2003

KOS Matematick´ y KOrespondenˇ cn´ı Semin´ aˇ r (Matematick´eho u ´stavu Slezsk´e univerzity v Opavˇe) ˇ ´IK 2. ROCN

2002/2003

冕

⌺ ␮␻ ␣ ␤␥

1

V´aˇzen´ı pˇra´tel´e, dˇekujeme v´am za u ´ˇcast v 2. roˇcn´ıku naˇseho korespondenˇcn´ıho semin´aˇre KOS. Tˇeˇs´ı n´as v´aˇs vzr˚ ustaj´ıc´ı z´ajem oproti minul´emu roˇcn´ıku. Vˇsem u ´ˇcastn´ık˚ um zas´ıl´ame tuto broˇzurku, ze kter´e se m˚ uˇzete dozvˇedˇet, jak jste uspˇeli v porovn´an´ı s ostatn´ımi soutˇeˇz´ıc´ımi. Souˇc´ast´ı broˇzurky je tak´e kompletn´ı zad´an´ı a ˇreˇsen´ı vˇsech tˇr´ı kol letoˇsn´ıho roˇcn´ıku. Chceme jenom poznamenat, ˇze mnoh´e pˇr´ıklady je moˇzn´e ˇreˇsit r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby a my jsme uvedli pouze nˇekter´a ˇreˇsen´ı. Rozd´ıly mezi v´ami byly minim´aln´ı, proto n´as mrz´ı, ˇze nem˚ uˇzeme vˇecn´ ymi ´ cenami odmˇenit vˇsechny, ale pouze prvn´ı tˇri. Uˇcastn´ıci vˇsech tˇr´ı kol od n´as dostali alespoˇ n ˇcestn´e uzn´an´ı a blok s tuˇzkou. V letoˇsn´ım roˇcn´ıku se stala jedna nemil´a vˇec. Poˇsta ztratila minim´alnˇe jeden dopis. Vˇsem, kter´ ym tato skuteˇcnost ovlivnila um´ıstˇen´ı, se moc omlouv´ame, i kdyˇz jsme ji nemohli ovlivnit. Douf´ame, ˇze i nad´ale budete m´ıt dobr´ y vztah k matematice. A moˇzn´a se tak´e setk´ame pˇri nˇejak´e dalˇs´ı pˇr´ıleˇzitosti, napˇr. v pˇr´ıˇst´ım roˇcn´ıku korespondenˇcn´ıho semin´aˇre. Pˇrejeme v´am hodnˇe u ´spˇech˚ u pˇri studiu i v osobn´ım ˇzivotˇe.

Za organiz´atory A. Hakov´a RNDr. D. Smetanov´a ˇ enkov´a RNDr. J. Sedˇ Mgr. P. Voln´ y

2

V´ ysledky 2. roˇ cn´ıku KOSa Poˇ rad´ı 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.-16.

17. 18. 19.-20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.-31.

32.-33. 34. 35. 36. 37. 38.-40.

41.-42. 43.

Jm´ eno V´ an ˇov´ a H´ akov´ a Unzeitig Motyˇcka Hotov´ y Studniˇcn´ a Novotn´ y Jedliˇcka ˇ ak Z´ Kaller Uhl´ıˇrov´ a Polˇc´ak Luk´ aˇsek ´ Cmielov´ a Michalcov´ a Posp´ıˇsilov´ a Hradilov´ a Legersk´ y Peikertov´ a ˇ enka Sedˇ Horn´ıˇckov´a Uchytilov´ a Hudcov´ a Kaluˇzov´a Hauptov´ a Z. Hauptov´ a K. Proch´ azka ˇ Sindelov´ a Bakalov´ a Bˇrezinov´ a Poledn´ıkov´ a Mohylov´ a Nov´ akov´ a Pechov´ a Jeˇzowicz Cupal Z´ameˇcn´ıkov´ a Lokajov´ a Michnov´ a Mikita Fronˇek Sotol´ aˇrov´ a Lep´ık

1. kolo 29 28 27,5 26,5 26,5 25 27,5 24 25 19 20,5 18 19 20 18 24 25 25 22,5 26,5 18 13,5 13 21,5 18 18 15,5 20 24,5 0 14 18 13 22 22 13 20 14,5 13,5 13 11 8,5 18,5

3

2. kolo 30 29,5 29,5 30 27 28 24 29,5 23 29,5 25 26,5 29 21 25 17,5 21 20,5 18 12,5 22,5 22,5 20,5 14,5 19 16,5 15 12 24,5 24,5 15 0 20 23,5 21,5 15 7,5 14 7 10 10,5 9 20

3. kolo 30 30 27,5 27,5 30 30 30 26,5 30 28 30 29,5 25 29,5 27,5 29 24 24 28,5 30 26 30 28,5 25 21,5 23 26,5 17,5 0 24,5 20 30 15 0 0 15 15 13,5 21,5 19 17,5 21,5 0

Souˇ cet 89 87,5 84,5 84 83,5 83 81,5 80 78 76,5 75,5 74 73 70,5 70,5 70,5 70 69,5 69 69 66,5 66 62 61 58,5 57,5 57 49,5 49 49 49 48 48 45,5 43,5 43 42,5 42 42 42 39 39 38,5

Poˇ rad´ı 44.-45. 46.-47. 48.-50.

51.-54.

55. 56. 57.-61.

62.-63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72.-73. 74. 75.-81.

82. 83. 84. 85. 86. 87.-88. 89.

Jm´ eno Machala Pastor Skot´ ak ˇ Skutov´ a Juˇr´ıˇckov´ a Kabilov´ a Luks Bozdˇechov´a Dohnal M´ıˇcek ˇ aˇr Saf´ Mel´ ar Mikol´ aˇsov´a Butschleov´a Hapala Jeckelov´a J´ırov´ a Koˇcvarov´ a Demjen Kozubek Nowakov´ a Nikendeiov´ a Kramoliˇs Nakl´ adal ˇ Sodkov´ a Mucha Koˇren´ y Reˇzn´ a Michnov´ a P´ atkov´ a ˇ ıkov´ Sim´ a Chrob´ akov´ a Chudoba Kavka Koneˇcn´ y Kouck´ y Marenˇcokov´a Pech´ aˇcek Klepkov´ a Z´avodsk´ y Ligocki Haladej Mal´ a Chlebkov´ a Pol´ aˇckov´ a P´ alen´ıˇckov´ a

1. kolo 13 13 18,5 13 13 14,5 19,5 13 19 13 18 18 13 13 18 13 13 15,5 17 20 27 13 24,5 23 13 20 18,5 18 16 16 0 0 15 15 15 15 0 0 14 13,5 13 0 10,5 0 0 0

4

2. kolo 22,5 22,5 16,5 0 0 20 15 20 14 20 15 12,5 16,5 15 10 15 15 12,5 10,5 7,5 0 12,5 0 0 7,5 0 0 0 0 0 15,5 15 0 0 0 0 15 15 0 0 0 12,5 0 8 8 7

3. kolo 0 0 0 22 21,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Souˇ cet 35,5 35,5 35 35 34,5 34,5 34,5 33 33 33 33 30,5 29,5 28 28 28 28 28 27,5 27,5 27 25,5 24,5 23 20,5 20 18,5 18 16 16 15,5 15 15 15 15 15 15 15 14 13,5 13 12,5 10,5 8 8 7

Jak mˇ eˇ rit? pˇripravil Mgr. M. Poboˇril Uved’me pro zaj´ımavost, ˇze d´elkov´a jednotka metr byla zavedena ve Francii aˇz v dobˇe Velk´e francouzsk´e revoluce (1799). Jej´ım z´akladem se stal desetimili´ont´ y d´ıl ˇctvrtiny zemsk´eho poledn´ıku. Metr byl pˇrijat vˇetˇsinou zem´ı pro podstatnou pˇrednost, j´ıˇz jsou pˇrevodn´ı koeficienty rovn´e mocnin´am des´ıtky. V souˇcasn´e dobˇe se pouˇz´ıv´a definice metru (z´akladn´ı jednotky SI) odvozen´a od rychlosti svˇetla ve vakuu. Metr je d´elka trajektorie, kterou probˇehne svˇetlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. Ovˇsem v dˇr´ıvˇejˇs´ıch dob´ach se uˇz´ıvalo nˇekolik stovek r˚ uzn´ ych jednotek d´elky (ˇcasto se jednalo o ˇc´asti lidsk´eho tˇela). Dodnes se nˇekde pouˇz´ıv´a n´azv˚ u ,,loket“, ,,stopa“ atd. Napˇr´ıklad v jiˇzn´ı Africe se mluv´ı o kohout´ım kˇriku a buˇcen´ı kr´avy a mysl´ı se t´ım vzd´alenost, na kterou je tyto zvuky slyˇset. V dobˇe Pˇremysla Otakara II. se i u n´as mˇeˇrilo na lokte. Praˇzsk´ y loket mˇel 3 p´ıdˇe, jedna p´ıd’ 10 prst˚ u a jeden prst 4 zrna jeˇcmene. Vˇetˇs´ı jednotkou byl hon, kter´ y se dˇelil na 5 provazc˚ u, coˇz bylo 210 praˇzsk´ ych lokt˚ u. Loket mˇeˇril asi 53, 4 cm. Pˇ r´ıklad: Pokuste se vypoˇc´ıtat d´elku jednoho zrna jeˇcmene a d´elku jednoho honu. ˇ sen´ı: a) Reˇ 1 loket ....... 3 p´ıdˇe 1 p´ıd’ ......... 10 prst˚ u

tzn. 1 loket = 3 · 10 prst˚ u = 30 prst˚ u

1 loket ....... 30 prst˚ u 1 prst ......... 4 zrna jeˇcmene jeˇcmene

tzn. 1 loket = 30 · 4 zrn jeˇcmene = 120 zrn

Tedy: 1 loket ..... 120 zrn jeˇcmene. Jestliˇze zn´ame d´elku 1 lokte, coˇz je 53, 4 cm, pak d´elku jednoho zrna jeˇcmene vypoˇc´ıt´ame tak, ˇze d´elku 1 lokte vydˇel´ıme 120. 53, 4 cm : 120 = 0, 445 cm D´elka jednoho zrna jeˇcmene byla asi 0, 445 cm.

5

b) Podobnˇe: 1 hon . . . . . . . . . . . . . . . 5 provazc˚ u . . . . . . . . . . . . . . . 210 lokt˚ u Tedy: 1 hon . . . . . . . . . . . 210 · 53, 4 cm = 11 214 cm D´elka jednoho honu byla asi 112, 14 m.

Zad´ an´ı a ˇ reˇ sen´ı 1. kola 1. Hlem´ yˇzd’ byl od vlaˇstovky pozv´an na svaˇcinu ve vzd´alenosti jedn´e galsk´e m´ıle. Hlem´ yˇzd’ vˇsak za den uˇsel jen jednu unci stopy. Za kolik dn´ı hlem´ yˇzd’ dorazil k vlaˇstovce na svaˇcinu? ( 1 galsk´a m´ıle = 1500 dvojkrok˚ u= asi 2, 25 km, 1 dvojkrok = 5 stop, 1 stopa = 12 unc´ı ) ˇ sen´ı 1. Vyuˇzit´ım pˇrevodn´ıch vztah˚ Reˇ u dost´av´ame n´asleduj´ıc´ı rovnosti: 1 galsk´a m´ıle = 1 500 dvojkrok˚ u = 5·1 500 stop = 12·5·1 500 unc´ı = 90 000 unc´ı = 90 000 dn´ı. Hlem´ yˇzd’ by doˇsel k vlaˇstovce za 90 000 dn´ı. Ve skuteˇcnosti by k vlaˇstovce asi nikdy nedorazil, protoˇze jeho cesta by trvala pˇres 200 let a hlem´ yˇzdi ani vlaˇstovky se takov´eho vˇeku nedoˇz´ıvaj´ı. (Ledaˇze bychom uvaˇzovali jinou planetu, na kter´e by to vˇsechno mohlo b´ yt moˇzn´e.) 2. M´ame 12 z´apalek, ze kter´ ych m˚ uˇzeme poskl´adat ˇctyˇri rovnostrann´e troj´ uheln´ıky (viz. obr´azek). ✔✔❚❚ ❚

✔

✔✔❚❚ ❚

✔

✔✔❚❚

✔

❚

✔✔❚❚

✔

❚

12 z´apalek

Odebr´an´ım jedn´e z´apalky n´am z˚ ustane 11 z´apalek, ze kter´ ych opˇet dok´aˇzeme poskl´adat 4 rovnostrann´e troj´ uheln´ıky. Nakreslete ˇreˇsen´ı, jestliˇze existuje, jak m˚ uˇzeme poskl´adat 4 rovnostrann´e troj´ uheln´ıky z 11, 10 a 9 z´apalek. Lze utvoˇrit 4 rovnostrann´e troj´ uheln´ıky z menˇs´ıho poˇctu z´apalek neˇz z 9? ˇ sen´ı 2. Na n´asleduj´ıc´ıch obr´azc´ıch vid´ıme, jak poskl´adat 4 rovnostrann´e Reˇ troj´ uheln´ıky z 11, 10 a 9 z´apalek (nemus´ı to b´ yt jedin´a ˇreˇsen´ı). Nejmenˇs´ı poˇcet z´apalek, ze kter´ ych poskl´ad´ame 4 rovnostrann´e troj´ uheln´ıky je 6 (nebo 5, pokud pˇripust´ıme, ˇze troj´ uheln´ıky mohou m´ıt r˚ uznou velikost). Pro 6 z´apalek 6

m´ame nˇekolik moˇznost´ı, bud’ prostorov´ y obr´azek ˇctyˇrstˇenu, kde stˇeny tvoˇr´ı 4 rovnostrann´e troj´ uheln´ıky, nebo ploch´ y obr´azek s vyuˇzit´ım ˇc´ıslice 4 nebo IV.

12 zapalek 11 zapalek 10 zapalek

9 zapalek

6 zapalek

5 zapalek

3. Pˇredstavte si, ˇze rozˇreˇzeme krychlov´ y metr na krychlov´e milimetry a z tˇechto mal´ ych kostiˇcek vytvoˇr´ıme souvislou rovnou ˇradu. Jak dlouho by v´am trvala cesta od prvn´ı krychliˇcky k posledn´ı krychliˇcce, kdybyste ˇsli rychlou ch˚ uz´ı (bez pˇrest´avky) 6 km · h−1 . ˇ sen´ı 3. Nejdˇr´ıve spoˇc´ıt´ame, kolik krychlov´ Reˇ ych milimetr˚ u m´a krychlov´ y metr 1 m3 = (1000)3 mm3 = 109 mm3 . ˇ Rada z mal´ ych kostiˇcek bude tedy dlouh´a 109 mm = 106 m = 103 km. 7

Vztah mezi dr´ahou x = 103 km, rychlost´ı v = 6 km · h−1 a ˇcasem t je d´an rovnic´ı x = v · t, ze kter´e vyj´adˇr´ıme ˇcas t=

x 1000 = h = 166, ¯6 h. v 6

Cesta od prvn´ı k posledn´ı kostiˇcce by trvala 166 hodin a 40 minut, coˇz je 6 dn´ı 22 hodin a 40 minut. 4. Pro kter´e hodnoty parametru a ∈ R m´a syst´em rovnic x2 = y 2 ,

(x − a)2 + y 2 = 1

pr´avˇe ˇctyˇri, pr´avˇe tˇri, pr´avˇe dvˇe, pr´avˇe jedno nebo ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı? ˇ sen´ı 4. Budeme hledat ˇreˇsen´ı syst´emu rovnic Reˇ x2 = y 2 ,

(x − a)2 + y 2 = 1

(1)

Seˇcten´ım obou rovnic dostaneme kvadratickou rovnici 2x2 − 2ax + a2 − 1 = 0

(2)

Tato kvadratick´a rovnice m˚ uˇze m´ıt v z´avislosti na parametru a bud’ ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı, jedno ˇreˇsen´ı nebo dvˇe ˇreˇsen´ı. Spoˇc´ıt´ame diskriminant kvadratick´e rovnice (2) D = 4a2 − 4 · 2 · (a2 − 1) = 4(2 − a2 ). Rovnice nem´a ˇreˇsen´ı, je-li D je menˇs´ı neˇz 0, √ √ D<0 ⇔ a ∈ (−∞, − 2) ∪ ( 2, ∞). Pro stejn´e hodnoty parametru a neexistuje ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı ani pro zadan´ y syst´em rovnic (1). Jedno ˇreˇsen´ı rovnice (2) existuje v pˇr´ıpadˇe, ˇze D je roven nule,  √ √  D=0 ⇔ a ∈ − 2, 2 .

8

Najdeme ˇreˇsen´ı rovnice (2) a pak i syst´emu (1) (vyuˇzijeme rovnost x2 = y 2 ) √ √ √ 2 2 2a a=− 2 ⇒ x= =− ⇒ y=± 4 √2 √2 √ 2a 2 2 = ⇒ y=± a= 2 ⇒ x= 4 2 2 Snadno √ ovˇeˇr´ıme, ˇze√pro dvojice (x,√y) jsou √ vˇsechny ˇ√ ctyˇri nalezen´ e dvojice √ √ √ 2/2) ˇreˇsen´ ım (− 2/2, − 2/2), (− 2/2, 2/2), ( 2/2, − 2/2), ( 2/2, √ √ syst´emu (1). Pr´avˇe jsme zjistili, ˇze pro hodnoty a = − 2 nebo a = 2 m´a rovnice (2) jedin´e ˇreˇsen´ı a syst´em (1) m´a pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı. Dvˇe ˇreˇsen´ı rovnice (2) existuj´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze D je vˇetˇs´ı neˇz nula,  √ √  D>0 ⇔ a ∈ − 2, 2 . V tomto pˇr´ıpadˇe m´ame dvˇe ˇreˇsen´ı  √ 2a ± 4(2 − a2 ) a ± 2 − a2 = . x1,2 = 4 2 Ke kaˇzd´emu x m´ame z rovnosti x2 = y 2 dvˇe ˇreˇsen´ı pro y, ve tvaru √ y = ± x2 = ±|x|, kromˇe jedn´e v´ yjimky. V pˇr´ıpadˇe, ˇze x = 0, m´ame pouze jedno ˇreˇsen´ı y = 0. Najdeme parametr a, pro kter´ y je x = 0, protoˇze pro tyto parametry bude m´ıt syst´em (1) pr´avˇe tˇri ˇreˇsen´ı, v ostatn´ıch pˇr´ıpadech bude m´ıt pr´avˇe ˇctyˇri ˇreˇsen´ı. √ x = 0 ⇔ a = ± 2 − a2 ⇔ a2 = 2−a2 ⇔ a2 = 1 ⇔ a = ±1. ˇ sen´ı syst´emu (1) jsou pak skuteˇcnˇe tˇri Reˇ a = −1 ⇒ (0, 0), a=1 ⇒ (0, 0),

(−1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, 1).

Vyˇcerpali jsme vˇsechny moˇznosti, kter´e mohou nastat a zjistili jsme, ˇze nikdy (pro ˇz´adnou hodnotu parametru a) nenastane moˇznost, ˇze m´a syst´em (1) pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı. 9

Shrneme celou pˇredchoz´ı u ´vahu do tabulky Hodnoty a √parametru √ (−∞, − 2) ∪ ( 2, ∞)  √∅ √  − 2, 2

{−1, 1} √

√ − 2, −1 ∪ (−1, 1) ∪ 1, 2

Poˇcet ˇreˇsen´ı syst´emu(1) 0 1 2 3 4

Tato u ´loha se d´a ˇreˇsit i graficky.

y

y y=-x

y=-x

y=x

x

y=x

-1

4 reseni soustavy

x

1

3 reseni soustavy

y

y

y=-x

y=x

- 2

2

y=-x

y=x

x

2 reseni soustavy

x

0 reseni soustavy

Grafick´ ym ˇreˇsen´ım prvn´ı rovnice je dvojice pˇr´ımek (osa 1. a 3. kvadrantu a osa 2. a 4. kvadrantu), grafick´ ym ˇreˇsen´ım druh´e rovnice je kruˇznice se stˇredem 10

na ose x (v bodˇe (a, 0)) a polomˇerem 1. Zmˇen´ıme-li parametr a, posune se ˇ sen´ım syst´emu (1) jsou pr˚ kruˇznice. Reˇ useˇc´ıky dvojice pˇr´ımek a kruˇznice. Na pˇredchoz´ıch obr´azc´ıch je vidˇet, kdy existuj´ı 4 pr˚ useˇc´ıky, kdy 3 pr˚ useˇc´ıky, kdy dva pr˚ useˇc´ıky, kdy ˇz´adn´ y pr˚ useˇc´ık. (Z obr´azku se daj´ı spoˇc´ıtat i odpov´ıdaj´ıc´ı hodnoty parametru a, kter´e vych´azej´ı stejnˇe jako pˇri pˇredchoz´ım zp˚ usobu ˇreˇsen´ı.) 5. Uprostˇred kruhov´eho rybn´ıka je maliˇck´ y kruhov´ y ostr˚ uvek, ke kter´emu Hanka doplave o jednu minutu a ˇsest sekund dˇr´ıve neˇz ze stejn´eho m´ısta ke skalce na druh´em bˇrehu. Pˇri pˇr´ımoˇcar´e plavbˇe ke skalce m´ıj´ı stˇred ost˚ uvku o 24 metr˚ u. Jak´a je rozloha rybn´ıka, jestliˇze Hanka plave st´ale rovnomˇern´ ym −1 tempem 3, 6 km · h ? ˇ sen´ı 5. Oznaˇcme si t1 ˇcas, kter´ y Hanka potˇrebuje k tomu, aby doplavala Reˇ k ostr˚ uvku, x vzd´alenost k ostr˚ uvku, t2 ˇcas, kter´ y Hanka potˇrebuje k doplav´an´ı ze stejn´eho m´ısta ke skalce, y vzd´alenost ke skalce, v rychlost, kterou Hanka plave, R polomˇer rybn´ıka, r polomˇer ostr˚ uvku, z vzd´alenost, ve kter´e m´ıj´ı stˇred ostr˚ uvku (viz. obr.). (Polomˇer ostr˚ uvku r m˚ uˇzeme zanedbat, pokud to neudˇel´ame, bude n´am vystupovat jako parametr, na kter´em z´avis´ı ˇreˇsen´ı.)

skalka

ostrov R r

z

y

x

Hanka Vˇsechny zadan´e hodnoty si pˇrevedeme do stejn´ ych jednotek (metry a 11

sekundy):

t2 − t1 = 1 min 6 s = 66 s, v = 3, 6 km · s−1 = 1 m · s−1 , x = 24 m.

Ze vztah˚ u x = t1 · v, y = t2 · v z´ısk´ame vztah mezi x a y y − x = (t2 − t1 )v = 66 m. Z obr´azku vid´ıme, ˇze n´am vznik´a pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık s pˇreponou R = x + r a odvˇesnami 24 a y/2. Vyuˇzijeme Pythagorovu vˇetu: 2

R =

 y 2

 2

(x + r) =

2

+ z2,

x + 66 2

2 + 242 ,

3x2 + (8r − 132)x + 4r2 − 6660 = 0. Vyˇreˇs´ıme tuto kvadratickou rovnici s nezn´amou x a parametrem r. (Ze zad´an´ı u ´lohy vypl´ yv´a, ˇze polomˇer ostr˚ uvku je menˇs´ı neˇz 24 m. Pˇri vˇetˇs´ım polomˇeru by Hanka nemohla plavat pˇr´ımoˇcaˇre ke skalce.) D = (8r − 132)2 − 4 · 3 · (4r2 − 6660) = 16r2 − 2112r + 97344 > 0. (D > 0 protoˇze rovnice D = 0 nem´a pro r ˇreˇsen´ı, pro r = 0 je D = 97344 = 3122 > 0, ze spojitosti kvadratick´e funkce pak vypl´ yv´a, ˇze D > 0 vˇsude.) √ 132 − 8r ± D x1,2 = 6 Rovnice m´a tedy vˇzdy dvˇe ˇreˇsen´ı x1,2 . Uk´aˇzeme, ˇze jedno z tˇechto ˇreˇsen´ı je z´aporn´e a nen´ı tedy ˇreˇsen´ım naˇs´ı u ´lohy, protoˇze pracujeme s kladn´ ymi hodnotami pro vzd´alenost. Ovˇeˇrujeme platnost n´asleduj´ıc´ı nerovnosti: √ √ 132 − 8r < D = 16r2 − 2112r + 97344. Na prav´e stranˇe m´ame vˇzdy kladn´e ˇc´ıslo, na lev´e m˚ uˇze b´ yt kladn´e i z´aporn´e. Pro z´apornou levou stranu je nerovnost splnˇena trivi´alnˇe. Pˇredpokl´adejme, 12

ˇze 132 − 8r je kladn´e ˇc´ıslo. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme obˇe strany umocnit na druhou a nerovnost z˚ ustane zachov´ana 17424 − 2112r + 64r2 < 16r2 − 2112r + 97344. Po u ´pravˇe dost´av´ame r2 < 1665. Tato nerovnost je vˇzdy splnˇena, protoˇze z pˇredpokladu, ˇze 132 − 8r je kladn´e ˇc´ıslo plyne podm´ınka, ˇze r < 16, 5 (r2 < 272, 25 < 1665). Z˚ ust´av´a n´am jedin´e ˇreˇsen´ı √ 132 − 8r + 16r2 − 2112r + 97344 x= . 6 Rozlohu rybn´ıka spoˇc´ıt´ame jako obsah kruhu  2

2

S = πR = π(x + r) = π

132 − 8r +

√

16r2 − 2112r + 97344 +r 6

2 .

Jestliˇze budeme rozlohu ostr˚ uvku zanedb´avat, dosad´ıme r=0 a dostaneme x = 74 m a S = 5476π m2 =17203, ˙ 4 m2 . 6. a) Naleznˇete funkci f jedn´e re´aln´e promˇenn´e, kter´a je sud´a a splˇ nuje rovnici f (x) + f (y) − f (x + y) + 6xy = −2. b) Naleznˇete funkci g jedn´e re´aln´e promˇenn´e, kter´a splˇ nuje rovnici g(x + y) + g(x − y) − 2g(y) = 6x2 a funkˇcn´ı hodnota v bodˇe −1 je rovna 1.

13

ˇ sen´ı 6. Reˇ a) Budeme za x a za y dosazovat r˚ uzn´e hodnoty tak, abychom z´ısk´avali nov´e u ´daje. Zkus´ıme nejdˇr´ıve dosadit x = 0, y = 0 f (0) + f (0) − f (0 + 0) + 6 · 0 · 0 = −2. Po u ´pravˇe dost´av´ame funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe 0 f (0) = −2. Pokraˇcujeme d´al, zkus´ıme dosadit x = x, y = −x f (x) + f (−x) − f (x + (−x)) + 6 · x · (−x) = −2. Dosad´ıme f (−x) = f (x) (funkce f je sud´a), f (x + (−x)) = f (0) = −2 a uprav´ıme 2f (x) + 2 − 6x2 = −2, f (x) = 3x2 − 2. Nakonec jeˇstˇe provedeme zkouˇsku dosazen´ım ˇreˇsen´ı do zad´an´ı a ovˇeˇren´ım, ˇze f je sud´a funkce. L = − P = L =

f (x) + f (y) − f (x + y) + 6xy = 3x2 − 2 + 3y 2 − 2 − (3(x + y)2 2) + 6xy = 3x2 + 3y 2 − 3x2 − 6xy − 3y 2 − 2 + 6xy = −2, −2, P ⇒ f je ˇreˇsen´ım funkcion´aln´ı rovnice.

f (−x) = 3(−x)2 − 2 = 3x2 − 2 = f (x)

⇒

f je sud´a funkce.

Funkcion´aln´ı rovnice m´a jedin´e ˇreˇsen´ı f (x) = 3x2 − 2. b) Budeme za x a za y dosazovat r˚ uzn´e hodnoty tak, abychom z´ısk´avali nov´e u ´daje. Zkus´ıme nejdˇr´ıve dosadit x = 0, y = 0 g(0 + 0) + g(0 − 0) − 2g(0) = 6 · 02 14

⇔

0 = 0.

nez´ıskali jsme nic nov´eho. Pokraˇcujeme d´al, zkus´ıme dosadit x = x, y = 0, g(x + 0) + g(x − 0) − 2g(0) = 6x2 , 2g(x) − 2g(0) = 6x2 .

(3)

Do t´eto rovnice d´ale dosad´ıme x = −1, protoˇze zn´ame funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe −1 (ze zad´an´ı g(−1) = 1), a uprav´ıme 2g(−1) − 2g(0) = 6 · (−1)2 2 − 2g(0) = 6 g(0) = −2. Tento v´ ysledek g(0) = −2 dosad´ıme do rovnice (3) a uprav´ıme 2g(x) − 2 · (−2) = 6x2 2g(x) = 6x2 − 4 g(x) = 3x2 − 2. Nakonec jeˇstˇe provedeme zkouˇsku dosazen´ım ˇreˇsen´ı do zad´an´ı a ovˇeˇren´ım, ˇze funkˇcn´ı hodnota v bodˇe -1 je rovna 1. L = − P = L =

g(x + y) + g(x − y) − 2g(y) = 3(x + y)2 − 2 + 3(x − y)2 − 2 2(3y 2 − 2) = 3x2 + 6xy + 3y 2 + 3x2 − 6xy + 3y 2 − 6y 2 − 4 + 4 = 6x2 , 6x2 , P ⇒ g je ˇreˇsen´ım funkcion´aln´ı rovnice.

g(−1) = 3(−1)2 − 2 = 3 · 1 − 2 = 1

⇒

g(−1) = 1.

Funkcion´aln´ı rovnice m´a jedin´e ˇreˇsen´ı g(x) = 3x2 − 2.

15

ˇ ıseln´ C´ e soustavy v historii a pˇ r´ıkladech aneb Proˇ c pr´ avˇ e des´ıtka? pˇripravila A. Hakov´a Protoˇze nejˇcastˇeji pouˇz´ıv´ame vyj´adˇren´ı ˇc´ısel v des´ıtkov´e soustavˇe, vˇetˇsinou si neuvˇedomujeme, ˇze to nen´ı jedin´ y zp˚ usob vyj´adˇren´ı ˇc´ısla. Nejprve si uk´aˇzeme, jak vypadaj´ı z´apisy t´ehoˇz ˇc´ısla v des´ıtkov´e a dvojkov´e soustavˇe a pak si ˇrekneme o historii v´ yvoje pouˇz´ıv´an´ı r˚ uzn´ ych ˇc´ıseln´ ych soustav. Tedy napˇr´ıklad ˇc´ıslo 348 se d´a zapsat n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: 348 = 3 · 102 + 4 · 101 + 8 · 100 = 300 + 40 + 8 348 = (348)10 348 = 1 · 28 + 0 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 256 + 0 + 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 0 348 = (101011100)2 (348)10 (resp. (101011100)2 ) znaˇc´ı z´apis ˇc´ısla 348 v des´ıtkov´e (resp. dvojkov´e) soustavˇe. Podobn´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme pˇrev´est ˇc´ıslo 348 i do soustav o jin´em z´akladu. Tedy obecnˇe plat´ı, ˇze ˇc´ıslo a v soustavˇe o z´akladu k se d´a vyj´adˇrit n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: a = an · k n + an−1 · k n−1 + · · · + a2 · k 2 + a1 · k 1 + a0 · k 0 a = (an an−1 · · · a2 a1 a0 )k kde a0 , . . . , an ∈ {0, . . . , k − 1} a k n+1 nedˇel´ı a. Vytvoˇren´ı vhodn´eho z´apisu ˇc´ısla je zavrˇsen´ım cesty od ch´apan´ı ,,mnoˇzstv´ı“ k pojmu ˇc´ısla. Charakter z´apisu ˇc´ısla podstatnˇe ovlivˇ nuje moˇznosti rozvoje aritmetiky. Jeˇstˇe v 15. stolet´ı bylo moˇzn´e z´ıskat povˇest rychlopoˇct´aˇre vypoˇc´ıt´an´ım souˇcinu 15 · 10 zpamˇeti. Kdyˇz si ale uvˇedom´ıme, ˇze aˇz do 16. stolet´ı pˇrevl´adal v Evropˇe ˇr´ımsk´ y zp˚ usob z´apisu ˇc´ısel, nen´ı to aˇz tak pˇrekvapuj´ıc´ı. Staˇc´ı porovnat tyto dva z´apisy: 15 · 10 = 150 XV · X = CL Uˇz ve starˇs´ı dobˇe kamenn´e vyjadˇroval ˇclovˇek mnoˇzstv´ı pomoc´ı ,,z´apisu“ vroubkov´an´ı. D˚ ukazem je vlˇc´ı kost s 55 vroubky nalezen´a ve Vˇestonic´ıch. 16

Od seskupov´an´ı znaˇcek vede cesta k utvoˇren´ı osobit´eho znaku pro celou skupinu. Napˇr´ıklad nam´ısto IIIII se nap´ıˇse znak Z. Potom mnoˇzstv´ı IIIII II je moˇzn´e zapsat jako Z II ale tak´e IZI. Nen´ı rozhoduj´ıc´ı, v jak´em poˇrad´ı znaky p´ıˇseme. Podstatn´e je pouze to, ˇze kaˇzd´ y znak m´a dohodnutou hodˇ notu. C´ıseln´e soustavy s takov´ ymto zp˚ usobem z´apisu ˇc´ısla naz´ yv´ame aditivn´ı nepoziˇ cn´ı soustavy. Takov´eto soustavy se pouˇz´ıvali napˇr. v Egyptˇe. ˇ Ve star´em Recku se prosadil tzv. j´ onsk´ y z´ apis . J´onsk´ y z´apis ˇc´ısla se d´elkou v podstatˇe neliˇs´ı od naˇseho z´apisu. P´ısmeny abecedy se daly vyj´adˇrit ˇc´ısla od 1 aˇz po 999. Tis´ıce se oznaˇcovaly pˇrid´an´ım ˇc´arky pˇred znakem, desetitis´ıce pˇrid´an´ım p´ısmena M. Prvn´ı poziˇcn´ı soustava je doloˇzen´a u star´ ych Sumer˚ u. P˚ uvodnˇe se tam pouˇz´ıvala nepoziˇcn´ı des´ıtkov´a soustava, kter´a mˇela dva znaky. V dalˇs´ım v´ yvoji se pˇrestalo rozliˇsovat mezi velikost´ı znak˚ u a ˇra´d se nam´ısto velikosti zaˇcal oznaˇcovat polohou. Poziˇcn´ı soustavu s nulou pouˇz´ıvali tak´e Mayov´e, byla to soustava pˇetkovo-dvac´ıtkov´a. Nejstarˇs´ı homogenn´ı poziˇcn´ı soustava spad´a asi do 6. aˇz 8. stolet´ı, jde o des´ıtkovou indickou soustavu. Tento syst´em se rozˇs´ıˇril prakticky po cel´em svˇetˇe. Podle n´aroda, kter´ y pˇrispˇel k rozˇs´ıˇren´ı t´eto soustavy do Evropy, se lidovˇe naz´ yv´a arabsk´ eˇ c´ıslice. Arabsk´e slovo ,,as sifra“ = pr´azdno oznaˇcuje nejn´apadnˇejˇs´ı, nulu. Do slovn´ıku evropsk´ ych jazyk˚ u pˇreˇslo jako cifra. Nula dostala jm´eno podle latinsk´eho ,,nulla figura“, coˇz se d´a pˇreloˇzit jako ,,ˇz´adn´ y tvar“. Arabsk´e ˇc´ıslice do Evropy pronikly asi v polovinˇe 10. stolen´ı, ale trvalo 600 let neˇz je lid´e ovl´adli. To bylo zp˚ usobeno t´ım, ˇze mezi praktiky, kter´ ym staˇcilo pro jejich potˇreby poˇc´ıtadlo - abakus, se v´ yhody poziˇcn´ı soustavy a p´ısemn´eho poˇc´ıt´an´ı neprojevovaly tak markantnˇe. Otevˇrenou ot´azkou z˚ ust´av´a, co rozhodlo o volbˇ e z´akladu soustavy. Des´ıtkov´a soustava se n´am zd´a samozˇrejm´a, protoˇze jsme na ni od od maliˇcka zvykl´ı. Ale ˇc´ıseln´e soustavy s jin´ ym z´akladem nebyly v minulosti v´ yjimkou. Vzpomeˇ nme tˇreba uˇz zm´ınˇenou Babylonskou ˇsedes´atkovou soustavu nebo dvac´ıtkovou soustavu May˚ u. Dvac´ıtkov´a soustava Kelt˚ u se zachovala dokonce ve francouzsk´e terminologii, napˇr´ıklad 80 se ˇrekne quatre - vingts, tedy ˇctyˇri dvac´ıtky. Dvan´actkov´a soustava Velk´e Brit´anie se u n´as projevila poˇc´ıt´an´ım na tucty. Na pˇrelomu 20. stolet´ı se u primitivn´ıch n´arod˚ u americk´eho kontinentu podaˇrilo objevit 307 ˇc´ıseln´ ych syst´em˚ u, ze kter´ ych jen 146 bylo des´ıtkov´ ych. Jist´e je, ˇze d˚ uleˇzitou roli pˇri volbˇe z´akladu ˇc´ıseln´e soustavy sehr´ala skuteˇcnost, ˇze ˇclovˇek m´a deset prst˚ u. Vˇzdyt’byly po tis´ıcilet´ı nejpˇrirozenˇejˇs´ı pom˚ uckou pˇri poˇc´ıt´an´ı. Dalˇs´ı v´ yhodou des´ıtkov´e soustavy je pˇrijateln´ y 17

poˇcet cifer. Pˇ r´ıklad: Naleznˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice 17x + 32y = 52z , kde x, y, z < 10. ˇ sen´ı: Ze z´apisu 17x plyne, ˇze z´aklad x mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 7 a ze zad´an´ı Reˇ mus´ı b´ yt menˇs´ı neˇz 10. Obdobnou u ´vahou dost´av´ame nerovnosti pro x, y, z: 8 ≤ x ≤ 9, 4 ≤ y ≤ 9 a 6 ≤ z ≤ 9. Rovnici si m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru x + 7 + 3y + 2 = 5z + 2, tedy x + 3y − 5z + 7 = 0.

(4)

I. Pˇredpokl´adejme, ˇze x = 8, dosazen´ım do rovnice (4) a jej´ım upraven´ım z´ısk´ame 5z y= − 5. 3 Protoˇze 6 ≤ z ≤ 9 a y mus´ı b´ yt pˇrirozen´e ˇc´ıslo (bez nuly), vyhovuje pouze ˇreˇsen´ı x = 8, y = 5, z = 9. II. Pˇredpokl´adejme, ˇze x = 9, dosazen´ım do rovnice (4) a jej´ım upraven´ım z´ısk´ame 5z − 16 y= . 3 Protoˇze 6 ≤ z ≤ 9 a y mus´ı b´ yt pˇrirozen´e ˇc´ıslo (bez nuly), vyhovuje pouze ˇreˇsen´ı x = 9, y = 8, z = 8.

Zad´ an´ı a ˇ reˇ sen´ı 2. kola 1. Jak se v trojkov´e soustavˇe pozn´a, ˇze je ˇc´ıslo dˇeliteln´e 2? ˇ sen´ı 1. V des´ıtkov´e soustavˇe plat´ı, ˇze libovoln´e ˇc´ıslo je dˇeliteln´e 2, jestliˇze Reˇ posledn´ı ˇc´ıslice je dˇeliteln´a 2 (jinak ˇreˇceno, posledn´ı ˇc´ıslice je 0, 2, 4, 6, nebo 8). Zkus´ıme se pod´ıvat, zda neplat´ı obdobn´e pravidlo pro dˇelitelnost dvˇema v trojkov´e soustavˇe. 18

Pˇrep´ıˇseme si do trojkov´e soustavy nˇekolik prvn´ıch ˇc´ısel. Tedy ˇc´ısla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 maj´ı v trojkov´e soustavˇe toto vyj´adˇren´ı 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112. Tuˇcnˇe jsou zv´ yraznˇena ˇc´ısla dˇeliteln´a dvˇema. Snadno vid´ıme, ˇze ˇc´ısla dˇeliteln´a 2 konˇc´ı na vˇsechny ˇc´ıslice trojkov´e soustavy, takˇze nem˚ uˇzeme naj´ıt ani krit´erium pro dˇelitelnost v z´avislosti na posledn´ı ˇc´ıslici. Toto kriterium nelze naj´ıt ani v z´avislosti na posledn´ım dvojˇc´ısl´ı (srovnej napˇr. (3)10 = (10)3 a (12)10 = = (110)3 ). U vˇsech napsan´ ych ˇc´ısel plat´ı: ˇ C´ıslo zapsan´ e v trojkov´ e soustavˇ e je dˇ eliteln´ e 2, je-li jeho cifern´ y souˇ cet dˇ eliteln´ y 2. T´ımto jsme z´ıskali hypot´ezu pro dˇelitelnost 2, kter´a m˚ uˇze, ale nemus´ı platit. Pokud se n´am ji podaˇr´ı dok´azat, m´ame hledan´e krit´erium. Vyuˇzit´ım binomick´e vˇety pro kladn´e celoˇc´ıseln´e exponety dost´av´ame 3n = (2 + 1)n =    n n−1 n n−2 n n = 2 + 2 + 2 + ··· + 2 + 1. 1 2 n−1 Tedy 3n , n = 0, 1, 2, 3, . . . je vˇzdy lich´e ˇc´ıslo a m˚ uˇzeme ho zapsat ve tvaru 3n = 2kn + 1,

(5)

kde kn je nˇejak´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo (vˇcetnˇe 0). Pˇripomeˇ nme si z´apis ˇc´ısla a ve trojkov´e soustavˇe a = an · 3n + an−1 · 3n−1 + · · · + a2 · 32 + a1 · 31 + a0 · 30 a = (an an−1 · · · a2 a1 a0 )3 .

(6)

Dosad´ıme (5) do (6): a = an · (2kn + 1) + an−1 · (2kn−1 + 1) + · · · + a2 · (2k2 + 1) + a1 · (2k1 + 1) + a0 = = an · 2kn + an−1 · 2kn−1 + · · · + a2 · 2k2 + a1 · 2k1 + an + an−1 + · · · + a2 + a1 + a0 .

(7)

Dˇelitelnost dvojkou ˇc´ısla a z´avis´ı pouze na tom, zda je dvˇema dˇeliteln´ y souˇcet an + an−1 + · · · + a2 + a1 + a0 , 19

coˇz je cifern´ y souˇcet ˇc´ısla a. Hypot´ezu jsme tedy dok´azali. 2. Zahradn´ık m´a ˇctvercov´ y z´ahon o rozmˇerech n × n decimetr˚ u, kde n je pˇrirozen´e ˇc´ıslo. K os´azen´ı tohoto z´ahonu chce pouˇz´ıt dva r˚ uzn´e druhy tulip´an˚ u. Jeden druh kvete ˇcervenˇe a druh´ y ˇzlutˇe. Z´ahon chce os´azet tˇemito druhy tulip´an˚ u tak, aby kaˇzd´e dva sousedn´ı tulip´any mˇely po vykveten´ı r˚ uznou barvu. Cibulky tulip´an˚ u se vysazuj´ı do ˇra´dk˚ u nebo do sloupc˚ u tak, ˇze kaˇzd´e dvˇe sousedn´ı cibulky jsou od sebe vzd´aleny 1 dm. Kolik cibulek ˇcerven´ ych a kolik cibulek ˇzlut´ ych tulip´an˚ u zahradn´ık potˇrebuje? ˇ sen´ı 2. Reˇ

n=2 n=3 V zad´an´ı je ˇreˇceno, ˇze sousedn´ı tulip´any jsou od sebe vzd´aleny 10 cm. To znamen´a, ˇze k dan´e cibulce sousedn´ı tulip´any mus´ı leˇzet ve stejn´em ˇra´dku nebo sloupci. Zahradn´ık bude s´azet cibulky od kraje z´ahonu ke druh´emu kraji. To znamen´a, ˇze na z´ahonu o d´elce 2 dm jsou v ˇra´dku 3 tulip´any. Pˇr´ıklad rozdˇel´ıme na dva pˇr´ıpady: a) n je lich´ eˇ c´ıslo. Z´ahon je vˇzdy os´azen stejn´ ym poˇctem tulip´an˚ u ˇcerven´e barvy a ˇzlut´e barvy (viz obr.). Nejmenˇs´ı z´ahon a1 = 1dm os´az´ıme dvˇema ˇcerven´ ymi a dvˇema ˇzlut´ ymi tulip´any. Dalˇs´ı z´ahon a2 = 3dm m´a poˇcet tulip´an˚ u ˇcerven´e barvy s2 = 2 + 6 = 8. Pro a3 = 5dm je poˇcet tulip´an˚ u ˇcerven´e barvy s3 = 8 + 10 = 18. Vˇsimnˇete si, ˇze pro r-t´ y z´ahon plat´ı ar = n dm a souˇcet jeho ˇcerven´ ych tulip´an˚ u je sr = sr−1 + 2n.

20

Poˇcet tulip´an˚ u jedn´e barvy vypoˇcteme jako sr = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + · · · + 2n.

(8)

Poˇcet ˇclen˚ u v posloupnosti (8) je r a jedn´a se o aritmetickou posloupnost s diferenc´ı d = 4. Neˇz provedeme souˇcet t´eto posloupnosti, mus´ıme zn´at vztah mezi n a r. Protoˇze n je lich´e ˇc´ıslo plat´ı n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . . a z´aroveˇ n plat´ı r = k + 1, tedy r = (n + 1)/2 (a(n+1)/2 = n dm). V´ yˇse uveden´e dosad´ıme do vzorce pro souˇcet n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti sr = (r/2)(b1 + br ), kde r poˇcet sˇc´ıtanc˚ u, b1 prvn´ı ˇclen ˇrady, br posledn´ı ˇclen ˇrady: s(n+1)/2 =

(n + 1)2 n+1 (2 + 2n) = . 4 2

(9)

zlut´ ych Jestliˇ ze n je lich´ e ˇ c´ıslo, potˇ rebujeme (n + 1)2 /2 cibulek ˇ 2 tulip´ an˚ u a (n + 1) /2 cibulek ˇ cerven´ ych tulip´ an˚ u. b) n je sud´ eˇ c´ıslo Z´ahon je os´azen jin´ ym poˇctem ˇcerven´ ych a jin´ ym poˇctem ˇzlut´ ych tulip´an˚ u, jeden druh mus´ı m´ıt jeden tulip´an nav´ıc (viz obr.). Budeme uvaˇzovat, ˇze ˇcerven´ ych tulip´an˚ u je v´ıce. Nejmenˇs´ı z´ahon a1 = 2 dm os´az´ıme pˇeti ˇcerven´ ymi a ˇctyˇrmi ˇzlut´ ymi tulip´any. Dalˇs´ı z´ahon a2 = 4 dm m´a poˇcet tulip´an˚ u ˇzlut´e barvy s2 = 4 + 8 = 12. Pro a3 = 6 dm je poˇcet ˇzlut´ ych tulip´an˚ u s3 = 12 + 12 = 24. Vˇsimnˇete si, ˇze pro r-t´ y z´ahon plat´ı ar = n dm a souˇcet jeho ˇzlut´ ych tulip´an˚ u je sr = sr−1 + 2n. Vztah mezi r a n je tento: r = n/2. Poˇcet ˇzlut´ ych tulip´an˚ u: sn/2 =

n n(n + 2) (4 + 2n) = . 4 2

(10)

Jestliˇ ze n je sud´ eˇ c´ıslo, potˇ rebujeme n(n + 2)/2 cibulek ˇ zlut´ ych tulip´ an˚ u a n(n + 2)/2 + 1 cibulek ˇ cerven´ ych tulip´ an˚ u nebo n(n + 2)/2 + 1 cibulek ˇ zlut´ ych tulip´ an˚ u a n(n + 2)/2 cibulek ˇ cerven´ ych tulip´ an˚ u. Pozn´ amka: ´ Uloha m˚ uˇze b´ yt ch´ap´ana dvˇemi dalˇs´ımi zp˚ usoby. I. Zahradn´ık nes´az´ı tulip´any od kraje z´ahonu, prvn´ı tulip´an je od kraje vzd´alen´ y 1 dm a posledn´ı je od druh´eho kraje vzd´alen´ y tak´e 1 dm. Je-li n 21

sud´e, zasad´ı (n2 − 1)/2 ˇzlut´ ych, ˇcerven´ ych (n2 + 1)/2 nebo naopak. Pro n lich´e potˇrebuje n2 /2 ˇcerven´ ych tulip´an˚ u a stejn´ y poˇcet ˇzlut´ ych. II. Zahradn´ık s´az´ı tulip´any takto: do kaˇzd´eho ˇcverce o rozmˇerech 1 dm2 s´az´ı jeden tulip´an do jeho stˇredu, takˇze ve ˇcverci o stranˇe n dm je n2 tulip´an˚ u. 2 Je-li n sud´e, pak ˇcerven´ ych tulip´an˚ u je n /2, ˇzlut´ ych je stejnˇe. Pro n lich´e je ˇcerven´ ych (n2 − 1)/2, ˇzlut´ ych (n2 + 1)/2 nebo naopak. 3. Na hrac´ıch kostk´ach jsou vˇzdy oˇcka rozm´ıstˇena tak, aby dvˇe protilehl´e strany d´avaly souˇcet 7. Jestliˇze je na horn´ı stranˇe kostky ˇsestka, dole mus´ı b´ yt jedniˇcka, protoˇze 6 + 1 = 7. a) Pˇredstavte si, ˇze chcete vyrobit kostku, kter´a toto pravidlo splˇ nuje. Kolik r˚ uzn´ ych takov´ ych kostek m˚ uˇzete vyrobit? (Za r˚ uzn´a ˇreˇsen´ı povaˇzujeme ty, kter´e se nedaj´ı z´ıskat pootoˇcen´ım kostky.) b) Na obr. je nakreslena jedin´a kostka v r˚ uzn´ ych pozic´ıch, kter´a toto pravidlo nesplˇ nuje. Kolik oˇcek je vˇzdy na doln´ı ploˇsce?

ˇ sen´ı 3. Reˇ a) Protoˇze nez´avis´ı na pootoˇcen´ı kostky, m˚ uˇzeme ji nastavit do libovoln´e pozice. Nastavme si ji tˇreba takto: Kostka leˇz´ı na stole jedniˇckou (tzn. nahoˇre je ˇsestka) a zepˇredu mˇejme dvojku (tzn. vzadu je pˇetka). Takto lze nastavit libovolnou kostku splˇ nuj´ıc´ı dan´e pravidlo. Na zb´ yvaj´ıc´ıch stˇen´ach kostky uˇz mohou b´ yt pouze trojka a ˇctyˇrka, ovˇsem ve dvou r˚ uzn´ ych pozic´ıch. To znamen´a, ˇze takov´e kostky mohou b´ yt dvˇ e. ´ Ulohu lze ˇreˇsit i tak, ˇze si vyp´ıˇseme vˇsechny moˇzn´e s´ıtˇe takov´ ychto kostek. Vylouˇc´ıme vˇsechna pootoˇcen´ı a m´ame jako moˇzn´e ˇreˇsen´ı pouze dvˇe nez´avisl´e kostky. b) Na doln´ı ploˇse jsou postupnˇe zleva doprava tˇri oˇcka, ˇsest oˇcek a ˇctyˇri

22

oˇcka. V´ ysledek si m˚ uˇzete ovˇeˇrit, kdyˇz si z n´asleduj´ıc´ı s´ıtˇe postav´ıte kostku.

ˇ ste v oboru re´aln´ 4. Reˇ ych ˇc´ısel rovnici (x − 2)(x + 7)(x + 1)(x + 4) = 19. ˇ asteˇcnˇe rozn´asob´ıme z´avorky (1. s 2. a 3. se 4.), m´ame upravenou ˇ sen´ı 4. C´ Reˇ rovnici (x2 + 5x − 14) · (x2 + 5x + 4) = 19.

(11)

Zvol´ıme substituci t = x2 +5x (lze volit i jin´e substituce, coˇz z´avˇereˇcn´e ˇreˇsen´ı neovlivn´ı) a rovnici (11) pˇrep´ıˇseme t2 − 10t − 75 = 0 a vyˇreˇs´ıme t1 = −5, t2 = 15. Vr´at´ıme se k p˚ uvodn´ım promˇenn´ ym, pˇriˇcemˇz z´ısk´ame dvˇe kvadratick´e rovnice x2 + 5x = −5, x2 + 5x = 15, kter´e maj´ı stejn´a ˇreˇsen´ı jako p˚ uvodn´ı rovnice. Vyˇreˇsen´ım tˇechto rovnic z´ısk´ame 4 ˇreˇsen´ı: √ √ √ √ −5 − 85 −5 + 85 −5 − 5 −5 + 5 , x2 = , x3 = , x2 = . x1 = 2 2 2 2 23

5. Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, zn´ate-li velikosti vˇsech tˇr´ı v´ yˇsek va = 10 cm, vb = 7, 5 cm, vc = 5, 5 cm. ˇ sen´ı 5. Troj´ Reˇ uheln´ık lze sestrojit nˇekolika zp˚ usoby, uvedeme si pouze dva z nich. Nakresleme si obecn´ y troj´ uheln´ık

C

b

a vc

va

vb

A

B

c

Vyuˇzijeme vztah˚ u pro obsah troj´ uheln´ıka 1 1 1 S = ava = bvb = cvc , 2 2 2 ze kter´ ych vypl´ yvaj´ı pomˇery pro strany a v´ ysky b/c = vc /vb nebo a:b:c=

1 1 1 : : . va vb vc

I. Nar´ ysujeme pomocn´ y troj´ uheln´ık A , B  , C  se stranami o velikostech zadan´ ych v´ yˇsek a = va , b = vb , c = vc (viz. obr.).

A' v'c

v'b vc

B'

v'a

vb

va 24

C'

V nˇem najdeme jeho v´ yˇsky va , vb , vc . Nar´ ysujeme druh´ y troj´ uheln´ık se    stranami o velikostech v´ yˇsek va , vb , vc . Tento troj´ uheln´ık je podobn´ y naˇsemu    hledan´emu troj´ uheln´ıku (va je podobn´a a, vb je podobn´a b, vc je podobn´a c). Vyuˇzijeme podobnost a snadno dor´ ysujeme troj´ uheln´ık, jehoˇz v´ yˇsky jsou zadan´e. A''=A

v'c B''

v'b

v'a C'' va

B

C

P

Jedn´a se o nepolohovou u ´lohu, troj´ uheln´ık je jednoznaˇcnˇe urˇcen, proto je ´ E ˇ JEDNO RE ˇ SEN ˇ ´I. PRAV II. Toto ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıv´a doplnˇen´ı na rovnobˇeˇzn´ık ABCD. Nejprve nar´ ysujeme pˇr´ımku p (na n´ı budou leˇzet body C, B, nev´ıme pˇresnˇe kde). Na pˇr´ımce p si vyznaˇc´ıme bod C libovolnˇe. Udˇel´ame rovnobˇeˇzku p ve vzd´alenosti va (na n´ı bude leˇz bod A). Nyn´ı m´ame nar´ ysov´ano p, p , C. Vedeme kuˇznici k se stˇredem C a polomˇerem 2vc . Nalezneme pomocn´ y bod D, ker´ y je pr˚ unikem  p a k. Spoj´ıme bod D s bodem C a u ´seˇcku CD rozp˚ ul´ıme a v polovinˇe si oznaˇc´ıme bod S. V bodˇe S nar´ ysujeme kolmici k CD, kterou oznaˇc´ıme q. Bod A je pr˚ unik q, p , bod B je pr˚ unik q, p. Troj´ uheln´ık ABC staˇc´ı dor´ ysovat. 6. Vyˇreˇste n´asleduj´ıc´ı Algebrogramy. Za jednotliv´a ˇc´ıslice od 0 do 9 tak, aby uveden´a sˇc´ıt´an´ı d´avala smysl. a) b) P S I C I P O P S I C I I H P S I C I P E N H A F A N I 25

p´ısmena dosad’te ˇ S N I

L E Z

I D E

ˇ sen´ı 6. Reˇ a)

b)

7 3 0 6 0 7 3 0 6 0 7 3 0 6 0 2 1 9 1 8 0 1 9 5 6 8 8 4 3 0 2 1 0 3 8 7 0

nebo

1 4 5 6 8 8 9 3 0 2 1 0 3 8 7 0

Pˇredpokl´ad´ame, ˇze r˚ uzn´a p´ısmena znaˇc´ı r˚ uzn´e ˇc´ıslice a ˇze ˇz´adn´e p´ısmeno na zaˇc´atku nen´ı nula. Pak m´a u ´loha a) pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı, u ´loha b) pr´avˇe dvˇe ˇreˇsen´ı. Algebrogramy se obvykle ˇreˇs´ı tak, ˇze se najdou vˇsechny vazby v pˇr´ıkladu (napˇr. u a) I = 0 nebo I = 5 atd.) a pak se dosazuj´ı ˇc´ıslice, kter´e vazb´am vyhovuj´ı.

26

Relace ekvivalence pˇripravila D. Smetanov´a Relace: 1. (vz´ ajemn´y) vztah, pomˇer 2. moˇzina (tˇr´ıda) vˇsech uspoˇra´dan´ych dvojic (trojic ap.) objekt˚ u (prvk˚ u) (v´azan´ych dan´ych vztahem). [7] Takto je vysvˇetlen pojem relace ve slovn´ıku ciz´ıch slov. My budeme ch´apat pod pojmem relace vztah mezi dvˇema prvky urˇcit´e mnoˇziny. Pˇresn´e matematick´e vyj´adˇren´ı je toto: Kaˇzdou podmnoˇzinu mnoˇziny A × A naz´yv´ame relac´ı v mnoˇzinˇe A.[1] Pˇ r´ıklady: A) Je d´ ana mnoˇ zina vˇ sech kruˇ znic. A1 ) Kruˇznice k1 (S1 , r1 ) je v relaci s kruˇznic´ı k2 (S2 , r2 ), jestliˇze se rovnaj´ı jejich polomˇery (tzn. r1 = r2 ). A2 ) Kruˇznice k1 (S1 , r1 ) je v relaci s kruˇznic´ı k2 (S2 , r2 ), kdyˇz maj´ı stejn´ y stˇred (tzn. S1 = S2 ). (Kruˇznice je v relaci s libovolnou soustˇrednou kruˇznic´ı.) B) Je d´ ana mnoˇ zina re´ aln´ ych ˇ c´ısel R. ˇ ıslo a ∈ R dˇeliteln´e 5 je v relaci s ˇc´ıslem b ∈ R, jestliˇze je tak´e B1 ) C´ dˇeliteln´e 5. (To znamen´a, ˇze libovolnˇe vybran´e a ∈ R je v relaci s kaˇzd´ ym re´aln´ ymi ˇc´ısly i se sebou sam´ ym. Dˇel´ıme-li re´aln´e ˇc´ıslo pˇeti, vˇzdy budeme m´ıt re´aln´ y v´ ysledek.) ˇ B2 ) C´ıslo a ∈ R je v relaci s ˇc´ıslem b ∈ R, jestliˇze plat´ı d(a, b) ≤ 1 (vzd´alenost ˇc´ısel je menˇs´ı nebo rovna 1). (Napˇr. 5, 795 je v relaci se vˇsemi ˇc´ısly leˇz´ıc´ımi v uzavˇren´em intervalu 4, 795; 6, 795.) ˇ ıslo a ∈ R je v relaci s ˇc´ıslem b ∈ R, jestliˇze plat´ı [a] = [b]. ([a] B3 ) C´ oznaˇcuje celou ˇc´ast ˇc´ısla a, napˇr. [−10, 521985] uˇzete √ = −10. Snadno si m˚ ˇ ıslo ¯ ovˇeˇrit, ˇze 3 je v relaci napˇr. s ˇc´ısly π; 22/7; 10; 3, 14; 399/100; 3, 9. C´ r ∈ R je v relaci se vˇsemi ˇc´ısly z intervalu [r], [r] + 1).) ˇ ıslo a ∈ R je v relaci s ˇc´ıslem b ∈ R, jestliˇze plat´ı a/b ∈ Q (racion´aln´ı B4 ) C´ √ √ √ √ ˇc´ıslo). (Napˇr. 3 je v relaci s 12, protoˇze plat´ı 3/ 12 = 1/2.) C) Je d´ ana mnoˇ zina cel´ ych ˇ c´ısel Z. ˇ ıslo a ∈ Z je v relaci s ˇc´ıslem b ∈ Z, jestliˇze a − b je ˇc´ıslo sud´e. (Je-li C1 ) C´ 27

a ˇc´ıslo sud´e, bude v relaci pouze ze sud´ ymi ˇc´ısly. Je-li lich´e, bude v relaci pouze s lich´ ymi ˇc´ısly.) ˇ C2 ) C´ıslo a ∈ Z je v relaci s ˇc´ıslem b ∈ Z, jestliˇze plat´ı b = 7k, k ∈ Z. D) Je d´ ana mnoˇ zina vˇ sech lid´ı. ˇ ek A je v relaci s ˇclovˇekem B, jestliˇze maj´ı spoleˇcn´e oba rodiˇce. D1 ) Clovˇ ˇ ek A je v relaci s ˇclovˇekem B, jestliˇze maj´ı spoleˇcn´eho alespoˇ D2 ) Clovˇ n jednoho rodiˇce. Oznaˇcme si relaci symbolem ∼. To znamen´a, ˇze souslov´ı ,,prvek a je v relaci s prvkem b“ budeme oznaˇcovat takto: a ∼ b. Speci´aln´ım typem relace na mnoˇzinˇe M je relace ekvivalence na mnoˇzinˇe M . Relace ∼ je relac´ı ekvivalence, jestliˇze pro libovoln´e prvky a, b, c ∈ M splˇ nuje n´asleduj´ıc´ı tˇri podm´ınky: a∼a a∼b⇒b∼a a∼b∧b∼c⇒a∼c

(12) (13) (14)

Podm´ınka (12) znamen´a, ˇze relace je reflex´ıvn´ı, (13) relace je symetrick´ a, (14) relace je tranzitivn´ı. Pˇ r´ıklad: Dokaˇzte, ˇze relace A1 ) je relace ekvivalence. ˇ sen´ı: Mus´ıme ovˇeˇrit, zda-li jsou splnˇeny vˇsechny tˇri podm´ınky (12) - (14). Reˇ (12): Plat´ı k(S, r) ∼ k(S, r), protoˇze r = r. (13): Pˇredpokl´adejme, ˇze plat´ı k1 (S1 , r1 ) ∼ k2 (S2 , r2 ) (tzn. r1 = r2 ). Ovˇsem z´aroveˇ n plat´ı r2 = r1 a tedy mus´ı platit k2 (S2 , r2 ) ∼ k1 (S1 , r1 ). (14): Pˇredpokl´adejme, ˇze plat´ı k1 (S1 , r1 ) ∼ k2 (S2 , r2 ) (tzn. r1 = r2 ) a z´aroveˇ n k2 (S2 , r2 ) ∼ k3 (S3 , r3 ) (tzn. r2 = r3 ). Z rovnost´ı r1 = r2 a r2 = r3 plyne r1 = r3 , tedy k1 (S1 , r1 ) ∼ k3 (S3 , r3 ). Z uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u nejsou relace ekvivalence pouze relace B2 ), B4 ), C2 ) a D2 ). B2 ): Podm´ınky (12), (13) plat´ı. (14) neplat´ı. Staˇc´ı vz´ıt body a, b, c ∈ R, pro neˇz plat´ı d(a, b) = 1, d(b, c) = 1, a = c. Z toho plyne, ˇze d(a, c) = 2, tedy a nen´ı v relaci s c. 28

B4 ): (12), (14) plat´ı. (13) neplat´ı. 0 ∼ 5, protoˇze 0/5 = 0 ∈ Q, ovˇsem zlomek 5/0 nen´ı definov´an, tud´ıˇz nen´ı racion´aln´ı ˇc´ıslo. Tedy 5 nen´ı v relaci s 0. C2 ): (14) plat´ı. (12), (13) neplat´ı, protoˇze existuje a = 7k, k ∈ Z. D2 ): Neplat´ı pouze (14). Zamyslete se proˇc.

Zad´ an´ı a ˇ reˇ sen´ı 3. kola 1. Je d´ana relace na mnoˇzinˇe Z. a ∼ b, a, b ∈ Z, jestliˇze a|b. Ovˇeˇrte vˇsechny podm´ınky (12) - (14) (viz. teoretick´a pˇr´ıprava) a zjistˇete, zda tato relace je relace ekvivalence. N´ apovˇ eda: a|b (ˇcteme a dˇel´ı b, nebo b je dˇeliteln´e a) znamen´a, ˇze existuje c ∈ Z tak, ˇze b = c · a. D´ale 0 je dˇeliteln´a vˇsemi cel´ ymi ˇc´ısly vˇcetnˇe 0, ale 0 dˇel´ı pouze 0. ˇ sen´ı 1. Ovˇeˇr´ıme podm´ınky: Reˇ (12): a ∼ a ⇔ a|a Plat´ı, protoˇze a = 1 · a. (13): (a ∼ b ⇒ b ∼ a) ⇔ (a|b ⇒ b|a) Uveden´a podm´ınka neplat´ı. Napˇr. pro a = 1, b = 2 m´ame a|b, protoˇze b = 2·a, ale uˇz neplat´ı b|a, protoˇze nenajdeme c ∈ Z tak, aby 1 = c · 2. (14): (a ∼ b ∧ b ∼ c ⇒ a ∼ c) ⇔ (a|b ∧ b|c ⇒ a|c) Plat´ı. Pˇredpokl´adejme, ˇze a|b, b|c, tj. existuj´ı ˇc´ısla u, v ∈ Z tak, ˇze b = u · a, c = v · b. Dosazen´ım prvn´ı rovnosti do druh´e dostaneme c = uv · a, kde uv ∈ Z, to ale znamen´a, ˇze a|c a to jsme chtˇeli uk´azat. Z´avˇer: Uveden´a relace nen´ı ekvivalence, nesplˇ nuje druhou podm´ınku. 2. Na hostinˇe se seˇslo 26 osob. Cel´a u ´trata byla 8 800,- Kˇc. Pˇriˇcemˇz poplatky za osobu byly stanoveny takto: muˇz platil 600,- Kˇc, ˇzena 400,Kˇc a d´ıtˇe 200,- Kˇc. Kolik bylo na hostinˇe muˇz˚ u ˇzen a dˇet´ı? ˇ sen´ı 2. Oznaˇcme si x poˇcet muˇz˚ Reˇ u, y poˇcet ˇzen a z poˇcet dˇet´ı na hostinˇe. Ze zad´an´ı vypl´ yv´a, ˇze plat´ı n´asleduj´ıc´ı dvˇe rovnosti x + y + z = 26,

600x + 400y + 200z = 8800.

Vyj´adˇr´ıme-li z prvn´ı rovnice z = 26 − x − y a dosad´ıme-li do druh´e rovnice, dostaneme po u ´prav´ach vztah pro y, kter´ y n´am zjednoduˇs´ı vyj´adˇren´ı z y = 18 − 2x,

z = 8 + x. 29

Podaˇrilo se n´am vyˇreˇsit soustavu dvou rovnic tak, ˇze pro kaˇzdou volbu x dostaneme pravˇe jedno y a z. V naˇsem pˇr´ıpadˇe vˇsechny tˇri hodnoty x, y, z mus´ı b´ yt pˇrirozen´a ˇc´ısla nebo nuly. Budeme postupnˇe dosazovat za x tak dlouho, dokud nˇekter´a z hodnot y nebo z nezaˇcne b´ yt z´aporn´a. Dostaneme n´asleduj´ıc´ıch deset ˇreˇsen´ı x (muˇzi) y (ˇzeny) z (dˇeti)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Dosazen´ım do p˚ uvodn´ıch rovnic m˚ uˇzeme prov´est zkouˇsku, ˇze skuteˇcnˇe vˇsech deset moˇznost´ı je ˇreˇsen´ım. Jestliˇze budeme cht´ıt, aby na hostinˇe byl alespoˇ n jeden muˇz, alespoˇ n jedna ˇzena a alespoˇ n jedno d´ıtˇe, dostaneme pouze osm ˇreˇsen´ı, kter´e snadno nalezneme v pˇredchoz´ı tabulce. 3. V kaˇzd´em roce, kromˇe pˇrestupn´eho, je den, kter´ y nap´ıˇseme-li jeho datum a vynech´ame teˇcky, souˇcasnˇe uv´ad´ı, kolik´at´ ym je dnem v roce (napˇr. 19. 3. nen´ı 193. dnem v roce). Najdˇete tento den. ˇ sen´ı 3. Jestliˇze si jako x oznaˇc´ıme den a jako y oznaˇc´ıme mˇes´ıc, hled´ame Reˇ ˇreˇsen´ı rovnice 10x + y = x + S(y − 1),

resp. 100x + y = x + S(y − 1) pro y = 10, 11, 12,

kde S(z) oznaˇcuje souˇcet vˇsech dn˚ u v mˇes´ıc´ıch od ledna aˇz do mˇes´ıce z. M˚ uˇzeme si uvedenou rovnost rozepsat pro jednotliv´e mˇes´ıce a vyˇreˇsit. y y y y y y y y y

=1: =2: =3: =4: =5: =6: =7: =8: =9:

10x + 1 10x + 2 10x + 3 10x + 4 10x + 5 10x + 6 10x + 7 10x + 8 10x + 9

= = = = = = = = =

x+0 x + 31 x + 31 + 28 x + 59 + 31 x + 90 + 30 x + 120 + 31 x + 151 + 30 x + 181 + 31 x + 212 + 31

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

30

x x x x x x x x x

= − 19 = 29 9 56 = 9 = 86 9 = 115 9 145 = 9 = 174 9 = 204 9 234 = 9 = 26

(nevyhovuje) (nevyhovuje) (nevyhovuje) (nevyhovuje) (nevyhovuje) (nevyhovuje) (nevyhovuje) (nevyhovuje) (vyhovuje)

y = 10 : 100x + 10 = x + 243 + 30 ⇒ x = y = 11 : 100x + 11 = x + 273 + 31 ⇒ x = y = 12 : 100x + 12 = x + 304 + 30 ⇒ x =

263 9 293 9 322 9

(nevyhovuje) (nevyhovuje) (nevyhovuje)

Hledan´ ym dnem je 26.9., protoˇze je to 269. den v nepˇrestupn´em roce. 4. Ovˇeˇrte, ˇze pro re´aln´a ˇc´ısla a, b plat´ı n´asleduj´ıc´ı rovnost: a+b a3 + b3 = . a3 + (a − b)3 2a − b ˇ sen´ı 4. Vyuˇzit´ım vzoreˇcku x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) uprav´ıme levou Reˇ stranu L = = = P = L =

(a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 + b 3 = a3 + (a − b)3 (a + a − b)(a2 − a(a − b) + (a − b)2 ) (a + b)(a2 − ab + b2 ) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = (2a − b)(a2 − a2 + ab + a2 − 2ab + b2 ) (2a − b)(a2 − ab + b2 ) a+b , 2a − b a+b , 2a − b P.

Nyn´ı mus´ıme zjistit, pro kter´a ˇc´ısla a, b zadan´e v´ yrazy d´avaj´ı smysl. Ve jmenovateli obou zlomk˚ u nesm´ı b´ yt nula. Podm´ınky: a3 + (a − b)3 = (2a − b)(a2 − ab + b2 ) = 0,

2a − b = 0.

Tak´e nesm´ı b´ yt nula vˇse, ˇc´ım jsme kr´atili, ale podm´ınku a2 −ab+b2 = 0 m´ame jiˇz zahrnutou v prvn´ı podm´ınce. Nav´ıc, kdyˇz se na ni pod´ıv´ame podrobnˇeji a pokus´ıme se ji vyˇreˇsit jako kvadratickou rovnici a2 − ab + b2 = 0 s nezn´amou a a parametrem b, zjist´ıme, ˇze jej´ı diskriminant D = b2 − 4b2 = −3b2 ≤ 0. Kvadratick´a rovnice m´a tedy re´aln´e ˇreˇsen´ı pouze v pˇr´ıpade b = 0, t´ım ˇreˇsen´ım je ˇc´ıslo a = 0. Toto ˇreˇsen´ı ovˇsem vyluˇcuje podm´ınka 2a − b = 0, takˇze ho nemus´ıme vypisovat zvl´aˇst’. Rovnost plat´ı pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla a, b, kter´a splˇ nuj´ı podm´ınku a = b/2.

31

5. Je-li pr˚ umˇer kruˇznice na obr´azku 100 mm, jak´ y je obsah menˇs´ıho ˇctverce ABCD v kruˇznici? C

B

D

A

ˇ sen´ı 5. Spoj´ıme-li body A a C a body B a D, z´ısk´ame rozdˇelen´ı vˇetˇs´ıho Reˇ ˇctverce na ˇctyˇri stejn´e ˇctvereˇcky. C

D

S

A

B

X

Pod´ıv´ame-li se podrobnˇeji tˇreba na ˇctvereˇcek AXBS, zjist´ıme, ˇze jeho u ´hlopˇr´ıˇcka AB je stejnˇe velk´a jako u ´hlopˇr´ıˇcka SX, ale SX je polomˇer zadan´e kruˇznice, tj. 50 mm. Obsah ˇctverce ABCD pak vypoˇc´ıt´ame ze zn´am´eho vztahu, v´ıme-li, ˇze |AB| = 50 mm. S = |AB|2 ,

S = 2500 mm2

Obsah menˇs´ıho ˇctverce je tedy 2500 mm2 .

32

6. Na rodinn´em veˇc´ırku se setkali: 1 dˇedeˇcek, 1 babiˇcka, 2 otcov´e, 2 matky, 4 dˇeti, 3 vnouˇcata, 1 bratr, 2 sestry, 2 synov´e, 2 dcery, 1 tch´an, 1 tchynˇe, 1 snacha. Pˇritom tam bylo pouze 7 osob. Jak je to moˇzn´e? ˇ sen´ı je zn´azornˇeno v n´asleduj´ıc´ım diagramu ˇ sen´ı 6. Reˇ Reˇ

syn

dědeček otec, tchán

otec

dítě, bratr, vnouče

syn, dítě

dcera

babička matka, tchyně

matka

dítě, sestra, vnouče

snacha

dcera dítě, sestra, vnouče

33

Reference [1] H. J. Bartsch, Matematick´e vzorce, Mlad´a Fronta, Praha (1996). ˇ Matematika I, 3. vyd., SPN, Praha (1998). [2] Bart´ak, J., Bojt´ar, S.: [3] Hejn´ y, M.a kol., Te´ oria vyuˇcovania matematiky 2. Bratislava, SPN (1990). ˇ sa, J., Metody ˇreˇsen´ı matematick´ych u [4] Herman, J., Kuˇcera, R., Simˇ ´loh I, 2. vyd.(pˇrepracovan´e), Masarykova univerzita v Brnˇe, Brno (1996). [5] Kuˇrina, F., Umˇen´ı vidˇet v matematice, 1. vyd., SPN, Praha (1990). [6] Maˇc´ak, K., Tˇri stˇredovˇek´e sb´ırky matematick´ych u ´loh, 1. vyd., Prometheus, Praha (2001). [7] V. Petr´aˇckov´a a J. Kraus a kol., Akademick´y slovn´ık ciz´ıch slov II., d´ıl ˇ Academia, Praha (1995). L–Z,

34