G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 1/20
1a
Zie de plot hiernaast.
1b
Alle grafiek gaan door O (0,0) en (1;0,5).
1c
De grafieken van y = 0,5x 2 en y = 0,5x 6 komen niet onder de x -as.
1d
De grafieken van y = 0,5x 2 en y = 0, 5x 6 hebben de y -as als symmetrieas.
2a
Zie de plot hiernaast.
2b
translatie (0, 2) (2 omhoog) Translatie (0, 2) is een verschuiving van 0 naar rechts en 2 eenheden omhoog. 2 y 1 = 0,5x 2 → y 2 = 0, 5x + 2. translatie (0, −3) (3 omlaag)
translatie (0, 6) (6 omhoog)
2c
2 y 1 = 0, 5x 2 → y 3 = 0, 5x − 3.
3a
2 Zie de plot hiernaast; y 1 = 0,5x 2 → y 2 = 0,5(x − 6) .
3b
2 y 1 = 0, 5x 2 → y 3 = 0,5(x + 4) .
3c
2 y = 0,5x 2 → y = 0,5(x − 2) .
2d
2 y = 0,5x 2 → y = 0,5x + 6.
translatie (6, 0) (6 naar rechts)
translatie ( −4, 0) (4 naar links)
translatie (2, 0) (2 naar rechts)
4a
y = −5(x − 2)2 + 5;
y = −5(x + 3)2 + 6;
y = −5(x − 7)2 .
4b
y = 4(x + 5)5 + 7;
y = 4x 5 − 10;
y = 4(x − 320)5 + 50.
5a
y = 5(x − 4)2 + 1 + 6 = 5(x − 4)2 + 7.
5d
y = 3(x − 5 − 4)6 + 8 + 6 = 3(x − 9)6 + 14.
5b
y = (x − 6 − 4)3 + 6 = (x − 10)3 + 6.
5e
y = −2(x + 4 − 4)5 + 6 + 6 = −2x 5 + 12.
5c
y = −(x − 4) 4 + 2 + 6 = −(x − 4) 4 + 8.
5f
y = −2(x − 4 − 4)2 − 6 + 6 = −2(x − 8)2 .
6a
y = 5(x − 8)6 − 3.
6d
y = −5(x − 1 − 2)3 + 8 − 7 = −5(x − 3)3 + 1.
6b
y = −3(x + 4) 4 + 6.
6e
y = (x + 8)5 + 6 − 3 = (x + 8)5 + 3.
6c
y = 2(x − 3 − 5)2 = 2(x − 8)2 .
6f
y = −(x − 7) 4 − 8.
7a
7c h f transl. ( −2, −3)
transl. ( −2, 18)
2 y = −2x 2 → f (x ) = −2(x + 2) − 3. max . y (0) = 0 max . f ( −2) = −3.
7b
4 y = 0, 5x 4 → h (x ) = 0,5(x + 2) + 18. min . y (0) = 0 min . h ( −2) = 18.
7d g transl. (3, − 4)
2 y = 0,18x 2 → g (x ) = 0,18(x − 3) − 4. min . y (0) = 0 min . g (3) = −4.
k transl. (3, −10)
8 y = −x 8 → k (x ) = −(x − 3) − 10. max . y (0) = 0 max . k (3) = −10.
transl. (5, 8)
8a
2 y = −3x 2 → f (x ) = −3(x − 5) + 8 ⇒ max . f (5) = 8.
8b
2 y = 5x 2 → g (x ) = 5x + 7 ⇒ min . g (0) = 7.
8c
2 y = 2x 2 → h (x ) = 2(x + 8) ⇒ min . h ( −8) = 0.
8d
2 y = 6x 2 → k (x ) = 6(x − 8) + 12 ⇒ min . k (8) = 12.
8e
2 y = −0,5x 2 → l (x ) = −0,5(x − 100) ⇒ max . l (100) = 0.
8f
2 y = −0, 4x 2 → m (x ) = −0, 4(x + 0,15) − 0,3 ⇒ max . m ( −0,15) = −0,3.
transl. (0, 7)
transl. ( −8, 0) transl. (8, 12)
transl. (100, 0)
transl. ( −0,15; −0,3)
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg 9a
10 Allerlei functie 2/20
f (x ) = 3(x − 2) 4 − 7 ⇒ top (2, − 7).
f
(maak een schets van de plot)
9b
g
6
g (x ) = −5(x + 3) + 2 ⇒ top ( −3, 2). (maak een schets van de plot)
9c
h (x ) = 8(x + 6)5 − 12 ⇒ punt van symm. ( −6, − 12). (maak een schets van de plot)
9d
k (x ) = −8(x − 1)3 ⇒ punt van symm. (1, 0).
k
h
(maak een schets van de plot)
10a
Zie de plot hiernaast.
10b
2 y 1 = x 2 − 5x → y 2 = 0,5(x − 5x ).
y -waarden met 0,5 vermenigvuldigen
y -waarden met −1,5 vermenigvuldigen
2 y 1 = x 2 − 5x → y 3 = −1, 5(x − 5x ).
11a
top (0, 0) 11b
verm. t.o.v. de x -as met −3
transl. ( −5, 6)
2 2 y = 0,3x 2 → → y = 0,3(x + 5) + 6 y = −0, 9(x + 5) − 18.
top ( −5, 6) verm. t.o.v. de x -as met − 4
top (0, 0)
top ( −3, 5) verm. t.o.v. de x -as met 6
transl. (2, −7)
5 5 y = −3x 5 + 4 → → y = −3(x − 2) − 3 y = −18(x − 2) − 18.
punt van symm. (0, 4) 12a
transl. ( −3, 5)
4 4 y = 0,5x 4 → y = −2x → y = −2(x + 3) + 5.
top (0, 0) 11c
top ( −5, − 18)
punt van symm. (2, − 3)
punt van symm. (2, − 18)
verm. t.o.v. de x -as met 4
transl. (4, 5)
2 2 y = −0,12x 2 → → y = −0,12(x − 4) + 5 y = −0, 48(x − 4) + 20.
top (0, 0)
top (4, 5)
top (4, 20)
verm. t.o.v. de x -as met −2
4 → → y = −10(x − 6) . y = −10x top (0, 0) top (0, 0) top (6, 0)
12c
2 2 y = 3(x − 4)2 − 8 → → y = 3(x + 1) − 6 y = −12(x + 1) + 24.
verm. t.o.v. de x -as met − 4
transl. ( −5, 2)
top (4, − 8) 12d
4
transl. (6,0)
12b
y = 5x
4
top ( −1, − 6)
top ( −1, 24)
verm. t.o.v. de x -as met −2
3
3
transl. (8, 20)
3 y = −1,5(x + 3) + 8 → y = 3(x + 3) − 16 → y = 3(x − 5) + 4.
punt van symm. ( −3, 8)
punt van symm. ( −3, − 16)
punt van symm. (5, 4)
13a
Spiegelen in de x -as komt op hetzelfde neer als verm. t.o.v. de x -as met − 1. (de y -coördinaten tegengesteld nemen)
13b
2 y = 3(x − 1)2 − 6 → y = −3(x − 1) + 6.
14a
De vergelijking x 4 = 5 heeft twee oplossingen.
verm. t.o.v. de x -as met −1 (spiegel in de x -as)
4
(de y -as is symmetiras van de grafiek van y = x ) 4
De vergelijking x
= −5 heeft geen oplossingen.
(de grafiek van y = x
14b
De vergelijking x
4
5
komt niet onder de x -as)
= 7 heeft één oplossing.
De vergelijking x 5 = −7 heeft één oplossing.
15a
3x
6
3x
6
−1 = 5
15c
=6
6
15b
1 x 4 + 7 = 11 3 1x4 =4 3 4
+ 8 = 15
5(2x − 1)6 = 5
−2x
5
=7
(2x − 1)6 = 1 2x − 1 = 1 ∨ 2x − 1 = −1 2x = 2 ∨ 2x = 0 x = 1 ∨ x = 0.
x 15d
x = 12 x = 4 12 ∨ x = −4 12. (niet afronden)
5(2x − 1)6 + 7 = 12
−2x
x
x =2 x = 6 2 ∨ x = −6 2. (niet afronden)
15e
5
5
= 7 = −3 1 −2 2 = 5 −3 1 . (niet afronden) 2
3x 4 − 7 = 11 3x 4 = 18
x4 =6 x = 4 6 ∨ x = − 4 6. (niet afronden)
15f − 1 (3x − 1)3 + 8 = 10 4
− 1 (3x − 1)3 = 2 4
(3x − 1)3 = −8 3x − 1 = 3 −8 = −2 3x = −1
x = − 31 . (niet afronden)
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg 16a
10 Allerlei functie 3/20
5x 4 + 1 = 14 (intersect) ⇒ x ≈ −1,27 ∨ x ≈ 1,27. 5x 4 + 1 > 14 (zie een plot) ⇒ x < −1,27 ∨ x > 1,27.
16b
− 1 (2x + 1)3 + 8 = 12 (intersect) ⇒ x ≈ −1, 64. 3
− 1 (2x + 1)3 + 8 ≥ 12 (zie een plot) ⇒ x ≤ −1, 64. 3
17a
1 x3 −7 =1 5 1 x3 = 8 5 3
17c
x = 40 x = 3 40 ≈ 3, 42. 17b
−3x 6 + 2 = 20 −3x 6 = 18
3( 1 x + 1) 4 + 5 = 41
2 3( 1 x + 1) 4 = 36 2 ( 1 x + 1) 4 = 12 2 1 x + 1 = 4 12 ∨ 1 x + 1 = − 4 12 2 2 1 x = −1 + 4 12 ∨ 1 x = −1 − 4 12 2 2 4
17d
−(x + 1)5 − 1 = 8 −(x + 1)5 = 9 (x + 1)5 = −9
x + 1 = 5 −9 x = −1 + 5 −9 ≈ −2, 55.
x = −2 + 2 12 ≈ 1, 72 ∨ x = −2 − 24 12 ≈ −5, 72.
6
x = −6 x = 6 −6 (kan niet). 18a
Zie de plot hiernaast. De wortel uit een negatief getal bestaat niet.
18b
Zie de plot hiernaast. y = x → y = x + 2 + 3.
transl. ( −2, 3)
19a
transl. (3, −2)
y = x → f (x ) = x − 3 − 2 met beginpunt (3, −2). verm. t.o.v. de x -as met −3
transl. ( −3, 0)
→ y = x → y = x + 3 g (x ) = −3 x + 3 met beginpunt ( −3, 0). 19b
Maak een schets van de plot hiernaast. (vermeld het beginpunt bij elke grafiek)
19c
Df = [3, → ; Bf = [−2, → ; Dg = [ −3, → en Bg = ←, 0].
20a
verm. t.o.v. de x -as met 2
f
g
transl. (0, −3)
y = x → → y = 2 x f (x ) = 2 x − 3 met beginpunt (0, −3). verm. t.o.v. de x -as met −1
transl. ( −5, 7)
→ y = x y = − x → g (x ) = − x + 5 + 7 met beginpunt ( −5, 7). 20b
Maak een schets van de plot hiernaast. (vermeld het beginpunt bij elke grafiek)
20c
Df = [0, → ; Bf = [ −3, → ; Dg = [ −5, → en Bg = ←, 7] .
g f
transl. ( −5, 3)
21a
y = x → f (x ) = x + 5 + 3 met beginpunt ( −5, 3); Df = [ −5, → en Bf = [3, → .
21b
y = x → g (x ) = x + 3 − 7 met beginpunt ( −3, −7); Dg = [−3, → en Bg = [ −7, → .
21c
y = x → → y = x + 1 h (x ) = −2 x + 1. Het beginpunt van de grafiek van h is ( −1, 0); Dh = [ −1, → en Bh = ←, 0].
21d
y = x → → y = 3 x + 1 k (x ) = 3 x + 1. Het beginpunt van de grafiek van k is (0, 1); Dk = [0, → en Bk = [1, → .
21e
y = x → m (x ) = x − 1 − 1 met beginpunt (1, −1); Dm = [1, → en Bm = [ −1, → .
21f
y = x → p (x ) = x − 3 met beginpunt (0, −3); Dp = [0, → en Bp = [ −3, → .
22a
Het beginpunt is (2, 1).
22b
Het beginpunt kan niet worden aangewezen. Dat komt doordat de trace-cursor met een vaste stapgrootte over de grafiek loopt.
23a
transl. ( −3, −7)
verm. t.o.v. de x -as met −2
transl. ( −1, 0)
verm. t.o.v. de x -as met 3
transl. (0, 1)
transl. (1, −1)
transl. (0, −3)
g
2x + 3 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ −3 ⇒ x
f
≥ −1 1 . Dus Df = [ −1 1 , → . Het beginpunt is ( −1 1 , −2). 2 2 2
De grafiek van g is de lijn door (0, 2) en (2, 1). Maak met de GR een tabel en teken de grafieken. 23b
Bf = [ −2, → .
23c
f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 2, 41. f (x ) < g (x ) (zie een plot, het domein en de berekening hierboven) ⇒ −1, 5 ≤ x < 2, 41.
g
f
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 4/20
24a
8 − 4x ≥ 0 ⇒ −4x ≥ −8 ⇒ x ≤ 2. Dus Df = ←,2]; Bf = [3, → (gebruik eventueel een plot) en het beginpunt is (2, 3).
24b
4x − 8 ≥ 0 ⇒ 4x ≥ 8 ⇒ x ≥ 2. Dus Dg = [2, → ; Bg = [3, → en het beginpunt is (2, 3).
24c 24d
2x + 6 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ −6 ⇒ x ≥ −3. Dus Dh = [ −3, → ; Bh = ←, 5] en het beginpunt is ( −3, 5). x ≥ 0. Dus Dk = [0, → ; Bk = ←,3] en het beginpunt is (0, 3).
25a
Omdat
25b
26a
x − 3 niet negatief wordt.
x − 3 = 5 (kwadrateren) ⇒ x − 3 = 25 ⇒ x = 28 (voldoet) en x − 3 = 5 ⇒ x = 8 (kwadrateren) ⇒ x = 64 (voldoet).
2x − 1 = 3 2x − 1 = 9 2x = 10 x = 5 (voldoet).
26b
7 + 2x − 1 = 3 2x − 1 = −4 geen opl. (een wortel kan niet negatief zijn).
26c
3 x +1 = 7 3 x =6
26d
2+ x =9 x =7 x = 49 (voldoet).
26e
5 + 3 x = 41,3 3 x = 36,3 x = 12,1 x = 146, 41 (voldoet).
26f
2 − 4 x = −8 −4 x = −10 x = 2,5 x = 6,25 (voldoet).
x = 36 = 2
x = 4 (voldoet). 27a
5 − 3 x = −7 −3 x = −12 x =4 x = 16 (voldoet).
27c
6 + 5 2x − 6 = 51 5 2x − 6 = 45 2x − 6 = 9 2x − 6 = 81 2x = 87 x = 43, 5 (voldoet).
27b
2 5 − 2x = 16 5 − 2x = 8 5 − 2x = 64 −2x = 59 x = −29, 5 (voldoet).
27d
1 − 0, 5 1 − x = −7 −0, 5 1 − x = −8 1 − x = 16 1 − x = 256 −x = 255 x = −255 (voldoet).
28a
q = 20 ⇒ K = 15 + 2 ⋅ 20 + 30 ≈ 23,37 ( €).
28b
15 + 2q + 30 = 25 2q + 30 = 10 2q + 30 = 100 2q = 70 q = 35
28c 28d
R = p ⋅ q = 1, 65q (€).
W = R − K = 1, 65q − (15 + 2q + 30) = 1, 65q − 15 − 2q + 30 (€).
29a
Zie de plot hiernaast.
29b
Als je x steeds groter kiest, komt de waarde van f (x ) steeds dichter bij 0.
29c
Voor x < 0 en heel dicht bij 0 wordt f (x ) heel groot negatief. Voor x > 0 en heel dicht bij 0 wordt f (x ) heel groot positief.
29d
1 = ... zou betekenen ... × 0 = 1 (hieraan voldoet geen enkel getal). 0
transl. ( −2, −3)
30a
1 y = x1 → f (x ) = x + 2 − 3.
30b
De verticale asymptoot (V.A.) is x = −2 en de horizontale asymptoot (H.A.) is y = −3.
31a
V.A.: x = 5 en H.A.: y = 6.
31c
V.A.: x = 3 en H.A.: y = 0 (de x -as).
31b
V.A.: x = −1 en H.A.: y = −3.
31d
V.A.: x = 0 (de y -as) en H.A.: y = −3.
32
y = x1 → f (x ) = x 1− 3 − 2. (met V.A.: x = 3 en H.A.: y = −2)
transl. (3, −2)
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 5/20
33a
Zie de plot hiernaast. (denk op de GR aan de haakjes in de teller en de noemer)
33b
Als je x steeds groter kiest, komt de waarde van f (x ) steeds dichter bij 2. De grafiek van f heeft als horizontale asymptoot de lijn y = 2.
33c
f (x ) wordt heel groot positief of juist heel goot negatief als je x dicht bij 2 kiest. De grafiek van f heeft als verticale asymptoot de lijn x = 2.
34a
V.A.: x = −3 en H.A.: y = 2.
35
Noemer = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ V.A.: x = −3. f (1 000) ≈ 1, 993 ⇒ H.A.: y = 2. f (10 000) ≈ 1, 999 Maak met een tabel op de GR de grafiek hiernaast.
36a
3 =2 a 5
36b
34b
V.A.: x = −2,5 en H.A.: y = 1.
34c
V.A.: x = 1,5 en H.A.: y = 0.
x = −3
y =2
5 = 3 x 12
3⋅5 = 2⋅a 2a = 15 a = 7, 5.
5 ⋅ 12 = 3 ⋅ x 3x = 60 x = 20.
3 = 2 2x − 1 x + 3
37c
37a
3 ⋅ (x + 3) = 2 ⋅ (2x − 1) 3x + 9 = 4x − 2 −x = −11 x = 11. 37b
5+ x
x +1
=7
37d
8 + 2x − 3 = 8 x −3
(x − 3) ⋅ (2x − 1) = (x − 1) ⋅ (2x + 5) 2x 2 − x − 6x + 3 = 2x 2 + 5x − 2x − 5 −10x = −8 x = 0,8. x + 3 = 10 x x −1
37f
2x − 3 = 0 (teller = 0) 1 x −3
c
2 ⋅ (x + 1) = x 2x + 2 = x x = −2.
2x − 3 = 0 2x = 3 x = 1,5.
2x + 3 = 2x + 2 x +1 x −1
38c
2
x ⋅ (x + 3) = 10 ⋅ (x − 1) x 2 + 3x = 10x − 10 x 2 − 7x + 10 = 0 (x − 2) ⋅ (x − 5) x = 2 ∨ x = 5.
2x + 4 = x 1 x −1
(x + 1) ⋅ (2x + 2) = (x − 1) ⋅ (2x + 3)
x ⋅ (x − 1) = 2x + 4 x 2 − x = 2x + 4
2
2x + 2x + 2x + 2 = 2x + 3x − 2x − 3 3x = −5
38b
x − 1 = 2x − 1 x − 3 2x + 5
37e
3 ⋅ (2x + 6) = x − 2 6x + 18 = x − 2 5x = −20 x = −4.
x =2 x +1 1
38a
x −2 = 3 1 2x + 6
x 2 − 3x − 4 = 0 (x + 1) ⋅ (x − 4) = 0 x = −1 ∨ x = 4.
x = − 53 . 4 + 2x − 6 = 7 x +1 2x − 6 = 3 1 x +1
38d
39a
− 5 ⋅ 0,6 p = 0, 6 ⇒ K = 4200 = 10 492,50 (€). 1 − 0,6
39b 39c
− 5 ⋅ 0,95 p = 0, 95 ⇒ K = 4200 = 83 905 (€). 1 − 0,95 p = 1 ⇒ de noemer wordt nul (delen door nul kan niet).
39d
K =
40
GK =
41a
Maak een schets van de plot hiernaast.
41b
N (100) ≈ 1 796 ⇒ H.A.: N = 1 800. N (1 000) ≈ 1 799, 6 Betekenis: N komt niet boven de 1 800 uit, maar komt er wel heel dicht bij.
4200 − 5 p = 28000 (algebraïsch of intersect) ⇒ 1 1 −p
q
=
2x ⋅ (x + 2) = (x + 3) ⋅ (x − 12) 2x 2 + 4x = x 2 − 12x + 3x − 36
x 2 + 13x + 36 = 0 (x + 9) ⋅ (x + 4) = 0 x = −9 ∨ x = −4.
3 ⋅ (x + 1) = 2x − 6 3x + 3 = 2x − 6 x = −9.
12q + 12000
x − 12 = 2x x +2 x +3
13,25 1
p ≈ 0, 850. Dus (ongeveer) 85% van de markt wordt bereikt.
⇒ 13,25q = 12q + 12 000 ⇒ 1,25q = 12 000 ⇒ q = 9 600.
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 6/20
41c
N = 1 800 − 11200 = 1 760 (intersect of) ⇒ − 1200 = −40 ⇒ −1200 = 1 + 3t ⇒ 29 = 3t ⇒ t = 29 = 9 2 . + 3t 1 + 3t 3 3 −40 1 mei loopt van t = 0 tot t = 1 (gegeven) ⇒ van t = 9 tot t = 10 is 10 mei ⇒ op 10 mei.
41d
4 mei loopt van t = 3 tot t = 4. N (3) = 1 800 − 1200 = 1 680 en N (4) = 1 800 − 1200 ≈ 1 708. 10 13 Dus er zijn op 4 mei 1 708 − 1 680 = 28 insecten bij gekomen.
41e
N = 1 800 − 11200 = 1 745 (intersect of) ⇒ − 1200 = −55 ⇒ −1200 = 1 + 3t ⇒ 3t = 1200 − 1 ⇒ t ≈ 7. + 3t 1 + 3t −55 55 N = 1 680 ⇒ t = 3 (hierboven berekend). Het duurt dus (ongeveer) 7 − 3 = 4 dagen.
42a
Zie de plot hiernaast. Ze zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de y -as.
42b
De lijn y = 0 (de x -as) is asymptoot van beide grafieken.
42c
Bf = Bg = 0, → .
43a
x y = 2x → y = 2 + 3.
43b
x −5. y = 2x → y = 2
44a
x +3 − 4. y = 2x → f (x ) = 2
44b
Zie de grafiek hiernaast (gebruik TABLE). Bf = −4, → .
44c
f (x ) = 2x +3 − 4 = 2 (intersect) ⇒ x ≈ −0, 42. f (x ) ≤ 2 (zie plot) ⇒ x ≤ −0, 42.
44d
f (3) = 26 − 4 = 60. x ≤ 3 (zie grafiek; let op het bereik!!!) ⇒ −4 < f (x ) ≤ 60.
45a
x −1 + 5 met als H.A.: y = 5. y = 3x → f (x ) = 3
45b
x x +1 met als H.A.: y = 0 (de x -as). y = 3x → → g (x ) = 5 ⋅ 3 y = 5 ⋅ 3
45c
x x y = 3x → → h (x ) = 4 ⋅ 3 − 7 met als H.A.: y = −7. y = 4 ⋅ 3
45d
y =
46a
x y = 2x → f (x ) = 2 − 2 en y =
46b
Bf = −2, → ; Bg = 2, → .
46c
g (4) =
46d
f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 2,27; f (x ) ≤ g (x ) (zie plot) ⇒ x ≤ 2,27.
47
1 y 1 = x −3 en y 6 = 13 komen op hetzelfde neer, zo ook y 2 = 3x −1 en y 4 = x3 als y 3 = x 3 en y 5 = 3 x . x
transl. (0, 3)
43c
verm. t.o.v. x -as met 3
x y = 2x → y = 3 ⋅ 2 .
transl. (5, 0)
transl. ( −3,−4)
transl. (1, 5)
( 21 )
x
verm. t.o.v. de x -as met 5
transl. ( −1, 0)
verm. t.o.v. de x -as met 4
transl. (0,−7)
verm. t.o.v. de x -as met −2 transl. (0, 3) 1 x 1 x → → y = −2 ⋅ 2 k (x ) = −2 ⋅ 2 + 3 met als H.A.: y = 3.
( )
transl. (0, −2)
2
( 21 )
( 21 )
( )
x
transl. (2, 2) 1 x −2 + 2. → g (x ) = 2
( )
+ 2 = 2,25; x ≥ 4 (zie plot en bereik) ⇒ 2 < g (x ) ≤ 2,25.
(je kunt dit bijvoorbeeld met behulp van tabellen op de GR nagaan)
48a 48b 48c
1
x5 ⋅ x = x5 ⋅x 2 = x
5 + 21
=x
⋅
x = x = x 21 − 3 = x −2 21 ⋅ x3 x3 1
x⋅ x
1
=
x 1⋅x
1 2
= x
1
1 +
1 2
−1 1 = 11 = x 2 ⋅
x
1
49b
y = 3x 2 ⋅ x = 3x 2 ⋅ x 2 = 3x
x
1
y = 51x =
1 ⋅ 1 = 1 x −1 ⋅ 5 x 5
x 3 ⋅ x 2,4 = x 3 + 2,4 = x 5,4 ⋅
48e
14 x 4 ⋅ 3 x = x 4 ⋅ x 3 = x 4 + 31 − 52 = x 3 15 ⋅ 2 5 2 x x5
48f
x5 ⋅x
49d
y = 5x ⋅ 4 x = 5x ⋅ x 4 = 5x
49e
1 2 −2 −1 1 y = 3 ⋅ 2x = 3 ⋅ x2 = 3 ⋅ x 2 = 3 ⋅ x 2 = 3x 2 ⋅
− 51
⋅x = x
5 − 51 + 1
=x
5 54
⋅
1+
1 4
2
y = 54 = 5 ⋅ 14 = 5x −4 ⋅ x
48d
1
1 2
49a
49c
5 21
2 + 21
= 3x
2 21
1
= 5x
1 41
⋅
1
⋅
49f
x
x
4
x
1 2
3
1
y = 8 x ⋅ x 3 = 8x ⋅ x 4 = 8x 2
+
3 4
= 8x
1 41
⋅
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg 3
( )
10 Allerlei functie 7/20
49g
y = 3x 2
⋅ x 5 = 27 x 6 ⋅ x 5 = 27 x 6 + 5 = 27 x 11 ⋅
49h
y = 28 ⋅ ( 4x ) −1 ⋅ x1 = 28 ⋅ 4 −1 ⋅ x −1 ⋅ x −1 = 28 ⋅ 41 ⋅ x −1 + −1 = 7 x −2 ⋅
50a
t t 1 = 5 ⋅ 4t ⋅ N = 80 ⋅ 22t − 4 = 80 ⋅ 22t ⋅ 2−4 = 80 ⋅ 22 ⋅ 14 = 80 ⋅ 22 ⋅ 16 2
49i
( )
50c
t t N = 100 = 100 ⋅ 12t = 100 ⋅ 2−2t = 100 ⋅ 2 −2 = 100 ⋅ 1 ⋅ 2t 4
51a
32 = 25.
51c
4
51b
1 = 1 = 2−1. 2 21
51d
16 ⋅ 2 = 24 ⋅ 2 2 = 2
52a
2x +1 = 64
52d
5 −x +6 = 625
( )
( )
2x +1 = 26
52b
8 2x −2 = 13 2 −3 x −2
52e
=2 x − 2 = −3 x = −1.
= 3 ⋅3
2x +1
3 21
3
52f
4 21
.
1 = 2 0.
51f
1 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2 2 = 2−1 ⋅ 2 2 = 2− 2 . 2 21
52g
2x = 1
2
52h
23x +5 = 24 ⋅ 2
52i
2x = 24 x = 4.
2x +3 = 23x +6 x + 3 = 3x + 6 −2x = 3
53c
( )
3 ⋅ 52x −1 = 0, 6 2x −1
1 2
5
4 21
53e
2
3 = 1 ⋅49 81 4 4x 3 = 14 ⋅ 32 3 2 4x −4 4
53d
52x −1 = 1
2x −1 = 0,25
52x −1 = 5 −1 2x − 1 = −1 2x = 0 x = 0.
2x −1 = 2−2 x − 1 = −2 x = −1.
3x −3
9
53f
x +4
(3 )
1
= 3x + 4
52x +1 = 52 ⋅ 5 2 21
52x +1 = 5 2 2x + 1 = 2 1
36x −6 = 3x + 4 6x − 6 = x + 4 5x = 10 x = 2.
−3 21
4 x = −3 1 = − 7 2 2 x = − 78 .
16 = 24 = f (4),
1 = 2−1 = f ( −1), 2
3 ⋅ 52x +1 = 75 ⋅ 5 52x +1 = 25 ⋅ 5
=3
2 3x −3
⋅3
3 ⋅ 2x −1 − 1 = −0,25 3 ⋅ 2x −1 = 0, 75
= 0,2 5
4x
3 4x = 3
x +2
2x +3 = 23
2
=3
2x +3 = 8x +2
2x = 16
x = − 61 .
3
x −5
2x −3 = 2−x +5 x − 3 = −x + 5 2x = 8 x = 4.
5 ⋅ 2x + 11 = 91
3x + 5 = 4 1
53b
( )
= 2 −1
x = −1 21 .
23x +5 = 16 ⋅ 2
3x = − 1
(2)
2
3x − 2 = 25
x = 1 41 .
23x +5 = 2
1
x −5 2x −3 = 1 x −3
2
53a
1
2x = 2 0 x = 0.
4
5 ⋅ 2x = 80
1 2
3 =3 2x + 1 = 3 1 2x = 2 1
1
51e
x = 3.
2x +1
3
1
2 = 2 4.
3x = 33
32x +1 = 27 ⋅ 3
(5)
25
3x = 27
2
52c
(5)
5
5 =5 −x + 6 = 4 −x = −2 x = 2.
2x −2 = 1
1 4
( )
−x + 6
x +1 = 6 x = 5.
+
t t ⋅ 12 = 2 500 ⋅ 1 ⋅ 1 = 100 ⋅ 1 ⋅
N = 2 500 ⋅ 5 −t − 2 = 2 500 ⋅ 5−t ⋅ 5 −2 = 2500 ⋅ 5 2
1
( )
−1 t
50b
2
1
1
y = 3x ⋅4 x = x 3 ⋅x 4 = x 3
2x = 1 1
x = 34 . 1
54
f (3) = 23 = 8,
55a
f inv (16) = 4, want 24 = 16.
55c
f inv (1) = 0, want 20 = 1.
55b
f inv (4) = 2, want 22 = 4.
55d
f inv ( 21 ) = −1, want 2 −1 = 21 .
2 = 2 2 = f ( 1 ). 2
2
2
1
7
= x 12 ⋅
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 8/20
56a
g inv (9) = 2, want 32 = 9.
56c
g inv (1) = 0, want 30 = 1.
56b
g inv (81) = 4, want 34 = 81.
56d
g inv ( 31 ) = −1, want 3−1 = 31 .
57a
2
log(32) = 5, want 25 = 32.
57b
3
log( 1 ) = −1, want 3−1 = 1 .
58a
5
58b
10
58c
2
58d
7
59a
3
log(125) = 5 log(53 ) = 3. log( 1 ) = 10 log(10 −1 ) = −1. 10
7
6
57d
3
log(4) = 2 log(22 ) = 2.
5
57c
58e
2
58f
3
2
58g
2
log(25) = 2, want 52 = 25.
g
log(x ) = y betekent g y = x dus g log( g y ) = y
1 2
log( 6) = 1 , want 6 = 6. 2
1 log( 2) = 2 log(2 2 ) = 1 .
58i
5
2
log(5) = 5 log(51 ) = 1.
log(27) = 3 log(33 ) = 3.
58j
6
log(1) = 6 log(60 ) = 0.
58k
7
1 log( 7 ) = 7 log(7 2 ) = 1 .
log( 1 ) = 2 log( 14 ) = 2 log(2−4 ) = −4. 16
2 4
2
log( 1 ) = 2 log( 12 ) = 2 log(2−2 ) = −2. 4 2
58h
Omdat 2−2 = 12 = 1 ≠ −4.
59c
18 = 1, maar ook 17 = 1; dan zou ook 1 log(1) = 7. Dit kan natuurlijk niet.
59b
Omdat 18 = 1 ≠ 8.
59d
( −2) −3 =
60a
2
60c
3
62a
1 2
log( 1 ⋅ 3) = 3 log(3−2 ⋅ 3 ) = 3 log(3
5 1 2
log( 1 ) = 4 5
1 2
2 log( 1 ) = 2. 2
()
log(5) = 5 log(
2
( 5)
f ( 81 ) = 2log( 81 ) = 2log(
2)
f (4 2) = 2log(4 ⋅ 2) = log(2 ⋅ 2 ) = log(2
log(x + 2) = 2
1
1 + 2 log(x ) = 4 log(x ) = 3
x = ( 21 )3
1 ) = 2 log(2−3 ) = −3; 23 1 2 2 2 2
62c
3
62d
2 21
) =21; 2
4
2 5 log( 32 ) = 3 log(3 5 ) = 2 .
5
5 1 3
log(5
−6 21
) = −6 1 . 2
log( 1 ) = 27
10
1 3
3 log( 1 ) = 3.
log(10 000) = 10 log(10 4 ) = 4. 2
3)
f (5 4) = 2log(5 4) = 2log(5 22 ) = 2log(2 5 ) = 52 ;
4)
f (1) = 2log(1) = 2log(20 ) = 0.
62e
1 2
log(x − 1) = 3
62f
2
log(x 2 − 4) = 5
x 2 − 4 = 25 x 2 − 4 = 32 x 2 = 36 x = 6 ∨ x = −6.
4
3 + 2 log(x ) = −1
63e
x =3 x = 3.
x =2 1 . x = 14 = 16
3
5
2
63d
log(3x + 2) = 1
3x + 2 = 51 3x = 3 x = 1.
3
log(0, 4x − 5) = 2
0, 4x − 5 = 32 0, 4x = 14 x = 35.
log(x ) = −4 −4
1 2
(3)
x = 1 81 .
−2
2
log(1) = 4 log(40 ) = 0.
x − 1 = 81
log(x ) = −2
log(x ) = 1 2
3
x − 1 = ( 21 )3
5 + 4 log(x ) = 3
63c
4x − 1 = 1 9 4x = 1 1 9 5 . x = 18
3
2x + 1 = 3 2x + 1 = 81 2x = 80 x = 40.
4 ⋅ 3 log(x ) = 2
log(4x − 1) = −2
60i
4
x = 81 .
4x − 1 = 3−2
4
log(2x + 1) = 4
x =4 1 . x = 12 = 16
3
60h
32
60l
1)
3
2
60k
) = 2.
1 −4 2 log( 1 ⋅ 3 2) = 2 log(2−5 ⋅ 2 3 ) = 2log(2 3 ) = −4 2 .
60g
60j
125
1 2
63b
2
log( 1 ) = 5 log(5 −3 ) = −3.
x +2=3 x +2=9 x = 7.
63a
) = −1 1 .
log(32,76 ) = 2, 76.
2
62b
−1 21
58l
1 = 1 = − 1 ≠ 8. −8 8 ( −2)3
1 61 log(64 ⋅ 2) = 2 log(26 ⋅ 2 2 ) = 2 log(2 2 ) = 6 1 .
9
60f 61
log(4 ) = −1.
2
3
60e
4
2
60b
60d
log(49) = log(7 ) = 2.
log( 1 ) = 4
−1
2
4
63f
4 + 2 ⋅ 2 log(x ) = 7 2 ⋅ 2 log(x ) = 3 2
log(x ) = 1 1
2
1 21
x =2
1
x = 21 ⋅ 2 2 x = 2 ⋅ 2.
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 9/20
64a
Zie de plot hiernaast.
64bc
f (0, 01) = −2; f (0, 001) = −3; f (0, 000 000 1) = −7. Als je x steeds dichter bij nul kiest, dan wordt f (x ) heel groot negatief. De y -as is de verticale asymptoot van de grafiek van f .
65a
3
65b 65c
66a
log(5) =
1 7
2
log(5) ≈ 1, 46. log(3)
1 3
65d
log(18) log(18) = ≈ −1, 49. log( 71 )
65e
14 ≈ 8, 06. log(20) − 2 log(6)
65f
log(10) + log(1 1 ) ≈ −1, 97. 3
3 ⋅ 2 log(7 1 ) ≈ 8, 49. 9
4
5 ≈ 2, 79. log(12)
Neem de tabel op de GR hieronder over.
f
(rond zelf af op één decimaal)
66b
Maak de grafiek hiernaast met de tabel hierboven.
66c
1 verm. t.o.v. de x -as met −1 f (x ) = 3log(x ) → g (x ) = 3 log(x ).
(spiegelen in de x -as)
3
66d
f (x ) = log(x ) = 1 21 (intersect) ⇒ x ≈ 5,20. f (x ) ≤ 1 21 (zie een plot en gebruik domein) ⇒ 0 < x ≤ 5,20.
67a
2 y = 2 log(x ) → y = log(x ) + 3.
67b
2 y = 2 log(x ) → y = log(x + 3).
68a
2 y = 2 log(x ) → f (x ) = log(x + 4) + 3.
68b
Maak de grafiek hiernaast (gebruik TABLE). Df = −4, → .
69a 69b
3x − 12 = 0 ⇒ 3x = 12 ⇒ V.A.: x = 4. 8 − 4x = 0 ⇒ −4x = −8 ⇒ V.A.: x = 2.
69c
8x − 10 = 0 ⇒ 8x = 10 ⇒ V.A.: x = 1 1 .
69d
8 − 5x = 0 ⇒ −5x = −8 ⇒ V.A.: x = 1 3 .
70a
f (x ) = −1 + 3 log(x + 2) ⇒ V.A.: x + 2 = 0 ⇒ x = −2. g (x ) = 2 log(x − 4) ⇒ V.A.: x − 4 = 0 ⇒ x = 4.
transl. (0, 3)
67c
verm. t.o.v. de x -as met 3
2 y = 2 log(x ) → y = 3 ⋅ log(x ).
transl. ( −3, 0)
transl. ( −4, 3)
4
5
Teken de grafieken hiernaast (gebruik TABLE). 70b
g
x =4 x = −2
f
f (x ) = g (x ) ⇒ −1 + 3 log(x + 2) = 2 log(x − 4) Intersect geeft het snijpunt (5,83; 0, 87).
70c
−1 + 3log(x + 2) = 2,5 (intersect of) 3,5
3
log(x + 2) = 3,5
x +2 =3 x = −2 + 33,5 xA ≈ 44,765. Dus AB = xA − xB ≈ 35,11. 71a
2
g
log(x − 4) = 2,5
x − 4 = 22,5 x = 4 + 22,5 xB ≈ 9,657.
f (x ) = −3 + 2 log(2x − 5) ⇒ V.A.: 2x − 5 = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 2 21 . Teken de grafieken hiernaast (gebruik TABLE).
x =2
f
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg 71b
10 Allerlei functie 10/20
x = 10 21 ⇒ f (10 21 ) = −3 + 2 log(21 − 5) = −3 + 2log(16) = −3 + 2log(2 4 ) = −3 + 4 = 1. x ≤ 10 21 (zie de grafiek en de berekening hierboven) ⇒ f (x ) ≤ 1.
71c
f (x ) = 4 ⇒ −3 + 2 log(2x − 5) = 4 ⇒ 2 log(2x − 5) = 7 ⇒ 2x − 5 = 27 = 128 ⇒ 2x = 133 ⇒ x = 66 21 .
72a
L = 85 (dB) 10 ⋅ log(I ) + 120 = 85 (intersect of) 10 ⋅ log(I ) = −35 log(I ) = −3,5 I = 10 −3,5 ≈ 0, 0003 (watt/m2 ).
72b
72c
L = 125 (dB) 10 ⋅ log(I ) + 120 = 125 (intersect of) 10 ⋅ log(I ) = 5 log(I ) = 0,5 I = 10 0,5
2
(watt/m ).
I = 10 −7 (watt/m2 ) ⇒ L = 10 ⋅ log(10 −7 ) + 120 = 10 ⋅ −7 + 120 = 50 (dB). I = 2 ⋅ 10 −7 (watt/m2 ) ⇒ L = 10 ⋅ log(2 ⋅ 10 −7 ) + 120 ≈ 53 (dB).
72d
Dus het geluid van een drilboor is ruim 30 miljoen keer zo hard als het geluid van een normaal gesprek.
I = 10 −7 ⇒ L = 50 (dB). I = 10 × 10 −7 = 10 −6 ⇒ L = 10 ⋅ log(10 −6 ) + 120
Het geluidsniveau neemt toe van 50 dB naar 53 dB. Dit is geen verdubbeling.
= 10 ⋅ −6 + 120 = 60 (dB). Geluidsniveau neemt 10 dB toe.
73a
y 2 = log(x ) + log(5) en y 3 = log(5x ) zijn hetzelfde (zie hiernaast).
73b
y 2 = log(x ) − log(5) en y 3 = log( x5 ) zijn hetzelfde (zie hieronder).
73c
y 1 = log(x 3 ) en y 2 = 3 ⋅ log(x ) zijn hetzelfde (zie hierboven).
74a
2
log(7) + 2 log(6) = 2 log(7 ⋅ 6) = 2 log(42).
74d
3 + 2 log(5) = 2 log(23 ) + 2 log(5) = 2 log(8 ⋅ 5) = 2 log(40).
74b
2
log(15) − 2 log(3) = 2 log( 15 ) = 2 log(5).
74e
−2 ⋅ 2 log(5) + 3 ⋅ 2 log(3) = 2 log(33 ) − 2 log(52 ) = 2 log( 27 ).
74c
2 ⋅ 2 log(3) − 3 ⋅ 2 log(5) = 2 log(32 ) − 2 log(53 ) = 2 log( 9 ).
74f
... = 3 log(50) − 3 log(52 ) = 3 log( 50 ) = 3 log(2).
75a
... = 2 log(a ) + 2 log(b 3 ) = 2 log(ab 3 ).
75d
... = 3 log(32 ) − 3 log(a ) = 3 log( a9 ).
75b
5 ... = 3 log(a 5 ) − 3 log(b 2 ) = 3 log( a 2 ).
75e
... = 6 log(a ) − 6 log(61 ) = 6 log( a ).
3
125
b
5
2
5
5
75c
... = log(5 ) + log(a ) = log(25a ).
76a
5
log(x ) = 3 ⋅ 5 log(2) − 2 ⋅ 5 log(3)
5
log(x ) = 5 log(23 ) − 5 log(32 )
5
log(x ) =
5
x = 89 . 76b
75f 76c
log( 8 ) 9
log(x ) = 3 + 4 ⋅ 5 log(3)
5
log(x ) = 5 log(53 ) + 5 log(34 )
76d
5
log(x ) = 5 log(6) − 2 ⋅ 5 log(4)
5
log(x ) = 5 log(6) − 5 log(42 )
5
log(x ) =
x = 38 . 77b
4
5
2 4
4
log(x ) = log( 4) − 4 log(3)
4
log(x ) = 4 log( 2 )
x = 23 .
3
2
5
... = log(b ) + log( a ) = log(b 2 ⋅ a ).
log(x ) = 9 − 2 log(3)
2
log(x ) = 2 log(29 ) − 2 log(3)
2
log(x ) = 2 log( 512 ) 512 . 3
3
3
log(x ) = 0,5 ⋅ 3 log(5) + 1
3
log(x ) = 3 log( 5) + 3 log(3)
log(x ) = 3 log(3 ⋅ 5) x = 3 ⋅ 5.
77c
log( 6 ) 16
log(x ) = 1 − 4 log(3)
6
5
3
5
log(x ) = log(125 ⋅ 81) x = 10 125.
77a
25
2
x =
5
5
25
2
log(x ) = 5 − 3 ⋅ 2 log(6)
2
log(x ) = 2 log(25 ) − 2 log(63 )
2
log(x ) = 2 log( 32 )
32 = 4 . x = 216 27
77d
216
3
log(x ) = 5 ⋅ 3log(2) − 3 ⋅ 3log(4)
3
log(x ) = 3log(25 ) − 3log(43 )
3
log(x ) = 3log( 32 )
x = 32 = 21 . 64
64
5
g
log(...) en g ... heffen elkaar op
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg 77e
3
10 Allerlei functie 11/20
log(x + 7) − 3 log(x − 1) = 2
77f
log( x + 7 ) = 3 log(32 ) x −1 x +7 = 9 1 x −1
9x − 9 = x + 7 8x = 16 x = 2.
g ... en g log(...)
heffen elkaar op 78b log(y ) = p ⇒ y = 3 . p
log(x + 98) = log(x − 1) + 2 log(x + 98) = log(x − 1) + log(102 ) log(x + 98) = log(100 ⋅ (x − 1)) x + 98 = 100x − 100 −99x = −198 x = 2.
3
2
log(y ) = t + 5 ⇒ y = 2t +5.
log( y ) = q ⇒ y = 10q .
78a
3
79a
log( y ) = 1,3 − 0, 6x ⇒ y = 101,3 − 0,6x ⇒ y = 101,3 ⋅ 10 −0,6x = 101,3 ⋅ (10 −0,6 )x ≈ 20 ⋅ 0,25x .
79b
− t − t − 3 ⋅ log(P ) = 8 − 4t ⇒ log(P ) = 8 − 4 t ⇒ P = 10 3 3 = 10 3 ⋅ 10 3 = 10 3 ⋅ (10 3 )t ≈ 460 ⋅ 0, 046t .
79c
2
80a
N = 280 ⋅ 1, 7t ⇒ log(N ) = log(280 ⋅ 1, 7t ) = log(280) + log(1, 7t ) ≈ 2, 45 + t ⋅ log(1, 7) ≈ 0,23t + 2, 45.
80b
N = 20 ⋅ 0, 43t −2 ⇒ log(N ) = log(20 ⋅ 0, 43t −2 ) = log(20) + log(0, 43t −2 ) = log(20) + (3t − 2) ⋅ log(0, 4) ≈ −1,19t + 2,10.
81a
− 5x 20 ⋅ log(A ) = 5 − 100x ⇒ log(A ) = 1 − 5x ⇒ A = 10 4 = 10 4 ⋅ 10 − 5x = 10 4 ⋅ (10 − 5 )x ≈ 1,8 ⋅ 0, 00001x .
8
3
4
8
4
78c
8
4
3
log(A ) = 1, 7 − 0,3t ⇒ A = 21,7 − 0,3t = 21,7 ⋅ 2− 0,3t = 21,7 ⋅ (2− 0,3 )t ≈ 3 ⋅ 0,81t .
1
1
1
4
2
2 2 ⇒ log(y ) = −4 + 2x 2 ⇒ y = 10 −4 + 2x = 102x − 4.
81b
−5 ⋅ log(y ) = 20 − 10x
81c
0, 5 ⋅ log(N ) + 3 = 5 − 2x ⇒ 0, 5 ⋅ log(N ) = 2 − 2x ⇒ log(N ) = 4 − 4x ⇒ 1 )x . N = 10 4 − 4x = 10 4 ⋅ 10 − 4x = 10 4 ⋅ (10 − 4 )x = 10 4 ⋅ ( 1 4 )x = 10 000 ⋅ ( 10000 10
82a
log(W ) = log(2, 4) + 0, 008 ⋅ 130 ⇒ W = 10log(2,4) + 0,008 ⋅ 130 ≈ 26 (kg).
82b
log(23,5) = log(2, 4) + 0, 008 ⋅ h (intersect of) ⇒ h =
82c
log(W ) = log(2, 4) + 0, 008h ⇒ W = 10log(2,4) + 0,008h = 10log(2,4) ⋅ (10 0,008 )h = 2, 4 ⋅ 1, 0186h (kg).
83a
De bruine walvis is 100 000 = 10 000 keer zo zwaar als de wasbeer.
log(23,5) − log(2,4) ≈ 124 (cm). 0,008
10
De bruine walvis is 100 000 = 50 000 000 keer zo zwaar als de kolibrie. 0,002
83b
De getallenlijn zou 100 000 000 = 100 000 000 mm = 100 000 m = 100 km lang moeten worden. 1
83c
De getallenlijn zou 100 000 = 100 mm = 10 cm lang moeten worden. 1 000
Bezwaar: de eerste 8 gewichten komen binnen de eerste 0,6 mm (praktisch niet uitvoerbaar). 84a
A: 1,3; B : 7,5; C : 23; D : 55; E : 150 en F : 2400.
84b
Op de verticale as staan lijntjes bij: 550; 210; 9, 5 en 2, 4; geen lijntjes bij: 310; 49; 1,25 en 0.
84c
A: 1 300; B : 7 500; C : 23000; D : 55 000; E : 150000 en F : 2400000. (1000 keer zo groot als bij 84a)
85a
De minimale aanvoer tong is 11000 ( × 1000 kg in 1997); de maximale aanvoer is 24000 ( × 1000 kg in 1994).
85b
Schol (in 2001): 53000 ( × 1000 kg) en kabeljauw: 5500 ( × 1000 kg) ⇒ 53 000 ≈ 9, 6 keer zoveel schol als kabeljauw.
85c
Tong van (in 1994): 24000 ( × 1000 kg) naar (in 2004): 15000 ( × 1000 kg).
5500
In 2004 nog 15000 × 100% = 62, 5% van de hoeveelheid in 1994 ⇒ 37, 5% minder dan in 1994. 24 000
85d
Makreel van (in 1998): 1000 ( × 1000 kg) naar (in 1999): 3000 ( × 1000 kg) ⇒ een toename van 2000 ( × 1000 kg). Makreel van (in 2001): 5000 ( × 1000 kg) naar (in 2002): 14000 ( × 1000 kg) ⇒ een toename van 9000 ( × 1000 kg). De toename in de periode 2001-2002 was meer.
85e
De hoogste waarde (makreel) is 74000 ( × 1000 kg) in 2004 ⇒ de grafiek zou 74 cm hoog worden.
86a
Zie de tabel hiernaast. (maak zelf eerst een tabel met de GR)
86b 86c
x
0
2
4
6
8
y = 3x
1
9
81
729
6561
Zie de grafiek onder opgave 86. (de grafiek wordt een rechte lijn)
y = 4 ⋅ 3x
4
36
243
2916
26244
(gebruik het werkboek of vraag logaritmisch papier aan je docent)
y = 3 ⋅ 4x
3
48
768
y = 5000 ⋅ 0, 6 x
5000
1800
648
Zie de tabel hiernaast en de grafiek onder opgave 86.
12288 196608 233
84
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 12/20
y = 3 ⋅ 4x
87a
y = 4 ⋅ 3x
Rechte lijn op logaritmisch papier ⇒ N = b ⋅ g t . t = 1 en N = 30 ⇒ g 6 dagen = g 6 = 400 ⇒ g dag = g = 400 30 30 t = 7 en N = 400
( )
N = b ⋅ Anst 1 30 ⇒ b ⋅ Ans = 30 ⇒ b = Ans ≈ 1 9,5. t = 1 en N = 30
y = 3x
1 6
y = 5000 ⋅ 0, 6x
≈ 1,540.
Dus N ≈ 19,5 ⋅ 1,540t .
87b
Rechte lijn op logaritmisch papier ⇒ N = b ⋅ g t . 1 t = 2 en N = 100 ⇒ g 6 dagen = g 6 = 9 = 0, 09 ⇒ g dag = g = 0, 09 6 ≈ 0, 669. 100 t = 8 en N = 9 N = b ⋅ Anst 2 100 ≈ 233. Dus N ≈ 233 ⋅ 0, 669t . ⇒ b ⋅ Ans = 100 ⇒ b = Ans2 t = 2 en N = 100
88a
De grafieken van B en C zijn rechte lijnen ⇒ bij de planten B en C is sprake van exponentiële groei.
88bc
Plant B : L = b ⋅ g t . 7 t = 0 en L = 60 ⇒ b = 60 300 ⇒ g 28 dagen = 60 = 5 ⇒ g week = g = 5 28 ≈ 1, 50. t = 28 en L = 300 Plant C : L = b ⋅ g t . 7 t = 0 en L = 25 ⇒ b = 25 400 ⇒ g 28 dagen = 25 = 16 ⇒ g week = g = 16 28 = 2. t = 28 en L = 400
Dus L ≈ 60 ⋅ 1,50t .
Dus L = 25 ⋅ 2t .
88d
Plant E groeit exponentiëel ⇒ een rechte lijn door (5,30) en (25,400). (doe dit zelf in het werkboek )
88e
Plant F groeit exponentiëel ⇒ rechte lijn door (10,50) evenwijdig met de grafiek van B . (zelf doen in het werkboek )
89a C
t (uur)
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 13/20
89b
Rechte lijn op enkelvoudig logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie C = b ⋅ g t . 1 t = 1 en C = 10 0,5 ⇒ g 18 uur = g 18 = = 0, 05 ⇒ g uur = g = 0, 05 18 ≈ 0, 847. 10 t = 19 en C = 0,5 C = b ⋅ Anst ⇒ b ⋅ Ans = 10 ⇒ b = 10 ≈ 11,81. Dus C ≈ 11,81 ⋅ 0,847t . Ans t = 1 en C = 10
89c
Stel dat de patiënt x liter bloed heeft ⇒ concentratie C op t = 0 is dan C = 60 . x Verder geldt volgens de formule: concentratie C op t = 0 is C ≈ 11,81. ≈ 11,81 ⇒ de patiënt heeft ongeveerx ≈ 60 ≈ 5,1 liter bloed. Dus 60 x 11,81
90a
De grafiek van plant A is een rechte lijn op enkelvoudig logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie NA = b ⋅ g t . 1 t = 0 en NA = 5 000 ⇒ b = 5 000 20000 ⇒ g 10 jaar = 5000 = 4 ⇒ g jaar = g = 4 10 ≈ 1,149. t = 10 en NA = 20 000 Dus NA ≈ 5 000 ⋅ 1,149t . De grafiek van plant B is een rechte lijn op enkelvoudig logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie NB = b ⋅ g t . 1 t = 0 en NB = 80 000 ⇒ b = 80 000 10000 1 1 ⇒ g 10 jaar = 80000 = 8 ⇒ g jaar = g = ( 8 ) 10 ≈ 0,812. t = 10 en NB = 10 000 Dus NB ≈ 80 000 ⋅ 0,812t .
90b
NB = 2 ⋅ NA ⇒ 80 000 ⋅ 0,812t = 10 000 ⋅ 1,149t (intersect) ⇒ t ≈ 6, 0.
90c
NC = 0,3 ⋅ NB = 0,3 ⋅ 80 000 ⋅ 0,812t = 24 000 ⋅ 0,812t . De grafiek van NC is dus evenwijdig met de grafiek van NB en gaat door het punt (0, 24 000).
90d
NA + NB (minimum) heeft voor t ≈ 9,15 het minimale aantal van ongeveer 29 700. Het snijpunt van NA en NB ligt bij t ≈ 8 ⇒ Wesley heeft geen gelijk.
91a
Vul de tabel zelf in (gebruik TABLE).
91d
De grafieken van machtsfuncties (op dubbellogaritmisch papier) zijn rechte lijnen.
91bc
Zie de grafieken onder deze opgave.
y = 2x
y = 500x
y = 5x
2
0,4
1,6
y =x
0,4
92ab
Zie de grafiek hiernaast.
92b 92c
v is een machtsfunctie van r ⇒ v = a ⋅ r p . r = 100 ⇒ v ≈ 44 en v = 80 ⇒ r = 320. (zo nauwkeurig niet af te lezen)
Bij het uitwerken van opgave 93 en 94 lees je op bladzijde 14 en 15 van het WERKBOEK-I hoe je Excel een logaritmische schaalverdeling kunt laten tekenen.
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 14/20
93a
Zie de puntengrafiek onder deze opgave.
93b
De punten liggen vrijwel op een rechte lijn ⇒ exponentiële afname. 1 De groeifactor in 49 jaar is 290 ⇒ g jaar = ( 290 ) 49 ≈ 0, 94.
6000
6000
De beginhoeveelheid is 6000 ⇒ N = 6 000 ⋅ 0,94t . 93c
N (56) ≈ 6 000 ⋅ 0,9456 ≈ 188. Dus ongeveer 190 broedparen.
94a
Zie de puntengrafiek onder deze opgave.
94b
Vanaf 1990 liggen de punten vrijwel op een rechte lijn ⇒ exponentiële groei.
94c
Neem t = 5 voor 1985 ⇒ punt (5, 441) en (20, 2 412). 1 De groeifactor in 15 jaar is 2412 ⇒ g jaar = ( 2412 ) 15 ≈ 1,12. 441 441 N ≈ b ⋅ 1,12t ⇒ 441 ≈ b ⋅ 1,125 ⇒ b ≈ 441 ≈ 250. Dus N ≈ 250 ⋅ 1,12t . 1,125 door (5, 441)
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 15/20
Diagnostische toets D1
y = 4(x − 2 + 1)3 + 1 − 5 = 4(x − 1)3 − 4. f 3
D2a f (x ) = 2(x − 4) + 5 ⇒ punt van symm. (4, 5). (maak een schets van de plot)
D2b
g
g (x ) = −3(x + 1)2 + 2 ⇒ top ( −1, 2). (maak een schets van de plot)
D2c h (x ) = 4(x − 2) 4 + 1 ⇒ top (2, 1). (maak een schets van de plot)
h
k
D2d k (x ) = −(x + 1)7 − 3 ⇒ punt van symm. ( −1, − 3). (maak een schets van de plot)
D3
verm. t.o.v. de x -as met 4
transl. ( −3, −16)
4 4 y = 1, 5(x − 2) 4 − 5 → → y = 6(x − 2) − 20 y = 6(x + 1) − 36. min. f (−2) = −5 min. f (2) = −20 min. f ( −1) = −36
D4a 5(3x − 1)3 + 2 = 32
D4b
5(3x − 1)3 = 30
− 1 (4x − 7)2 + 15 = 10 (intersect) ⇒ x ≈ 0,38 ∨ x ≈ 3,12. 6
− 1 (4x − 7)2 + 15 ≥ 10 (zie een plot) ⇒ 0,38 ≤ x ≤ 3,12. 6
(3x − 1)3 = 6 3x − 1 = 3 6 3x = 1 + 3 6 3 x = 1 +3 6 ≈ 0, 94.
D5a
x ≥ 0. Dus Df = [0, → ; Bf = [ −1, → en het beginpunt is (0, − 1).
D5b 2x − 5 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 5 ⇒ x ≥ 2 1 . Dus Dg = [2 1 , → ; Bg = [6, → en het beginpunt is (2 1 , 6). 2 2 2 D5c 3 − 2x ≥ 0 ⇒ −2x ≥ −3 ⇒ x ≤ 1 1 . Dus Df = ←,1 1 ]; Bf = [4, → en het beginpunt is (1 1 , 4). 2
D6a 2 2x − 4 = 5 2x − 4 = 2, 5 2x − 4 = 6,25 2x = 10,25 x = 5,125 (voldoet).
2
D6b 5 = 8 − 2 x 2 x =3 x = 1,5 x = 2,25 (voldoet).
2
D6c 3 − 2 x = x − 12 −3 x = −15 x =5 x = 25 (voldoet).
transl. ( −2, −3)
y = x1 → f (x ) = x 1+ 2 − 3 ⇒ V.A.: (noemer = 0 ⇒) x = −2 en H.A.: y = −3. D7b g (x ) = 5 − 6x heeft V.A.: (noemer = 0 ⇒) x = −2. D7c h (x ) = x + 2 + 4 heeft V.A.: (noemer = 0 ⇒) x = 0. 2x 2x + 4 h (1 000) ≈ 4, 501 g (1 000) ≈ −2, 992 ⇒ H.A.: y = 4,5. ⇒ H.A.: y = −3 h (10 000) ≈ 4, 5001 g (10 000) ≈ −2, 999
D7a
D8a 3 − 2x = 5 x +1 −2x = 2 1 x +1
D8b
x = − 24 = − 21 .
2x 2 + 20x + 2x + 20 = x 2 + 13x
6 + 3x = 15 x −1 3x = 9 1 x −1
9 ⋅ (x − 1) = 3x 9x − 9 = 3x 6x = 9
x 2 + 9x + 20 = 0 (x + 5) ⋅ (x + 4) = 0 x = −5 ∨ x = −4.
x = 96 = 1 21 .
transl. (2, 1)
x −2 y = 3x → + 1 met H.A.: y = 1. f (x ) = 3
()
y = 31
x
x x verm. t.o.v. de x -as met 4 transl. (0, −2) 1 → → y (x ) = 4 ⋅ 31 g (x ) = 4 ⋅ 3 − 2 met H.A.: y = −2.
()
D9b Bf = 1, → en Bg = −2, → . D9c f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 0,22; f (x ) ≥ g (x ) (zie plot) ⇒ x ≥ 0,22. D9d
D8c
(2x + 2) ⋅ (x + 10) = x ⋅ (x + 13)
2 ⋅ (x + 1) = −2x 2x + 2 = −2x 4x = −2
D9a
x + 13 = x + 10 x 2x + 2
g (x ) = 6 (intersect) ⇒ x ≈ −0, 63; g (x ) ≤ 6 (zie plot) ⇒ x ≥ −0, 63.
D9e f (5) = 33 + 1 = 27 + 1 = 28; x ≤ 5 (zie plot en bereik) ⇒ 1 < f (x ) ≤ 28.
()
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 16/20
D10a y = 63 = 6 ⋅ 13 = 6 ⋅ x −3. x
x
D10b y = 5x 2 ⋅ 3 x = 5x 2 ⋅ x
= 5⋅x
2+
1 3
= 5x
2 31
2 2x −1
1 3
( )
2⋅ 2
3 31
5x −1 = 5
x − 1 = 3 31 x = 4 31 .
⋅ 2 = 27 x 6 ⋅ 2 ⋅ x1 = 27 x 6 ⋅ 2 ⋅ x −1 = 6 ⋅ x 6 + −1 = 6x 5 . 9x
9
9
.
D11b 2 ⋅ 42x −1 − 3 = 61
D11a 5x −1 = 125 ⋅ 3 5
5x −1 = 53 ⋅ 5
1 3
3
( )
D10c y = 3x 2
D11c 23x +1 + 6 = 6 1
8
23x +1 = 1
= 64
8
24x −2 = 32
23x +1 = 13
24x −2 = 25 4x − 2 = 5 4x = 7
23x +1 = 2−3 3x + 1 = −3 3x = −4
x = 74 .
x = − 34 .
2
1 11 D12a 3 log(3 ⋅ 3) = 3 log(31 ⋅ 3 2 ) = 3 log(3 2 ) = 1 1 .
2
D12b
1 3
(3)
log( 1
0,6
D13a 3 + 3 log(x ) = 7 3
3 −1 D12c 2 log( 1 ⋅ 8) = 2 log(2 −2 ⋅ 23 ) = 2 log(2−2 ⋅ 2 2 ) = 2 log(2 2 ) = − 1 .
) = 0, 6.
2
4
D13b
log(x ) = 4
1 2
x
x = 34 x = 81.
D13c 5 + 3 ⋅ 2 log(x ) = 20
log(x − 3) = −4 −4 −3 = 1 2 −1 −4
3 ⋅ 2 log(x ) = 15
()
x − 3 = (2 ) x = 19.
2
log(x ) = 5 x = 25 = 32.
= 24
D14a V.A.: 2x + 5 = 0 ⇒ 2x = −5 ⇒ x = −2 1 . 2 Zie de grafiek hiernaast (gebruik TABLE). D14b 3 − 2 log(2x + 5) = −2 (intersect mag niet)
− 2 log(2x = 5) = −5 2
f
log(2x + 5) = 5
2x + 5 = 25 = 32 2x = 27 ⇒ x = 13 1 .
x = −2 21
2 2
D14c x = 6 ⇒ f (6) = 3 − log(2 ⋅ 6 + 5) ≈ −1, 087. x ≤ 6 (zie grafiek) ⇒ f (x ) ≥ −1, 087. 1 D15a 5 ⋅ 3log(4) − 1 ⋅ 3log(16) = 3log(45 ) − 3log(16 2 ) = 3log(1 024) − 3log( 16) = 3log(1 024) − 3 log(4) = 3log( 1024 ) = 3log(256).
2
D15b
1 2 1 2
4
1 2
log(2x + 5) − log(x + 1) = −3
D15c log(x + 145) = 1 + log(x + 10) log(x + 145) = log(101 ) + log(x + 10) log(x + 145) = log(10 ⋅ (x + 10)) x + 145 = 10 ⋅ (x + 10) x + 145 = 10x + 100 −9x = −45 x = 5.
log( 2x + 5 ) = −3 x +1
2x + 5 = 1 −3 = (2−1 ) −3 = 23 = 8 1 2 x +1
()
8(x + 1) = 2x + 5 8x + 8 = 2x + 5 6x = −3
x = − 21 . 4
4
4
2− P − P − D15d 5 ⋅ log(N ) = 10 − 4P ⇒ log(N ) = 2 − 4 P ⇒ N = 10 5 = 102 ⋅ 10 5 = 100 ⋅ (10 5 )P ≈ 100 ⋅ 0,158P . 5
D15e F = 560 ⋅ 1,175t ⇒ log(F ) = log(560 ⋅ 1,175t ) = log(560) + log(1,175t ) = log(560) + t ⋅ log(1,175) ≈ 0, 07t + 2, 75. D16a Doe dit nu een keer zelf zonder voorbeeld. D16b De grafiek is een rechte lijn op enkelvoudig logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie N = b ⋅ g t . 1 t = 0 en N = 15 000 ⇒ b = 15 000 ⇒ g 17 jaar = 3600 = 0,24 ⇒ g jaar = g = 0,24 17 ≈ 0, 92 ⇒ N ≈ 15 000 ⋅ 0,92t . 15000 t = 17 en N = 3 600
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 17/20
Gemengde opgaven 10. Allerlei functies G10a 5x 6 − 1 = 9 5x
6
G10f 2 ⋅ x − 1 + 8 = 15 2⋅ x −1 = 7 x − 1 = 3,5 (kwadrateren) x − 1 = 12,25 x = 13,25 (voldoet).
= 10
x6 =2 x = −6 2 ∨ x = 6 2.
G10g 8x 3 + 34 = −6
G10b 3 ⋅ 2 − 3x = 21 2 − 3x = 7 (kwadrateren) 2 − 3x = 49 −3x = 47
8x 3 = −40
x 3 = −5 x = 3 −5 = −3 5.
= −15 2 (voldoet). x = 47 −3 3
G10h 4 +x2x = 12 x +1 (4 + 2x )(x + 1) = 12x
G10c xx +− 21 = x x+ 5
(x + 2)(x + 5) = x (x − 1) 2
4x + 4 + 2x 2 + 2x = 12x
2
x + 5x + 2x + 10 = x − x 7x + 10 = −x 8x = −10 x = −810 = −1 41 .
2x 2 − 6x + 4 = 0
x 2 − 3x + 2 = 0 (x − 2)(x − 1) = 0 x = 2 ∨ x = 1.
G10d 2x 3 + 15 = 69
2x
3
G10i 0,1x 4 + 5 = 13 0,1x 4 = 8 (keer 10)
= 54
x 3 = 27 = 33 x = 3.
x 4 = 80 x = − 4 80 ∨ x = 4 80.
G10e 2x − 1 = x + 4 x +2
G10j
x −2
(2x − 1)(x − 2) = (x + 2)(x + 4) 2x 2 − 4x − x + 2 = x 2 + 4x + 2x + 8
x 2 − 11x − 6 = 0 D = ( −11)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ −6 = 121 + 24 = 145 x = 11 + 2 145 ∨ x = 11 − 2 145 .
2x − 2 = 4 x −1 2x = 6 1 x −1
6(x − 1) = 2x 6x − 6 = 2x 4x = 6 x = 6 =11. 4
2
g
G11a Zie de grafieken hiernaast. (gebruik TABLE) G11b 6 − 2x ≥ 0 ⇒ −2x ≥ −6 ⇒ x ≤ 3 ⇒ Df = ←, 3] . Het beginpunt van de grafiek (3, − 3) is het laagste punt ⇒ Bf = [ −3, → . G11c f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ −3, 0. f (x ) < g (x ) (zie grafiek en gebruik domein) ⇒ −3, 0 < x ≤ 3. G11d f (x ) = 12 −3 + 6 − 2x = 12 6 − 2x = 15 (kwadrateren) 6 − 2x = 225 −2x = 219
f
x = 219 = −109 1 (voldoet). −2 2 G12a Zie de grafieken hiernaast (x ≠ −1 ⇒ V.A.: x = −1). (gebruik TABLE) G12b h (x ) = k (x ) 2x − 6 = − 1 x + 1 1 x +1
2
h
2
2x − 6 = (x + 1)( − 1 x + 1 1 ) 2
2
2x − 6 = − 1 x 2 + 1 1 x − 1 x + 1 1 2 2 2 1 x 2 + x − 7 1 = 0 (keer 2) 2 2 2
2
x + 2x − 15 = 0 (x + 5)(x − 3) = 0 x = −5 ∨ x = 3. Snijpunten ( −5, 4) en (3, 0). G12c h (x ) ≤ k (x ) (zie G12b, grafiek en domein) ⇒ x ≤ −5 ∨ − 1 < x ≤ 3.
k h
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 18/20
translatie (0, q )
2 → G13a f (x ) = 0,25(x + 2)2 − 4 g (x ) = 0,25(x + 2) − 4 + q .
g (0) = 0 ⇒ 0,25(0 + 2)2 − 4 + q = 0 ⇒ q = −0,25 ⋅ 22 + 4 = −1 + 4 = 3. translatie ( p , 0)
2 → G13b f (x ) = 0,25(x + 2)2 − 4 h (x ) = 0,25((x − p ) + 2) − 4.
h (0) = 0 ⇒ 0,25((0 − p ) + 2)2 − 4 = 0 ⇒ 0,25( − p + 2)2 = 4 ⇒ ( − p + 2)2 = 16 ⇒ − p + 2 = −4 ∨ − p + 2 = 4 ⇒ − p = −2 − 4 = −6 ∨ − p = −2 + 4 = 2 ⇒ p = 6 ∨ p = −2. vermenigvuldiging t.o.v. de x -as met factor a 2
2 G13c f (x ) = 0,25(x + 2)2 − 4 → k (x ) = a ⋅ (0,25(x + 2) − 4).
De grafiek van k (x ) = a ⋅ (0,25(x + 2) − 4) = 0,25a (x + 2)2 − 4a is een parabool met top ( −2, − 4a ). Nu moet gelden − 4a = 6 ⇒ a = 6 = − 3 = −1 1 . (6 moet een maximum zijn ⇒ 0, 25a < 0 ⇒ a < 0) 2
−4 2
2
G13d De grafiek van f (x ) = 0,25(x + 2) − 4 is een parabool met top ( −2, − 4).
f (0) = 0,25(0 + 2)2 − 4 = 0,25 ⋅ 22 − 4 = 1 − 4 = −3 ⇒ snijpunt met de y -as in (0, − 3). m ( −2) = f ( −2) ⇒ a ⋅ ( −2) 4 + b = −4 ⇒ 16a + b = −4 1 ⇒ 16a − 3 = −4 ⇒ 16a = −1 ⇒ a = − 16 . m (0) = f (0) ⇒ a ⋅ 0 4 + b = −3 ⇒ b = −3 G14a Maak een schets van de plot hiernaast. (beginvoorwaarde bij f : x + 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ −6 en beginvoorwaarde bij g : x ≠ 2 ⇒ V.A.: x = 2)
G14b f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ S 1 ( −2, 791; − 1,209) en S 2 (3, 0). G14c f (x ) ≤ g (x ) ⇒ −6 ≤ x ≤ −2, 791 en 2 < x ≤ 3. (zie G14b, een plot en de beginvoorwaarden)
G14d f (x ) = 1 ⇒ x + 6 − 3 = 1 ⇒ x + 6 = 4 (kwadrateren) ⇒ x + 6 = 16 ⇒ x = 10 (voldoet). G14e g (x ) = 5 ⇒
1
x −2
−1 = 5 ⇒
G15a 30 − 33x +1 = 3
1
x −2
= 61 ⇒ 6(x − 2) = 1 ⇒ x − 2 = 1 ⇒ x = 2 1 .
− 3
2
2 G15e 2x −2 = 32 = 25
G15h 43x +1 = 1 2 8
x −2 =5
1 41
26x +2 = 2
x2 = 7 x = 7 ∨ x = − 7.
2x = 1 1 = 5
4
2
6x = −4 1 = − 9
G15f 2 + 3 ⋅ log(6x + 1) = −4
5
3x − 5 = 3 = 243 3x = 248
x = 248 = 82 2 . 3 3
1 2
3 ⋅ log(6x + 1) = −6 1 2
log(6x + 1) = −2
−2 21
6x + 2 = −2 1
1 2
G15c 4 ⋅ log(3x − 5) = 20 g ... en g log(...) 3 heffen elkaar op log(3x − 5) = 5
1
(22 )3x +1 = 2−3 ⋅ 2 2 = 2
2
1
x
3x −1 = 27 = 33 x −1 = 3 x = 4.
log(3x ) = −2
x = 34 = 1 31 .
= 15 ⋅ 4 3
4
2 ⋅ 3x −1 = 54
log(3x ) = 2
32x = 3 ⋅ 4 3 = 31 ⋅ 3 4 = 3 = 5. 8 3
G15g 2 ⋅ 3x −1 + 5 = 59
3x = 0,5 −2 = ( 1 ) −2 = (2−1 ) −2 = 22 = 4
= 2 = 2. 3 3 2x
G15b 5 ⋅ 3
0,5
0,5
3 = 27 = 3 3x + 1 = 3 3x = 2
x
6
G15d 6 − 0,5 log(3x ) = 8
−33x +1 = −27 3x +1
6
2
2
9 = −3. x = − 12 4 G15i 3log(4 − x ) = −2
6x + 1 = ( 1 ) −2 = 4 2 6x = 3
4 − x = 3 −2 = 1
x = 36 = 21 .
x = 3 89 .
vermenigvuldiging t.o.v.
−x = −3 8
9
9
translatie (0, − 6)
x x → → G16a y = 2x y = 3 ⋅ 2 f (x ) = 3 ⋅ 2 − 6. de x -as met factor 3 translatie (3, 1)
x −3 y = 2x → + 1. g (x ) = 2
f g
G16b Zie de grafieken hiernaast. (gebruik TABLE) (de grafiek van f heeft H.A.: y = −6 en de grafiek van g heeft H.A.: y = 1)
G16c f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ S (1,28; 1,30). G16d f (x ) = −4 1 ⇒ 3 ⋅ 2x − 6 = −4 1 ⇒ 2
2
3 ⋅ 2x = 1 1 ⇒ 2x = 1 = 2−1 ⇒ x = −1. 2
G16e x = 0 ⇒ g (0) = 2
2 0 −3
+ 1 = 2−3 + 1 = 1 + 1 = 1 1 .
x ≥ 0 (zie grafiek) ⇒ g (x ) ≥ 1 81 .
8
8
−2 21
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 19/20
G16f f (x ) = 9 (intersect) ⇒ x ≈ 2,32 en g (x ) = 9 (intersect) ⇒ x = 6. Dus AB ≈ 6 − 2,32 = 3,68. G17a Beginvoorwaarde bij f : x + 4 > 0 ⇒ x > −4 ⇒ Df = −4, → . Beginvoorwaarde bij g : x − 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ Dg = 1, → . Bij f is de V.A.: x = −4 en bij g is de V.A.: x = 1.
f
G17b Zie de grafieken hiernaast. (gebruik TABLE)
g
G17c
f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 2, 65. f (x ) ≥ g (x ) (zie grafieken en domeinen van f en g ) ⇒ 1 < x ≤ 2, 65. G17d f (x ) = 8 ⇒ 2 + 3 log(x + 4) = 8 ⇒ 3log(x + 4) = 6 ⇒ x + 4 = 36 = 729 ⇒ x = 725. f (x ) ≤ 8 (zie domein en grafiek van f ) ⇒ −4 < x ≤ 725. G17e x = 6 ⇒ f (6) ≈ 4, 096 en g (6) ≈ 5,322. Dus AB = g (6) − f (6) ≈ 1,23. G17f f (x ) = 5 ⇒ 2 + 3log(x + 4) = 5 ⇒ 3log(x + 4) = 3 ⇒ x + 4 = 33 = 27 ⇒ x = 23.
g (x ) = 5 ⇒ 3 + 2 log(x − 1) = 5 ⇒ 2 log(x − 1) = 2 ⇒ x − 1 = 22 = 4 ⇒ x = 5. Dus PQ = 23 − 5 = 18. G18a De grafiek van A is een rechte lijn op enkelvoudig logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie NA = b ⋅ g t . 1 t = 0 en NA = 20 000 ⇒ b = 20 000 70000 ⇒ g 50 jaar = 20000 = 3,5 ⇒ g jaar = g = 3,5 50 ≈ 1, 025. t = 50 en NA = 70 000 Dus NA ≈ 20 000 ⋅ 1, 025t .
De grafiek van B is een rechte lijn op enkelvoudig logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie NB = b ⋅ g t . 1 t = 0 en NB = 200 000 ⇒ b = 200 000 20000 ⇒ g 50 jaar = 200000 = 0,1 ⇒ g jaar = g = 0,1 50 ≈ 0, 955. t = 50 en NB = 20 000 Dus NB ≈ 200 000 ⋅ 0, 955t .
G18b NA +B ≈ 20 000 ⋅ 1, 025t + 200 000 ⋅ 0,955t (minimum) ⇒ t ≈ 41, 4 en NA +B ≈ 85318. Dus in 1991 is het aantal inwoners minimaal. Er zijn dan ongeveer 85300 inwoners. G19a Zie de punten en de lijn in de figuur hieronder. 2
N 2
10 9 8 7 6
5 4 3 2
M
1
10 4 10
2
3
4
5 6 7 8 910 5
2
3
4
5 6 7 8 910 6
G19b Zie de figuur hierboven. Je verwacht ongeveer 92 ziektegevallen. G19c Lees in de figuur hierboven af: ongeveer 1,15 ⋅ 106 muskieten. G20a N max = 800 ⇒
8289,3
B
⋅ (1,778 − log(B )) = 800 (intersect) ⇒ B ≈ 8, 7 (m).
2
3
4
5 6 7 8 9 10 7
G&R vwo A deel 3 C. von Schwartzenberg
10 Allerlei functie 20/20
G20b Als B toeneemt van 2 naar 9, dan neemt
8289,3
B
af, maar blijft positief.
Als B toeneemt van 2 naar 9, dan neemt log(B ) toe ⇒ 1, 778 − log(B ) neemt af, maar blijft positief. Dus als B toeneemt van 2 naar 9, dan neemt N max af ⇒ N max is dalend. G20c N max (B ) − N max (B + 0,5) = 126 (intersect) ⇒ B ≈ 6,5 (m). 2 6 −r ⋅ 6 = 102 (intersect of) G21a Bij t = 6 hoort N = 10 ⇒ 10 ⋅ 2
2−6r = 10 −4
log(2−6r ) = log(10 −4 ) −6r ⋅ log(2) = −4
r
106
−4 = ≈ 2,2. −6 ⋅ log(2)
6 −2,2t = 0,1 ⋅ 106 = 105 (intersect of) G21b 10 ⋅ 2
2−2,2t = 10 −1
log(2−2,2t ) = log(10 −1 ) −2,2t ⋅ log(2) = −1
t =
10
5
10
4
−1 ≈ 1,5 (minuut). −2,2 ⋅ log(2)
G21c Teken de lijn door (0,106 ) en (2,55;105 ) (zie de figuur hiernaast). 4
3
10
3
2
Dus ook door (5,1;10 ), (7,65;10 ) en (10,2;10 ). 10
2
10
1
10
0
