3. Polynomy Verze 338

3. Polynomy

Verze 338.

V te´to kapitole se veˇnujeme vlastnostem polynomu˚. Definujeme za´kladnı´ pojmy, ktere´ se k nim va´zˇ´ı, definujeme algebraicke´ operace s polynomy. Diskutujeme deˇlitelnost polynomu˚, existenci nejveˇtsˇ´ıho spolecˇne´ho deˇlitele. Da´le se zaby´va´me korˇeny polynomu˚, jejich na´sobnostı´ a hleda´nı´. Za´veˇr kapitoly je pak veˇnova´n polynomu˚m s rea´lny´mi, celocˇ´ıselny´mi koeficienty a raciona´lnı´m lomeny´m funkcı´m. Polynomem (jedne´ promeˇnne´ oznacˇene´ x) n-te´ho stupneˇ s koeficienty z cˇ´ıselne´ho pole P rozumı´me vy´raz1) an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x 1 + a0 ,

(3.1)

kde a0 , a1 , . . . , an ∈ P a an 6= 0. Cˇ´ıslu an rˇ´ıka´me vedoucı´ koeficient. Cˇ´ıslu˚m a0 , . . . , an rˇ´ıka´me koeficienty polynomu f (x). Nulovy´ polynom je cˇ´ıslo 0. Pokud je vedoucı´ koeficient roven jedne´ mluvı´me o normovane´m polynomu. Pokud je stupenˇ polynomu roven dveˇma (respektive jedne´, respektive nule) nazy´va´me jej kvadraticky´(respektive linea´rnı´, respektive konstantnı´). Stupenˇ polynomu f (x) oznacˇujeme deg f (x). Jelikozˇ polynomy u´zce souvisı´ s funkcemi, oznacˇujeme polynomy stejneˇ jako jsme zvyklı´ oznacˇovat zobrazenı´ (tedy naprˇ´ıklad f (x)).

3.1 Operace s polynomy. Necht’ f (x) = an x n + · · · + a1 x 1 + a0 , g(x) = bm x m + · · · + a1 x 1 + a0 jsou dva polynomy a n ≥ m definujeme soucˇet polynomu˚ jako polynom f (x) + g(x) = an x n + · · · + am−1 x m−1 + (am + bm )x m + · · · + (b1 + a1 )x 1 + a0 + b0 . Obdobneˇ definujeme soucˇet pro prˇ´ıpad, zˇe n < m. Da´le definujeme soucˇin polynomu˚  X  f (x) · g(x) = an bm x n+m + · · · + ai b j x k + · · · + a0 b0 . i+ j=k

Veˇta 3.1 (Deˇlenı´ se zbytkem). K libovolne´ dvojici polynomu˚ f (x), g(x) existujı´ polynomy q(x), r (x) takove´, zˇe platı´ f (x) = g(x) · q(x) + r (x),

(3.2)

prˇicˇemzˇ stupenˇ polynomu r (x) je mensˇ´ı nezˇ stupenˇ polynomu g(x). Polynomy q(x), r (x) jsou urcˇeny jednoznacˇneˇ. Polynom q(x) se nazy´va´ (cˇa´stecˇny´) podı´l a polynom r (x) zbytek deˇlenı´ polynomu˚ f (x) a g(x). D u˚ k a z. Existence nenı´ zatı´m doka´za´na. Oveˇrˇme jednoznacˇnost polynomu˚ r (x), q(x). Prˇedpokla´dejme, zˇe existujı´ ru˚zne´ r1 (x), r2 (x) a q1 (x), q2 (x) splnˇujı´cı´ f (x) = q1 (x) · g(x) + r1 (x) 1) V tomto vy´razu znamena´ x i i-tou mocninu cˇ´ısla x. Nejedna´ se zde o index. To je trˇeba mı´t na mysli v cele´ te´to kapitole.

7

8

3. Polynomy Verze 338. f (x) = q2 (x) · g(x) + r2 (x).

Porovna´me prave´ strany obou rovnic. g(x)(q1 (x) − q2 (x)) = r1 (x) − r2 (x).

(3.3)

Pokud by q1 (x) − q2 (x) nebyl nulovy´, pak by stupenˇ r1 (x) nebo r2 (x) nebyl mensˇ´ı nezˇ stupenˇ g(x). Musı´ tedy by´t q1 (x) = q2 (x). V tom prˇ´ıpadeˇ ale z rovnice (3.3) plyne r1 (x) = r2 (x). Polynom f (x) je deˇlitelny´ polynomem g(x), jestlizˇe zbytek po jejich deˇlenı´ r (x) = 0. To, zˇe polynom g(x) je deˇlı´ polynom f (x) znacˇ´ıme g | f . Veˇta 3.2 (Vlastnosti deˇlitelnosti). 1) Jestlizˇe g | f a g | h, potom f | h. 2) Jestlizˇe h | f a h | g, potom i h |( f ± g). 3) Jestlizˇe h | f a g(x) je libovolny´ polynom, potom i h |( f · g). 4) Kazˇdy´ polynom je deˇlitelny´ polynomem stupneˇ 0. 5) Jestlizˇe h | f a c ∈ P, potom (c · h) | h. 6) Deˇliteli polynomu f (x) stejne´ho stupneˇ jako f (x) jsou vsˇechny polynomy tvaru c · f (x), c ∈ P \ {0}. 7) Polynomy jsou vza´jemneˇ deˇlitelne´, jestlizˇe pro neˇjake´ c ∈ P je g(x) = c · f (x). 8) Kazˇdy´ z deˇlitelu˚ polynomu˚ f (x) a c · f (x) je deˇlitelem i druhe´ho. D u˚ k a z. Prˇenecha´va´me cˇtena´rˇi jako uzˇitecˇne´ cvicˇenı´. Nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel polynomu˚ f (x) a g(x) je libovolny´ polynom h(x), ktery´ je deˇlitelem obou polynomu˚ a za´rovenˇ je sa´m deˇlitelny´ kazˇdy´m spolecˇny´m deˇlitelem f (x) a g(x). Libovolne´ dva polynomy majı´ nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel a ten je urcˇen jednoznacˇneˇ azˇ na na´sobek polynomem nulte´ho stupneˇ (oznacˇujeme jej N S D( f (x), g(x))). Eukleidu˚v algoritmus Necht’ f (x) a g(x) jsou neulove´ polynomy, deg f (x) ≥ deg g(x), posloupnost polynomu˚ r0 (x), r1 (x), r2 (x), . . . takova´, zˇe r0 (x) = f (x), r1 (x) = g(x) a je-li rk (x), rk+1 (x) jizˇ zna´mo, je rk+2 rovno zbytku po deˇlenı´ rk (x) a rk+1 , tedy rk (x) = rk+1 (x) · qk (x) + rk+2 kde deg rk+2 (x) < deg rk−1 (x) nebo rk+2 (x) = 0. Potom existuje nejmeˇnsˇ´ı cˇ´ıslo n ∈ N takove´, zˇe rn+1 (x) = 0 a polynom rn (x) je nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel polynomu˚ f (x) a g(x). D u˚ k a z. Nejprve doka´zˇeme exitenci cˇ´ısla n. Kdyby totizˇ byly vsˇechny polynomy rk nenulove´ platilo by deg r1 (x) > deg r2 (x) > deg r3 (x) > · · ·, cozˇ ale nenı´ mozˇne´ pro nekonecˇneˇ mnoho cˇlenu˚. Tedy pozˇadovane´ cˇ´ıslo n existuje. Nynı´ uka´zˇeme, zˇe rn (x) je spolecˇny´ deˇlitel f (x) a g(x). Platı´ rn−1 (x) = rn (x) · qn−1 (x) (definice cˇ´ısla n) rn−2 (x) = rn−1 (x) · qn−2 (x) = rn (x) · qn−1 (x) · qn−2 (x) ··· r0 = rn (x) · qn−1 (x) · qn−2 (x) · · · q0 (x). Tedy rn (x) deˇlı´ f (x) = r0 (x) i g(x) = r1 (x). Zby´va´ uka´zat, zˇe rn (x) je nejveˇtsˇ´ı. Necht’ tedy d(x) je take´ spolecˇny´ deˇlitel r0 (x) a r1 (x). To ale d(x) deˇlı´ i r2 (x), protozˇe r2 (x) = r0 (x) − r1 (x) · q0 (x).

(viz 2), 3) veˇta 3.2)

Podobneˇ lze postupovat da´le, azˇ dostaneme, zˇe d(x) deˇlı´ i rn (x). To ale znamena´, zˇe rn (x) je nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel.

Algebra I

9

Du˚sledek 3.3 (Bezoutova veˇta). Necht’ f (x), g(x) jsou polynomy a h(x) jejich nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel, potom existujı´ polynomy u(x), v(x) takove´, zˇe f (x) · u(x) + g(x) · v(x) = h(x).

(3.4)

Specia´lneˇ, jsou-li f (x) a g(x) nesoudeˇlne´, potom f (x) · u(x) + g(x) · v(x) = 1.

(3.5)

Najdeˇme nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel polynomu˚ f (x) = x 4 + x 2 − 2 a polynomu g(x) = x 2 + 2x − 3. Nejprve podeˇlme se zbytkem f (x) a g(x), tedy (x 4 + x 2 − 2) : (x 2 + 2x − 3) = x 2 − 2x + 8 + −(x 4 + 2x 3 − 3x 2 ) −2x 3 + 4x − 2 −(−2x 3 − 4x 2 + 6x) 8x 2 − 6x − 2 2 −(8x + 16x − 24) −22x + 22

−22x + 22 . x 2 + 2x − 3

V oznacˇenı´ pouzˇite´m v Euleidoveˇ algoritmu ma´me r0 (x) = x 4 + x 2 − 2, r1 (x) = x 2 − 2x + 8. Po provedene´m deˇlenı´ je dalsˇ´ı cˇlen posloupnosti roven zbytku po tomto deˇlenı´, mu˚zˇeme si dovolit ale tento zbytek vyna´sobit libovolny´m 1 cˇ´ıslem, trˇeba − 22 . Tedy r2 (x) = x − 1. Pokracˇujeme deˇlenı´m r1 (x) a r2 (x). (x 2 + 2x − 3) : (x − 1) = x + 3 −(x 2 − x) 3x − 3 3x − 3 0 Vysˇlo na´m r3 (x) = 0, tedy nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel polynomu˚ f (x) a g(x) je r2 (x) = x − 1.

3.2 Korˇeny polynomu˚. Necht’ f (x) je polynom s koeficienty z pole P, cˇ´ıslo c ∈ P nazveme korˇenem polynomu f (x), jestlizˇe platı´ f (c) = 0. Hodnotou polynomu f (x) v bodeˇ b ∈ P rozumı´me cˇ´ıslo f (b). Korˇen c polynomu f (x) je k-na´sobny´, kde k ∈ N, jestlizˇe je f (x) deˇlitelny´ (x − c)k ale nenı´ deˇlitelny´ (x − c)k+1 . Problematiku existence korˇenu˚ polynomu nad polem komplexnı´ch cˇ´ısel rˇesˇ´ı na´sledujı´cı´ veˇta. Veˇta 3.4 (Gaussova, Za´kladnı´ veˇta Algebry). Kazˇdy´ nekonstantnı´ polynom s koeficienty z pole komplexnı´ch cˇ´ısel ma´ v tomto poli alesponˇ jeden korˇen. V soucˇasne´ dobeˇ nenı´ bohuzˇel zna´m jednoduchy´ du˚kaz, ktery´ by vyuzˇ´ıval pouze za´kladnı´ch znalostı´. Existujı´ du˚kazy zalozˇene´ na vy´sledcı´ch komplexnı´ analy´zy. Proto je du˚kaz te´to veˇty ponecha´n do tohoto prˇedmeˇtu. Veˇta 3.5. Cˇ´ıslo c ∈ P je korˇenem polynomu f (x), pra´veˇ kdyzˇ je f (x) deˇlitelny´ polynomem x − c. D u˚ k a z. Necht’c ∈ P je korˇenem f (x). Vypocˇteˇme podı´l (se zbytkem) polynomu˚ f (x) a x − c. Existuje tedy polynom q(x) a konstantnı´ polynom r (x) takove´, zˇe f (x) = q(x) · (x − c) + r (x). Do leve´ i prave´ strany nynı´ dosadı´me x = c. Dosta´va´me f (c) = 0 = q(c) · (c − c) + r (c) = 0 + r (c). Jelikozˇ je r (x) konstantnı´, r (c) = 0 znamena´, zˇe je to nulovy´ polynom. Proto f (x) je deˇlitelne´ x − c. Nynı´ je-li f (x) deˇlitelny´ polynomem x − c, existuje polynom q(x) takovy´, zˇe f (x) = q(x) · (x − c).

10

3. Polynomy Verze 338.

Dosadı´me-li x = c, ma´me f (c) = 0. Tedy c je korˇenem f (x). Du˚sledek 3.6 (Rozklad na korˇenove´ cˇinitele). Nekonstantnı´ polynom f (x) stupneˇ n ma´ n korˇenu˚ a lze jej psa´t ve tvaru f (x) = a(x − c1 ) · (x − c2 ) · · · · · (x − cn ), kde c1 , c2 , . . . , cn jsou korˇeny f (x) a a je vedoucı´ koeficient. Veˇta 3.7 (Vie´tovy vzorce). Kazˇdy´ normovany´ polynom je jednoznacˇneˇ urcˇen svy´mi korˇeny. Tedy je-li f (x) = x n + an−1 x n−1 + · · · + a0 a c1 , c2 , . . . cn jsou jeho korˇeny, potom an−1 = −(c1 + c2 + · · · + cn ), an−2 = c1 c2 + · · · + c1 cn + c2 c3 + · · · + c2 cn + · · · + cn−1 cn , an−3 = −(c1 c2 c3 + c1 c2 c4 + . . . + c1 cn−1 cn + · · · + cn−2 cn−1 cn ), ··· a1 = (−1)n−1 (c1 · · · cn−2 cn−1 + c1 · · · cn−2 cn + · · · + c2 · · · cn−1 cn ), a0 = (−1)n c1 c2 · · · cn . D u˚ k a z. O platnosti Vie´tovy´ch vzorcu˚ je mozˇne´ se prˇesveˇdcˇit z rovnosti x n + an−1 x n−1 + · · · + a0 = (x − c1 ) · (x − c2 ) · · · · · (x − cn ). Uvazˇujme polynom f (x) = an x n +an−1 x n−1 +· · ·+a0 , polynom f 0 (x) = nan x n−1 +(n −1)an−1 x n−2 + · · · + a1 nazy´va´me derivace polynomu f . Lze se prˇesveˇdcˇit, zˇe jsou-li f (x), g(x) dva polynomy pak platı´ ( f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x) a ( f (x) · g(c))0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x). Na´sledujı´cı´ veˇta objasnˇuje, jak spolu souvisı´ derivace a na´sobnost korˇenu˚ polynomu. Soucˇasneˇ na´m da´va´ na´stroj, jak zjistit, zda pra´veˇ nalezeny´ korˇen je vı´cena´sobny´m korˇenem polynomu. Veˇta 3.8. Je-li c k-na´sobny´ korˇen polynomu f (x) pro k > 1, pak je k − 1-na´sobny´m korˇenem f 0 (x). D u˚ k a z. Jestlizˇe je c k-na´sobny´m korˇenem f (x) existuje polynom g(x) takovy´, zˇe f (x) = (x − c)k g(x). Z toho, co jsme si rˇekli o derivaci polynomu˚, vidı´me, zˇe f 0 (x) = ((x − c)k g(x))0 = = ((x − c)k )0 g(x) + (x − c)k g 0 (x) = = k(x − c)k−1 g(x) + (x − c)k g 0 (x) = = (x − c)k−1 (kg(x) + (x − c)g 0 (x)).

(viz vy´sˇe) (oveˇrˇte)

Z toho vidı´me, zˇe c je k − 1-na´sobny´ korˇen f 0 (x). Prˇ´ıklad!! 3.3 Polynomy s rea´lny´mi koeficienty. V tomto odstavci se budeme podrobneˇji veˇnovat polynomu˚m, ktere´ majı´ sve´ koeficienty z pole rea´lny´ch cˇ´ısel. Uvazˇujeme polynom f (x) = x 2 + 1. Snadno oveˇrˇ´ıme, zˇe f (x) = (x − i)(x + i). Jak je videˇt z toho prˇ´ıkladu, to, zˇe ma´ polynom vsˇechny koeficienty rea´lna´ cˇ´ısla, neznamena´, zˇe i jeho korˇeny jsou z te´hozˇ pole.

Jak je videˇt z uvedene´ho prˇ´ıkladu pro rea´lne´ polynomu neplatı´ obdobna´ verze Gassovy veˇty. Platı´ vsˇak na´sledujı´cı´ slabsˇ´ı tvrzenı´. Veˇta 3.9. Kazˇdy´ rea´lny´ polynom liche´ho stupneˇ ma´ alesponˇ jeden rea´lny´ korˇen. Tuto veˇtu lze doka´zat se znalostmi z spojity´ch rea´lny´ch funkcı´. Du˚kaz necha´va´me cˇtena´rˇi jako cvicˇenı´ z matematicke´ analy´zy.

Algebra I

11

Veˇta 3.10. Je-li cˇ´ıslo c korˇenem rea´lne´ho polynomu f (x), pak je jeho korˇenem i cˇ´ıslo komplexneˇ sdruzˇene´. Navı´c je-li c k-na´sobny´m korˇenem f (x), je i c∗ k-na´sobny´m korˇenem f (x). D u˚ k a z. Jelikozˇ c je korˇenem f (x), platı´ f (c) = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a0 = 0. Pro c∗ platı´ f (c∗ ) = an (c∗ )n + an−1 (c∗ )n−1 + · · · + a0 = ∗ = an∗ (cn )∗ + an−1 (cn−1 )∗ + · · · + a0∗ = = (an cn + an−1 cn−1 + · · · + a0 )∗ = 0. Nynı´ prˇedpokla´dejme, c je k-na´sobny´m korˇenem f (x) a c∗ je l-na´sobny´m korˇenem f (x). Prˇedpokla´dejme, k 6= l, naprˇ´ıklad, zˇe k > l (opacˇna´ nerovnost se doka´zˇe obdobneˇ), oznacˇme si ϕ(x) = (x − c)(x − c∗ ) = x 2 − (c + c∗ )x + cc∗ . Jelikozˇ (c + c∗ ), cc∗ ∈ R, ma´ ϕ(x) rea´lne´ koeficienty. Polynom f (x) je deˇlitelny´ ϕ k (x), tedy existuje polynom g(x) s rea´lny´mi koeficienty takovy´, zˇe f (x) = ϕ l (x) · g(x). Ovsˇem g(x) musı´ by´t deˇlitelny´ (x − c∗ )l−k , cozˇ je ve sporu s tı´m, zˇe g(x) ma´ pouze rea´lne´ koeficienty; protozˇe (x − c)l−k nedeˇlı´ g(x). Du˚sledek 3.11. Kazˇdy´ rea´lny´ polynom n-te´ho stupneˇ, n > 2, lze vyja´drˇit jako soucˇin linea´rnı´ch a kvadraticky´ch polynomu˚ s rea´lny´mi koeficienty. Prˇ´ıklad!! 3.4 Metody hleda´nı´ korˇenu˚. V prˇ´ıpadeˇ konstantnı´ch polynomu˚ a polynomu˚ prvnı´ho stupneˇ je situace naprosto trivia´lnı´ a proto se jı´ nezaby´va´me. Kvadraticky´ polynom ax 2 + bx + c = 0.

(Kvadraticka´ rovnice)

Explicitnı´ vzorec pro korˇeny pomocı´ koeficientu˚ √ −b ± b2 − 4ac . x1,2 = 2a Kubicky´ polynom ax 3 + bx 2 + cx + d = 0.

(Kubicka´ rovnice)

(3.6)

Substituce x = y − b/(3a) prˇevede kubickou rovnice na tvar y 3 + py + q = 0.

(3.7)

Prˇedpokla´da´me, zˇe p 6= 0 (jinak se jedna´ o binomickou rovnici). Ocˇeka´va´me korˇeny rovnici (3.7) ve tvaru y1 = α + β, y2 = αε + βε 2 , y3 = αε 2 + βε, kde s s r r 3 3 q q2 p3 q q2 p3 α= − + + , β= − − + (3.8) 2 4 27 2 4 27 √ a ε = 12 (−1+i 3). Trˇetı´ odmocniny jsou v (3.8) voleny tak, aby 3αβ = − p. Vy´sˇe uvedene´ vzorce naleznete v literaturˇe oznacˇene´ jako Cardanovy vzorce.

12

3. Polynomy Verze 338.

Prˇ´ıklad!! Binomicke´ rovnice, n ∈ N x n = a.

(Binomicka´ rovnice)

Hleda´nı´ korˇenu˚ polynomu˚ vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ je obtı´zˇne´, existujı´ ale specia´lnı´ tvary polynomu˚, pro ktere´ je mozˇno neˇktere´ jeho korˇeny najı´t nebo alesponˇ prˇeve´st proble´m nalezenı´ jeho korˇenu˚ na hleda´nı´ korˇenu˚ polynomu nizˇsˇ´ıho stupneˇ. Zde ma´me namysli zejme´na reciproke´ polynomy. Pro tyto a dalsˇ´ı prˇ´ıpady odkazujeme cˇtena´rˇe na beˇzˇneˇ dostupnou literaturu naprˇ´ıklad [1] cˇi [3]. 3.5 Polynomy s celocˇ´ıselny´mi koeficienty. Cˇasto se setka´va´me s polynomy, ktere´ majı´ koeficienty z mnozˇiny Z. Proto nenı´ od veˇci se alesponˇ trochu podı´vat na to, co z toho plyne pro jejich korˇeny. Veˇta 3.12. Necht’ f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a0 je polynom s celocˇ´ıselny´mi koeficienty (tedy cˇ´ısla p an , an−1 , . . . , a0 ∈ Z), n ≥ 1. Je-li raciona´lnı´ cˇ´ıslo q ( p, q nesoudeˇlna´) korˇenem f (x), pak jednak koeficient a0 je deˇlitelny´ p a jednak koeficient an je deˇlitelny´ q. D u˚ k a z. Platı´  n  n−1   p p p p = an + an−1 + · · · + a1 + a0 = 0. f q q q q Obeˇ strany vyna´sobı´me q n , dosta´va´me an p n + an−1 p n−1 q + · · · + a1 pq n−1 + a0 q n = 0 an p n = −(an−1 p n−1 q + · · · + a1 pq n−1 + a0 q n ) = −q(an−1 p n−1 + · · · + a1 pq n−2 + a0 q n−1 ). Jelikozˇ (an−1 p n−1 + · · · + a1 pq n−2 + a0 q n−1 ) ∈ Z, musı´ by´t an p n deˇlitelne´ q. Ovsˇem p a q jsou nesoudeˇlna´. Tedy an musı´ by´t deˇlitelne´ q. Obdobny´m postupem se doka´zˇe i deˇlitelnost a0 cˇ´ıslem p. Du˚sledek 3.13. Vsˇechny celocˇ´ıselne´ korˇeny polynomu s celocˇ´ıselny´mi koeficienty lezˇ´ı v mnozˇineˇ deˇlitelu˚ absolutnı´ho cˇlenu. Prˇ´ıklad!! 3.6 Raciona´lnı´ lomene´ funkce. Velice cˇasto se setka´va´me s funkcemi, ktere´ se dajı´ vyja´drˇit jako podı´l dvou polynomu˚. Takovy´mto podı´lu˚m rˇ´ıka´me raciona´lnı´ lomene´ funkce. Pomocı´ na´sledujı´cı´ch veˇt, ktere´ zde uva´dı´me bez du˚kazu˚, lze kazˇdou raciona´lnı´ lomenou funkci prˇeve´st na ,,jednoduchy´ tvar,“ prˇesneˇji rˇecˇeno na soucˇet jednodusˇsˇ´ıch raciona´lnı´ch lomeny´ch funkcı´. Veˇta 3.14 (Rozklad na parcia´lnı´ zlomky). Necht’ g(x) je polynom takovy´, zˇe pro kazˇde´ x ∈ R platı´ Q(x) = c(x − a1 )n 1 (x − a2 )n 2 · · · (x − ak )n k · (x 2 + p1 x + q1 )m 1 (x 2 + p2 x + q2 )m 2 · · · (x 2 pl x + ql )ml , kde c ∈ R, c 6= 0, a1 , . . . , ak jsou po dvou ru˚zna´ rea´lna´ cˇ´ısla a x 2 + p1 x + q1 , . . . , x 2 + pl x + ql jsou po dvou ru˚zne´ polynomy, ktere´ nemajı´ rea´lne´ korˇeny. Da´le necht’ f (x) je polynom stupneˇ mensˇ´ıho nezˇ g(x). Potom existujı´ cˇ´ısla A1,1 , A1,2 , . . . Ak,n k , B1,1 , B1,2 , . . . , Bl,ml , C1,1 , C1,2 , . . . , Cl,ml ∈ R takova´, zˇe pro vsˇechna x ∈ R, pro ktera´ g(x) 6= 0, platı´ f (x) A1,n 1 A1,n 1 −1 A1,1 = + ··· + + n1 + n −1 1 g(x) (x − a1 ) (x − a1 ) (x − a1 ) A2,n 2 −1 A2,n 2 A2,1 + + ··· + + n2 + n −1 2 (x − a2 ) (x − a2 ) (x − a2 )

Algebra I

13

··· Ak,n k −1 Ak,n k Ak,1 + + · · · + nk + n −1 (x − ak ) (x − ak ) (x − ak ) k B1,m x + C1,m 1 B1,m −1 x + C1,m 1 −1 B1,1 x + C1,1 + 2 1 + 21 + ··· + 2 + m1 m1 (x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 ) B2,m −1 x + C2,m 2 −1 B2,1 x + C2,1 B2,m x + C2,m 2 + 22 + ··· + 2 + + 2 2 m2 m2 (x + p2 x + q2 ) (x + p2 x + q2 ) (x + p2 x + q2 ) ··· Bl,m x + Cl,ml Bl,m −1 x + Cl,ml −1 Bl,1 x + Cl,1 + 2 l + 2l + ··· + 2 . ml ml (x + pl x + ql ) (x + pl x + ql ) (x + pl x + ql ) +

Zlomky na prave´ straneˇ prˇedchozı´ rovnice nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky. V prˇ´ıpadeˇ kdy neplatı´ deg f (x) < deg g(x) je nutne´ nejprve polynomy f (x) a g(x) podeˇlit se zbytkem (veˇta 3.1) a na zbytek a polynom g(x) aplikovat veˇtu 3.14.

Rozklad na parcia´lnı´ zlomky si vyzkousˇ´ıme na na´sledujı´cı´m prˇ´ıkladu. Rozlozˇte na soucˇet parcia´lnı´ch zlomku˚: x 10 + 2x 9 + 3x 7 + 4x 6 + x 4 + 2x 3 7x − 1 f (x) = . g(x) x 9 + 2x 6 + x 3 Stupenˇ polynomu v cˇitateli nenı´ nizˇsˇ´ı nezˇ stupenˇ polynomu ve jmenovateli, proto nejprve pouzˇijeme veˇtu 3.1 a polynomy se zbytkem podeˇlı´me. Dostaneme x 7 + 7x − 1 f (x) = x +2+ 9 . g(x) x + 2x 6 + x 3 Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme raciona´lnı´ lomenou funkci v prˇedchozı´m integra´lu rozlozˇit na parcia´lnı´ zlomky. Snadno se zjistı´, zˇe polynom x 9 + 2x 6 + x 3 ma´ trojna´sobny´ korˇen x = 0 dvojna´sobny´ korˇen x = −1 a lze jej napsat ve tvaru x 9 + 2x 6 + x 3 = x 3 (x + 1)2 (x 2 − x + 1)2 . Podle veˇty 3.14 tedy existujı´ cˇ´ısla A, B, C, D, E, M, N , P, R ∈ R a platı´ x 7 + 7x − 1 9

6

x + 2x + x

3

=

A x

3

+

B x

2

+

D Mx + N C E Px + R + + + 2 + 2 . 2 2 x x + 1 (x + 1) (x − x + 1) x −x +1

Nynı´ musı´me nale´zt cˇ´ıla A, B, C, D, E, M, N , P, R. Secˇtenı´m zlomku˚ na prave´ straneˇ a porovna´nı´m cˇitatelu˚ (jmenovatele´ se rovnajı´), dosta´va´me x 7 + 7x − 1 = A(x + 1)2 (x 2 − x + 1)2 + Bx(x + 1)2 (x 2 − x + 1)2 + + C x 2 (x + 1)2 (x 2 − x + 1)2 + Dx 3 (x 2 − x + 1)2 + + E x 3 (x + 1)(x 2 − x + 1)2 + M x 3 (x + 1)2 (x 2 − x + 1)2 + + N x 3 (x + 1)2 (x 2 − x + 1)2 + P x 3 (x + 1)2 + Rx 3 (x + 1)2 (x 2 − x + 1) = = Bx + C x 2 + E x 3 + A + Ax 6 + 2Ax 3 + Bx 7 + 2Bx 4 + C x 8 + 2C x 5 + Dx 7 − − 2Dx 6 + 3Dx 5 − 2Dx 4 + E x 8 − E x 7 + E x 6 + E x 5 − E x 4 + M x 6 + 2M x 5 + + M x 4 + N x 5 + 2N x 4 + N x 3 + P x 5 + P x 4 + Rx 4 + Rx 3 + P x 8 + P x 7 + + Rx 7 + Rx 6 + Dx 3 . Nynı´ porovna´me koeficienty u odpovı´dajı´cı´ch si mocnin. Tedy

14

3. Polynomy Verze 338. −1 7 0 0 0 0 0 1 0

= = = = = = = = =

A B C E + 2A + D + N + R 2N + 2B + R − 2D − E + M + P 3D + 2M + N + E + 2C + P E + M − 2D + A + R D+B+P+R−E E + P +C

Odtud dosta´va´me, zˇe A = −1, B = 7, C = 0, D = 1, E =

31 9 ,

1 M = − 31 , N = − 73 , P = − 31 9 a R = −9.

f (x) 1 7 1 31 x +7 31x + 1 = x +2− 3 + 2 + + − − . 2 2 2 g(x) 9(x + 1) x x (x + 1) 3(x − x + 1) 9(x 2 − x + 1)

Algebra I

15

Literatura [1] H. J. Bartsch, Matematicke´ vzorce, Praha, SNTL, 1983. [2] M. Krupka, M. Malek, Matematicka´ anly´za I,II, Pomocny´ ucˇebnı´ text, Slezska´ univerzita, Opava 2006. [3] K. Rektorys a kol., Prˇehled uzˇite´ matematiky, Prometheus, 1995