1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kapitole se dozvíte: •
co rozumíme algebraickým výrazem;
•
jak jsou definovány zlomky a jaké základ ní op erace s n imi prov á díme;
•
jak je definována funkce absolu tní hodnota v reálném obo ru a ja k é jso u její vlastnosti.
Klíčová slova této kapitoly: algebraický výraz, zlomek, složený zlomek, reálná absolutní hodnota.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,25 + 0 ,5 hodin y (teo rie + řešení p říkladů)
Poznámka. Dělení čísel na přirozená (značíme N), celá (Z), racionální (Q), iracionální (I), reálná (R) a komplexní (C) pokládáme za známé ze střední školy, stejně jako základní vlastnosti sčítání a násobení (komutativnost, asociativnost, distributivnost násobení vzhledem ke sčítání apod.) Definice. Algebraickým výrazem v reálném oboru rozumíme výraz vzniklý z reálných čísel, proměnných a pomocných symbolů (např. závorek) těmito operacemi: sčítáním, násobením, odečítáním, dělením, absolutní hodnotou, obecnou mocninou a odmocninou. Poznámka. V komplexním oboru k uvedeným algebraickým operacím přidáváme ještě tzv. komplexní sdružení. Zlomky. Definice. a , b ≠ 0 . Při provádění b úprav výrazů se zlomky je nutné mít na paměti, že není definováno dělení nulou.
Zlomek je určitý druh zápisu podílu dvou čísel či výrazů: a : b =
Rozšiřování zlomků. Jedná se o současné vynásobení čitatele i jmenovatele stejným, od nuly různým číslem: a a⋅c = ; b, c ≠ 0 . b b⋅c Krácení zlomků. Inverzní operace k rozšiřování zlomků; současné dělení čitatele a jmenovatele číslem různým od nuly: a⋅c a = ; b, c ≠ 0 . b⋅c b Sčítání a odčítání zlomků. Nejprve zlomky převedeme na společný jmenovatel, který můžeme vždy volit jako součin obou jmenovatelů (v praxi stačí nejmenší společný násobek) a pak v čitateli sčítáme či odečítáme: a c ad ± cb ± = ; b, d ≠ 0 . b d b⋅d Násobení zlomků. Násobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou: a c a⋅c ⋅ = ; b, d ≠ 0 . b d b⋅d Dělení zlomků. Dělení zlomků převedeme na součin zlomků pomocí jednoduché poučky, že dělit zlomkem znamená násobit zlomkem převráceným:
a c a d a⋅d : = ⋅ = ; b, c, d ≠ 0 . b d b c b⋅c Složený zlomek. Jedná se o zlomek, v jehož čitateli nebo jmenovateli se vyskytuje další zlomek. Zlomková čára vnějšího zlomku se nazývá hlavní zlomková čára a je zpravidla o něco delší než zlomková čára zlomků v čitateli a jmenovateli; v rovnici se píše na úrovni znaménka „=“. Věta. Pro každé a, b, c, d ∈ R, b, c, d ≠ 0 platí: a a a c a d a ⋅ d a a a⋅d b = : = ⋅ = , speciálně b = , = . c b d b c b⋅c c c b⋅c c d d Absolutní hodnota. Definice. Absolutní hodnota reálného čísla a se značí a a je definována takto: pro a ≥ 0 je a = a , pro a < 0 je a = − a . Věta. Pro každé a, b ∈ R platí: a) a ≥ 0 , tzn. absolutní hodnota je vždy nezáporná; b) a = −a ; a ⋅ b = a ⋅ b ; c)
a a = , b≠0; b b
a + b ≤ a + b , tzv. trojúhelníková nerovnost.
Poznámka. Absolutní hodnota udává vzdálenost argumentu od počátku (od čísla nula).
Shrnutí kapitoly: Mezi základní algebraické výrazy patří zlomky. Zlomek je speciální zápis podílu dvou čísel. Základními operacemi se zlomky jsou rozšiřování, krácení, sčítá ní, odčítání, násobení a dělení zlomků. Důležitou pomocnou operací je převádění zlomků na společný jmenovatel. Složeným zlomkem definujeme zlomek, který má v čitateli nebo jmenovateli jiný zlomek. Zlomková čára vnějšího zlomku se nazývá hlavní zlomkovou čarou. Funkci absolutní hodnota v reálném oboru definujeme jednoduše tak, že pro nezáporný argument je funkční hodnota rovna tomuto argumentu, pro záporný argument jeho opačné hodnotě. Geometricky představuje absolutní hodnota nějakého čísla jeho vzdálenost od počátku (tj. od čísla nula).
Otázky: •
Definujte algebraický v ýraz v reáln ém o bo ru.
•
Co jsou to zlo mk y? Jak é základní o perace se zlo mk y znáte?
•
Jak se převádí zlomky na společn ý jmenovatel a kdy je to potřeb a?
•
Co je to slo žený zlo mek a jak se zn ačí?
•
Jaká je definice funkce absolu tní h odnota v reálném obo ru?
•
Jaké má ab solu tní hodn ota zák ladní vlastno sti? Může být zápo rná?
Příklad 1: Převeďte na jednoduchý zlomek: y x 3π 2π a a −b − − 3 , b) x y ; c) 4a − 8a ; d) a − b + a . a) 4 5 1 1 b b−a b a + 2b − 6 2 x+ y b−a b
Příklad 2: Vypočtěte absolutní hodnotu výrazu: a) 4 , b) −3 ; c) 23 − 32 ; d) −1 − −2 .
Řešení příkladů:
( y − x ) ⋅ ( x + y ) , x, y ≠ 0, x ≠ − y ; π 4a 2 1a) ; 1b) ; 1c) 4 xy b ( a + 2b ) 2
1d) −
a 2 + b2 , a, b ≠ 0, a ≠ b . ab
2a) 4; 2b) 3; 2c) 1, 2d) 1. Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
