2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V praxi se můžeme setkat s dvojím typem procesů. Jednak jsou to procesy deterministické, u kterých platí, že při dodržení konkrétních vstupních podmínek obdržíme přesný, předem známý výsledek (ten můžeme často určit na základě přesných formulí, jako například rychlost, dráhu a tlak ve fyzice, objem koule v matematice, atd.). Nezřídka se však setkáváme s procesy, jejichž přesný výsledek předem určit nejde, neboť podléhají celé řadě nepatrných, často neměřitelných nebo dokonce nezjistitelných vlivů. Ty jsou příčinou toho, že navzdory zachování stejných vstupních podmínek může tento proces (např. hod kostkou) dávat pokaždé jiné výsledky. Tyto procesy, které nazýváme stochastické, jsou předmětem studia dvou matematických disciplín - teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky.
2.1. NÁHODNÝ POKUS, NÁHODNÝ JEV Základními pojmy teorie pravděpodobnosti jsou náhodný pokus a náhodný jev. Náhodný pokus (NP) - je každý děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhá. Navíc se předpokládá, že je, alespoň teoreticky, neomezeně opakovatelný. Př: hod kostkou, hod mincí, losování Sportky, koupě nového auta, … Základní prostor Ω - je množina všech možných výsledků NP taková, že po provedení NP nastane právě jeden prvek Ω. Př: NP hod kostkou; Ω = {1,2,3,4,5,6} NP hod mincí; Ω = {rub,líc} NP koupě nového auta; Ω = {bezporuchové,poruchové} Elementární jev - je každý prvek Ω. Př: NP hod kostkou; Ω = {1,2,3,4,5,6}; 1 = 1, 2 = 2, … , 6 = 6 NP hod mincí; Ω = {rub,líc}; 1 = rub, 2 = líc Náhodný jev A - je každá podmnožina Ω. Př: NP hod kostkou; Ω = {1,2,3,4,5,6}; A1 = {1}, A2 = {2,4,6}, … - jev nemožný – nenastane nikdy (A = Ø) - jev jistý (ozn. I )– nastane vždy (I = Ω) - jev opačný k jevu A (ozn. A ) – nastane právě tehdy, když nenastane jev A ( A = Ω – A) Jelikož náhodné jevy jsou podmnožinami základního prostoru Ω, lze zavést relace mezi jevy a operace s jevy pomocí symboliky známé z teorie množin. Relace mezi jevy 1) Jev A je podjev jevu B - značíme A B - A B : ( A) ( B)
1
- z nastoupení jevu A plyne nastoupení jevu B 2) Rovnost jevů A a B - značíme A B - A B : ( A) ( B) - jev A nastane právě tehdy když nastane jev B Jevy A a B jsou neslučitelné (disjunktní) nemohou nastat současně ( A B Ø) Jevy Ai, i = 1, …, n jsou navzájem (po dvou) neslučitelné jsou neslučitelné všechny dvojice jevů Ai, Aj pro i j Jevy A1, …, An tvoří úplný systém neslučitelných jevů jsou po dvou neslučitelné a jejich sjednocením je množina Ω. Operace s jevy 1) Sjednocení jevů A a B - značíme A B - A B : ( A) ( B) - nastoupení aspoň jednoho z jevů A a B (A „nebo” B) 2) Průnik jevů A a B - značíme A B - A B : ( A) ( B) - společné nastoupení jevů A a B (A „a zároveň” B) 3) Rozdíl jevů A a B - značíme A B - A B : ( A) ( B) - nastoupení A a současné nenastoupení B Příklad 2.1.1: Mějme náhodný pokus – hod dvěma kostkami, červenou a modrou. Základní prostor Ω pak lze zapsat takto: Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Množina Ω má celkem 36 prvků, jsou to elementární jevy 1 = (1,1), 2 = (1,2), …, 36 = (6,6). Předpokládejme, že první (resp. druhé) číslo udává počet ok na červené (resp. na modré) kostce. Každý z elementárních jevů pak lze zapsat slovy, např. 2 = „padla jednička na červené a dvojka na modré kostce“. Jako příklady náhodných jevů si zde můžeme uvést tyto:
2
A1 – padne šestka na červené; A1 = {(6,1), (6,2), …, (6,6)} … 6 prvků A2 – padne jednička na modré; A2 = {(1,1), (2,1), …, (6,1)} … 6 prvků A3 – padne šestka na červené a zároveň jednička na modré; A3 = A1 A2 ={(6,1)} … 1 prvek A4 – padne šestka na červené nebo jednička na modré; A4 = A1 A2 = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) , (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1)} … 11 prvků A5 – padne šestka na červené a zároveň nepadne jednička na modré; A5 = A1 A2 = = {(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} … 5 prvků A6 – na červené nepadne šestka; A6 = A1 (jev opačný k jevu A1; A6 = Ω - A1) … 30 prvků A7 – padne součet 12; A7 = Ω (jev jistý) … 36 prvků A8 – padne součet > 12; A8 = Ø (jev nemožný) … 0 prvků A9 – padne na obou kostkách sudé číslo; A9 = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)} … 9 prvků A10 – padne na obou kostkách liché číslo; A10 = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} … 9 prvků A11 – padne na jedné kostce sudé a zároveň na druhé liché číslo; A11 = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6), (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)} … 18 prvků Všimněme si, že jevy A9 a A10 jsou neslučitelné (nemohou nastat současně; A9 A10 Ø), ale nejsou k sobě opačné (A9 A10 ). Netvoří tedy úplný systém neslučitelných jevů, protože jejich sjednocením není množina Ω. Úplný systém neslučitelných jevů tvoří trojice jevů A9, A10, A11 (jsou to jevy navzájem neslučitelné a A9 A10 A11 = Ω) a rovněž dvojice jevů A1, A6.
2.2. PRAVDĚPODOBNOST, JEJÍ DEFINICE A VLASTNOSTI 1) Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti Definice 2.2.1: Je-li základní prostor Ω = {1, 2, …, n} konečná neprázdná množina n elementárních jevů, které mají stejnou šanci výskytu, pak pravděpodobnost, že při realizaci m náhodného pokusu nastane jev A, je P( A) , kde m je počet výsledků příznivých jevu A a n n je počet všech možných výsledků. Příklad 2.2.1: V souladu s klasickou definicí pravděpodobnosti mají jevy z Příkladu 2.1.1. následující pravděpodobnosti: 6 1 6 1 1 11 18 1 , P( A4 ) , ..., P( A11) P( A1 ) , P( A2 ) , P( A3 ) 36 6 36 36 36 6 36 2 Příklad 2.2.2: V koloně osmi vozidel jedou tři červené automobily. Jaká je pravděpodobnost, že červená vozidla jedou bezprostředně za sebou? Řešení: Označme jev A ... 3 červená vozidla jedou bezprostředně za sebou.
3
Každé auto má stejnou šanci být na libovolné pozici, proto pro výpočet pravděpodobnosti použijeme klasickou definici pravděpodobnosti. Počet všech možností, jak lze uspořádat všech 8 vozidel, odpovídá permutaci z 8 prvků, tzn. n 8! Nyní musíme určit počet příznivých možností (tj. 3 červená za sebou a ostatních 5 libovolně). 3 červená auta mohou být za sebou na 6 různých pozicích (první z trojice může být v koloně na jedné z pozic 1-6), v každé pozici mohou být uspořádána 3! způsoby, tzn. pro uspořádání červených aut dostáváme 6 3! 36 možností. Ke každé této možnosti existuje 5! způsobů, jak uspořádat auta zbývající, tzn. že všech příznivých možností je m 6 3!5! . Pravděpodobnost jevu A je tedy: P( A)
6 3!5! 6 0,107 . 8! 56
2) Geometrická definice pravděpodobnosti Definice 2.2.2: V rovině (resp. na přímce nebo v prostoru) je dána konečná oblast Ω a její podmnožina A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v |A| oblasti Ω leží v oblasti A, je P( A) , kde |A|, |Ω| jsou míry oblastí A a Ω. ||
Příklad 2.2.3: Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadne na pevninu, víme-li, že pevnina má rozlohu 149 000 000 km2 a moře 361 000 000 km2? Řešení: P( A)
149 0,292 149 361
Příklad 2.2.4: Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 13. a 14. hodinou, přičemž doba čekání je 20 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se při této dohodě setkají? Řešení: Označme A … známí se setkají,
(… jev, jehož pravděpodobnost nás zajímá)
x … čas příchodu osoby a, y … čas příchodu osoby b. Potom
{[ x, y] : 0 x 60 0 y 60} , (… množina všech možných případů)
A {[ x, y] : | x - y | 20} .
(… množina všech případů příznivých jevu A)
Množiny A a Ω můžeme graficky znázornit jako plochy v rovině, jak to vidíme na Obr. 2.2.1. y
Obr. 2.2.1:
60
A
40
Ω 20 4 0
20
40
60
x
V souladu s geometrickou definicí má pak jev A pravděpodobnost | A | 60 2 40 2 5 P( A) 0,556 . || 60 2 9 3) Statistická definice pravděpodobnosti Definice 2.2.3: Nechť A je hromadný jev. Nastane-li tento jev v n pokusech právě fn krát, f definujeme jeho pravděpodobnost vztahem P( A) lim n . Číslo fn se nazývá absolutní n n f četnost jevu A a číslo n relativní četnost jevu A a v n pokusech. n
Příklad 2.2.5: V náhodně vybrané skupině 140 mužů ve věku 40-50 let se vyskytl rizikový faktor "zvýšený cholesterol" (jev A) ve 37 případech. Odhadněte pravděpodobnost výskytu jevu A v této věkové skupině mužské populace.
37 Řešení: P( A) ~ 0,264 . 140
Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravděpodobnosti Axiomatická definice pravděpodobnosti vychází z toho, že pravděpodobnost je objektivní vlastnost náhodného jevu, která nezávisí na tom, zda ji umíme nebo neumíme měřit. Je přitom dostatečně obecná, takže klasická, geometrická a statistická definice pravděpodobnosti jsou jejími speciálními případy. Definice 2.2.4: Jevové pole a je množina všech různých podmnožin základního prostoru Ω, která splňuje tyto podmínky: 1. I leží v a (jev jistý je prvkem a), 2. leží-li A a B v a, pak A B , A B , A-B, A , i B leží v a. Příklad 2.2.6: Nechť je dán základní prostor Ω = {a, b, c, d} a náhodné jevy A = {a} a B = {c, d}. Vytvořte co nejmenší jevové pole, které bude obsahovat náhodné jevy A a B. Řešení: Jevové pole musí obsahovat Ω a Ø. S každým jevem obsahuje i opačný jev, musí tedy obsahovat jevy Ā = {b, c, d}, B = {a, b}. S každými náhodnými jevy obsahuje jejich průnik a sjednocení: A B = C = {a, c, d}, A B = Ø. S náhodným jevem C musí obsahovat i jev k němu opačný: C = {b}. Pomocí opačného jevu, sjednocení ani průniku už žádný další náhodný jev nedostaneme, tedy
a ={Ø,{a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {b, c, d}, {a, c, d}, Ω}. 5
Definice 2.2.4: Nechť něž platí:
a je jevové pole. Pravděpodobnost jevu A je reálné číslo P(A), pro
1. P(A) ≥ 0, A a 2. P(I) = 1
(… axiom nezápornosti) (… axiom jednotky)
3. jsou-li A1, A2, ..., An, ... a navzájem neslučitelné jevy, potom platí: P( A1 A2 ... An ... ) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ...
(… axiom aditivity)
Vlastnosti pravděpodobnosti Věta 2.2.1: (o vlastnostech pravděpodobnosti) 1. P(Ø) = 0 2. P( A ) = 1 - P(A) 3. Jestliže A B , pak P(A) ≤ P(B) 4. Jestliže A B , pak P(B - A) = P(B) - P(A) 5. P(A B) = P(A) + P(B) - P( A B ) Příklad 2.2.7: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne a) součet 6, b) součet různý od 6, c) na obou kostkách sudé číslo, d) na obou kostkách sudé číslo a zároveň součet 6, e) na obou kostkách sudé číslo nebo součet 6. Řešení: Základní prostor Ω náhodného pokusu „hod dvěma kostkami“ byl popsán v Příkladě 2.1.1, víme tedy, že má celkem 36 prvků. Označme jevy, jejichž pravděpodobnosti nás zajímají, po řadě A, B, C, D a E. Řešení vychází z klasické pravděpodobnosti a Věty 2.2.1: 5 a) P( A) 36 5 31 b) B A P( B) P( A ) 1 P( A) 1 36 36 9 c) P(C ) 36 2 d) D C A; P( D) 36 9 5 2 12 e) E C A P( E ) P(C A) P(C ) P( A) P(C A) 36 36 36 36
2.3. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST A NEZÁVISLÉ JEVY Definice 2.3.1: Podmíněná pravděpodobnost jevu A jevem B (nebo taky pravděpodobnost jevu A za předpokladu resp. podmínky, že nastal jev B), se značí P( A | B) a definuje se takto:
6
P( A | B)
P( A B) , kde P( B) 0 . P( B)
Poznámka: 1) Pro B : P( B) 0 se podmíněná pravděpodobnost jevu A jevem B nedefinuje 2) Definičního vzorce se často užívá ve tvaru P( A B) P( A | B) P( B) 3) Nastoupení jevu B může změnit šanci nastoupení některých jiných jevů. Vezměme si například náhodný pokus „hod kostkou“ a jevy: A1 … padlo číslo 6, A2 … padlo číslo 1, B … padlo číslo < 5. 1 Pravděpodobnosti jevů A1 a A2 jsou: P( A1 ) P( A2 ) , ale podmíněné pravděpodobnosti 6 1 těchto jevů jevem B jsou P( A1 | B) 0; P( A2 | B) . Nastoupení jevu B tedy zmenšilo 4 šanci jevu A1 (na hodnotu 0) a naopak zvětšilo šanci jevu A2 (na hodnotu 0,25). 4) Pokud jev B nemění šanci nastoupení jevu A , říkáme, že jev A na jevu B nezávisí. Pokud nezávisí jev A na jevu B, nezávisí rovněž jev B na jevu A a oběma jevům říkáme nezávislé. Definice 2.3.2: Platí-li P( A) P( A | B) , nazýváme jevy A a B nezávislé. Poznámka: 1) Nezávislost jevů A a B znamená, že nastoupení jednoho z těchto jevů nemá žádný vliv na nastoupení jevu druhého 2) Jevy A a B jsou nezávislé P( A B) P( A) P( B) 3) Jsou-li A a B neslučitelné jevy s nenulovými pravděpodobnostmi, pak jsou závislé Příklad 2.3.1: Ověřte, že při hodu dvěma kostkami je jev A – na první kostce padlo číslo 5, nezávislý na jevu B – na druhé kostce padlo číslo < 3. Řešení:
6 1 36 6 2 P( A | B) 12 P( A)
P( A) P( A | B) jevy A a B jsou nezávislé 1 6
Příklad 2.3.2: Hážeme dvěma kostkami. Vypočítejte pravděpodobnost toho, že a) když na 1. kostce padlo číslo 2, padl součet větší než 6, b) když na obou kostkách padlo sudé číslo, padl součet větší než 9. Řešení: Zavedeme-li následující označení: A1 … padl součet větší než 6, B1 … na 1. kostce padlo číslo 2, A2 … padl součet větší než 9, B2 … na obou kostkách padlo sudé číslo, máme za úkol vypočítat podmíněné pravděpodobnosti P( A1 | B1 ) a P( A2 | B2 ) . 7
Základní prostor Ω náhodného pokusu „hod dvěma kostkami“ již známe z Příkladu 2.1.1. Je tedy zřejmé, že: 2 1 - v případě a) máme dva příznivé případy z šesti možných, tzn. P( A1 | B1 ) , 6 3 3 1 - v případě b) máme tři příznivé případy z devíti možných, tzn. P( A2 | B2 ) . 9 3 Definice 2.3.3: Jevy A1, ..., An jsou vzájemně nezávislé, jestliže pro každou jejich podmnožinu platí, že pravděpodobnost průniku zastoupených jevů je rovna součinu jejich pravděpodobností. Poznámka: 1) Jsou-li jevy A1, ..., An vzájemně nezávislé, jsou také po dvou nezávislé. Opačné tvrzení ovšem neplatí. Příklad 2.3.3: Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne třikrát za sebou pětka? Řešení: Je zřejmé, že při opakovaném hodu kostkou jsou jednotlivé hody na sobě nezávislé (výsledek žádného hodu nemá vliv na to, co padne příště). Zavedeme-li označení: A … padne třikrát za sebou pětka, A1 … padne pětka v 1. hodu, A2 … padne pětka ve 2. hodu, A3 … padne pětka ve 3. hodu, 1 1 1 potom platí: P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ).P( A2 ).P( A3 ) 0,005 . 6 6 6 Pravděpodobnost, že ve třech po sobě jdoucích hodech kostkou padne třikrát pětka, je 0,5%.
2.4. ÚPLNÁ PRAVDĚPODOBNOST A BAYESOVA VĚTA Věta 2.4.1: (o úplné pravděpodobnosti) Mějme úplný systém vzájemně neslučitelných jevů H 1 ,..., H n . Pak pro libovolný jev A n
platí: P( A) P( A | H i ) P( H i ) . i 1
Důkaz: Je zřejmé, že libovolný jev A můžeme vyjádřit jako sjednocení neslučitelných n
jevů ( A H1 ), ( A H 2 ),..., ( A H n ) , tedy A ( A H i ) . Jelikož pravděpodobnost sjednoi 1
n
cení neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností, platí P( A) P( A H i ) . i 1
Do tohoto vztahu už jen dosadíme P( A H i ) P( A | H i ).P( H i ) (plyne z definice podmíněné pravděpodobnosti) a dostáváme uvedený vztah.
8
Obr. 2.4.1: H2
H5
H3 A H1
H4
Příklad 2.4.1: V prodejně jsou výrobky 3 podniků v počtech 450, 850 a 1000 kusů. Zmetkovitost dodávek jednotlivých podniků je po řadě 4%, 3% a 5%. Určete pravděpodobnost toho, že výrobek náhodně vybraný z těchto 2300 kusů je zmetek. Řešení: Zaveďme pro jevy z našeho příkladu následující označení: A ... vybraný výrobek je zmetek,
Hi
... výrobek byl dodán i-tým podnikem,
A | H i ... výrobek je zmetek, za předpokladu že byl dodán i-tým podnikem. Ze zadání víme, že P( H1 )
850 17 1000 20 450 450 9 , P( H 2 ) , P( H 3 ) , 450 850 1000 2300 46 2300 46 2300 46
P( A | H1 ) 0,04 , P( A | H 2 ) 0,03 , P( A | H 3 ) 0,05 . Z věty o úplné pravděpodobnosti pak vyplývá, že 3
P( A) P( A | H i ) P( H i ) 0,04 i 1
9 17 20 0,03 0,05 0,041 46 46 46
Pravděpodobnost toho, že výrobek náhodně vybraný z těchto 2300 kusů je zmetek, je tedy 4,1%. Věta 2.4.2: (Bayesova) Mějme úplný systém vzájemně neslučitelných jevů H 1 ,..., H n a libovolný jev A . Pak P( A | H k ) P( H k ) platí: P( H k | A) n , k 1,.., n . P( A | H i ) P( H i ) i 1
Poznámka: Vzorec uvedený ve Větě 2.4.2 se nazývá Bayesův vzorec. Vyplývá z definice podmíněné pravděpodobnosti, jejímž užitím dostáváme P( H k A) P( A | H k ) P( H k ) P( H k | A) , P( A) P( A) a z věty o úplné pravděpodobnosti, jejíž vzorec dosadíme do jmenovatele. Příklad 2.4.2: V továrně na výrobu elektronických součástek pracují tři stroje, přičemž 1. stroj produkuje 20%, 2. stroj 30% a 3. stroj 50% všech součástek. Zmetkovitost součástek je u jednotlivých strojů po řadě 1%, 2% a 3%. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná
9
součástka vyrobená tímto závodem je zmetek? Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek, který je zmetek, byl vyroben 2. strojem? Řešení: Zaveďme pro jevy z našeho příkladu následující označení: A ... náhodně vybraná součástka je zmetek,
Hi
... náhodně vybraná součástka byla vyrobena i-tým strojem,
A | H i ... náhodně vybraná součástka je zmetek, pokud byla vyrobena i-tým strojem. Ze zadání víme, že
P( H1 ) 0,20 , P( H 2 ) 0,30 , P( H 3 ) 0,50 , P( A | H1 ) 0,01, P( A | H 2 ) 0,02 , P( A | H 3 ) 0,03 , nás zajímá P( A) a P( H 2 | A) . P(A) vypočteme z věty o úplné pravděpodobnosti: 3
P( A) P( A | H i ) P( H i ) 0,01.0,20 0,02.0,30 0,03.0,50 0,023 i 1
Pravděpodobnost toho, že náhodně vybraná součástka je zmetek, je tedy 2,3%.
P( H 2 | A) vypočteme užitím Bayesovy věty: P( H 2 | A)
P( A | H 2 ) P( H 2 ) 3
P( A | H ) P( H ) i 1
i
0,02.0,30 0,261 0,01.0,20 0,02.0,30 0,03.0,50
i
Pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný výrobek, který je zmetek, byl vyroben 2. strojem, je 26,1%.
10
Příklady k procvičení: Ke kapitole 2.2: 1. Volíme náhodně trojciferný kód. Jaká je pravděpodobnost, že má a) všechny cifry různé, b) aspoň dvě cifry stejné? 2. Písmena K, K, O, O, S skládací abecedy skládáme náhodně za sebou. Jaká je pravděpodobnost, že jsme složili slovo KOKOS? 3. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne a) součet 10, b) součet 8? 4. Mariášové karty dělím na polovinu. Jaká je pravděpodobnost, že a) v obou polovinách je stejný počet červených a černých karet, b) v jedné z polovin jsou tři esa? 5. Stanovte pravděpodobnost výhry ve Sportce v k-tém pořadí (pro k = 1, ..., 5). 6. Jaká je pravděpodobnost, že se ve skupině 10 osob najdou aspoň 2, které mají narozeniny ve stejný den? 7. Hodiny, které nebyly včas nataženy, se po určité době zastavily. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička nachází mezi šestkou a devítkou? 8. Na zastávku MHD přijíždí autobus každých 7 minut a zdrží se 0,5 minuty. Jaká je pravděpodobnost, že přijdu na zastávku a autobus zastihnu? 9. V osudí jsou 4 černé a 6 modrých koulí. Náhodně vybereme skupinu pěti koulí. Jaká je pravděpodobnost, že ve vybrané skupině budou a) 2 koule černé a 3 modré, b) aspoň 3 koule černé? 10. Student je připraven na 25 ze 30 zkušebních otázek. Jaká je pravděpodobnost, že si u zkoušky vytáhne 2 otázky, které zná? 11. V krabici je 6 hracích kostek očíslovaných od 1 do 6. Jaká je pravděpodobnost, že při jejich postupném vytažení dostaneme z jejich čísel rostoucí posloupnost? 12. Občan čeká doma na telegram, který může být doručen kdykoli mezi 6. a 20. hodinou. Urči pravděpodobnost toho, že nebude čekat déle než 2 hodiny.
Ke kapitole 2.3: 1. V urně je 5 bílých a 7 černých kuliček. Vytáhneme 2 kuličky, přičemž po prvním tahu se
11
kulička do urny a) vrací, b) nevrací. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené kuličky budou bílé? 2. Uvažujme 3 přístroje zapojené a) paralelně, b) sériově. Selhání jednotlivých přístrojů nechť jsou nezávislé jevy s pravděpodobnostmi p1, p2, p3. Urči pravděpodobnost selhání obou linek. 3. V tovární hale pracuje nezávisle na sobě 6 automatů. Pravděpodobnosti, že automaty nebudou v průběhu směny potřebovat opravu, jsou po řadě 0,8; 0,75; 0,95; 0,9; 0,7; 0,85. Urči pravděpodobnost toho, že v průběhu směny a) ani jeden automat nebude potřebovat opravu, b) aspoň jeden automat nebude potřebovat opravu, c) aspoň jeden automat bude potřebovat opravu. 4. Tři střelci střílí nezávisle na sobě na tentýž cíl. Pravděpodobnosti zásahů jednotlivých střelců jsou 0,8; 0,7 a 0,6. Každý vystřelí po jedné střele. Jaká je pravděpodobnost, že cíl a) zasáhnou všichni tři, b) nezasáhne ani jeden, c) zasáhne aspoň jeden, d) zasáhne právě jeden. 5. Urči, jaká je pravděpodobnost, že při pěti nezávislých, po sobě jdoucích hodech kostkou padne a) šestka při 2. a 4. hodu, při ostatních ne, b) šestka při 1. hodu a při ostatních liché číslo, c) šestka právě dvakrát. 6. Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Urči pravděpodobnost toho, že mezi čtyřmi po sobě narozenými dětmi budou a) první dva chlapci a další dvě děvčata, b) právě dva chlapci. 7. Z celkové produkce závodu je 4% zmetků a z dobrých je 75% standardních. Urči pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný výrobek je standardní. 8. Z výrobků určitého druhu dosahuje 95% předepsanou kvalitu. V jistém závodě, který vyrábí 80% celkové produkce, však předepsanou kvalitu dosahuje 98% výrobků. Mějme náhodně vybraný výrobek předepsané kvality. Jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben ve vzpomínaném závodě? 9. Dva střelci střílí současně na terč. Pravděpodobnost zásahu prvním z nich je 0,7, druhým 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že první střelec zasáhne a současně druhý mine? 10. Při zásahu cíle se rozsvítí žárovka. Urči pravděpodobnost, že se žárovka rozsvítí, jestliže na terč současně vystřelí dva střelci, jejichž pravděpodobnosti zásahu jsou 0,7 a 0,9.
12
11. Studenti A, B a C skládají přijímací zkoušku. Jejich šance na úspěch odhadujeme po řadě na 70, 40 a 60%. Jaká je pravděpodobnost, že a) všichni tři uspějí, b) ani jeden neuspěje, c) uspěje jen student A, d) uspěje právě jeden z nich, e) neuspěje jen student B, f) uspějí právě dva.
Ke kapitole 2.4: 1. Ze 3 sérií výrobků, které obsahují postupně 100, 150 a 200 kusů, vybereme náhodně jeden výrobek. Urči pravděpodobnost toho, že je kvalitní, víme-li, že pravděpodobnost kvalitního výrobku je u první série 0,8, u druhé série 0,9 a u třetí série 0,7. 2. Ve studijní skupině je 15 studentů. Pravděpodobnost složení zkoušky v prvním termínu je u 6 studentů rovna 0,9, u 7 studentů 0,6 a u 2 studentů 0,1. Urči pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný student složí zkoušku v 1. termínu. 3. V terénní soutěži zůstalo 8 motocyklů značky A s 80% spolehlivostí a 6 motocyklů značky B s 70% spolehlivostí. Poslední den nedojel do cíle jeden motocykl. Jaká je pravděpodobnost, že byl značky A? 4. Ve společnosti je 45% mužů a 55% žen. Vysokých nad 190 cm je 5% mužů a 1% žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je to žena? 5. Menza VŠB zakoupila 12 chladniček z 1. závodu, 20 chladniček z 2. závodu a 18 chladniček z 3. závodu. Pravděpodobnost, že chladnička je výborné jakosti, pochází-li z 1. závodu, je 0,9, z 2. závodu 0,6 a z 3. závodu 0,9. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná chladnička bude výborné jakosti? 6. Součástky, ze kterých se montují stroje, dodávají tři závody. Je známo, že první má 0,3% zmetků, druhý 0,2% zmetků a třetí 0,4% zmetků. První závod dodal 1000, druhý 2000 a třetí 2500 součástek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná součástka bude zmetek?
13
