15. Notasi Penjumlahan

15. Notasi Penjumlahan Dalam statistika kita sangat sering menjumlahkan bilangan yang banyak. Misalnya, kita mungkin akan menghitung harga rata-rata pasta gigi merk tertentu yang dijual di sepuluh toko yang berbeda; atau mungkin pula kita ingin mengetahui berapa kali sisi muka muncul bila tiga keping mata uang ditos beberapa kali. Perhatikan sebuah percobaan yang mengamati turunnya bobot badan selama periode 6 bulan. Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika nilai pertama kita lambangkan dengan x1, yang kedua x2, dan demikian seterusnya, maka kita dapat menuliskan x1 = 15, x2 = 10, x3 = 18, dan x4 = 6. Dengan menggunakan huruf Yunani  (sigma kapital) untuk menyatakan “penjumlahan”, kita dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot tersebut sebagai:

yang kita baca “penjumlahan xi, i dari 1 sampai 4.” Bilangan 1 dan 4 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas penjumlahan. Oleh karena itu

Begitu pula:

Secara umum, lambang berarti kita menggantikan i— yang berada di belakang lambang penjumlahan—dengan 1 kemudian dengan 2, dan demikian seterusnya sampai dengan n, dan kemudian menjumlahkan semua suku-suku tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan

Untuk subskrip dapat digunakan huruf sembarang, walaupun tampaknya i, j, dan k lebih disukai para statistikawan. Jelaslah bahwa

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 1

Batas bawah penjumlahan tidak harus berupa subskrip. Misalnya, jumlah sembilan bilangan asli pertama dapat dituliskan sebagai

Bila kita menjumlahkan untuk semua xi yang ada, kedua batas penjumlahan sering dihilangkan, kita cukup menuliskan  xi. Jika dalam percobaan diit yang disebutkan di atas hanya digunakan 4 orang, maka  xi = x1 + x2 + x3 + x4. Bahkan beberapa pengarang lebih ekstrem lagi dengan tidak menggunakan subskrip dan menuliskan  x untuk menyatakan jumlah semua data yang ada. Contoh 1: Jika

,

, dan

tentukanlah:

a) b) c) Penyelesaian: a) b) c)

Contoh 2: Misalkan diketahui

,

,

,

,

, dan

Maka hitunglah: a) b) Penyelesaian: a) b)


Tiga dalil berikut memberikan aturan dasar yang berhubungan dengan notasi penjumlahan. Dalil 1: Penjumlahan jumlah dua atau lebih peubah sama dengan jumlah masing-masing penjumlahannya. Jadi:

Bukti:

Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian mengelompokkan kembali, kita memperoleh

Dalil 2: Jika c adalah suatu kinstanta, maka

Bukti:

Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian memfaktorkannya, kita memperoleh

Dalil 3: Jika c adalah suatu konstanta, maka

Bukti:

Jika dalam Dalil 2, semua xi sama dengan 1, maka

Contoh 3: Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 3

Jika diketahui

,

,

, dan

, maka hitunglah nilai

Penyelesaian:

Contoh 4: sederhanakan

Penyelesaian:


Tidak jarang kita menghadapi data yang diklasifikasikan menurut dua kriteria. Misalnya, xij melambangkan banyaknya gas yang dihasilkan jika suatu percobaan kimia tertentu dilakukan pada taraf suhu ke-i dan taraf tekanan ke-j. Untuk menjumlahkan data yang demikian, sangat memudahkan bila kita menggunakan notasi penjumlahan ganda. Lambang

berarti pertama-tama kita menjumlahkan menurut subskrip j, dengan mengikuti aturan penjumlahan tunggal, dan kemudian melakukan penjumlahan kedua dengan i mengambil nilai dari 1 sampai m. Dengan demikian, untuk data dalam tabel berikut,

tekanan 1

2

3

4

1 suhu 2 kita memperoleh

Begitu pula, jika f(xi,yi) menyatakan buku dari penerbit xi di universitas yi, maka

melambangkan penjualan total buku-buku dari tiga penerbit tertentu di dua universitas tertentu.

Referensi: Walpole, Ronald E. (1997). Pengantar Statistika, Edisi ke-3. Jakarta: Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, halaman: 12-17.







Referensi: Olson, Chester L. (1987). Statistics Making Sence of Data. USA: Allyn and Bacon, Inc. Wells Avenue, Newton, Massachusetts, halaman: 10-16.


15. Notasi Penjumlahan

Recommend Documents