Getaran Teredam Dalam Rongga Tertutup pada Sembarang Bentuk
Dari hasil beberapa uji peredaman getaran pada pipa tertutup membuktikan bahwa getaran teredam di dalam rongga tertutup dapat dianalisa tidak hanya dalam bentuk 1 dimensi tetapi juga dalam bentuk tiga dimensi pada sembarang bentuk. Jika sebelumnya kita menganalisa suatu getaran harmonik dengan frekuensi sudut ω. Kemudian persamaan gelombang
kita ubah ke dalam bentuk
persamaan Helmholtz (dengan k = ω/c) maka, ∆ 0
(1)
Setelah itu kita mencoba mencari solusi dari persamaan ini tetapi disesuaikan dengan bentuk rongga yang ada dan dengan melihat karakteristik sifat akustiknya. Misalkan solusi terakhir yang didapatkan pada suatu impedansi dinding adalah memenuhi persamaan berikut,
(2)
dengan adalah komponen normal dari suatu kecepatan partikel yang berhubungan langsung dengan tekanan yang diakibatkan oleh suara dengan persamaan
!
Turunan dari
(3) merupakan sebuah komponen normal dari grad p seperti yang ditunjukkan
dalam rumus difraksi Kirchhoff. Sehingga syarat batas tersebut dapat ditulis dalam suatu bentuk persamaan,
"#$ 0
(4)
Hal ini menunjukkan bahwa solusi dari persamaan (1) yang memenuhi syarat batas persamaan (4) untuk nilai-nilai diskrit tertentu hanyalah kn. Nilai-nilai ini umumnya adalah kompleks dan biasanya disebut eigenvalues atau nilai karakteristik dari suatu rongga tertutup. Beberapa dari nilai-nilai tersebut berhubungan dengan frekuensi sudut ωn = cRe {kn} dan eigen frekuensinya fn = ωn/2π. Solusi yang terkait dengan eigenvalues ini bisanya disebut dengan eigenfunctions (fungsi eigen) dan merupakan bentuk persamaan matematis dari sebuah mode normal pn(r) dari suatu rongga. Simbol r memberikan arti
1
sebagai posisi suatu titik yang dinyatakan oleh 3 koordinat ruang sesuai pilihan. Dengan demikian, n merupakan simbol dari tiga bilangan bulat, misalnya untuk l, m, dan n. Sehingga pada mode normal pun dapat dianggap sebagai suatu gelombang berdiri tiga dimensi. Hanya saja, bentuk permukaannya secara umum tidak datar seperti yang kita bayangkan sebagai sebuah ruang persegi yang panjang. Solusi yang kita dapatkan dari masalah syarat batas yang kita uraikan di sini, hanya dapat berhasil untuk bentuk ruangan yang sederhana dengan distribusi impedansi pada dinding yang sederhana pula. Salah satu masalah yang terjadi adalah pada suatu ruang persegi yang panjang dengan ./ 1 0
dinding keras yang dianalisa dengan persamaan %&, () ̂ +,-
dalam kondisi yang
berbeda-beda. Untuk rongga tertutup yang mempunyai geometri yang lebih umum dan mempunyai syarat batas tertentu, mode normal dan eigenfrekuensi-nya harus dihitung dengan metode numerik, seperti metode elemen tak hingga atau elemen batas yang tidak akan kami jelaskan di sini. Dalam hal apapun bidang suara dipaksa bisa dibayangkan terdiri dari mode normal yang sama seperti di berikan oleh persamaan %&)
! 2! ; 456 %8 /) ∑<$ 1 0 9 9 :
(5)
Jika suatu ruangan dibangkitkan oleh sebuah sumber titik dengan kecepatan volume => , exp %"#() tekanan suara pada titik yang terletak di r adalah : CDE FE %G) %B) => , ∑; <$ 9 9 : 1
(6)
Koefisien Cn tergantung pada posisi sumber suara. Sehingga, diasumsikan bahwa H I #
(7)
Keadaan tersebut sesuai dengan persamaan (5). Namun, eigenfrekuensi sudut ωn atau eigenfrekuensi fn pada kasus ini tidak disusun teratur sepanjang sumbu frekuensi seperti pada bentuk satu dimensi. Demikian halnya, konstanta δn dan oleh karena itulah setengah lebar 2(Δf)n dari persamaan 2%∆K)
: .
dapat dianggap mempunyai nilai yang berbeda.
Sekarang kita mempunyai 2 kasus yang harus dibedakan dan mempunyai batas masing-masing: Jarak antara eigenfrequencies yang berdekatan di sepanjang sumbu frekuensi secara signifikan adalah lebih besar dari setengah lebar dari resonansi. Kemudian fungsi pω(r) menunjukkan suatu rangkaian yang jelas yang dipisahkan oleh kurva resonansi. Hal ini ditunjukkan oleh Gambar 1.a, setiap puncak pada kurva ini adalah sesuai dengan salah satu eigenfrequency. Di sekitar frekuensi resonansi 2
ωn, istilah nth dari hasil penjumlahan sejauh ini merupakan kontribusi dominan untuk pω (r), dan oleh karena itu mode normal dapat dikembangkan dan diamati hampir secara independen satu sama lain dengan memilih frekuensi berjalan yang sesuai dengan eigenfrekuensi terkait. Eigenfrekuensi antara satu sama lain sangat dekat inin menunjukkan bahwa beberapa atau banyak dari eigenfrekuensi terletak pada setengah lebar dari resonansi, oleh karena itu kurva resonansi menunjukkan tumpang tindih yang sangat kuat (Gambar 1.b). Kemudian pada frekuensi berjalan yang lain beberapa atau bahkan banyak istilah penjumlahan pada persamaan (6) memiliki nilai yang signifikan dan berkontribusi dengan fase yang cukup berbeda untuk seluruh tekanan suara pω(r). Hal ini diperlihatkan pada gambar 2. Di sini setiap fasor merupakan salah satu istilah pada persamaan (6) dalam bidang kompleks; Panjangnya sebanding dengan besarnya, dan arahnya sesuai dengan fasenya. Diagram berlaku untuk satu frekuensi tertentu, jika frekuensi (atau titik pengamatan) berubah, sifat/ karakter yang muncul akan sama, akan tetapi secara rinci akan berbeda sepenuhnya, begitu juga dengan tentunya dengan fasor yang dihasilkan.
Gambar 1
Ketergantungan frekuensi dari amplitudo tekanan suara setelah persamaan (6): (a) tumpang tindih resonansi diabaikan, (b) tumpang tindih yang kasar.
3
Gambar 2
Diagram fasor memperlihatkan kontribusi berbagai mode ruang pada frekuensi berjalan tertentu, kasus 2. Fasor penuh: menghasilkan tekanan amplitudo.
Besar maksimum dari pω terjadi ketika banyak istilah penjumlahan pada persamaan (6) terjadi untuk berkontribusi dengan fase yang sama yang pada Gambar 2 sesuai dengan banyak fasor yang ditunjukkan dengan arah yang sama. Sebaliknya, amplitudo tekanan suara minimum datang ketika ada keadaan di mana kontribusinya adalah meniadakan yang pada gambar 2 ditunjuakkan oleh panah pendek. Pada kasus ini, tumpang tindih yang begitu kasar, mode normal tidak dapat dibangkitkan secara terpisah. Sekarang kita tahu dari persamaan
LM N
N
O 4QR bahwa kerapatan rata-rata dari eigenfrekuensi
dNf/df bertambah besar sebanding dengan kuadrat dari frekuensi. Sehingga dari sini dapat diambil kesimpulan bahwa kasus 1 terjadi pada frekuensi yang sangat rendah, sedangkan kasus 2 adalah pada frekuensi yang tinggi. Untu mencari pendekatan frekuensi yang memisahkan keduanya kita akan berbicara mengenai sesuatu yang signifikan yang tumpang tindih pada reratanya, sehingga setidaknya ada 3 eigenfrekuensi yang jatuh pada interval S2∆KT, yang merupkan setengah dari lebar resonansinya. Hal ini benar jika dNf/df ≥ 3/S2∆KT, atau dengan persamaan Y
K W XZ[S:T
LM N
N
O 4QR dan 2%∆K)
: . .
(8)
SHT berarti merupakan konstanta δn. ] %)
\%#) ∑; <$ 9 9 :
(9)
4
Getaran Bebas Pada akustik ruang salah satunya fokus permasalahan adalah pada sinyal yang merupakan variabel dari waktu. Untuk alasan inilah kita sekarang akan membahas sifat-sifat yang tidak tetap dari suatu ruangan tertutup, yaitu pengaruhnya terhadap eksitasi variabel. Prototipe dari sinyal teriksitasi yang tidak tetap mempunyai impuls yang ditunjukkan oleh fungsi Dirac δ(t), dan sinyal keluaran dari sistem yaitu tekanan suara yang diterima pada titik pengamatan merupakan respon impulsnya. Secara formal, dapat dihitung sesuai dengan bagian 2.9 dengan melakukan transformasi Fourier pada fungsi transfer yang diberikan oleh Pers. (9). Sehingga hasilnya adalah 9: ^%() ∑; <$ _ . cos%# ( d ) . 1
(10)
yang dapat diverifikasi dengan transformasi kembali ke dalam domain frekuensi. Itu dibentuk oleh beberapa getaran harmonik yang teredam dengan frekuensi dan fase yang berbeda, dan konstanta δn sebagai ditunjukkan oleh persamaan
"
:
yang berubah menjadi konstanta peluruhan dari
komponen ini. Sebagai contoh seperti gambar impulse response (gambar 3) yang menunjukkan superposisi dari tiga suku dengan jumlah frekuensi yang berbeda, faktor amplitudo Bn, fase sudut dan konstanta peluruhan.
Gambar 3
Respon impuls dari sebuah ruangan yang terdiri dari tiga mode peluruhan.
Getaran parsial dengan kontansa peluruhan terbesar akan hilang pertama kali dari getaran yang digabung, dan respon pada ekornya sebagian besar terdiri dari komponen terkecil dengan peluruhan konstan.
5
Hal-hal ini akan menjadi lebih jelas jika tidak ada peluruhan dari tekanan suara yang dianggap akan tetepi kerapatan energi adalah sebanding dengan kuadrat dari tekanan. Pertama kita mencari dengan menggunakan persmaan (10): ; 9%: j:k ) e^%()f ∑; <$ ∑h<$ g _h . cos%# ( d ) i cos % #h ( dh ). 1
for t ≥ 0
(11)
Berikutnya, beberapa rata-rata waktu singkat dari ekspresi ini dilakukan dengan waktu rata-rata yang jauh lebih lama daripada periode fungsi kosinus. Akan tetapi terlihat lebih kecil dari 1/δn atau 1/δm yang mungkin disebabkan oleh kondisi persamaan (7). Hasil dari fungsi kosinus dapat ditulis sebagai berikut
. +,-e%# #h )( d dh f . +,-e%# #h )( d dh f
(12)
Untuk m ≠ n masing-masing dari istilah ini merupakan fungsi cepat bervariasi dengan nilai mean 0, sehingga akan hilang karena adanya proses rata-ratanya. Satu-satunya pengecualian adalah istilah kedua yaitu untuk m = n yang menjadi ½. Karena itulah rata-rata waktu pendek Pers. (11) menghasilkan ekspresi yang lebih sederhana:
9 : e^%()f . ∑; for t ≥ 0 <$ _ . 1
(13)
Jika konstanta peluruhan tidak terlalu berbeda, maka hal itu dapat digantikan dengan rata-rata SHT. Sehingga kemudian, kerapatan energi di medan suara yang meluruh adalah sebanding dengan kuadrat dari tekanan suara, menjadi l%() l$ 1 9 S:T
for t ≥ 0
(14)
Pada akustik ruangan, proses peluruhan memainkan peranan penting. Proses tersebut disebut gema dan sering kali hal itu mengikuti hukum eksponensial seperti ditunjukkan pada Pers. (14). Biasanya, durasi peluruhan tidak ditandai dengan 1 / SHT, hal itu dikarenakan oleh waktu dengung yang juga biasa disebut waktu peluruhan. Ini adalah waktu di mana kerapatan energi menurun sampai sepersejuta nilai awalnya (lihat Gambar 4). Dari persamaan 109n 1 9 S:To
diperoleh
p
6
Y .qr $ S:T
n.s
O S:T
(15)
Gambar 4
Definisi dari waktu dengung.
Dengan hubungan ini dan nilai numerik dari kecepatan suara pada udara merupakan kondisi penting dari persamaan (8) dapat kita lihat o
K t Ku 2000X[
(16)
Hal ini sering disebut kondisi ‘kamar besar' dan fs dikenal sebagai 'frekuensi Schroeder'.
Sifat-sifat Statistik dari Fungsi Transfer Untuk ruangan yang lebih besar dari kondisi persamaan (16) adalah terpenuhi pada seluruh rentang frekuensi dimanahal pentingnya adalah f dibawah 100Hz. Oleh karena itu yang membatasi kasus 2 dalam bagian 9.5 dapat digunakan untuk tipe dari kebanyakan auditoria, bioskop, runang kuliah, dll. Kemudian persamaan (9) berisi ratusan istilah yang signifikan pada frekuensi yang diberikan di mana perlu dipertimbangkan dalam perhitungan medan suara yang tepat dan benar. Dari sudut pandang praktis ini hal itu sangatlah mustahil, apalagi pengetahuan yang tepat dari fungsi transfer sebuah ruangan adalah digunakan pada praktik yang kecil. Sebaliknya, kita akan mencoba membatasi diskusi untuk menjelaskan sifat-sifat statistik secara umum dari fungsi transfer tersebut, mengikuti ide dari M. R. Schroeder. Pertama-tama kita mempertimbangkan rentang di mana nilai absolut dari fungsi transfer G (ω) bervariasi. Misalkan suatu ruangan diberikan suatu sinyal sinus dengan frekuensi yang bervariasi cukup perlahan untuk memastikan pada kondisi yang tetap. Kemudian tingkat tekanan suara direkam secara
7
bersamaan pada beberapa hasil pengamatan yang disebut dengan sebuah kurva respon frekuensi. Sebuah contoh khusus seperti pada kurva yang ditunjukkan pada Gambar 5. Gambar tersebut detail akan tetapi tidak ditampikan secara umum, tergantung pada ruang tertutup serta posisi sumber suara dan penerima. Ini adalah representasi logaritmik dari nilai absolut dari fungsi transfer ruang G (ω). Seperti ditunjukkan dalam bagian pertama, pada bagian ini bagian nyata G1 serta G2 merupakan bagian imajiner dari fungsi transfer ruangan yang terdiri dari sejumlah besar komponen yang dapat dianggap hampir independen dari satu sama lain. Dalam kondisi ini, teorema limit sentral dari teori probabilitas dapat diterapkan sesuai dengan yang G1 dan G2 mematuhi distribusi normal (distribusi 2 2 Gauss). Kemudian nilai mutlak v\v %\ \ ) w juga merupakan variabel acak, namun mengikuti 1 2 distribusi Rayleigh. Jika kita menunjukkan dengan z nilai absolut dari tekanan suara dibagi dengan ratarata maka kemungkinan untuk bertemu pada beberapa frekuensi (atau di beberapa titik ruang) nilai antara z dan z + dz adalah: .
x%y)zy 1 9.{
/Z
y zy
l|(}
| |
y | |
(17)
Distribusi ini ditunjukkan pada Gambar 6. Ini berarti standar deviasinya adalah
Gambar 5
Kurva respon frekuensi khusus sebuah ruangan (bagian).
Sekitar 67% dari semua nilai yang terletak dalam rentang dari 1 - σz untuk 1 + σz (lihat garis titiktitik). Hal ini sama saja dengan pernyataan bahwa sekitar 67% dari nilai ordinat dari kurva frekuensi yang terdapat dalam sebuah band dengan lebar Z
{ Sy T SyT X. 1 0.523
(18)
8
Selanjutnya, pernyataan tertentu dapat dilakukan pada hasil yang maksimal sepanjang kurva frekuensi. Jadi jarak rata-rata dua maksimal berdekatan (atau minimal) adalah: j$. Y
20 . ,^$ 9$. Y O 10 z
dimana T adalah waktu dengung dijelaskan pada bagian sebelumnya. %∆K)h/ O
Z o
(19)
Menurut distribusi (persamaan 17) tidak ada batas atas untuk tingkat yang terjadi dalam kurva frekuensi, meskipun menghadapi kemungkinan nilai-nilai yang sangat tinggi adalah sangat kecil.
Gambar 6
distribusi Rayleigh (y | |/| |
Sekarang tidak semua nilai-nilai kurva frekuensi independen satu sama lain, bahkan, denominator resonansi pada persamaan (6) dan (9) merupakan penghubung yang kuat yang menghubungkan nilai-nilai fungsi pada frekuensi terdekat satu sama lain. Oleh karena itu bagian terbatas kurva frekuensi dapat diwakili oleh sejumlah pembatas dari sampel yang diambil pada frekuensi berjarak sama. Dalam keadaan seperti ini ada tingkat absolut maksimum yang terjadi pada bagian yang dipertimbangkan, ditandai dengan probabilitas maksimum yang terjadi. Tingginya di atas nilai rata-rata kuadrat dari kurva frekuensi. ∆h/ 4.34 lneln %_p)f z_
(20)
dengan B yang menunjukkan bandwidth dari bagian yang dipertimbangkan dalam satuan Hz. Menurut rumus ini kurva frekuensi sebuah ruangan dengan waktu dengung 2 detik menunjukkan masing-masing 2 Hz adalah nilai maksimum rata-ratanya. Selanjutnya, niai absolut maksimum dalam 9
rentang frekuensi 10 000 Hz lebih nilai rata-ratanya hampir 10 dB. Nilai ini merupakan arti penting bagi kinerja sistem suara di ruang tertutup. Sungguh luar biasa bahwa sifat statistik kurva frekuensi seperti diuraikan sebelumnya adalah sama untuk semua jenis ruangan, yaitu, bahwa mereka tidak mencerminkan kekhususan-kekhususan individual dari ruang terpisah dari waktu dengungnya. Hal ini tampaknya bertentangan dengan pernyataan kita sebelumnya bahwa fungsi transfer dari sistem linier berisi semua sifatnya. Pada kenyataannya, tentu saja ini juga benar untuk sebuah ruangan. Namun, sifat akustik mereka pada sebuah ruangan yang signifikan kita dengar di dalamnya tidak muncul dengan jelas dalam fitur kurva frekuensi, tetapi lebih pada respon impuls.
Referensi : Kuttruff, Heinrich. 2004. Acoustics – An Introduction (Ch.9.5-9.7/p.178 – 188). London & New York : Taylor & Francis Group
10
