2. A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAPJAI

2. A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAPJAI A fejezet röviden összefoglalja a szilárdságtan és a rugalmasságtan alapvető fogalmait, melyek a végeselem módszer felépítéséhez és alkalmazásához nélkülözhetetlenek. A szilárdságtan és a rugalmasságtan alapjainak részletes feldolgozását a [10] tankönyvben is megtalálhatja az érdeklődő.

2.1. Alapfogalmak Testmodell: olyan idealizált tulajdonságokkal rendelkező test, amely a valóságos testnek a vizsgálat szempontjából leglényegesebb tulajdonságait tükrözi. A test lényegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk, a lényegtelennek ítélt tulajdonságokat elhanyagoljuk. Szilárdságtan: a terhelés előtt és után is tartós nyugalomban lévő alakváltozásra képes testek kinematikája, dinamikája és anyagszerkezeti viselkedése. Terhelés: az általunk vizsgált rendszerhez nem tartozó testektől származó ismert nagyságú hatások, amelyek szilárd halmazállapotú testeknél általában felületi érintkezéssel valósulnak meg. Tartós nyugalom dinamikai feltétele: a testre ható erőrendszer legyen egyensúlyi. Tartós nyugalom kinematikai feltétele:

a test megtámasztása ne engedjen meg merevtestszerű elmozdulásokat. Egyensúlyi erőrendszer: az az erőrendszer, amely zérus nyomatéki vektorteret hoz létre. Az egyensúly leggyakrabban használt feltétele: F  0,

M A  0,

ahol F az erőrendszer eredő erővektora és M A az erőrendszer egy tetszőleges A pontra számított eredő nyomatékvektora. Az A pont a test (vagy tér) tetszőleges pontja. Merev test: bármely két pontjának távolsága állandó. Szilárd test: alakváltozásra képes test. Alakváltozás: a terhelés hatására a test pontjai egymáshoz képest elmozdulnak és ezért a test anyagi geometriai alakzatai (hossz, szög, felület, térfogat) megváltoznak. Kinematika a szilárdságtanban: leírja a (terhelés hatására) bekövetkező elmozdulásokat és alakváltozásokat. Dinamika a szilárdságtanban: leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert. Anyagszerkezeti viselkedés: megadja az alakváltozás és a belső erőrendszer közötti kapcsolatot. Rugalmas alakváltozás: a terhelés hatására alakváltozott test a terhelés megszüntetése (levétele) után visszanyeri eredeti alakját. Lineárisan rugalmas alakváltozás: az alakváltozás és a belső erőrendszer között lineáris függvénykapcsolat van. Nem lineárisan rugalmas alakváltozás: az alakváltozás és a belső erőrendszer közötti kapcsolat nem lineáris. Képlékeny alakváltozás: a test a tehermentesítés után nem nyeri vissza eredeti alakját. Kis elmozdulás: a test pontjainak elmozdulása nagyságrendekkel kisebb a test jellemző méreteinél. Kis alakváltozás: a test alakváltozását jellemző mennyiségek lényegesen kisebbek mint egy.   1,   1. Elemi környezet, elemi tömeg: Minden test végtelen sok tömegpontból felépülő rendszernek is tekinthető. A tömegponthoz úgy jutunk, hogy a testet gondolatban végtelen sok kis részre bontjuk.

elemi tömeg

P elemi kocka

P elemi gömb test Tömegpont: a szilárdságtanban egy olyan kis testrész, amelynek méretei a test méreteihez képest nagyon (elhanyagolhatóan) kicsik. A szilárdságtanban a testet alkotó tömegpontokat elemi tömegeknek, vagy elemi környezeteknek nevezzük.

6

Az elemi környezet szilárdságtani állapotait az elemi környezet egy pontjához (a „középpontjához”) kötött mennyiségekkel írjuk le. Ponthoz kötött mennyiségek: - skalár (például tömegsűrűség, alakváltozási energia), - vektor (például elmozdulás, szögelfordulás), - tenzor (például alakváltozási, feszültségi). Elemi környezet szilárdságtani állapotai: - elmozdulási, - alakváltozási, - feszültségi, - energetikai. A test szilárdságtani állapotai: az elemi környezetek szilárdságtani állapotainak összessége. A test szilárdságtani állapotait mezőkkel (terekkel) tudjuk leírni. A mezők megadják a vizsgált mennyiség helytől való függését. Ezek a mezők lehetnek: - skalármezők, - vektormezők, - tenzormezők.

2.2. Szilárdságtani állapotok 2.2.1. Elmozdulási állapot V

z

V

P

u P P

rP

rP x

O

y

Az ábrán folytonos vonallal rajzolt test a terhelés hatására a szaggatott vonallal jelölt helyzetbe kerül. Közben a test P pontja P helyre mozdul el. A P pont elmozdulási állapota: u p  u p ex  v p ey  wp ez .

A test elmozdulási állapota (a test valamennyi P pontjának elmozdulása):

u  r   u  r  ex  v  r  ey  w  r  ez . Itt u  r   u  x, y, z  , v  r   v  x, y, z  és w  r   w  x, y, z  az elmozdulásmező skaláris koordinátái. A továbbiakban feltételezzük, hogy az általunk vizsgált testek csak kis alakváltozást szenvednek.

2.2.2. Alakváltozási állapot Elemi triéder: a P pontban felvett, terhelés előtt egymásra kölcsönösen merőleges ex , ey , ez egységvektor hármas. Az elemi környezet alakváltozása: a terhelés hatására az elemi triéder végpontjainak a merevtestszerű forgáson kívüli mozgása a P ponthoz képest. PABC

PA BC.

7

C

z C 1



  yz 2 1  y

  xz 2 1  x

A

x A A megváltozott hosszak: PA  1   x ,

1  z

1

1   2

B y

B

xy

A megváltozott szögek:

PB  1   y , PC   1   z .

A szögek értelmezéséből következik, hogy  xy   yx ,  yz   zy ,  xz   zx.

   xy , 2    yz , 2    xz . 2

Alakváltozási jellemzők: - fajlagos nyúlások:  x ,  y ,  z , - fajlagos szögtorzulások:  xy ,  yz ,  xz . A fajlagos nyúlások mértékegysége 1 , a fajlagos szögtorzulásokat radiánban mérjük.   0 esetén az egységnyi hossz megnyúlik,   0 esetén az egységnyi hossz megrövidül.  szög nagysága csökken.   0 esetén az eredetileg 2  szög nagysága növekszik.   0 esetén az eredetileg 2 Kis alakváltozás: ha   103  105 ,   103  105. Az alakváltozási tenzor A P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát az alakváltozási tenzor jellemzi egyértelműen. - Diadikus előállítás: A   x ex   y ey   z ez .   x  1 - Mátrixos előállítás:  A    yx 2 xyz   1  zx  2

Az alakváltozási vektor koordinátái:

1  xy 2 y 1  zy 2

1   xz 2   1   yz . 2   z   1 1  x   x ex   yx ey   zx ez , 2 2 1 1  y   xy ex   y ey   zy ez , 2 2 1 1  z   xz ex   yz ey   z ez . 2 2

Az alakváltozási tenzor mátrixának első oszlopában az  x alakváltozási vektor, második oszlopában az  y alakváltozási vektor és harmadik oszlopában az  z alakváltozási vektor koordinátái állnak. Az alakváltozási tenzor ismeretében meghatározhatunk tetszőleges irányokhoz tartozó alakváltozási jellemzőket.

8

Legyen n és m két, egymásra merőleges egységvektor: n  m  1,

n  m  0.

Az n irányhoz tartozó alakváltozási vektor:

 n  AP  n ,

Az n irányhoz tartozó fajlagos nyúlás:

n  n  n  n  AP  n,

Az n és m irányokhoz tartozó fajlagos szögtorzulás:

1 1  nm   mn  m  AP  n  n  AP  m . 2 2 mert AP szimmetrikus

2.2.3. Feszültségi állapot Feszültségvektor:

A test adott metszetfelületén (belső felületén) megoszló belső erőrendszer sűrűségvektora (intenzitásvektora). Jelölése:     r , n  , ahol r a pont helyvektora és n a metszetfelület pontbeli normális egységvektora. Ha P rögzített pont, akkor     n   n és   n   n.

Az ábrán a feszültségvektor összetevői és koordinátái láthatóak.

n jelöli az elemi felület normális egységvektorát, m és l pedig az elemi felület síkjába eső egységvektorok. E három vektor mindegyike egységnyi hosszú: n  m  l  1 , valamint egymásra merőlegesek n  m  m  l  n  l  0 .

n

m

n  mn

P

n ln

n l

A feszültségvektor összetevői (vektor mennyiségek): n   n  n  n, n  n  n n   n  n   n, n ahol  n a normálfeszültség vektor, n pedig a csúsztatófeszültség vektor.

A feszültségvektor koordinátái (skalár mennyiségek): n  n n  n  n, - normálfeszültség koordináta: mn  m n  m  n , - csúsztató feszültség koordináták: ln  l  n  l  n .

Mértékegység: az SI rendszerben N/m2 =Pa, (paszkál) a mérnöki gyakorlatban N/mm2 =MPa , (megapaszkál). A test egy adott pontjában a  feszültségvektor az n lineáris, homogén függvénye:   n   n  F P  n.

A feszültségi tenzor: A P pont elemi környezetének feszültségi állapotát az F P feszültségi tenzor egyértelműen jellemzi (megadja). A feszültségi tenzor diadikus előállítása: F  x ex   y ey  z ez .  x  A feszültségi tenzor mátrixos előállítása:  F     yx xyz   zx 

 xy y  zy

 xz    yz  .  z 

Az x, y, z normálisú síkon ébredő feszültségvektorok koordinátái: x   x ex   yx ey   zx ez ,  y  xy ex   y ey   zy ez , z   xz ex   yz ey   z ez .

9

Előírt irányokhoz tartozó feszültség-koordináták kiszámításához legyen m valamint n két, egymásra merőleges egységvektor: n  m  1 és n  m  0.

n  F P  n ,  n  n  n  n  F P  n , nm  m  n  m  F P  n  n  F P  m. Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek Ha egy e egységvektorra merőleges elemi felületen e  0 és ebből következően e  e e , akkor - az e irány (tengely) feszültségi főirány (főtengely), - e főfeszültség, - az e - re merőleges elemi felület síkja pedig főfeszültségi sík. Megjegyzés: - Minden P pontban létezik legalább három főirány, melyek kölcsönösen merőlegesek egymásra. - A e főfeszültség értéke lehet nulla is. Ekkor e  0 . 1 0 A feszültségi tenzor a főtengelyek koordináta-rendszerében:  F P    0 2 123  0 0 Megállapodás a főfeszültségek sorszámozására: 1  2  3 .

0 0  . 3 

Főtengely feladat  sajátérték feladat

A főirányok és főfeszültségek meghatározása matematikai szempontból egy sajátérték-feladat megoldása. Kérdés: Létezik-e olyan e vektor, amellyel az F feszültségi tenzort megszorozva az e vektorral párhuzamos vektort kapunk eredményül? e  e e ,

 F   I   e  0.

1 0 0  F  e  e I  e , ahol  I   0 1 0  az egység- vagy idemtenzor. 0 0 1 

e

Ez az egyenlet az e egységvektor koordinátáira nézve homogén lineáris algebrai egyenletrendszer. A lineáris, homogén algebrai egyenletrendszer skaláris alakban:  x  e  ex  xy ey  xz ez  0,





 yx ex   y  e ey   yz ez  0,

 zx ex  zy ey   z  e  ez  0. Válasz: létezik legalább három olyan irány, amely eleget tesz a főirányra az előbbiekben megadott feltételeknek. Az egyenletrendszer nem triviális megoldása akkor létezik, ha a det F  e I  0 egyenlet teljesül, azaz

  x  e   yx  zx



 xy y

 e

 zy



 xz  yz

 0.

  z  e 

A determinánst kifejtve és az eredményt átrendezve kapjuk a karakterisztikus egyenletet: 3e  FI e2  FII e  FIII  0.

Ez harmadfokú algebrai egyenlet e - re nézve. Megoldásai a 1 , 2 , 3 főfeszültségek.

10

A karakterisztikus egyenlet együtthatói: FI   x   y   z  1  2  3 , FII 

x  yx

x FIII   yx  zx

 xy  x   y  zx

 xy y  zy

 xz  y   z  zy

 yz , z

 xz  yz . z

FI , FII és FIII a feszültségi tenzor skalár invariánsai. Invariáns: értéke koordináta transzformáció során nem változik meg, koordináta rendszertől független mennyiség. A karakterisztikus egyenletből kiszámított 1 , 2 , 3 főfeszültségeket az egyenletrendszerbe visszahelyettesítve kapjuk az e1 , e2 , e3 főirányokat.

2.2.4. Alakváltozási energia - Fajlagos (egységnyi térfogatra vonatkozó) alakváltozási energia: 1 1 u  r    x   x   y   y   z   z   x  x   y  y   z  z   xy  xy   xz  xz   yz  yz . 2 2





- Test alakváltozási energiája: U 



 udV .



Itt a V a test térfogata.

V 

Matematikai kitérő: tenzorok kétszeres skaláris szorzata: Legyen ismert az A  (a b ) és C  (c d ) tenzor. Kétszeres skaláris szorzat: A C  (a b ) (c d ) Az a -t szorzom skalárisan a c -vel és a b -t szorzom skalárisan a d -vel, majd az így kapott két skalár számot szorzom össze egymással. - Az alakváltozási energia tenzorok kétszeres skaláris szorzatával: 1 1 u  F  A   x e   y ey   z ez   x ex   y ey   z ez  2 2 1 1   x   x   y   y   z   z   x  x   y  y   z  z   xy  xy   xz  xz   yz  yz . 2 2



 











2.3. Rugalmasságtani egyenletek Test szilárdságtani állapotának jellemzői: - u  u  x, y, z  elmozdulási vektormező, - A  A  x, y, z  alakváltozási tenzormező, - F  F  x, y, z  feszültségi tenzormező, - u  u  x, y, z  fajlagos alakváltozási energia (skalár) mező. A továbbiakban azokat az általános összefüggéseket írjuk fel, melyek kapcsolatot teremtenek az előbb felsorolt állapotjellemzők között lineárisan rugalmas alakváltozások esetén. Ezek a rugalmasságtani egyenletek. A rugalmasságtani feladat kitűzése: Adott: - a test méretei és alakja, - a test anyagának viselkedésére jellemző mennyiségek, - a test terhelése és megtámasztása. Keresett: - az u  u  x, y, z  elmozdulási vektormező,

- az A  A  x, y, z  alakváltozási tenzormező,

11

- az F  F  x, y, z  feszültségi tenzormező és - az u  u  x, y, z  fajlagos alakváltozási energia (skalár) mező.

2.3.1. Egyensúlyi egyenletek z

dA

A V

dV

dA

n

dF  F  dA

r

O

dF  qdV y

x

Ragadjunk ki a rugalmas test belsejéből egy olyan V térfogatot, amely teljesen a test belsejében van. A V környezetének mechanikai hatásait erőkkel vesszük figyelembe: - a V elemi térfogatára ható erő: dF  qdV és - a V elemi felületére ható erő: dF  dA  F  n dA dA

A V testrész egyensúlyban van: F  0 

 qdV   F  ndA.

V 

 A

A Gauss (gausz)-Osztrogradszkij -féle integrál-átalakítási tétel szerint: F  ndA  F  dV , 1

2





 A

V 

ahol  a Hamilton3-féle differenciál operátor. A tétel nemcsak  skaláris szorzás, hanem  vektoriális és diadikus szorzás esetén is érvényes. Ezt felhasználva:

0

 q dV   F  dV .

V 

Átrendezve:

V 

  q  F    dV  0 .

V 

Az integrál bármely V térfogat választása esetén nulla, ez pedig csak akkor lehetséges, ha az integrandusz nulla. F   q  0 . Ezt az összefüggést (vektoregyenletet) nevezzük egyensúlyi egyenletnek. Az egyensúlyi egyenletek skaláris alakja DDKR-ben:      x  xy  xz   x   qx  0            yx  y  yz   y    q y   0  .   zx  zy  z     qz  0       z  Elvégezve a szorzásokat az egyensúlyi egyenletek skaláris alakja:  x  xy  xz    qx  0, x y z 1

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus. Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1862) orosz matematikus. 3 William Rowan Hamilton (1805-1865) ír fizikus és matematikus. 2

12

 yx x



 y y



 yz z

 q y  0,

 zx  zy  z    qz  0. x y z Az egyensúlyi egyenletek a térfogati terhelés és a feszültségi állapot közötti összefüggést adják meg.

2.3.2. Kinematikai egyenletek Ez a pont a kinematikai egyenletek kis alakváltozások esetén érvényes alakját vezeti le. uQ  u

A kinematikai egyenletek (geometriai egyenletek, kompatibilitási egyenletek) adják meg az elmozdulásmező és alakváltozási mező közötti kapcsolatot. Az alakváltozási mező koordinátái nem függetlenek egymástól: az elmozdulásmező koordinátáiból származtathatók megadott szabályok szerint.

u

Q uP

dr uP

P

Vizsgáljuk meg az ábrán P -vel jelölt pont elemi környeztében lévő Q pont elmozdulását: dr  dxex  dy ey  dz ez ,

u  u  x, y, z   u( x, y, z) ex  v( x, y, z) ey  w( x, y, z) ez . Az elmozdulásmező hely szerinti megváltozása: u  uQ  uP  u  uP .

Fejezzük ki az előző egyenletből u -t, majd a jobb oldalt fejtsük sorba: u  uP 

u x

dx  P

u y

dy  P

u z

...............

dz  P

.

magasabb rendű tagok

Az elmozdulásmező hely szerinti megváltozása lineáris közelítés esetén:

u  du 

u u u dx  dy  dz . x P e  dr y P z P e  dr ey  dr x z

A jobb oldalon álló tagokból kiemelve r -t: du 

 u  u u ex  ey  ez   dr  D  dr ,  y z  x  D  az elmozdulásmező derivált tenzora

Az elmozdulásmező derivált tenzora: D

u u u ex  ey  ez  u . x y z

A derivált tenzor felbontása szimmetrikus és ferde szimmetrikus részre: D



 



1 1 T T D  D  D  D  A  . 2 2

A szimmetrikus rész a A az alakváltozási tenzor, mely az elemi környezet alakváltozására jellemző. A ferde szimmetrikus rész a  forgató tenzor, amely az elemi környezet merevtestszerű szögelfordulását jellemzi. Az alakváltozási tenzor előállítására szolgáló 1 1 T A  D  D  u    u  2 2





13

összefüggést kinematikai (vagy geometriai) egyenletnek nevezzük. A kinematikai egyenlet ebben a formájában csak kis alakváltozások esetén érvényes. A kinematikai tenzoregyenletnek megfelelő skalár egyenletek:  u v  u  xy   yx    , x  , x  y x   v w   yz   zy    ,  z y  w  u w   xz   zx    z  , . z  z x  A kinematikai egyenletek az elmozdulásmező és az alakváltozási mező koordinátái között teremtenek kapcsolatot.

y 

v , y

2.3.3. Anyagegyenletek - általános Hooke-törvény a) Általános Hooke-törvény izotróp anyagokra Izotróp: az anyagi viselkedés iránytól független. Izotróp anyagokra az általános Hooke4 (huk) törvény két lehetséges alakja: 1       A FI E  , F  2G  A  AI E  . F  2G  1  1  2     A fenti egyenletekben a G csúsztató rugalmassági modulus és a  Poisson-tényező anyagjellemzők, E az egységtenzor, FI a feszültségi tenzor első skalár invariánsa, AI pedig az alakváltozási tenzor első skalár invariánsa: FI   x   y   z , AI   x   y   z .    Az F  2G  A  AI E  tenzoregyenlet az alábbi skalár egyenleteket tartalmazza: 1  2        x  2G  x  x   y  z  , 1  2        y  2G  y  x   y  z  , 1  2       z  2G  z  x   y  z  , 1  2    yz  G yz ,  xz  G xz .  xy  G xy ,













1    FI E  tenzoregyenlet az alábbi skalár egyenleteket tartalmazza: F  2G  1   1    x  x  x   y  z  ,  2G  1   1    y  y  x   y  z  ,  2G  1   1    z  z  x   y  z  ,  2G  1    xy  yz   xy  ,  yz  ,  xz  xz . G G G E A 2G  összefüggés felhasználásával az előbbi egyenletrendszer első három egyenlete átrendezhető: 1  1       1    1 x  x  x   y  z   x  x   y  z   σx - σ y - σz .   2G  1  E  1  E E   E

Az A 



4





Robert Hooke (1635-1703) angol természettudós.

14















 1  x   y  z , E E E   1 z   x   y  z . E E E

Hasonló gondolatmenettel:  y  

Ezt felhasználva az izotóp anyagra vonatkozó Hooke-törvény mátrix alakban is felírható:  1  E      x   E     y     z   E     xy   0   yz        xz   0    0 

vagy tömören

1

  S   C ,

 E 1 E   E 

 E   E 1 E



0

0

0

0

0

0

0

0

1 G

0

0

0

0

1 G

0

0

0

0

 0  0   x    y  0     z    , 0   xy     yz    0    xz   1  G

  C ,

ahol  az alakváltozási jellemzők oszlopmátrixa (oszlopvektora),  a feszültségek oszlopmátrixa (oszlopvektora), S C

1

az anyagjellemzők mátrixa.

b) Általános Hooke törvény ortotróp anyagokra Ortotrópia: az anizotrópia (iránytól függő anyagi viselkedés) olyan speciális esete, amikor az anyag viselkedése egymásra merőleges irányokban vett anyagjellemzőkkel leírható. Ez az eset a műszaki gyakorlatban sokszor előfordul, például egyes szálerősített műanyagok (kompozit anyagok) esetén. 3 A kompozitok többféle, eltérő tulajdonságú anyagból szálak összetett, összeépített anyagok. A kompozitok egy spemátrix ciális fajtája a szálerősített műanyag. A szálerősített műanyagok általában jobb mechanikai tulajdonságokkal rendelkeznek, mint alkotórészeik. Előnyük, hogy lényegesen kisebb önsúly esetén érhető 2 el velük ugyanaz a szilárdság és merevség, mint a ha1 gyományos (pl. acél) szerkezeti anyagoknál. Az ábrán egyirányban futó szálakkal erősített anyag látható. A szálak anyaga lehet pl. grafit, aramid (kevlár), vagy üveg, míg a mátrix (az ágyazó anyag) polimer, kerámia, fém stb. Valóság: a szálak és a mátrix anyaga eltérő tulajdonságú, ezért az anyag nem homogén. Kompozit makroszkópikus mechanikai modellje: homogén, anizotróp anyag. Az anyag az 1, 2,3 irányban különböző tulajdonságokat mutat. Az 1, 2,3 az anyag természetes (szálirányhoz illeszkedő) koordinátarendszere. Az általános Hooke törvény ortotróp anyagra:

15

 1  E  1  12   1   E1     2    13  3   E1    12   0   23       13   0    0  1 vagy tömören   S   C ,

 21 E2



31 E3

0

0

1 E2



 32 E3

0

0

 23 E2

1 E3

0

0

0

0

1 G12

0

0

0

0

1 G23

0

0

0

0





 0    0    1    2  0     3  ,   12  0     23      0   13   1  G13 

  C .

E1 , E2 , E3 az 1, 2,3 irányhoz tartozó rugalmassági modulusok, G12 , G23 , G13 a csúsztató rugalmassági modulusok, 12 , 23 , ... a Poisson tényezők. Pl.: 12 az 1 irányú húzáshoz tartozó 2 irányú nyúlást adja meg. Mivel az U alakváltozási energia mindig pozitív mennyiség, ezért az anyagállandók S  C

1

mátrixa szim-

metrikus. 32  23  21 12  ,  , E2 E1 E3 E2 A lineárisan rugalmas ortotróp E1 , E2 , E3 , G12 , G23 , G13 , 12 , 23 , 13.

Ezért:

13 31  . E1 E3 9 anyag

független

anyagállandóval

jellemezhető:

Kérdés: hogyan írható fel az ortotróp anyagra vonatkozó Hooke törvény az x, y, z KR-ben? 3

1 z

x

O y

2

Erre azért van szükség, mert sok esetben nem az anyag természetes koordinátarendszerében dolgozunk. A feszültségeket és az alakváltozási jellemzőket transzformálnunk kell a megfelelő KR-be. Itt azonban nem a szokásos koordináta transzformációról van szó! Vizsgáljuk meg a feszültségek transzformációját! Pl.: a  n feszültségkoordináta kiszámítása az x, y, z KR-ben vett mennyiségekkel: Az irány egységvektor:

z

n  nx ex  ny ey  nz ez  cos ex  cos ey  cos ez .

n



n  1  cos2   cos2   cos 2 .

O

n  n  F  n  n  n .

x

16





y

 x  n    F  n    yx   zx 

 xy y  zy

 xz   nx    x nx   xy n y   xz nz      yz   n y     yx nx   y n y   yz nz  .  z   nz    zx nx   zy ny   z nz 

n  n  n   x nx2   yx ny nx   zx nz nx   xy nx ny   y ny2   zy nz ny   xz nx nz   yz ny nz   z nz2 .

Az azonos számú vonallal aláhúzott tagokat összevonva:





n   x nx2   y ny2   z nz2  2  xy nx ny   yz ny nz   zx nz nx .

A többi feszültségkoordinátára ugyanez a gondolatmenet érvényes.

2.3.4. Peremfeltételek

n

z

p0

dA

Au Ap O y

x

Az előzőekben felírt tizenöt egyenletből álló differenciál-, illetve algebrai egyenletrendszer egyértelmű megoldásához szükségünk van a peremfeltételek megadására is. Kinematikai peremfeltételek: előírt (ismert) elmozdulás

u  u0

(az Au felületen).

Dinamikai peremfeltételek: előírt (ismert) felületi terhelés F  n  p0 (az Ap felületen).

Az eddigieket összefoglalva a rugalmasságtan egyenletrendszere és peremfeltételei: - F    q  0 egyensúlyi egyenlet (3 db skalár), - A

1  u    u  kinematikai egyenlet (6 db skalár), 2

- A

1    FI E  anyagegyenlet (6 db skalár), F  2G  1  

-u

 u0 kinematikai peremfeltétel (3 db skalár),



Au

- F n



Ap

 p0 dinamikai peremfeltétel (3 db skalár).

Bizonyítható, hogy a rugalmasságtan egyenletrendszerének adott peremfeltételek mellett egy és csak egy megoldása létezik (egzisztencia és unicitás). Egzakt megoldás:

ha a keresett mezők a rugalmasságtan egyenletrendszerének minden egyenletét kielégítik.

Közelítő megoldás: amikor a keresett mezők nem elégítik ki a rugalmasságtan egyenletrendszerének minden egyenletét.

17

A keresett mezők:

- u  u  x, y, z  elmozdulási vektormező, - A  A  x, y, z  alakváltozási tenzormező, - F  F  x, y, z  feszültségi tenzormező.

A fenti egyenletrendszer egzakt megoldásának előállítása a mérnöki problémák túlnyomó többségénél nem lehetséges. Ezért a mérnöki feladatoknál leggyakrabban közelítő megoldások előállításával is megelégszünk.

2.3.5. Kompatibilitási egyenletek A Saint-Venant (sanvenan)-féle kompatibilitási egyenlet: Szorozzuk be a 1 u    u  2 alakban felírt kompatibilitási egyenlet mindkét oldalát jobbról és balról vektoriálisan  -val. Ekkor kapjuk a Saint-Venant5-féle kompatibilitási egyenletet: A

  A    0.

A Saint-Venant-féle kompatibilitási feltétel egyenletei DDKR-ben:  2  xy xy

 2  yz yz





2  2 x   y  , y 2 x 2

 2 y z 2



 2 z , y 2

 2  zx  2  z  2 x  2  2 , zx x z 2  x    xy  zx  yz 2     yz x  z y x

 ,  2  y    yz  xy  zx  2     , zx y  x z y   yz  xy   2 z    2   zx   . xy z  y x z 

5

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) francia fizikus.

18