1. Úkol. 2. Teorie. Fyzikální základy techniky

Fyzikální základy techniky Protokol č.: 1 Název: Stanovení polytropického exponentu a indikátorového diagramu kompresoru Vypracováno dne: 5.12.2007 Vypracovali: Roman Stanec, Ondřej Svoboda, Sabina Zornová, Martin Smažil

1. Úkol Naším úkolem bylo stanovit indikátorový diagram kompresoru a střední hodnoty polytropického koeficientu při kompresi a při expanzi. Kompresor byl následujících parametrů: Kompresor 1-JSK-75 Pracovní podtlak (přetlak) Otáčky rotoru (kl. Hřídele) Výkon hnacího motoru Průměr statoru (válce) Zdvih pístu Počet lopatek (válců) Poměrná velikost škodného prostoru

[kPa]

1200

[sˉ¹]

29,2

[kW] [mm] [mm] [-]

4 75 70 1 0,05

2. Teorie Izotermická a adiabatická změna stavu jsou v určitém smyslu mezní případy, protože u izotermické změny se předpokládá dokonalá výměna tepla s okolím, takže při změně stavu nenastává změna teploty a u adiabatické změny se předpokládá úplná a dokonalá izolace, která zamezí jakékoliv výměně tepla s okolím. U skutečných změn nelze těchto ideálních podmínek dosáhnout, tj. teplo se buď pracovní látce s okolí přivádí nebo odvádí. U skutečných změn se tedy mění nejen všechny tři veličiny stavu (p, V, T), ale nastává současně sdílení tepla s okolím. U kompresoru se nasává vzduch o nižší teplotě než je střední teplota stěny válce. Nasátý vzduch se vlivem tepla stěny válce nejdříve ohřívá, takže změna probíhá za přívodu tepla. Během komprese teplota stlačovaného vzduchu přestoupí střední teplotu válce a teplo se pak opačně stěnou odvádí. Odváděním tepla z plynu se sníží jeho konečná kompresní teplota pod teplotu, které by dosáhl, kdyby komprese probíhala adiabaticky. Tento složitý průběh změny stavu látky způsobený nevratným sdílením tepla lze pro termické výpočty nahradit jedinou vratnou změnou vyjádřenou rovnicí: konst . = V n ⋅ p Tato změna se nazývá polytropickou a je znázorněna v p-V diagramu obecnou hyperbolou. Mocnitel „n“ je polytropickým exponentem, jenž je větší než exponent izotermy (n = 1) a zpravidla menší než exponent adiabaty (n = χ). Obecně platí: 1 χ

Polytropický exponent „n“ není určen poměrem měrných tepelných kapacit (cp) a (cv), což bude dokázáno dále. 0 exponentu (n) se předpokládá, že je v průběhu změn konstantní, což ve skutečnosti není. Proto i polytropická změna, ač se skutečným dějům nejvíce přibližuje, je do určité míry předchozím předpokladem zidealizována. Hodnota exponentu „n“ se stanoví z indikátorového diagramu postupem dále uvedeným. Polytropickou změnu stavu plynu platí stejné vztahy jako pro změnu adiabatickou s tím, že exponent „χ“ je nahrazen exponentem „n“. n

1

n −1

n −1

p n p1  V2  V1  p 2  n T1  V 2   =  1  =   , =   , =  p 2  V1  V2  p1  T2  V1   p2  a objemová ( A1, 2 ) a tlaková –technika ( Atl , 2 ) je dána: n −1   p1 ⋅ V1   p 2  n  A1, 2 = ⋅ 1−   n − 1   p1     n Atl , 2 = ⋅ 1 − ( p1 ⋅ v1 − p 2 ⋅ v 2 ) n −1 nebo n −1   n   p n 2  A1, 2 = ⋅ p1 ⋅ V1 ⋅ 1 −      p1   n −1   odkud pro vzájemný vztah těchto prací platí obdobně : Atl , 2 = n ⋅ A1, 2

Polytropickou měrnou tepelnou kapacitu (cn) lze určit z obecné formulace měrné tepelné kapacity: 1 dQ c= ⋅ m dT podle první věty termodynamiky platí: dQ = dU + dA = m ⋅ c v ⋅ dT + p ⋅ dV po dosazení : 1 p ⋅ dV c = cv + ⋅ m dT je polytropická měrná tepelná kapacita dána rovnicí: r c n = cv ⋅ protože platí: r = cv ⋅ ( χ − 1) , pak 1− n n−χ cn = cv ⋅ = ϕ ⋅ cv n −1 z toho plyne, že polytropická měrná tepelná kapacita (cn) je konstantní podél celé polytropy, a proto se tato změna nazývá změnou při stálé měrné tepelné kapacitě. Podle rovnice III-11 udává polytropická měrná tepelná kapacita množství tepelné energie potřebné pro ohřátí jednotkové hmotnosti plynu (m = 1kg) o jednotku teploty (∆T = 1K), čímž se zvýší jeho vnitřní energie (c) a současně se vykoná r mechanická práce o velikosti . 1− n Množství sdíleného tepla polytropické změny lze obdobně určit z rovnice:

Q1, 2 = m ⋅ c n ⋅ ( T2 − T1 ) = m ⋅ cv ⋅

n−χ ⋅ ( T2 − T1 ) n −1

Určení polytropického exponentu (n) Exponent (n) lze vyhodnotit z indikátorového diagramu z logaritmované rovnice polytropy a z poměru tlakové a objemové práce. Protože se hodnota tohoto exponentu v průběhu změny mění, lze určit okamžitou nebo střední hodnotu toto exponentu (n): a) Okamžitá hodnota exponentu (n) v libovolném bodu polytropy se z indikátorového diagramu (obr.č. III-1) určí následovně: diferenciální tvar rovnice polytropy dp ⋅Vn = konst. je následující: dp ⋅Vn ⋅ p ⋅ n ⋅Vn−1 ⋅dV = 0 V⋅ dp ⋅Vn−1 + p ⋅ n ⋅Vn−1 ⋅dV = 0 V⋅ dp = n ⋅ p ⋅dV −

dp p = n⋅ dV V

Změna tlaku (dp) při vzrůstu objemu (dV) je záporná, protože při zvětšování objemu tlak klesá - takže podle obr. č. III-l platí: dp p − = tgα = n ⋅ dV V odkud V n = ⋅ tgα p změří-li se úhel (α) tečny k polytropě v daném bodě, který svírá s osou objemů (V), lze z této rovnice vypočítat okamžitou hodnotu exponentů „n“. Z obr.č. III-1 je patrné, že součin „n.p“ je subtangenta na ose tlaků ( tp n ⋅ p = s ). Rovněž poměr „V/n“ je subtangenta na ose objemů (V/n = stv.). Změří-li se velikosti subtangent (stp, stv) z

indikátorového diagramu, je pro daný tlak a objem (p, V) okamžitá hodnota exponentu „n“ vyjádřená vztahy: S tp V n= nebo n = S tv p b) Okamžitou hodnotu exponentu (n) lze rovněž určit z grafického průběhu polytropy znázorněné ve dvojitých logaritmických souřadnicích. Logaritmováním rovnice polytropy: p ⋅Vn = konst. se získá: n ⋅ logV + log p = log konst. což je rovnice přímky v dvojitých logaritmických souřadnicích n⋅x+y=a resp. y=a−n⋅x kde polytropický exponent (n) je směrnici, tj. tangentou směrového úhlu (α) log konst − log p n = tgα = log V

Tedy vynesením p-V indikátorového diagramu v souřadnicích log p - log V lze exponent (n) jednoduše změřit. Pokud vynesený p-V diagram není v logaritmických souřadnicích zobrazován přímkou, jedná se o polytropickou změnu s proměnným exponentem (n ≠ konst.), c) střední hodnotu exponentu (a) mezi dvěma stavy plynu lze určit logaritmováním rovnice polytropy pro tyto dva stavy (1-2): p1 ⋅ V1n = p 2 ⋅ V2n po logaritmování log p1 ⋅ n ⋅ log V1 = log p 2 ⋅ n ⋅ log V2 odkud střední hodnota exponentu (n) je určena rovnicí: log p 2 − log p1 n= log V1 − log V2 d) střední hodnotu polytropického exponentu (n) lze rovněž vyjádřit z poměru tlakové a objemová práce polytropická změny. Diferenciální rovnici polytropy lze rovněž zapsat ve tvaru :

V⋅ dp = −n ⋅ p ⋅dV Odkud V ⋅ dp n= p ⋅ dV je polytropický exponent (n) dán poměrem tlakové-technické a objemové-absolutní práce 2 At1, 2 dA n=∫ t = dA A1, 2 1

Velikost prací (At1,2 a A1,2) lze jednoduše změřit planimetrováním (obr.č. III-3).

3. Postup vypracování 1) Na kompresoru jsme nastavili přetlak na 0.3Mpa 2) Spustili jsme jeho činnost a tu jsme monitorovali připojeným počítačem 3) Ze zaznamenaných dat jsme určili hodnoty v HÚ a DÚ (horní a dolní úvrati): HÚ: Ux=-2.15 V Uy=175 mV t=25.8s DÚ: Ux=2.40 V Uy=-75 mV t=9.8s 4) Zaznamenaná data jsme vložili do předpřipravené tabulky v tabulkovém kalkulátoru a přepočítali data na námi požadovaná nová data (zdvihový objem + škodný prostor; tlak + atmosférický tlak) 5) Na základě těchto nových dat jsme vytvořili graf – Indikátorový diagram(pouze jeden cyklus, který jsme vybrali na základě získaných dat HÚ a DÚ):

Indikatorovy diagram 0,70000

0,60000

0,50000

p [MPa]

0,40000

0,30000

0,20000

0,10000

0,00000 0,000000 0,002000 0,004000 0,006000 0,008000 0,010000 0,012000 0,014000 0,016000 0,018000 0,020000 V [m^3]

6) Na indikátorovém diagramu jsme si vybrali 2 body ležící na křivce komprese a vypočítali střední hodnotu polytropického exponentu mezi těmito body: Bod1... V1=0.015506, p1=0.119 Bod2... V2=0.013331, p2=0.143 Dle vztahu n=(log p1 - log p2)/(log V2 - log V1) jsme vypočítali, že střední hodnota mezi těmito body je n=1.2156. 7) Na indikátorovém diagramu jsme si vybrali 2 body ležící na křivce expanze a vypočítali střední hodnotu polytropického exponentu mezi těmito body: Bod1... V1=0.002456, p1=0.239 Bod2... V2=0.002637, p2=0.209 Dle vztahu n=(log p1 - log p2)/(log V2 - log V1) jsme vypočítali, že střední hodnota mezi těmito body je n=1.8863.

4. Závěr Na základě vlastního měření a zaznamenání dat z kompresoru jsme vygenerovali indikátorový diagram a určili 2 hodnoty polytropického exponentu – při kompresi, kde nám jeho hodnota vyšla 1.2156, a při expanzi, kde jsme dospěli k výsledku 1.8863.