lokális koordináta-rendszer origója a 0. csuklóhoz kötött, annak vízszintes és függ˝oleges eltolódása egyaránt zérus, ezt fejezi ki az els˝o két x0 = 0, y0 = 0 peremfeltétel. A fal elfordulása zérus, ezt fejezi ki az αN = 0 peremfeltétel. Az egyensúlyi konfigurációk számításához elég (2.11), (2.12) és (2.13) egyenleteket (2.14) peremfeltételek mellett megoldani rögzített elemszám és terhelés mellett. A kapcsolati er˝ok ezek után számíthatók a rúdelemek vetületi egyenleteib˝ol. A rendelkezésre álló összefüggésekb˝ol egy olyan leképezést szeretnénk felírni, melynek Jacobi-determinánsa könnyen vizsgálható. Ennek érdekében kiküszöböljük a (2.13) egyenletekben szerepl˝o összegzési („memória-”) tagokat a következ˝o új változók bevezetésével: vi−1 =

i X

Hj ,

wi−1 =

j=1

pi−1 =

i X

j=1

Vj ,

j=1

ri−1 =

i X

i X

qi−1 =

i X j=1

Hj (yi − yj + cj tan αj−1 ),

Vj (xi − xj + cj ),

(2.15)

mj ,

j=1

ahol vi−1 illetve pi−1 az adott i-edik rúdlánc-szeletre ható er˝ok vízszintes illetve függ˝oleges vetületösszege, wi−1 illetve qi−1 ezen er˝ok vízszintes illetve függ˝oleges komponenseinek nyomatéka az i-edik csuklóra, míg ri−1 a koncentrált nyomatékok összege az els˝o i rúdelemen. A (2.15) új változók, valamint (2.11) és (2.13) egyenletek segítségével az alábbi, nyolcdimenziós leképezést írható fel: xi = xi−1 + ℓi cos αi−1 , yi = yi−1 + ℓi sin αi−1 , M i (∆αi ) + wi−1 + qi−1 + ri−1 = 0, vi = vi−1 + Hi+1 (xi , yi , αi ), pi = pi−1 + Vi+1 (xi , yi , αi ), ri = ri−1 + mi+1 (xi , yi , αi ), wi = wi−1 + ℓi+1 vi−1 sin αi + Hi+1 (xi , yi , αi ) ci+1 (xi , yi , αi ) tan αi , qi = qi−1 + ℓi+1 pi−1 cos αi + Vi+1 (xi , yi , αi ) ci+1 (xi , yi , αi ).

(2.16)

Egy egyensúlyi konfigurációt az α0 kezd˝oszöge egyértelm˝uen meghatároz rögzített elemszám, ismert teher és anyagi viselkedés esetén. A többi (függ˝o) változó (2.16)-ból a (2.15) szerint számított kezd˝ofeltételek mellett meghatározható, így a megoldásokat numerikusan a tüzérségi módszer [14] segítségével kaphatjuk meg. Mivel (2.16) harmadik egyenlete implicit αi -re nézve, ezért szükséges, hogy a spirálrugókban ébred˝o nyomatékot megadó függvények egy-egyérték˝uek legyenek. 24


Ha a (2.16) leképezést mint kezdetiérték-feladatot tekintjük, arra jutunk, hogy az területtartó. Ennek feltétele az egységnyi Jacobi-determináns [67]. A determináns felírásához (2.16) harmadik egyenletének egy tetsz˝oleges változó szerint deriváltjából kifejezzük αi változó szerinti deriváltját: ∂αi ∂wi−1 ∂qi−1 ∂ri−1 ∂αi−1 1 , = − ′ + + ∂. ∂. Mi (∆αi ) ∂. ∂. ∂. ahol Mi′ (∆αi ) 6= 0, mivel a függvény egy-egyérték˝u. A Jacobi-mátrix ezek után az alábbi alakba írható:   1 0 K 0 0 0 0 0  0  1 L 0 0 0 0 0    0  0 1 0 0 a a a    Hx Hy Hα + KHx + LHy 1 0 aHα aHα aHα    . (2.17) J =  V V V + KV + LV 0 1 aV aV aV x y α x y α α α    mx my mα + Kmx + Lmy 0 0 1 + amα amα amα     Wx Wy Wα + KWx + LWy M 0 aWα 1 + aWα aWα  Qx Qy Qα + KQx + LQy 0 N aQα aQα 1 + aQα

Itt a következ˝o jelöléseket használatuk:

K = −ℓi sin αi−1 , L = ℓi cos αi−1 , M = ℓi+1 sin αi , N = ℓi+1 cos αi , ∂Hi+1 (xi , yi , αi ) ∂Hi+1 (xi , yi , αi ) ∂Hi+1 (xi , yi , αi ) , Hy = , Hα = , Hx = ∂xi ∂yi ∂αi ∂Vi+1 (xi , yi , αi ) ∂Vi+1 (xi , yi , αi ) ∂Vi+1 (xi , yi , αi ) , Vy = , Vα = , Vx = ∂xi ∂yi ∂αi ∂mi+1 (xi , yi , αi ) ∂mi+1 (xi , yi , αi ) ∂mi+1 (xi , yi , αi ) mx = , my = , mα = , ∂xi ∂yi ∂αi ∂ci+1 (xi , yi , αi ) ∂ci+1 (xi , yi , αi ) ∂ci+1 (xi , yi , αi ) cx = , cy = , cα = , ∂xi ∂yi ∂αi Wx = Hx ci+1 (xi , yi , αi ) tan αi + Hi+1 (xi , yi , αi ) cx tan αi , Wy = Hy ci+1 (xi , yi , αi ) tan αi + Hi+1 (xi , yi , αi ) cy tan αi , Wα = Hα ci+1 (xi , yi , αi ) tan αi + Hi+1 (xi , yi , αi ) cα tan αi + + Hi+1 (xi , yi , αi ) ci+1 (xi , yi , αi ) (tan αi )′ + ℓi+1 vi−1 cos αi , Qx = Vx ci+1 (xi , yi , αi ) + Vi+1 (xi , yi , αi ) cx , Qy = Vy ci+1 (xi , yi , αi ) + Vi+1 (xi , yi , αi ) cy , Qα = Vα ci+1 (xi , yi , αi ) + Vi+1 (xi , yi , αi ) cα − ℓi+1 pi−1 sin αi , 1 . a=− ′ Mi (∆αi ) Ellen˝orizhet˝o akár kézi számítással, akár egy szimbolikus matematikai programmal, hogy a (2.17) Jacobi-mátrix determinánsa azonosan egy. Ez Gauss-eliminációval [7] az alábbiak 25

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK szerint látható be. Vonjuk le az els˝o sor Hx -szeresét a negyedik, Vx -szeresét az ötödik, mx szeresét a hatodik, Wx -szeresét a hetedik, Qx -szeresét a nyolcadik sorból! Vonjuk le a második sor Hy -szorosát a negyedik, Vy -szorosát az ötödik, my -szorosát a hatodik, Wy -szorosát a hetedik, Qy -szorosát a nyolcadik sorból! Vonjuk le a harmadik sor Hα -szorosát a negyedik, Vα -szorosát az ötödik, mα -szorosát a hatodik, Wα -szorosát a hetedik, Qα -szorosát a nyolcadik sorból! Végezetül az így kapott mátrix hetedik sorából levonjuk a negyedik sor M -szeresét és a nyolcadik sorából levonjuk az ötödik sor N -szeresét. Az elimináció eredménye egy olyan fels˝oháromszög-mátrix, melynek minden f˝oátlóbeli eleme 1. Egy fels˝oháromszög-mátrix determinánsa a f˝oátlóbeli elemek szorzata [7], így az eliminációval kapott mátrix determinánsa 1. Egy mátrix determinánsán a Gauss-elimináció nem változtat [7], ezért a (2.17) Jacobi-mátrix determinánsa is 1. Vagyis a kihajlási peremérték-feladatnak megfelel˝o kezdetiérték-feladat leképezése területtartó marad függetlenül attól, hogy a kihajlást potenciálos vagy nemkonzervatív er˝o okozza, illetve függetlenül attól is, hogy milyen anyagi viselkedést modelleznek a spirálrugók. A bevezet˝o 1.1.2. pontjában említettük, hogy az Euler-feladat diszkrét megfogalmazásának a periodikusan lökdösött rotátor a megfelel˝o kezdetiérték-feladata, ami egy gerjesztett, súrlódásmentes rendszer, leképezése területtartó. Az itt vizsgált, általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdláncok kihajlásait leíró peremérték-feladatoknak megfelel˝o kezdetiérték-feladatok szintúgy disszipatív hatásoktól mentes, gerjesztett, diszkrét idej˝u dinamikai rendszerként értelmezhet˝ok. Ezek alapján kimondhatjuk az értekezés 2. tézisét: 2. tézis. Megmutattam, hogy az általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdláncok egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletei területtartó leképezésre vezetnek a terhelést˝ol és az anyagi nemlinearitástól függetlenül. A diszkrét mechanikai modell síkbeli kihajására felírt peremérték-feladatnak minden esetben egy disszipatív hatásoktól mentes, diszkrét idej˝u kezdetiérték-feladat feleltethet˝o meg.

26


2.2.2. Az egyensúlyi helyzetek rendszerezése néhány konkrét terhelési esetben Az el˝oz˝o pontban ismertetett diszkrét szerkezetet néhány egyszer˝ubb teher alatt vizsgáljuk. Az egyszer˝uség kedvéért egyenl˝o hosszúságú rúdelemeket (ℓi ≡ ℓ) és lineárisan rugalmas anyagi viselkedést tételezünk fel, vagyis a spirálrugókban ébred˝o nyomatékot az Mi (∆αi ) = ρ(αi − αi−1 ) lineáris egyenletb˝ol számoljuk. A modellt egy mereven befogott, folytonos, prizmatikus, EI hajlítómerevség˝u, végtelen nagy nyíró- és normálmerevség˝u rúd diszkrét modelljeként is értelmezhetjük, ahol ρ = EI/ℓ, 2 a falat pedig egy N + 1-edik, képzeletbeli, ℓ/2 hosszú, mereven befogott, merev rúdelem váltja ki. Követ˝oer˝o a rúdlánc szabad végén Els˝o példánkban a már jól ismert nemkonzervatív er˝ot m˝uködtetjük a szerkezetre: a szabad végen egy F nagyságú, az els˝o rúdelem tengelyébe es˝o hatásvonalú, követ˝oer˝o hat (2.7. ábra). Így a locsolócs˝o egy egyszer˝u modelljéhez jutunk [6, 64, 65], ahol a követ˝oer˝o a szabad végen kiáramló víz hatását tükrözi. Folyadékot szállító csövek esetén a csuklókban ébred˝o nyomaték– szögtörés kapcsolatot ennél pontosabban is lehetne modellezni, figyelembe véve az áramló folyadék cs˝ore gyakorolt kiegyenesít˝o hatását. Ez jöv˝obeni kutatásaink tárgyát képezi. xi

ρ Ν

Ν

i

α i−1 i−1

yi

l

1

y

x 0

F

2.7. ábra. Követ˝oer˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje A teher jellemz˝oi a 2.6. ábrán alkalmazott jelölésekkel: Hi = Vi = 0, kivéve H1 = F cos α0 , V1 = −F sin α0 , valamint mi ≡ 0 minden i esetén. Mivel a teher a szabad végen hat, az er˝okomponensek hatásvonalai és az els˝o rúdelem tengelyvonalának metszéspontja az 2 A konstans EI hajlítómerevség˝u folytonos rúdnak pontosabb diszkrét modelljét kapnánk , ha az els˝o rúdelem hossza ℓ/2, vagy az els˝o csuklónál lév˝o rugó merevsége ρ = (2/3)EI/ℓ volna. Hosszabb rúdláncoknál a különbség már elenyész˝o.

27

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK els˝o csuklótól vízszintesen mérve: c1 = ℓ cos α0 . Ezek alapján (2.16) az alábbi, négydimenziós alakot ölti: xi = xi−1 + sin αi−1 , yi = yi−1 + sin αi−1 , αi = αi−1 + zi−1 , zi = zi−1 + λ sin(αi − α0 ).

(2.18)

Itt a következ˝o dimenziótlan mennyiségeket vezettük be: λ = F ℓ/ρ a dimenziótlan teherparaméter, zi = (wi + qi )/ρ egy új dimenziótlan változó, yi és xi dimenziótlanítása pedig yi → yi ℓ, xi → xi ℓ szerint történt. Vegyük észre, hogy xi és yi csak követi a többi változó dinamikáját, a lényegi viselkedés az (αi , zi ) kétdimenziós fázistérben zajlik! A megoldások számításához ezért nincs szükség sem az xi , sem az yi változókra. A peremfeltételek az általános esetnél tárgyaltak szerint (2.14) alakba írhatók (ezek közül sincs most szükségünk az x0 = 0, y0 = 0 feltételekre). A megoldások megtalálásához rögzítjük az N elemszámot és a λ terhet, majd felvesszük a kezdeti értékeket: z0 = 0 (2.15) és zi definíciója alapján, valamint tetsz˝oleges α0 kezd˝oszöget. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy αi = α0 és zi = 0. Az αN = 0 peremfeltétel csak akkor teljesül, ha α0 = 0, vagyis csak a triviális αi ≡ 0 egyensúlyi helyzet létezik. Ez nem jelenti azt, hogy ez az egyensúlyi helyzet mindig stabilis. A két rúdelemb˝ol álló rugalmas rúdlánc dinamikai vizsgálatával konstans sebesség˝u kiáramló folyadékra megmutatták, hogy a sebesség egy kritikus értékénél szuperkritikus Hopf -bifurkáció történik, vagyis a stabil egyensúlyi helyzet instabillá válik és a szerkezet stabil periodikus mozgásba kezdhet [64, 65]. Az egyszer˝uség kedvéért a következ˝o példákban csak vízszintes terhekkel foglalkozunk: Vi ≡ 0, mi ≡ 0. Így (2.15) alapján pi ≡ 0, qi ≡ 0, ri ≡ 0, vagyis (2.16) ötdimenziós alakot ölt. Vízszintes megoszló er˝o a rúdelemeken Az alábbiakban egy másik nemkonzervatív teherre mutatunk példát. A szerkezetre egy konstans q intenzitású, vízszintes, balra mutató megoszló er˝o hat (2.8. ábra). Azt, hogy ez a teher nemkonzervatív, beláthatjuk a 2.9. ábrán vázolt zárt pályán való munkavégzés alapján. Itt a kiindulási és a végállapot ugyanaz, a lineáris spirálrugók feszítetlen állapotból feszítetlen állapotba kerülnek, ezért a bels˝o munka zérus. Nézzük a küls˝o er˝ok munkáját! Tekintsük el˝oször a 2. és a 3. elemre ható er˝oket! Az els˝o lépésben ezekre a rúdelemekre nem hat küls˝o er˝o. A második lépésben a 2. és 3. rúdelemre ható küls˝o er˝ok munkája azonos nagyságú, de ellentétes értelm˝u az ugyanezen elemeken a harmadik lépésben végzett küls˝o munkával. Tehát a 2. és a 3. rúdelemre ható küls˝o er˝ok munkája összességében zérus a zárt pályán. Az 1. rúdelemre ható er˝ok munkája az els˝o és a második lépésben pozitív, a harmadik lépésben pedig zérus. A szerkezetre ható megoszló er˝o nemkonzervatív, mivel az általa végzett munka nem zérus a zárt pályán. A teher jellemz˝oi ebben az esetben: Hi = q| sin αi−1 |ℓ, ci = (1/2)ℓ cos αi−1 (i = 1, 2, · · · , N ). Az abszolút érték biztosítja, hogy a teher mindig balra mutat. A λ = qℓ2 /ρ dimenziótlan teherparaméter, valamint az xi → xi ℓ,

yi → yi ℓ,

wi → wi ρ, 28

vi → vi ρ/ℓ

(2.19)

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK xi

ρ Ν

Ν

i

α i−1

l

q

yi

i−1

1

y

x 0

2.8. ábra. Vízszintes megoszló er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje

3

2

3

2

1

1

1

2

3

2

1

3 2

3

1

2.9. ábra. Vízszintes megoszló er˝o által végzett munka egy zárt pályán

dimenziótlan változók bevezetésével (2.16) az alábbi dimenziótlan alakba írható: xi = xi−1 + cos αi−1 , yi = yi−1 + sin αi−1 , αi = αi−1 − wi−1 , vi = vi−1 + λ| sin αi |, wi = wi−1 + vi−1 sin αi + 29

(2.20) λ sin αi | sin αi |. 2

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Vegyük észre, hogy xi és yi most is csak követi αi -t, a lényegi viselkedés az (αi , vi , wi ) háromdimenziós fázistérben jelenik meg! A numerikus számításnál így nem is foglalkozunk az xi , yi változókkal, az egyensúlyi helyzetek azok nélkül is számíthatók. Belátható (2.20) alapján, hogy ha adott λ∗ teher és N elemszám esetén α0 = α∗ megoldás, akkor α0 = −α∗ is megoldás ugyanazon teher és elemszám mellett. Ez a geometriai térben a globális X tengelyre vett tükörszimmetria, míg a bifurkációs diagram az α0 = 0 függ˝oleges tengelyre szimmetrikus. A kezdeti értékek a numerikus számításhoz: v0 = λ| sin α0 |, w0 = (λ/2) sin α0 | sin α0 |. A szimulációt elvégeztük a λ teherparaméter rögzítése és α0 finom léptetése, valamint az α0 kezd˝oszög rögzítése és λ finom léptetése mellett is. Az N = 4 elem˝u, vízszintes megoszló er˝ovel terhelt konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramját mutatja a 2.10. ábra az α0 ∈ [0, π], λ ∈ [0, 20] tartományon. A diagram el˝oállításánál a tartomány felosztásának finomsága az α0 és a λ tengelyek mentén egyaránt 0.001 volt.

2.10. ábra. Az N = 4 elem˝u, vízszintes megoszló er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α0 ∈ [0, π], λ ∈ [0, 20] tartományon Jól látható a 2.10. ábrán, hogy nincs leágazás az αi ≡ 0 triviális egyensúlyi útról, viszont attól elkülönülve nagy számban jelennek meg újabb egyensúlyi utak a teherparaméter növelésével. Ennek további vizsgálatára a 2.3.2. pontban visszatérünk.

30


Vízszintes er˝o a rúdlánc szabad végén A következ˝o példában a rúdlánc szabad végére egy vízszintes hatásvonalú, F nagyságú er˝ot teszünk (2.11. ábra). A teher potenciálos, jellemz˝oi a bevezetett jelölésekkel: xi

ρ Ν

Ν

i

α i−1 i−1

yi

l

1

y

F

x 0

2.11. ábra. Szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje H1 ≡ F, Hi ≡ 0 (i > 1), c1 = ℓ cos α0 , valamint vi ≡ F . Ezek után (2.16) az alábbi négydimeziós alakra egyszer˝usödik: xi = xi−1 + cos αi−1 , yi = yi−1 + sin αi−1 , αi = αi−1 − wi−1 , wi = wi−1 + λ sin αi ,

(2.21)

ahol λ = F ℓ/ρ a dimenziótlan teherparaméter, míg xi → xi ℓ és yi → yi ℓ szintén dimenziótlan. A dinamika lényegében az (αi , wi ) kétdimenziós fázistérben folyik, xi és yi csak követi azt, ezért azokat nem számítjuk. Ebben a kétdimenziós fázistérben rögzített λ = 0.1, 0.5, 1.0, 5.0 teherparaméterek mellett megszerkesztett fázisportrékat mutat a 2.12. ábra 3 . A fázisportrék elkészítéséhez az α0 ∈ [0, 2π], w0 ∈ [−π, π] tartományon 15 × 15 egyenletesen elszórt kezdetiértékb˝ol kiindulva az adott teherparaméter mellett N = 5000 lépésen keresztül követtük diszkrét id˝oben a dinamikát (iteráltuk a leképezést) és ábrázoltuk a számított (αi mod 2π, wi ) értékeket. (A kezdetiértékek a fázisportré el˝oállításánál nem teljesítik az egyensúlyi helyzetek számításához szükséges w0 = λ sin α0 kezdeti feltételt.) Magasabb teherparaméterek esetén jól láthatók a konzervatív kaotikus rendszereket jellemz˝o KAM-szigetek és az azt körülvev˝o „kaotikus tenger”. 3

Az értekezés jobb alsó sarkában látható képek ezt a fázisportrét ábrázolják a teherparaméter különböz˝o értékei mellett. A teherparaméter 1/24-del változik az egymást követ˝o oldalakon, értéke a 1. oldalon λ = 1/24, ezen az oldalon λ = 31/24.

31


2.12. ábra. Szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit származtató leképezés fázisportréi: 15 × 15 egyenletesen elosztott kezd˝ofeltételt követtünk 5000 iteráción keresztül. Az a) ábra a λ = 0.1, a b) ábra a λ = 0.5, a c) ábra a λ = 1.5 és a d) ábra a λ = 5 teherértékkel készült.

A dinamikát lényegében leíró kétváltozós leképezés ekvivalens a dinamikai rendszerek elméletéb˝ol jól ismert, a bevezet˝oben is említett, kaotikus, területtartó leképezéssel, a standard leképezéssel, ami (1.5) alakban adott. A két leképezés közötti lineáris transzformáció: αi = π + Θi − Ii ,

wi = −Ii ,

λ = K.

Az egyensúlyi helyzeteket a tüzérségi módszerrel [14] számítjuk adott N elemszámra. A kezdeti értékek: w0 = λ sin α0 ; α0 finoman léptetett, λ rögzített, illetve λ finoman léptetett, α0 rögzített. A kompatibilitási feltétel az αN = 0 peremfeltétel. Megfigyelhetjük, hogy (2.21) ugyanazzal a szimmetria-tulajdonsággal bír, mint (2.20): ha α0 = α∗ megoldás, akkor α0 = −α∗ is az ugyanazon teher és elemszám mellett. Tehát a bifurkációs diagram szimmetrikus az α0 = 0 függ˝oleges tengelyre, illetve a geometriai térben egy adott egyensúlyi konfiguráció globális X tengelyre vett tükörképe is az. Az N = 4 elem˝u vízszintes er˝ovel a szabad végén terhelt konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramját a 2.13. ábra mutatja az α0 ∈ [0, π], λ ∈ [0, 20] tartományon. A diagram el˝oállítása során az adott tartományt 0.001 finomsággal „fésültük át” függ˝olegesen és vízszintesen is. A diagramon jól látszik, hogy a triviális αi ≡ 0 útról az elemek számával megegyez˝o, N = 4 pontban van leágazás, míg ezekt˝ol elkülönülve rohamosan jelennek meg újabb és újabb egyensúlyi utak a teher növelésével. A triviális útról való N elágazás azonban a numerikus eredmények alapján nem ágazik tovább páros és páratlan elemszám esetén sem. Ennek magyarázatára a 2.4.4. pontban visszatérünk.

32


2.13. ábra. Az N = 4 elem˝u, szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α0 ∈ [0, π], λ ∈ [0, 20] tartományon Példaként a bonyolult kihajlási alak szemléltetésére az N = 15 elem˝u rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja látható a 2.14. ábrán λ = 2 teherparaméter és α0 = −3.044365 kezd˝oszög esetén.

2.14. ábra. Az N = 15 elem˝u, szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja (λ = 2, α0 = −3.044365)

33


Vízszintes er˝o a csuklókon Utolsó példánkban a konzolos rugalmas rúdlánc minden egyes csuklójára egy vízszintes hatásvonalú, F nagyságú er˝o hat (2.15 ábra). xi

ρ

F Ν

Ν

F i

α i−1 i−1

yi

l

F

F 1

y

F

x 0

2.15. ábra. Vízszintes er˝ovel a csuklókon terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje A teher potenciálos, jellemz˝oi: Hi ≡ F és ci = ℓ cos αi−1 (i = 1, 2, · · · , N ). Vezessük be a λ = F ℓ/ρ dimenziótlan teherparamétert, valamint a dimenziótlan változókat (2.19) szerint! Ezek alapján (2.16) az alábbi, ötdimenziós alakot ölti: xi = xi−1 + cos αi−1 , yi = yi−1 + sin αi−1 , αi = αi−1 − wi−1 , vi = vi−1 + λ, wi = wi−1 + vi sin αi .

(2.22)

A dinamika az (αi , vi , wi ) háromdimenziós fázistérben folyik, xi és yi csak követi azt, ezért azok számításával nem foglalkozunk. Figyelembe véve, hogy vi = (i + 1)λ, (2.22) egy kétdimenziós nem-autonóm leképezésként is kezelhet˝o (a változók ekkor αi és wi ). Az egyensúlyi helyzeteket most is a tüzérségi módszerrel [14] kaphatjuk meg rögzített N elemszámnál. A kezdeti értékek a numerikus eljáráshoz: v0 = λ, w0 = λ sin α0 ; α0 finoman léptetett, λ rögzített, illetve λ finoman léptetett, α0 rögzített. A kompatibilitási feltétel az αN = 0 peremfeltétel. A (2.22) leképezés ugyanazzal a szimmetria-tulajdonsággal bír, mint (2.20), illetve (2.21). A bifurkációs diagram tehát itt is tükörszimmetrikus az α0 = 0 függ˝oleges egyenesre, míg a geometriai térben megjelen˝o adott egyensúlyi konfiguráció globális X tengelyre vett tükörképe is egyensúlyi helyzetet ad. Az N = 4 elem˝u rúdlánc bifurkációs diagramját mutatja a 2.16. ábra az α0 ∈ [0, π], λ ∈ [0, 20] tartományon. A diagram el˝oállítása során a térrész vízszintes és függ˝oleges „átfésülését” 0.001 finomsággal végeztük el. A 2.13. ábrán látott diagramhoz hasonló jelenségeket 34

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK figyelhetünk meg itt is: N = 4 leágazás van az αi ≡ 0 triviális egyensúlyi útról, míg attól elkülönülve nagy számban jelennek meg új egyensúlyi utak a teherparaméter növelésével.

2.16. ábra. Az N = 4 elem˝u, csuklóin vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α0 ∈ [0, π], λ ∈ [0, 20] tartományon

35


2.3.

Térbeli káosz rugalmas rúdláncoknál

Ebben a szakaszban a rugalmas rúdláncok kihajlásánál is megfigyelt, sokféle, bonyolult egyensúlyi konfigurációkként megjelen˝o térben kaotikus viselkedés felismerésére és definiálására törekszünk. A 2.3.1. pontban a peremérték-feladat megoldásai és a megfelel˝o kezdetiértékfeladat periodikus pályái közötti kapcsolatot térképezzük fel az általános terhelés˝u, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc esetén. A 2.3.2. pontban erre alapozva javaslatot teszünk a térbeli káosz definiálására, mely a dinamikai rendszerek elméletéb˝ol ismert, a periodikus pályák számának a periódus hosszától való függését (is) jellemz˝o topologikus entrópián alapul. A javasolt definíció el˝onye, hogy akár több lényeges kiterjedéssel bíró szerkezetekre is alkalmazható.

2.3.1. Egyensúlyi konfigurációk és periodikus pályák Az általános terhelés és anyagi nemlinearitás mellett levezetett (2.16) leképezés esetén a vizsgált tartományt (i = 1, 2, · · · , N ) mindkét irányban kiterjesztjük. Az egyik irányú kiterjesztésnél fennál, hogy A) αj−1 = α−j ,

yj = −y−j ,

xj = −x−j ,

ha a teher jellemz˝oit, a rugókban ébred˝o nyomatékot megadó egy-egyértelm˝u, páratlan függvényeket és a rúdelemek hosszát az alábbiak szerint vesszük fel: Vj = −V−j+1 , mj = m−j+1 , Mj = M−j ,

Hj = −H−j+1 , cj = ℓ−j+1 cos α−j − c−j+1 , ℓj = ℓ−j+1 ,

(2.23)

míg M0 (∆α0 ) tetsz˝oleges, de páratlan függvény. A másik irányban pedig teljesül, hogy B) αN −j = −αN +j ,

yN −j = yN +j+1 ,

xN −j = 2xn − xN +j+1 + ℓN +1 ,

ha a teher jellemz˝oit, a rugókban ébred˝o nyomatékot megadó egy-egyértelm˝u, páratlan függvényeket és a rúdelemek hosszát az alábbiak szerint vesszük fel: VN +j+1 = VN −j+1 , HN +j+1 = −HN −j+1 , mN +j+1 = −mN −j+1 , cN +j+1 = ℓN −j+1 cos αN −j − cN −j+1 , MN +j+1 = MN −j , ℓN +j+1 = ℓN −j+1 ,

(2.24)

valamint HN +1 = 0, VN +1 = −2pN −1 , mN +1 = 0, cN +1 = ℓN +1 /2 és ℓN +1 tetsz˝oleges. A fenti összefüggések részletes bizonyítása az A. függelékben, az A.1. szakaszban található. Az A) összefüggések mögött fizikailag az áll, hogy egy N elem˝u egyensúlyi konfiguráció szabad csuklójához (feszítetlen) spirálrugóval hozzákapcsolva annak szabad vége körül 180◦ -kal elforgatott mását, egy 2N elem hosszúságú egyensúlyi konfigurációt kapunk. Ezt a toldalékot a 2.17 a) ábra I. jel˝u része szemlélteti, az ábrán az eredeti (kiindulási) egyensúlyi konfiguráció színezve van. A forgatás során egy adott rúdelem hossza változatlan, az arra ható 36


koncentrált nyomaték nagysága és értelme változatlan, az er˝ok nagysága szintén változatlan, irányuk viszont ellentétes. A B) összefüggések fizikai tartalma az, hogy egy N elem˝u egyensúlyi konfigurációnál a falat kiváltva egy (tetsz˝oleges, ℓN +1 hosszúságú) vízszintes elemmel és annak függ˝oleges középtengelyére tükrözve az eredeti konfigurációt egy 2N + 1 elem hosszúságú egyensúlyban lév˝o szerkezethez jutunk. Ezt a 2.17 b) ábra II. jel˝u része mutatja, ahol az eredeti (N elem˝u) egyensúlyi konfiguráció színezve, a beiktatott vízszintes elem sraffozva van. A tükrözés során egy adott rúdelem hossza változatlan, az arra ható nyomaték nagysága változatlan, értelme ellentétes, az er˝ok nagysága és a függ˝oleges er˝okomponens iránya szintén változatlan, míg a vízszintes er˝okomponens iránya ellentétes. Ha egy adott N elem˝u egyensúlyi konfiguráción végrehajtjuk a B) (tükrözés), majd az így kapott, egyensúlyban lév˝o szerkezeten végrehajtjuk az A) (forgatás) geometriai transzformációkat, a 2.17 c) ábrán látható, 4N + 2 elem˝u (egyensúlyban lév˝o) rugalmas rúdlánchoz jutunk. Ebb˝ol a 4N + 2 elem˝u szerkezetb˝ol már tetsz˝olegesen sokat egymáshoz kapcsolhatunk: elforgatva egy másolatot valamelyik széls˝o csukló körül 180◦ -kal, és (tetsz˝oleges páratlan függvénnyel adott merevség˝u) spirálrugóval összekötve azt az eredeti résszel újabb egyensúlyban lév˝o szerkezetet állíthatunk el˝o. Ez azt jelenti, hogy a 2.17 c) ábrán látható 4N + 2 elem˝u rúdlánchoz tartozó (xi , yi , αi , vi , pi , ri , wi , qi ) értékek a (2.16) leképezésnek, mint diszkrét idej˝u dinamikai rendszernek 4N + 2 periódus hosszú periodikus pályáját alkotják. Példaként a 2.18. ábrán látható a szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja (színezve). Az azon elvégzett A) (forgatás) geometriai transzformációval el˝oálló tükörszimmetrikus szerkezetet a b) ábrarész, a B) (tükrözés) geometriai transzformációval el˝oállított potszimmetrikus szerkezetet az a) ábrarész mutatja. Ezek egymás utáni végrehajtásával származtatott, a c) ábrarészen látható, 4N + 2 elem˝u szerkezet egyben az Euler-feladat 4N + 2 elem˝u diszkrét modelljének egy pontszimmetrikus megoldása. A fentiek alapján elmondhatjuk, hogy egy N elem˝u, tetsz˝olegesen terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc minden egyes egyensúlyi konfigurációjához egyértelm˝uen hozzárendelhet˝o a megfelel˝o diszkrét idej˝u dinamikai rendszer egy-egy 4N + 2 periódus hosszú periodikus pályája. A következ˝o pontban ezt a kapcsolatot boncolgatjuk tovább. A teljesség kedvéért megjegyezzük, hogy egy általánosan terhelt, nemlineárisan rugalmas rúdláncnál a tartomány kiterjesztése könnyen elvégezhet˝o az itt bemutatott konzolos eset kiterjesztéseinek fizikai jelentéseit alkalmazva különböz˝o megtámasztások mellett is. Például kéttámaszú esetben egy egyensúlyi konfigurációhoz a fix támasz körül 180◦ -kal elforgatott mását kapcsolva újabb, 2N elemszámú egyensúlyi helyzetet kapunk, mely a megfelel˝o diszkrét idej˝u dinamikai rendszer 2N periódus hosszú periodikus pályája. Ha a rúdlánc egyik vége rugalmasan egy mozdulatlan falhoz kapcsolt, másik vége (a falra mer˝oleges egyenesre es˝o) görg˝os támasszal ellátott, egy egyensúlyi helyzetb˝ol a falat kiváltó vízszintes merev rúdelemmmel, majd a görg˝os támasz körüli 180◦ -os forgatással egy olyan egyensúlyi konfigurációt kapunk, melyb˝ol tetsz˝olegesen sokat egymáshoz kapcsolhatunk, így az a megfelel˝o diszkrét idej˝u dinamikai rendszer 2N + 1 periódus hosszú periodikus pályája.

37


b)

a) c N+j+1

Hj

yj

α j−1

HN+j+1

j

0

l−

H−j+1

l

VN+1

j+ N+

VN−j+1 HN−j+1

α N−j

N−j

lN

−j+

1

2N+1

y−j

α−j

α N+j 1

y

j+1

1111 0000 0000 N 1111

VN+j+1

N+j+1

N+j+1

l

cN−j+1

N−j

j Vj

y

cj

0

II

−j

Eredeti

c−j+1 V−j+1

Eredeti

I VN+2

HN+2 V2N+1

1111 N 0000 N+1

c)

VN HN

V1

H 2N+1

H1 m2N+1

2N+1

m1

−2N−1

m−2N

m0

0

H−2N

H0 V0

−N

H −N+1

V−N+1

V −2N

−N−1

1111 0000

H −N−1 V−N−1

2.17. ábra. Általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja és a megfelel˝o diszkrét idej˝u dinamikai rendszer egy periodikus pályája közötti kapcsolat szemléltetése. Az egyensúlyi konfiguráción (N elem˝u eredeti rész – színezve) végrehajtva a bemutatott geometriai transzformációkat egy 4N +2 elem˝u egyensúlyi konfigurációhoz jutottunk, mely a megfelel˝o dinamikai rendszer egy periodikus pályája.

38


a) l

j

11111 00000

α N+j

l

N+j

F

0

N+j+1

yj

α j−1

N

F −j

α N−j

N−j

F

y

F

yN−j

N

b)

0

y

2N+1

II

−j

Eredeti

α−j

Eredeti

I c)

1111 0000 0000 N 1111 N+1 F

F 2N+1

−2N−1

F 0

F

−1 −N0000 −N−1 1111 1111 0000

2.18. ábra. Szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja és a megfelel˝o diszkrét idej˝u dinamikai rendszer egy periodikus pályája közti kapcsolat szemléltetése. Az egyensúlyi konfiguráción (N elem˝u eredeti rész – színezve) végrehajtottuk a bemutatott geometriai transzformációkat: az a) ábrarészen a forgatás, a b) ábrarészen a tükrözés látható. Ezeket egymás után elvégezve a c) ábrarészen lév˝o, 4N + 2 elem˝u egyensúlyi konfigurációhoz jutottunk, mely a megfelel˝o dinamikai rendszer egy periodikus pálya, egyben az Euler-feladat 4N + 2 elem˝u diszkrét mechanikai modelljének egy pontszimmetrikus megoldása is.

39


2.3.2. A megoldások száma, a tartomány hossza és a térbeli bonyolultság Id˝oben kaotikus rendszereknél a periodikus pályák száma exponenciálisan n˝o a periódus hosszával [67]. Láttuk, hogy egy N elemszámú konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi konfigurációiból egyértelm˝uen származtathatók a leképezés T = 4N + 2 diszkrét id˝olépés hosszú periodikus pályái. Ha a megfelel˝o kezdetiérték-feladat kaotikus, akkor (1.6) alapján a periodikus pályáinak Sp száma Sp ∼ e(4N +2)h

(2.25)

szerint változik, ahol a h topologikus entrópia pozitív. Ennek alapján a peremérték-feladat megoldásainak száma exponenciálisan n˝o a rúdelemek számával, ha az térben kaotikus. Numerikusan számítottuk a megoldások számát különböz˝o hosszúságú rúdláncok és teherparaméter értékek esetén a 2.2.2. pontban ismertetett speciális terhek alatt (a követ˝oer˝os esetet kivéve, mivel ott csak a triviális egyensúlyi helyzet létezik). A szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt konzolos rugalmas rúdláncnál az α0 ∈ [0, π] tartományon talált megoldások számát a 2.19. ábra mutatja különböz˝o N elemszámokra log-log diagramon. Feltüntettük a mért értékekhez legjobban illeszked˝o egyeneseket is, ezek S ∼ λN −1 összefüggést mutatnak, vagyis a tartomány hosszától exponenciálisan függ a megoldások száma. Vízszintes megoszló teher alatt lév˝o konzolos rúdláncnál az α0 ∈ [0, π] tartományon keresve megoldásokat a 2.20. ábrán látható eredményeket kaptuk különböz˝o N elemszámok esetén. Itt is S ∼ λN −1 összefüggést mértünk.

106 4

λ

105 4

S

10

3

λ

2

λ

N=5 N=4

3

10

N=3

2

10

1

1

λ

N=2

10

1

10

100

1000

λ 2.19. ábra. Szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, N = 2, 3, 4, 5 elem˝u, konzolos rugalmas rúdláncoknál az α0 ∈ [0, π] tartományon talált megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében

40


106 N=4

3

105

λ

4

2

10

λ

S

N=3

3

10

1

λ

2

10

N=2

1

10

10

100 λ

1000

2.20. ábra. Vízszintes megoszló teherrel terhelt N = 2, 3, 4 elem˝u, konzolos rugalmas rúdláncoknál az α0 ∈ [0, π] tartományon talált megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében Minden vizsgált terhelési esetre azt kaptuk, hogy a megoldások száma (bizonyos teherérték felett) exponenciálisan n˝o a rúdlánc hosszával: S ∼ e(N −1) ln λ .

(2.26)

A (2.25) és a (2.26) összefüggésekben szerepl˝o kitev˝ok egyenl˝oségéb˝ol kifejezhetjük a h topologikus entrópiát, ami hosszú rúdlánc (N ≫ 1) esetén: h≈

1 ln λ. 4

(2.27)

Ha λ > 1, akkor h pozitív, a megfelel˝o dinamikai rendszer kaotikus. Ekkor a vizsgált peremérték-feladatról mondhatjuk, hogy térben kaotikus. Negatív teherparaméter esetén is mértük a vizsgált terhelési esetekre a megoldások számát az elemszám függvényében. Ekkor S ∼ −λN kapcsolatot mértünk, a megoldások száma exponenciálisan n˝ott a rúdelemek számával λ < −1 esetén. Így azt mondhatjuk, hogy |λ| > 1 esetén kaotikusak térben a szóban forgó peremérték-feladatok. A peremérték-feladatoknál megfigyelt azon jelenséget, hogy bizonyos teherparaméter felett az egyensúlyi konfigurációk száma exponenciálisan növekszik a rúdlánc hosszával, konzervatív térbeli káosznak fogjuk nevezni, mert kaotikus, disszipatív hatásoktól mentes dinamikai rendszereknek feleltethet˝ok meg. A térben kaotikus peremérték-feladatok egyik f˝o ismertet˝ojele a komplex bifurkációs diagram. Ennek ismérvei, hogy az egyensúlyi helyzetek száma rohamosan n˝o a teherparaméter növelésével, nem csak a triviális egyensúlyi útnak vannak elágazásai, attól elkülönülve is nagy számban jelennek meg egyensúlyi utak, melyek tovább ágazhatnak, sok stabilis megoldás van és az egyensúlyi utak aszimptotikus viselkedése nem egyféle (lásd 2.4. ábra, 2.5. ábra, 2.10. ábra, 2.13. ábra, valamint 2.16. ábra). Másik fontos ismertet˝ojele a komplikált egyensúlyi alakok létezése (lásd 2.14. ábra). 41


A szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc (2.2.2. pont) vizsgálatánál már szót ejtettünk a fázistérr˝ol. El is készítettünk néhány fázisportrét (2.12. ábra) olyan egyenletesen elszórt kezdetiértékeket követve, melyeknél nem vettük figyelembe a statikai feladatnak megfelel˝o kezdeti feltételeket. Most néhány iteráción keresztül a szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc kihajlásának megfelel˝o kezdetiértékek egy halmazát fogjuk követni a fázistérben. A kezdetiértékek: α0 ∈ [0, π], w0 = λ sin α0 . Iteráljuk a halmaz elemeivel a (2.21) leképezést λ = 5 mellett N -szer! (Az xi és az yi értékeivel nem foglalkozunk, azok a dinamikát nem befolyásolják.) Az N = 4 iteráció után kapott eredményt a 2.21. ábra mutatja. A kezd˝ofeltételek alkotta fél szinuszhullám (fekete vonal) egy jóval hosszabb és bonyolultabb, megnyúlt és „összehajtogatott” vonallá (piros vonal) képz˝odik le. Ez a viselkedés a kaotikus rendszerek egyik fontos jellemz˝oje: a fázistérbeli nyújtás és hajtogatás [67]. Ennek segítségével a peremérték-feladatot „grafikusan” is megoldhatjuk, felhasználva az αN = 0 peremfeltételt: a megoldások az N -edik iteráció eredményéül kapott vonal és az αi = 0 egyenes metszéspontjaihoz tartoznak. Négyelem˝u rúdláncra vonatkozó példánkban a 2.21. ábrán a piros vonal és a függ˝oleges tengely metszéspontjaihoz egy-egy egyensúlyi konfiguráció rendelhet˝o a teherparaméter λ = 5 értékénél. A leképezés kaotikus λ = 5 esetén (lásd 2.12. ábra c) panel), így a kezdetiértékek alkotta vonal tipikusan exponenciálisan nyúlik az iterációk számával, az exponens pedig a topologikus entrópia. Említettük, hogy (2.21) – eltekintve a dinamikát nem befolyásoló xi és yi változóktól – ekvivalens az (1.5) alakban adott standard leképezéssel. Utóbbiról ismert, hogy a nemlinearitási paraméter K ≈ 0.972 értékénél az utolsó (lökdösött rotátornál az egyszer˝u forgásnak megfelel˝o) sima görbe is elt˝unik a fázistérr˝ol, átjárást engedve így a kaotikus sávok között [67]. Ekkor a peremérték-feladat kaotikussá válik: a kezdetiértékeknek megfelel˝o vonal „szétfolyik” az átjárható kaotikus tartományokban, közben exponenciálisan megnyúlik és „összehajtogatódik”, a második peremfeltételt jelöl˝o függ˝oleges egyenessel való metszésponjainak száma pedig a megnyúlás mértékével, exponenciálisan n˝o a lépésszámmal, ahol az exponens a topologikus entrópia. Ezek alapján elegend˝onek tartjuk, hogy csak néhány N elemszámnál mértük a megoldások S számát a λ teherparaméter függvényében, ebb˝ol következtettünk arra, hogy az ott mért S ∼ λN −1 összefüggés nagyobb elemszámra is fennáll. Ha a leképezés kaotikus, annak a fázistérben nyújtás- és hajtogatásként megjelen˝o kaotikus dinamikája miatt a lépésszám (elemszám) növelésével a metszéspontok (megoldások) exponenciális növekedése várható.

42


20 15

wi

10 5 0 -5 -10 -15 -10π

-8π

-6π

-4π

-2π αi

0

2π

4π

6π

2.21. ábra. A szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc peremfeltételeinek megfelel˝o α0 ∈ [0, π], w0 = λ sin α0 kezdetiértékek (fekete vonal) és azok képei N = 4 iteráció után (piros vonal) λ = 5 esetén a fázistérben. A piros vonal és az αi = 0 egyenes metszéspontjaihoz egy-egy N = 4 elem˝u egyensúlyi konfiguráció tartozik λ = 5 teherparaméter érték mellett. Jól látszik a kaotikus dinamikára jellemz˝o, fázistérben megjelen˝o nyújtás és hajtogatás.

Ezek alapján kimondhatjuk az értekezés 3. tézisét: 3. tézis. Megmutattam, hogy egy általánosan terhelt, N elem˝u, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc minden egyes egyensúlyi konfigurációjához egyértelm˝uen hozzárendelhet˝o a megfelel˝o diszkrét idej˝u dinamikai rendszer egy-egy 4N +2 periódus hosszú periodikus pályája. Azt javaslom, hogy egy peremérték-feladatot akkor nevezzünk térben kaotikusnak, ha megoldásainak száma exponenciálisan függ az értelmezési tartomány kiterjedését˝ol/kiterjedéseit˝ol, és az exponens pozitív. Az értekezésben vizsgált peremérték-feladatokra alkalmaztam ezt a definíciót, és a rugalmas rúdláncokra megmutattam, hogy az exponens a megfelel˝o dinamikai rendszer topologikus entrópiájával arányos mennyiség, a teherparaméter természetes alapú logaritmusa.

43


2.4.

Rugalmas rúdláncok bifurkációanalízise

Láttuk, hogy térben kaotikus peremérték-feladatoknál az egyensúlyi helyzetek száma exponenciálisan n˝o a rúdelemek számával, és rugalmas rúdláncok esetén az exponenciális növekedés rátáját a teherparaméter természetes alapú logaritmusa határozza meg. Ebben a szakaszban a 2. fejezetben tárgyalt különböz˝o terhelés˝u és megtámasztású rugalmas rúdláncokat vizsgáljuk tovább az egyensúlyi utak megjelenését és elágazásait magában foglaló bifurkációs pontok meghatározása kapcsán. A potenciális energia használatára nem támaszkodhatunk minden esetben, mert nemkonzervatív er˝okkel is foglalkozunk, ezért a statikai módszert [48] fogjuk használni. Egyedül a szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt konzolos rugalmas rúdláncnál végzünk bifurkáció-analízist a potenciális energia függvényének segítségével, energia-módszerrel [48] is. A 2. fejezet példáinál megmutattuk, hogy rögzített N elemszám és λ teherparaméter mellett egy egyensúlyi konfigurációt az els˝o elem vízszintessel bezárt α0 szöge egyértelm˝uen meghatároz, a leképezésb˝ol a többi változó számítható. Ezt használjuk ki a peremérték-feladat numerikus megoldásakor is, a tüzérségi módszer [14] használatakor. A kompatibilitási feltétel αN = 0 a konzolos, illetve yN = 0 a kéttámaszú megtámasztásnál. Ahol rögzített λ teherparaméter és N elemszám mellett egy α0 kezd˝oszögnél a kompatibilitási feltétel teljesült, ott az egyensúlyi út egy pontját kapjuk. Ha egy egyensúlyi helyzetben a kompatibilitási feltétel α0 piciny megváltozása esetén zérus marad, akkor ott az egyensúlyi útnak vagy elágazása van, vagy vízszintes az érint˝oje az (α0 , λ) bifurkációs diagramon. Matematikailag ez azt jelenti, hogy nemcsak a kompatibilitási feltétel, hanem annak α0 szerinti deriváltja is zérus. Az elágazásoknak ezt a fajta vizsgálatát egyensúlyi, vagy statikai módszernek [39, 48] nevezzük. Az ilyen pontokat a továbbiakban bifurkációs pontoknak nevezzük, noha nem feltétlenül az egyensúlyi út elágazásról van szó. A bifurkáció feltételeinek levezetése után részletesebben foglalkozunk majd az αi ≡ 0 triviális egyensúlyi úton lév˝o elágazásokkal.

2.4.1. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes er˝o a szabad végen Itt a 2.2.2. pontban tárgyalt, 2.11. ábrán látható, szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkáció-analízisét végezzük el el˝obb energetikai, majd statikai vizsgálattal. Energia-módszer A 2.11. ábrán látható szerkezet teljes potenciális energiáját osztva a ρ rugómerevséggel, bevezetve a λ = F ℓ/ρ dimenziótlan teherparamétert és az α = [α0 , α1 , · · · , αN ] vektoros jelölést, az alábbi függvényt kapjuk: N −1 N −1 X 1X 2 V (α; λ) = (αj+1 − αj ) + λ cos αj . 2 j=0 j=0 ∗

(2.28)

A geometriai mellékfeltétel: αN = 0. 44

(2.29)

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Bevezetve a γ Lagrange-szorzót, (2.28) és (2.29) alapján a következ˝o függvényt írhatjuk fel: N −1 N −1 X 1X 2 F (α, γ; λ) = (αj+1 − αj ) + λ cos αj + γαN . 2 j=0 j=0

(2.30)

Egyensúlyi állapotban (2.30) elmozdulás-jelleg˝u változók, valamint a Lagrange-szorzó szerinti parciális deriváltjai zérust adnak: ∂F (α, γ; λ) ∂α0 ∂F (α, γ; λ) ∂αi ∂F (α, γ; λ) ∂αN ∂F (α, γ; λ) ∂γ

= −(α1 − α0 ) − λ sin α0 = 0, = 2αi − αi−1 − αi+1 − λ sin αi = 0,

i = 1, 2, · · · , N − 1,

(2.31)

= αN − αN −1 + γ = 0, = αN = 0.

Az utolsó egyenlet a (2.29) geometriai mellékfeltétel, míg az utolsó el˝otti egyenletb˝ol a Lagrange-szorzó fizikai jelentése olvasható ki: γ = αN −1 a falhoz kapcsolt rugóban ébred˝o dimenziótlanított nyomaték. A maradék egyenleteket felhasználva az egyensúlyi helyzeteket a következ˝o leképezésb˝ol számíthatjuk: αi+1 = 2αi − αi−1 − λ sin αi ,

i = 1, 2, · · · , N − 1

(2.32)

αN = 0 mellett. Az yi+1 =

αi − αi+1 λ

új változó bevezetésével yi+1 = yi + sin αi (2.32) alapján, így λyi+1 = αi−1 − αi + λ sin αi , tehát (2.32) leképezés átírható (1.3) alakba. Továbbá, ha bevezetjük a wi = λyi+1 = λ(yi + sin αi ) = wi−1 + λ sin αi új változót is, (2.32) leképezés lényegében (2.21) alakba írható át. A vízszintes er˝ovel a végén terhelt konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit nyilvánvalóan ugyanannak a leképezésnek a használatával számíthatjuk, mint a vízszintes er˝ovel a görg˝os támasznál terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdláncét, ami különböz˝o, az a kompatibilitási feltétel: αN = 0 a konzolos, míg yN = 0 a kéttámaszú esetben. Bifurkációs pontokban az egyensúly meglétén túl a (2.28) potenciális energia függvényének αj (j = 0, 1, · · · , N − 1) változók szerinti második parciális deriváltjaiból képzett Hessemátrix determinánsa zérus. Az N elem˝u rúdláncra felírt N ×N -es HN Hesse-mátrixot az alábbi

45


sávos alakba írhatjuk:  1 − λ cos α0 −1  −1 2 − λ cos α1   · · · ···   ··· ··· HN =   · · · ···   ··· ···   0 0 0 0

0 −1 ··· ··· ··· ··· 0 0

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

0 0 0 0 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· −1 2 − λ cos αN −2 −1 0 −1 2 − λ cos αN −1



     .     

Ha a fenti HN Hesse-mátrix HN determinánsát az utolsó sora (vagy oszlopa) szerint fejtjük ki, megfigyelhetjük, hogy az N elem˝u rúdláncra vonatkozó HN determináns felírható az N − 1 és az N − 2 elem˝u rúdláncokra vonatkozó HN −1 , illetve HN −2 determinánsok ismeretében a következ˝o szabály szerint: HN = (2 − λ cos αN −1 )HN −1 − HN −2 .

(2.33)

Nézzük a triviális αi ≡ 0 egyensúlyi út elágazásait egy- és kételem˝u rúdláncokra! Egyelem˝u esetben a Hesse-mátrix skalár: det(H1 |α0 =0 ) = 1 − λ. Kételem˝u esetben a Hesse-mátrix 2 × 2-es, determinánsa: 1 − λ −1 = λ2 − 3λ + 1. det(H2 |α0 =0 ) = −1 2 − λ

Leágazás a triviális útról a fenti polinomok gyökeinél, azaz egyelem˝ √ √ u esetben egy pontban, λkr = 1 értéknél, kételem˝u esetben két pontban, λkr1 = (3 − 5)/2, λkr2 = (3 + 5)/2 értékeknél van. A triviális egyensúlyi állapot stabilitásához a Hesse-mátrix sajátértékeit kell vizsgálni: ha azok pozitívak, az egyensúlyi állapot stabilis. Egyelem˝u esetben az egyetlen Λ sajátérték az 1 − λ − Λ = 0 egyenletb˝ol számítható, pozitív, ha a λ < 1, tehát az els˝o leágazásig stabil a triviális egyensúlyi út, azon túl instabil. Kételem˝u esetben a sajátértékek a Λ2 − Λ(3 − 2λ) + λ2 − 3λ + 1 = 0 karakterisztikus egyenlet gyökei: p 3 − 2λ ± (3 − 2λ)2 − 4(λ2 − 3λ + 1) Λ1,2 = . 2 A fenti polinom gyökei valósak, mivel (3 − 2λ)2 > 4(λ2 − 3λ + 1) teljesül tetsz˝oleges λ teher mellett. A gyökök pozitív voltának szükséges feltétele, hogy λ < 3/2 legyen. Ha ezen túl 4(λ2 − 3λ + 1) > 0 is teljesül, akkor a gyökök pozitvak. Ez akkor áll fenn, ha λ < λkr1 , vagy ha λ > λkr2 . Utóbbi nem teljesíti a szükséges feltételt, tehát a triviális egyensúlyi út az els˝o leágazásig stabilis, azután instabil.

46


Egyensúlyi módszer A 2.11. ábrán látható, szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi, geometriai és anyagegyenleteib˝ol származtatott (2.21) leképezés xi és yi változóival nem foglalkozunk, a kompatibilitási feltétel számításához nincs rájuk szükség, így elég a vizsgálatokat (2.21) harmadik és negyedik egyenleteire korlátozni. Írhatjuk (2.21) negyedik egyenletét az alábbi formában is: wi = λ

i X

sin αj .

j=0

Ezt behelyettesítve (2.21) harmadik egyenletébe visszakapjuk a rúdlánc-szeletekre felírt nyomatéki egyenleteket: αi = αi−1 − λ

i−1 X

sin αj ,

(2.34)

j=0

ami i = N esetén a kompatibilitási feltételt adja: αN = αN −1 − λ Mivel αN −1 − αN −2 = −λ

NP −2

N −1 X

sin αj = 0.

(2.35)

j=0

sin αj , αN számítható pusztán αN −1 és αN −2 ismeretében is,

j=0

mely az energetikai vizsgálatnál kapott (2.32) leképezéssel azonos αN = 2αN −1 − αN −2 − λ sin αN −1

(2.36)

összefüggésre vezet. Egy egyensúlyi út egy pontja bifurkációs pont, ha ott a (2.35) kompatibilitási feltétel α0 szerinti deriváltja zérus: N −1

X dαN dαN −1 dαj = −λ = 0. cos αj dα0 dα0 dα0 j=0

(2.37)

A fentivel egyenérték˝u, az energetikai vizsgálatnál kapott (2.33) összefüggéssel azonos eredményre jutunk (2.36) deriválásával: dαN −1 dαN −2 dαN = (2 − λ cos αN −1 ) − = 0. dα0 dα0 dα0 Az αi ≡ 0 triviális megoldása (2.35) egyenletnek tetsz˝oleges λ teher mellett. Ezen állapotok összessége az (α0 , λ) bifurkációs diagramon az α0 = 0 függ˝oleges egyenes, a triviális

47

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK egyensúlyi út. A triviális úton cos αj ≡ 1, így a triviális út elágazási pontjaiban a (kritikus) teherparaméterek a (2.37) alapján kapott N −1 X dαN −1 dαj dαN = −λ dα0 α0 =0 dα0 α0 =0 dα α0 =0 0 j=0

(2.38)

polinom gyökei. Egyelem˝u rugalmas rúdlánc esetében a (2.35) kompatibilitási feltétel α1 = α0 − λ sin α0 = 0,

(2.39)

α2 = α0 − 2λ sin α0 − λ sin(α0 − λ sin α0 ) = 0.

(2.40)

míg kételem˝u esetben

A triviális útról való leágazás feltétele (2.38) alapján dα1 = 1−λ=0 dα0 α0 =0

(2.41)

egyelem˝u, illetve

dα2 = 1 − 3λ + λ2 = 0 dα0 α0 =0

(2.42)

kételem˝u esetben. Egyelem˝u rúdláncnál egy leágazás van a triviális útról a (2.41) els˝ofokú polinom gyökénél: λkr = 1. Kételem˝ √kett˝o leágazás van a (2.42) másodfokú √ u rúdlánc esetén polinom gyökeinél: λkr1 = (3 − 5)/2, λkr2 = (3 + 5)/2, az energetikai vizsgálatnál kapott eredményekkel összhangban. Az N elem˝u rúdláncnál dαN /dα0 |α0 =0 egy olyan N -ed fokú polinomja a λ teherparaméternek, melynek nullad- és páros fokú tagjai pozitív, páratlan fokú tagjai negatív el˝ojel˝uek, és minden fokszám el˝ofordul nem zérus együtthatóval. A továbbiakban az ilyen tulajdonságú polinomot N -ed fokú teljes alternáló polinomnak nevezzük, az állítást pedig teljes indukcióval bizonyítjuk. Láttuk, hogy az állítás a kételem˝u esetre igaz. Tegyük fel, hogy az állítás igaz j = N esetén! N + 1 elemszámnál (2.38) az alábbi alakot veszi fel: N X dαN +1 dαN dαj = −λ . dα0 α0 =0 dα0 α0 =0 dα0 α0 =0 j=0

A feltétel értelmében dαj /dα0 |α0 =0 (j = 1, 2, · · · , N ) egy j-ed fokú teljes alternáló polinom. Az összegzésben szerepl˝o polinomokat megszorozva −λ-val megváltozik a polinomok tagjainak az el˝ojele és eggyel n˝o a tagok fokszáma, vagyis az eredetileg páros fokú (és pozitív el˝ojel˝u) tagjai páratlan fokú, negatív el˝ojel˝u tagok lesznek, az eredetileg páratlan fokú (és negatív el˝ojel˝u) tagjai pedig páros fokú, pozitív el˝ojel˝u tagok lesznek. Az összegezés során – mivel az azonos fokszámú tagok azonos el˝ojel˝uek, így összegük nem lehet zérus és ellentétes el˝ojel˝u sem – olyan polinomot kapunk, melyben a nulladfokú tag kivételével minden fokszám el˝ofordul, a páros fokú tagok pozitív, a páratlan fokú tagok negatív el˝ojellel, a legmagasabb fokszám 48

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK pedig N + 1. Ehhez hozzáadva a dαN /dα0 |α0 =0 polinomot dαN +1 /dα0 |α0 =0 egy N + 1-ed fokú teljes alternáló polinom lesz. A polinomok gyökeire vonatkozó Descartes-féle el˝ojelszabály [7] értelmében egy N -ed fokú polinom pozitív gyökeinek száma vagy megegyezik a polinom el˝ojelváltásainak számával, vagy annál egy páros számmal kisebb, míg a negatív gyökök száma vagy a polinom együtthatóiból képzett a0 , −a1 , · · · , (−1)n an sorozat el˝ojelváltásainak száma, vagy annál egy páros számmal kisebb. Ennek alapján kimondható, hogy a szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt N elem˝u konzolos rugalmas rúdláncnál a triviális egyensúlyi út elágazásait szolgáltató N -ed fokú polinom gyökei közt nincs negatív gyök, vagyis leágazás csak nyomóer˝o esetén és legfeljebb N pontban lehetséges. Ha minden gyök pozitív és különböz˝o, akkor pontosan N elágazás van a triviális egyensúlyi útról. A bevezet˝o 1.1.2. pontjában ismertetett, a görg˝os támasznál vízszintes er˝ovel terhelt kéttámaszú rugalmas rúdláncra kapott korábbi eredmények alapján belátható, hogy pontosan N elágazás van. Ehhez térjünk vissza a 2.3.1. pontban tárgyalt B) szimmetria-tulajdonsághoz: egy N elem˝u egyensúlyi konfiguráció esetén a falat kiváltva egy (tetsz˝oleges hosszúságú) vízszintes elemmel, és annak függ˝oleges középtengelyére tükrözve az eredeti konfigurációt egy 2N + 1 elem hosszúságú egyensúlyi konfigurációt kapunk. Ez alapján egy N elem˝u, vízszintes er˝ovel a végén terhelt konzolos rugalmas rúdláncból egy 2N + 1 elem˝u, vízszintes er˝ovel a görg˝os támasznál terhelt kéttámaszú rugalmas rúdlánc tükörszimmetrikus egyensúlyi konfigurációja állítható el˝o. Az N elem˝u kéttámaszú rugalmas rúdláncnál a triviális útról pontosan N − 1 elágazás van [15], melyek közelítései az Euler-kihajlás els˝o N − 1 kihajlási módjának [18]: tükörszimmetrikus és pontszimmetrikus kihajlott alakok követik egymást. Egy 2N + 1 elem˝u kéttámaszú rugalmas rúdláncnál az elemszám páratlan, így páros számú, 2N elágazás van. Ezeknek a feléhez, tehát pontosan N leágazáshoz tartozik tükörszimmetrikus alak, melyek az N elem˝u konzolos eset leágazásaihoz tartozó konfigurációkból származtatható alakok. Így e pontban tárgyalt konzolos esetnél pontosan N leágazás van a triviális egyensúlyi útról, melyekhez pozitív kritikus terhek tartoznak. Az is világos ezek után, hogy miért nem találtunk a 2.2.2. alpontban a szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramján a triviális egyensúlyi utak elágazásairól további elágazásokat. A bevezet˝o 1.1.2. pontjában említettük, hogy a vízszintes er˝ovel a görg˝os támasznál terhelt kéttámaszú rugalmas rúdláncnál páratlan elemszám esetén nincs a triviális útról leágazott utaknak további elágazása [27], ezekhez az utakhoz pedig egyértelm˝uen hozzárendelhet˝ok a konzolos eset triviális útról való leágazásai. A kompatibilitási feltétel (2.35) alakú felírása arra is alkalmas, hogy az α0 kezd˝oszögre egy fels˝o korlátot adjunk a λ teher függvényében. A kompatibilitási feltételt kifejthetjük pusztán α0 függvényeként (2.39) és (2.40) összefüggéseket folytatva (2.34) alapján. A szinuszfüggvényeket legnagyobb amplitúdójukkal számba véve arra jutunk, hogy N elemszám és α0 > 0 esetén valamely λ teher alatt α0 ≤ |λ|

N X j=1

j

→

α0 ≤

N (N + 1) |λ| 2

értékénél létezhetnek megoldások. A tartomány határát, melyen belül megoldás nem lehetséges és a bifurkációs diagramot N = 3 elem˝u rúdlánc esetén a 2.22. ábra mutatja. 49


2.22. ábra. Az N = 3 elem˝u, szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és a α0 /6 ≥ λ ≥ −α0 /6 taromány, melyen belül megoldás nem lehetséges

Most már lehet˝oségünk van arra, hogy adott N elemszám esetén rögzített λ teherparaméter mellett ne csak α0 egy adott tartományán vett, hanem az összes megoldást összeszámláljuk. Ezt a 2.23 ábra mutatja log-log diagramon különböz˝o N elemszámok esetére. Az eredményekre legjobban illeszked˝o egyenesek S ∼ λN összefüggést mutatnak. Megjegyezzük, hogy az α0 ∈ [0, π] tartományban vizsgálódva a 2.19 ábrán látható S ∼ λN −1 összefüggést mértük. A különbség egy λ szorzó, ami a határ λ-tól lineárisan függ˝o volta miatt bukkant fel.

2.4.2. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes er˝o a csuklókon A 2.2.2. pontban tárgyalt, 2.15. ábrán látható, csuklóin vízszintes er˝ovel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkáció-analízisét csak statikai mószerrel végezzük el. Az egyensúlyi helyzetek számítására felírt egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletekb˝ol származtatott (2.22) leképezés xi és yi változóival nem foglalkozunk, a kompatibilitási feltétel számításánál nem lesz rájuk szükség, így elég a vizsgálatokat (2.22) második, harmadik és negyedik egyenleteire korlátozni. Írhatjuk (2.22) negyedik egyenletét az alábbi formában is: vi = (i + 1)λ. Ezt felhasználva (2.22) ötödik egyenlete wi = λ

i X (j + 1) sin αj j=0

50


105 4

10

4

λ

3

λ

N=3

N=4

2

λ

N=2

S

3

10

1

λ

2

10

N=1

1

10

10

100

1000

λ 2.23. ábra. A megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében a szabad végén vízszintes er˝ovel terhelt, N = 1, 2, 3, 4 elem˝u, konzolos rugalmas rúdláncoknál

alakú lesz, amivel (2.22) harmadik egyenletét az αi = αi−1 − λ

i−1 X

(j + 1) sin αj

(2.43)

j=0

alakra hozhatjuk, ami i = N esetén a kompatibilitási feltételt adja, ha zérussal egyenl˝o. Egy egyensúlyi helyzet bifurkációs pont is, ha ott (2.43) i = N értéknél vett α0 szerinti deriváltja zérust ad: N −1

X dαN −1 dαj dαN = −λ = 0. (j + 1) cos αj dα0 dα0 dα 0 j=0

(2.44)

Az αj ≡ 0 triviális egyensúlyi úton cos αj ≡ 1, így az ott lév˝o elágazási pontokban a (kritikus) teherparaméter értékét a N −1 X dαN −1 dαj dαN = − λ (j + 1) dα0 α0 =0 dα0 α0 =0 dα0 α0 =0 j=0

polinom gyökei adják meg. Egyelem˝u rúdláncnál tehát a triviális út elágazási pontja(i) a dα1 = 1 − λ, dα0 α0 =0 míg kételem˝u rúdláncnál a

dα2 = 1 − 4λ + 2λ2 dα0 α0 =0 51

(2.45)

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK polinom gyöke(i). Ezek szerint egyelem˝u rúdláncnál egy√elágazás van a λkr √ = 1 pontban, kételem˝u rúdláncnál pedig kett˝o elágazás van a λkr1 = 1 − 2/2, λkr2 = 1 + 2/2 pontokban a triviális egyensúlyi úton. Az el˝oz˝o pontban bemutatott gondolatmenetet követve teljes indukcióval belátható, hogy (2.45) N -ed fokú teljes alternáló polinom, így a Descartes-féle el˝ojelszabály következtében nincs negatív gyöke. Leágazás tehát itt is csak nyomóer˝o mellett, legfeljebb N pontban lehetséges.

2.4.3. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes megoszló teher A 2.2.2. pontban tárgyalt, 2.8. ábrán látható, vízszintes megoszló teherrel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs pontjait a statikai módszerrel számítjuk. Energetikai vizsgálatot itt nem is végezhetnénk, lévén a teher nemkonzervatív. Az egyensúlyi helyzetek számítására felírt (2.20) leképezés xi , yi változóival nem kell foglalkoznunk, az egyensúly és a bifurkáció feltételei nélkülük is megfogalmazhatók. A vizsgálatokat így (2.20) harmadik, negyedik és ötödik egyenleteire korlátozzuk. Írhatjuk (2.20) negyedik és ötödik egyenleteit a következ˝o formában is: vi = λ

i X j=0

| sin αj |, i

λX wi = vi−1 sin αi + sin αj | sin αj |. 2 j=0 A fenti két egyenletet összevonva: i−1

i

X λX | sin αj |. sin αj | sin αj | + λ sin αi wi = 2 j=0 j=0 Behelyettesítve a fenti összefüggést (2.20) második egyenletébe a rúdlánc-szeletekre felírt nyomatéki egyenleteket kapjuk. Az i = N -edik egyenlet a kompatibilitási feltétel: αN = αN −1 −

N −1 N −2 X λX sin αj | sin αj | + λ sin αN −1 | sin αj |, 2 j=0 j=0

(2.46)

mely az egyensúlyi út pontjaiban zérust ad. Például N = 1 elem esetén (2.46) az alábbi: α1 = α0 −

λ sin α0 | sin α0 |. 2

(2.47)

Egy egyensúlyi helyzet bifurkációs pont, ha ott a kompatibilitási feltétel α0 szerinti deriváltja zérust ad. A derivált el˝oállításakor korlátozzuk az értelmezési tartományt: αi ∈ (−π, π) minden i-re. Ez a triviális úton lév˝o elágazások vizsgálatához elégséges. Deriválva a (2.46)

52

2. FEJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK kompatibilitási feltételt α0 szerint, a korlátozott tartományon az alábbi összefüggés adódik: N −1 dαN dαN −1 λ X dαj dαj cos αj = − | sin αj | + sin αj sgn αj cos αj dα0 dα0 2 j=0 dα0 dα0 N −2 X dαj dαN −1 , | sin αj | + sin αN −1 sgn αj cos αj −λ cos αN −1 dα dα 0 0 j=0 ahol

(2.48)

 ha x > 0,  1 0 ha x = 0, sgn x =  −1 ha x < 0.

Mivel (2.48)-ben abszolútérték és el˝ojelfüggvény is van, ellen˝orizni kell, hogy létezik-e a derivált a kérdéses α0 pontban. Ehhez jobbról és balról tartva α0 -hoz ugyanazt a határértéket kell kapjuk a függvény értékére. Mivel az α0 ≡ 0 triviális egyensúlyi úton αj ≡ 0 minden j-re, ott sin αj ≡ 0 és cos αj ≡ 1 és (2.48) az alábbi egyszer˝u alakot ölti:

ami alapján

dαN dαN dαN −1 = = , dα0 α0 =+0 dα0 α0 =−0 dα0 α0 =0 dαN −2 dα1 dαN −1 = = ··· = . dα0 α0 =0 dα0 α0 =0 dα0 α0 =0

A fenti derivált a (2.47) összefüggésb˝ol számítható, balról és jobbról tartva az α0 = 0-ba ugyanazt a határértéket adja, tehát létezik, értéke pedig: dα1 dα1 = = 1. dα0 α0 =+0 dα0 α0 =−0

Ez persze csak akkor igaz, ha dαj /dα0 nem divergál. Ezt ezek után könnyen ellen˝orizhetjük, ugyanis (2.47) alapján dα1 /dα0 ≡ 1 a feltételt˝ol függetlenül teljesül, (2.48) alapján pedig dα2 /dα0 ≡ 1, dα3 /dα0 ≡ 1, · · · , dαN /dα0 ≡ 1 adódik. A triviális egyensúlyi úton tehát az elemszámtól függetlenül egyetlen elágazás sincs, mivel ott (2.48) zérus nem lehet, értéke a rúdelemek számától függetlenül azonosan egy.

53


2.4.4. Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc A teljesség kedvéért tárgyaljuk a bevezet˝o 1.1.2. pontjában bemutatott, kéttámaszú, támaszvonalában terhelt rugalmas rúdlánc bifurkációs pontjainak számítását is a statikai vizsgálattal. Az egyensúlyi, geometriai és anygagegyenletekb˝ol származtatott (1.3) leképezés lényegében megegyezik a vízszintes er˝ovel a szabad végén terhelt, konzolos rugalmas rúdláncnál kapott (2.21) leképezéssel, csak a kompatibilitási feltétel különbözik, mely (2.21) második egyenletéb˝ol i = N helyettesítéssel kapható: yN =

N −1 X

sin αj .

(2.49)

j=0

Egyensúlyi állapotban (2.49) zérust ad. Egy egyensúlyi helyzet bifurkációs pont is, ha ott a (2.49) kompatibilitási feltétel α0 szerinti deriváltja zérust ad: N −1 X dyN dαj = = 0, cos αj dα0 dα 0 j=0

ahol dαj /dα0 (2.37) szerint képezhet˝o N = j helyettesítéssel. A triviális αj ≡ 0 egyensúlyi úton cos αj ≡ 1 minden j-re, vagyis az ott lév˝o elágazási pontokban a teherparaméterek a N −1 X dyN dαj = dα0 α0 =0 dα0 α0 =0 j=0

(2.50)

polinom gyökei, melyben dαj /dα0 |α0 (2.38) alapján számítható. Egyelem˝u esetben csak a triviális egyensúlyi helyzet létezik. Két- illetve háromelem˝u rúdlánc esetén (2.50) a dα2 = 2 − λ, dα0 α0 =0 illetve a

dα3 = 3 − 4λ + λ2 dα0 α0 =0

alakot ölti. Tehát kételem˝u rúdlánc esetén egy leágazás van a triviális útról a λ = 2 pontban, háromelem˝u rúdlánc esetén pedig két leágazás van a λ1 = 1, λ2 = 3 pontokban. Nézzük meg a (2.50) feltételt alaposabban! Az összegzésben szerepl˝o dαj /dα0 |α0 =0 polinomról a 2.3. szakaszban megmutattuk, hogy j-ed fokú teljes alternáló polinom. Azt is beláttuk, hogy összegük különböz˝o j értékekre is teljes alternáló polinom. Tehát (2.50) egy N − 1-ed fokú teljes alternáló polinom. A Descartes-féle el˝ojelszabályból következik, hogy a polinomnak nem lehet negatív gyöke. Így az N elem˝u, görg˝os támasznál vízszintes er˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdláncnál a triviális útról leágazás csak nyomóer˝o mellett, legfeljebb N − 1 pontban lehetséges. Erre az esetre, mint említettük, energetikai módszerrel már bizonyították, hogy N −1 elágazás van a triviális útról [15]. Tehát (2.50) polinomnak N −1 különböz˝o pozitív gyöke van. 54


2.4.5. Követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc A 2.1. szakaszban tárgyalt, követ˝oer˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit szolgáltató peremérték-feladat leképezését a λ → λ cos α0 helyettesítéssel származtathattuk a vízszintes er˝ovel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc (1.3) leképezéséb˝ol, ami lényegében megegyezik a konzolos, vízszintes er˝ovel a szabad végén terhelt rúdláncra kapott (2.21) leképezéssel. Az egyensúlyi egyenleteket így megkaphatjuk a (2.34) összefüggésb˝ol is a λ → λ cos α0 helyettesítéssel: αi = αi−1 − λ cos α0

i−1 X

sin αj .

(2.51)

j=0

A kompatibilitási feltételt (2.49) adja. Ennek α0 szerinti deriváltját (2.50) szerint képezzük, melyben (2.51) összefüggést kihasználva ! j−1 j−1 X X dαk dαj dαj−1 (2.52) cos αk sin αk = − λ cos α0 − sin α0 dα0 dα0 dα0 k=0 k=0 adódik. Mivel a triviális egyensúlyi úton cos αi ≡ 1, sin αi ≡ 0, ott (2.52) és (2.37) megegyezik, vagyis a leágazások száma és helye a vízszintes er˝ovel terhelt kéttámaszú rúdláncokra a 2.4.4. pontban elmondottakkal azonos. (Ez következik abból is, hogy a két diagram topológiailag ekvivalens.) Kimondható ezek alapján az értekezés 4. tézise: 4. tézis. Megmutattam, hogy egy terheletlen állapotban vízszintes, N elem˝u rugalmas rúdlánc triviális egyensúlyi útja • konzolos esetben – a szabad végen ható vízszintes er˝o alatt nyomóer˝onél, pontosan N – a csuklókon ható azonos nagyságú vízszintes er˝ok alatt nyomóer˝onél, legfeljebb N – vízszintes megoszló er˝o alatt zérus • kéttámaszú esetben a görg˝os támasznál m˝uköd˝o követ˝oer˝o hatására nyomóer˝onél, pontosan N − 1 pontban ágazik el.

55

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK

3. fejezet Rugalmas rúdhálók Láttuk, hogy a rugalmas rúdláncok kihajlását leíró peremérték-feladatok disszipációtól mentes kezdetiérték-feladatoknak feleltethet˝ok meg, ahol a diszkrét ívhossz (a rúdelemek száma) szerepét a diszkrét id˝o (id˝olépések száma) veszi át. A topologikus entrópia segítségével megmutattuk, hogy a térben kaotikus viselkedést a megoldások számának növekedési üteme és a rúdlánc rúdelemeinek N száma közötti kapcsolat határozza meg. Felmerül a kérdés, hogy hogyan jelenik meg térbeli káosz olyan diszkrét mechanikai rendszereknél, melyeknek kiterjedése kett˝o vagy több (diszkrét) térbeli változóval jellemezhet˝o. Ebben a fejezetben erre keressük a választ egy két lényeges térbeli kiterjedés˝u diszkrét mechanikai modell, a rugalmas rúdháló síkbeli kihajlásvizsgálatán keresztül. A rugalmas rúdháló terheletlen állapotban egy ℓ oldalhosszú, merev rudak alkotta síkbeli négyzetháló. A rudak a csomópontokban csuklókkal kapcsolódnak egymáshoz, és ρ merevség˝u spirálrugókkal vannak összekötve a 3.1. ábrán látható módon. A továbbiakban a kezdetben függ˝oleges elemeket oszlopoknak, az egymás felett lév˝o oszlopokat oszlopsornak, a kezdetben vízszintes elemeket gerendáknak, az egymás mellett lév˝o gerendákat pedig gerendasornak (vagy szintnek) fogjuk nevezni. Jelölje az oszlopsorok számát M , a gerendasorok számát N . A szerkezetet megtámasztva és terhelve a gy˝ur˝odés egy egyszer˝u síkbeli modelljét kapjuk. Gyakorlati szempontból a modellt rugalmas keretszerkezetek globális stabilitásvizsgálatára lehet használni (feltéve, hogy a kapcsolatok jóval lágyabbak a gerendáknál és az oszlopoknál), csak síkban történ˝o kihajlás számbavételével. Ekkor a spirálrugók a rugalmas kapcsolatokat modellezik. A szerkezet alkalmas csak nyírási deformációra képes rúd egyensúlyának és stabilitásának diszkrét modellezésére is a triviális egyensúlyi út elemien kicsiny környezetében. Ennek b˝ovebb magyarázatára a 3.4. szakaszban visszatérünk. A rugalmas rúdhálót különböz˝o terhelés alatt és megtámasztás mellett vizsgálhatjuk. Az értekezés keretében csak egyirányú, statikus terheléssel foglalkozunk. A f˝o kérdés az, hogy miként függ a megoldások száma a tartomány méreteit˝ol: a gerendasorok N és az oszlopsorok M számától. Exponenciális-e a megoldások növekedési üteme, és ha igen, az exponensben miként jelennek meg a tartomány kiterjedéseit jellemz˝o N és M mennyiségek? Az egyensúlyi helyzetek számításán túl a triviális egyensúlyi út elágazását és az ott lév˝o katasztrófa típusát is meghatározzuk bizonyos esetekben. A továbbiakban csak az M > 1 és N > 1 esetekkel foglalkozunk, mivel M = 1 vagy N = 1 esetén a szerkezet rúdlánccá fajul, amit [41] részletesen tárgyal. 56

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK l N−1

N

l

j

ρ

1

j

1

1

i

M−1

M

i

3.1. ábra. A rugalmas rúdháló mechanikai modellje

3.1.

Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló

A 3.1. ábrán látható rugalmas rúdhálót fels˝o és alsó csomópontjain terheljük statikus, konzervatív, F nagyságú, függ˝oleges hatásvonalú er˝okkel. Az er˝ok pozitív értelem esetén a fels˝o csomópontokon lefelé, az alsókon fölfelé mutatnak. A megtámasztást a bal alsó (1 jel˝u) csomópontnál lév˝o fix csukló képzi, tehát a 3.2. ábrán látható szerkezet statikailag túlhatározott. Csak azokat a konfigurációkat vesszük számításba, melyeknél a négyzetek rombuszokká torzulnak és az egymás felett (ill. mellett) lév˝o, kezdetben vízszintes (ill. függ˝oleges) elemek párhuzamosak maradnak. Nem foglalkozunk az olyan konfigurációkkal, melyeknél a rúdháló két irányban összecsukódik. Ez alatt azt értjük, hogy a rúdhálót össze lehet csukni az egyik irány mentén úgy, hogy az összes rúdelem egy egyenesbe essék. Ezt nevezzük egyirányban összecsukott állapotnak. Az egyirányban összecsukott rúdhálót összecsukhatnánk a másik irány mentén is, mint egy colostokot. Ezekkel a két irányban (részben vagy teljes egészben) összecsukott állapotokkal nem foglalkozunk. A terheletlen állapotban egymás felett (mellett) lév˝o vízszintes gerendák (függ˝oleges oszlopok) a terhelés során párhuzamosak maradnak. Az i-edik gerenda vízszintessel bezárt szögét αi , a j-edik oszlop függ˝olegessel bezárt szögét βj jelöli. Az óramutató járásának megfelel˝o elfordulásokat tekintjük pozitívnak. Egy M × N -es rugalmas rúdháló geometriailag lehetséges elmozdulásrendszerét így M + N − 2 szögváltozóval (M − 1 darab αi és N − 1 darab βj ) és a konstans ℓ hosszal tudjuk megadni. A továbbiakban a szögekre az α = [α1 , α2 , · · · , αM −1 ], β = [β1 , β2 , · · · , βN −1 ] vektoros jelölést használjuk az összefüggések tömörebb felírása érdekében. El˝oször az egyensúlyi helyzetek számításához szükséges egyenleteket írjuk fel a teljes potenciális energia stacionaritási tételével. Az egyenletek megoldásaiban rejl˝o globális szimmetriák tárgyalását követ˝oen a potenciális energia második parciális deriváltjaiból felírt Hesse-

57

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK F F N

F αi

F

F

F

l

j

βj

1

ρ

1

1

i

F F

M

F F

F

3.2. ábra. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló

mátrix vizsgálatával a bifurkáció feltételét fogalmazzuk meg. A triviális egyensúlyi úton lév˝o elágazásokat részletesen tárgyaljuk, beleértve az elágazási pontban a teljes potenciális energia függvényének katasztrófaanalízisét is. Kisebb rúdhálók esetén az egyenleteket analitikusan, nagyobb méret esetén numerikusan oldjuk meg. A megoldások számát a rúdháló méretének függvényében numerikusan mérjük a teher különböz˝o rögzített értékeire. Bemutatjuk az egyensúlyi utak számításának módját, és kisebb méret˝u rúdhálókra meg is szerkesztjük a bifurkációs diagramokat.

3.1.1. Egyensúlyi egyenletek A 3.2. ábrán látható szerkezet teljes potenciális energiája: Vtot (α, β; F ) = 2ρ

M −1 N −1 X X i=1 j=1

2

(αi − βj ) + M F ℓ

N −1 X

cos βj .

j=1

A vizsgálatok során dimenziótlan egyenleteket szeretnénk használni, ennek érdekében a (3.1) függvényt elosztjuk a ρ rugómerevséggel. Mivel csak pozitív rugómerevséggel foglalkozunk, a dimenziótlanítás nem változtatja meg a potenciálisenergia-függvény stacionárius és kritikus

58

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK pontjainak helyét, valamint azok típusát sem. A λ = F ℓ/ρ dimenziótlan teherparaméter bevezetésével a dimenziótlan alak az alábbi: V (α, β; λ) = 2

M −1 N −1 X X i=1 j=1

2

(αi − βj ) + M λ

N −1 X

cos βj .

(3.1)

j=1

Egyensúlyi helyzetben a teljes potenciális energia stacionárius, vagyis az α, β elmozdulásjelleg˝u változók szerinti parciális deriváltjai zérust adnak: N −1

X ∂V (α, β; λ) = 4(N − 1)αi − 4 βj = 0, ∂αi j=1

i = 1, · · · , M − 1, (3.2) M −1

X ∂V (α, β; λ) = 4(M − 1)βj − M λ sin βj − 4 αi = 0, ∂βj i=1

j = 1, · · · , N − 1. (3.3)

Nézzük a fenti egyenletek fizikai tartalmát! A 3.3 a) ábrán látható, csuklóktól elválasztott i-edik rúdelemekre ható, rúdtengelyre mer˝oleges kapcsolati er˝ok az ábra jelöléseivel: T1 = 2ρ(αi − β1 )/ℓ, Tj = 2ρ(αi − βj )/ℓ + 2ρ(αi − βj−1 )/ℓ, (j = 2, · · · , N − 1), valamint TN = 2ρ(αi − βN −1 )/ℓ. Ezek összege dimenziótlanítás (a ρ rugómerevséggel való osztás és az ℓ hosszal való szorzás) után (3.2) i-edik egyenletét adja. Tehát (3.2) az i-edik rúdháló-szelet csuklóktól elválasztott rúdelemeinek tengelyeire mer˝oleges, t irányú vetületi egyenlete. A 3.3 b) ábrán látható, csuklóktól elválasztott j-edik rúdelemekre ható, rúdtengelyre mer˝oleges kapcsolati er˝ok az ábra jelöléseivel: T1 = 2ρ(βj − α1 )/ℓ, Ti = 2ρ(βj − αi )/ℓ + 2ρℓ(βj − αi−1 )/ℓ, (i = 2, · · · , M − 1), valamint TM = 2ρ(βj − αM −1 )/ℓ; a küls˝o er˝ok lekapcsolt rudakra mer˝oleges vetülete pedig M F sin βj . Ezen vetületek összege dimenziótlanítva megegyezik (3.3) j-edik egyenletével, ami ezek szerint a j-edik rúdháló-szelet csuklóktól elválasztott elemeinek tengelyeire mer˝oleges, r irányú vetületi egyenlete. A terhel˝o M darab F er˝opárt mindegy, hogyan osztjuk el a szerkezeten, a potenciális energián az nem változtat. Ugyanazok az egyensúlyi helyzetek például akkor is, ha a fels˝o csomópontokra ható összes F er˝ot a jobb fels˝o, az alsó csomópontokra hatókat pedig a jobb alsó csomópontra tesszük. Így az általunk vizsgált tehereloszláshoz talált egyensúlyi helyzetek végtelen sok másik terhelési esetnek is megoldásai! Az egyensúlyi egyenleteket tovább egyszer˝usíthetjük, ha kifejezzük (3.2) egyenleteib˝ol az αi változókat: N −1 1 X βj , αi = N − 1 j=1

i = 1, · · · , M − 1.

(3.4)

Ezek szerint minden gerenda d˝olésszöge azonos, értéke az oszlopok d˝olésszögeinek átlaga. A gerendasorok egymással párhuzamos egyenesek. Helyettesítsük be az αi -re kapott (3.4) összefüggéseket (3.3) egyenleteibe, és osszuk el 4(M − 1)-gyel! Az így kapott egyenletrendszer: N −1 1 X Mλ βl = 0, sin βj − βj − 4(M − 1) N − 1 l=1

59

j = 1, · · · , N − 1.

(3.5)

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK a)

b) F F

F

TN

αi

N

i+1

F

F

F F

F

1 i

M

αi

t

l

F

Tj

ρ

j

βj

ρ

βj j

l

j+1

T1

Ti T1

TM

1 i

r

F F

F

3.3. ábra. Az egyensúlyi egyenletek fizikai tartalma: rúdháló-szeletek vetületi egyenletei

A további vizsgálatokhoz ezt az N − 1 (formailag azonos) egyenletb˝ol álló, N − 1 ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert fogjuk használni. Ha a (3.5) egyenletek 4(M − 1)-szereseit összegezzük (vesszük a független egyensúlyi egyenletek egy lineáris kombinációját), a fix csukló körüli nyomatéki egyenlet dimenziótlan alakját kapjuk: N −1 X Mλ sin βj = 0. (3.6) j=1

Azaz vagy λ = 0 (a terheletlen konfiguráció merevtest-szer˝uen elfordul a fix csukló körül), vagy a bal fels˝o csomópont vízszintes eltolódása zérus. Felhasználva, hogy minden αi kifejezhet˝o β függvényeként, a teljes potenciális energia is felírható csupán a β szögváltozók és a λ teherparaméter függvényében. Visszahelyettesítve a (3.4) kifejezést (3.1) függvénybe, és kifejtve azt, a teljes potenciális energia:  !2  N −1 N −1 N −1 X X X 1 2   + Mλ cos βj . (3.7) βj − βj V (β; λ) = 2(M − 1) N − 1 j=1 j=1 j=1

A potenciális energia fenti, csak a λ teherparamétert és a β szögváltozókat tartalmazó alakját fogjuk használni a bifurkációanalízisnél és a katasztrófapont vizsgálatakor. Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy (3.7) βj szerinti parciális deriváltjai 4(M − 1)-gyel osztva a (3.5) egyenletrendszert adják.

60


3.1.2. Globális szimmetriák ∗ ∗ Tegyük fel, hogy β ∗ = [β1∗ , β2∗ , · · · , βN −1 ] egyensúlyi helyzet valamilyen λ teherparaméter mellett! Jelöljön π egy olyan N − 1 elem˝u vektort, melynek minden eleme π. Visszahelyettesítéssel ellen˝orizhet˝o, hogy

A) β ∗ + π is megoldása −λ∗ mellett, B) −β ∗ is megoldása λ∗ mellett, C) −β ∗ + π is megoldása −λ∗ mellett, D) β ∗ tagjai tetsz˝olegesen felcserélve is megoldásai λ∗ mellett a (3.5) egyenletrendszernek. Az A) szimmetria-tulajdonság 180◦ -os forgási szimmetria a geometriai térben és eltolási szimmetria a β változók terében. A B) szimmetria-tulajdonság tükörszimmetria a támaszon átmen˝o függ˝oleges tengelyre a geometriai térben és forgási szimmetria a β változók terében. A C) szimmetria-tulajdonság tükörszimmetria a támaszon átmen˝o függ˝oleges tengelyre a geometriai térben – ezt az A) és a B) szimmetriákat egymás után végrehajtva is megkaphatjuk. A D) szimmetria-tulajdonság a legérdekesebb. E szerint egy megoldás szögváltozóinak tagjaiból képzett (ismétléses vagy ismétlés nélküli) permutációk is megoldások, ekkor csak az egyenletek sorrendje változik. Abban az esetben, ha β ∗ tagjai különböz˝oek, ismétlés nélküli permutációval egyb˝ol (N − 1)! megoldást állíthatunk el˝o. Ha vannak egyez˝ok β ∗ tagjai között, akkor ismétléses permutációról van szó. Ezt a továbbiakban permutációs szimmetriának hívjuk. Az A), B), C) és D) szimmetriák nagy elmozdulásokra is érvényesek, tehát globális szimmetriák. Egy egyensúlyi konfigurációból a fenti szimmetria-tulajdonságok segítségével el˝oállítható további egyensúlyi konfigurációkat mutat a 3.4. ábra.

3.1.3. Bifurkációanalízis Ha egy egyensúlyi helyzetben a teljes potenciális energia (3.7) függvényének β változók szerinti második parciális deriváltjaiból képzett Hesse-mátrix determinánsa zérus, akkor ott a teljes potenciális energia függvényének degenerált kritikus pontja van [47]. Ez azt jelenti, hogy ott az egyensúlyi útnak vízszintes érint˝oje vagy elágazási pontja van. A Hesse-mátrix (3.7) β szerinti második parciális deriváltjaiból:   a − M λ cos β1 b b ··· b   b a − M λ cos β2 b · · · b   , · · · · · · · · · · · · · · · (3.8) HN −1 =      ··· ··· ··· ··· ··· b b b · · · a − M λ cos βN −1 ahol a = 4(M − 1)(N − 2)/(N − 1), b = −4(M − 1)/(N − 1). A Hesse-mátrix az egyensúlyi helyzetek stabilitásának vizsgálatára is használható. Egy egyensúlyi helyzet stabilis, ha ott a Hesse-mátrix pozitív definit, azaz minden sajátértéke pozitív [47]. 61

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK λ

λ

λ

λ

λ

λ λ

λ

λ

λ

A)

B)

λ

λ

λ

C)

λ

λ

λ

Eredeti geometria

λ

λ

D)

3.4. ábra. A bal oldalon látható (fiktív) egyensúlyi konfigurációból továbbiak származtatása az A), a B), a C) és a D) szimmetria-tulajdonságok használatával. A C) az A) és a B) transzformációkat egymás után végrehajtva adódik. A D)-nél most ismétléses permutációról van szó.

A (3.5) egyenletrendszer triviális megoldása β ≡ 0 bármely λ mellett. Keressük meg a triviális egyensúlyi út elágazásait! Mivel a triviális úton cos βj ≡ 1 (j = 1, 2, · · · , N − 1), a (3.8) Hesse-mátrix ott az alábbi egyszer˝u alakot ölti:   a − Mλ b b ··· b   b a − Mλ b · · · b   t .  ··· ··· ··· ··· (3.9) HN −1 =  · · ·    ··· ··· ··· ··· ··· b b b · · · a − Mλ Látható, hogy a determináns zérus, ha b = a − M λ, ekkor minden sor azonos, a mátrix rangcsökkenése N − 2. A determináns szabatos matematikai kifejtését Németh Róbert munkája nyomán közöljük. A (3.9) mátrixot felírhatjuk az alábbi teli és diagonális mátrixok összegeként: HtN −1 = bJN −1 + (a − M λ − b)EN −1 , ahol JN −1 olyan (N − 1)-ed rend˝u mátrix, melynek minden eleme 1, míg EN −1 az (N − 1)ed rend˝u egységmátrix. A bifurkáció feltétele, hogy HtN −1 determinánsa zérus legyen: det(HtN −1 ) = 0. Ha ezt a determinánst úgy fejtjük ki, hogy kiemelünk HtN −1 minden eleméb˝ol b-t, akkor a det(HtN −1 ) = bN −1 det(JN −1 − ΛEN −1 ) 62


összefüggést kapjuk, ahol Mλ . 2c Mivel b 6= 0, det(HtN −1 ) = 0 csak akkor teljesülhet, ha Λ a JN −1 mátrix sajátértéke. Ezen sajátértékek meghatározása az A. függelékben, az A.2. szakaszban található. A sajátértékek és a triviális út elágazási pontjai az alábbiak: Λ=N −1−

• Λ = N − 1. Egyszeres gyök, amib˝ol λkr1 = 0. A hozzá tartozó nemtriviális alak a terheletlen rúdháló merevtest-szer˝u körbefordulása a fix csukló körül. • Λ = 0. (N − 2)-szeres gyök, amib˝ol λkr2 = 4(M − 1)/M . A terhelés során fellép˝o egyetlen elágazás helye. A (3.7) függvénynek a β ≡ 0, λ = λkr2 pontban degenerált kritikus pontja van [47], mert ott gradiense és Hesse-mátrixának determinánsa is zérus, utóbbi defektusa N − 2. A λkr2 kritikus teherparaméternek az értéke csak a rúdháló M oszlopsorainak számától függ, és M növekedtével 4-hez tart alulról. A következ˝o pontban ezt a kritikus pontot vizsgáljuk tovább a katasztrófaelmélet eszközeivel. A terhet a nemzérus λkr2 teherparamétert˝ol kicsit növelve kihajolhatnak az oszlopok. Piciny szögek esetén βj ≈ sin βj , tehát (3.6) szerint N −1 X j=1

βj ≈ 0.

Ebb˝ol (3.4) alapján az következik, hogy az oszlopok vízszintes gerendák mellett hajolnak ki, az elágazás kicsiny környezetében a gerendák vízszintesek. A fix megtámasztású és a jobb fels˝o csomópont helyben marad, míg a közbens˝o gerendasorok egyszerre vesztik el a stabilitásukat, és lendülhetnek ki tetsz˝olegesen jobbra vagy balra.

3.1.4. Katasztrófaanalízis A szétválasztási tétel [47, 61] kimondja, hogy ha az f : Rn → R vektor-skalár függvény Hesse-mátrixának rangja n − k egy stacionárius pontban (tehát e pont degenerált kritikus pont), akkor a függvény e pontjának környezete ekvivalens a g : Rk → R és a h : Rn−k → R függvény összegével (f és g + h stacionárius pontjainak száma és típusa megegyezik az adott környezetben), ahol h Morse-függvény (±x21 ± x22 ± · · · ± x2n−k alakú), a g polinomnak pedig nincsenek els˝o- és másodfokú tagjai. A g függvény k darab változóját aktív változóknak, a h függvény n − k darab változóját passzív változóknak nevezzük. Az eredeti f függvény szinguláris pontjának minden lényeges tulajdonságát a g függvény hordozza magában. Elegend˝o a függvény Taylor-sorának egy bizonyos fokszámig terjed˝o részét vizsgálni, a szétválasztást is eddig a fokszámig kell elvégezni. A szétválasztás után a g függvény alakjából a katasztrófa típusa Thom tétele alapján meghatározható [47, 61]. Az el˝oz˝o pontban megmutattuk, hogy a (3.7) függvénynek N > 2 esetén β ≡ 0, λ = λkr2 degenerált kritikus pontja. A szétválasztás lépéseit a negyedfokú tagokig az A. függelékben, 63


az A.3. szakaszban közöljük. A potenciális energia (3.7) függvénye a degenerált kritikus pontban negyedfokig sorbafejtve az f (v) = −v12 +

N −1 X

vk4 +

k=2

N −1 X

vk

k=2

!4

(3.10)

alakra hozható a v1

vl

!3 N −1 −1 X √ N c3/2 (N − 1)2 X βj + = c βj + 48(1 − M ) j=1 j=1  ! 2 N −1 N −1 N −1 X X M −1 3X + √  βk − βj βj 2 3 c j=1 j=1 k=2 r 4 M − 1 βl , l = 2, 3, · · · , N − 1 = 3!

N −1 X k=2

βk

!2

+

N −1 X k=2

βk

!3 

,

új változók bevezetésével. Megjegyezzük, hogy a függvény további – például tökéletlenségérzékenységi – vizsgálatához nem feltétlenül elegend˝o azt a negyedfokig sorbafejtve vizsgálni, ehhez be kéne látni, hogy az négydeterminált. Vizsgáljuk meg a levezetett (3.10) függvényt N különböz˝o értékeire! • N = 2 esetén λkr1 = 0 az egyetlen kritikus pont, így erre az esetre a vizsgálat nem érvényes. • N = 3 esetén

f (v) = −v12 + 2v24 ,

ami Thom tétele [47] alapján standard csúcskatasztrófa. (Csúcskatasztrófa pontja van egy függvénynek, ha g = ±(u41 + t2 u21 + t1 u1 ) alakra hozható.) • N = 4 esetén f (v) = −v12 + 2v24 + 4v23 v3 + 6v22 v32 + 4v2 v33 + 2v34 = −v12 + 2(v22 + v2 v3 + v32 )2 , ami [47] alapján kett˝oscsúcs-katasztrófa, annak a 12-es alosztálya 1 . (Kett˝oscsúcskatasztrófa típusú pontja van egy függvénynek, ha g = au41 +4bu31 u2 +6cu21 u22 +4du1 u32 + eu42 alakra hozható.) • N > 4 esetén az el˝oz˝oeket általánosítva azt mondhatjuk, hogy (N − 2)-es csúcskatasztrófa van a triviális út elágazási pontjában. 1 A kett˝oscsúcs-katasztrófának 15 alosztálya van a gyökszerkezett˝ol függ˝oen. Vannak olyan alosztályai – például a 12-es és a 13-as – ahol a megzavarás hatása nem vizsgálható a negyednél magasabb fokú tagok nélkül. Gáspár [30] mutat egy n rugóval kikötött oszlopot, melynél n > 4 rugó esetén a kett˝oscsúcs-katasztrófa 13as alosztálya jön létre, és n értékét˝ol függ˝oen tetsz˝oleges számú egyensúlyi út keletkezhet. Így ennek további, tetsz˝oleges számú al-alosztálya lehet.

64


3.1.5. Kisebb méretu˝ rúdhálók egyensúlyi helyzetei – analitikus megoldás Néhány egyszer˝ubb esetben (3.5) egyenletek analitikusan is megoldhatók. Az A) és B) szimmetria-tulajdonságokból adódó megoldásokat nem szükséges külön számítani, ezért elegend˝o a β1 ∈ [0, π) tartományt vizsgálni, majd a globális szimmetriák alapján a illetve a

βj → βj + lπ,

λ → (−1)l λ,

βj → −βj ,

j = 1, 2, · · · , N − 1,

λ → λ,

l = 1, 2, · · · ,

j = 1, 2, · · · , N − 1

m˝uveletekkel az összes βj megoldás származtatható. A gerendák αi szöge ezek után (3.4) összefüggésb˝ol számítható. Analitikus megoldás M = 2, N = 2 esetén Ebben az esetben (3.5) egyetlen egyenletb˝ol áll: λ − sin β1 = 0, 2 ami vagy λ = 0, vagy sin β1 = 0 esetén teljesül. El˝obbi a terheletlen rúdháló fix csukló körüli merevtest-szer˝u körbefordulását jelenti, ekkor bármely β1 megoldás. Utóbbiból β1 = 0, valamint (3.4) alapján α1 = 0. A 3.1.3 pont eredményei szerint egy leágazás van a triviális egyensúlyi útról λ = 0-nál. A triviális egyensúlyi helyzetben Ht2×2 = −2λ, ami λ < 0 esetén pozitív (stabil, „húzott” konfiguráció), λ > 0 esetén negatív (instabil, „nyomott” helyzet). Az egyensúlyi utakat a β1 ∈ [0, π] intervallumon a 3.5 a) ábra mutatja, néhány egyensúlyi konfigurációt a 3.5 b) ábra szemléltet. Analitikus megoldás M = 2, N = 3 esetén A (3.5) egyenletek ebben az esetben az alábbiak: β2 β1 λ − sin β1 − =0, 2 2 2 (3.11) β1 β2 λ − sin β2 − =0. 2 2 2 Összeadva a fenti egyenleteket: λ − (sin β1 + sin β2 ) = 0, 2 tehát vagy λ = 0 (a terheletlen rúdháló merevtest-szer˝u elfordulása a fix csukló körül), vagy (sin β1 + sin β2 ) = 0 (a bal fels˝o csomópont a támasszal egy függ˝olegesbe esik). Utóbbi kétféleképp lehetséges: vagy β2 = −β1 + 2kπ, vagy β2 = β1 + (2l + 1)π. El˝obbit a geometriailag lehetséges megoldások (vagy csak röviden a megoldások) A), utóbbit a B) csoportjának fogjuk hívni. 65

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK λ

λ 2

1

λ

λ=0

1

π

S

I

0

3

S

I

λ=0

3

λ 2 β1 λ

λ=0 λ

λ b)

a)

3.5. ábra. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramja (a) ábrarész, S jelöli a stabil, I az instabil utakat) és néhány egyensúlyi konfigurációja (b) ábrarész). M = 2, N = 2, λkr = 0.

A) csoport: β2 = −β1 + 2kπ. Ezt behelyettesítve (3.11) egyenletbe a β1 -re vonatkozó alábbi összefüggés adódik: λ sin β1 + kπ. 2 A gerenda szöge (3.4) alapján az oszlopok szögeinek átlaga: β1 =

(3.12)

α1 = kπ. A szimmetriából adódó megoldásokkal külön most sem foglalkozunk, ezért elég például a β1 ∈ [0, 2π) tartományt vizsgálni λ ≥ 0 teherparaméter mellett. A k értékére λ függvényében adható alsó és fels˝o korlát. A (3.12) egyenletnek a β1 ∈ [0, 2π) tartományon k > 1 esetén tipikusan 2 megoldása van, ha 3π/2 ≥ kπ − λ/2. Ez a 3.6 a) ábra alapján könnyen látható: az egységmeredekség˝u egyenesnek a λ/2 amplitúdójú, kπ-vel felfelé eltolt szinuszhullámmal az adott tartományon tipikusan 2 metszéspontja van. Ha k < 0, akkor π/2 ≤ λ/2 − |k|π esetén van tipikusan 2 megoldás. Ez a 3.6 b) ábra alapján látható be. Így a k-ra tett korlátok: λ 3 1 λ kmax = + + =1+ , 2π 2 2π 2 1 λ − , |kmin | = 2π 2 ahol [x] az x egészrészét jelenti. Minden k-hoz (beleértve a nullát is) tipikusan 2 megoldás tartozik. Kivétel a k = 1 és a k = 2, ezekhez 1 − 1 megoldás tartozik. El˝obbinél a metszéspont β1 = π, míg utóbbinál a β1 ∈ (π, 2π) tartományon van. Viszont k = 0-hoz 2 megoldás rendelhet˝o, így az A) esetbe tartozó megoldások száma jó közelítéssel (a hiba maximum 4), nagy λ teherparaméter esetén 2(kmax + |kmin |), vagyis: λ 2λ 1 1 λ A + ≈ . + − S2×3 (λ) ≈ 2 1 + 2π 2 2π 2 π 66


f (β1)

π/2

0

0 0

π/2

π β1

−kπ λ/2

3π/2

λ/2

f (β1)

kπ

λ/2

b)

λ/2

a)

3π/2

2π

0

π/2

π β1

3π/2

2π

3.6. ábra. A k-ra tett korlátok magyarázata. Az a) ábra k > 1, a b) ábra k < 0 értékekre vonatkozik.

Ebbe a csoportba tartozó egyensúlyi utak megjelenési pontjaiban azok érint˝oje vízszintes a (λ, β1 ) síkon. Ekkor (3.12) teljesülésén túl az abból kifejezett λ(β1 ) függvény β1 szerinti deriváltja zérus. Ezen pontokban a teherparaméter λkrA =

2 , cos β1

valamint β1 = tan β1 + kπ is kielégül. B) csoport: β2 = β1 + (2l + 1)π. Ezt behelyettesítve (3.11) egyenletbe a β1 -re vonatkozó alábbi összefüggés adódik: −λ sin β1 = (2l + 1)π.

(3.13)

A gerenda szöge (3.4) az oszlopok szögeinek átlaga: α1 = β1 + lπ + π/2, vagyis a gerendák az oszlopokkal egy egyenesbe esnek. Ezek az egyensúlyi utak abból az állapotból indulnak ki, ahol az oszlopok és a gerendák is vízszintesek (a konstans egyenes a szinuszgörbét π/2 + lπ-nél érinti), vagyis a rúdháló egyirányban összecsukott állapotából. A teherparaméter növelésével az összecsukódott rúdháló elfordul valamelyik irányba a fix csukló körül a 3.9. ábrán látható módon. A szimmetriából adódó megoldásokat most sem vizsgáljuk, csak a β1 ∈ [0, 2π), λ ≥ 0 tartományon vesszük számba az egyensúlyi helyzeteket. Az l értékére a λ függvényében adható alsó és fels˝o korlát. Ha l > 0, akkor (3.13) egyenletnek λ > (2l + 1)π esetén 2 megoldása van β1 ∈ [0, 2π)-n. Ez belátható a 3.7 a) ábra nyomán: ekkor az adott vízszintes egyenes 2 pontban metszi a −λ amplitúdójú szinuszhullámot. Ha l < 0, akkor (3.13) egyenletnek λ > (2|l| − 1)π esetén is 2 megoldása van. Ennek belátása 67

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK a 3.7 b) ábra nyomán egyszer˝u. Így az l-re tett korlátok: λ 1 lmax = , − 2π 2 1 λ + . |lmin | = 2π 2 Minden l-hez (beleértve a nullát is) tipikusan 2 megoldás tartozik, így az ebbe a csoportba tartozó megoldások száma megegyezik az A esetben kapott megoldások számával. a)

b)

λ f (β1)

0

0 λ

λ

f (β1)

λ

(2l+1)π

−(2l+1)π 0

π/2

π β1

3π/2

2π

0

π/2

π β1

3π/2

2π

3.7. ábra. Az l-re tett korlátok magyarázata. Az a) ábra l > 0, a b) ábra < 0 értékekre vonatkozik. Az A és a B csoportba tartozó összes megoldások száma nagy λ teherparaméter esetén jó közelítéssel, az egészrész függvényt elhagyva: S2×3 (λ) ≈

4 λ. π

(3.14)

Fontos kérdés az egyensúlyi utak stabilitása. Ehhez fel kell írni a (3.8) Hesse-mátrixot (a = 2, b = −2): 2 − 2λ cos β1 −2 . (3.15) H2×3 = −2 2 − 2λ cos β2 Egy egyensúlyi állapot stabilis, ha ott a Hesse-mátrix minden sajátértéke pozitív. A sajátértékeket a Λ2 − 2 [2 − λ(cos β1 + cos β2 )] Λ + 4 λ2 cos β1 cos β2 − λ(cos β1 + cos β2 ) = 0 karakterisztikus polinom gyökei adják. Ezen gyökök az alábbi képletb˝ol számíthatók: p Λ1,2 = 2 − λ(cos β1 + cos β2 ) ± 4 − λ2 (cos β1 + cos β2 )2 − 4λ cos β1 cos β2 68

(3.16)

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Az A) esetben cos β1 = cos β2 . Ekkor 3.16) mindkét gyöke pozitív, ha λ cos β1 < 1 ± 1. Ezek alapján elmondhatjuk, hogy egy A) csoportba tartozó megoldás csak akkor stabilis, ha λ > 0 és cos β1 < 0, vagy ha λ < 0 és cos β1 > 0. p A B) esetben cos β1 + cos β2 = 0. Ekkor 3.16) mindkét gyöke pozitív, ha 1 ± 1 + λ2 cos2 β1 > 0. Ez semmilyen λ, β1 értékekre sem teljesül. Ebben a csoportban csak instabil megoldások vannak. Viszont az A) csoport útjainak stabilitása megváltozik a B) csoport útjaival való metszéspontokban. Az ilyen elágazásokat szokás szubkritikus vasvillabifurkációnak hívni: egy instabil út három felé ágazik el úgy, hogy két instabil ág vesz közre egy stabilt.

30

k=−4 l=−5 k=−3

20

l=−4

10

k=−1

λ

0 k=0

m l=0

l=0

k=1

k=0

0

k=2 l=−1 l=−2 l=−3

k=−2 l=−4 k=−3 l=−5

l=4 k=5

−30

k=4 k=3

k=−1

k=4

l=3

k=5

k=0

k=3

l=2

−20

l=−1

k=2

l=1

−10

l=3 l=1

l=−2

k=0

k=6

l=2

l=−3

k=−2

l=4

π/2

π

3π/2

2π

β1 3.8. ábra. Egyirányban terhelt, M = 2, N = 3 méret˝u, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramjának részlete a λ ∈ [−30, 30], β1 ∈ [0, 2π) tartományon. Az A) csoportba tartozó megoldások alkotta utakat k, a B) csoportba tartozókat l megfelel˝o értékei jelzik. A stabil egyensúlyi helyzeteket folytonos, az instabilakat szaggatott vonal köti össze. A merevtest-szer˝u körbeforduláshoz tartozó (indiferens) λ ≡ 0 út az m jel˝u pontvonal. A kritikus teherparaméterek: λkr1 = 0, λkr2 = 2. A bifurkációs diagramról részletet mutat a 3.8. ábra a λ ∈ [−30, 30], β1 ∈ [0, 2π) tartományon. A stabil egyensúlyi helyzetek alkotta egyensúlyi utakat folytonos, az instabilakat szaggatott vonal jelöli. Jól látszanak a szimmetriák: a teljes diagram el˝oállítható, ha ismerjük azt a β1 ∈ [0, π) tartományon, és végrehajtjuk az A) (π-vel való eltolás β1 tengely mentén majd tükrözés a λ = 0 egyenesre), vagy D) (tükrözés a β1 = π függ˝oleges egyenesre) szimmetriatranszformációt. Az egyensúlyi utakon feltüntettük, hogy azok milyen k, illetve l értékhez tartoznak. Az A) csoportba tartozó minden egyes egyensúlyi út érint˝oje vízszintes az egyensúlyi út és a λ = 2/ cos β1 függvény metszéspontjában. Ezen utakról ágaznak le a B)-be tartozó egyensúlyi utak ott, ahol cos β1 = 0. Az elágazásoknál megváltozik az A) csoportba tartozó utak stabilitása. A merevtest-szer˝u elforduláshoz tartozó λ ≡ 0 utat m-mel jelölt pontvonal 69

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK mutatja. A triviális β1 ≡ 0 egyensúlyi út az A) csoport k = 0 értéknél vett triviális megoldása; látható ennek az A) szimmetria-tulajdonságból adódó mása, a β1 = π egyensúlyi út is. A 3.9. ábra néhány egyensúlyi konfigurációt mutat példaként az A) és a B) esetekre.

λ

λ

λ

λ

λ

λ λ

λ A) λ

λ λ

λ

A), B)

A) λ B)

3.9. ábra. Néhány egyensúlyi konfiguráció az A) és B) megoldásokra, M = 2, N = 3. Az A) eset k = 0-hoz tartozó nemtriviális egyensúlyi útjáról a rúdháló egyirányú összecsukódása folyamán leágazik a B) eset l = −1-hez tarozó egyensúlyi útja. Ennek a kis méret˝u, 2 × 3-as rúdhálónak a megoldásaiból nagyobb méret˝u rúdhálók speciális egyensúlyi konfigurációi is el˝oállíthatók. Tekintsük ehhez a 3.10. ábrát! Az ábra bal fels˝o részén egy 2 × 3-as, egyensúlyban lév˝o, fels˝o csomópontjain P nagyságú er˝ovel terhelt rúdhálót láthatunk, melyb˝ol M − 1-et vízszintesen egymáshoz kapcsolva a jobb fels˝o ábrarészen lév˝o M oszlopsoros, N = 3 gerendasoros rúdháló egyensúlyi konfigurációját kapjuk. A fels˝o csomópontokon lév˝o er˝ok összesen: 2(M − 1)P , melyeket tetsz˝olegesen (de alul és felül egyformán) eloszthatunk. Az er˝ok egy speciális elrendezésével az ábra bal alsó részén látható, minden csomópontján F = 2(M − 1)P/M nagyságú er˝ovel terhelt rúdhálóhoz jutunk. Ha ebb˝ol többet egymáshoz kapcsolunk függ˝olegesen, újabb, egyensúlyban lév˝o, páratlan számú gerendasorból és M oszlopsorból álló rúdhálókat kapunk. Erre mutatunk példát az ábra jobb alsó részén, ahol két darab, N = 3 gerendasoros, M oszlopsoros szerkezetet kapcsoltunk össze. Ez természetesen a megoldásoknak nemcsak az A), hanem a B) csoportjára is igaz. Ezért minden, páratlan számú gerendasorral bíró, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónak van egyirányban összecsukott egyensúlyi állapota! Az összecsukódáskor az összes oszlop és az összes gerenda vízszintes, majd a terhet növelve az összecsukott alak elfordul a fix támasz körül valamelyik irányba. Tetsz˝oleges méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóra igaz, hogy a gerendák szögei azonosak, a gerendasorok párhuzamos egyenesek bármely egyensúlyi helyzetben. Ezért az itt elmondottakat általánosítva megállapíthatjuk, hogy egy minden fels˝o és alsó csomópontján P er˝ovel terhelt, M oszlopsoros, N gerendasoros rúdháló egy egyensúlyi konfigurációjából k darabot vízszintesen, majd ezekb˝ol l darabot függ˝olegesen összekapcsolva egy kM − k + 1 oszlopsoros és lN − l + 1 gerendasoros, fels˝o és alsó csomópontjain 70

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK F = kM P/(kM − k + 1) nagyságú er˝okkel terhelt rúdháló egy egyensúlyi helyzetét származtathatjuk. Tulajdonképpen most is a tartomány megfelel˝o kiterjesztésér˝ol van szó, csakúgy, mint rugalmas rúdláncoknál volt a leképezés periodikus megoldásainak el˝oállításánál. A tartományt most mindkét lényeges kiterjedése mentén kiterjeszthetjük. P

P

P

2P

2P

2P

P M

P

F F

F

F

F

F

F

F

F

2P

2P

2P

P

F

F

F

F

F = 2P M−1 M

M

F F

F

F

F

3.10. ábra. Példa az M = 2 oszlopsoros, N = 3 gerendasoros, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló egy egyensúlyi konfigurációjából nagyobb méret˝u rúdhálók egyensúlyi helyzeteinek származtatására

3.1.6. Az egyensúlyi egyenletek numerikus megoldása Nagyobb N értékek mellett a (3.5) egyenletrendszer analitikus megoldása nem lehetséges, valamilyen numerikus eljárást kell alkalmazni. A megoldandó egyenletrendszer érdekessége, hogy minden egyenlete ugyanolyan alakú; ebb˝ol adódik a D) permutációs szimmetria. Ami összekapcsolja az egyenleteket egy rendszerré – és nagyban megnehezíti a megoldásukat – az a β változók átlagára vonatkozó tag. A (3.5) egyenletrendszer numerikus megoldásához a szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmust [17, 22, 28], valamint annak egy módosított változatát [56] alkalmazzuk. Ennek bemutatása a következ˝o pont témája. 71


Az alkalmazott numerikus eljárás A szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmus lényege, hogy az egyenletrendszerben szerepl˝o szögváltozók és a teherparaméter által kifeszített (β, λ) N dimenziós teret (Globális Reprezentációs Tér, továbbiakban GRT) hiperhasábokra, a hiperhasábokat pedig egyenként N ! szimplexre osztjuk rés- és átfedésmentesen. A hasábok mérete akkora kell legyen, hogy egy szimplexen tipikusan csak egy egyensúlyi út haladjon át. (A felbontás finomításával ellen˝orizhet˝o, hogy kell˝oen kicsik voltak-e a hasábok: ha nem, akkor a finomítás után új ágak jelennek meg.) Minden egyes szimplexen belül szakaszonkénti linearizálással [2] megoldjuk a (3.5) egyenletrendszert. Az N − 1 linearizált egyenletrendszer N − 1 hipersík egyenlete az N dimenziós térben, így ha annak van megoldása, az tipikusan egy egyenes (a mátrixvonal). Ha ez az egyenes átmegy a szimplexen, akkor az a szakasz az egyensúlyi út adott szimplexbe es˝o részének közelítése. Az összes szimplexre elvégezve a számítást az egyensúlyi utak törtvonallal való közelítését kapjuk. Annak megválaszolására, hogy hogyan függ a megoldások számának növekedési üteme a teherparaméter függvényében a rúdháló M és N méreteit˝ol, nincs szükség az egyensúlyi utakra, elegend˝o azoknak a λ teherparaméter különböz˝o rögzített értékeihez tartozó pontjainak számát meghatározni. Ehhez a szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmus Németh Róbert által módosított változatát [56] használjuk. Ennek menete röviden az alábbi. Ha a λ teherparaméter rögzített, a GRT, amiben a megoldásokat keressük, a β ≡ [β1 , β2 , ..., βN −1 ] változók által kifeszített N − 1 dimenziós tér. A GRT megfelel˝oen lehatárolt részét most is hiperhasábokra, a hiperhasábokat pedig szimplexekre osztjuk, és a szimplexeken belül linearizáljuk a (3.5) egyenletrendszert. A (3.5) linearizálásával kapott N − 1 hipersík egyenletét most az N − 1 dimenziós térben kell megoldanunk, így ha van megoldás a szimplexen belül, az tipikusan egy pont: egy egyensúlyi helyzet közelítése a rögzített λ teherparaméter mellett. Lehetséges volna eggyel tovább csökkenteni az egyenletek és az ismeretlenek számát például úgy, hogy kifejezzük (3.5) els˝o egyenletéb˝ol βN −1 -et, majd behelyettesítjük azt a maradék N − 2 egyenletbe. Így N − 2 egyenlet állna rendelkezésünkre N − 2 ismeretlenre, vagyis egy eggyel alacsonyabb dimenziós térben is kereshetnénk az egyensúlyi helyzeteket. Azonban az eggyel kisebb térbe „belegyömöszölt” egyensúlyi utak jóval közelebb futnak egymáshoz, és a numerikus szimulációk tapasztalatai alapján emiatt olyan s˝ur˝un kellene felosztani a GRT-t, hogy a számítás gyorsabban elvégezhet˝o eggyel nagyobb dimenziós térben, durvább felosztás mellett. Az egyensúlyi utak ebb˝ol következ˝oen viszont egyértelm˝uen ábrázolhatók egy N − 1 dimenziós, például a (λ, β1 , β2 , · · · , βN −2 ) térben. A szimmetriákból megkapható megoldásokat nem szükséges külön számolni. Ezek ki∗ küszöbölése érdekében el˝oször tegyük fel, hogy a β ∗ = [β1∗ , β2∗ , · · · , βN −1 ] megoldás va∗ lamilyen λ mellett. A szögváltozók tagjait a D) permutációs szimmetria miatt sorba le∗ ¯∗ ˆ∗ het rendezni nagyság szerint: β¯1∗ ≤ β¯2∗ ≤ · · · ≤ β¯N −1 . Írhatjuk a tagokat a βj = βj + 2kπ (j = 1, 2, · · · , N − 1) alakban is úgy, hogy βˆ1∗ ∈ [0, 2π) és k egész szám, tehát ∗ βˆ1∗ + 2kπ ≤ βˆ2∗ + 2kπ ≤ · · · ≤ βˆN −1 + 2kπ.

72

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Ezek után az A) szimmetriát λ ≥ 0 mellett figyelembe véve belátható, hogy elegend˝o a β1 ∈ [0, 2π), β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βN −1 , λ≥0 feltételek mellett keresni megoldásokat. Ezen belül a βk változókra tett |βklim | =

Mλ , 2(M − 1)

k = 2, 3, · · · , N − 1

(3.17)

korláttal lehatárolható a térrész, amiben érdemes megoldásokat keresni. Ennek indoka a következ˝o. Mivel β1 ∈ [0, 2π), (3.5) els˝o egyenletéb˝ol számítható a βj változók átlagának maximális (ekkor β1 = 3π/2) és minimális (ekkor β1 = π/2) értéke: N −1 π Mλ Mλ 1 X 3π βj ≤ − ≤ + . 2 4(M − 1) N − 1 j=1 4(M − 1) 2

Így a βj változók átlagának széls˝oértéke jó közelítéssel: N −1 X Mλ 1 . βj ≤ N − 1 j=1 4(M − 1)

Ezt visszahelyettesítve (3.5) bármely másik egyenletébe a (3.17) korlát megkapható. Az A) szimmetria értelmében az így kapott β megoldások mindegyikéhez hozzáadva 2π többszörösét is megoldást kapunk az adott λ mellett. Ezen megoldások (ismétléses vagy ismétlés nélküli) permutációi is megoldások a D) szimmetria miatt, valamit −1-szeresei is azok a B) szimmetria értelmében. S˝ot, a konfiguráció speciálisan átrendezett terhelésre is egyensúlyi helyzet ad! Speciális átrendezés alatt azt értjük, hogy két, tetsz˝olegesen kiválasztott, egymással szembe mutató, egy függ˝olegesbe es˝o er˝ot – teljes egészében vagy részben – áthelyezünk tetsz˝olegesen kiválasztott másik (egy függ˝olegesbe es˝o) csomópontokra. A szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmus hátránya, hogy igen nagy számítási kapacitást igényel magasabb dimenziókban történ˝o szimuláció során. Az elvégzend˝o m˝uveletek száma az (n − 1)3 n! dn mennyiséggel arányos, ahol n a GRT dimenziója, d a felosztás száma (hány részre osztjuk a változók mentén a teret). Ráadásul a teher növelésével a vizsgálandó térrész is (azzal lineárisan) növekszik (3.17)-nak megfelel˝oen. Így numerikus vizsgálatot csak n ≤ 4 dimenzióban végeztünk λ ≤ 1000 teherparaméterig. Ennek eredményeit a következ˝o alpontban ismertetjük.

73


Eredmények Néhány rögzített λ teherparaméter mellett meghatároztuk a megoldások számát különböz˝o méret˝u rúdhálók esetén. A 3.11. ábra a numerikus szimuláció eredményeit mutatja log-log skálán az M = 2, N = 3, az M = 2, N = 4 és az M = 2, N = 5 méret˝u rúdhálókra. Itt feltüntettük a mért pontokra legjobban illeszked˝o egyeneseket és azok meredekségeit is. A számítási id˝o az M = 2, N = 3 esetben néhány tized másodperc, az M = 2, N = 4 esetben körülbelül egy perc, míg az M = 2, N = 5 méretnél körülbelül egy hét volt λ = 175.75 teherparaméternél, a paramétertér 0.1π finomságú felosztása mellett. Jól látható az M = 2, N = 5 esethez tartozó eredményen, hogy ha a letapogatásnál a GRT felosztása nem elég finom, nem találjuk meg az összes megoldást: a görbe ellaposodik. Finomabb felosztás mellett ellen˝oriztük, hogy a megoldások száma ebben az esetben is a jelölt egyenesre illeszkedik a log-log skálán.

106 105

3

λ

S

2

λ

4

10

3

10

1

λ

2

10

1

10

10

100 λ

1000

3.11. ábra. A megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében a 2 × 3, 2 × 4, 2 × 5 méret˝u rúdhálóknál a paramétertér 0.1π finom felosztása mellett. M ×N méret˝u rúdháló esetén a megoldások számának növekedési üteme S ∼ λN −2 alapján becsülhet˝o. A számításokat elvégezve nagyobb M értékekre is azt tapasztaltuk, hogy a megoldások számának növekedési üteme nem függ az M oszlopsorok számától, csak az N gerendasorok számától, attól viszont exponenciálisan: S ∼ λN −2 . Hiába tehát a kétirányú térbeli kiterjedés, a szerkezet térben csak a tartomány egyik kiterjedése (N , a gerendasorok száma, a rúdháló magassága) mentén kaotikus: a megoldások száma exponenciálisan n˝o a gerendasorok (a szintek) számával, ha a teher elegend˝oen nagy. A másik kiterjedés, az oszlopsorok M száma nem befolyásolja a megoldások növekedési ütemét, a gerendák d˝olésszöge csak követi az oszlopok d˝olésszögeit, azok átlaga. Így az egytámaszú, egyirányban terhelt rugalmas rúdháló a térben komplex viselkedés szempontjából egydimenziósnak tekinthet˝o. A λ teherparaméter rögzítése nélkül számított egyensúlyi utakat látunk a 3.12. ábrán M = 8, N = 3 esetén, valamint a 3.13. ábrán M = 4, N = 4 esetén. A számításnál a felosztás finomsága 0.03π volt. Ezen ábrákon jól látszanak a szimmetria-tulajdonságok. 74


3.12. ábra. Egyensúlyi utak az M = 8, N = 3 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ ∈ [0, 40], β1 ∈ (−3π, 3π), β2 ∈ (−3π, 3π) tartományon a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett

3.13. ábra. Egyensúlyi utak az M = 4, N = 4 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ ∈ [0, 18], β1 ∈ (−3π, 3π), β2 ∈ (−3π, 3π) tartományon a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett

75


Végül a triviális úton lév˝o elágazás környezetér˝ol közlünk néhány numerikus eredményt. A 3.14. ábrán M = 8, N = 3 méret˝u rúdhálóra láthatjuk a triviális út egyetlen elágazását csúcskatasztrófa formájában, valamint a másodlagos út további elágazásait. A számításnál a tartomány felosztásának finomsága 0.03π volt az összes tengely mentén. A 3.15. ábra M = 4, N = 4 méret˝u rúdhálóra mutatja a triviális úton lév˝o egyetlen elágazást kett˝oscsúcskatasztrófa formájában. A felosztás finomsága 0.03π volt. A másodlagos utak száma 12. Ezen az ábrán az elágazás környékén lév˝o „felh˝ot” 2-es típusú parazitamegoldások [28] alkotják. A parazitamegoldások ezen típusa a paramétertér finomabb felosztása mellett az elágazási pont kisebb környezetében jelenik meg. A 3.16. ábra a paramétertér 0.025, 0.0125, 0.00625 finomságú felosztásai mellett mutatja a numerikus eljárás szolgáltatta megoldásokat a (β1 , β2 ) síkra vetítve: a parazitamegoldások alkotta halmaz kiterjedése egyre sz˝ukül a felosztás finomításával. Megjegyezzük, hogy [28] hasonló parazitamegoldásokat mutat az ott vizsgált szerkezet kett˝oscsúcs-katasztrófa pontja körül. Végül a 3.17. ábrán az M = 4, N = 5 méret˝u rúdhálónál láthatjuk a triviális út egyetlen elágazását hármascsúcs-katasztrófa formájában. A másodlagos egyensúlyi utak száma 26. A paramétertér felosztásának finomsága itt is 0.03π. Ezen az ábrán a triviális út elágazásait azért ábrázolhatjuk egyértelm˝uen a (β1 , β2 , β3 ) háromdimenziós térben, mert az elágazás szimmetrikus (a megoldásokra vonatkozó B) szimmetria miatt) és az utak egy pontból indulnak ki, tehát a λ tengely mentén vetítve azok az elágazás kis környezetében nem takarhatják egymást. Ezen az ábrán is találhatók szép számmal 2-es típusú parazitamegoldások. A triviális úton lév˝o egyetlen elágazásnál a másodlagos egyensúlyi utak száma általánosan 3N −2 − 1. Ennek magyarázata, hogy az N − 2 bels˝o gerendasor egyszerre veszti el a stabilitását a λkr2 kritikus teherparaméternél, egyszerre lendülhet ki jobbra vagy balra, illetve helyben is maradhat. A legalsó és a legfels˝o gerendasor helyben marad. Ezen lehet˝oségek száma 3N −2 , ami magában foglalja a triviális utat is. E viselkedés mögött az elágazásnál lév˝o N −2-es csúcskatasztrófa áll. Ismert, hogy optimalizáláskor, amikor két kritikus teherparaméter egybeesését írjuk el˝o, köldökszer˝u katasztrófák jöhetnek létre [47]. Kivételt képeznek azok a feladatok, melyek potenciális energia függvényéb˝ol (szimmetria-tulajdonságaik folytán) hiányoznak a páratlan fokú tagok: ez esetben kett˝oscsúcs-katasztrófa jön létre. A vizsgált rugalmas rúdhálónál N − 2 kritikus teherparaméter esik egybe, és a szerkezet potenciális energiája páros függvény, ezért az egyetlen elágazási pontban N − 2-es csúcskatasztrófa jön létre.

76


λ 20 10 0 π/2 0

β2

-π/2 -π/2

0

π/2 β1

3.14. ábra. Egyensúlyi utak az M = 8, N = 3 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ ∈ [0, 20], β1 ∈ (−π, π), β2 ∈ (−π, π) tartományon, a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett. Csúcskatasztrófa, 2 másodlagos út, λkr = 3, 5.

λ 6

3

0 π/2 β2

0 -π/2

0

-π/2

β1

π/2

3.15. ábra. Egyensúlyi utak M = 4, N = 4 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ ∈ [0, 6], β1 ∈ (−π/2, π/2), β2 ∈ (−π/2, π/2), β3 ∈ (−π/2, π/2) tartományon, a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett. Kett˝oscsúcs-katasztrófa, 12 másodlagos út, λkr = 3.

77


3.16. ábra. A paramétertér diszkretizálásából adódó 2-es típusú parazitamegoldások a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4, N = 4 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló esetén, a λ ∈ [2, 4], β1 ∈ (−π/20, π/20), β2 ∈ (−π/20, π/20) β3 ∈ (−π/20, π/20) tartományon. A paramétertér felosztásának finomsága (balról jobbra): 0.025, 0.0125, 0.00625.

3.17. ábra. Egyensúlyi utak az M = 4, N = 5 méret˝u, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ ∈ [0, 5], β1 ∈ (−π/2, π/2), β2 ∈ (−π/2, π/2), β3 ∈ (−π/2, π/2), β4 ∈ (−π/2, π/2) tartományon, a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett. Hármascsúcskatasztrófa, 26 másodlagos út, λkr = 3.

78


3.2.

Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló el˝ofeszített spirálrugókkal

Az alábbiakban megnézzük, hogyan változik az el˝oz˝o szakaszban vizsgált szerkezet egyensúlyi helyzeteinek száma és a tartomány kiterjedései közötti összefüggés, ha megengedjük, hogy a spirálrugók egymástól függetlenül 2π többszöröseivel el˝ofeszítettek legyenek. Egy négy rúdelem alkotta rombuszban, melynek gerendái αi , oszlopai βj d˝olésszög˝uek, a rugók el˝ofeszítettségét jelölje 2πcijk , k = 1, 2, 3, 4. A rombusz bal alsó csomópontjánál lév˝o rugót k = 1, a bal fels˝ot k = 2, a jobb fels˝ot k = 3, a jobb alsót k = 4 jelzi a 3.18. ábrán a rúdháló középs˝o rombuszában látható módon. Pozitív túlfeszítés páratlan k esetén húzást, páros k esetén nyomást jelent: az adott spirálrugó gerendához kapcsolt végét lekapcsoljuk és körbetekerjük az óramutató járásával megegyez˝o irányban a csukló körül, majd visszakapcsoljuk a gerendához. F F N

F αi

F

F

F

l

j

βj

cij2 cij1 cij3 cij4

1

ρ

1

1

i

F F

M

F F

F

3.18. ábra. Speciálisan el˝ofeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló

79


3.2.1. Egyensúlyi egyenletek A λ = F ℓ/ρ dimenziótlan teherparaméterrel a szerkezet teljes potenciális energiájából (3.1) alapján, a rugók el˝ofeszítettségét is számba véve az alábbi dimenziótlan alak írható fel: M −1 N −1 4 N −1 X 1 X XX 2 (αi − βj + 2πcijk ) + M λ V (α, β; λ) = cos βj . 2 i=1 j=1 k=1 j=1 ∗

(3.18)

A teljes potenciális energia stacionaritási tételéb˝ol az egyensúlyi egyenletek: N −1 X 4 X ∂V ∗ (α, β; λ) = (αi − βj + 2πcijk ) = 0, ∂αi j=1 k=1

∂V ∗ (α, β; λ) = ∂βj

M −1 X 4 X i=1 k=1

i = 1, 2, · · · , M − 1,

(αi − βj + 2πcijk ) + M λ sin βj = 0, j = 1, 2, · · · , N − 1.

Az összegzéseket kifejtve az N −1 N −1 X 4 X 1 X π αi − βj + cijk = 0, N − 1 j=1 2(N − 1) j=1 k=1

βj −

1 Mλ sin βj − 4(M − 1) M −1

M −1 X i=1

(3.19)

i = 1, 2, · · · , M − 1, M −1 X 4 X π αi − cijk = 0, 2(M − 1) i=1 k=1

(3.20)

j = 1, 2, · · · , N − 1

egyenleteket kapjuk, melyek a N −1 X 4 X

M −1 X 4 X

cijk = 0,

j=1 k=1

cijk = 0

(3.21)

i=1 k=1

feltételek teljesülésekor a (3.2) és a (3.3) összefüggésekre vezetnek, vagyis a rugók ilyetén el˝ofeszítésével egy sajátfeszültségi állapotot kapunk. Ezen sajátfeszültségi állapotokra a rugók el˝ofeszítettsége nélküli, el˝oz˝o pontban kapott eredmények vonatkoznak. Kifejezve (3.19) i-edik egyenletéb˝ol αi -t, majd behelyettesítve azt (3.20) j-edik egyenletébe az egyensúly feltételéül az alábbi N − 1 egyenletet kapjuk: N −1 Mλ 1 X π βj − sin βj − aj = 0, βl + 4(M − 1) N − 1 l=1 2(M − 1)(N − 1)

j = 1, 2, · · · , N − 1,

80

(3.22)

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK ahol aj a következ˝o egész szám: aj =

M −1 N −1 X 4 X X i=1 l=1 k=1

cilk − (N − 1)

M −1 X 4 X i=1 k=1

cijk ,

j = 1, 2, · · · , N − 1.

A 2πaj mennyiség az összes rugó teljes el˝ofeszítettsége és a j-edik és j + 1-edik szintek között lév˝o oszlopokhoz kapcsolódó rugók el˝ofeszítettségének (N − 1)-gyel nagyított értéke közötti különbség.

3.2.2. Globális szimmetriák ∗ Tegyük fel, hogy β ∗ = [β1∗ , β2∗ , · · · , βN megoldás adott λ∗ és −1 ] ∗ ∗ ∗ a = [a1 , a2 , · · · , aN −1 ] mellett! Jelöljön π egy olyan N − 1 elem˝u vektort, melynek minden eleme π. Visszahelyettesítéssel ellen˝orizhet˝o, hogy ekkor ∗

A) β ∗ + π is megoldása a∗ és −λ∗ mellett, B) −β ∗ is megoldása −a∗ és λ∗ mellett, C) −β ∗ + π is megoldása −a∗ és −λ∗ mellett a (3.22) egyenletrendszernek. A permutációs szimmetria viszont most általánosan nem igaz. Ha két vagy több aj azonos, a megfelel˝o βj szögváltozók felcserélhet˝ok.

3.2.3. Bifurkációanalízis A Hesse-mátrix megegyezik a 3.1.3. pontban felírttal. A (3.22) egyenletek triviális megoldása β ≡ 0 bármely λ teherparaméter mellett, ha (3.21) teljesül. Ezek a sajátfeszültségi állapotok sem a 3.1.3 pontban kapott elágazás helyét és számát, sem az ott lév˝o katasztrófa típusát nem befolyásolják. Egyéb (nemtriviális) esetekben az egyensúlyi út bifurkációs pontjában a 3.1.3. pontban felírt Hesse-mátrix determinánsa zérus kell legyen. Ezzel részletesen az értekezés keretein belül nem foglalkozunk.

81


3.2.4. Az egyensúlyi állapotok numerikus számítása Az alkalmazott numerikus eljárás A (3.22) egyenletrendszer megoldásait a szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmus módosított változatával [56] keressük meg rögzített λ teherparaméterek mellett. Csak a βj ∈ [−π, π) tartományt vizsgáljuk, mivel a rugók megfelel˝o el˝ofeszítése megfelel egy oszlop ennél nagyobb d˝olésszögének. A letapogatáshoz aj értékeire egy fels˝o határ szabható a λ teherparaméter és a rúdháló M és N méretének függvényében. Mivel βj ∈ [−π, π) minden j-re, ezen szögek összegének korlátja: N −1 X βj ≤ (N − 1)π. j=1

Ekkor (3.22) bármely egyenletéb˝ol aj korlátjára az alábbi értékek adódnak a βj = ±π/2, βl = ±π (l 6= j), illetve a βl = ±π (l = 1, 2, · · · , N − 1) behelyettesítéseivel: (M − 1)(N − 2) + (N − 1)M λ/(2π) |aj | = max 4(M − 1)(N − 2)

A számítás menete ezek után a következ˝o: adott M , N méreteknél, rögzített λ mellett el˝oállítjuk a [−al , al ] egész számok N −1 elem˝u ismétléses variációit és megoldjuk (3.22) egyenleteket minden egyes variációra. 2 Ezután megismételjük a számítást több rögzített λ teherparaméterre. A különböz˝o λ értékekhez kapott megoldásokat összeszámláljuk és ábrázoljuk az S megoldások számát a λ teherparaméter függvényében. Eredmények A megoldások S számát a λ teherparaméter függvényében N = 2 és M = 2, 3, 4, 5, 6 méretekre a 3.19. ábra mutatja a paramétertér π/15 finomságú felosztása mellett, míg N = 3 és M = 2, 3, 4, 5, 6 méretekre a paramétertér π/10 finomságú felosztásával a 3.20. ábra szemlélteti azt. Az ábrákon látszik, hogy az oszlopsorok M számának növelésével több megoldást kapunk, de a megoldások számának növekedési üteme változatlan: S ∼ λN −2 . Csupán ennek az együtthatója változik, de az nem függ λ-tól.

2

Megjegyezzük, hogy αi így még nem egyértelm˝u, ahhoz nem elég pusztán aj ismerete. Mivel aj megszámlálhatóan végtelen sok kombinációval el˝oállítható, feltesszük, hogy aj a cijk legkisebb lehetséges értékei mellett lett el˝oállítva.

82


4

10

3

10

1

S

λ 2

10

1

10

1

10

100

1000

λ 3.19. ábra. A megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében az N = 2, M = 2, 3, 4, 5, 6 méret˝u, speciálisan el˝ofeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál a λ ∈ [1, 1000] tartományon, a paramétertér π/15 finomságú felosztása mellett

6

10

5

10

2

λ

4

S

10

3

10

2

10

1

10

1

10

100

λ 3.20. ábra. A megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében az N = 3, M = 2, 3, 4, 5, 6 méret˝u, speciálisan el˝ofeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál a λ ∈ [1, 100] tartományon, a paramétertér π/10 finomságú felosztása mellett

83


3.3.

Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló

Ebben a szakaszban az egyirányban terhelt rugalmas rúdhálót a bal alsó csuklónál elhelyezett fix támasszal és a bal fels˝o csuklónál, a terhelés irányára mer˝oleges er˝o felvételére képes görg˝os támasszal ellátva vizsgájuk (3.21. ábra). F F F αi

N−1

F

F

F

l

j

βj

1

ρ

1

1

i

F F

M

F F

F

3.21. ábra. Fix csuklóval és a terhelés irányára mer˝oleges er˝o felvételére képes görg˝os támasszal ellátott, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló

3.3.1. Egyensúlyi egyenletek A teljes potenciális energia dimenziótlan alakja (3.1) szerint adott. A potenciális energia állandóérték˝usége a következ˝o (a két támasz egy függ˝olegesbe esését megkívánó) geometriai mellékfeltétel mellett kell teljesüljön: N −1 X

sin βj = 0.

j=1

84

(3.23)


Az egyensúlyi egyenleteket egy feltételes széls˝oérték-feladatból származtathatjuk. Bevezetve a µ Lagrange-szorzót, (3.1) és (3.23) segítségével a következ˝o függvényt írhatjuk fel: F (α, β, µ; λ) = 2

M −1 N −1 X X i=1 j=1

2

(αi − βj ) + M λ

N −1 X

cos βj + µ

j=1

N −1 X

sin βj .

(3.24)

j=1

Az egyensúly megléte és a geometriai mellékfeltétel teljesülése esetén a fenti függvény elmozdulás-jelleg˝u változói és a Lagrange-szorzó szerinti parciális deriváltjai zérust adnak: N −1

X ∂F (α, β, µ; λ) =4 (αi − βj ) = 0, ∂αi j=1

i = 1, 2, · · · , M − 1,

M −1

X ∂F (α, β, µ; λ) =4 (βj − αi ) − M λ sin βj + µ cos βj = 0, ∂βj i=1 ∂F (α, β, µ; λ) = ∂µ

N −1 X

(3.25)

j = 1, 2, · · · , N − 1,

sin βj = 0.

j=1

A fenti egyenletek els˝o két csoportjának tagjait összeadva −M λ

N −1 X

sin βj + µ

j=1

N −1 X

cos βj = 0

(3.26)

j=1

adódik. Ez a fix támaszra felírt dimenziótlanított nyomatéki egyenlet. E szerint a Lagrangeszorzó a görg˝os támaszban ébred˝o dimenziótlan reakcióer˝o. A geometriai mellékfeltétel miatt (3.26) bal oldalának els˝o tagja zérus. Második tagja akkor zérus, ha a görg˝os támaszban ébred˝o µ reakcióer˝o zérus, vagy ha a két támasz egy pontba kerül. Kifejezhetjük (3.25) els˝o egyenletcsoportjából αi -t, ami most is (3.4) alakú, tehát az összes gerenda d˝olésszöge megegyezik az oszlopok d˝olésszögeinek átlaga. Behelyettesítve ezt a második egyenletcsoportba, az alábbi nemlineáris egyenletrendszert kapjuk: βj −

N −1 µ 1 X Mλ βl = 0, sin βj + cos βj − 4(M − 1) 4(M − 1) N − 1 l=1

j = 1, 2, · · · , N − 1.

(3.27)

Az egyensúlyi konfigurációk számításához ezt az egyenletrendszert és a (3.23) geometriai mellékfeltételt célszer˝u használni. Ha a két támasz nem esik egy pontba, µ zérus, (3.27) els˝o két csoportjának egyenletei és (3.5) egyenletei azonosak. Ha ezen túl λ 6= 0, akkor a (3.23) geometriai mellékfeltétel és az egytámaszú rúdháló egyensúlyi egyenleteinek lineáris kombinációiból el˝oálló (3.6) összefüggés osztva M λ-val megegyezik. Tehát nemzérus tehernél, ha a két támasz nem kerül egy pontba, egy adott méret˝u és terhelés˝u kéttámaszú rúdháló egyensúlyi helyzetei ugyanazok, mint az azonos méret˝u és terhelés˝u egytámaszú rúdhálóé. Az egyensúlyi helyzetek stabilitása azonban különbözhet! 85


3.3.2. Globális szimmetriák ∗ ∗ Tegyük fel, hogy β ∗ = [β1∗ , β2∗ , · · · , βN −1 ] egyensúlyi helyzet valamilyen λ mellett. Jelöljön π egy olyan N − 1 elem˝u vektort, melynek minden eleme π. Visszahelyettesítéssel ellen˝orizhet˝o, hogy

A) β ∗ + π is megoldása −λ∗ mellett, B) −β ∗ is megoldása λ∗ mellett, C) −β ∗ + π is megoldása −λ∗ mellett, D) β ∗ tagjai tetsz˝olegesen felcserélve is megoldása λ∗ mellett a (3.27) egyenletrendszernek és a (3.23) egyenletnek is. Ezek a már jól ismert globális szimmetria-tulajdonságok, melyeket a 3.1.2. pontban részleteztünk.

3.3.3. Bifurkációanalízis Az α ≡ 0, β ≡ 0, λ tetsz˝oleges triviális egyensúlyi út körül a két támasz nem eshet egybe. A triviális egyensúlyi út elágazásának szabatos vizsgálata Németh Róbert nyomán a függelék az A.4. szakaszában található, de anélkül is belátható, hogy a triviális út környezetében (mivel ott a görg˝os támaszban ébred˝o reakció zérus) a szerkezet viselkedése az egytámaszú rugalmas rúdhálóéval azonos, leszámítva a λ ≡ 0 esetet. A terhelés során ezért egyetlen elágazás van a M −1 λkr = 4 M teherparaméternél. Itt a bels˝o N − 2 gerendaszint egyszerre veszti el a stabilitását és lendülhet ki tetsz˝olegesen valamelyik irányba, miközben a gerendák (a triviális út kis környezetében) vízszintesek maradnak. Az egyetlen elágazásnál (N −2)-es csúcskatasztrófa van. Az egyensúlyi utak stabilitására viszont a plusz megtámasztás hatással lehet.

3.3.4. Az egyensúlyi egyenletek megoldásáról A 3.21. ábrán látható szerkezet fix csuklója körül vett nyomatéki egyensúlyából beláttuk, hogy a görg˝os támaszban ébred˝o reakcióer˝o zérus, hacsak a két támasz egy pontba nem kerül. Numerikus szimuláció során azonban a véges aritmetika miatt nem beszélhetünk a két támasz pontos egybeesésér˝ol. Numerikus szimulációt az értekezés keretein belül nem végzünk. Analitikus megoldást viszont mutatunk két egyszer˝u esetben a 3.1.5. pontban taglalt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóra kapott eredményekb˝ol kiindulva. Analitikus megoldás M = 2, N = 2 esetén Ebben az esetben a két támasz nem kerülhet egy pontba, ezért a megoldások a 3.1.5. pontban kapott megoldásokkal azonosak, leszámítva a terheletlen rúdháló merevtest-szer˝u körbefordulását. A bifurkációs diagramot megkapjuk, ha 3.5. ábráról eltávolítjuk a λ ≡ 0 utat és az utak stabilitását jelöl˝o S és I bet˝uket, mivel a görg˝os támasz jelenléte megváltoztatja az egyensúlyi helyzetek stabilitását: az összes út stabilis lesz. 86

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Analitikus megoldás M = 2, N = 3 esetén A 3.1.5. pontban az egytámaszú, 2 × 3-as rugalmas rúdháló geometriailag lehetséges megoldásait két, az A) és a B) csoportba soroltuk. El˝obbinél a két támasz nem kerülhet egy pontba, kivéve azokat a helyzeteket, melyeknél a B) megoldások egyensúlyi útjai ágaznak le (lásd 3.8. és 3.9. ábra). Mivel ezek a pontok mindkét, az A) és a B) csoportba tartozó úton rajta vannak, elegend˝o a B) megoldásokat vizsgálni külön görg˝os támasszal is ellátva a rúdhálót. Az egytámaszú rúdhálótól megkülönböztetvén ezt B∗ ) csoportnak hívjuk. B∗ ) csoport: β2 = β1 + (2l + 1)π. Behelyettesítve ezt (3.27) egyenleteibe két, lineárisan összefügg˝o egyenletet kapunk. Az egyetlen független egyensúlyi egyenlet: µ 1 λ sin β1 − cos β1 + (2l + 1)π = 0. 2 4 2

(3.28)

Ebben az esetben tehát az egyensúlyi helyzetek l különböz˝o értékeire egy-egy felületen helyezkednek el az (β1 , µ, λ) térben. Ezeket egyensúlyi felületeknek hívjuk. Az l = −1, −2, −3 értékekhez tartozó felületeket a 3.22. ábra mutatja a β1 ∈ [0, π], µ ∈ [−15, 15], λ ∈ [0, 30] tartományon. A gerendák szöge az oszlopok szögeinek átlaga: α1 = β1 + lπ + π/2. A gerendák, csakúgy, mint az egytámaszú esetnél, az oszlopokkal egy egyenesbe esnek: az egyensúlyi felület minden egyes pontjában a rúdháló egyirányban összecsukott állapotban van.

l=−3

l=−2

30 λ

20 10 0

l=−1

10 0

π/2 β1

π

−10 µ

3.22. ábra. Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló B∗ ) csoportjába tartozó megoldások alkotta egyensúlyi felülete, M = 2, N = 3, β1 ∈ [0, π], µ ∈ [−15, 15], λ ∈ [0, 30], l = −1, −2, −3 (lentr˝ol felfelé) A bifurkációs diagramot így ebben a (β1 , µ, λ) háromdimenziós térben ábrázolhatjuk. A diagram a µ = 0 alterében futó, a megoldások A) csoportjába tartozó egyensúlyi helyzetek 87

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK alkotta egyensúlyi utakból és a B∗ ) csoportba tartozó megoldások formálta egyensúlyi felületekb˝ol áll. El˝obbiekb˝ol a 3.8. ábra mutat párat k különböz˝o értékeire, utóbbiakból a 3.22. ábrán látható néhány. Az egyensúlyi felületeknek a µ = 0 síkkal vett metszete adja a 3.8. ábrán lel jelölt utakat. Mindegyik egyensúlyi útnak van egy és csakis egy metszéspontja valamelyik egyensúlyi felülettel a β1 = π/2 + kπ, µ = 0, λ = −(2l + 1)π pontokban. A felületek érint˝oje vízszintes a metszéspontokban, mivel (3.28) µ és β1 változók szerinti ∂λ cot β1 = , ∂µ 2 −µ ∂λ cot β1 = + (2l + 1)π 2 ∂β1 sin β1 sin β1 parciális deriváltjai a β1 = π/2 + kπ, µ = 0 pontokban az l értékét˝ol függetlenül zérust adnak. A felület második parciális deriváltjai: ∂2λ ≡ 0, ∂µ2 −1 ∂ 2λ = , ∂µ∂β1 2 sin2 β1 1 cot β1 2 cot2 β1 ∂2λ . = µ 2 − (2l + 1)π + ∂β12 sin β1 sin β1 sin β1 A metszéspontokban vett fenti második parciális deriváltakból képzett 0 −1/2 HB∗ = −1/2 −(2l + 1)π Hesse-mátrix egyik sajátértéke negatív, másik pozitív, ezért az egyensúlyi utak és az egyensúlyi felületek metszéspontjai a felület nyeregpontjai [7]. A felület µ irányban nem görbül. Ha az oszlopok (és akkor egyben a gerendák is) vízszintesek, a µ reakcióer˝o értéke nem egyértelm˝u: a felületeknek a β1 = π/2 + kπ síkokkal vett metszetei vízszintes egyenesek. Tetsz˝oleges méret˝u, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdhálók gerendáinak szögei azonosak, a gerendák párhuzamos egyenesekbe esnek bármely egyensúlyi helyzetben, csakúgy, mint az egytámaszú rúdhálónál. Így a 3.1.5. pont végén tett megállapításaink alapján az itt vizsgált, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdhálóra is elmondható, hogy egy minden fels˝o és alsó csomópontján P er˝ovel terhelt, M oszlopsoros, N gerendasoros szerkezet egy egyensúlyi konfigurációjából k darabot vízszintesen, majd ezekb˝ol l darabot függ˝olegesen összekapcsolva egy kM − k + 1 oszlopsoros és lN − l + 1 gerendasoros, fels˝o és alsó csomópontjain F = kM P/(kM − k + 1) nagyságú er˝okkel terhelt kéttámaszú rugalmas rúdháló egy egyensúlyi helyzetét származtathatjuk. A részletesen tárgyalt, M = 2 oszlopsoros, N = 3 gerendasoros szerkezetre alkalmazva ezt elmondhatjuk, hogy minden, páratlan számú gerendasorral bíró, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdhálónak van egyirányban összecsukott egyensúlyi állapota. Ezekhez viszont most nem egyensúlyi utak, hanem egyensúlyi felületek tartoznak. 88


3.4.

Rugalmas rúdháló és csak nyírási deformációra képes rúd

A fejezet elején említettük, hogy a rugalmas rúdhálót a csak nyírási deformációra képes rúd [47] diszkrét mechanikai modelljének lehet tekinteni a triviális út körüli viselkedés szempontjából. Csak nyírási deformációra képes rúd kritikus ereje nem függ sem a rúd hosszától, sem a megtámasztási viszonyoktól, ha ezek a normáler˝o-eloszlást nem befolyásolják [47]. A rúd akkor kerül kritikus állapotba, ha valamelyik keresztmetszetében a nyomóer˝o eléri az ottani nyírási merevség értékét. Például az egyenes tengely˝u, támaszvonalában nyomóer˝ovel terhelt, kéttámaszú, vagy az egyenes tengely˝u, befogott, szabad végén tengelyirányú nyomóer˝ovel terhelt rúdnál a normáler˝o minden keresztmetszetben azonos. Így ha a rúd csak nyírási deformációra képes, az összes keresztmetszet egyszerre kerül kritikus állapotba, és a szerkezetnek nincs meghatározott kihajlásalakja [47]. Az eddig vizsgált, egyirányban terhelt rugalmas rúdhálók is hasonló viselkedést mutattak a triviális egyensúlyi út körül: az egyetlen (nemzérus) kritikus teherparaméternél az összes bels˝o N − 2 gerendasor egymástól függetlenül, egyszerre vesztette el stabilitását és lendülhetett ki tetsz˝oleges irányba. A 3.23. ábrán egy N = 5 szintes, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló látható. b)

a) F

F

F

F

F l

F

F

F

F γ

l

1

M

i

F

F

2 ργ

Ti =

TM = 2 ργ

4 ργ

/l

TM’ =

Ti’ = 2 ργ

T1 =

ρ

F

/l

T1’ =

γ

/l

/l 4 ργ

/l 2 ργ

l

ρ

l

ρ

γ

/l

F

γ

F

ρ 1

M

i

F

F

F

F

3.23. ábra. A rugalmas rúdháló nyírási merevségének szemléltetése: egy szegmens elemi nyírási torzulása és a szegmens oszlopainak kapcsolati er˝oi

Kis elmozdulásokkal foglalkozunk. Az alulról a második szegmens elemi γ szöggel való d˝olésekor (3.23 a) ábra) az oszlopvégeken ébred˝o kapcsolati er˝oket és a rugókban ébred˝o nyo89


matékot mutatja a 3.23 b) ábra. Az oszlopok d˝olése folytán a négyzetek rombuszokká torzulnak, ez a nyírási torzulásnak felel meg, a rúdháló csak nyírási deformációra képes. A szerkezet nyírási merevsége a triviális egyensúlyi állapot körül az elemi nyírási torzulás létrehozásához szükséges er˝o. Ez piciny szögeknél a rúdelemek végén fellép˝o nyíróer˝ok összegének segítségével határozható meg, amely 4(M − 1)ργ/ℓ. Így a nyírási merevség: 4(M − 1)ρ/ℓ. A küls˝o teherb˝ol a nyíróer˝o értéke az elemi γ d˝olés˝u szegmensben kis elmozdulás esetén: M F sin γ ≈ M F γ. A normáler˝o értéke: M F cos γ ≈ M F . Stabilitásvesztés esetén a nyírási ellenállás kimerül, az elemi nyírási torzulás létrehozásához szükséges er˝o megegyezik a nyíróer˝o értékével, ebb˝ol: M F γ = 4(M − 1)ργ/ℓ. Mivel a nemtriviális megoldást keressük, γ nem zérus, így az egyenl˝oség alapján a folytonos, csak nyírási deformációra képes rúddal analóg módon akkor kerül kritikus állapotba a szerkezet, ha egy szegmensben a normáler˝o nagysága eléri a nyírási merevség értékét. A jól megszokott λ = F ℓ/ρ dimenziótlan teherparamétert bevezetve a stabilitásvesztés feltételéb˝ol megkapjuk a vizsgált rúdhálókra korábban levezetett kritikus teherparaméter értékét: λkr = 4(M − 1)/M . Az egytámaszú rugalmas rúdháló gerendái egymással párhuzamosak, a triviális egyensúlyi út kis környezetében vízszintesek. Itt – az egyensúlyi helyzetek stabilitásában lév˝o különbségekt˝ol, valamint a merevtestszer˝u elfordulástól eltekintve – a szerkezet viselkedése megegyezik 3.21. ábrán látható, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdhálóéval. A terhel˝o F er˝oket tetsz˝olegesen, de alul és felül egyformán oszthatjuk szét a csuklókon (lásd 3.24. ábra bal széls˝o szerkezete). Ezért a triviális egyensúlyi állapot körüli infinitezimális mozgásokra a szerkezet a 3.24. ábra középs˝o részén látható, alul és felül merev lapokkal határolt, alul középen fix csuklóval, felül középen görg˝os támasszal ellátott, a görg˝os támasznál függ˝oleges M F er˝ovel terhelt rugalmas rúdhálóval helyettesíthet˝o. Így a 3.21. ábrán látható, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló a 3.24. ábra jobb oldalán vázolt, kéttámaszú, támaszvonalában terhelt, csak nyírási deformációra képes rúd diszkrét mechanikai modelljének tekinthet˝o a triviális egyensúlyi út körüli kicsiny mozgásokra. A 3.25. ábra jobb oldalán vázolt, befogott, egyenes tengely˝u, szabad végén tengelyirányú er˝ovel terhelt, csak nyírási deformációra képes rúd diszkrét mechanikai modelljének pedig a 3.25. ábra bal oldali szerkezete, egy egyirányban terhelt, egyik alsó csomópontjánál fix, a többinél görg˝os támasszal ellátott rugalmas rúdháló tekinthet˝o a triviális út körüli infinitezimális mozgásokra. Ennek belátása egyszer˝u, mivel az adott megtámasztás a normáler˝o eloszlást nem befolyásolja, az minden szegmensben (piciny elmozdulásnál) M F , a nyírási merevség pedig ebben az esetben is 4(M − 1)ρ/ℓ. A kritikus er˝o így ugyanaz, mint az egyirányban terhelt, kéttámaszú esetben: λ = F ℓ/ρ. Viszont most a fels˝o N − 1 gerendasor lendülhet ki tetsz˝oleges irányba a stabilitásvesztésnél. (Ezt szabatosan, energetikai vizsgálattal is be lehet látni, ahogy tettük azt az egytámaszú és a kéttámaszú esetben.) A fels˝o csomópontokon az M darab koncentrált F er˝o tetsz˝olegesen osztható el. Azt várhatnánk, hogy két oszlopsoros, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló sok gerendasor esetén már jól közelíti a támaszvonalában terhelt kéttámaszú rugalmas rúdláncot. Ez azonban nem igaz. Míg az el˝obbi szerkezet végtelen nagy hajlító- és normálmerevséggel, de véges nyírómerevséggel rendelkezik, addig az utóbbinak végtelen nagy a nyíró- és a normálmerevsége, de véges a hajlítómerevsége. Ennek megfelel˝oen az N → ∞ határátmenetben a rugalmas rúdlánc a végtelen nagy nyíró- és normálmerevség˝u folytonos rudat, míg a

90

3. FEJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK MF (0.7)MF

(0.3)MF

MF

merev

N−1

N−1

ρ EI=

1

M

1

8

ρ

M merev

(0.7)MF

(0.3)MF

3.24. ábra. Az egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló és a támaszvonalában terhelt, kéttámaszú, csak nyírási deformációra képes rúd közötti, a triviális egyensúlyi út kis környezetében érvényes analógia szemléltetése F

F

F

F

F

MF

N

EI=

1

8

ρ

M

3.25. ábra. Az egyirányban terhelt, alsó csomopontjainál megtámasztott rugalmas rúdháló és a befogott, szabad végén tengelyirányban terhelt, csak nyírási deformációra képes rúd közötti, a triviális egyensúlyi út kis környezetében érvényes analógia szemléltetése

rugalmas rúdháló (a triviális út körül) a végtelen nagy normál- és hajlítómerevség˝u folytonos rudat adja. Az itt tett megállapítások természetesen csak síkbeli vizsgálatra vonatkoznak. A fejezet elején említettük, hogy M = 1 esetén a rugalmas rúdháló rúdlánccá fajul. Kössük össze az egymás felett lév˝o széls˝o oszlopokat páronként spirálrugókkal! Ekkor az M = 1 eset rugalmas rúdláncot ad, M > 1 esetén pedig egy olyan módosított rugalmas rúdhálót kapunk, mely továbbra is végtelen nagy hajlító és véges nyírómerevség˝u.

91


A fejezet eredményeit összefoglalva kimondhatjuk az értekezés 5. tézisét: 5. tézis. Az egyirányban terhelt, N szintes rugalmas rúdhálókkal kapcsolatban • kimutattam a vizsgált fix és fix-görg˝os megtámasztású esetekre az egyensúlyi konfigurációkban rejl˝o globális permutációs szimmetriát, és felhasználtam azt az egyensúlyi állapotok számítása során, • megmutattam, hogy egyetlen fix támasz esetén az egyensúlyi helyzetek száma exponenciálisan függ a szintek számától, viszont növekedési üteme független az oszlopsorok számától, és ezt a viselkedést a spirálrugók speciális el˝ofeszítése sem befolyásolja, • megmutattam, hogy a vizsgált fix és fix-görg˝os megtámasztású esetekben a triviális egyensúlyi úton nemzérus teher és N > 2 esetén fellép˝o egyetlen elágazásnál a potenciális energia függvényének (N − 2)-es csúcskatasztrófa típusú pontja van, • megmutattam, hogy azok a csak nyírási deformációra képes rúd diszkrét mechanikai modelljének tekinthet˝ok a triviális egyensúlyi út infinitezimálisan kicsiny környezetében.

92

4. FEJEZET. AZ EREDMÉNYEK ÖSSZEFOGLALÁSA, TÉZISEK

4. fejezet Az eredmények összefoglalása, tézisek Az értekezésben a térbeli káosz diszkrét mechanikai rendszerekben való megjelenésével foglalkoztunk. El˝oször a nemkonzervatív terhelésnek és a nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedésnek a stabilitásvesztésre gyakorolt hatását tisztáztuk rugalmas rúdláncok síkbeli kihajlásának leírása során. Ezt követ˝oen egy kétdimenziós tartományon értelmezett diszkrét mechanikai modell, a rugalmas rúdháló síkbeli kihajlását vizsgáltuk. Az értekezés 2. fejezetében arra kerestük a választ, hogy megjelenhet-e térbeli káosz nemkonzervatív teher hatására is, illetve hogy az egyensúlyi konfigurációk számítására felírható peremérték-feladatnak megfelel˝o kezdetiérték-feladat, mint dinamikai rendszer, disszipatív-e vagy sem. Els˝o lépésként a bevezetés 1.1.2. pontjában bemutatott Euler-kihajlás diszkrét mechanikai modelljét a 2.1. szakaszban úgy módosítottuk, hogy a görg˝os támasznál a támaszvonalba es˝o hatásvonalú, konzervatív er˝o helyett egy nemkonzervatív követ˝oer˝ot m˝uködtettünk a szerkezetre. Ennek a vizsgálatnak az eredményei és [45] alapján megfogalmazható az 1. tézis. Megmutattam, hogy a kéttámaszú rugalmas rúdlánc síkbeli kihajlásának vizsgálata egy nemkonzervatív teher, a követ˝oer˝o alatt is területtartó leképezésre vezet. Rámutattam, hogy az egyensúlyi helyzeteket rendszerez˝o bifurkációs diagram topológiailag ekvivalens a támaszvonalában potenciálos er˝ovel terhelt feladatéval. Az, hogy egy adott nemkonzervatív er˝o vizsgálata területtartó leképezésre vezetett, azt a kérdést vetette fel, hogy lehet-e olyan konzervatív vagy nemkonzervatív er˝ot m˝uködtetni egy (akár nemlineárisan) rugalmas rúdláncra, mellyel a kihajlásra felírt peremérték-feladatnak megfelel˝o kezdetiérték-feladat disszipatív. A 2.2. szakaszban bemutatott, általános er˝ovel terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc részletes vizsgálatával arra jutottunk, hogy terhelést˝ol és anyagi nemlinearitástól függetlenül az egyensúlyi helyzeteket leíró peremértékfeladatban szerepl˝o leképezés minden esetben területtartó, így az annak megfelel˝o kezdetiértékfeladat disszipatív hatásoktól mentes. Ezen eredmények és [46] alapján megfogalmazható a 2. tézis. Megmutattam, hogy az általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdláncok egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletei területtartó leképezésre vezetnek a terhelést˝ol és az anyagi nemlinearitástól függetlenül. A diszkrét mechanikai modell síkbeli kihajására felírt peremérték-feladatnak minden esetben egy disszipatív hatásoktól mentes, diszkrét idej˝u kezdetiérték-feladat feleltethet˝o meg. 93


Mindeddig hiányzott a térbeli káosznak olyan definíciót adni, ami véges hosszúságú, akár többdimenziós tartományon minden esetben és viszonylag egyszer˝uen alkalmazható. A dinamikai rendszerekre kidolgozott módszerek közvetlenül nem használhatók, mivel a peremértékfeladat tartománya véges, míg a kaotikus dinamikai rendszereket jellemz˝o mennyiségek végtelen hosszú id˝ore vannak értelmezve. A dinamikai rendszerek elméletében használatos topologikus entrópia segítségével sikerült megfelel˝o definíciót találni. A 2.3. szakaszban kimutattuk, hogy az általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzetei és a megfelel˝o dinamikai rendszer periodikus pályái között egyértelm˝u kapcsolat áll fenn. Így ha a megfelel˝o dinamikai rendszer periodikus pályáinak száma exponenciálisan függ a periódus hosszától, vagyis kaotikus, topologikus entrópiája pozitív, akkor az egyensúlyi helyzetek száma is exponenciálisan függ a tartomány hosszától (rúdelemek számától). Az ilyen peremértékfeladatokat nevezzük térben kaotikusnak. A 2.3. szakaszban foglaltak és [46] cikk alapján ez a következ˝o tézisben fogalmazható meg: 3. tézis. Megmutattam, hogy egy általánosan terhelt, N elem˝u, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc minden egyes egyensúlyi konfigurációjához egyértelm˝uen hozzárendelhet˝o a megfelel˝o diszkrét idej˝u dinamikai rendszer egy-egy 4N +2 periódus hosszú periodikus pályája. Azt javaslom, hogy egy peremérték-feladatot akkor nevezzünk térben kaotikusnak, ha megoldásainak száma exponenciálisan függ az értelmezési tartomány kiterjedését˝ol/kiterjedéseit˝ol, és az exponens pozitív. Az értekezésben vizsgált peremérték-feladatokra alkalmaztam ezt a definíciót, és a rugalmas rúdláncokra megmutattam, hogy az exponens a megfelel˝o dinamikai rendszer topologikus entrópiájával arányos mennyiség, a teherparaméter természetes alapú logaritmusa. Mivel a kaotikus, területtartó leképezésekre vezet˝o feladatok viselkedését a kaotikus dinamikában konzervatív káosznak szokás hívni [67], a rugalmas rúdláncoknál megfigyelt térben kaotikus viselkedést konzervatív térbeli káosznak neveztük el. Térben kaotikus feladatokra a bifurkációs diagramon a teherparaméter növelésével nagy számú egyensúlyi út megjelenése, valamint bonyolult egyensúlyi konfigurációk létezése jellemz˝o. A 2.4. szakaszban az egyensúlyi utak bifurkációs pontjaira adtunk analitikus számítási módszert. A triviális egyensúlyi úton lév˝o elágazásokat részletesen vizsgáltuk az értekezésben szerepl˝o térben kaotikus viselkedést mutató konzolos és kéttámaszú rugalmas rúdláncoknál. Ennek eredményei és részben [46] cikk alapján kimondható a következ˝o tézis: 4. tézis. Megmutattam, hogy egy terheletlen állapotban vízszintes, N elem˝u rugalmas rúdlánc triviális egyensúlyi útja • konzolos esetben – a szabad végen ható vízszintes er˝o alatt nyomóer˝onél, pontosan N – a csuklókon ható azonos nagyságú vízszintes er˝ok alatt nyomóer˝onél, legfeljebb N – vízszintes megoszló er˝o alatt zérus • kéttámaszú esetben a görg˝os támasznál m˝uköd˝o követ˝oer˝o hatására nyomóer˝onél, pontosan N − 1 94


pontban ágazik el. Az értekezés utolsó részében egy két lényeges térbeli kiterjedés˝u szerkezet, a rugalmasan kapcsolt merev rúdelemekb˝ol álló négyzetháló, röviden rugalmas rúdháló síkbeli kihajlását vizsgáltuk. Csak egyirányú, egyparaméteres terheléssel, fix, illetve fix-görg˝os megtámasztásokkal és el˝ofeszítetlen, illetve speciálisan el˝ofeszített lineáris spirálrugókkal foglalkoztunk. Célunk az egyensúlyi helyzetek számítása volt, valamint annak mérése, hogyan függ az egyensúlyi helyzetek számának növekedési üteme a rúdháló kiterjedéseit˝ol. Numerikus vizsgálatot csak az egyetlen fix támasszal ellátott rugalmas rúdhálónál végeztünk a spirálrugók speciális el˝ofeszítésével és anélkül. A megoldások száma exponenciálisan n˝ott bizonyos teherérték felett, de a növekedés ütemét csak az egyik, a terhelés iránya menti kiterjedés befolyásolta, tehát a szerkezet viselkedése csak e kiterjedés mentén térben kaotikus. Az egyensúlyi utak bifurkációinak vizsgálatából arra jutottunk, hogy a triviális út egyetlen pontban ágazik el a terhelés folyamán. Megvizsgáltuk ennél az elágazásnál a katasztrófa típusát is. A fejezet utolsó részében rámutattunk a rugalmas rúdháló és a csak nyírási deformációra képes rúd rokon viselkedésére. Ezek alapján kimondható az utolsó, 5. tézis. Az egyirányban terhelt, N szintes rugalmas rúdhálókkal kapcsolatban • kimutattam a vizsgált fix és fix-görg˝os megtámasztású esetekre az egyensúlyi konfigurációkban rejl˝o globális permutációs szimmetriát, és felhasználtam azt az egyensúlyi állapotok számítása során, • megmutattam, hogy egyetlen fix támasz esetén az egyensúlyi helyzetek száma exponenciálisan függ a szintek számától, viszont növekedési üteme független az oszlopsorok számától, és ezt a viselkedést a spirálrugók speciális el˝ofeszítése sem befolyásolja, • megmutattam, hogy a vizsgált fix és fix-görg˝os megtámasztású esetekben a triviális egyensúlyi úton nemzérus teher és N > 2 esetén fellép˝o egyetlen elágazásnál a potenciális energia függvényének (N − 2)-es csúcskatasztrófa típusú pontja van, • megmutattam, hogy azok a csak nyírási deformációra képes rúd diszkrét mechanikai modelljének tekinthet˝ok a triviális egyensúlyi út infinitezimálisan kicsiny környezetében. Az értekezésben bemutatott módszerek, eredmények a jöv˝oben diszkrét és folytonos mechanikai modellek bonyolult térbeli alakjainak vizsgálatához nyújthatnak megfelel˝o alapot, elméleti hátteret. Ilyen, jellemz˝oen a posztkritikus tartományba es˝o, térben kaotikus viselkedés nagy jelent˝oséggel bír a biológia terén, például makromolekulák, DNS és RNS térbeli konfigurációinak leírása során [9–11, 20, 52–53]. Ezen hosszú, karcsú, láncszer˝u, szekvenciafügg˝o mechanikai tulajdonságú molekuláknál a diszkrét modell közelebb állhat a valósághoz, mint az egyébként gyakran alkalmazott folytonos modellek, melyek a molekulát kontinuumnak tekintik. Mérnökibb alkalmazások között említhet˝ok például a tengeri- illetve fúrókábelek feltekeredésének problémái [33, 36]. A diszkrét modell sokszor a valósághoz közelebb álló megoldásokat szolgáltathat a mérnöki gyakorlatban is, mint a folytonos; gondoljunk csak a kapcsolatok lokális merevség csökkent˝o/növel˝o hatására, a szerkezeti anyagok inhomogenitására, vagy a 95


geometria tökéletlenségére. Vigyázni kell azonban, mert a – sokszor elkerülhetetlen – diszkretizálás folyamán olyan megoldások léphetnek fel nagy számban a posztkritikus tartományban, melyek nem hozhatók összefüggésbe a folytonos modell egyetlen megoldásával sem. Ilyen, úgynevezett parazitamegoldásokat figyeltek már meg peremérték-feladatok végeselemes modellezésénél is [38], melyek elkerülésében fontos szerepet játszhatnak vizsgálataink. A rugalmas rúdháló az épít˝omérnöki gyakorlatban (a konkrét feladatnak megfelel˝oen megtámasztva és terhelve) rugalmas keretszerkezetek globális síkbeli stabilitásvesztésének vizsgálatára szolgálhat, feltéve, hogy a gerendák és az oszlopok merevebbek a kapcsolatoknál. Ezen kívül a rugalmas rúdháló (kis elmozdulások esetén) kapcsolatba hozható nyírási deformációra képes rúd stabilitásvizsgálatával is. Alkalmazható a rúdháló – akár térbeli kihajás számbavételével – kihajlási mintázatok, illetve horpadási feladatok diszkrét modellezésére is. Folyó kutatásaink vannak a kétirányban, kétparaméteres terheléssel terhelt rugalmas rúdhálók terén. Eddigi el˝ozetes eredményeink alapján ebben az esetben a térbeli kaotikus viselkedés mindkét térbeli kiterjedés mentén megjelenik. Rugalmas rúdláncokkal kapcsolatos jöv˝obeni kutatásaink tárgyát képezi a véges nyíró- és normálmerevség számbavétele, valamint a térbeli kihajlás, és az ennek során várhatóan megjelen˝o térbeli káosz vizsgálata. Ez igen fontos lenne a biológia területén, ahol olyan óriásmolekulákat, mint például a DNS, eleddig csak végtelen nagy nyíró- és normálmerevség˝u (diszkrét vagy folytonos) rúdmodellekkel vizsgáltak [9–11, 58, 69]. holott a nyírási alakváltozás szerepe is igen jelent˝os lehet. A Pittsburgh-i Egyetem Matematika Tanszékének kutatóival közösen jelenleg a DNS néhány bázispár hosszúságú diszkrét mechanikai modelljét vizsgáljuk. Kérdés, hogy milyen stabilitásvesztési állapotok jöhetnek létre, és ezekhez milyen alakok tartoznak különböz˝o peremfeltételek mellett és kinematikai terhek alatt. Ezek eredményei összevethet˝ok laborkísérletekkel, és magyarázatul szolgálhatnak a molekula némely meglep˝o viselkedésére, például arra, hogy húzás hatására még jobban megcsavarodik, illetve túlcsavarás hatására megnyúlik. Fontos megjegyezni, hogy az értekezésben vizsgált mechanikai modellek posztkritikus viselkedése mérnöki szempontból igen bonyolultnak t˝unik, a biológia szemszögéb˝ol viszont ezek a lehet˝o legegyszer˝ubb modellek, melyek mélyebb megértésével közelebb kerülhetünk a makromolekulák bonyolult térbeli megjelenésének feltérképezéséhez is.

96

SUMMARY AND THESES

Summary and Theses Summary Postcritical behaviour of discrete and continuous bar structures is relevant in case of imperfection sensitivity in engineering practice, but it also plays an important role in biology when spatial configurations of macromolecules are investigated. Biological filaments, like DNA, (bio)polymers, or tendrils, and engineering structures, like marine cables and drill strings may exhibit complicated spatial patterns. For the investigation and characterization of such spatially complex configurations, chaos theory can provide useful tools. This phenomenon of spatially complex behaviour of structures was lately called spatial chaos, although it still does not have a general definition. Here we derive and organize equilibrium configurations of simple, one and two dimensional discrete mechanical models considering large displacements. The aim of the dissertation is to characterize and more deeply understand spatial chaotic behaviour. The main goal is to give such a definition of spatial chaos which can be fairly easily used for boundary value problems defined on one or more dimensional finite domain. We start with discussing the buckling problem of a simply supported elastic linkage loaded by a follower load. It is shown, that the related initial value problem is area-preserving. Then we investigate a clamped non-linear elastic linkage under general loading and prove, that the related initial value problem is non-dissipative in every case. We prove, that every equilibrium configuration of the clamped non-linear elastic linkage under general loading is uniquely connected to a periodic orbit of the corresponding dynamical system. Based on this observation, we suggest, that a boundary value problem should be called chaotic, if the number of solutions depends exponentially on the extent of the domain, and the exponent—the topological entropy of the corresponding dynamical system—is positive. Bifurcation analysis of the elastic linkage is carried out for the clamped case under various loads and for the simply supported case loaded by a follower force. The buckling problem of a two dimensional structure, the elastic web of links is studied in the second part of the dissertation. The web is supported by a fixed hinge in one case and by a fix hinge and a roller in another case. In both cases, the web is loaded in one direction. The equilibrium configurations are obtained using the simplex algorithm based on piecewise linearisation. Bifurcations of the trivial equilibrium path is analyzed. Finally, the similar behaviour of the elastic web of links and the unbendable, unstretchable rod is pointed out for infinitesimally small displacements.

97

SUMMARY AND THESES

Theses 1.. Thesis. The buckling problem of the simply supported elastic linkage under a nonconservative loading, the follower force was shown to correspond to an area preserving initial value problem. The bifurcation diagram was pointed out to be topologically equivalent to the one related to the discrete model of the Euler-buckling. 2.. Thesis. The buckling problem of a clamped, non-linear elastic linkage under a general loading was proven to lead to an area preserving mapping independent of the loading being potential or not and of the non-linear material behaviour. The boundary value problem of the discrete mechanical model always corresponds to a non-dissipative initial value problem with discrete time variable. 3.. Thesis. Every equilibrium configuration of an N element, clamped, non-linear elastic linkage under a general loading is uniquely associated with a periodic orbit of length 4N + 2 of the corresponding initial value problem. We suggest that a boundary value problem should be identified as spatially chaotic if the number of solutions depends exponentially on the extent(s) of the domain and the exponent is positive. This definition was applied for the boundary value problems discussed here. In case of the elastic linkages the exponent was found to be proportional to the topological entropy of the corresponding initial value problem, it is the natural logarithm of the load parameter. 4.. Thesis. The number of bifurcation points on the trivial equilibrium path of an N element, initially straight, horizontal elastic linkage • clamped at one end – loaded by a horizontal force at the free end is exactly N under compression, – loaded by equal horizontal forces at the hinges is at most N under compression, – loaded by horizontal distributed load on the elements is zero, • with a fix support and a roller at the ends loaded by a horizontal force at the roller is exactly N under compression. 5.. Thesis. In case of the vertically loaded N storey elastic web of links • supported by a fix hinge and a fixed hinge and a roller, a global permutation symmerty was found and utilised for the numerical computation of the equilibrium configurations, • supported by a fix hinge, the number of equilibrium configurations was numerically measured to depend exponentially on N , but to be independent of the other extent of the web, • supported either by a fixed hinge or by a fixed hinge and a roller, there exists an N − 2tuple cups catastrophy at the single non-trivial bifurcation point of the trivial path, • the analogy with the unbendable, unstretchable elastic rod was shown in the infinitesimally small neighbourhood of the trivial equilibrium state. 98

KÖSZÖNET

Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretném megköszönni témavezet˝omnek, Károlyi Györgynek fáradhatatlan és türelmes munkáját, bizalmát, tör˝odését. A BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszéke doktoranduszaként nyugodt és felkészült környezetben dolgozhattam, amiért a tanszék összes munkatársát köszönet illeti. Külön köszönettel tartozom Gáspár Zsolt tanszékvezet˝onek, mert bármikor fordulhattam hozzá kérdésekkel, mindig szívesen fogadott. Külön köszönöm Németh Róbert rengeteg segítségét, a rendelkezésemre bocsátott programjait, ötleteit, az értekezéssel kapcsolatos épít˝o kritikáit. Tarnai Tibor és Kovács Flórián sok hasznos tanáccsal és észrevétellel járult hozzá az értekezéshez, amiért ezúton is köszönetem fejezem ki. Popper Györgyhöz matematikával kapcsolatos kérdésekben fordulhattam bármikor. Tanulmányaim során remek oktatókhoz volt szerencsém. Köszönetet szeretnék mondani (a teljesség igénye nélkül) a pedagógiai munkájáért Béda Gyulának, Heged˝us Istvánnak, Kollár Lászlónak, Kurutzné Kovács Mártának, Rózsa Pálnak és Stépán Gábornak. Köszönetemet fejezem ki az OTKA F 042476 és az OTKA-NKTH K 068415 anyagi támogatásáért. A Magyar Állami Eötvös Ösztöndíjjal lehet˝oségem nyílt négy hónapot a Pittsburgh-i Egyetemen tölteni David Swigon mellett. Végül, de nem utolsó sorban nagyon köszönöm családom lelki és anyagi támogatását.

99

FÜGGELÉK

A. Függelék Részletes bizonyítások A.1.

Konzolos rugalmas rúdláncok egyensúlyi helyzetei és a megfelel˝o dinamikai rendszer periodikus pályái

Ebben a szakaszban az általános er˝ovel terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc tartományának kiterjesztésével a 2.3.1. pontban tett állításainkat bizonyítjuk. Feltesszük, hogy a csuklóknál lév˝o spirálrugókban ébred˝o nyomaték az ott lév˝o relatív szögelfordulás egyegyértelm˝u, páratlan függvénye. Foglalkozzunk el˝oször a 2.3.1. pont A állításával! Az A állítás els˝o része j = 1 esetén igaz, mivel (2.15) alapján v0 = H1 ,

p0 = V1 ,

r0 = m 1 ,

w0 = H1 c1 tan α0 ,

q0 = V1 c1 ,

továbbá (2.16) segítségével v−1 = 0, p−1 = 0, r−1 = 0, w−1 = 0, M0 (α0 − α−1 ) + w−1 + q−1 + r−1 = 0.

q−1 = 0,

Tehát M0 (α0 − α−1 ) = 0, ami csak akkor lehet, ha α0 = α−1 , mivel feltettük, hogy Mi páratlan és egy-egyérték˝u. Tegyük fel, hogy az állítás j = m esetén igaz, tehát α−m = αm−1 ! A (2.16) ötödik egyenlete és (2.23) alapján belátható, hogy p−j−1 = −

j X

V−k+1 =

j X

Vk = pj−1 .

(A.1)

k=1

k=1

Hasonló módon (2.16) negyedik tagjából v−j−1 = vj−1 , hatodik tagjából r−j−1 = −rj−1 összefüggések adódnak (2.23) figyelembe vételével. Belátható (2.16) nyolcadik egyenletéb˝ol az is,

100

FÜGGELÉK

hogy qj =

j+1 X

Vk ck +

j X

ℓl+1 pl−1 cos αl , illetve

l=1

k=1

q−j−1 = −

j X

(A.2)

(V−k+1 c−k+1 + ℓ−k+1 p−k−1 cos α−k ) .

k=1

Az (A.2) második összefüggése (2.23) és (A.1) számbavételével az alábbi egyenl˝oséget adja j = m esetén: q−m−1 = − = − = −

m X

k=1 m X

k=1 m X k=1

(Vk ck − Vk ℓk cos α−k + ℓk pk−1 cos α−k ) = Vk ck − Vk ℓk cos α−k + ℓk Vk ck −

m−1 X l=1

k X l=1

Vl

!

cos α−k

!

=

ℓl+1 pl−1 cos α−l−1 = −qm−1 .

Teljesen analóg módon belátható az is, hogy w−m−1 = −wm−1 . A (2.16) leképezés harmadik egyenlete i = m és i = −m helyettesítésekkel: Mm (αm − αm−1 ) + wm−1 + qm−1 + rm−1 = 0, M−m (α−m − α−m−1 ) + w−m−1 + q−m−1 + r−m−1 = 0. Adjuk össze a fenti két egyenletet! Mm (αm − αm−1 ) = −M−m (α−m − α−m−1 ). Mivel Mm egy-egyérték˝u, páratlan függvény, valamint (2.23) kiterjesztés miatt Mm = M−m , a fenti egyenl˝oség csak akkor teljesül, ha αm − αm−1 = −(α−m − α−m−1 ). A feltétel értelmében α−m = αm−1 , így α−m−1 = αm , vagyis az állítás j = m + 1 esetén is igaz. Ezzel az A állítás els˝o felét igazoltuk. Az A állítás második és harmadik része már következik a geometriából. Nézzük most az A állítás második részét, az yj = −y−j összefüggést! Ez j = 1 esetén igaz, mivel a (2.16) második egyenlete alapján y0 = y−1 +ℓ0 sin α−1 , illetve y1 = y0 +ℓ1 sin α0 , viszont a peremfeltétel miatt y0 = 0, a kiterjesztés alapján ℓ0 = ℓ1 , valamint beláttuk, hogyα0 = α−1 . Ezek következtében −y−1 = y1 . Tegyük fel, hogy az állítás j = m esetén igaz! A (2.16) leképezés második egyenlete i = −m és i = m + 1 helyettesítésekkel, figyelembe véve a már bizonyított α−m = αm−1 összefüggést, azt, hogy ℓ−m = ℓm+1 a kiterjesztés miatt, valamint az ym = −y−m feltételt: y−m = y−m−1 + ℓ−m sin α−m−1 , ym+1 = ym + ℓm+1 sin αm = −y−m + ℓ−m sin α−m−1 . 101

FÜGGELÉK A fenti két egyenletet kivonva egymásból belátható, hogy ym+1 = −y−m−1 , tehát az állítás j = m + 1 esetén is igaz. Az A állítás második részét is igazoltuk. Teljesen analóg módon belátható, hogy A harmadik része is igaz: j = 1 esetén (2.16) els˝o egyenlete alapján x0 = x−1 + ℓ0 cos α−1 , illetve x1 = x0 + ℓ1 cos α0 , viszont a peremfeltétel miatt x0 = 0, valamint α0 = α−1 és ℓ0 = ℓ1 , melyek következtében −x−1 = x1 . Tegyük fel, hogy az állítás j = m esetén igaz! A (2.16) els˝o egyenlete i = −m és i = m + 1 esetén, a már bizonyított α−m = αm−1 összefüggés, az xm = −x−m feltétel, valamint ℓ−m = ℓm+1 figyelembevételével az alábbiakra vezet: x−m = x−m−1 + ℓ−m cos α−m−1 , xm+1 = xm + ℓm+1 cos αm = −x−m + ℓ−m cos α−m−1 . A fenti két egyenletet kivonva egymásból adódik, hogy xm+1 = −x−m−1 , tehát az állítás j = m + 1 esetén is igaz. Ezzel az A állítást teljes egészében igazoltuk. A továbbiakban a 2.3.1. pont B állításait bizonyítjuk az ott megadott (2.24) kiterjesztések mellett. Nézzük el˝oször a B állítás els˝o felét j = 1 esetén! (2.16) hatodik, hetedik és nyolcadik egyenlete i = N helyettesítéssel, a bevezetett kiterjesztések és az αN = 0 peremfeltétel figyelembevételével: rN = rN −1 + mN +1 = rN −1 , wN = wN −1 + ℓN +1 vN −1 sin αN + HN +1 cN +1 tan αN = wN −1 , qN = qN −1 + ℓN +1 pN −1 cos αN + VN +1 cN +1 = qN −1 . A (2.16) harmadik egyenlete i = N és i = N + 1 helyettesítésekkel: MN (αN − αN −1 ) + wN −1 + qN −1 + rN −1 = 0, MN +1 (αN +1 − αN ) + wN + qN + rN = 0. A fenti két egyenletet kivonva egymásból: MN (αN − αN −1 ) = MN +1 (αN +1 − αN ). Ebb˝ol következik, hogy αN +1 = −αN −1 , mivel Mi egy-egyértelm˝u, páratlan, (2.24) alapján MN = MN +1 , illetve a peremfeltétel miatt αN = 0. Tegyük fel, hogy a B állítás j = m esetén igaz! (2.15) ötödik összefüggése i = N + j és i = N − j + 1 helyettesítésekkel: N +j

pN +j−1 =

X

Vk =

k=1

N −j+1

pN −j =

Vk + VN +1 +

Vl = −pN −1 +

X

Vk =

k=N +2

VN +k+1 ,

k=1

Vk =

k=1

= pN −1 −

X

l=N +2

j−1

X

N +j

N +j

k=1

= −pN −1 + X

N X

N X k=1

j−1 X

Vk −

N X

l=N −j+2

N +j

Vl = pN −1 −

X

Vk =

k=N +2

VN −k+1 ,

k=1

(A.3) 102

FÜGGELÉK tehát pN +j−1 = −pN −j . Ehhez hasonlóan belátható, hogy vN +j−1 = vN −j és rN +j−1 = rN −j . A (2.16) utolsó egyenlete i = N + m és i = N − m − 1 helyettesítésekkel: qN +m =

N +m+1 X

Vj cj +

j=1

=

N X

ℓk+1 pk−1 cos αk =

k=1

Vj cj +

j=1

+

N +m X

m X

VN +k+1 cN +k+1 +

k=0

N X

ℓl+1 pl−1 cos αl +

= −ℓN +1 pN −1 +

qN −m−1 =

N X

Vj cj +

j=1

+

N −m−1 X

m X

l=1

ℓN +n+1 pN +n−1 cos αN +n ,

VN −k+1 cN −k+1 +

k=1


m X

ℓN −n+1 pN −n−1 cos αN −n =

n=0

= −ℓN +1 pN −1 + N X

m X

ℓk+1 pk−1 cos αk =

l=1

+

VN +k+1 cN +k+1 +

k=1

k=1

Vj cj −

N X

Vj cj +

j=1

m X

n=1

j=1

=

N X


l=1 N −m X

N X

ℓN +n+1 pN +n−1 cos αN +n =

n=1

l=1

+

m X

N X

Vj cj +

j=1

m X

VN −k+1 cN +k+1 +

k=1

ℓl+1 pl−1 cos αl −

m X

ℓN −n+1 pN −n cos αN −n ,

n=1

tehát qN +m = qN −m−1 . Ugyanígy igazolható, hogy wN +m = wN −m−1 is teljesül. Ezek után (2.16) harmadik egyenlete i = N + m + 1 és i = N − m helyettesítésekkel: MN +m+1 (αN +m+1 − αN +m ) + wN +m + qN +m + rN +m = 0, MN −m (αN −m − αN −m−1 ) + wN −m−1 + qN −m−1 + rN −m−1 = 0. A fenti két egyenletet kivonva egymásból azt kapjuk, hogy MN +m+1 (αN +m+1 − αN +m ) = MN −m (αN −m −αN −m−1 ), ami Mi egy-egyértelm˝u, páratlan volta és (2.24) miatt csak akkor lehet, ha αN +m+1 − αN +m = αN −m − αN −m−1 . A feltétel értelmében viszont αN −m = −αN +m , így αN +m+1 = −αN −m−1 , tehát az összefüggés j = m+1 esetén is fennáll, vagyis B els˝o része igaz.

103

FÜGGELÉK A B állítás második része az yN −j = yN +j+1 összefüggés. Ez j = 0 esetén igaz. Ennek ellen˝orzésére felírjuk (2.16) második egyenletét i = N + 1 esetén: yN +1 = yN + ℓN +1 sin αN = yN , mivel αN = 0 a peremfeltétel miatt. Tegyük fel, hogy az állítás j = m − 1 esetén is igaz! Felhasználva az el˝oz˝oleg bizonyított αN −m = −αN +m összefüggést, a rúdelemek hossza közti ℓN +m+1 = ℓN −m+1 kapcsolatot, valamint azt, hogy a feltétel értelmében yN −m+1 = yN +m , (2.16) második egyenlete i = N + m + 1 és i = N − m + 1 értékeknél: yN +m+1 = yN +m + ℓN +m+1 sin αN +m , yN −m+1 = yN −m + ℓN −m+1 sin αN −m = yN −m − ℓN +m+1 sin αN +m . A fenti két egyenletet összeadva látható, hogy yN +m+1 = yN −m , így az állítás j = m esetén is igaz. Ezzel a B állítás második részét is bizonyítottuk. A B állítás harmadik, xN +j+1 = 2xN − xN −j + ℓN +1 összefüggésének igazolása hasonló módon megy. Az állítás j = 0 esetén igaz, mert (2.16) els˝o egyenlete i = N + 1 esetén: xN +1 = xN + ℓN +1 cos αN = xN + ℓN +1 . mivel αN = 0 a peremfeltétel miatt. Tegyük fel, hogy az állítás j = m − 1 esetén is igaz! Felhasználva az el˝oz˝oleg bizonyított αN −m = −αN +m összefüggést, az ℓN +m+1 = ℓN −m+1 kapcsolatot, valamint azt, hogy a feltétel értelmében xN +m = 2xN − xN −m+1 + ℓN +1 , (2.16) els˝o egyenlete i = N + m + 1 és i = N − m + 1 értékeknél: xN +m+1 = xN +m + ℓN +m+1 cos αN +m , xN −m+1 = xN −m + ℓN −m+1 cos αN −m = xN −m + ℓN +m+1 cos αN +m . A fenti két egyenletet kivonva egymásból kijön, hogy xN +m+1 = 2xN − xN −m + ℓN +1 , tehát az állíás j = m-re is igaz. Ezzel a B állításainak bizonyítását befejeztük.

104

FÜGGELÉK

A.2.

A J mátrix sajátértékei

Az alábbiakban a JN −1 , csupa 1-es elem˝u (N − 1)-edrend˝u mátrix sajátértékeit számítjuk ki. A sajátértékeket a 1−Λ 1 1 · · · 1 1 1 − Λ 1 ··· 1 ··· ··· ··· · · · = 0. det(JN −1 − ΛEN −1 ) = · · · (A.4) ··· · · · · · · · · · · · · 1 1 1 ... 1 − Λ

karakterisztikus polinom gyökei adják. Egy mátrix determinánsa nem változik, ha valamelyik oszlopának (vagy sorának) számszorosát hozzáadjuk egy másik oszlopához (vagy sorához) [7], [62]. Vonjuk le az N −1-edik (utolsó) sorból az N −2-edik, az N −2-edik sorból az N −3-adik sort és így tovább 1-ig! Az így kapott 1−Λ 1 1 1 · · · 1 1 1 Λ −Λ 0 0 ··· 0 0 0 0 Λ −Λ 0 · · · 0 0 0 0 0 Λ −Λ · · · 0 0 0 ··· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 0 · · · Λ −Λ 0 0 0 0 0 ··· 0 Λ −Λ

mátrixot elimináljuk tovább az oszlopok szerint. Adjuk hozzá az N − 1-edik (utolsó) oszlophoz az N − 2-edik, az N − 2-edik oszlophoz az N − 3-adik oszlopot és így tovább 1-ig! Az eredményül kapott (N − 1 − Λ) (N − 2) (N − 3) · · · 3 2 1 0 −Λ 0 ··· 0 0 0 0 0 −Λ ··· 0 0 0 ··· ··· ··· · · · · · · · · · · · · (A.5) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 0 −Λ 0 0 0 0 ··· 0 0 −Λ

fels˝oháromszög mátrix determinánsa a f˝oátlóbeli elemek szorzata [7, 62] így det(JN −1 − ΛEN −1 ) = (N − 1 − Λ)(−Λ)N −2 = 0.

(A.6)

Az (A.6) polinomnak egyszeres gyöke a Λ = N − 1, valamint N − 2-szeres gyöke a Λ ≡ 0.

105

FÜGGELÉK

A.3.

Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló potenciális energia függvényének szétválasztása a kritikus pontban

Ebben a szakaszban a (3.7) függvény szétválasztását [47, 61] végezzük el annak β = 0, λ = λkr2 degenerált kritikus pontjában. El˝oször Taylor-sorba fejtjük a függvényt a λkr2 = 4(M − 1)/M rögzített teherparaméter mellett a β = 0 pontban és a negyednél magasabb fokú tagokat elhagyjuk: N −1 M −1 X 4 V (β) = β −c 3! j=1 j 4

N −1 X

βj

j=1

!2

+ 4(M − 1)(N − 1),

ahol c = 2(M − 1)/(N − 1). Egy inhomogén lineáris transzformációval eltoljuk a stacionárius pontot az origóba: 4

f (β) = V (β) − 4(M − 1)(N − 1) = !2 N −1 N −1 X M −1 X 4 = β −c βj . 3! j=1 j j=1 A függvény gradiense: 

     grad(f ) =     

2 (M 3

−

2 (M 3

− 1)β23 − 2c

1)β13

− 2c

······ 2 (M 3

NP −1 j=1 NP −1

βj βj

j=1

3 − 1)βN −1 − 2c

NP −1 j=1

βj



     ,    

mely a β = 0 pontban zérus, tehát az stacionárius pont. A második parciális deriváltakból képzett Hesse-mátrix egy diagonális és egy telimátrix összegeként felírva:   2(M − 1)β12 0 0 ··· 0   0 2(M − 1)β22 0 · · · 0   t  − 2cJN −1 , · · · · · · · · · · · · · · · HN −1 =      ··· ··· ··· ··· ··· 2 0 0 0 · · · 2(M − 1)βN −1

ahol JN −1 egy olyan N − 1-edrend˝u mátrix, melynek minden eleme 1. A Hesse-mátrix rangcsökkenése a β = 0 pontban N − 2, ennyi aktív változó van. 106

FÜGGELÉK

A szétválasztás lépései [47] alapján a következ˝ok. El˝oször egy homogén lineáris transzformációval elérjük, hogy a Hesse-mátrix diagonális legyen. Ehhez implicite definiáljuk az x = [x1 , x2 , ..., xN −1 ] új változókat az alábbiak szerint: x1 =

N −1 X

βj ,

j=1

xl = βl ,

l = 2, 3, · · · , N − 1.

Így a vizsgált függvény f (x) =



M −1 x1 − 3!

N −1 X

xk

k=2

!4

+

N −1 X k=2



x4k  − cx21

alakú, melyb˝ol képzett Hesse-mátrix minden eleme zérus, kivéve a f˝oátlójának els˝o elemét, az −2c. Következ˝o lépésként egy homogén lineáris transzformációval elérjük, hogy ennek az egy nemzérus elemnek az abszolútértéke 2 legyen. Ehhez definiáljuk az y = [y1 , y2 , ..., yN −1 ] új változókat az alábbiak szerint: √ y1 = x1 c, yl = xl , l = 2, 3, · · · , N − 1. Így a vizsgált függvény: f (y) = −y12 + F4 (y),

(A.7)

ahol F4 (y) =



√ M −1 y1 / c − 3!

N −1 X

yk

k=2

!4

+

N −1 X k=2



yk4  .

Az (A.7) függvényb˝ol képzett Hesse-mátrix minden eleme zérus, kivéve a f˝oátlójának els˝o elemét, az −2. Fejtsük ki az F4 függvényben lév˝o hatványozást a binomiális tétel [7] segítségével! !4 N −1 N −1 (N − 1)2 4 M − 1 X M −1 X 4 F4 (y) = yk − yk + y + 24(M − 1) 1 6 6 k=2 k=2  N −1 3  N −1 2 NP −1 P P (A.8) 3 2 y1 yk  y1 y1 yk yk  M −1  k=2 k=2 k=2 √ −6 +4 − 4 , 3/2 6  c c  c

Távolítsuk el az (A.8) függvényb˝ol az olyan negyedfokú tagokat, melyben az y1 passzív változó szerepel! Ehhez összegy˝ujtjük az (A.8) y1 -et is tartalmazó tagjait és a következ˝o alakba írjuk o˝ ket: Q1 = −2y1 R1 (y), 107

FÜGGELÉK

ahol 

2

NP −1

yk y1 y1 (N − 1)2 3 M − 1   k=2 R1 (y) = y + −6 4 48(1 − M ) 1 12  c3/2

N −1 P

yk

k=2

c

2

+4

Az így definiált R1 függvénnyel az

u1 = y1 + R1 (y), ul = yl , l = 2, 3, · · · , N − 1

N −1 P

yk √ c

k=2

3 

  . 

(A.9)

transzformáció az f függvényt az f = −u21 + F5 (y) alakba transzformálja, ahol F5 (y) = F4 (y) − Q1 (y) + R12 (y), ami még a régi változók függvénye. R12 hatodfokú tagokból áll, így elhagyható. Q1 az y változók negyedfokú függvénye, így az (A.9) transzformáció inverzét elegend˝o az els˝o fokszámig meghatározni, mivel annak magasabb fokú tagjait visszahelyettesítve Q1 -be negyedfokúnál magasabb fokú tagokat kapunk, amiket elhagyunk. Az uj = yj (j = 1, 2, · · · , N − 1) transzformációval az f függvény N −1 M −1 X 4 M −1 f (u) = −u21 + u + 3! k=2 k 3!

N −1 X

uk

k=2

!4

alakú, melyben a másodfokú tag a passzív változó függvénye (labilis Morse-nyereg), harmadfokú tagok nincsenek, a negyedfokú tagok pedig csak az aktív változók függvényei. Végezetül legyen v 1 = u1 , r v l = ul

4

M −1 , 3!

l = 2, 3, · · · , N − 1,

így az f függvény végs˝o alakja: f (v) = −v12 +

N −1 X

vk4 +

k=2

108

N −1 X k=2

vk

!4

.

FÜGGELÉK

A.4.

Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló triviális egyensúlyi útjának elágazása

Az α ≡ 0, β ≡ 0, µ ≡ 0 triviális megoldása a (3.25) egyenletrendszernek tetsz˝oleges λ teherparaméter mellett. A triviális megoldások alkotta triviális egyensúlyi útnak az elágazási pontjában ezen túl (3.24) második parciális deriváltjaiból alkotott Hesse-mátrixának determinánsa zérus. A Hesse-mátrix determinánsának kifejtését és a kritikus teherparaméter meghatározását Németh Róbert munkája alapján mutatjuk be. Az a = 4(N − 1), b = 4(M − 1) − M λ jelölések bevezetésével a Hesse-mátrix a triviális egyensúlyi úton a következ˝o alakban írható fel:   a 0 ... 0 -4 -4 . . . -4 0  0 a ... 0 -4 -4 . . . -4 0     ... ... ... ... ... ... ... ... ...     0 0 ... a -4 -4 . . . -4 0    , -4 -4 . . . -4 b 0 . . . 0 1 (A.10) HtM ×N =     -4 -4 . . . -4  0 b ... 0 1    ... ... ... ... ... ... ... ... ...     -4 -4 . . . -4 0 0 ... b 1  0 0 ... 0 1 1 ... 1 0 ahol a folytonos vonallal jelölt blokkok mérete a bal fels˝ot˝ol indulva:

(M − 1) × (M − 1), (M − 1) × (N − 1), (M − 1) × (1), (N − 1) × (M − 1), (N − 1) × (N − 1), (N − 1) × (1), (1) × (M − 1), (1) × (N − 1), (1) × (1). Egy mátrix determinánsának értékét nem befolyásolja, ha egy sorának (vagy oszlopának) számszorosát egy másik sorához (vagy oszlopához) adjuk [7, 62]. Adjuk hozzá az utolsó sor négyszeresét az els˝o, a második, . . . , az M − 1-edik sorhoz! Adjuk hozzá az utolsó oszlopo négyszeresét az els˝o, a második, . . . , az N − 1-edik oszlophoz! Az eredményül kapott (N + M − 1)edrend˝u mátrix blokkosan felírva: A 0 . 0T C Itt A = aEM −1 , ahol EM −1 az (M − 1)-edrend˝u egységmátrix, 0 egy (M − 1) × N -es zérusmátrix és P q C= qT 0 N -edrend˝u mátrix, ahol P = bEN −1 , és q = J(N −1)×1 egy (N − 1) elem˝u, csak 1-eseket tartalmazó vektor. Mivel az N = 1 esettel nem foglalkozunk, a 6= 0 és det(A) 6= 0, így a HtM +N −1 determinánsát kiszámolhatjuk a hipermátrixok determinánsára vonatkozó alábbi képletb˝ol [62]: det(HtM +N −1 ) = det(A) det C − 0T A−1 0 = det(A) det(C). 109

FÜGGELÉK A fenti determináns csak akkor lehet zérus, ha det(C) = 0. A C determinánsát egyszer˝u alakban írhatjuk fel. Vonjuk le C els˝o oszlopát a többi oszlopából az utolsó kivételével! Vonjuk le az így kapott mátrix utolsó el˝otti sorát az az el˝otti sorokból, majd az eredményül kapott mátrix utolsó el˝otti, (N − 1)-edik oszlopához adjuk hozzá a második, harmadik, negyedik, . . . , (N − 2)-edik oszlopát! Az így kapott   b -b . . . -b -(N-1)b 0  0 b ... 0 0 0      ... ... ... ... . . . . . . ˆ =  C  0 0 ... b 0 0     0 1  0 ... 0 b 1 0 ... 0 0 0 mátrix determinánsa megegyezik C determinánsával:

ˆ = −(N − 1)bN −2 . det(C) = det(C) (A kifejtést célszer˝u az utolsó sor szerint végezni, majd az így kapott aldeterminánst az utolsó oszlop, végül az így kapott aldeterminánst szintén az utolsó oszlop szerint kifejteni, ekkor ˜ = (−1)2N −2 (1 − N )bbN −3 .) A C mátrix determinánsa így csak akkor zérus, ha b = 0, det(C) ami (N − 2)-szeres gyöke a karakterisztikus polinomnak. A triviális útról való elágazáshoz tartozó kritikus teherparaméter a b = 4(M − 1) − M λ = 0 feltételb˝ol számítható: λkr = 4

M −1 . M

A triviális úton elágazás tehát egyetlen pontban van.

110

IRODALOMJEGYZÉK

Irodalomjegyzék [1] S. Albeverio, I.L. Nizhnik: Spatial chaos in a fourth-order nonlinear parabolic equation. Physics Letters A 288 (2001) 299–304. [2] E. L. Allgower, K. Georg: Numerical Continuation Methods: an Introduction SpringerVerlag, Berlin, 1990. [3] S.S. Antman, Nonlinear problems of elasticity. Springer, New York, 1995. [4] H.M. Ådland, A. Mikkelsen: Brownian dynamics simulations of needle chain and nugget chain polymer models—rigid constraint conditions versus infinitely stiff springs. Journal of Chemical Physics 120 (2004) 9848–9858. [5] M. Beck: Die knicklast des einseitig eingespannten, tangential gedrückten stabes. Z. Angew. Math. Phys. 3 (1952) 225–228. [6] N.M. Bou-Rabee, L.A. Romero, A.G. Salinger: A multiparameter, numerical stability analysis of a standing cantilever conveying fluid. SIAM Journal of Applied Dynamical Systems 1 (2002) 190–214. [7] I. N. Bronstein, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: Matematikai kézikönyv. TypoTEX Kiadó, Budapest, 2000. [8] Á. Budó: Mechanika. Nemzeti Tankonyvkiadó, Budapest, 1979. [9] B.D. Coleman, I. Tobias, D. Swigon: Theory of the influence of end conditions on selfcontact in DNA loops. Journal of Chemical Physics 103 (1995) 9101–9109. [10] B.D. Coleman, D. Swigon, I. Tobias: Elastic stability of DNA configurations. II. Supercoiled plasmids with self-contact. Physical Review E 61 (2000) 759–770. [11] B.D. Coleman, W.K. Olson, D. Swigon: Theory of sequence-dependent DNA elasticity. Journal of Chemical Physics 118 (2003) 7127–7140. [12] M.A. Davies, F.C. Moon: 3D spatial chaos in the elastica and the spinning top: Kirchhoff analogy. Chaos 3 (1993) 93–99. [13] A. Dhar, D. Chaudhuri: Triple minima in the free energy of semiflexible polymers. Physical Review Letters 89 (2002) 065502. 111

IRODALOMJEGYZÉK

[14] G. Domokos: Computer experiments with elastic chains. Newsletter of the Technical University of Budapest 9 (1991) 14–26. [15] G. Domokos, P. Holmes: Euler’s problem, Euler’s method, and the standard map; or, the discrete charm of buckling. Journal of Nonlinear Science 3 (1993) 109–151. [16] G. Domokos, P. Holmes: On non-inflectional solutions of non-uniform elasticae. International Journal of Non-Linear Mechanics 28 (1993) 677–685. [17] G. Domokos, Zs. Gáspár: A global, direct algorithm for path-following and active static control of elastic bar structures. Int. J. of Structures and Machines 23 (1995) 549–571. [18] G. Domokos: Static solitary waves as limits of discretization: a plausible argument. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 355 (1997) 2099–2116. [19] G. Domokos, P. Holmes, and B. Royce: Constrained Euler Buckling. Journal of Nonlinear Science 7 (1997) 281–314. [20] G. Domokos: Térbeli komplexitás és a DNS. Közgy˝ulési el˝oadások. Magyar Tudományos Akadémia, Budapest (2000) 151–178. [21] G. Domokos, T. Healey: Hidden symmetry of global solutions in twisted elastic rings. Journal of Nonlinear Science 11 (2001) 47–67. [22] G. Domokos, I. Szeberényi: A Hybrid Parallel Approach to Nonlinear Boundary Value Problem. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences (2004) 15–34. [23] V.M. Eguíluz, E. Hernández-García, O. Piro, S. Balle: Frozen spatial chaos induced by boundaries. Physical Review E 60 (1999) 6571–6579. [24] M.S. El Naschie: On the susceptibility of local elastic buckling to chaos. ZAMM 70 (1990) 535–542. [25] L. Euler: Additamentum I de curvis elasticis, methodus inveniendi lineas curvas maximi minimivi proprietate gaudentes. Bousquet, Lausanne (1744). Reprinted in Opera Omnia I 24 231–297. [26] K. Falconer: Fractal geometry: Mathematical foundations and applications. Wiley, Chichester, 1990. [27] Zs. Gáspár, G. Domokos: Global investigation of discrete models of the Euler buckling problem. Acta Technica Acad. Sci. Hung. 102 (1989) 227–238. [28] Zs. Gáspár, G. Domokos, I. Szeberényi: A parallel algorithm for the global computation of elastic bar structures. CAMES 4 (1997) 55–68. [29] Zs. Gáspár, R. Németh: Discrete model of twisted rings. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences 11 (2004) 211–222. 112

IRODALOMJEGYZÉK

[30] Zs. Gáspár: Mechanical models for the subclasses of catastrophes. In: M. Pignataro, V. Gioncu (eds) Phenomenological and mathematical modelling of structural instabilities, CISM Courses and Lectures No.470 Springer, Wien, New York (2005) 277–336 [31] A. Goriely, M. Tabor: Spontaneous helix hand reversal and tendril perversion in climbing plants. Physical Review Letters 80 (1998) 1564–1567. [32] A. Goriely, M. Tabor: The nonlinear dynamics of filaments. Nonlinear Dynamics 21 (2000) 101-133. [33] S. Goyal, N. C. Perkins, C. L. Lee: Nonlinear dynamics and loop formation in Kirchhoff rods with implications to the mechanics of DNA and cables. Journal of Computational Physics 209 (2005) 371–389. [34] C. Grebogi, S.W. McDonald, E. Ott, J.A. Yorke: Exterior dimension of fat fractals. Physics Letters A 110 (1985) 1–4. [35] I. Heged˝us: Analysis of lattice single layer cylindrical structures. Journal of Space Structures 2 (1986) 87–89. [36] G. H. M. van der Heijden: The static deformation of a twisted elastic rod constrained to lie on a cylinder. Proc. Roy. Soc. Lond. A 457 (2001) 695–715. [37] P. Holmes: The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table. Journal of Sound and Vibration 84 (1982) 173–189. [38] G.W. Hunt, R. Lawther, P. Providência E Costa: Finite element modelling of spatially chaotic structures. International Journal for Numerical Methods in Engineering 40 (1997) 2237–2256. [39] S. Kaliszky, M. Kurutzné Kovács, Gy. Szilágyi: Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. [40] E. Kapsza, Gy. Károlyi, S. Kovács, G. Domokos: Regular and random patterns in complex bifurcation diagrams. Discrete and Continuous Dynamical Systems B 3 (2003) 519–540. [41] Gy. Károlyi: Examination of spatial chaotic equilibrium states of chains. PhD dissertation, Budapest University of Technology and Economics, 1998. [42] Gy. Károlyi, G. Domokos: Symbolic dynamics of infinite depth: finding global invariants for BVPs. Physica D 134 (1999) 316–336. [43] Gy. Károlyi: Létezik-e térbeli káosz? Locsolócs˝o és DNS. Természet Világa 134 (2003) 440–443. (In Hungarian) [44] G. Kirchhoff: Über das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes. Crelle J. für Reine angew. Math. 56 (1859) 285–313.

113

IRODALOMJEGYZÉK

[45] A. Kocsis, Gy. Károlyi: Buckling under nonconservative load: conservative spatial chaos. Periodica Polytechnica Ser. Civ. Eng. 49/2 (2005) 85–98. [46] A. Kocsis, Gy. Károlyi: Conservative spatial chaos of buckled elastic linkages. Chaos 16 (2006) 033111/1–7. [47] L. Kollár: A mérnöki stabilitáselmélet különleges problémái. Akadémiai Kiadó, Budapest, 2006. [48] I. Korányi: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965. [49] A.J. Lichtenberg, M.A. Liebermann: Regular and stochastic motion. Springer, New York, 1982. [50] B.B. Mandelbrot: The fractal geometry of Nature. Freeman, New York, 1977. [51] Meiss, J. D: Symplectic Maps, Variational Principles, and Transport. Reviews of Modern Physics 64 (1992) 795–848 [52] B. Mergell, M.R. Ejtehadi, R. Everaers: Modeling DNA structure, elasticity, and the deformations at the base-pair level. Physical Review E 68 (2003) 021911. [53] C. Micheletti, J.R. Banavar, A. Maritan: Conformation of proteins in equilibrium. Physical Review Letters 87 (2001) 088102. [54] A. Mielke, P. Holmes: Spatially complex equilibria of buckled rods. Archives of Rational Mechanics and Analysis 101 (1988) 319–348. [55] R. Németh: Zárt görbévé hajlított, csavart rúd alakmeghatározásának néhány kérdése PhD értekezés, Budapesti M˝uszaki és Gazdaságtudományi egyetem, 2004. [56] R. Németh: One dimension away from the simplex algorithm. preprint, 2008. [57] S. Newhouse, T. Pignataro: On the estimation of topological entropy. J. Stat. Phys. 72 (1993) 1331–1351. [58] W.K. Olson, D. Swigon, B.D. Coleman: Implications of the dependence of the elastic properties of DNA on nucleotide sequence. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 362 (2004) 1403–1422. [59] H.O. Peitgen, D. Saupe, K. Schmitt: Nonlinear elliptic boundary value problems versus their finite difference approximations: numerically irrelevant solutions. Crelle Journal für die Reine und Angewandte 322 (1981) 74–117. [60] Gy. Popper: The Beck stability problem for visco-elastic bars. Periodica Polytechnica Ser. Civ. Eng. 20 (1976) 135–147.

114

IRODALOMJEGYZÉK

[61] T. Poston, I. Stewart: Katasztrófaelmélet és alkalmazásai. M˝uszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985. [62] Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. [63] J. Samual, S. Sinha: Elasticity of semiflexible polymers. Physical Review E 66 (2002) 050801(R). [64] Zs. Szabó: Nonlinear vibrations of parametrically excited complex mechanical systems. PhD dissertation, Budapest University of Technology and Economics, 2001. [65] Zs. Szabó: Nonlinear analysis of a cantilever pipe containing pulsatile flow. Meccanica 38 (2003) 161–172. [66] T. Tél: Fractals, multifractals and thermodynamics (an introductory review). Z. Naturforsch A 43 (1988) 1154–1174. [67] T. Tél, M. Gruiz: Kaotikus dinamika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002. [68] J.M.T. Thompson, L.N. Virgin: Spatial chaos and localization phenomena in nonlinear elasticity. Physics Letters A 126 (1988) 491–496. [69] I. Tobias, D. Swigon, B.D. Coleman: Elastic stability of DNA configurations. I. General theory. Physical Review E 61 (2000) 747–758. [70] Yu. V. Zakharov, K. G. Okhotkin: Nonlinear bending of thin elastic rods. Journal of Applied Math. and Technical Physics 43 (2002) 739–744.

115

Térbeli káosz diszkrét mechanikai rendszerekben: rugalmas rúdláncok és rugalmas rúdhálók

Recommend Documents