1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

Obsah 1.

2.

3.

Pojmy ................................................................................................................................................................................................................. 2 1.1.

Formule výrokového počtu ..........................................................................................................................................................2

1.2.

Množina .................................................................................................................................................................................................3

1.2.1.

Operace s množinami ...........................................................................................................................................................3

1.2.2.

Relace ...........................................................................................................................................................................................3

Číselné obory ................................................................................................................................................................................................. 5 2.1.

Uzavřenost množiny na operaci .................................................................................................................................................5

2.2.

Rozšíření reálných čísel ..................................................................................................................................................................5

2.3.

Suprema a infima v ℝ* ...................................................................................................................................................................5

Funkce (zobrazení) ..................................................................................................................................................................................... 7 3.1. 3.1.1. 3.2. 3.2.1. 3.3.

Definiční obor zobrazení ................................................................................................................................................................7 inverzní zobrazení .................................................................................................................................................................8 Monotónie funce ................................................................................................................................................................................8 Monotónie v krajních bodech funkce ............................................................................................................................9 Lokální extrémy .............................................................................................................................................................................. 10

1

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Induktivní definice platné formule výrokového počtu: a) každá výroková proměnná je formule b) jsou-li A a B formule, jsou i A, A∧B, A∨B, A⇒B, A⇔B formule

      Platná formule výrokového počtu musí mít konečný počet proměnných INDUKTIVNÍ DEFINICE Definice dobře uspořádané množiny, v níž jsou rozlišitelné výchozí prvky a prvky získané. Induktivní definice z výchozích prvků musí generovat (vymezit) danými operacemi všechny předměty této množiny a pouze tyto předměty. Tautologie: je to formule výrokového počtu, která má vždy pravdivou hodnotu (1) bez ohledu na vstupní proměnné. Α ∨ A ZÁKON VYLOUČENÉHO TŘETÍHO Právě žádná třetí možnost není. Α ∨ A Kontradikce: je to formule výrokového počtu, která má vždy nepravdivou hodnotu (0) bez ohledu na vstupní proměnné.) A ∧ A

OBOR PRAVDIVOSTI Obor pravdivosti je množina, na níž platí, že výrok A(a) je pravdivý. DEFINIČNÍ OBOR Je množina, na níž platí, že A(d) je výrok. PRECEDENCE OPERÁTORŮ Je přednost operátorů. Klesá právě v tomto pořadí A, A∧B, A∨B, A⇒B, A⇔B Příklad 1.: Je výroková forma „x >5“ ? Ne, není to výroková forma, výrokový forma by to byla, kdybychom napsali x  R : x > 5 Příklad 2.: Je pravdivý výrok x  R n  N  : x  n ?

Abychom zjistili pravdivost výroku, musíme ho negovat x  R n  N  : x  n to znamená

x  R

n  N  : x  n a to je pravda.

2

1.2. MNOŽINA ∘ Je to soubor prvků, které zapisujeme  Výčtem prvků {1; {2;3}}  Vlastností x  ∅: x > 5  Předdefinované množiny ℝ,ℤ,… a její podmnožiny (intervaly) ∘ Zápis čísla  Číslo nula zapisujeme ∅  Číslo 1 zapisujeme {∅}  Číslo 2 zapisujeme {∅;{∅}}

1

2; 3

INTERVAL Je s každými dvěma prvky, mezi nimiž je alespoň jeden.

1.2.1.

OPERACE S MNOŽINAMI

Sjednocení množin: A  B  x ; x  A  x  B Průnik množin: A  B  x ; x  A  x  B Rozdíl množin: A\ B  x ; x  A  x  B

Příklad 3.: Je výroková forma x  ∅: x > 5 pravdivá? platí, protože ( x  ∅: x > 5) je ( x  ∅: x ≤ 5)

1.2.2.

RELACE

Podmnožina A  B  x  A : x  B  nebo x  A  x B

Vlastní podmnožina A  B Rovnost množin A  B  A  B  B  A Uspořádaná dvojice a; b  a; a , b , kde nám prvek a v množině {a;b} říká, který z prvků je první v pořadí. Příklad 4.: Zapište množinu A{2;{1;2}} jako uspořádanou dvojici. A[2;1] protože 2 určuje, že je první prvek z množiny {1;2} Uspořádaná trojice a; b; c   a; b; c  Kartézský součin A x B je množinou všech uspořádaných dvojic tak, že prvek z A je prvkem z B A x B, kde A (x;y;z) a B(1;2;3) 1 2 3 x (x;1) (x;2) (x;3) y (y;1) (y;2) (y;3) z (z;1) (z;2) (z;3)

3

Příklad 5.: Geometrický význam kartézského součinu {1;2}x{3;4}={[1;3];[1;4];[2;3];[2;4]}

4

2. ČÍSELNÉ OBORY ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ⊂ℍ

2.1. UZAVŘENOST MNOŽINY NA OPERACI Řekněme, že podmnožina M⊂A je uzavřená na operaci vůči algebraické operaci * , pokud tato operace * vrátí hodnotu z M, kdykoliv její argumenty patří do M. ∘ Přirozená čísla ℕ  Uzavřená na sčítání a násobení  Nejsou uzavřená na odčítání a dělení ∘ Celá čísla ℤ  Uzavření na sčítání, odčítání a násobení  Nejsou uzavřená na dělení ∘ Racionální čísla ℚ  Uzavřená na sčítání, odčítání, násobení a dělení  Nejsou uzavřená na dělení nulou  Iracionální čísla tvoří větší část než racionální, někdy je značíme 𝕀ℚ » Nejsou uzavřená na sčítání » π, e  Neřešitelnost  x , x  Q : x  0 ∘ Reální čísla ℝ  Uzavřená na sčítání, odčítání, násobení a dělení  Nejsou uzavřená na suprema a infima, nedělitelnost nulou ∘ Komplexní čísla ℂ  Je to nejmenší podmnožina řešitelnosti kvadratických rovnic  Čísla nejsou uspořádána (nelze je uspořádat) ∘ Kvaterniony ℍ  Mají 4 prvky (souřadnice)  Není komutativní  Je asociativní

2.2. ROZŠÍŘENÍ REÁLNÝCH ČÍSEL Definice: ℝ*=ℝ{} pro xℝ: -<x<+  -<+ ∘ Z vlastnosti xℝ: -<x<+  -<+ plyne tranzitivita ∘ Číselné operace dodefinujeme v analýze I.

2.3. SUPREMA A INFIMA V ℝ* Supremem x je horní závora množiny M, pokud  mM: m ≤ x ∘ Pro každou množinu ℝ* existuje supremum i infimum ∘ Pokud supremum patří do množiny, pak je to maximum množiny Příklad 1.: Určete, pokud existuje, supremum, infimum, maximum a minimum množiny ℕ+. Supremum ℕ+ →  Infimum ℕ+ → 1 Maximum ℕ+ → neexistuje (protože  není konkrétní číslo) Minimum ℕ+ → 1

5

Příklad 2.:

1  Určete supremum, infimum, maximum a minimum množiny M  ; n  N  pokud existuje. n  Supremum M → 1 = maximum Infimim M → 0 Minimum M → neexistuje 1 n : 0    n důkaz (negací) 1 n



Příklad 3.:

Příklad 4.:

1 1 2 1 2 3  Charakterizujte prvky množiny M   ; ; ; ; ; ;... a určete supremum, infimum M. 2 3 3 4 4 4  infimum ℚ (0,1) supremum → 1 infimum → O Určete supremum a infimum množiny M⊂ℝ, M   1  m; m  M supremum M‘ → 1-infimum M infimum M‘ → 1 – supremum M v případě, že by to bylo 1+m, pak by supremum bylo 1 + infimum M a infimum M‘ by bylo 1 + supremum M

Vtahy mezi příkladem 2 a 3. Množinu z příkladu 2 označme jako M2 a množinu z příkladu 3 označme jako množinu M3. Pak M2⊂M3 a díle vidíme: ∘ Supremum M2 ≤ supremum M3 ∘ Infimum M2≥ infimum M3

6

3. FUNKCE (ZOBRAZENÍ) f: A→ B je zobrazením A do množiny B Definiční obor je podmnožinou A ⟹ D(𝑓) ⊂A Obor hodnot je podmnožinou B ⟹ H (𝑓) ⊂ B Řekněme, že f < A x B, pak [a;b1] 𝑓  [a;b2]f ⟹ b1 = b2 je zobrazením do číselného oboru, není určení, odkud má být A, tak P1={[;3];[;4]} je zobrazení, je funkce reálné proměnné.

Reálná funkce komplexní proměnné |z|

3.1. DEFINIČNÍ OBOR ZOBRAZENÍ Definičním oborem zobrazení nazýváme množinu D(𝑓), kde D(𝑓) = {x; y: [x; y]𝑓 } Obrazem hodnot zobrazení 𝑓 nazýváme, množinu H(𝑓), kde H(𝑓) = {y; ; x: [x; y]𝑓 } Věta: Je-li [𝑥; 𝑦] zobrazení, 𝑓 nazýváme 𝑦 obrazem 𝑥 a 𝑥 vzorem 𝑦 a píšeme, že 𝑦 = 𝑓(𝑥) Obrazem množiny X při zobrazení 𝑓 nazýváme 𝑓(X)= {𝑦; 𝑥X: [𝑥; 𝑦]𝑓} Vzorem množiny Y při zobrazení 𝑓 nazýváme 𝑓-1(Y)= { 𝑥; 𝑦Y: [𝑥; 𝑦]𝑓}

Příklad 1.:

𝑓(𝑥)= 𝑥2 kde 𝑥 ℝ 𝑓((-1;2)) = <0;4> 𝑓-1(<1;4)) = (-2;1><1;2)

⟹ 𝑓: A→B; H(𝑓)= 𝑓(A);

D(𝑓)= 𝑓(B)

Restrikcí (zúžením) zobrazení 𝑓 na množině X rozumíme f

f

X

: x ; y ;x ; y  f  x  X  . Také značíme

'X

Příklad 2.:





x  ( x 2 /  0;) 1 inverzní funkce k 𝑥2 na intervalu <0;8) 7

Příklad 3.:

Jsou stejné funkce 𝑓1(𝑥)= 𝑥2 kde 𝑥ℝ a 𝑓2(𝑥)= 𝑥2 na <0;8) ? Ne, nejsou to stejné funkce! Restrikce je každá podmnožina zobrazení!

3.1.1. INVERZNÍ ZOBRAZENÍ Zobrazení 𝑓 je prosté, pokud [𝑥1; 𝑦]𝑓  [𝑥2; 𝑦]𝑓 ⟹ 𝑥1= 𝑥2 Nechť 𝑓 je prosté. Inverzním zobrazením k 𝑓 rozumíme 𝑓-1≔{[𝑥; 𝑦]; [𝑥; 𝑦]𝑓} Vlastnosti inverze: (1) 𝑓∘𝑓-1 = 𝑓-1∘𝑓 ⟹ identita (id) (2) (𝑓-1)-1= 𝑓 (3) D(𝑓-1)= H(𝑓); H(𝑓-1)= D(𝑓)

Příklad 4.:

Vyřešte 𝑥 3 = 8 𝑥3 = 8

/

∘

x 3 8 𝑥=2 3

Příklad 5.:

Vyřešte rovnici ex=3 ex=3 /ln ∘ ln(ex)= ln(3) x = ln(3)

Pravidlo ∘ U rostoucí funkce se zachovává nerovnost ∘ U klesající funkce se znaménko obrátí ∘ Inverzní funkce zachovává monotonii (směr funkce)

3.2. MONOTÓNIE FUNCE Řekneme, že funkce 𝑓 je rostoucí (klesající, nerostoucí, neklesající), pokud: 𝑥1𝑥2D(𝑓): 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < (>; ≥; ≤) 𝑓(𝑥2) Věta: Je-li funkce nerostoucí/neklesající navíváme ji monotónní. Je-li funkce klesající nebo rostoucí, nazýváme ji ryze monotónní.

Příklad 6.:

Jaká je funkce sin(x)? Funkce sin (x) není monotónní.

8

Příklad 7.:

Jaká je funkce 𝑓(x): (x+1)x(x-1)?

z grafu vidíme, že funkce je rostoucí na  ; 

Příklad 8.:

1 3

;

1 3

1 3

a na

1 3

;   . Funkce je klesající na

.

Jaká je funkce f ( x ) 

1 ? x

Není rostoucí na celém definičním oboru ⟹ pro sjednocení musí být funkce spojitá nebo funkční hodnoty musí být stejné.

3.2.1. MONOTÓNIE V KRAJNÍCH BODECH FUNKCE Okolí bodu: Nechť aℝ;   ℝ+. (Úplným)  okolím bodu a nazýváme U  (a)  a   ; a    . Levým respektive pravým okolím a nazýváme U  (a)  a   a; respektive U  (a ) . Prstencovým (redukovaným) okolím a (levým, pravým, oboustranným) nazýváme P (  ,)(a)  U((a),)  a . „Prstencové okolí je úplné okolí bez bodu samotného“ Funkce v monotónním bodě: Řekneme, že funkce 𝑓 je rostoucí v bodě a zleva respektive zprava, pokud: P  (a), x  P  (a) : f ( x )  f (a) P  (a), x  P  (a) : f (a)  f ( x )

Řekneme, že funkce 𝑓 je rostoucí v a, je-li v něm rostoucí zprava i zleva. Analogicky ostatní monotonie. Věta: Funkce je rostoucí na intervalu právě, když je rostousí v každém bodě tohoto intervalu. Ostatní funkce analogicky.

9

3.3. LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE Dělíme na lokální a globální extrémy funkce.

3.3.1. LOKÁLNÍ EXTRÉMY Bodová monotonie: Řekněme, že funkce má v bodě lokální maximum (minimum, ostré lokální maximum/ ostré lokální minimum) je-li v něm zleva neklesající a zprava nerostoucí (zleva nerostoucí a zprava neklesající, zleva rostoucí a zprava klesající, zleva klesající a zprava rostoucí). ∘ Konstantní funkce má maximum i minimum všude a ostré lokály nemá. ∘ Globální maximum /minimum → hodnoty Příklad 9.:

Najděte lokální maximum/ minimum funkce 𝑓 (x)=x2-1

minimum 𝑓 = - 1 𝑓 má lokální minimum v bodě 0

→ y souřadnice → x souřadnice

Příklad 10.: Jaké má lokální extrémy funkce 𝑓 (x)=arcsin(x)?

Nemá žádné lokální extrémy podle definice. Definice říká, že bod musí mít okolo další body, abychom určili extrém.

10

Důkaz: x1 < x2 𝑓 (x1) < 𝑓 (x2) x1 < x2  𝑓 (x1) < 𝑓 (x2) substituce y1 = 𝑓 (x1) a y2 = 𝑓 (x2) 𝑓-1(y1) < 𝑓-1(y2)  y1 < y2

3.4. KONVEXITA A KONKÁVNOST FUNKCE Definice: Řekněme, že funkce 𝑓 je na intervalu I konvexní / konkávní / ryze konvexní / ryze konkávní, pokud 𝑥1𝑥2I (0;1): 𝑓((1-)+𝑥2) ≤ /≥/ (1-)𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2). Funkce konkávní a konvexní je například lineární funkce Věta: Funkce 𝑓 je konvexní/konkávní/ryze konvexní/ryze konkávní na intervalu I, právě tehdy když f x3   f x 2  f x 2   f x1  x1 , x 2 , x3  I : x1  x 2  x3   ; ;  x 2  x1 x3  x3 Konvexní: Pro každou trojici bodů x1, x2, x3 má přímka x1 a x2 menší nebo rovno směrnici než x2 a x3 Konkávní: Pro každou trojici bodů x1, x2, x3 má přímka x1 a x2 větší nebo rovno směrnici než x2 a x3 Ryze konvexní: Pro každou trojici bodů x1, x2, x3 má přímka x1 a x2 menší směrnici než x2 a x3

Směrnice přímky y = ax + b

Ryze konkávní: Pro každou trojici bodů x1, x2, x3 má přímka x1 a x2 větší směrnici než x2 a x3

Příklad 1.: Najděte maximální interval konvexnosti funkce x3 𝑓 je konvxní na <0;) 𝑓 je konkávní na (-; 0> v bodě [0,0] má inflexní bod

Příklad 2.: Najděte předpis funkce, která má definiční obor v jednom bodě. f x    x 2

Příklad 3.: Najděte funkci, která není definovaná nikde f x    x 2  1

Příklad 4.: Najděte funkci, která je definována ve 2 bodech (x2-1)2

11

Příklad 5.: Nalezněte funkci, která je definovaná v nekonečně mnoha bodech, ale ne na intervalu sin x  1

3.5. MNOŽINOVÉ OPERACE Definice: Nechť 𝑓 a g jsou funkce. Součinem 𝑓 a g nazýváme (𝑓 + g)(x) ≔ 𝑓 (x)+ g(x). Absolutní hodnotou 𝑓 nazýváme funkci | 𝑓 |(x)≔| 𝑓 (x)| Platí pro všechna x, pro která má pravá strana smysl a x průniku funkcí xD(𝑓)D(g) \ g -{0}

12