4 MSÚ prvky namáhané ohybem a smykem

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem

4 MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem 4.1 Ohybová výztuž Obvykle navrhujeme jednostranně vyztužený průřez, zcela mimořádně oboustranně vyztužený průřez. Návrh výztuže lze provést buď přímým výpočtem, nebo pomocí tabulek (viz Příloha P1 – rovnoměrně rozdělené napětí betonu, popř. Příloha P2 – parabolicko-rektangulární rozdělení napětí betonu), u desek při uvažování b = 1 m. Při návrhu podélné výztuže se určuje nutná plocha výztuže v průřezech s maximálními hodnotami podporových a mezipodporových momentů. Podporové momenty je možné redukovat – viz kap. 3.2. U monolitických konstrukcí by měly být průřezy v krajních podporách vyztuženy na ohybový moment vznikající z částečného upnutí prvku, pokud zde bylo předpokládáno prosté uložení. Velikost podporového momentu se uvažuje nejméně jako 0,25 násobek hodnoty ohybového momentu v přilehlém poli. Při návrhu výztuže je třeba dodržet konstrukční zásady (viz kap. 4.4).

Obr.4.1 Obdélníkový průřez jednostranně vyztužený

4.1.1 Obdélníkový průřez jednostranně vyztužený Postup návrhu podélné výztuže a posouzení únosnosti  Dáno o geometrie: b, h, krycí vrstva c (určena podle zásad uvedených v kap. 2 při volbě profilu podélné výztuže s a profilu třmínku st) o materiály: beton – návrhová hodnota pevnosti v tlaku fcd, pro rovnoměrné rozdělení tlakového napětí (obr. 4.1) uvažujeme  a   = 1,0 a  = 0,8 pro betony s fck  50 MPa (4.1)  = 1,0 – (fck – 50)/200 ;  = 0,8 – (fck – 50)/400 pro fck > 50 MPa (4.2) mezní poměrné přetvoření εcu,3 (εcu,3 = 0,0035 pro betony s fck  50 MPa), ocel – návrhová hodnota meze kluzu fyd.  Dále předpokládáme, že v MSÚ je napětí v tahové výztuži σs1 = fyd (ocel je plně využita) a rovnoměrné rozdělení tlakového napětí v betonu.  Postup návrhu tahové výztuže v obdélníkovém průřezu je uveden na obr. 4.2. 41

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Start MEd , třída betonu, výztuž

f ck

f cd   cc

 bal,1

,

f yd 

f yk

C S f yd  cu3   yd   cu3   yd , Es ne

Použití tab. v příloze P1x) ano



Přímý výpočet

x

M Ed b  d 2   f cd

x   bal,1 d

Z tab.  ;  ne

Zvětšit výšku průřezu , ev. navrh tlač. výztuže

ne

   

Zvětšit výšku průřezu, ev. návrh tlač. výztuže

ano

   bal,1

As1,req 

ano

As1,req 

As,min 

2M Ed d 1  1    b  d 2    f cd

b  d   f cd  2M Ed 1  1   f yd b  d 2    f cd 

M Ed

  d  f yd

0 ,26  f ctm  b  d  0,0013  b  d f yk

As,max  0 ,04  b  h

As1,req  A s, min

ne

As1,req  As,max

ne

Zvětšit výšku průřezu , ev. návrh tlač. výztuže

ano

As1,req  As, max ano

As1  As1, req Kontrola konstrukčních zásad

Obr. 4.2 Vývojový diagram návrhu tahové výztuže v obdélníkovém průřezu 42

   


Poznámka: V případě užití lineární analýzy s redistribucí nebo plastické analýzy je požadavek na omezení výšky tlačené oblasti přísnější a kontroluje se hodnota x   d  xu viz kap. 3.3.

Za předpokladu parabolicko-rektangulárního rozdělení napětí v tlačeném betonu lze použít tabulek uvedených v Příloze P2. Postup je obdobný jako v předchozím, ale pro třídy betonu vyšší než C50/60 jsou uvedeny samostatné tabulky.

 Posouzení únosnosti o případná úprava účinné výšky d (při změně profilů , příp. st) o výpočet výšky tlačené oblasti v MSÚ za předpokladu rovnoměrně rozděleného napětí v tlačeném betonu stanovíme z rovnováhy sil v tlačeném betonu a tahové výztuži:

x

As1 f yd b λ η f cd

o kontrola omezení x (viz výše)  případná změna návrhu o výpočet momentu únosnosti MRd = As1 fyd (d – 0,5 x) o kontrola podmínky spolehlivosti MRd  MEd

(4.3)

(4.4) (4.5)

4.1.2 Obdélníkový průřez oboustranně vyztužený Oboustranně vyztužený průřez je vyztužen podélnou tahovou výztuží plochy As1 a tlakovou výztuží plochy As2 (viz obr. 4.3). Při splnění podmínky omezující hodnotu x by průřez vyztužený pouze tahovou výztuží vykazoval moment únosnosti menší než je daná hodnota MEd. Dalšími důvody návrhu tlačené výztuže je zvýšení duktility prvku, vyšší rotační kapacita. Vliv tlakové výztuže se příznivě projeví též částečnou eliminací dotvarování a smršťování betonu a tím menšími průhyby ohýbaných nosníků s oboustranným vyztužením. Tlakovou výztuž je třeba opatřit třmínky jako u tlačených sloupů.

Obr. 4.3 Oboustranně vyztužený průřez

43

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Při návrhu výztuže lze vycházet z průřezu jednostranně vyztuženého s maximální únosností při splnění normových požadavků na výšku tlačené oblasti – označme hodnotu momentu únosnosti v tomto případě MRd,max. Platí tedy ξ = ξbal,1, případně ξ = xu/d (označme tuto hodnotu ξmax). S přidanou tahovou i tlakovou výztuží stejné plochy As (viz obr. 4.4b) se nemění výška tlačené oblasti a zvýší se moment únosnosti.

a)

b)

Obr. 4.4 Návrh výztuže oboustranně vyztuženého průřezu (při fck  50MPa,  = 1,0  = 0,8)  Návrh výztuže o výpočet plochy As tahové výztuže pro ξ = ξmax z rovnice rovnováhy sil (viz obr. 4.4a) a hodnoty odpovídajícího momentu únosnosti MRd,max

As = ξmax d b  fcd / fyd

(4.6)

MRd,max = ξmax d b  fcd (d – 0,5 ξmax d)

(4.7)

o výpočet nutné plochy přídavné výztuže As vychází z podmínky spolehlivosti

MRd,max + MRd = MEd

(4.8)

kde MRd = As · fyd · (d – d2), při předpokladu plného využití tlakové výztuže (σs2 = fyd)  ΔAs 

(4.9) M Ed  M Rd,max f yd ( d  d 2 )

(4.10)

o návrh tahové a tlakové výztuže

As1 ≥ As + As

(4.11)

As2 ≥ As

(4.12)

 Posouzení únosnosti o případná úprava účinné výšky d (při změně profilů , příp. st) o výpočet výšky tlačené oblasti v MSÚ z rovnováhy sil v tlačeném betonu, tlakové a tahové výztuži za předpokladu využití veškeré výztuže v MSÚ (σs1 = σs2 = fyd)

44

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem ( As1  As2 ) f yd

x

(4.13)

b   fcd

ξ=x/d o kontrola předpokladu σs1 = fyd; musí platit   bal,1 (resp, x xu)  pokud není omezení splněno, je třeba zvětšit průřez, nebo uvažovat beton vyšší pevnostní třídy, popř. navrhnout větší plochu tlačené výztuže o kontrola předpokladu s2 = fyd; musí platit: d    bal,2 2 (4.14) d kde bal,2 = cu,3 / (cu,3 – yd) (4.15)  pokud vztah (4.14) platí, předpoklads2 = fyd je splněn, hodnota x je platná;  pokud není splněn vztah (4.14), napětí s2 < fyd a jeho hodnotu je třeba spolu s hodnotou výšky tlačené oblasti x stanovit z rovnice rovnováhy (4.16) a geometrické výminky (4.17), vyplývající z poměrného přetvoření (viz obr. 4.3): b  x  fcd + As2 s2 = As1 s1 (4.16)

εcu,3 x

σ /E = s2 s x  d2

 x, s2

o výpočet momentu únosnosti MRd = b·· x·· fcd (d – 0,5 ·  · x) + As2 · s2 · (d – d2) o kontrola podmínky spolehlivosti MRd  MEd

(4.17) (4.18)

4.1.3 T průřez V oblasti, kde je deska tlačená, lze zjednodušeně uvažovat rovnoměrné rozdělení napětí v oblasti spolupůsobící šířky beff. Nutným předpokladem pro zajištění spolupůsobení desky a trámu je zajištění dostatečné smykové únosnosti mezi stojinou a přilehlými deskami vyztužením podélnou i příčnou výztuží. Spolupůsobící šířku desky u trámů T a L lze stanovit ze vztahů (3.7), (3.8a), (3.8b).

 Postup posouzení T průřezu vyztuženého tahovou výztuží o výpočet hodnoty x z rovnice rovnováhy sil: x

As1 f yd beff   fcd

(4.19)

o kontrola předpokladu x ≤ hf (4.19a)  pokud je předpoklad x ≤ hf splněn, hodnota x je platná a další postup posouzení je stejný jako pro obdélníkový průřez šířky b = beff včetně kontroly omezení výšky tlačené oblasti (viz kap.4.1.1); při stanovení minimální plochy výztuže je však třeba jako šířku tažené části betonu bt uvažovat hodnotu bw;  pokud předpoklad splněn není, neutrální osa prochází stojinou průřezu a hodnota x se stanoví ze vztahu (4.20), (viz obr. 4.5). (beff – bw) hf  fcd + bw x  fcd = As fyd

(4.20) 45


Obr. 4.5 T průřez, neutrální osa prochází stojinou (při fck  50MPa  =1,0  = 0,8) Dále vypočteme moment únosnosti MRd z momentové výminky k těžišti výztuže (ramena sil viz obr. 4.5). o Kontrola podmínky spolehlivosti MRd  MEd. Poznámka: Nad středními podporami spojitých trámů T průřezu by měla být tahová výztuž rozmístěna na spolupůsobící šířce beff ; větší část výztuže se však doporučuje koncentrovat v šířce trámu (viz obr. 4.6).

Obr. 4.6 Rozmístění výztuže Smykovou únosnost příruby lze stanovit při uvažování příruby jako soustavy tlakových diagonál kombinovaných s táhly tvořenými tahovou betonářskou výztuží (viz obr. 4.7). Podélné smykové napětí ve spojení příruby se stěnou lze učit ze změny podélné normálové síly v uvažované části příruby

Ed = Fd / (hf x) kde hf je tloušťka příruby v místě připojení;

46

x

uvažovaná délka viz obr. 4.7;

Fd

změna normálové díly v přírubě na délce x.

(4.21)

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem A

Fd Fd

b eff

x sf

f

A

A hf

B

Fd + Fd A sf Fd + Fd bw

A – tlakové diagonály B – podélný prut zakotvený za průsečíkem s tlakovou diagonálou

Obr. 4.7 Model pro posouzení spojení příruby se stěnou Délku x lze předpokládat rovnou polovině vzdálenosti mezi průřezem s nulovým ohybovým momentem a průřezem s maximálním ohybovým momentem. Pokud působí osamělá břemena, nesmí x přestoupit vzdálenost mezi osamělými břemeny. Plochu příčné betonářské výztuže na jednotku délky připojení stanovíme ze vztahu: (Ast fyd / st)  Ed hf / cotf

(4.22)

avšak, aby bylo zabráněno rozdrcení tlakových diagonál v přírubě, musí být splněna podmínka

Ed   sin f cot f

(4.23)

Doporučené hodnoty jsou: 1,0  cot f  2,0 pro tlačené příruby (45° f  26,5°) 1,0  cot f  1,25 pro tažené příruby (45° f  38,6°)

 = 0,6 (1 – fck / 250), fck v MPa Pokud však je Ed  0,4 fctd, nepožaduje se větší výztuž než je nutná pro přenesení příčného ohybového momentu.

47


4.2 Smyková výztuž Trámy musí být opatřeny alespoň konstrukční smykovou výztuží, tj. třmínky podle zásad uvedených v kap. 4.4.2. Při návrhu smykové výztuže výpočtem musí minimálně 50 % nutné smykové výztuže tvořit třmínky. Ohyby se navrhují spíše výjimečně. Při návrhu smykové výztuže po vzniku trhlin se používá model analogického příhradového nosníku (viz obr. 4.8).

Obr. 4.8 Výpočtový model příhradoviny a průběh sil v tlačeném a taženém pásu

4.2.1 Podmínky spolehlivosti  Únosnost betonu ve smyku smykovou výztuž nemusíme navrhovat výpočtem pokud platí | VEd | ≤ VRd,c

48

(4.24)

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem VRd,c = [0,18 / C k (100  l fck)1/3 + 0,15 cp] bw d

(4.25a)

při minimu

VRd,c = (vmin + k1cp) bwd

(4.25b)

kde fck je v MPa

k = 1

l =

200  2, 0 kde d je v mm d

Asl  0, 02 bw d

plocha tahové výztuže, která zasahuje do vzdálenosti  (lbd + d) za posuzovaný průřez směrem k podpoře (viz obr. 4.36); bw nejmenší šířka průřezu v tažené oblasti [mm]; cp = NEd / Ac < 0,2 fcd [MPa]; NEd normálová síla v průřezu od zatížení nebo předpětí [v N] (NEd > 0 pro tlak); AC plocha betonového průřezu [mm2].

Asl

vmin = 0,035k3/2 · fck1/2

(4.26)

U předpjatých konstrukcí hodnota VRd,c viz ČSN EN 1992-1-1 [11]. Pokud neplatí vztah (4.24), musíme navrhnout výztuž. Před vlastním návrhem výztuže nejprve ověříme únosnost tlakových diagonál.

 Únosnost tlakových diagonál | VEd | ≤ VRd,max VRd,max   cw f cd bw z

(4.27) cot 1  cot 2 

(4.28)

kde VRd,max je návrhová hodnota únosnosti tlakových diagonál; cw = 1,0 pro nepředpjatý beton, pro předpjatý viz ČSN EN 1992-1-1 [11];

= 0,6 (1 – fck / 250), fck v MPa; bw z



(4.29)

nejmenší šířka průřezu mezi tlačeným a taženým pásem; rameno sil v průřezu, lze uvažovat hodnotu z = 0,9d; úhel sklonu tlakových diagonál: 1 ≤ cot ≤ 2,5.

 Únosnost smykové výztuže v šikmé trhlině (trhlina má stejný sklon  jako tlaková diagonála) | VEd | ≤ VRd,s

(4.30)

kde VRd,s je návrhová hodnota únosnosti smykové výztuže v šikmé trhlině.

49

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Pro železobetonové prvky konstantní výšky se smykovou výztuží tvořenou pouze svislými třmínky (obr. 4.9) se vypočte smyková únosnost podle vztahu:

VRd,s 

Asw  f ywd s

z cot 

kde Asw = n (sw2/4) je plocha všech větví jednoho třmínku; n střižnost; sw průměr třmínku; osová vzdálenost třmínků v podélném směru; s z cot průmět šikmé smykové trhliny (viz obr. 4.9).

(4.31) (4.32)

Obr. 4.9 Trám s dvoustřižnými třmínky; šikmá smyková trhlina

4.2.2 Postup návrhu smykové výztuže Dále je uveden postup návrhu svislých třmínků pro železobetonové trámy konstantního obdélníkového průřezu namáhané ohybem a smykem (bez působících normálových sil a krouticích momentů).

 Dáno – geometrie, materiály (beton, ocel), navržena podélná výztuž (viz kap. 4.1).  Volba kvality oceli třmínků (návrhová hodnota meze kluzu fywd), profilu třmínků sw a střižnosti n; tedy plocha Asw = n (sw2/4), přičemž střižnost se volí s ohledem na podmínku (4.50).  Volba úhlu tlakových diagonál  (viz obr. 4.9) pro návrh hospodárné smykové výztuže, tj. třmínků s největší možnou vzdáleností, lze vycházet z předpokladu max. hodnoty cot = 2,5.  Kontrola podmínky (4.24), přičemž pro zvolenou max. hodnotu cot = 2,5 má únosnost tlakových diagonál minimální hodnotu: min (VRd,max) =  fcd bw z 2,5 / (1 + 2,52) = 0,345 fcd bw z

(4.28a)

o pokud platí | VEd | ≤ min (VRd,max), je předpoklad cot = 2,5 oprávněný o pokud | VEd | > min (VRd,max), hodnota cot se určí dosazením výrazu (4.28) do podmínky (4.27): 50

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem VEd   f cd z

cot  1  cot 2 

 cot

o

pokud 1 ≤ cot ≤ 2,5, vypočtená hodnota cot platí a je možno navrhnout smykovou výztuž (vyhovuje velikost průřezu a kvalita betonu);

o

pokud cot < 1,0 je třeba změnit návrh prvku (průřez, kvalitu betonu) a případně znovu navrhovat podélnou výztuž podle kap. 4.1.

 Stanovení nutné vzdálenosti třmínků s v rozhodujícím průřezu ze vztahů (4.30) a (4.31), přičemž rozhodující průřez pro návrh smykové výztuže prvku s přímým spojitým zatížením lze uvažovat ve vzdálenosti d za lícem podpory (viz obr. 4.10, průřez 1), u nepřímého zatížení (např. zavěšení) se uvažuje průřez v líci podpory (na obr. 4.10 průřez 0), při nepřímém uložení do podporujícího nosníku se bezpečně uvažuje průřez v teoretické podpoře. s

o

Asw f ywd z cot VEd

(4.33)

pokud vypočtená vzdálenost s nesplňuje vztah (4.49), lze uvážit případnou změnu profilu třmínků st (volbu menšího profilu) a nový návrh vzdálenosti podle (4.33); obdobně postupujeme v případě nesplnění podmínky (4.51) a (4.52) při následné kontrole stupně vyztužení smykovou výztuží.

Obr. 4.10 Určení rozhodujících průřezů pro návrh smykové výztuže prvku s přímým spojitým zatížením, kde Δl = z cot  Třmínky musí vyhovovat podmínkám (4.49), (4.50) a vyhovovat omezení stupně smykového vyztužení (4.51) a (4.52). 51

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Poznámka: Návrh třmínků pro jednotlivá pole nosníku se provede pro maximální hodnoty posouvajících sil u podpor (v průřezech 1, resp. 0); z důvodu hospodárnosti lze v oblastech navrhovat odstupňovanou slabší výztuž (uvažované průřezy viz obr. 4.10). Ve všech částech nosníku je nutno dodržet konstrukční zásady.

Posouzení zda průřez přenese posouvající sílu bez smykové výztuže a případný návrh smykové výztuže jsou uvedena ve vývojovém diagramu na obr. 4.11 a 4.12. Start Geometrie nosníku, průběh VEd , NEd Třída betonu

f cd   cc

Smyková výztuž f ywd 

f ck

C

f ywk

Profil hlavní výztuže 

S

k  1  200 / d  2 ,0

l  Asl /( bw d )  0 ,02  cp  N Ed /(b w h )  0 ,2 f ck 1/ 2  min  0,035 k 3 / 2  f ck

VRd, c

k 1  0,15  0 ,18   k (100  l )1/ 3  0,15  cp b w d    C V Rd,cm  ( min  k1  cp ) b w d VRd, c  VRd, cm

ne

VRd, c  VRd, cm

ano

VEd  VRd, c

ne

Návrh smykové výztuže

Vývojový diagram D2 smyk

ano Návrh minimální smykové výztuže

1 1  ) 4 3 st  0,75 d  600 mm

Volím profil třmínku sw  ( Volím

střižnost třmínků n

Asw  n

2  sw

4

 w,min  (0 ,08 f ck ) / f yk s

Asw

s , min bw

smax  0 ,75 d  400 mm s  s max

ne

s  smax

ano Konec

Obr. 4.11 Vývojový diagram D1 – smyk posouzení a návrhy minimální smykové výztuže 52

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Start Geometrie nosníku, průběh VEd Třída betonu

f cd   cc

f ck

C

f ywd 

Smyková výztuž



f ck   250 

f ywk

S

sw

Profil třmínků



,   0 ,61 

Střižnost n → dle vzdálenosti větví st

s t,max  0,75 d  600 mm ne

s t  s t, max

Úprava n

ano

Asw  n

2  sw

4

z  0 ,9 d cot   2 ,5



V Rd, max   f cd b w z cot  / 1  cot 2 

V Ed

max

ne

 V Rd,max

Asw f ywd V Ed,1

Výpočet cot ze vztahu:



VEd max   f cd bw z cot  / 1  cot 2  cot   1

ano

s req 



ne



Úprava průřezu (zvětšit d, b w)

ano

z cot 

s max  0, 75d  400 mm s req  s max

ne

ano Nová volba

sw

ano

Asw  n

2  sw

4

ne Volíme

Volíme

s  sreq

s  s max

 w  Asw /( s b w )  w, min  ( 0,08 f ck / f yk  w   w,min

ne

Nová volba s

ano Konec

Obr. 4.12 Vývojový diagram D2 – návrh smykové výztuže 53


4.3 Protlačení V případě lokálního podepření je třeba ověřit odolnost desky na účinky protlačení v oblasti podpory (viz obr. 4.13).

Obr. 4.13 Porušení protlačením Při výpočtu odolnosti se vychází ze zavedení tzv. základního kontrolovaného obvodu u1, který je ve vzdálenosti 2,0 d od zatěžované plochy. Tento obvod je třeba uvažovat tak, aby jeho délka byla minimální (viz obr. 4.14). Účinná výška desky se předpokládá konstantní d = (dy + dz) / 2. Pro desky s konstantní výškou je základní kontrolovaný průřez kolmý na střednicovou rovinu desky. Posouzení smyku při protlačení se provádí v líci sloupu (na rozdrcení betonu) a v základním kontrolovaném obvodu u1 (ověření zda je nutná smyková výztuž). Pokud je požadována smyková výztuž, je třeba nalézt další obvod uout nebo uout,ef (viz obr. 4.15), u kterého již smykovou výztuž není nutné uvažovat. Uvažují se následující návrhová smyková napětí (MPa): vRd,c je návrhová hodnota únosnosti ve smyku při protlačení desky bez smykové výztuže na protlačení v uvažovaném kontrolovaném průřezu; vRd,cs návrhová hodnota únosnosti ve smyku při protlačení desky se smykovou výztuží na protlačení v uvažovaném kontrolovaném průřezu; vRd,max návrhová hodnota maximální únosnosti ve smyku při protlačení v uvažovaném kontrolovaném průřezu (v líci zatěžované plochy).

54

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem 2d

2d

2d

u1

u1

u1

2d

bz

by

Obr. 4.14 Typické základní kontrolované obvody u zatěžovaných ploch

B A 2d

> 2d

kd

d

kd d

A Obvod uout Obr. 4.15 Kontrolované obvody u vnitřních sloupů (k = 1,5)

B Obvod uout,ef

Posouzení  smyková výztuž na protlačení není nutná, pokud

vEd  vRd,c  

(4.34)

pokud vEd překračuje hodnotu vRd,c v uvažovaném kontrolovaném průřezu, má se navrhnout smyková výztuž na protlačení; na obvodu sloupu, nebo na obvodu zatěžované plochy, nemá být překročena maximální únosnost ve smyku při protlačení:

vEd < vRd,max

(4.35)

Pokud je reakce v uložení excentrická vzhledem ke kontrolovanému obvodu, má se uvažovat maximální smykové napětí takto: vEd  

VEd ui d

(4.36) 55

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem kde d je dy, dz ui β

průměrná účinná výška desky, kterou lze uvažovat hodnotou (dy + dz) / 2; účinná výška kontrolovaného průřezu ve směru y a z; délka uvažovaného kontrolovaného obvodu; viz obr. 4.16 (pro desková pole přibližně stejných rozpětí – jinak viz ČSN EN1992-1-1). A – střední sloup

C

B – okrajový sloup

 = 1,5

C – rohový sloup

B

A

 = 1,4

 = 1,15

Obr. 4.16 Doporučené hodnoty  Deska bez smykové výztuže na protlačení – je splněn vztah (4.34) Únosnost ve smyku desky při protlačení prokazujeme v základním kontrolovaném průřezu. Návrhovou únosnost ve smyku při protlačení [MPa] lze vypočítat ze vztahu: vRd,c 

0,18

c

k (100 1 f ck )1/3  0,1 cp  (vmin  k1 cp )

(4.37)

kde fck je v MPa;

k

= 1+

l



200 d

 2, 0

d je v mm;

ρly ρlz  0, 02 ;

ly, lz se vztahují k soudržné tahové výztuži ve směrech y a z, dostatečně zakotvené za posuzovaným kontrolovaným průřezem. Hodnoty ly a lz se mají vypočítat jako průměrné hodnoty, přičemž šířka desky se uvažuje rovná rozměru průřezu sloupu plus 3d po každé straně sloupu; cp = (cy + cz) / 2 kde cy, cz jsou normálová napětí v betonu v kritickém průřezu ve směru os y a z (MPa, tlak > 0); σ c,y =

56

N Ed,y Acy

; σ c,z =

N Ed,z Acz

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem kde NEdy, NEdz jsou normálové síly v celé šířce pole desky pro střední sloupy a normálové síly působící v kontrolovaném průřezu pro okrajové sloupy; síla může být vyvolána zatížením nebo předpětím;

Ac

plocha betonového průřezu podle definice pro NEd

vmin = 0,0353/2 + k1/2

(4.38)

Deska se smykovou výztuží na protlačení – není splněn vztah (4.34)

 Nejprve ověříme, zda není překročena maximální únosnost ve smyku při protlačení na obvodu sloupu podle vztahu (4.35), kde vRd,max stanovíme ze vztahu: vRd,max = 0,5  fcd

(4.39)

kde  viz vztah (4.29)

 Pokud je požadována smyková výztuž, má se stanovit vRd,cs = 0,75 vRd,c + 1,5 (d / sr) Asw fywd,eff (1 / (u1d)) sin

(4.40)

kde Asw je plocha smykové výztuže na jednom obvodu okolo sloupu [mm2]; sr radiální vzdálenost obvodů smykové výztuže [mm2]; fywd,eff účinná návrhová pevnost smykové výztuže na protlačení podle vztahu

fywd,eff = 250 + 0,25 d ≤ fywd [MPa]; d



průměrná účinná výška v ortogonálních směrech [mm]; úhel, který svírá smyková výztuž s rovinou desky.

 Pokud je smyková výztuž tvořena ohybovými kozlíky v jedné řadě, pak poměr d / sr lze ve vztahu (4.39) nahradit hodnotu 0,67.  Oblast, kde se smyková výztuž nepožaduje, určíme pomocí uout nebo uout,ef (viz obr. 4.15), ze vztahu uout,ef = VEd / (vRd,c d)

(4.41)

4.4 Konstrukční zásady 4.4.1 Podélná výztuž  Omezení plochy výztuže Vztah (4.42) uvádí minimální plochu tahové výztuže z hlediska křehkého porušení. Další omezení z hlediska šířky trhlin je uvedeno v kap. 6. Horní omezení plochy výztuže (vztah (4.43)) platí pro tahovou i tlakovou výztuž, a to s výjimkou míst přesahů. As ≥ As,min (4.42) kde

As,min = 0,26 fctm bt d / fyk ≥ 0,0013 bt d bt je průměrná šířka tažené části betonu (u obdélníkového průřezu bt = b). 57

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem As ≤ As,max

(4.43)

kde As,max = 0,04 Ac

Ac je průřezová plocha betonu (u obdélníkového průřezu Ac = bh).  Vzdálenosti prutů – minimální hodnota vzdálenosti rovnoběžných prutů podélné výztuže (viz obr. 4.17) je dána vztahem: a ≥ amin

(4.44)

kde amin = max (1,2dg + 5mm; 20mm), kde dg je největší rozměr kameniva.

Obr.4.17 Minimální vzdálenosti výztužných prutů  Rozdělení podélné tahové výztuže, kotvení mimo podpory Tahová výztuž v ohýbaných prvcích má být uspořádána podle obálky tahových sil Fst stanovené s přihlédnutím k účinku posouvajících sil – viz obr. 4.18. Platí tedy:

Fst = (MEd / z ) + Ftd kde Fst je

(4.45)

zvětšení tahové síly s přihlédnutím k účinku posouvajících sil;

Ftd = 0,5 VEd al / z

(4.46)

MEd, VEd návrhové hodnoty ohybového momentu, normálové a posouvající síly; z rameno vnitřních sil; al vodorovný posun čáry MEd / z (viz obr. 4.16);  sklon tlakových diagonál (viz obr. 4.9);  sklon smykové výztuže. U prvků se smykovou výztuží al = 0,5 (cot – cot) / z

(4.47)

Účinek tahové síly Ftd lze zjednodušeně zavést vodorovným posunutím čáry MEd / z o vzdálenost al (viz obr. 4.18). Jednotlivé pruty výztuže je třeba zakotvit za průřezem plného působení na délku lbd, za začátkem působení tahové síly na délku lb,min. Výpočet hodnot kotevních délek viz kap. 4.4.4.

58


Obr. 4.18 Rozdělení podélné výztuže s uvážením účinku šikmých trhlin (rozšíření obálky tahových sil) a únosnosti podél kotevních délek (tento přínos lze zanedbat)  Kotvení výztuže v podporách Průřezová plocha dolní výztuže dovedené do krajních podpor musí být nejméně 25 % průřezové plochy výztuže v poli, i když bylo uvažováno v návrhu prosté uložení. V krajní podpoře musí být dolní výztuž zakotvena na tahovou sílu stanovenou s přihlédnutím k obrazci tahových sil (viz obr. 4.18). Tuto sílu lze též stanovit ze vztahu

FE = VEd  al / z

(4.48)

Návrhová kotevní délka lbd (viz kap. 4.4.4) se stanoví s přihlédnutím k této síle; u přímých podpor (obr. 4.19a) lze přihlédnout k příznivému působení příčných tlaků. Zásady kotvení výztuže ve středních podporách uvádí obr. 4.20.

59

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem lbd

l bd

b

a) přímá podpora

b) nepřímé uložení do podporujícího nosníku

Obr. 4.19 Kotvení výztuže v krajních podporách

Obr. 4.20 Kotvení výztuže ve středních podporách

4.4.2 Smyková výztuž Vzdálenost třmínků

s ≤ smax

(4.49)

smax = 0,75 d (1+cot) ≤ 400 mm Vzdálenost větví třmínku (příčná osová vzdálenost)

st ≤ stmax

(4.50)

stmax = 0,75 d ≤ 600 mm Omezení smykového vyztužení

w 

Asw bw .s

  w ,min  (0, 08 f ck ) / f yk

 w  0, 5  fcd / f ywd 0,5 60

(4.51)

(4.52)

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem 4.4.3 Konstrukční zásady pro desky Příčná výztuž U desek působících v jednom směru má být navržena příčná rozdělovací výztuž o ploše nejméně 20 % plochy nosné výztuže. V oblastech u podpor spojitých desek není příčná výztuž u dolní nosné výztuže nutná, pokud se tam nevyskytuje příčný ohybový moment. Osová vzdálenost prutů nemá překročit hodnotu smax,slabs, a to:

 pro nosnou výztuž, smax,slabs = 2 h ≤ 300 mm;  pro rozdělovací výztuž, smax,slabs = 3 h ≤ 400 mm. Výztuž volného okraje desky Podél volného (nepodepřeného) okraje má mít deska běžnou podélnou a příčnou výztuž obvykle uspořádanou podle obr. 4.21.

h ≥ 2h Obr. 4.21 Vyztužení okraje desky Smyková výztuž na protlačení Pokud je požadována, má se umístit mezi zatěžovanou plochu sloupu až do vzdálenosti 1,5d od kontrolovaného obvodu uout, dále se již nevyžaduje smyková výztuž (viz obr. 4.15). Je třeba navrhnout vždy dva obvody spon mezi lícem sloupu a základním kontrolovaným obvodem. Osová vzdálenost spon nemá překročit v radiálním směru hodnotu 0,75d (obr. 4.22a). Osová vzdálenost spon po obvodě nemá překročit hodnotu 1,5d u prvního kontrolovaného obvodu (2d od zatěžované plochy) a nemá překročit hodnotu 2d vně prvního kontrolovaného obvodu, pokud se předpokládá, že tato část obvodu přispívá ke smykové únosnosti (viz obr. 4.15). Pro smykové kozlíky uspořádané podle obr. 4.22b lze považovat za dostatečný jeden obvod smykové výztuže. Smykové kozlíky procházející zatěžovanou plochou, nebo ve vzdálenosti nepřekračující hodnotu 0,25d od této plochy, lze užít jako smykovou výztuž na protlačení. Vzdálenost mezi lícem sloupu, nebo obvodem zatěžované plochy a nejbližší smykovou výztuží uvažovanou při návrhu, nemá překročit hodnotu d/2. Tato vzdálenost se má měřit v úrovni tahové výztuže. Pokud je navržena pouze jedna řada smykových kozlíků, lze úhel sklonu ohybů zmenšit na 30º.

61


A

≤ kd

≤ 0,25d

B

> 0,3d

≤ 0,75d

A – vnější kontrolovaný obvod vyžadující smykovou vyztuž B – první kontrolovaný obvod nevyžadující smykovou vyztuž a) osová vzdálenost třmínků

A < 0,5d

 2d

b) osové vzdálenosti smykových kozlíků

Obr. 4.22 Smyková výztuž na protlačení

4.4.4 Kotvení výztuže Kotvení výztuže železobetonových prvků je zajištěno soudržností; nutným požadavkem je dostatečné krytí prutů výztuže betonem (viz kap. 2.4) a dostatečná kotevní délka. Návrhová kotevní délka lbd se stanoví ze základní kotevní délky lb,rqd s uvažováním ovlivňujících faktorů podle vztahu: lbd  1  2  3  4  5 lb,rqd  lb,min

kde lb,rqd

lb,min

je

12, 3, 4, 5

62

(4.53)

se určí podle vztahu (4.54), u svařovaných sítí se zdvojenými pruty se za průměr  do vztahu dosazuje n =  √2; minimální kotevní délka: pro kotvení v oblastech tahu lb,min > max (0,3 lb,rqd, 10, 100 mm); pro tlačené pruty lb,min > max (0,6 lb,rqd, 10, 100 mm); jsou součinitele, jejichž hodnoty (v rozmezí 0,7 až 1,0) vyjadřují různé ovlivňující podmínky a musí zároveň platit, že součin 2 3 5 ≥ 0,7; v běžných případech u prutů bez koncových úprav (háků, smyček apod.) lze bezpečně uvažovat hodnoty součinitelů rovny 1,0; podrobnější údaje uvádí tabulka v normě ČSN 1992-1-1 [11].


lb,rqd 

  sd 4



f bd

= 

(4.54)

kde lb,rqd je základní kotevní délka;

σsd

návrhové namáhání prutu v místě, odkud se měří kotvení;



průměr kotvené výztuže;

fbd

mezní napětí v soudržnosti podle (4.55);

fbd = 2,25 1 2 fctd

(4.55)

kde fctd je návrhová pevnost betonu v tahu, která nemá přesahovat hodnotu pro C60/75;

1

součinitel, zohledňující kvalitu podmínek soudržnosti a polohu prutu během betonáže, 1 = 1,0 pro „dobré“ podmínky soudržnosti, 1 = 0,7 pro ostatní případy (viz obr. 4.23);

2

součinitel zohledňující průměr prutu :

2 = 1,0 pro   32 mm; 2 = (132 – )/100 pro  > 32mm. V tab. 4.1 jsou uvedeny hodnoty součinitele pro výpočet základní kotevní délky lb,rqd podle vztahu (4.54) pro napětí ve výztuži σsd = fyd a výztuž průměru ≤ 32 mm. V běžných případech při použití prutů bez koncových úprav lze tyto hodnoty použít i pro výpočet návrhových hodnot kotevních délek lbd.

Tab. 4.1 Hodnoty součinitele pro výpočet základní kotevní délky lb,rqd C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C50/60

Dobré podmínky soudržnosti

67

56

48

40

36

33

29

25

Ostatní případy

94

80

69

58

52

47

41

36

63


Obr. 4.23 Podmínky soudržnosti – mimo vyšrafované oblasti jsou „dobré“ podmínky

4.5 Příklady 4.5.1 Prostě uložená deska Navrhněte výztuž desky tloušťky 120 mm o rozpětí 3,0 m, zatížené stálým zatížením gk = 7,3 kNm-2 a užitným zatížením qk = 5 kNm-2. Deska se nachází v obchodním domě. Použité materiály: beton C20/25, výztuž B500B. Předpokládejte  = 10 mm a krytí c = 20 mm.

Obr. 4.24 Příčný řez stropní deskou Návrhový moment uvažujeme kombinaci podle (6.10) ČSN EN 1990 [1] při G = 1,35; Q = 1,5 M Ed 

1 1 1,35gk  1,5qk  l 2  1,35  7,3  1,5  5 3,02  19,5 kNm 8 8

d1 = c + 0,5  = 20 + 0,5 · 10 = 25 mm d = h − d1 = 0,12 − 0,025 = 0,095 m 64

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Materiály f ck

Beton C20/25: f cd   cc

C

f yk

Výztuž B500B: f yd 

S





25 1, 5

420 1,15

 16, 7 MPa;cc = 1,0; cu3= 3,5 ‰;  = 1,0;  = 0,8

 365 MPa;  yd 

f yd Es

 1,825 ‰;  bal,1 

 cu3  cu3   yd

 0, 617

Návrh výztuže

a) pomocí tabulek



mEd 2

b d  fcd



19, 5 2

1  0, 095  1  13, 3  10

3

 0,162

z tabulky v Příloze P1  = 0,222 < ξ bal,1 = 0,617;  = 0,911; (popř. = 0,178); z =  h as1,req =

mEd

=

ζ d f yd

(popř. as1,req = ω b d

19, 5 0, 911  0, 095  435  10

η fcd f yd

3

= 0,178  1  0, 095 

= 518  10

1  13, 3 435

-6

m2

= 518  10

-6

m2)

b) přímým výpočtem x

  2mEd  0, 095  2.19, 5  0, 021 m 1  1  2  1  1  2 3   b d  fcd  0, 8  1  0, 095  1  13, 3  10  d

 = x / d = 0,021 / 0,095 = 0,221 < ξ bal,1 = 0,617 as1,req =

b d η fcd f yd

 1  

1

2 mEd 2

b d η fcd

 1  0, 095  13, 3  = 1  435  

1

2  19, 5 2

1  0, 095  1  13, 310

3

 -6  = 518  10 

navrhneme  10 po 150 mm As,prov = 524·10 m -6

2

Kontrola vyztužení (viz tab. 5.1 v Příloze P5)

As1,min = max {

As1,min ≥ max {

0, 26 f ctm bt d ; 0, 0013 bt d } f yk

0, 26  2, 2  1  0, 095 500

; 0, 0013  1  0, 095 } = max {109·10-6; 124·10-6} m2

= 124 · 10-6 m2  As1 = 524 · 10-6 m2

65

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Maximální osové vzdálenosti hlavní výztuže smax,slab = min (2 h; 300 mm) = (240 mm; 300 mm) = 240 mm  150 mm Posouzení

x=

ξ=

As1 f yd b λ η fcd x d

=

-6

=

524  10  435  10 1  0, 8  1  13, 3  10

0, 0214 0, 095

3

3

= 0, 0214 m

= 0, 225 < ξbal,1 = 0,617

MRd = As1 fyd (d – 0,5  x) = 524·10-6·435·103 (0,095 − 0,5·0,8·0,0214) = 19,7 kNm/m > MEd = 19,5 kNm/m  výztuž vyhovuje

4.5.2 Spojitá deska o třech polích Navrhněte výztuž monolitické spojité desky plného průřezu o třech polích (viz obr. 4.25). Deska je zatížena charakteristickým stálým zatížením = 6,0 kN/m (včetně vlastní tíhy) a proměnným zatížením qk = 5,0 kN/m. Uvažujte beton třídy C 20/25, ocel B500B. Předpokládejte  = 10 mm a krytí c = 20 mm.

Obr. 4.25 Schéma spojité desky o třech polích Navržena tloušťka desky 0,2 m. Výpočet vnitřních sil

Zatížení Vlastní tíha desky Povrchové úpravy Stálé zatížení Užitné zatížení Celkové zatížení 66

charakteristické

návrhové 2

0,20·25 = 5,00 kN/m

1,00 kN/m2 gk = 6,00 kN/m2 qk = 5,00 kN/m2 gk + qk = 11,00 kN/m2

1,00

gdA = 6,00 kN/m2

1,35

gd = 8,10 kN/m2

1,50

qd = 7,50 kN/m2

gd +qd = 15,60 kN/m2

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Kombinace zatížení – podle vztahu (6.10) v ČSN EN 1990 [1] Dílčí součinitele zatížení:

G,sup = 1,35;

Stálé zatížení

gd,sup = 1,35 · 6,00 = 8,10 kN/m2

G,inf = 1,00;

gd,inf = 1,0 · 6,00 = 6,00 kN/m2 Užitné zatížení

Q = 1,50;

qd = 1,5 · 500 = 7,50 kN/m2 1,5

1,5 1

1,35

3

1,35

1,5 2

1,5 1,35

4

1,00

Obr. 4.26 Schémata zatížení s dílčími součiniteli zatížení Analýza konstrukce Mezní stavy únosnosti Ohybové momenty jsou v kNm/m, smykové síly v kN/m č. 1 2 3 4

Zatěžovací stav gd + qd v polích 1 + 2 gd + qd v polích 1 + 3 gd + qd v polích 2 gdA + qd v polích 1 + 3

mEd,B -34,36 -28,15 -19,76 -23,91

mEd,1 33,08 35,69 16,40 31,08

mEd,2 -3,78 -17,22 1,47 -15,81

vEd,A 32,13 33,37 16,30 28,97

vEd,Ble -45,87 -44,63 -24,20 -38,53

vEd,Bri 30,25 13,37 25,74 9,90

Mezní stavy použitelnosti Ohybové momenty jsou v kNm/m, smykové síly v kN/m – kombinace zatížení č.

Zatěžovací stav

mEd,B

mEd,1

mEd,2

vEd,A

vEd,Ble

vEd,Bri

1

gk + qk v polích 1 + 2

-24,19

23,34

-2,43

22,66

-32,77

20,40

2


-19,98

25,11

-11,82

23,50

-31,50

9,90

3

gk + qk v polích 2

-14,39

12,25

0,58

12,12

-17,88

18,15

Ohybové momenty jsou v kNm/m, smykové síly v kN/m – kvazistálá kombinace zatížení – 2 = 0,3 mEd,1 mEd,2 vEd,A vEd,Ble vEd,Bri č. Zatěžovací stav mEd,B 1 gk +qk v polích 1 + 2 -15,75 16,22 -3,78 15,60 -21,90 13,44 2 gk +qk v polích 1 + 3 -14,49 16,75 -6,39 15,85 -21,65 9,90 3 gk +qk v polích 2 -12,81 12,89 -2,68 12,44 -17,56 12,38

67


Obr. 4.27 Průběhy návrhových ohybových momentů – MSÚ, vztah (6.10) Kombinace zatížení – podle vztahů (6.10a) a (6.10b) v ČSN EN 1990 [1] a) podle vztahu (6.10a) gd = Gj,sup gk = 1,35 · 6,00 = 8,10 kN/m2

γGj,sup = 1,35

qd = Q,1 0,1 qk = 1,5 · 0,7 · 5,00 = 5,25 kN/m2

γQ,1 = 1,5

ψ0,1 = 0, 7

0,7 . 1,5 = 1,05 1a

1,35 0,7 . 1,5 = 1,05

2a

1,35 0,7 . 1,5 = 1,05

3a

1,35 0,7 . 1,5 = 1,05

4a

1,00

Obr. 4.28 Schémata zatížení s dílčími součiniteli zatížení b) podle vztahu (6.10b) gd =  Gj,sup gk = 0,85 · 1,35 · 6,00 = 6,90 kN/m2

´ = 0,85 Gj,sup = 1,35 .´Gj,sup = 1,15 qd = Q qd = 1,5 · 5,00 = 7,5 kN/m2

68

Q = 1,5

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem 1,5 1b

1,15 1,5

2b

1,15 1,5

3b

1,15 1,5

4b

1,00

Obr. 4.29 Schémata zatížení s dílčími součiniteli zatížení Analýza konstrukce Mezní stavy únosnosti Ohybové momenty jsou v kNm/m, smykové síly v kN/m č.

Zatěžovací stav

mEd,B

mEd,1

mEd,2

vEd,A

vEd,Ble

vEd,Bri

1a

gd + qd v polích 1 + 2

-29,04

28,46

-4,37

25,57

-39,18

25,77

2a


-24,62

30,32

-13,69

28,45

-38,30

13,37

3a

gd + qd v polích 2

-18,75

16,81

-0,72

16,50

-24,00

22,03

4a

gdA + qd v polích 1 + 3

-20,38

25,71

-12,28

24,05

-32,20

9,90

1b


-32,04

30,41

-2,98

29,59

-42,41

29,10

2b


-25,73

33,06

-16,41

30,85

-41,15

11,39

3b

gd + qd v polích 2

-17,34

13,77

2,27

13,78

-20,72

23,76

4b

gdA + qd v polích 1 + 3

-23,91

31,08

-15,81

28,97

-38,53

9,90

Mezní stavy použitelnosti Ohybové momenty jsou v kNm/m, smykové síly v kN/m – charakteristické kombinace zatížení č.

Zatěžovací stav

mEd,B

mEd,1

mEd,2

vEd,A

vEd,Ble

vEd,Bri

1


-24,16

23,34

-2,93

22,66

-32,34

21,71

2


-19,98

25,11

-11,88

23,50

-31,50

9,90

3

gk + qk v polích 2

-14,43

12,25

0,59

12,12

17,88

18,15

69

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Ohybové momenty jsou v kNm/m, smykové síly v kN/m – kvasi-stálé kombinace zatížení – 2 = 0,3 č. 1 2 3

Zatěžovací stav gk + qk v polích 1 + 2 gk + qk v polích 1 + 3 gk + qk v polích 2

mEd,B -15,75 -14,49 -12,81

mEd,1 16,22 16,75 12,89

mEd,2 -3,78 -6,39 -2,68

vEd,A 15,60 15,85 12,44

vEd,Ble -21,90 -21,65 -17,56

vEd,Bri 13,44 9,90 12,38

Obr. 4.30 Průběhy návrhových ohybových momentů – MSÚ, viz vztahy (6.10a), (6.10b) V dalším návrhu budeme uvažovat kombinace podle vztahů (6.10.a) a (6.10b), neboť dávají menší návrhové hodnoty. Materiály

Beton C20/25: fcd = αcc

Výztuž B500B: f yd =

f yk gS

fck γC =

=

20 1, 5

500 1,15

= 13, 3 MPa; cc = 1,0; cu3= 3,5 ‰;  = 1,0;  = 0,8

= 435 MPa; eyd =

f yd Es

= 1, 825 ‰; xbal,1 =

ecu3 ecu3 + eyd

= 0, 617

Dimenzování nosné výztuže

Při dimenzování výztuže byl moment nad podporou redukován s ohledem na uložení: mEd,B = FEd,,sup · t / 8 = (42,41 + 29,10)·0,30 / 8 = 2,68 kNm mEd,B red = mEd,B + mEd,B = -32,04 + 2,68 = -29,36 kNm Navrženy svařované sítě s dráty  7 mm; d = h – c –  / 2 = 220 – 20 – 7 /2 = 176,5 mm Oblast pod. B pole 1 pole 2 pole 2’

70

Navržená výztuž 150·7d 150·7d 150·7 150·7

as [mm2/m] 513 513 257 257

 0,0029 0,0029 0,0015 0,0015

x m 0,021 0,021 0,011 0,011

  0,45 0,118 0,118 0,059 0,059

mRd [kNm/m] 37,52 37,52 19,26 19,26

mEd [kNm/m] -29,36 33,04 2,27 -16,41

OK OK OK OK

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Konstrukční úpravy výztuže a) Kotvení podélné výztuže Základní kotevní délka lb,rqd =

  sd 4 f bd

pro σ sd = f yd = 435 MPa f bd  2, 251 2 f ctd

η1 = 1 (deska, h < 250 mm  „dobré“ podmínky soudržnosti) η2 = 1 ( < 32 mm) f ctd   ct f ctk,0,05 /  c ; αct = 1,0;

fctk,0,05 = 1,5 MPa; γc = 1,5

f ctd  1, 0 1,5 / 1,5  1, 0 MPa f bd  2, 25 1 1 1  2, 25 MPa

7d zdvojení prutů je nahrazeno teoretickým prutem s náhradním průměrem n

n   nb  7 2  9,9 mm kde

nb je počet prutů ve svazku lb,rqd 

9,9 435   479 mm 4 2, 25

lb,rqd 

7 435   338 mm 4 2, 25

7

Návrhová kotevní délka lbd  1  2  3  4  5 lb,rqd  lb,min

Hodnoty koeficientů α1, α2, α3, α4 a α5 jsou součinitele: α1 = 1 (přímé pruty)

 2  1  0,15 kde

(cd   )



, cd = min (a/2,c)

a je světlá vzdálenost mezi pruty; c tloušťka krycí vrstvy. 71

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem  3  1  K  , K = 0  α3 = 1 α4 = 1 (pro nepřivařené příčné pruty) α4 = 0,7 (přivařené příčné pruty  t  0, 6 ) – v případě, že navařený prut je v oblasti návrhové kotevní délky

 5  1  0, 04 p , p = 0 (příčný tlak v oblasti kotevní délky v MSÚ)  α5 = 1 součinitele se uvažují v rozmezí 0,7 až 1,0; součin  2  3  5   0, 7





lb,min  max 0,3 lb,rqd ; 10 ; 100 mm

150 · 7d

 2 : cd  20 mm  2  1  0,15

(20  9,9)  0,85 9,9

α4 = 0,7 (přivařené pruty á 250 mm) 0,3  479  144 mm lb,min= 10  9,9  99 mm 100 mm lbd  1  0,85 1  0, 7 1  479  285 mm  144 mm

150 · 7

 2 : cd  20 mm  2  1  0,15

(20  7)  0, 72 7

α4 = 1 (přivařené pruty á 250 mm) 0,3.338  101 mm lb,min= 10  7  70 mm 100 mm lbd  1  0, 72 1 1 1  338  243 mm  101 mm

Horní výztuž

Při částečném vetknutí v krajní podpoře desky, které není zohledněno ve výpočtu, by měla přenést horní výztuž minimálně 25 % maximálního momentu přilehlého pole. Tato výztuž by měla zasahovat minimálně do 0,2 násobku rozpětí přilehlého pole, měřeno od líce podpory.

72

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem V našem případě: as,reg = 0,25 · 401 = 100 mm2 síť 150 · 7 as,prov = 257 mm2 lbd = 243 mm a 0,2·l1 = 950 mm Spodní výztuž

Krajní podpora Plocha spodní výztuže dovedené do krajní podpory s malou nebo žádnou tuhostí by měla být asA ,req  0 , 25as ,prov

V našem případě je veškerá tahová výztuž dovedena do podpor: Tahová síla, kterou je nutno zakotvit v podpoře: f E  vEdA  zd

x 2

 175 

f E  30,85 

a

sA , req



al  nEd ; v našem případě nEd  0 z 0,8  19  167 mm   0,8 2

0,175  32,33 kN / m 0,167

fE f yd



32, 33  10 435  10

3

6

6

2

2

 74, 3  10 m / m  74, 3 mm / m  a

sA , prov

2

 462 mm / m

 7d n  9,9 mm  sd 

32,33  103  63, 02 MPa 513

lb,rqd 

9,9 63, 02  69 mm  4 2, 25

0,3  69  21 mm lb,min= 10  9,9  99 mm 100 mm

4 = 1 (v lbd nemusí být přivařený prut) lbd  1  0, 72 1 1, 0 1  69  50 mm  100 mm  lbd  100 mm

73

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Kotevní délka lbd se měří od místa kontaktu mezi prutem a podporou. Střední podpory Plocha spodní výztuže dovedená do střední podpory s malou nebo žádnou tuhostí by měla být: asA ,req  0 , 25as ,prov  asA ,prov (veškerá výztuž je dovedena do podpory)

Kotevní délka pro přímé pruty je 10. Návrhová přesahová délka – hlavní výztuž l0  1  2  3  5  6 lb,rqd  l0,min





l0,min  max 0,3 6lb,rqd ; 15 ; 200 mm

Hodnoty α1, α2, α3 , α5 a lb,rqd viz výše

6 

1 25



100 2 25

 1, 0  1, 5  α6 = 1,5

150 · 7d 0,3 1,5  479  216 mm l0,min= 15  9,9  149 mm 200 mm l0  1  0,85 1 1 1,5  479  611 mm  216 mm

150 · 7 0,3 1,5  338  152 mm l0,min= 15  7  105 mm 200 mm l0  1  0, 72 1 1 1,5  338  402 mm  200 mm

Návrhová přesahová délka – rozdělovací výztuž

7d

350 mm

7

250 mm

Rozdělovací výztuž: as,sec = 0,2 as; smax, slab = min (3 h , 400 mm) 74

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem R513: r. v.  6 á 250 mm; r. v.  6 á 250 mm; as,sec = 113 mm2  0,2 · 513 = 103 mm2 R257: r. v.  10 á 170 mm; r. v.  4,5 á 250 mm; as,sec = 64 mm2  0,2 · 257 = 71 mm2 Poznámka: U sítí R je vždy zajištěno r. v.  6 přesahová délka (min. 150 mm; rozteč drátů), v našem případě 250 mm délka přesahu l0,min = max (0,3 6 lb,req; 15; 200 m)

6 = 1,5 lb,req =

6 435 = 290 m  4 2, 25

0,3 6 lb,req = 0,3 · 1,5 · 290 = 130 mm; 15 = 15 · 6 = 90 m; l0,min = 200 m Vyztužení je patrné z obr. 4.31

Obr. 4.31 Schéma vyztužení spojité desky o třech polích

4.5.3 Trám prostě uložený – obdélníkový průřez Navrhněte vyztužení trámu obdélníkového průřezu, který působí jako prostý nosník uložený na zdivu (viz obr. 4.32). Je zatížen stropními panely o vlastní tíze 2.00 kN/m2, podlahou 1,00 kN/m2 a užitným zatížením 3,00 kN/m2 (charakteristické hodnoty), zatěžovací šířka je 5,5 m. Uvažujte beton třídy C30/37, výztuž B500B. Pro předpokládané profily podélné výztuže  = 20 mm a profil třmínků sw = 8 mm je uvažováno krytí podélné výztuže 30 mm.

75

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem POHLED

ŘEZ A-A

Obr. 4.32 Geometrie nosníku Teoretické rozpětí nosníku

ai = min (h/2; t/2) = min (0,6/2; 0,3/2) = 0,15 m l = ln + 2 · ai = 7,2 + 2 · 0,15 = 7,5 m Účinná výška průřezu

d = 0,6 – 0,03 – 0,02/2 = 0,56 m Materiály

Beton C30/37:

f cd   cc

f ck

C



30  20 MPa; cc = 1,0; cu3 = 3,5 ‰;= 1,0;= 0,8 1, 5

  0, 6  (1  f ck / 250)  0, 6  (1  30 / 250)  0,528 Výztuž B500B: f yd 

f yk

S

 bal,1 



500  434, 78 MPa 1,15

 cu3 0, 0035   0, 617  cu3   yd 0, 0035  434, 78 / 200 103

Zatížení trámu

Stálé: panely + podlaha vlastní tíha trámu Proměnné – užitné

(2,00 + 1,00) · 5,5

= 16,50 kN/m

0,3 · 0,6 · 25

= 4,50 kN/m

gk

= 21,00 kN/m

qk = 3,00 · 5,5

= 16,50 kN/m

Při užití vztahu (6.10) ČSN EN 1990 [1]pro výpočet návrhové hodnoty obdržíme: fd = G · gk + Q · qk = 1,35 · 21,00 + 1,5 · 16,5 = 53,10 kN/m Podle doporučení NP ČR lze uvažovat větší z hodnot vypočtených podle vztahů (6.10a) a (6.10b): fd = G gk + Q 0 qk = 1,35 · 21,00 + 1,5 · 0,7 · 16,5 = 45,675 kN/m 76

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem fd =  G gk + Q qk = 0,85 · 1,35 · 21,00 + 1,5 · 16,5 = 48,85 kN/m Maximální hodnoty momentu a posouvající síly od návrhového zatížení tedy uvažujeme: MEd = 1/8 · 48,85 · 7,52 = 343,48 kNm VEd = 1/2 · 48,85 · 7,5 = 183,19 kN Návrh podélné ohybové výztuže

užitím tabulek (viz tab. 1.1 v Příloze P1):



M Ed 2

b d  f cd



366,19 0,3  0,562 1  20 103

 0,182    0, 253 < bal,1 = 0,617

z tabulky As1d 

  0,893

M Ed 343, 48   1570 106 m2 3  d f yd 0,893  0,56  434, 78 10

navrženo 6 20, As1 = 885 mm2 Kontrola konstrukčních zásad pro taženou ohybovou výztuž

As,min = max (0,26 · (2,9/500) · 0,3 · 0,56; 0,0013 · 0,3 · 0,56) = max (253 · 10-6 ; 218 · 10-6) m2 = 253 mm2 < As1  splněno As,max = 0,04 · 0,3 · 0.6 = 7200 · 10-6 m2 > As1  splněno mezery mezi výztužnými pruty: a = (0,3 – 2 · 0,03 – 6 · 0,02) / 5 = 0,024 m ≥ 1,2  splněno Posouzení únosnosti v ohybu x



As1  f yd

 b  f cd



1885 106  434, 78 103 0,8  0  3 1  20 103

 0,171 m

x 0,171   0,305 < bal,1 = 0,617 d 0,56

M Rd  As1  f yd  (d  0,5   x)  1885 106  434,78 103  (0,56  0,5  0,8  0,171)  403, 2 kNm

M Rd  403, 22 kNm > M Ed  343, 48 kNm  vyhovuje

Návrh smykové výztuže

volba: svislé třmínky dvoustřižné (n = 2) profilu sw = 8 mm, Asw = 101 · 10-6 m2 kontrola vzdálenosti st ≤ st,max = min (0,75 d; 0,6 m) = min (0,75 · 0,56; 0,6) = 0,42 m  lze uvažovat n = 2 (šířka trámu 0,3 m) volba: cot  = 2,5 z = 0,9 d = 0,9 · 0,56 = 0,504 m 77

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem VRd,max    f cd  b  z 

cot  2

1  cot 

 0,528  20 103  0,3  0,504 

2,5  550,58 kN 1  2,5

VRd,max  550,58 kN > VEd,max  183,19 kN  vyhovuje geometrie průřezu a třída betonu

Nosník je uložen na zdivu (přímé podpory), zatížen přímým zatížením  třmínky lze navrhovat na hodnotu posouvající síly VEd,1 = 148,5 kN (v průřezu d za lícem podpory). sreq 

Asw f ywd VEd,1

z cot  

101 106  434  78 103  0,504  2,5  0,372 m 148,5

Navrženy třmínky ve vzdálenostech s = 0,35 m po celé délce nosníku. Kontrola konstrukčních zásad pro smykovou výztuž

smax = min (0,75 d; 0,4 m) = min (0,75 · 0,56;0,4) = 0,4 m > s = 0,35 m  splněno

 w,min  (0, 08  f ck ) / f yk  (0, 08  30) / 500  0, 00087 w 

Asw 101 106   0, 00096 > w,min = 0,00087  splněno bw  s 0,3  0,35

Poznámka: Alternativně by bylo možné navrhnout třmínky profilu sw = 6 mm po 200 mm. Pro hodnotu posouvající síly VEd,1 = 148,5 kN vychází požadovaná vzdálenost sreq = 0,21 m. V oblasti s menší hodnotou posouvající síly ve střední části nosníku nelze vzdálenosti zvětšit z důvodu požadavku minimálního stupně smykového vyztuženíw,min.

Obr. 4.33 Schéma vyztužení trámu

4.5.4 Trám prostě uložený – obdélníkový průřez Navrhněte železobetonový trám o světlém rozpětí 5,7 m, uložený na obou koncích na zdi tloušťky 0,30 m; trámy leží v osových vzdálenostech 2,25 m a na trámech jsou uloženy prefabrikované desky tloušťky 0,10 m (obr. 4.34). Na deskách je uložena podlaha, jejíž zatížení 78

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem je gk1 = 1,5 kN/m2. Tato stropní konstrukce je v obchodním domě (užitné zatížení qk = 5,0 kN/m2, 0 = 0,7; 1 = 0,7; 2 = 0,6). Krytí třmínků bylo stanoveno hodnotou c = 25 mm při uvažování  = 16 mm, st = 6 mm, betonu třídy C20/25 a výztuže B500B.

Obr. 4.34 Prostě uložený trám rozpětí nosníku: ai = t = 0,30 = 0,15 m; leff = l = 5,7+2 · 0,15 = 6,00 m 2 2 navržen trám: h = 0,45 m; h = 0,25 m Zatížení, výpočet vnitřních sil Deska

Zatížení železobetonovou deskou 0,10 · 25

gk0 = 2,50 kN/m2

Zatížení podlahou

gk1 = 1,50 kN/m2

Stálé zatížení desky

gks = 4,00 kN/m2

Užitné zatížení desky

qks = 5,00 kN/m2

Trám

Obr. 4.35 Zatížení trámu

79

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Stálé zatížení od desky gks · b =4,00 · 2,25

gksb = 9,00 kN/m

Vlastní tíha trámu pod deskou 0,45 · 0,25 · 25

gk0b = 2,81 kN/m

Stálé zatížení trámu

gk = 11,81 kN/m

Užitné zatížení qks · b = 5,00 · 2,25

qk = 11,25 kN/m

Výpočet zatížení trámu – MSÚ

a) Při uvažování rovnic (6.10a) a (6.10b) podle [1] obdržíme: fd = 1,35 gk + 1,5 0 qk = 1,35 · 11,81 + 1,5 · 0,7 · 11,25 = 27,76 kN/m fd = 0,85 · 1,35 gk + 1,5 qk = 0,85 · 1,35 · 11,81 + 1,5 · 11,25 = 30,52 kN/m druhý výraz dává větší hodnotu, je tedy rozhodující b) Při uvažování rovnice (6.10) podle [1] obdržíme: fd = 1,35 gk + 1,5 qk = 1,35 · 11,81 + 1,5 · 11,25 = 32,82 kN/m Postup uvedený ad a) je doporučen v Národní příloze ČSN EN 1990, vzhledem k tomu, že je z hlediska spotřeby materiálu úspornější. Výpočet návrhových hodnot vnitřních sil – MSÚ

Návrhový ohybový moment:

MEd = 1/8 · 30,52 · 6,002 = 137,34 kNm

Návrhová posouvající síla:

VEd = 1/2 · 30,52 · 6,00 = 91,56 kN

Materiály

Beton C20/25:

fcd   cc

Výztuž B500B:

f yd 

f yk

S

 bal,1 

fck

C 



20 1, 5

500 1,15

 cu3  cu3   yd

 13, 3 MPa; cc = 1,0; =1,0; = 0,8

 435 MPa;  yd 



3, 5 3, 5  2,175

Es

 0, 617

Dimenzování Návrh ohybové výztuže

Vzdálenost těžiště podélné výztuže od povrchu betonu d1 = c + st + 0,5  = 25 + 6 + 0,5 · 16 = 39 mm Účinná výška průřezu: d = h – d1 = 0,450 + 0,039 = 0,411 m

80

f yd



435 200

 2,175 ‰

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem 

M Ed 2

b d  fcd

137, 34



2

0, 25  0, 411  1  13, 3  10

z tab. 1.1 v příloze P1 interpolací:  = 0,354  M Ed

As,req 

 d f yd



3

bal,1 = 0,617;  = 0,859

137, 34 0, 859  0, 411  435  10

 0, 243

3

 892  10

6

m2

Navrženo 5  16; As1 = 1005 · 10-6 m2 Kontrola vyztužení

Asmin = max { Asmin  Asmin 

0, 26  f ctm  bt  d ; As min  0, 0013  bt  d } f yk

0, 26  fctm bt d f yk



0, 26  2, 2  0, 25  0, 412 500

 119  10

6

m2

Asmin ≥ 0,0013 · bt d = 0,0013 · 0,25 · 0,412 = 134 · 10-6 m2 As1 = 1005 · 10-6 m2 > Asmin = 134 · 10-6 m2
Odhadnutý a navržený  16 je stejný – hodnota d = 0,411 m se nemění x=



As1 f yd b   fcd x d





0,1643 0, 411

1005  10

6

 435  10

3

0, 25  0, 8  1  13, 3  10

3

 0,1643 m

 0, 399 < ξbal,1 = 0,617

z = d – 0,5 ·  x = 0,411 – 0,5 · 0,8 · 0,1643 = 0,346 m Fs1 = As1 fyd = 1005 · 10-6 · 435 · 103 = 437,2 kN MRd = Fs1 z = 437,2 · 0,346 = 151,3 kNm > MEd = 137,34 kNm  navržená výztuž vyhovuje

81

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Návrh smykové výztuže

Návrhová únosnost prvků bez smykové výztuže

VRd,c  [CRd,c k (100l fck )1/3 ] bw d   min bw d ; VRd,c   min  0,035k 3/ 2 fck1/ 2bw d CRd,c = 0,18/C = 0,18/ 1,5 = 0,12 k = 1+ (200/d)1/2 = 1 + (200/411)1/2 = 1, 70 ≤ 2,0

l = Asl /(bw d) = 0,000603 /(0,25.0,411) = 0,0059 ≤ 0,002 kde Asl je plocha tahové výztuže, která je od uvažovaného svislého průřezu protažena o hodnotu d a dále řádně kotvena – viz obr. 4.36. Předpokládáme-li dovedení 3  16 do podpory, bude Asl = 603 mm2. Požadavek kotvení má být ověřen při případném respektování využití výztuže.

Obr. 4.36 Stanovení Asl pro výpočet VRd,c 1/3

VRd ,c  [CRd,c k (100  l fck )

1/3

] bw d  [0,12  1, 70  (100  0, 0059  20)

]  0, 25  0, 411 

 0, 0475 MN  47, 5 kN

νmin =0,035 k3/2 fck1/2 =0,0351,703/2  201/2 =0,347 VRd ,c  min bw d  0,347  0,25  0,411  0,0357MN  35,6 kN

Při rovnoměrném zatížení trámu a jeho přímém uložení na podporu budeme při posouzení uvažovat návrhovou posouvající sílu ve vzdálenosti d od líce uložení; v našem případě budeme tedy uvažovat návrhovou posouvající sílu ve vzdálenosti 0,5a + d = 0,15 + 0,421 = 0,571 m od teoretické podpory, návrhová posouvající síla tedy bude VEd,0 = (3,000 – 0,571) · 30,52 = 74,4 kN  VRd,c = 47,5 kN  je třeba navrhnout smykovou výztuž

Pro zvolenou hodnotu cot  = 2,5 vychází únosnost tlakové diagonály: min(VRd,max) = fcd · bw · 0,9 d · cot /(1 + cot 2) = 0,552 · 13,3 · 0,25 · 0,9 · 0,411 · · 2,5/(1 + 2,52) = 0,2347 MN = 234,7 kN > VEd = 91,57 kN

 = 0,5 (1 – fck /250) = 0,6(1 – 20/250) = 0,552 82

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem | VEd | ≤ min (VRd,max)  lze navrhnout smykovou výztuž za předpokladu cot = 2,5 Volba: dvoustřižné třmínky st = 6 mm  Asw = 2 · 28,3 = 56,6 mm2 Návrh konstrukční smykové výztuže

 vzdálenost třmínků s ≤ 0,75 d = 0,75 · 0,411 = 0,309 m ≤ 0,4 m nerozhoduje  omezení stupně vyztužení:  w 

Asw   w,min  (0, 08 f ck ) / f yk bw  s

 w,min  0, 08 30 / 500  0, 00088 Z podmínky w ≥ w,min vyplývá: s 

56, 6 103  0, 257 m 0, 25  0, 00088

Návrh s = 0,25 m VRd,s 

Asw f ywd s

z cot  

56, 6  10

6

 435  10

3

0, 25

 0, 9  0, 412  2, 5  91, 3 kN

VEd,0 = 74,4 kN < VRd,s = 91,3 kN  vyhoví třmínky 2 6 po 250 mm po celé délce prvku

4.5.5 Trám prostě uložený – T průřez

A

A

Navrhněte výztuž prostě uloženého trámu T průřezu (viz obr. 4.37), uloženého do věnce tloušťky 0,3 m, zatíženého stálým zatížením gk = 13,79 kN/m (včetně vlastní tíhy) a proměnným zatížením qk = 17,66 kN/m. Uvažujte beton třídy C 20/25, výztuž B500B. Pro předpokládanou podélnou výztuž  = 20 mm a třmínky st = 6 mm bylo stanoveno krytí třmínků c = 25 mm.

bw=0,25 l s=2,25

ls=2,25

hb =0,38 hf=0,07

l=6,0

Obr. 4.37 Trám T průřezu prostě uložený

83

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Návrhové zatížení

uvažujeme kombinaci podle (6.10) ČSN EN 1990 [1] při G = 1,35; Q = 1,5 fd = G gk + Q qk = 1,35 · 13,79 + 1,5 · 17,66 = 45,11 kN/m MEd = fd l2 /8 = 45,11 · 6,002/8 = 203,0 kNm Materiály

fck

Beton C20/25: fcd   cc

f yd 

Výztuž B500B:

 bal,1 

 cu3  cu3   yd



C f yk

S



20 1, 5

 13, 3 MPa; cc = 1,0; cu3= 3,5 ‰;  = 1,0;  = 0,8

500

 435 MPa;  yd 

1,15

f yd Es

 1, 825 ‰;

 0, 617

Dimenzování

Spolupůsobící šířka desky (viz obr. 4.38): beff = 2 beff,1 + bw  b beff,1 = 0,2 b1 + 0,1 l0  b beff,1 = 0,2 · 1,00 + 0,1 · 6 = 0,80 m beff = 2 · 0,80 + 0,25 = 1,85 m  2,25 m d1 = c + st +  /2 = 0,025 + 0,006 – 0,020/2 = 0,041 m d = h – d1 = 0,45 – 0,041 = 0,409 m

b eff,1 b w beff,1

b 1=1,00 bw=0,25 b 1=1,00 b=2,25

Obr. 4.38 Spolupůsobící šířka desky Návrh ohybové výztuže (pomocí tab. 1.2 v Příloze P1)

 84

M Ed 2

b d  fcd



203, 0 2

1, 85  0, 409  1  13, 3  10

3

 0, 049

hb=0,38 h f=0,07

beff = 1,85

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem  = 0,063 < ξbal,1 = 0,617 x = 0,063 · 0,409 = 0,026 m < 0,07 m  n. o. prochází deskou;  = 0,973 As1d 

M Ed

 d f yd



203, 0

6

0, 973  0, 409  435  10

3

 1170  10 m2

Navrženo 4  20; As1 = 1257 · 10-6 m2 Posouzení x



As1 f yd b   f cd x d





0, 028 0, 409

1257 106  435 103 1,85  0,8 1 13,3 103

 0, 028 m

 0, 068 < ξbal,1 = 0,617

MRd = As1 fyd (d – 0,5  x) = 1257 · 10-6 · 435 · 103 (0,409 – 0,5 · 0,8 · 0,028) = 218,2 kNm MRd = 218,2 kNm > MEd = 203,0 kNm  vyhovuje Návrh příčné výztuže nad trámem

Podélné smykové napětí ve spojení příruby s trámem (viz obr. 4.7): vEd = Fd / (hf x) kde Fd = beff,1  x  fcd x

změna normálové síly v přírubě vzdálenost mezi průřezy s maximálním a nulovým momentem

Plochu příčné betonářské výztuže stanovíme ze vztahu (4.22) Asf 

vEd hf sf f yd cot f

(4.56)

přičemž, aby nedošlo k rozdrcení tlakových diagonál, musí platit vEd  n f cd sinf , cos f

V případě kombinace smyku mezi přírubou a stěnou a příčného ohybu má být plocha výztuže větší, než je dána vztahem (4.56), nebo než je polovina výztuže dané vztahem (4.56) plus plocha výztuže pro příčný ohyb, avšak pokud je vEd  0,4 fctd, nepožaduje se větší výztuž, než je nutná pro příčný ohyb. V našem případě: x = 3,0 m

Ed = 0,80 · 0,8 · 0,028 · 13,3 · 103 / (0,07 · 3,0 = 1135,0 kPa

85

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Volíme-li: sf = 0,20 m a f = 45° (cotg f = 1,0; sin f = 0,707), bude Asf 

1135, 0  0, 07  0, 20 3

435 10 1, 0

 37 106 m2

Navrženy  7 po 200 mm, Asf = 38,5 · 10-6 m2. Dále musíme zkontrolovat:

 = 0,5 (1 – fck / 250) = 0,6 (1 – 20 / 250) = 0,552 3

 fcd sin  f , cos  f  0, 552  13, 3  10  0, 707  1, 0  5082, 6 kPa

Ed = 1135,0 kPa  5082,6 kPa  vyhovuje Příčná výztuž při kombinaci smyku mezi přírubou a stěnou a příčným ohybem: C20/25  fctk0,05 = 1,5; fctd = ct · fctk0,05 / C = 1,0 · 1,5 / 1,5 = 1,0 MPa 0,4 fctd = 0,4 · 1,0 · 103 = 400 kPa  Ed = 1135,0 kPa  požaduje se výztuž nutná pro příčný ohyb, tj.  7 po 200 mm, Asf = 38,5 · 10-6 m2, lze však k výztuži na příčný ohyb přidat plochu výztuže Asf / sf = 0,5 · 38 · 10-6 / 0,2 = 95 · 10-6 m2/m Výztuž kolmou k příčné výztuži navrhneme podle zásad pro rozdělovací výztuž desky. Návrh smykové výztuže

Návrhová únosnost prvků bez smykové výztuže VRd,c  [CRd,c k (100l fck )1/3 ] bw d   min bw d ; VRd ,c   min  0, 035k

3/ 2 1/ 2 fck bw d

CRd,c = 0,12 k = 1 + (200/d)1/2 = 1 + (200/409)1/2 = 1, 70 ≤ 2,0 podle obr. 4.36 předpokládáme dovedení 2  20 do podpory Asl = 628 mm2, tedy

l = Asl /(bw d) = 0,000628 / (0,25 · 0,409) = 0,0061 ≤ 0,02 1/3

1/3

VRd,c  [CRd,c k (100  l fck ) ] bw d  [0,12  1, 70  (100  0, 0061  20) ] 0, 25  0, 409   0, 0480 MN  48, 0 kN

 min  0, 035 k

3/2

1/2

3/2

fck  0, 035  1, 70

1/2

 20

 0,347

VRd ,c   min bw d  0, 347  0, 25  0, 409  0, 0355 MN  35, 5 kN

Při rovnoměrném zatížení trámu a jeho přímém uložení na podporu není třeba posuzovat návrhovou posouvající sílu do vzdálenosti d od líce uložení; v našem případě budeme tedy uvažovat návrhovou posouvající sílu ve vzdálenosti 0,5a + d = 0,15 + 0,409 = 0,559 m od teoretické podpory, návrhová posouvající síla tedy bude 86

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem VEd,0 = (3,000 – 0,559) · 45,11 = 110,1 kN  VRd,c = 48,0 kN  je třeba navrhnout smykovou výztuž

Pro zvolenou hodnotu cot = 2,5 vychází únosnost tlakové diagonály: min (VRd,max) = fcd · bw · 0,9 d · cot /(1 + cot 2) = 0,552 · 13,3 · 0,25 · 0,9 · 0,409 · 2,5/(1 + 2,52) = 0,2330 MN = 233,0 kN > VEd = 110,1 kN

 = 0,5 (1 – fck /250) = 0,6(1 – 20/250) = 0,552 | VEd | ≤ min (VRd,max)  lze navrhnout smykovou výztuž za předpokladu cot = 2,5 Volba: dvoustřižné třmínky st = 6 mm  Asw = 2 · 28,3 = 56,6 mm2 Návrh konstrukční smykové výztuže:  vzdálenost třmínků s ≤ 0,75d = 0,75 · 0,409 = 0,307 m ≤ 0,4 m nerozhoduje  omezení stupně vyztužení:  w 

Asw   w,min  (0, 08 f ck ) / f yk bw s

 w,min  0, 08 30 / 500  0, 00088 Z podmínky w ≥ w,min vyplývá: s 

56, 6 103  0, 257 m 0, 25  0, 00088

Návrh s = 0,25 m

VRd,s 

Asw f ywd s

z cot  

56, 6 106  435 103  0,9  0, 409  2,5  90, 6 kN 0, 25

VEd,0 = 110,1 kN  VRd,s = 90,6 kN x = 90,2/45,11 = 2,0  třmínky 26 po 250 mm vyhoví ve střední části trámu v délce 4,0 m U podpor navrhneme třmínky 2 6 po 200 mm VRd,s 

Asw f ywd s

z cot 

56, 6 106  435 103  0,9  0, 409  2,5  113,3 kN 0, 20

VEd,0 = 110,1 kN  VRd,s = 113,3 kN

4.5.6 Trám spojitý o dvou polích – obdélníkový průřez Navrhněte ohybovou a smykovou výztuž spojitého nosníku o 2 polích (viz obr. 4.39 a 4.40), který se nachází na volném prostranství. Návrhovou životnost nosníku uvažujte 50 let. Nosník je zatížen stálým charakteristickým rovnoměrným zatížením gk = 15 kN/m a proměnným zatížením s charakteristickou hodnotou qk = 25 kN/m; 0 = 0,7. Volte beton C30/37, výztuž B500B. Při návrhu můžete použít redistribuce momentů. Navržené krytí c = 40 mm při předpokládaném profilu ohybové výztuže  = 20 mm a profilu třmínků sw = 6 mm. 87


Obr. 4.39 Schéma spojitého trámu Materiály

Beton C30/37: f cd   cc f ck  30  20 MPa; cc = 1,0  C 1,5 Výztuž B500B: f yd 

f yk

S

 bal,1 



500 1,15

 435 MPa;  yd 

f yd Es



435 200

 2,175 ‰

 cu 3 3, 5   0, 617  cu 3   yd 3, 5  2,175

Geometrie

Obr. 4.40 Příčný řez trámem d1 = d2 = c + sw + 0,5 = 40 + 6 + 0,5 · 20 = 56 mm d = h – d1 = 0,500 – 0,056 = 0,444 m Výpočet silových účinků zatížení

Pro výpočet silových účinků zatížení v ČR se doporučuje uvažovat pro trvalou návrhovou situaci kombinace zatížení stanovené ze vztahů

88

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem ,

  G, j Gk, j "  "  Q,1  0,1 Qk 1 "  "   Q,i  0,i Qk,i  j 1 i 1   j  G, j Gk, j "  "  Q,1 Qk,1 "  "   Q,i  0,i Qk,i i 1  j 1

(6.10a) (6.10b)

přičemž rozhoduje nepříznivější kombinace. V ČR se též dovoluje stanovit silové účinky zatížení pro trvalou návrhovou situaci kombinaci zatížení stanovenou ze vztahu (označení podle [1]).

 j 1

G, j

Gk, j" " Q,1 Qk,1" "  Q,i  0,i Qk,i

(6.10)

i >1

V tomto případě však obdržíme silové účinky zatížení větší než v předchozím případě. Je to tedy méně ekonomické řešení. Uvažujeme: stálé gk = 15 kN/m; proměnné qk = 25 kN/m; 0,1 = 0,7(užitné zatížení kategorie D) Zatěžovací případy pro jednotlivé kombinace jsou uvedeny na obr. 4.41.

a) Zatěžovací stavy pro výpočet podle vztahu (6.10a)

G,j = 1,35 (popř. G,j = 1,0); Q,1 = 1,5; 0,1 = 0,7 Obr. 4.41 Kombinace zatížení

89


b) Zatěžovací stavy pro výpočet podle vztahu (6.10b)

G,j = 1,35 (popř. G,j = 1,0); g,j = 0,85; Q,1 = 1,5

c) Zatěžovací stavy pro výpočet podle vztahu (6.10)

G,j = 1,35 (popř. G,j = 1,0); Q,1 = 1,5 Obr. 4.41 Kombinace zatížení (pokračování)

90

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Redukce návrhových momentů k líci podpory: MEd,B = FEd,,sup · t / 8 = (215,42 + 215,42) · 0,30 / 8 = 16,16 kNm MEd,B red = MEd,B + MEd,B = –271,43 + 16,16 = –255,27 kNm Průběh maximálních a minimálních ohybových momentů je na obr. 4.42.

Obr. 4.42 Průběh maximálních a minimálních ohybových momentů Návrh ohybové výztuže Přímý návrh

Návrh výztuže – viz následující tabulka MEd

d

b







As,req

As,min



Podpora

255,27

0,444

0,25

0,259

0,382

0,847

1 560

167

5 20 1 571

Pole

189,56

0,444

0,25

0,192

0,269

0,893

1 100

167

4 20 1 257

As,prov

Posouzení navržené výztuže Průřez nad podporou: 5 20 x

As f yd

 b  f cd



1571  10 6  435 0,8  0, 25  1  20

 0,171 m

 = x / h = 0,171 / 0,444 = 0,385 < bal,1 = 0,617 MRd = As fyd (d – 0,5  x) = 15571 · 10-6 · 435 · 103 · (0,444 – 0,5 · 0,8 · 0,171) = = 256,68 kNm > MEd = 255,27 kNm  vyhovuje

91

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Průřez v poli: 4  20 x

As f yd

 b  f cd



1257  106  435 0,8  0, 25  1  20

 0,137 m

 = x / h = 0,137 / 0,444 = 0,308 < bal,1 = 0,617 MRd = As fyd (d – 0,5  x) = 1257 · 10-6 · 435 · 103 · (0,444 – 0,5 · 0,8 · 0,137) = = 212,81 kNm > MEd = 189,56 kNm  vyhovuje Redistribuce momentů

Předpokládáme, že podporový moment redukujeme cca na hodnotu MEd,b,redistr,red = 212,81 kNm, což odpovídá únosnosti 4  20

 = MEd,b,redistr,red / MEd,b,red = –212,81 / –255,27 = 0,834 Kontrola redistribuce

  k1 + k2 xu / d = 0,44 + 1,25 (0,6 + 0,0014 / cu2) xu / d = = 0,44 + 1,25 (0,6 + 0,0014/ 3,5) 0,137 / 0,444 = 0,825  0,7 (ocel B) Podmínky pro redistribuci jsou splněny. MEd,redistr = -0,834 · 271,43 = –226,37 kNm VEd,a = 54,71 · 6,3 / 2 – 226,37 / 6,3 = 136,40 kN VEd,b = –54,71 · 6,3 / 2 – 226,37 / 6,3 = 208,27 kN Δ MEd,b = 2 · 208,27 · 0,30 / 8 = 15,62 kNm MEd,b,redistr,red = –222,37 + 15,62 = –210,75 kNm Nad podporou lze použít 4  20 MRd = 212,81 kNm > 210,75 kNm Návrh smykové výztuže

Aby třmínková výztuž vycházela minimální, byla zvolena hodnota cot  = 2,5. To je možné, pokud VEd  min VRd, max  . Únosnost tlakových diagonál při cot  = 2,5 (při cot  = 2,5 únosnost tlakové diagonály je minimální). min. (VRd,max) =  fcd bw

z cot  (1  cot 2  )

 = 0,6 (1 – fck MPa / 250) = 0,6 · (1 – 30 / 250) = 0,528

92

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem  fcd = 0,528 · 20 = 10,56 MPa z = d – 0,5 ·  · xu = 0,444 – 0,5 · 0,8 · 0,137 = 0,389 m min (VRd,max) = 10560 · 0,25 · 0,389 · 2,5 / (1 + 2,52) = 354,12 kN min (VRd,max)  VEd (pro všechny průřezy trámu)  rozměry průřezu a třída betonu vyhovují

Průběh posouvajících sil je znázorněn na obr. 4.43. Smyková výztuž musí splnit podmínku VRd,s  VEd kde VRd,s = w fywd bw z cot  takže  w 

VEd f ywd bw z cot 

Obr. 4.43 Průběh maximálních a minimálních posouvajících sil To znamená pro podporu: a:

 wA 

b:

 wBr 

103,90 103,90   0, 000982 435000  0, 25  0,389  2,5 105759 175, 77 105759

 0, 001662

93

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Minimální stupeň vyztužení  w,min 

 0, 08

fck

f yk

   0, 08 30   0, 000876 500

Pro předpokládané svislé dvojstřižné třmínky 2  6 je při Asw = 57 · 10-6 m2 pro

 w   w,min  0, 000876 

Asw bw sl

Nutná osová návrhová vzdálenost třmínků: sld 

Asw bw   w,min



57  106 0, 25  0, 000876

0, 26 m  sl,max = 0,75 d = 0,75 · 0,444 = 0,333 m

Navržená vzdálenost svislých třmínků je sl = 0,25 m. Návrhová posouvající síla na mezi únosnosti přenášená třmínky je tedy: VRd,s = Asw fywd z cot  / s = 57 · 10-6 · 435 · 103 · 0,389 · 2,5 / 0,25 = 96,45 kN U podpory a je třeba navrhnout třmínky ve vzdálenosti: sld 

Asw

bw  w,min



57 106  0, 232 m 0, 25  0, 000982

Navrženy třmínky ve vzdálenosti 0,20 m. U podpory b je třeba navrhnout třmínky ve vzdálenosti: sld 

Asw

bw  w,min



57 106  0,137 m 0, 25  0, 001662

Navrženy třmínky ve vzdálenosti 0,125 m. Ve střední části jsou třmínky ve vzdálenosti 0,25 m. Schéma uspořádání výztuže (viz obr. 4.44).

94


Obr. 4.44 Schéma uspořádání výztuže

4.5.7 Návrh výztuže jednostranně vyztuženého průvlaku Navrhněte výztuž v železobetonovém průvlaku o průřezu h = 0,50, b = 0,30 m. Uvažujte beton C25/30, XC1, krytí třmínků 30 mm, výztuž B500B. Předpokládané průměry výztuže: tahová výztuž 20, třmínky 8. Průvlak je namáhán ohybovým momentem MEd = 260 kNm a tlakovou normálovou sílou NEd = -300 kN. Uvažujte parabolicko-rektangulární rozdělení napětí v tlačeném betonu a výztuž bez zpevnění.

95


d = 0,50 – 0,030 – 0,008 – 0,020/2 = 0,452 m zs1 = 0,202 m

Obr. 4.45 Průřez trámu Materiály

Beton C25/30: f cd   cc Výztuž B500B: f yd 

C

f yk

S

 bal,1 

bal,2=

f ck





25  16, 7 MPa; cc = 1,0; fctm = 2,6 MPa 1,5

f yd 435 500  435 MPa;  yd    2,175 ‰ 1,15 Es 200

 cu3 3,5   0, 617  cu3   yd 3,5  2,175

 cu3 3,5   2, 632  cu3   yd 3,5  2,175

Návrh výztuže

Poměrný ohybový moment  Ed 

260  103  (-300  103 )  0 , 202 0 , 3  0 , 4522  16 , 7

 0 , 319

z tab. 2.4 v Příloze 2 interpolací stanovíme   0, 4023 1 Staticky nutná plocha výztuže je As  1 b d

fcd f yd



N Ed f yd

 0 , 4023  0 , 3  0 , 452 

16 , 7 435



0 , 300 435

 0 , 001401 mm 2

Výška tlačené oblasti je x  d   0, 452  0, 4968  0, 225 m Posouzení poměrné výšky tlačené oblasti   0, 4968 < bal ,1  0,617  navrhneme tahovou výztuž 5 20 = 1571 mm2

96

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Kontrola vyztužení As1,min 

0, 26  f ctm bt d f yk



0, 26  2, 6  0, 25  0, 452 500

2

-6

2

 152  10 6 m  As1 = 1571 · 10 m

As1,min = 0,0013 bt d = 0,0013 · 0,25 · 0,452 = 147 · 10-6 m2 Posouzení

 f yd N Stanovíme 1   As1  ED  f yd b d f cd 

  0,300  435  0, 4342    0, 001571     435  0,3  0, 452 16, 7 

Z tab. 2.3 v Příloze 2 stanovíme interpolací hodnoty  = 0,777, ξ = 0,5364, β = 0,810, ka = 0,416. Dále: rameno vnitřních sil z = d  = 0,452 · 0,777 = 0,351 m poloha neutrální osy od horního líce x = d ξ = 0,452 · 0,5364 = 0,242 m poloha těžiště tlačené části průřezu od horního líce ax = ky x = 0,416 · 0,242 = 0,101 m M Rd   b x  f cd (0,5 h  a x )  As f yd zs1 = 0,81 · 0,3 · 0,242 · 1 · 16,7 · 10-3 · (0,5 · 0,5 – 0,101) + 0,001571 · 435 · 103 · 0,202 = = 146,3 + 138 = 284,3 kNm > MEd = 260 kNm  výztuž vyhovuje

4.5.8 Návrh výztuže oboustranně vyztuženého průvlaku Železobetonový průvlak o průřezu h = 0,500 m, b = 0,300 m. Beton C25/30, XC1, krytí třmínků 30 mm. Betonářská výztuž B500. Třmínky dvoustřižné  8 po 150 mm. Předpokládaná tahová výztuž  25, předpokládaný průměr horní výztuže  20. Návrhový ohybový moment MEd = 400 kNm a tlaková normálová síla NEd = –300 kN. Uvažujte parabolicko-rektangulární rozdělení napětí v tlačeném betonu a výztuž bez zpevnění. Účinná výška průřezu d = 0,50 – 0,030 – 0,008 – 0,013 = 0,449 m. Vzdálenost těžiště horní výztuže od horního líce průřezu je d2 = 0,030 + 0,008 + 0,010 = 0,048 m, rameno zs1 = 0,199 m a rameno zs2 = 0,202 m. Poměr d 2 / d  0, 048 / 0, 449  0,107  0,10 Poměrný ohybový moment je  Ed 

400 103  (-300 103 )  0,199 0,3  0, 4492 16, 67

 0, 456

Předpokládáme   0,617 a z tab. 2.4 v Příloze P 2 pomocí interpolace stanovíme další parametry 1 = 0,5936, 2 = 0,0936

97


Obr. 4.46 Průřez průvlaku Staticky nutná plocha výztuže je As1  1 b d

f cd N Ed 16, 67 0,300   0,5936  0,3  0, 449    0, 00238 mm 2 434,8 434,8 f yd f yd

Navrhneme tahovou výztuž 5  25 = 2454 mm2 As2  2

bd = 0, 0936  0,3  0, 449 16, 67 / 434,8  0, 000483 mm 2 f yd /f cd

Navrhneme tlačenou výztuž 2  18 = 509 mm2



0,0035  0,5443  0,617 0,0035  0,00293

Výška tlačené oblasti je x

N Ed  ( As1  As2 ) f yd 0,8  b f cd



0,3  (0, 002454  0, 000509)  434, 78  0, 283 m 0,81  0,3 16, 67

x  0, 283   bal,2 d 2  2, 632  0, 048  0,126   s2  f yd

Kontrola únosnosti M Rd  b  x  f cd (0,5h  a x )  As2 f yd z2  As1 f yd z1 =

= 0,3 · 0,8 · 0,283 · 1 · 16670 · (0,5 · 0,5 – 0,283 · 0,416) + 0,000509 · 434780 · 0,202 + + 0,002454 · 434780 · 0,199 = 155,6 + 44,7 + 212,3 = 412,6 kNm > 400 kNm Průřez vyhovuje. Podmínka účinnosti tlačené výztuže  s2  0, 00293  434, 78 / 200000  0, 00217 Poznámka: Pokud počítáme s tlačenou výztuží, je třeba tuto výztuž zajistit proti vybočení jako u tlačených sloupů.

98

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem 4.5.9 Návrh výztuže oboustranně vyztuženého průvlaku Železobetonový průvlak o průřezu h = 0,500 m, b = 0,300 m. Beton C25/30, XC1, krytí třmínků 25 mm. Betonářská výztuž B500. Třmínky dvoustřižné  8 po 150 mm. Předpokládaná tahová výztuž  20, předpokládaný průměr horní výztuže  14. Návrhový ohybový moment MEd = 290 kNm a tlaková normálová síla NEd = –700 kN. Uvažujte parabolicko-rektangulární rozdělení napětí v tlačeném betonu a průřez oboustranně vyztužený. Účinná výška průřezu d = 0,50 – 0,025 – 0,008 – 0,010 = 0,457 m. Vzdálenost těžiště horní výztuže od horního líce průřezu je d2 = 0,025 + 0,008 + 0,007 = 0,04 m, rameno zs1 = 0,207 m a rameno zs2 = 0,21 m. Poměr d2 / d  0, 040 / 0, 457  0, 088  0,10 Poměrný ohybový moment  Ed 

290 103  (-700 103 )  0, 207 0,3  0, 457 2 16, 67

 0, 416

Předpokládáme   0, 617 a z tab. 2.4 v Příloze P2 pomocí interpolace stanovíme další parametry 1 = 0,5492, 2 = 0,0492 Staticky nutná plocha výztuže je As1  1 b d

f cd N Ed 16, 67 0, 700   0,5492  0,3  0, 457    0, 001277 mm 2 434,8 434,8 f yd f yd

Navrhneme tahovou výztuž 4  20 = 1257 mm2 As2  2

bd = 0, 0492  0,3  0, 457 16, 67 / 434,8  0, 000259 mm 2 f yd / f cd

Navrhneme tlačenou výztuž 2  14 = 308 mm2



0, 0035  0, 5443  0, 617 0, 0035  0, 00293

Výška tlačené oblasti je x

N Ed  ( As1  As2 ) f yd 0,8  b f cd



0, 70  (0, 001257  0, 000308)  434, 78  0, 275 m 0,8  0,3 16, 67

x  0, 275   bal,2 d 2  2, 632  0, 04  0,105   s2  f yd

99

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Kontrola únosnosti M Rd   b x  f cd (0,5h  x)  As2 f yd z2  As1 f yd z1 =

= 0,81 · 0,3 · 0,275 · 1 · 16670 · (0,5 · 0,5 – 0,416 · 0,275) + 0,000308 · 434780 · 0,21 + 0,001257 · 434780 · 0,207 = 151,1 + 28,1 + 113,1 = 292,3 kNm > 290 kNm Průřez vyhovuje. Poznámka: Pokud počítáme s tlačenou výztuží, je třeba tuto výztuž zajistit proti vybočení jako u tlačených sloupů.

4.6.10 Protlačení základové patky Ověřte únosnosti v protlačení železobetonové základové patky podle obr. 4.47 z betonu třídy C 20/25. Při řešení je třeba nalézt kritický obvod průřezu na protlačení, u kterého se nejvíce přiblíží smykové napětí od návrhového zatížení vEd k ekvivalentní smykové pevnosti tohoto průřezu vRd.

Obr. 4.47 Posuzovaná základová patka

Na zvoleném kontrolovaném obvodu ui se stanoví smykové napětí v protlačení vEdi ze vztahu:

vEdi 

VEd,red ui d



VEd  VEdi ui d

 A  VEd   1  i   Ab   ui d

(4.57)

kde Ai je plocha základu uvnitř kontrolovaného obvodu Ab

plocha celé základové patky, pro náš případ Ab = l2 = 5,02 = 25 m2

Ekvivalentní smykovou pevnost betonu ve zvoleném kontrolovaném průřezu lze určit ze vztahu: vRdi = CRd,c k (100ρl fck)1/3 (2 d/ ai)  vmin (2 d/ ai)

100

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem kde hodnoty d a l se uvažují průměrnými hodnotami





d  dx  dy / 2

kde dx, dy jsou účinné výšky ve směru x, y

l  lx  ly kde lx , ly jsou stupně vyztužení ve směru x, y S přihlédnutím k tomu, že musí být ai  2 d, lze uvažovat vRd,i = vRd,c (2 d/ ai)  vRd,c

kde vRd,c = CRd,c k (100ρl fck)1/3  vmin Kritický průřez na protlačení bude ve vzdálenosti ai = acrit , při které bude rozdíl (vRdi – vEdi) minimální. Pro náš příklad uvažujeme: VEd  7, 4 MN

Plocha základové patky: Ab = 5,02 = 25 m2 Průměrná účinná výška patky: d = 1 m Průměrný stupeň vyztužení: ρl = 0,005  100 ρl = 0,5 % Charakteristická pevnost betonu v tlaku: fck = 20 MPa CRd,c  0,18 / 1, 5  0,12 k  1  (200 / 1000)1/ 2  1, 447

takže vmin  0, 035  1, 447

3/ 2

1/ 2

 20

 0, 035  1, 741  4, 47  0, 273 MPa

vRd,c  0,12  1, 447   0, 5  20 

1/3

 0, 374 MPa

vRd,c  0, 374 MPa  vmin  0, 273 MPa

Pro rychlé nalezení hodnoty acrit je možné použít přibližného odhadu této hodnoty pomocí grafu na obr. 4.48.

101


Obr. 4.48 Stanovení rozměrů základové patky a hodnoty acrit

Orientačně lze s využitím tohoto grafu též základovou patku posoudit. Navržené rozměry patky vyhovují, pokud pro parametry c / d, l / c vyjde poměr VEd / vRc,d d2 menší než mezní hodnota podle obr. 4.48c. Pro náš příklad platí: c / d  0, 5 / 1, 0  0, 5 l / c  5, 0 / 0, 5  10









VEd / vRd,c d 2  7, 4 / 0,374 1, 02  19,8  21

Z grafu na obr. 4.48b lze pak odhadnout pro stejné parametry přibližný poměr acrit / d. Pro náš příklad: acrit / d  0, 7  acrit  0, 7 1, 0  0, 7 m

Pro stanovení přesné hodnoty acrit je však nutné použít iterační výpočet podle následujícího příkladu pro volené hodnoty ai. 102

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Pro obvod zvoleného kontrolovaného průřezu ui (viz obr. 4.47) ui  4  c  2   ai  4  0,5  2  3,14  ai  2  6, 28 ai

a plochu uvnitř kontrolovaného obvodu Ai  c 2  4  c ai   ai2  0,52  4  0,5  ai  3,14  ai2  0, 25  2ai  3,14 ai2

Pak se určí hodnoty vEdi a vRdi a jejich rozdíl (vRdi – vEdi). Po dosazení bude

vEdi

 A  A VEd   1  i  7, 4 1  i  Ab  25      ui d ui 1, 0

vRd,i = vRd,c (2 d / ai) = 0,374 · 2,0 / ai = 0,748 / ai

Pro minimální hodnotu (vRdi – vEdi) je ai = acrit Hodnotu acrit hledáme v okolí hodnoty 0,7 m. V tab. 4.2 stanovíme pro ai = 0,6 m; 0,7 m; 0,8 m; 0,9 m a 1,0 m s použitím výše uvedených vztahů určíme hodnoty ui, Ai, vEd,i, vRd,i a hodnotu rozdílu (vRdi – vEdi). Hodnoty rozdílů (vRdi – vEdi) jsou graficky vyneseny v závislosti na hodnotě ai v obr. 4.49. Z tohoto obrázku je zřejmé, že minimální rozdíl (vRdi – vEdi) bude pro hodnotu ai = acrit = 0,88 m. Tab. 4.2 Hodnoty ai; ui, Ai, vEd,i, vRd,i, (vRdi – vEdi) ai m ui m Ai m2 vEd,i MPa VRd,i MPa (vRdi – vEdi) MPa

0,6 5,7680 2,5804 1,1505 1,2467 0,0962

0,7 6,3960 3,1886 1,00941 1,06857 0,0552

0,8 7,0240 3,8595 0,8909 0,9350 0,0441

0,9 7,6520 4,5934 0,7894 0,8311 0,0417

1,0 8,2800 5,3900 0,7010 0,7480 0,0470

Obr. 4.49 Závislost (vRdi – vEdi) na hodnotě ai

103

MSÚ – prvky namáhané ohybem a smykem Pro ai = acrit = 0,88 m stanovíme: ucrit  2, 0  6, 28  0, 88  7, 5264 m 2

Acrit  0, 25  2, 0  0,88  3,14  0, 88  4, 441616 m

v Ed,crit 

 

7,4   1 

2

4,441616  25,0

7,5264  1,0

   0,8085 MPa

vRd,crit  0, 374   2, 0 / 0, 88   0, 85 MPa vRd,crit  vEd,crit  0,85  0,808525  0, 0415 MPa

Z obr. 4.49 je zřejmé, že v poměrně široké oblasti (0,80 až 1,00) jsou rozdíly (vRdi – vEdi) velmi malé. Z toho plyne, že stanovení ai se nemusí provádět tak podrobně; postačí hodnoty z tab. 4.2 pro ai = 0,9 m. Navržená základová patka bez smykové výztuže na protlačení vyhovuje, poněvadž je současně splněna podmínka spolehlivosti: vRd,crit  0,85MPa  vEd,crit  0,8085 MPa

104

4 MSÚ prvky namáhané ohybem a smykem

Recommend Documents