Předpjatý beton Přednáška 9. Obsah Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza napjatosti, dimenzování

Předpjatý beton Přednáška 9

Obsah



Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza

napjatosti, dimenzování.

Analýza napjatosti – namáhání předpjatých prvků



Analýza napjatosti – namáhání předpjatých prvků 

Ohybový moment a posouvající síla od zatížení  

σx=0

Smyková trhlina – vzniká ve stojině nosníku, typická pro PB Ohybově smyková trhlina – vzniká v tažených vláknech – typická pro ŽB

σ1 – hlavní tah σ2 – hlavní tlak σx – normálové napětí τxz - smykové napětí

Analýza napjatosti – namáhání předpjatých prvků

  

Kroucení – trajektorie hlavních napětí ve tvaru šroubovice – tahové a tlakové trajektorie kolmo na sebe (viz další list) Kombinace M, N, V, T od zatížení – prostorová napjatost Vliv předpětí (působí proti zatížení):  Ovlivnění směru a snížení velikosti hlavních napětí  Redukce posouvající síly od vnějšího zatížení  složkou předpínací síly kolmou ke střednici Vpp (viz obr.)  v případě náběhů svislými složkami sil v šikmém taženém nebo tlačeném pásu (podle EN na stranu únosnosti VRd = VRd,s + Vccd + Vtd )

Analýza napjatosti – namáhání předpjatých prvků  

Příčné předepnutí (příčný ohyb – deska, konzola) - σy Svislé předpětí – předpínací tyče – σz , zvětšení únosnosti ve smyku

Trajektorie hlavních napětí pro kroucení: - čárkovaně pro tlak - plnou čarou pro tah

Analýza za předpokladu pružného chování



Analýza za předpokladu pružného chování  Běžné

provozní zatížení – nevznikají trhlinky (napětí v betonu v tahu je většinou menší než přípustné)  Při statické analýze lze brát vztahy z teorie pružnosti (dle některých předpisů bylo možné brát i při výpočtu únosnosti ve smyku pomocí hlavních napětí – viz ČSN 736207 – dnes již neplatná)  Předpoklad pružného chování pro stanovení únosnosti betonu ve smyku využívají i normy vycházející z teorie mezních stavů (neočekává se ohybová trhlina – σct ≤ fctd):  ČSN EN 1992-1-1  Pozn.: Při vzniku trhlin podobný postup jako u ŽB zohledňující vliv trhlin (viz EN 1992-1-1).




Smyková napětí od V  Kombinace

zatížení (většinou max.V, odp. M,N,T)  Napětí od svislé posouvající síly 

ve stojině xz

v přírubě xy  Ověření rozhodujících řezů  Vodorovný  ve stojině v těžišti  při přechodu stojiny do příruby  Svislý přírubou při napojení stěny 

Smykové napětí:

 xz 

VzU y I y b( z )




Smyková napětí od T 

kroucení může být  



Prosté – rovinné průřezy, jen T Při němž dochází k deplanaci  Volné krouceníneomezena  Vázané kroucení-omezena

průřezy a stanovení napětí: 



tenkostěnné (vzhledem k okrajovým podmínkám nelze zanedbat vázané kroucení) – odvozeny zjednodušené vzorce - např. Bredtův vztah masivní – vychází z rovnic pro prostorovou napjatost, smyková napětí získáme derivací Prandtlovy funkce podle z resp. y. U obecných průřezů pouze s použitím moderních numerických metod.

τt = T / (2.Ak.t)

Analýza za předpokladu pružného chování 

Smyková napětí způsobená V a T se superponují



Výpočet hlavního napětí – obecně pro prostorovou napjatost – běžně si vystačíme s rovinnou napjatosti (Mohrova kružnice):

           2  2  2



x

1 ,2

y

x

y

2 xy

pro horní desku komorového průřezu

Ze vztahu je zřejmé, že max. hlavní napětí je v místě největšího smykového napětí a tam, kde je minimální tlakové normálové napětí. V tažené části se hlavní napětí nepočítá.


Max 1 – určení nebezpečného průřezu: 

řez I - 0,0 m 



řez II - 1,0 m a III - 2,0 m 



v těžišti průřezu nebo přechod do horní příruby posun k menšímu tlakovému napětí v přechodu stěny do dolní příruby

řez IV - 3,0 m v místě neutrální osy  v místě přechodu do dolní příruby při nulovém normálovém napětí  tahy v tažené oblasti přenese výztuž 



poznámka – ve skutečnosti bude mít prvek v podpoře plný průřez (s půdorysným náběhem) – nebezpečný průřez tam, kde směrem od podpory začíná být stojina nejtenčí

Mezní plastická únosnost průřezu



Mezní plastická únosnost průřezu  překročí-li

hodnota napětí v hlavním tahu pevnost betonu v tahu – vznikne trhlina, neplatí pružnost. Řešení pro namáhání posouvající silou: Z rovnováhy normálových a podélných smykových napětí odvodil Mörsch vztah pro max. hodnotu smykového napětí v průřezu porušeném ohybovou trhlinou. Ritter a Mörsch – model – zatížení přenášeno systémem betonových vzpěr a ocelových táhel – diagonální vzpěry se po vzniku trhliny tvoří pod úhlem 45° - příhradová analogie s konstantním úhlem diagonál.



V bw z




Mezní plastická únosnost průřezu V průběhu vývoje změna – příhradová analogie s variabilním úhlem diagonál (např. ČSN EN 1992-1-1).

Předpokládejme betonový vyztužený element namáhaný pouze posouvající silou, porušen šikmými trhlinami pod úhlem θ = úhel tlakové diagonály. S ohledem na šikmé trhliny vzdoruje beton pouze v tlakové diagonále. Svislou sílu přenáší třmínky (obr. (c)). Vodorovnou složku zachycuje podélná předpínací popř. betonářská výztuž.





Síla v diagonále: D = VE / sin θ = σc . bw . z . cos θ → Napětí v tlakové diagonále: σc = VE / (bw . z . sin θ . cos θ) =

= VE . (tg θ + cotg θ ) / (bw . z) → Lze při známém úhlu θ a při volbě napětí σc rovné pevnosti betonu v tlaku určit VRd,max .


Mezní plastická únosnost průřezu Svislá síla: Fsw = σc . bw . z . s . sin2 θ 

Síla v třmíncích: Fsw = Asw . σw

Svislá síla = síla v třmíncích (po dosazení za σc – viz předcházející list):

Asw . σw / s = VE . tg θ / z → při σw = fywd se určí VRd,s.





Vodorovná síla:

Fs + ∆Fp = VE . cotg θ

kde Fs je výslednice tahu v betonářské výztuži od posouvající síly,

∆Fp je výslednice tahu v předpínací výztuži od posouvající síly.

Ve třech předcházejících rovnicích (podmínkách rovnováhy) jsou 4 neznámé:

σc , θ , σw , Fs + ∆Fp





Možnosti řešení (stanovení sil pro únosnost): - vhodná volba úhlu tlakové diagonály θ (má mnoho řešení), - předpoklad dosažení pevnosti betonu v tlaku fcd (nutno zahrnout vliv snížení v důsledku příčných tahů), - dosažení meze kluzu (resp. návrhové pevnosti) ve výztuži příčná výztuž: σw = fywd , podélná výztuž: Fs + ∆Fp = Fy

Význam metody: - vysvětluje nárůst síly v podélné výztuži – pravidlo o posunu obrazce této síly, - vysvětluje princip požadované únosnosti ve smyku – třmínky v šikmém řezu musí přenést posouvající sílu na konci tohoto řezu, - je to metoda založená na teorii plasticity, protože splňuje podmínky rovnováhy, plasticity (nesplňuje podmínky kompatibility přetvoření).




Mezní plastická únosnost průřezu Využití příhradové analogie u nosníků předpjatých kabely obecné geometrie – přímé a zakřivené dráhy kabelů, vliv na dostatečné zakotvení podélné předpínací výztuže, možná přídavná řádně zakotvená betonářská výztuž u předem předpjatého nosníku.

Teorie tlakových polí – splňuje i podmínky kompatibility přetvoření.




Mezní plastická únosnost průřezu  Řešení 



pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin):

nejúčinnější výztuž sledující trajektorie hlavních napětí (tvar šroubovice) – to nelze, proto se používá výztuž jako:  uzavřené třmínky svařované nebo kotvené přesahem  podélná výztuž rozmístěná rovnoměrně po obvodě Tyto tvoří složky výsledné tahové síly ve směru hlavních tahů. rovnováhu zajišťují betonové vzpěry ve směru hlavních tlaků

Toto vyztužení se superponuje se stávajícím vyztužením na M a V.




Mezní plastická únosnost průřezu  Řešení 





pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin):

kroucení vzdoruje účinný průřez (nebezpečí odprýskání betonu) – používá se model tzv. ekvivalentního tenkostěnného uzavřeného průřezu (i pro plné průřezy), složené průřezy lze rozdělit na dílčí průřezy, stanovit pro ně únosnost v kroucení a následně stanovit celkovou únosnost jako součet únosností jednotlivých dílčích průřezů, dalším modelem je prostorová násobná příhradová soustava

Smyk podle EN ČSN 1992-1-1



Porušení smykem od V podle ČSN EN 1992-1-1



Prvky bez smykové výztuže 1) V oblastech bez ohybových trhlin (pokud napětí v tahu za ohybu je menší než fctk,0,05/c) má být únosnost ve smyku omezena pevností betonu v tahu. V těchto oblastech je únosnost ve smyku dána vztahem:   bw VRd,c   fctd 2  l  cpfctd S



2) U předpjatých nosníků bez smykové výztuže lze vypočítat únosnost ve smyku v oblastech s ohybovými trhlinami s použitím vztahu :  VRd,c =

[CRd,c.k.(100.l .fck)1/3 + k1 .cp] .bw.d

při minimu

VRd,c = (vmin + k1.cp).bw .d CRd,c = 0,18/ γc , k = 1 + (200/d)1/2 ≤ 2,0 , (d v mm), ρl = Asl /(bw.d) ≤ 0,02 , vmin = 0,035.k3/2.fck1/2 ,

 cp = NEd/Ac < 0,2 fcd

[MPa], NEd normálová síla v průřezu od zatížení nebo předpětí [v N] (NEd > 0 pro tlak). Vliv vnesených deformací na NEd lze zanedbat, AC plocha betonového průřezu [mm2], k1 je 0,15.




Prvky se svislou smykovou výztuží VRd,s = (Asw / s) . z . fywd . cotg  VRd,max = cw . bw . z .1 . fcd / (cotg + tan ) FEd = 0,5 . VEd . (cotg - tan ) + NEd = VEd . al / z + NEd Asw,max /s ≤ 0,5 . cw . 1 . fcd . bw / fywd

- pro cotg  =1,0

cw součinitel, kterým se zohledňuje stav napětí v tlačeném pásu: 1,0 pro nepředpjaté konstrukce (1 + cp/fcd) pro 0 < cp  0,25 fcd 1,25 pro 0,25 fcd < cp  0,5 fcd 2,5 (1 - cp/fcd) pro 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd kde cp je průměrné napětí betonu v tlaku uvažované jako kladné, vyvolané návrhovou normálovou silou. Toto napětí se má získat zprůměrováním po betonovém průřezu při uvažování výztuže. Hodnota cp se nemusí počítat ve vzdálenosti menší než 0,5d . cot od líce uložení.




Porušení smykem od T podle ČSN EN 1992-1-1

VEi = TE. zi / (2.Ak) = TE / (2.Ak . cot θ) pro zi ≈ z ,

prvky bez trhlin

prvky s trhlinami

Předpjatý beton Přednáška 9. Obsah Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza napjatosti, dimenzování

Recommend Documents