1A Impedance dvojpólu

1A Impedance dvojpólu Cíl úlohy Na praktických příkladech procvičit výpočty modulů a argumentů impedancí různých dvojpólů. Na základních typech prakticky užívaných obvodů ověřit měřením přímou souvislost mezi impedancí dvojpólu (modulem a argumentem impedance) a odpovídajícími časovými průběhy napětí a proudu. Ukázat souvislost mezi časovými průběhy a fázory, používanými při analýze obvodů v harmonickém ustáleném stavu symbolickou metodou.

Úkol

Zobrazte vzájemné poměry napětí a proudů zadaných dvojpólů a jejich kombinací. Ze zobrazených fázorů napětí a proudu spočtěte hodnoty impedancí dvojpólů. Ze zadaných parametrů prvků vypočtěte teoretické hodnoty impedancí dvojpólů.

Teoretický úvod Symbolický počet, fázory V lineárních obvodech, které jsou buzeny zdroji harmonického napětí a proudu stejného kmitočtu, dochází po odeznění přechodných dějů vyvolaných připojením zdrojů k harmonickému ustálenému stavu (HUS), při kterém všechny obvodové veličiny (napětí i proudy) mají harmonický časový průběh s konstantní amplitudou. Harmonicky proměnnou veličinu (napětí, proud) je možno popsat pomocí funkce sinus nebo kosinus. Okamžitou hodnotu časového průběhu harmonického napětí s periodou T (obr. 1) můžeme psát u ( t ) = U m ⋅ sin (ωt + ψ ) ,

(V)

(2) obr. 1 Harmonické napětí

kde je Um ...................... amplituda, ω = 2π/Τ = 2π f .. úhlový kmitočet, ωt + ψ ................ fáze, ψ ........................ počáteční fáze.

(V) (rad/s) (rad) (rad)

Stejný průběh můžeme rovnocenným způsobem popsat pomocí funkce kosinus π⎞ ⎛ u ( t ) = U m ⋅ cos (ωt + ψ ′ ) = U m ⋅ cos ⎜ ωt + ψ − ⎟ . 2⎠ ⎝

(V)

(3)

Jestliže necháme v komplexní rovině rotovat vektor (představující například napětí) rovnoměrným kruhovým pohybem, jeho průmět do svislé (tj. imaginární) osy reprezentuje harmonicky proměnný průběh (obr. 1), který je popsán vztahem (2). Využití těchto rotujících vektorů přináší značné zjednodušení při analýze elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Vzájemné postavení vektorů velmi názorně ukazuje fázové poměry mezi napětími a proudy, proto se popisované rotující vektory v elektrotechnice nazývají fázory. Rotující fázor u(t), který může (svým průmětem) zastupovat okamžitou hodnotu skutečné harmonicky proměnné veličiny, se nazývá komplexní okamžitou hodnotou nebo též komplexorem. Modul této komplexní veličiny je roven amplitudě Um a argument je roven fázi (ω t+ψ ).

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Reálnou složku komplexoru (jeho průmět do reálné osy) u ′ a imaginární složku komplexoru (jeho průmět do imaginární osy) u ′′ můžeme zapsat u ′ = Re {u ( t )} = U m cos (ωt + ψ ) ,

(V)

(4)

u ′′ = Im {u ( t )} = U m sin (ωt + ψ ) .

(V)

(5)

(V)

(6)

V souladu s Eulerovým vztahem můžeme proto rotující fázor (komplexor) zapsat u ( t ) = u ′ + ju ′′ = U m ⋅ e jωt = U m ⋅ e jψ ⋅ e jωt = U m ⋅ e j(ωt +ψ ) .

Im

ωt

u(t)

u’’

Um

ψU

0 u’

T/2

T

t

Re

T

ψU ω obr. 2 Vztah mezi fázorem (komplexní rovina) a okamžitým průběhem (časová rovina) harmonického napětí Důležitější než okamžitá hodnota je pro praxi amplituda a počáteční fáze sledované veličiny, kterou vyjadřuje fázor maximální hodnoty U m = U m ⋅ e jψ .

(V)

(7)

Jak je vidět z obr. 2, je tento fázor totožný s rotujícím fázorem v okamžiku t = 0. V elektrotechnických aplikacích často pracujeme s efektivními hodnotami veličin, proto zavádíme fázor i v měřítku efektivních hodnot. Pro fázor efektivní hodnoty platí U = U ⋅ e jψ =

Um 2

⋅ e jψ =

Um 2

.

(V)

(8)

Fázory jsou používány jako symboly, které při analýze HUS zastupují skutečné fyzikální veličiny. Proto bývá tato metoda analýzy označována jako symbolická metoda. Při matematických operacích v komplexní rovině můžeme fázory vyjádřit pomocí komplexních čísel. Ze známé hodnoty fázoru můžeme zjistit okamžitou hodnotu časového průběhu u ( t ) = Im {U m ⋅ e jωt } .

(V)

(9)

Poznámka: Rotující fázor (komplexor) budeme v textu označovat malým tučným písmenem u(t), i(t), fázory velkým tučným písmenem U, I, Um, Im, jejich absolutní velikosti (moduly) velkou kurzivou Um, Im. Při ˆ ). manuálním zápisu se fázory označují velkými písmeny s pomocnými znaky (nejčastěji stříškou - U


Impedance

Pro základní lineární obvodové prvky v harmonickém ustáleném stavu platí mezi amplitudami, mezi efektivními hodnotami a také mezi komplexory a fázory napětí a proudu lineární závislost obdobná Ohmovu zákonu pro okamžité hodnoty napětí a proudu u rezistoru. Zatímco u rezistoru je touto konstantou úměrnosti R, u induktoru je to jωL a u kapacitoru 1/jωC. Vztahy mezi jednotlivými veličinami pro základní obvodové prvky spolu s časovými i fázorovými diagramy ukazuje přehledně tab. 1. tab. 1 Vztahy mezi napětím a proudem a jejich fázorové i časové průběhy pro základní obvodové prvky R, L, C

Prvek

Časová oblast Okamžité hodnoty

Časový diagram

Oblast komplexní proměnné Fázorový diagram

Fázory

Im

Im

R ϕ =0

Um = ZR ⋅ Im u (t ) = R ⋅ i (t )

()

L

Um

ZR = R

Re

() Um

L

u (t ) = L

ψ U =ψ I

0

di ( t )

Um = ZL ⋅ Im

dt

Z L = jω L

ϕ=

1 u ( t ) = ∫ i ( t ) dt C

Im

ψI

Um

π 2

Im

U m = ZC ⋅ I m ZC =

2

ψU

ϕ= −

C

π

ψI

ψU

1 jω C

Lineární závislost mezi fázory amplitud napětí a proudu platí i pro obecný lineární pasivní dvojpól složený z libovolné kombinace základních obvodových prvků – příklad obr. 3. Obecně tedy můžeme pro všechny obvodové prvky včetně jejich kombinací vyjádřit konstantu úměrnosti ve vztazích mezi fázory jako komplexní číslo Z, jehož absolutní velikost (modul) udává střídavý odpor prvku a argument udává fázový posun mezi napětím a proudem na prvku. Tato konstanta úměrnosti Z se nazývá impedance nebo obecný komplexní odpor, má rozměr odporu – Ohm (Ω). Vztah mezi fázory napětí a proudu Um = Z ⋅ Im , U = Z ⋅ I

(V)

se nazývá zobecněný Ohmův zákon pro fázory. Po dosazení za fázory napětí a proudu podle (7) je


(10)

Z=

U U m U m j(ψ U −ψ I ) = = ⋅e = Z ⋅ e jϕ . Im I Im

(Ω)

(11)

Modul impedance Z tedy představuje poměr amplitud (nebo efektivních hodnot) napětí a proudu a její argument pak fázový posun ϕ mezi napětím a proudem ( ϕ = ψ U −ψ I ) na uvedené impedanci Z. Reálná část impedance se nazývá činná složka (rezistance), imaginární část jalová složka (reaktance); udávají se v ohmech. Pojem impedance je v obvodech harmonického ustáleného stavu natolik běžný, že je jím označován také abstraktní idealizovaný obvodový prvek (ve skutečnosti dvojpól vytvořený kombinací základních obvodových prvků R, L, C), s obecnou hodnotou modulu i fáze impedance Z. Význam pojmu obecné impedance dokresluje obr. 3, představující obecnou impedanci a její fázorový a časový diagram napětí a proudu.

obr. 3 a) Obecný dvojpól

b) Fázorový diagram

c) Časový diagram

Impedanci (11) můžeme vyjádřit jako komplexní číslo též ve složkovém tvaru Z = R+ jX .

(Ω)

(12)

Kromě impedance zavádíme také admitanci. Je to převrácená hodnota impedance a považujeme ji za zobecněnou vodivost Y = 1/Z; má rozměr vodivosti - Siemens (S). Impedance a admitance (souhrnně označované jako imitance – impedance + admitance) jsou základními parametry dvojpólů komplexně popisující jejich chování v HUS.

Domácí příprava

Do tab. 2. vypočítejte pro každý z dvojpólů z hodnot jeho obvodových prvků teoretickou hodnotu modulu a fáze impedance Zteor. Při výpočtu teoretické hodnoty impedance se vychází z impedancí Z základních obvodových prvků R, L, C uvedených v tab. 1. Impedance se při sériovém řazení dvojpólů sčítají; při paralelním řazení dvojpólů se sčítají jejich admitance Y (Y = 1/Z). Pro sériové spojení induktoru a rezistoru platí: Z = R + jω L ,

Z = R 2 + (ω L ) , ϕ = arctan 2

ωL R

(Ω)

(13)

(Ω), (°)

(14)

(Ω)

(15)

Pro sériové spojení kapacitoru a rezistoru platí: Z = R+

1 , jω C


Z = R 2 + (ω C )

−2

, ϕ = arctan

−1

ω RC

(Ω), (°)

(16)

Připravte si tabulku pro zakreslení časových průběhů i fázorů napětí a proudů pro všech pět měřených dvojpólů (R1, C2, L3+RL, L4+R4, C5+R5) podle vzoru v tab. 3.

Pracovní postup Podle zapojení na obr. 4 napájí generátor napětím UG sériovou kombinaci měřeného dvojpólu Z a snímacího rezistoru RS. Napětí na rezistoru je úměrné proudu měřeným dvojpólem IZ a je s ním ve fázi UA = RS·IZ. Ze schématu plyne vztah pro proud dvojpólem Z IZ =

UG U = A. Z + RS RS

(A)

(17)

(A)

(18)

Pro hodnotu impedance měřeného dvojpólu platí Z=

UB , IZ

hodnotu modulu a fáze impedance můžeme vypočítat z naměřených velikostí a fázových posuvů napětí UA a UB, přičemž vyjdeme z toho, že napětí UA má nulovou počáteční fázi: Z= Z =

UB IZ

=

UB ⋅ RS , UA

arg {Z} = arg {U B } .

(Ω)

(19)

(°)

(20)

obr. 4 Princip měření impedancí


obr. 5 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření impedancí a)

Zapojte pracoviště podle schématu obr. 5. Generátor připojte na svorky přípravku Gen A a Gen B. Analogový vstup A připojte ke snímacímu rezistoru RS (svorky +IN A a –IN A), k propojení použijte žlutou dvojlinku, pozor na polaritu vstupu značenou + a -. Analogový vstup B připojte modrou dvojlinkou ke svorkám měřených impedancí označeným +IN B a –IN B. Zapněte napájecí zdroj pracoviště.

b) Na přípravku generátoru Function generator stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet 1 kHz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu 1 V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT). c)

Spusťte obslužný program RC2000. Z výběru programů zvolte Oscilloscope. Stiskem tlačítka Phasor zapněte zobrazování fázorů měřených napětí. Stiskem tlačítka Cursor v sekci Function zvolte zobrazování hodnot fázorů. Nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A: ±200 mV, rozsah zobrazení kanálu B: ±1 V (Gain pomocí tlačítek cd), průměrování vypnuto (Average: off). Rozsah časové osy (Time pomocí tlačítek W X) nastavte tak, aby byly zobrazeny časové značky 0,5 a 1 ms.

d) Propojovací svorkou zapojte na přípravku první z měřených dvojpólů Z1. e)

Stiskem virtuálního tlačítka Single spusťte měření. Zobrazí se fázory naměřených napětí a odpovídající harmonické časové průběhy. Žlutá křivka odpovídá proudu dvojpólem (napětí na snímací odporu RS), modrá křivka je napětí na měřeném dvojpólu. Při uvedeném nastavení má žlutá křivka nulovou počáteční fázi.

f)

Do tab. 2 zapište amplitudy obou zobrazených křivek a fázový posun modré křivky - hodnoty se zobrazují v tabulce Cursor – Phasors. Do připravené tabulky (vzor tab. 3) si zakreslete průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a jim odpovídající fázory.


g) Propojovací svorkou zapojte na přípravku další z měřených impedancí. Postup podle bodů e) a f) opakujte i pro dvojpóly Z2 až Z5. Všímejte si souvislostí mezi časovými průběhy a fázory napětí a proudu. h) Měření ukončete (Exit).

Zpracování tab. 2 Impedance měřených dvojpólů

Měřeno

i)

UB

Vypočteno z měř. hodnot Z ° Ω (19) (20)

Vypočteno z prvků Zteor ° Ω (13) až (16)

UA mV

V

°

R1

92

0,91

0

989

0,0

1000

0,0

C2

129

0,99

270

767

-90,0

758

-90,0

L3 + RL

206

0,96

84,6

466

84,6

474

83,9

L4 + R4

144

0,88

34,8

611

34,8

608

34,7

C5 + R5

76

0,94

324

1237

-36,0

1234

-35,9

Poznámky RS = 100 Ω UG = 1 V f = 1000 Hz R1 = 1 kΩ C2 = 210 nF L3 = 75 mH RL = 50 Ω L4 = 55 mH R4 = 500 Ω C5 = 220 nF R5 = 1 kΩ

Vypočtěte impedanci dvojpólů Z - modul (19) a fázi (20), fázi podle potřeby přepočítejte odečtením 360° tak, aby její hodnota byla v intervalu <-90°, 90°>.

Příklad výpočtu (pro L3+RL) Z= Z =

UB IZ

=

UB 0,96 ⋅ RS = 100 = 466 Ω UA 0, 206

arg {Z} = arg {U B } = 84, 6° Z teor = jω L3 + RL = j2π103 ⋅ 75 ⋅10−3 + 50 = 474 83,9° Ω

Seznam přístrojů

Přípravek s impedancemi (R, C, L, RL, RC) Měřicí systém RC 2000 (funkční generátor, A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC


Závěr tab. 3 Vzor tabulky pro zobrazení napětí a proudů měřených dvojpólů

Dvojpól

Časový průběh

Fázorový diagram U a I

IR UR

IC -90

UL

UC

84,6

IL

UR 34,8

L

IRL


IRC -36

U

RC

Porovnejte hodnoty impedancí všech dvojpólů zjištěné měřením s hodnotami teoretickými, viz tab. 2.

Rozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle významnosti vlivu): • nepřesným měřením napětí UA a UB • tolerancí hodnot prvků impedancí (na přípravku jsou uvedeny zaokrouhlené hodnoty). Porovnejte průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a odpovídající fázory z tab. 3 s teoretickými z tab. 1. U prvků R a C odpovídají experimentálně zjištěné fázorové diagramy ideálním prvkům. Naproti tomu u reálné cívky vlivem nenulového odporu vinutí (RL) není fázový posun +90 stupňů, ale je menší.

Stručné shrnutí Impedance vypočtené ze zadaných parametrů obvodu umožňují efektivní analýzu střídavých obvodů v HUS. Charakter impedance dvojpólu odráží bezprostředně jeho chování jak v časové oblasti (fázový posun napětí a proudu), tak i při změnách kmitočtu. Vlastní měření ukazuje i na rozdíl mezi vlastnostmi ideálních a reálných obvodových prvků, představuje způsob praktického vyšetření hodnot modulu a fázového posunu impedance libovolného neznámého dvojpólu. V úloze byla ukázána souvislost zobrazení hodnot napětí a proudů v časovém průběhu i fázorové rovině.


1A Impedance dvojpólu

Recommend Documents