Vícenásobný integrál verze 1.0
1
Úvod
Následující text se zabývá dvojným a trojným integrálem. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. Mohou se v něm vyskytovat některé chyby; autor ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozorníte na emailu jiri.lipovskyzavináč uhk.cz.
2
Teorie
U dvojného integrálu je naším cílem vypočítat integrál z funkce dvou proměnných přes plochu ohraničenou zadanými křivkami. Obdobně u trojného integrálu počítámeR integrál přes určitou oblast z funkce tří proměnných. Dvojný integrál značíme M f (x, y) dxdy, R Rněkdy se můžeme setkat s komplikovanějším značením pomocí dvou integrálů f (x, y) dxdy. Fubiniho věta nám umožní převést inM 2 3 tegrál přes tuto podmnožinu R (u trojného integrálu R ) na sled dvou (tří) jednorozměrných integrací ! Z Z Z Z Z b
ϕ2 (x)
f (x, y) dxdy = M
3
b
f (x, y) dy a
dx =
ϕ1 (x)
ϕ2 (x)
dx a
f (x, y) dy . ϕ1 (x)
Příklady
R Příklad 3.1. Vypočtěte integrál M xy dxdy, kde množina M je ohraničena shora funkcí y = x a zdola funkcí y = x2 . Řešení: Nejdříve musíme určit meze jednotlivých proměnných. x jde od 0 do 1 a y jde při pevném x od x2 do x (viz obr. 1). Máme tedy meze integrálů 0 < x < 1, x2 < y < x a můžeme vypočítat Z
Z
1
Z
x
xy dxdy =
Z
xy dy dx =
M
Z =
x
0
1 2 y 2
0
x = x2
1 2 R
Z
Z
x
x
x2
0 1
1
y dy dx =
x2
1
x(x2 − x4 ) dx =
0
1 1 x4 x6 1 − = . 2 4 6 0 24
Příklad 3.2. Vypočtěte integrál M (x2 + y 2 ) dxdy, kde M je ohraničena křivkami y = 0, x + y = 1 a y − x = 1. Řešení: Meze jsou například 0 < y < 1, y − 1 < x < 1 − y. Nyní můžeme
1
1
0.8
0.6
y=x
y = x2
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obrázek 1: Obrázek k příkladu 3.1
1
0.8
0.6 y-x=1
x+y=1
0.4
0.2 y=0 0 -1
-0.5
0
0.5
Obrázek 2: Obrázek k příkladu 3.2
2
1
1 y=1 0.8 0.6 y=x
0.4
y= x/10
0.2 0 0
2
4
6
8
10
Obrázek 3: Obrázek k příkladu 3.3
vypočítat integrál 1−y x3 2 (x + y ) dx dy = (x + y ) dxdy = +y x dx = 3 y−1 M 0 0 y−1 Z 1 (y − 1)3 (1 − y)3 2 2 + y (1 − y) − − y (y − 1) dy = = 3 3 0 Z 1 8 3 1 2 2 − 2y + 4y − y dy = . = 3 3 3 0 R p Příklad 3.3. Vypočtěte integrál M xy − y 2 dxdy, kde M je dána vztahy 0 < y < 1, y < x < 10y. Z
2
Z
2
1
Z
1−y
2
2
Z
1
Řešení: Meze integrálu máme rovnou zadané, můžeme proto přikročit k jeho výpočtu. 1
10y
p p 2tdt 2 2 xy − y dx dy = t = xy − y , dx = = y 0 y 3 1 Z 1 Z 3y 2 Z 1 Z 1 2t 2 (3y)3 y 2 =6 = dt dy = dy = 18 y dy = 18 y y 3 3 0 0 0 0 0 R x Příklad 3.4. Vypočtěte integrál M e y dxdy, kde M je ohraničena křivkami y 2 = x, x = 0 a y = 1. Z
Z
Řešení: Meze jsou 0 < y < 1, 0 < x < y 2 . Z
Z
x y
1
Z
e dxdy = M
y2
!
Z
x y
1
e dx dy = 0
0
h
x
ye y
iy 2
dy =
0
0
Z = 0
1
y2 y(e − 1) dy = 1 − 2 y
1 = 0
1 , 2
neboť Z
1
yey dy = |u = y ,
v = ey | = [yey ]10 − [ey ]10 = e − e + 1 = 1 .
0
Příklad 3.5. Vypočtěte integrál x2 + y 2 = 1 a x + y − 1 = 0.
R M
2y dxdy, kde M je ohraničena křivkami
3
1 y=1
0.8
x=0
y2=x
0.6
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obrázek 4: Obrázek k příkladu 3.4
1
0.8 x2+y2=1
0.6
x+y-1 = 0 0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obrázek 5: Obrázek k příkladu 3.5
4
1
0.8 x2+y2=1
0.6
x=0
0.4
0.2
y=0 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obrázek 6: Obrázek k příkladu 3.6 √
Řešení: Meze jsou 0 < x < 1, 1 − x < y < Z
√
1
Z
Z
2y dxdy = 1−x
0
=
0
1
[1 − x2 − (1 − x)2 ]dx = 2
(x − x2 )dx = 2
0
Příklad 3.6. Vypočtěte integrál prvním kvadrantu.
R M
1
√
Z
x dxdy =
√
1
Z
x dy dx =
M
0
0
= t = 1 − x2 ,
x3 x2 − 2 3
1 = 0
1 . 3
1 − x2 .
!
1−x2
x dxdy, kde M je jednotkový čtvrtkruh v
Řešení: Meze jsou 0 < x < 1, 0 < y < Z
2 √1−x2 y 1−x dx =
1
Z
0
Z
1
Z
2y dy dx =
M
Z
!
1−x2
1 − x2 .
p x 1 − x2 dx =
0
dt = −2xdx =
Z 1
Příklad 3.7. Vypočtěte integrál y = 4 a x = 1.
R M
0
1 1 2 h 3 i1 1 1 t 2 dt = − t2 = . 2 23 3 0
ex y dxdy, kde M je ohraničena křivkami
Řešení: Meze jsou 0 < x < 1, 0 < y < 4. Z M
ex y dxdy =
Z 0
4
Z
1
Z ex y dx dy =
0
Příklad 3.8. Vypočtěte integrál y = x a y = x2 .
4
0
R M
y[ey ]10 dy = (e − 1)
y2 2
4 = 8(e − 1) . 0
xy 2 dxdy, kde M je ohraničena křivkami
Řešení: Meze jsou 0 < x < 1, x2 < y < x. 5
1
0.8
0.6 y=x
0.4
y = x2
0.2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obrázek 7: Obrázek k příkladu 3.8
x y3 dx = 3 x2 M 0 x2 0 5 1 Z 1 3 x x6 x x8 1 = x − dx = − = . 3 3 15 24 40 0 0 R Příklad 3.9. Vypočtěte integrál M xy 2 dxdy, kde M je ohraničena křivkami y 2 = 2px a x = p2 , p > 0. √ √ Řešení: Meze jsou 0 < x < p2 , − 2px < y < 2px. Z
xy 2 dxdy =
Z
Z
Z
1
x
Z
p 2
Z xy 2 dy dx =
√
Z
!
2px
1
x
Z
p 2
3
3
(2px) 2 + (2px) 2 xy dxdy = xy dy dx = dx = x √ 3 M 0 − 2px 0 √ 3 Z p √ 3 2 5 4 2p 2 4 2p 2 p 72 2 p5 = = . x 2 dx = 3 3 2 7 21 0 R Příklad 3.10. Vypočtěte integrál M x2 yexy dxdy, kde M = [0, 1] × [0, 2]. 2
2
Řešení: Meze máme dány. 1
2
1
2
y xy e dy dx = x ye dxdy = x ye dy dx = x M 0 0 0 0 x Z 1 Z 2 Z 1 1 = x − exy dy + [yexy ]20 dx = x 2e2x − [exy ]20 dx = x 0 0 0 Z 1 Z 1 2x − 1 2x 1 = (2xe2x −e2x +1)dx = e2x dx+ [e ]0 +[x]10 = [(x−1)e2x +x]10 = 2 . 2 0 0 R Příklad 3.11. Vypočtěte integrál M xy 2 dxdy, kde M je ohraničena křivkami x2 + y 2 − 1 ≤ 0 a x + y − 1 ≥ 0. Z
2
xy
Z
Z
2
xy
6
Z
2
Z
1
y2 = 2 p x 0.5
x = p/2
0
p/2
-0.5
-1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Obrázek 8: Obrázek k příkladu 3.9
Řešení: Můžeme opět využít obrázku 5. Meze jsou 0 ≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤ √ 1 − x2 . Z
1
Z
2
√
Z
!
1−x2 2
xy dy dx =
xy dxdy = M
0
1−x
Z
1
= 0
Příklad 3.12. Vypočtěte integrál x2 − y + 2 = 0 a x + y − 4 = 0.
R
i 3 xh 1 (1 − x2 ) 2 − (1 − x)3 dx = 3 20
y dxdy, kde M je ohraničena křivkami
M
Řešení: Nejdříve si vypočítáme průsečíky paraboly a přímky. x2 − (4 − x) + 2 = 0 , (x + 2)(x − 1) = 0 . Průsečíky jsou tedy −2 a 1. Meze integrálu budou −2 < x < 1, x2 +2 < y < 4−x. 1
4−x
1
(4 − x)2 − (x2 + 2)2 dx = 2 M −2 x+ 2 −2 5 1 Z 1 1 1 x 162 = (−x4 − 3x2 − 8x + 12) dx = − − x3 − 4x2 + 12x = . 2 −2 2 5 5 −2 R Příklad 3.13. Vypočtěte integrál M xy dxdy, kde M je ohraničena křivkami xy = 1 a 2x + 2y − 5 = 0. Z
Z
y dxdy =
Z
Z
y dy dx =
Řešení: Nejdříve určíme průsečíky hyperboly a přímky. 7
6
5 x+y-4=0
4
3
2
x2 - y + 2 = 0
1
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Obrázek 9: Obrázek k příkladu 3.12
2.5
2
1.5
2x + 2y -5 = 0
1 xy = 1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
Obrázek 10: Obrázek k příkladu 3.13
8
2 y=2
y2 = x
x=0
1.5
y=1
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Obrázek 11: Obrázek k příkladu 3.14
2x2 − 5x + 2 = 0 , (2x − 1)(x − 2) = 0 . Meze jsou
1 2
< x < 2,
Z
2
Z
1 x
" # 2 1 5 1 xy dy dx = x −x − dx = 1 2 2 x 2 2 1 25 2 5 3 x4 165 = x − x + − ln x = − ln 2 . 2 8 3 4 128 1
xy dxdy = 1 2
M
− x. !
5 2 −x
Z
5 2
1 x
Z
2
2
Příklad 3.14. Vypočtěte integrál x = 0, y = 1, y = 2 a y 2 = x.
R M
x y
e dxdy, kde M je ohraničena křivkami
Řešení: Meze jsou 1 < y < 2, 0 < x < y 2 . Z
x y
Z
2
Z
y2
e dxdy = M
! e dx dy =
1
0
= [yey ]21 −
Z h x iy2 y ey dy = 0
1
Z
2
ey dy −
1
4
2
Z
x y
2 2
y 2
1
2
y(ey − 1)dy =
1
2 y2 3 y y = ye − e − = e2 − . 2 1 2
Použitá a doporučená literatura 1. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky III., Matfyzpress, Praha, 2002, kapitola 2 2. http://mat.fsv.cvut.cz/Sibrava/Vyuka/vic int.pdf 3. http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id file=350
9
