SVS
přednášky
1. Přednáška Základní etapy statistické analýzy
SAS INSIGHT – základní char. SAS LAB – quided data analysis - široká nabídka opravných prostředků.
-1-
SVS
přednášky
-2-
1.1. Prostředky průzkumové analýzy Jde o kombinace různých grafických a číselných postupů, které mají podat základní informace o vlastnostech souboru. Základním prostředkem jsou grafy s různou orientací. Zobrazení datového souboru – pomocí grafu –
1.1.1. Sloupcový diagram. (Bar Chart). četnosti (relativní četnost)
analyzované veličiny hodnoty (integrály)
procedury v SAS: proc jmeno_procedury data = jméno datového souboru var (proměnná)…..; run; zobrazení datového souboru v grafu. proc chart data = jméno souboru vbar vyska; run; výsledkem je sloupcový diagram v proceduře Chart. hbar (horizontální orientace) vbar (vertikální orientace)
SVS •
přednášky
-3-
Procedury gchart – mají lepší grafické výstupy
proc gchart data=A; hbar vyska; run;
procedura automaticky data setřídí do intervalů podle Sturgesova pravidla – automaticky vypočítá počet těch intervalů (tříd K). pozn.: Při velkém rozsahu n náhodného výběru rozdělujeme hodnoty do tzv. tříd (třídních intervalů). Celý obor hodnot je pak rozdělen na třídní intervaly, přičemž daná pozorovaná hodnota spadá vždy do jedné třídy. Počet tříd k lze volit podle potřeby. Obvykle se k pohybuje mezi 5 a 20, nebo se volí je .
, popř. použijeme tzv. Sturgesovo pravidlo, podle kterého
1.1.2. Histogram – Zdokonalení sloupcového diagramu. - zobrazení četností ve formě sloupců četnosti - histogram nám určuje homogenitu souboru, určí zda je homogenní nebo zda se rozpadá do dílčích menších podsouborů. (homogení soubor má jen jednu nejčetnější hodnotu) X – intervaly Y – četnosti or relativní četnosti. Z grafu lze odhadnout, jestli údaje datového souboru jsou soustředěny symetricky nebo nesymetricky.
SVS
přednášky
-4-
1.1.3. Grafický výstup v proceduře univariate pokud chci v proceduře jen grafický výstup (histogram), musím potlačit numerické výstupy. proc univariable data = jméno souboru histogram_jméno proměnné pro kterou kreslím run; Je třeba posoudit, jestli data mají normální rozdělení – do histogramu proto dáme křivku normal, případně exponencial.
proc univariable data = jméno souboru histogram <jm>/ normal exponencial; run;
1.1.4. box plot grafické zobrazení tvz. pětičíselného souhrnu
SVS
přednášky
-5-
2. Přednáška 2.1. Stem and leaf display ~ STEMPLOT Technika kombinující jednoduché grafické a numerické vyjádření - semigrafická technika: soubor: připomíná histogram, ale zde všechny jednotlivé hodnoty jsou zobrazeny a současně při otočení o 90stupnů je vidět případná asymetrie sloupců.
př.: měření výšky tuku zaměstnanců. 2 proměnné - výška tuku – FAT - pohlaví – gender
BOX PLOT
v SAS insight: analyze – box plot (Y) (závislá proměnný – fat)
SVS •
přednášky
-6-
Zobrazení četností
proc freq data=dd; tables fat; run;
The SAS System
15:20 Tuesday, January 2, 2007
37
Procedura FREQ fat
Četnost
8 12 13 16 18 19 20 21 22 23 24 26 28 30 31
•
Procenta
1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 1 1 1 1 1
Kumulativní četnost
4.35 13.04 4.35 8.70 4.35 4.35 8.70 8.70 13.04 8.70 4.35 4.35 4.35 4.35 4.35
Kumulativní procenta
1 4 5 7 8 9 11 13 16 18 19 20 21 22 23
4.35 17.39 21.74 30.43 34.78 39.13 47.83 56.52 69.57 78.26 82.61 86.96 91.30 95.65 100.00
Základní charakteristiky souboru
proc univariate data=dd; run; Procedura UNIVARIATE Proměnná: fat
a. Momenty N Průměr Std odchylka Šikmost Nekorigovaný SS Variační koeficient
b.
23 19.9565217 5.99604613 -0.1011105 9951 30.045547
23 459 35.9525692 -0.3896871 790.956522 1.25026205
Základní statistické míry
Poloha Průměr Medián Modus
Součet vah Součet pozorování. Rozptyl Špičatost Korigovaný SS Std chyba průměru
19.95652 21.00000 12.00000
Variabilita Std odchylka Rozptyl Rozpětí Mezikvartilové rozpětí
5.99605 35.95257 23.00000 7.00000
NOTE: Zobrazený režim je nejmenší z 2 režimů s počtem 3.
SVS
přednášky c.
-7-
Testy polohy: Mu0=0
Test
-Statistika-
----p hodnota-----
Studentovo t Znaménko Znam. pořadí
t M S
Pr > |t| Pr >= |M| Pr >= |S|
15.96187 11.5 138
<.0001 <.0001 <.0001
Kvantily (Definice 5) Kvantil 100% max. 99% 95% 90% 75% Q3 50% Medián 25% Q1 10% 5% 1% 0% Min.
d.
Odhad 31 31 30 28 23 21 16 12 12 8 8
Procedura UNIVARIATE Proměnná:
fat
Extrémní pozorování ----Nejnižší----
----Nejvyšší----
Hodnota
Poz
Hodnota
Poz
8 12 12 12 13
4 17 12 10 1
24 26 28 30 31
13 15 21 22 8
SVS
přednášky
-8-
2.1.1. Sten and leaf display + box plot přidáním příkazu plot do procedury univariate – vyvolá zobrazení dat. var proměnná (upřesnění). proc univariate data=dd plot; var fat; run; Kmen 3 2 2 1 1 0
List # 01 2 68 2 0011222334 10 6689 4 2223 4 8 1 ----+----+----+----+ násobit listy větve číslem 10**+1
Krb.graf | | +--+--+ +-----+ | |
Graf pravděpodobnosti norm. rozdělení 32.5+ * ++*++++++ | +*+*++++ | ***+*+*+*+* | +**+**+++ | +*++*+*+* 7.5+ +++++*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2
• Třídění podle pohlaví Funkcí class roztřídíme výstupy podle pohlaví. proc univariate data=dd plot; class gender; var fat; run; Procedura UNIVARIATE Proměnná: fat gender = f Momenty N Průměr Std odchylka Šikmost Nekorigovaný SS Variační koeficient
10 22.3 5.31350481 -0.6035944 5227 23.8273758
Součet vah Součet pozorování. Rozptyl Špičatost Korigovaný SS Std chyba průměru
10 223 28.2333333 0.47746822 254.1 1.68027775
Základní statistické míry Poloha Průměr Medián Modus
22.30000 22.50000 22.00000
Variabilita Std odchylka Rozptyl Rozpětí Mezikvartilové rozpětí
5.31350 28.23333 18.00000 5.00000
NOTE: Zobrazený režim je nejmenší z 2 režimů s počtem 2.
SVS
přednášky
-9-
Testy polohy: Mu0=0 Test
-Statistika-
----p hodnota-----
Studentovo t Znaménko Znam. pořadí
t M S
Pr > |t| Pr >= |M| Pr >= |S|
13.27162 5 27.5
<.0001 0.0020 0.0020
Kvantily (Definice 5) Kvantil 100% max. 99% 95% 90% 75% Q3 50% Medián 25% Q1 10% 5% 1% 0% Min. The SAS System
Odhad 30.0 30.0 30.0 29.0 26.0 22.5 21.0 14.0 12.0 12.0 12.0
15:20 Tuesday, January 2, 2007
49
Procedura UNIVARIATE Proměnná: fat gender = f Extrémní pozorování
Kmen 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12
31+ | | 25+ | | 19+ | | 13+
----Nejnižší----
----Nejvyšší----
Hodnota
Poz
Hodnota
Poz
12 16 21 22 22
17 16 20 18 14
23 23 26 28 30
19 23 15 21 22
List 0 0 0
# 1 1 1
0000 0
4 1
0
1
0 ----+----+----+----+
1
Krb.graf | | +-----+ | | *--+--* +-----+ | | 0
Graf pravděpodobnosti norm. rozdělení *+++ *++++ *+++ +++ * *+*++ * ++++ ++++ +*+ ++++ ++++* +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2
SVS
přednášky
- 10 -
zvolení stonků: STEM 0 1 2 3
3
8
1
3
2
ženy stem Muži 6 0 8 6 2 1 3 0 2 0 3 1
9 2
8 0
2 1
6 4
2
- u mužů je vyšší variabilita, hodnoty jsou více rozptýleny okolo středu, ale muži mají delší stone. Technika je výhodná u malých souborů.
SVS
přednášky
- 11 -
2.2. Kvalitativní znaky - procedura gchart Zde budeme provádět vizualizace údajů o kvalitativních znacích v proceduře gchart – lze použít sloupcový diagram (bart chart)
Př.: Základní skript pro grafický výstup. proc gchart data=jnémo souboru; hbar jm.kvalitativní zobrazované proměnné /sumvar=hodnota podle které se třídí; run;
•
hbar_jméno kvalitativního znaku strana / sumvar(sečte hodnoty proměnné podíl) a rovná se podíl orientace grafu vodovorně – příkaz hbar (vertikálně bbar) subgroup – doplňkový příkaz pro barevné odlišení a dole se objeví barevné zastoupení stran. descending- pokud chceme sloupečky uspořádat sestupným způsobem, tak do syntaxe procedury přidáme (ascending) rozšířený skript pro zobrazený výstup:
proc gchart data=b; hbar strana/sumvar=podil subgroup=strana descending; run;
•
2 možnost je pomocí výsečového grafu – koláčový graf (procedura stejná)
proc gchart data=svs; pie strana/sumvar=podíl; run; pie_ jméno kvalitativní zobrazované proměnné
SVS
přednášky
• Koblihový graf - DONUT zobrazí podíly a indentifikuje zkratkou jednotlivé kvalitativní proměnné. proc gchart data=b; donut strana/sumvar=podil; run;
•
trojrozměrné výsečové grafy
proc gchart data=svs; pie3D strana/sumvar=podíl; run;
• další grafické metody V sasu lze jednotlivé výseče vyříznout ze zobrazení – proc gchart data=ms; pie3D strana/sumvar=podil sice=arrow explode="A" "B"; run;
slice= arrow/inside/none/outside – ovlivňuje popis zvoleného segmentu. explode =<seznam> -uvádí seznam oddělených segmentů. “A“ “B“ – chci specielně odtrhnout úseky vztahující se ke stanám A a B. *komentář – poznámka musí být ukončena středníkem; arrow – šipky k výsekům
- 12 -
SVS
přednášky
- 13 -
Př.: proc gchart data=ms; pie3D strana/sumvar=podil slice=arrow explode="A" "B"; run;
pozn: úseky které jsou zastoupené méně než 5% SAS sloučí do jednoho - OTHER.
Př.: podniky – počet akcií – 2 proměnné i. ii.
kvalitativní – akcie kvantitativní – počet
absolutní zastoupení proměnné počtu, nikoli procentické. sumvar=
- počítá součet hodnot danné proměnné noheading – potlačuje tisk hlavičky (nadpisu) percent=arrow/….. value=arrow/inside/none/outside - připisuje jednotlivým segmentům jejich absolutní hodnoty. percent – pokud chceme absolutní vyjádření přepočítat na % u jednotlivých akcií. slice=arrow/inside/none/outside – ovlivňuje popis zvoleného segmentu zobrazované proměnné. explode – seznam oddělených segmentůproc gchart data=A; pie3D akcie/sumvar=pocet noheading percent=arrow value=inside alice=arrow explode="C"; run;
V soudobé statistické metodologii se moc nepoužívají – zkreslující dojem.
SVS
přednášky
- 14 -
Vyjádření pomocí STEM PLOTU procedura univariate
3. přednáška proc univariate data=sasuser.fitness mu=50 cibasic normal plot trimmed=2 winsorized=2; var oxygen; run;
3.1. průzkumová analýza rozdělení četností klíčovou roli zde hraje procedura univariate. Doplňkové příkazy: mu0=50 – tímto příkazem je požadováno provedení testu hypotézy, že průměr základního souboru stat. znaku OXYGEN je roven 50. CIBASIC – výpočet intervalů spolehlivosti pro základní statistické char.(požadují normalitu rozdělení) NORMAL – výpočet testu normality rozdělení, otestování zdali je rozdělení normální. (důležité pro test MU=50 a pro výpočet intervalu spolehlivosti). PLOT – konstrukce visuelních prostředků TRIMMED – výpočet useknutého průměru spolu s výpočtem intervalu spolehlivosti. WINSOR – výpočet winsorizovaného průměru spolu s příslušným intervalem spolehlivosti pro průměr a jednovýběrovým testem hypotézy o hodnotě průměru prostřednictvím hypotézy nás zajímal výpočet intervalů spolehlivosti.
SVS
přednášky
- 15 -
3.2. výstupy procedury univariate • • •
3.2.1. testy polohy
:
test polohy MU0=50 studentovo t (jednovýběrový ttest) – parametrický test, který požaduje normální rozdělení. znaménko M – známenkový test – neparametrický test – nepožaduje normalitu rozdělení Znam pořadí S – jednovýběrový Wilcoksonův test – neparametrický test – nepožaduje normalitu rozdělení ani symetrii
Pr (0,0102) < 0,05 => H0 se zamítá (MU0=50).
3.2.2. testy normality (záleží na výběru statistika který vybere a použije) •
• • •
Shapiro-wilk – pro malé soubory (obvykle použijeme) n<2000, kvalitní neparametrický test, ale požaduje symetrické rozdělení četností – symetrický histogram (v souboru nesmí být odlehlé hodnoty)¨ soubory s n>2000: Kolmagorov-Smirnov Cramer von Mises Anderson darling
Tyto testy testují hypotézu: H0: soubor má normální rozdělení – P value > 0,05 => Soubor má normální rozdělení HA: soubor nemá normální rozdělení – P value < 0,05 => Soubor nemá normální rozdělení Pr (P value) je menší než 5% tak zamítáme H0. U malých souborů (n<30) uvedené testy mají snahu přijímat HO, uvedené testy jsou slabé a odchylku od normálního rozdělení mohou potvrdit až u velkých souborů a proto se testu doplňují vhodným grafickým prostředkem – příkaz PLOT. PLOT – semigrafická podoba. ~ zobrazí STEM PLOT : kmen listopad 60 1 58 6 56 36 59 468 44 6896704968 42 5697859607894960 40 8 36 4 Problematické hodnoty jsou maximální 60,1 a 58,6.
SVS
přednášky
- 16 -
Dále se zobrazí graf. pravděpodobnostního rozdělení – graf normálního rozdělení – pokud jsou hodnoty ideální tak body splývají s přímkou, ta je znázorněna křížky a naše data *.
závěr: U testů normality kombinujeme výstup z Shapirova testu s grafikou, zvláště u malých souborů (do 30). Pokud nám nevyjde normalita rozdělení (ttest), tak užijeme neparametrické testy. Neparametrické testy nepožadují, aby analyzovaná data měla normální rozdělení. Wilkoksonův test je považován za velice kvalitní, ale chce aby soubor měl symetrické rozdělení četností – symetrický histogram. U nás je v BOX PLOTU problém s odlehlými hodnotami a v tomto případě dáme přednost znaménkovému testu (nepožaduje ani notmalitu ani symetrii). Pokud máme v souboru nějaké nesrovnalosti tak soubor modifikujeme. Provedeme úpravu: trimmet=2 ~ systém odsekne 2 maximální hodnoty v souboru,ale systém automaticky odsekne i 2 minimální hodnoty. 31 – 4 = 27 hodnot. Operace „cenzorování“, která u souborů s malým rozsahem není vždy žádoucí. winsorized=2 - „winzorizace“ je alternativa k odseknutí - 2 maximální hodnoty byly nahrazeny třetí maximální hodnotou který byla hned před nimi a na konci se mi objeví 3 stejné hodnoty, které již nejsou považovány zas odlehlé, totéž se provede i u nejmenších hodnot. Došlo k potlačení extrémů.
•
výstup pro useknutý průměr
Upravené průměry (useknutý nebo cenzorovaný průměr) – vzniklo useknutím dvou hodnot. meze interval spolehlivosti 45,2 49,03 t pro H0 Pr> t •
0,0047 (opět H0 zamítáme)
výstup pro winzorizovaný průměr
Průměry se neliší a tudíž obě hodnoty tam nehrají roli a lze je ponechat v souboru. pozn.: V SAS je zkratka ODS – dovoluje nám z výstupů v systému sas vybrat pouze důležité výstupy (charakteristiky) a také v lepších formátech.
SVS
přednášky
- 17 -
3.3. procedura MEANS Další procedura v průzkumové analýze proc means data=sasuser.fitness; var oxigen; run; -
oxigen je proměnná. Chceme nasadit proceduru na pouze jednu proměnnou oxigen, jinak by to provedl u všech proměnných.
výstup: N 31
průměr 47,36
Std odch (směrodatná odchylka) 5,32
min. 37
max 60
poskytuje pouze základná informace o souboru – variabilitu a typickou hodnbotu (průměr). výstup lze rozšířit: proc means data=sasuser.fitnes n mean median min max g1 q2 range grange std cv skewness kurtosis maxdec=3; var oxygen age weight runtime runpulse runpulse; (u kterých proměnných má počítat) run; doplňkové příkazy na vyžádání: n – počet pozorování mean – průměr medián – Q1 – dolní kvartil Q3 - horní kvartil cd – var. koeficient – relativnéí char. variability – směr odch/ průměr* 100 – při porovnání variability u proměnných vyjádřených v různých jednotkách std – posílá směrodatnou odchylku range – variační rozpětí grange – kvartilové rozpětí – robusní char. variability skewness – koeficient šikmosti kurtosis – koeficient špičatosti – signalizuje lehké a těžké konce. šikmost a špičatost by měla být v případě normálního rozdělení přibližně rovny 0! maxdec = 3 – počet desetinných míst.
SVS
přednášky
Př.: 13 pozorování a měříme vrstvu podkožního tuku. proměnná FAT - hodnota tuku proměnná GENDER – prohlížení datového souboru – procedura PRINT proc print data=svs; var fat gender; run; zvlášť spočítat pro muže a ženy: proc means data=svs; class (třídení) = gender; var (pro kterou proměnnou má procedura rpoběhnout) fat; run; statistickou významnost mezi ženou a mužem provedeme ttestem: proc ttest data=svs; class gender; var fat; (testujeme z hlediska hodnoty tuku)´ title “porovnání skupin“; run; výstup: T – testy equal – pokud máme stejné rozptyly souborů, koukáme na tento řádek unegual – pokud rovnost variancí určí různou variabilitu souborů dvou výběrový ttest požaduje aby oba soubory měli stejnou variabilitu při porovnání. doplňkový test pro Ttesty - rovnost variancí – test variability souboru můžu a žen – oba soubory mají stejný rozptyl.
- 18 -
SVS
přednášky
- 19 -
4. Přednáška - Analýza 2 a více souborů 4.1. 2 výběrový ttest 2 nezávislé náhodné výběry a testujeme hypozézu: Ho: w1 = w2 => průměry základních souborů w1,w2 (mí) předpoklady použitelnosti: 1.) nezávislost pozorování 2.) oba výběry mají normální rozdělení 3.) shodná variabilita obou porovnávaných souborů
př.: Je třeba posoudit zda zavedení nové výrobní technologie má statisticky významný vliv na zvýšení rychlosti pracovní operace. Bylo provedeno měření doby trvání této operace při staré i nové technologii a zjištěny tyto výsledky:
Chceme posoudit výsledky z hlediska doby trvání – stat.významnost.
test hypotézy:
Ho: průměry základních souborů se neliší. w1 = w2
1. otestujeme nejprve nezávislost – předpoklad je splněn 2. otestování normality rozdělení: Každá analýza začíná průzkumovou etapou – průzkumovou analýzou – grafická technika: analyze – BOX PLOT – staraT/novaT jako Y. Roletka zobrazí další charakteristiky.
SVS
přednášky
- 20 -
4.1.1. schématické box ploty Př.:
skript: proc boxplot data=ms; plot doba*technologie/boxstyle=schematic; run;
nejsou zde problematické údaje. 1 soubor má zvláštní rozdělení. Horní kvartil splívá s max. hodnotou. Průměr , medián splynul buď s horním nebo dolním kvartilem. Medián a průměr se zde odlišují = asymetrie rozdělení a to stěžuje předpoklad normality rozdělení.
Pro starou technologii je náročné splnit normalitu rozdělení
SVS
přednášky
- 21 -
4.1.2. Zářezové boxploty – do jaké míry se tyto soubory odlišují, poskytují důkazy na rozdíl od normálních. proc boxplot data=b; plot doba*technologie/notched; run;
Zářezy představují grafické vyjádření intervalu spolehlivosti pro medián. Začátek zářezů u druhého souboru a konec pokud se v promítnutí na sebe zářezy nepřekrývají tak to znamená že soubory se statisticky významně liší a zamítnutí hypotézy Ho. Při překrytí není statisticky významný rozdíl.
SVS
přednášky
4.1.3. Průzkumová analýza pomocí means Další ověření normality rozdělení: proc means data=b maxdec=2; class technologie; run; pouze základní charakteristiky:
směrodatná odchylka nové technologie je menší (1,65) – hodnoty jsou vyrovnanější. maxdec= zaokrouhlení na libovolný počet desetinných míst class = rozdělení přístupu do 2 souboru dle technologie.
c)Ověření normality v obou souborech
- užitím testů normality implementovaných v proceduře univariete ods select TestsForNormality; proc univariate data=ms normal; class technologie; var doba; run; nechceme všechny výstupy, ale jen testy normality a proto je omezíme zkratkou ODS – output delivery systém: ods select TestsForNormality;
- 22 -
SVS
přednášky
- 23 -
vybereme Shapiro wilka – u nové technologie: P (0,35) > alfa (0,05) => H0 platí a soubor má normální rozdělení u staré technologie P(0,0195) < 0,05 => Ha – zamítáme H0 a není splněna normalita.
d) Další ověřování normality Přes výsledky testů normality bychom měli dále ověřit, protože síla zvoleného testu vynikne až u velkých souborů a proto konfrontujeme s dalšími grafickými výstupy: proc univariate data=b noprint; class technologie; histogram doba/normal (color=red) kernel (color=green); probplot doba/normal (mu=est sigma=est); run;
příkaz noprint – potlačuje nadbytečné numerické výstupy chceme histogramem proložit gausovu křivku a proto je za doba/normal kernel – přibalí jádrovou hustotu – představuje empirické vyrovnání hystogramu, chceme zelenou barvu hustoty. probplot – chceme doplnit analýzu pravděpodobnostními grafy mu=est (estimate ~ odhad) – do pravděpodobnostních grafů zobrazí ideální přímku, jak by měla data vypadat, bez toho se zobrazí pouze křížky a hvězdičky. sigma (směrodatná odchylka) – odhadnutá z našich dat.
SVS
přednášky
- 24 -
soubor má normální rozdělení, jádrová hustota a gausova křivka se tolik neliší – jde o malý soubor. u staré je diference mezi gausovkou a jádrovou křivkou velká.
SVS
přednášky
e) Vlastní provedení 2 výběrovéího ttestu není ale splněn předpoklad normality! proc ttest data=b; class technologie; var doba; (jméno proměnné kterou chci analyzovat) run;
Průměr je doplněn horní a dolní mezí intervalu spolehlivosti. Diff je rozdíl souborů
- 25 -
SVS
přednášky
- 26 -
rovnost variancí – kontroluje předpoklad stejné variability (stability nebo vyrovnanosti výsledků) souborů. pomocná hypotéza: H0 – oba soubory byli pořízeny ve stejné kvalitě a hodnoty jsou stejně rozházené. H0: sigma1.2 = sigma2.2 P (0,1165) > 0,05 => H0 platí a předpoklad je splněn a lze se podívat na ttesty: rozptyl – podle výsledku testu shodnosti rozptylů si vyberu test. equal – stejné rozptyly P(0,0158) <0,05 => H0 zamítáme. unequal – nestejné rozptyly Ha – průměrné doby nejsou stejné a nová technologie vede k významnému zrychlení té operace.
f) neparametrický dvouvýběrový ttest. Řešení problému s nesplněním požadavku na normální rozdělení a ttest byl doplněn neparametrickým dvouvýběrovým Wilcoxonovým (univerzálnějším) testem -
neparametrické testy (npar1way)
proc npar1way data=b wilcoxon; class technologie; var doba; run;
SVS
přednášky
- 27 -
Poskytuje základní informace - wilkoksonovo score – nahrazení hodnot pořadovými čísli, čísla se sečtou zvlášť pro oba soubory. Pokud se soubory neliší, čísla se sobě dost podobají. Zajímá nás pouze jeden výstup. Normální aproximace: Jednostranná hodnota Dvoustranná hodnota
- 0,02 => potvrzujeme Ha.
souvisí s zadáním – testovali jsme H0 : doba S = doba N (průměr) proti jednostrané alternativě w1<w2. – vyberu jednostranou alternatiuvu. pokud testuji Ha: w1 nerovná se w2 vyberu oboustranou. A soubor, respektive nová technologie vede ke kratší době. Potvrdíme ttest parametrický. Narušení normality nemá až zase zásadní roli, mnohem více ovlivňuje narušení variability. U obou nesplnění předpokladů se dá použít wilkokson, ale je méně silný než ttest.
SVS
přednášky
- 28 -
5. Přednáška Porovnání více než 2 souborů z hlediska jejich středních hodnot
5.1. Analýza rozptylu předpoklady: rozšíření ttestu pro více souborů. 1. analyzované výběry pocházejí ze základních souborů s normálním rozdělením 2. - analyzované soubory mají stejnou variabilitu někdy nazýván předpoklad homoskedasticity. Opakem (neplatí stejná variabilita) je heterostedasticita.
Př.: výrobce zkouší 4 různá barevná a grafická provedení obalů svých výrobků. Následující údaje představují počty výrobků balených v různých obalech které byly prodány během jednoho měsíce ve 4 různých hypermarketech. Posuďte zda počet prodaných výrobků je statisticky významně ovlivňován druhem zvolených obalů. H0: δ 12 = δ 22 ...δ K2 , K>2 HA: alespoň jeden obal vede k jiným výsledkům. 2 proměnné: prodej – kvantitativní obal - kvalitativní výběry nemají stejné počty pozorování – nevyvážený model. H0: m1=m2=m3=m4 SAS: 2 možnosti analýzy – a) proc anova (analysis of Variance) - lze použít pouze pro vyvážený model. b) pro nevyvážený i vyvážený lze použít – univerzální proc. proc glm (general linear model) Začneme opět průzkumovou analýzou a naše výběrové soubory si zobrazíme☺ pozn: u malých souborů není analýza rozptylu zkreslována – robusnost. A.R je odolná na narušení normality!!! 1.) zářezové box ploty – pro posouzení odlehlostí atd. Porovnáváme soubory mezi sebou, pokud soubory dáme přes sebe a vruby se nepřekrývají, tak se soubory pravděpodobně od sebe odlišují, jde pouze o orientační pomůcku. proc boxplot data=dm; plot prodej*obal/boxstyle=schematic notches; run;
SVS
přednášky
- 29 -
/boxstyle – schematic – notches – zářezy na krabičce
horní kvartyl dolní kvartil
medián – křížek – průměr hranice souboru – interval spolehlivosti pro medián netypická hodnota (extrémní) Nejlépe se prodává z hlediska průměrného počtu – 2, nejméně atraktivní je obal č.4. 2.) proc glm data=dm; class obal; model prodej=obal; means obal/hovtest t tukey lines cldiff; run;
class – třídící proměnná jak prodej závisý na obalu (analyzovaná = klasifikační) means – chceme průměry pro obal• hovtest – ověření předpokladu stejné variability. • t (lsd) – nejmenší významný rozdíl (pokud zamítneme H0, umožní interpretovat odlišný soubor) – jak jeden soubor dopadne v porovnání s ostatními. • tukey – srovnání všech diferencí každý s každým
SVS
přednášky • •
- 30 -
lines cldiff
pozn.: metody mnohonásobného porovnávání – pro rozlišení souborů a idenfifikace odlišností od ostatních souborů. V sasu asi 15, např.: • t metoda • tukey metoda (T) Výstup lze mít ve dvojí formě – vyžádáme požadavkem lines nebo cldiff. pozn.: Je třeba rozlišit mezi plánovaním porovnávání porov.souborů nebo následné porovnávání. plánované se týká situace, kdy před analýzou si vytipuji jeden (je zajímavý) a ten chci porovnat s ostatními. V tomto případě metoda lst. Pokud chceme porovnat soubory všechny mezi sebou ~ následné srovnávání (posthok) vyberu metodutukey. The SAS System
10:46 Wednesday, January 31, 2007
1
The GLM Procedure Class Level Information Třída obal
Úrovně
Hodnoty
4
1 2 3 4
Number of Observations Read Number of Observations Used
The SAS System
20
10:46 Wednesday, January 31, 2007
2
The GLM Procedure Závislá proměnná: prodej Zdroj
DF
Součet čtverců
Průměrný kvadrát
F hodnota
Pr > F
Model
3
105585.0000
35195.0000
6.58
0.0042
Chyba
16
85595.0000
5349.6875
Korigovaný součet
19
191180.0000
H0 se zamítá (0,0042< 0,005) Platí Ha – existuje statisticky významný rozdíl
Odmocnina
SVS
přednášky
- 31 -
R-kvadrát
Koef prom
MSE
prodej Průměr
0.552281
10.77195
73.14156
679.0000
Zdroj obal
Zdroj obal
DF
Type I SS
Průměrný kvadrát
F hodnota
Pr > F
3
105585.0000
35195.0000
6.58
0.0042
DF
Type III SS
Průměrný kvadrát
F hodnota
Pr > F
3
105585.0000
35195.0000
6.58
0.0042
koeficient determinace – z kolika % je závisle proměnná (závisí) je ovlivňována tou nezávislou proměnnou (obalem) ~ 55%. - Obal z 55% ovlivňuje množství prodaných výrobků.
doplňková syntaxe za / :
hovtest: testuje pomocnou hypotézu na shodu rozptylů. The GLM Procedure Levene's Test for Homogeneity of prodej Variance ANOVA of Squared Deviations from Group Means Zdroj
DF
Součet čtverců
Průměrný kvadrát
F hodnota
Pr > F
obal Chyba
3 16
7.1431E8 2.1606E9
2.381E8 1.3504E8
1.76
0.1946
Přijímáme H0 – neexistuje stat. významný rozdíl mezi variabilitou.
SVS
přednášky
- 32 -
nyní je třeba ujasnit, které obaly vyčnívají:
LSD: The GLM Procedure t Testy (LSD) pro prodej NOTE: Tento test určuje četnost srovnávací chyby typu I , nikoli četnost experimentální chyby. Alfa 0.05 Error degrees of freedom 16 Střední kvadrát chyby 5349.688 Kritická hodnota t 2.11991 Least Significant Difference 99.08 Harmonic Mean of Cell Sizes 4.897959 NOTE: Cell sizes are not equal. Průměry se stejným písmenem nejsou významně odlišné. t Seskupování
Průměr
N
obal
A A A
766.00
5
3
720.00
5
2
C C C
650.00
6
1
562.50
4
4
B B B
Least Significant Difference - nejmenší významný rozdíl. Pokud průměr překročí hodnotu, je statistycky významný. Průměry se stejným číslem se neliší. B jsou označeny obaly 2 a 1 a od sebe se významně neodlišují. 1 a 4 obal se od sebe také neliší, mají stejné písmeno C. 3 a 4 obal se odlišily statisticky významně.
tukey: The SAS System
10:46 Wednesday, January 31, 2007
7
The GLM Procedure Tukeyho test studentizovaného rozsahu (HSD) pro prodej NOTE: Tento test určuje četnost experimentální chyby typu I , obecně však má vyšší četnost chyby typu II než REGWQ. Alfa 0.05 Error degrees of freedom 16 Střední kvadrát chyby 5349.688 Kritická hodnota studentizovaného rozsahu 4.04609 Minimální rozdíl významnosti 133.72 opatrnější – významný průměr je vyšší. Harmonic Mean of Cell Sizes 4.897959 NOTE: Cell sizes are not equal. Průměry se stejným písmenem nejsou významně odlišné.
SVS
přednášky
Tukey Seskupování
Průměr
N
obal
A A A A A
B B B
- 33 -
766.00
5
3
720.00
5
2
650.00
6
1
562.50
4
4
Cldiff – ekvivalence k předchozím 2 výstupům: The GLM Procedure t Testy (LSD) pro prodej NOTE: Tento test určuje četnost srovnávací chyby typu I , nikoli četnost experimentální chyby. Alfa 0.05 Error degrees of freedom 16 Střední kvadrát chyby 5349.688 Kritická hodnota t 2.11991
Srovnání významnosti při úrovni 0.05 jsou indikovány ***.
obal Srovnání 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 The SAS System
-
2 1 4 3 1 4 3 2 4 3 2 1
Rozdíl mezi průměry 46.00 116.00 203.50 -46.00 70.00 157.50 -116.00 -70.00 87.50 -203.50 -157.50 -87.50
95% Confidence Limits -52.06 22.11 99.49 -144.06 -23.89 53.49 -209.89 -163.89 -12.59 -307.51 -261.51 -187.59
144.06 209.89 307.51 52.06 163.89 261.51 -22.11 23.89 187.59 -99.49 -53.49 12.59
10:46 Wednesday, January 31, 2007
*** *** *** *** *** *** 5
The GLM Procedure Tukeyho test studentizovaného rozsahu (HSD) pro prodej NOTE: Tento test určuje četnost experimentální chyby typu I. Alfa 0.05 Error degrees of freedom 16 Střední kvadrát chyby 5349.688 Kritická hodnota studentizovaného rozsahu 4.04609
SVS
přednášky
- 34 -
Srovnání významnosti při úrovni 0.05 jsou indikovány ***.
obal Srovnání 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4
-
2 1 4 3 1 4 3 2 4 3 2 1
Rozdíl mezi průměry 46.00 116.00 203.50 -46.00 70.00 157.50 -116.00 -70.00 87.50 -203.50 -157.50 -87.50
Souběžné 95% Confidence Limits -86.35 -10.71 63.12 -178.35 -56.71 17.12 -242.71 -196.71 -47.58 -343.88 -297.88 -222.58
178.35 242.71 343.88 86.35 196.71 297.88 10.71 56.71 222.58 -63.12 -17.12 47.58
*** ***
*** ***
Závěr:
pokud test homogenity nevyjde stejně nebo máme pochybnosti, proceduru nahradím neparametrickým testem kruskal walis. Kruskal – Wallisův – nezávislý na 1 a 2 předpokladu a ale nemá takovou sílu.
proc nparlway data=dm wilcoxon; class obal; var prodej; run; H0: se zamítá a platí Ha a výsledky z glm lze považovat za platné.
6p. 1. Analýza vícerozměrných statistických souborů -
na souboru zkoumáme větší počet znaků
SVS
přednášky
- 35 -
1.1. Jednoduchá regresní a korelační analýza Zkoumáme statistickou závislost a její sílu. • Y – závisle proměnná (vysvětlovaná proměnná) • X – nezávislá proměnná (vysvětlující proměnná ~ regresní) Regrese – průběh (tvar) závislosti. Korelace – určení těsnosti závislosti. Předpoklady použitelnosti regresní a korelační analýzy: 1.) Normalita rozdělení analyzovaných veličin (alespoň přibližně splnit) 2.) požadavky na rezidua – nezávislé náhodné veličiny které mají normální rozdělení s nulovou střední hodnotou a konstantní rozptyl. proměnné Y;X - regres.f : Y´ = a + bX korelační pole
5
korelační pole
R _ C
0
O -5
10 8
10
12
14
P_CO
16
18
- body na přímce porovnáme se skutečnými. rozdíl: Yi - Y´i = rezidua.
SVS
přednášky
- 36 -
Ex= 0 - kladná a záporná rezidua se vyruší, protože korelační funkce je proložena nejlepším možným způsobem, ani blíž ani dál od jedné strany. Př.: CO = auta proc reg – proc corr – proc univariate – 1.1.1.
A) průzkumová analýza
proc gplot data=ms; plot co*cars; symbol v=dot c=blue; /*specifikace grafu*/ run; quit;
plot závisle proměnná (osa Y) * nezávisle proměnná. symbol – doplňkový příkaz: V = dot (tečky), star atd. C = barva bodů quit – výstup z jednotlivých procedůr.
Zvýšení auto -> zvýšení CO. Odhad ukazuje přímou a střední závislost až silnou závislost, odlehlé pozorování – může skreslit analýzu.
SVS
přednášky 1.1.2.
- 37 -
B) Posouzení normality
ods exclude Moments BasicMeasures TestsForLocation Quantiles ExtremeObs; proc univariate data=ms normal plot; run; quit; ods exlude – vyloučení nežádoucích výstupů. V procedůře testujeme normalitu – NORMAL. The SAS System
10:59 Sunday, January 7, 2007 Procedura UNIVARIATE
Proměnná:
1
co
Testy normality Test
--Statistika--
----p hodnota-----
Shapiro-Wilk Kolmogorov-Smirnov Cramer-von Mises Anderson-Darling
W D W-Kv A-Kv
Pr Pr Pr Pr
Kmen 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4
23+ | | 17+ | | 11+ | | 5+
0.961221 0.126052 0.035129 0.213003
List 3 5 6 25 6 2 07 9 1 9 ----+----+----+----+
# 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
< > > >
W D W-Kv A-Kv
0.8011 >0.1500 >0.2500 >0.2500
Krb.graf | | +-----+ | | | | *--+--* | | +-----+ | |
Graf pravděpodobnosti norm. rozdělení +*++ *+++ *+++ *+*++ *++ ++*+ +*+* ++*+ ++* +*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2
U malých souborů – předpoklad normality je splněn. Medián – přibližně by se měl nacházet uprostřed krabice s vousy. Graf pravděpodobnosti norm. rozdělení – opět ukazuje na rozdělení N. U obou proměnných je předpoklad normality splněn.
SVS
přednášky
The SAS System
- 38 -
10:59 Sunday, January 7, 2007
2
Procedura UNIVARIATE
Proměnná:
cars
Testy normality Test
--Statistika--
----p hodnota-----
Shapiro-Wilk Kolmogorov-Smirnov Cramer-von Mises Anderson-Darling
W D W-Kv A-Kv
Pr Pr Pr Pr
Kmen 3 2 2 1 1
3.25+ | 2.25+ | 1.25+
1.1.3.
0.953396 0.154158 0.03722 0.252849
List 1 5889 123 567 1 ----+----+----+----+
< > > >
W D W-Kv A-Kv
# 1 4 3 3 1
0.6870 >0.1500 >0.2500 >0.2500
Krb.graf | +-----+ *--+--* +-----+ |
Graf pravděpodobnosti norm. rozdělení +++*++++ * *+++++*+ *+*+*+++ *++*++*+ +++*++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2
C) corelační analýza
proc corr data=ms; /*výpočet korelace mezi analyzovanými proměnnými s proc CORR*/ run; quit; Spočtou se korelace mezi všemi proměnnými, mezi dvojicemi. V souboru jsou jen 2 proměnné a zde je to tudíž žádoucí. U př. s více proměnnými je takový výstup nežádoucí a je třeba upřesnit příkazem VAR.
The SAS System
10:59 Sunday, January 7, 2007
4
SVS
přednášky
- 39 -
Procedura CORR 2
Proměnná
N
co cars
12 12
Proměnné:
Průměr
co
cars
Jednoduché statistiky Std odch Součet
13.79167 2.21667
5.62615 0.63509
Minimum
165.50000 26.60000
4.90000 1.10000
Maximum 22.30000 3.10000
Pearsonovy korelační koeficienty, N = 12 Prob > |r| pro H0: Rho=0 co
cars
co
1.00000
0.72923 0.0071
cars
0.72923 0.0071
1.00000
logická kontrola hodnot MIN/MAX korelační matice - diagonála - maximální korelace mezi proměnnou CO a Cars. síla závislosti mezi 2 proměnnými – korelace <-1; 1> ~ nepřímá závislost/přímá: 0.72923 -středně silná P hodnota – H0: Rho = 0 - 0,05 > 0,0071 -> HA. model je statisticky významný. - určí statistickou významnost nejen pro náš výběr, ale pro celý základní soubor. Pokud není stat. významný (platí H0), tak výsleek platí pouze pro našich 12 měření a výsledky nejsou zobecnitelné. pozn.: výbrová korelace – r korelace v ZS - „RO“ Pokud není splněna normalita, tak použijeme Spearmanův koeficient koeralce – neparametrický koeficient. proc corr data=ms spearman; run; quit; Máme tedy významný model a středně silnou závislost.
1.1.4.
D) nalezení regresní přímky
proc reg data=ms; model co=cars; run; quit; model vysvětlovaný=vysvětlující. The SAS System
10:59 Sunday, January 7, 2007 Procedura REG Model: MODEL1 Závislá proměnná: co Number of Observations Read Number of Observations Used
12 12
6
SVS
přednášky
- 40 -
Analýza rozptylu Zdroj
DF
Součet čtverců
Průměr Kvadrát
F hodnota
Pr > F
Model Chyba Korigovaný součet
1 10 11
185.15953 163.02963 348.18917
185.15953 16.30296
11.36
0.0071
Odmocnina MSE Závislý průměr Koef prom
4.03769 13.79167 29.27632
R-kvadrát Přizp R-kv
0.5318 0.4850
analýza rozptylu – Ověření zobecnění pro ZS. informuje o tom, zda regresní přímka je platná i pro základní soubor a ne pouze pro náš výběr. Hodnotí model jako celek. H0: pouze výběrový charakter – není zobecnitelné HA: model je statisticky významný a model je zobecnitelný. koef. determinace R2 = 53,1% Z kolika procent jsou změny závisle proměnné vysvětlitelné nezávislou proměnnou. Emise jsou z 53% vyvolány frekvencí projíždějících aut. Odhady parametrů
• •
Proměnná
DF
Odhad parametru
Standardní chyba
t hodnota
Pr > |t|
Regresní carstanta
1 1
-0.52840 6.46018
4.40615 1.91692
-0.12 3.37
0.9069 0.0071
intercept (regresní) – a absolutní člen regresní koeficient – b (stejné znaménko jako korelační) – hodnota říká, o kolik se v průměru změní závisle proměnná když se nezávisle proměnná změní o jednotku.
o 1000 vozů více -> CO naroste o 6,46
individuální p hodnoty – hodnotí jednotlivé složky • absolutní člen 0.9069 – není stat. významný • regresní člen 0.0071 – je statisticky významný. • jako celek je to stat. významné. U ideálního je všechno významné. Současný model je použitelný, ale ne 100%. 1.1.5. E) Zkooumání vlastností reziduí proc reg data=ms; model co=cars/r influence spec; /*r - studentizovaná rezidua a cookova vzdálenost,*/ plot co*cars/cframe=pink; /*pozadí grafu - cframe*/ plot r.*p.; /*reziduální graf*/ plot cookd.*p./cframe=ligr;
SVS
přednášky
- 41 -
symbol v=dot c=green h=1; output out=diag r=rezid; /*vytvoření nového souboru Diag */ run; quit;
8.p 2. Vícenásobná regrese a korelace Př: studenti do jaké míry je ovlivňována proměnná body (Y) proměnnou hodiny a IQ. Zajímá nás společné kombinované působení obou veličin na absolutní člen.
pozn.: pouze 2 proměnné – Y….(X) ~ JEDNODUCHÁ REGRESE A KOR. r <-1, 0> Y……(X1,X2…..Xk) ~ vícenásobná reg a korelace. 1.) změření těsnosti závislosti – korelace • koef.mnohonásobné korelace R (v jed. r) <0, 1> • koeficient mnoh. determinace R2 - z kolika % je y vysvětlováno veličinami X1 až Xk. 2.) průběh těsnosti – regrese – hledáme rovnici která popíše závislost Y a ostatních proměnných. Regresní přímka: Y´= b0+b1 X1+ …. bKXK b0= absolutní člen b1= parciální regresní koeficient, charakterizují část vlivů působící na příslušnou proměnnou X.
2.1. Předpoklady použitelnosti mnohonásobné regrese a korelace: a. normalita rozdělení analyzovaných proměnných b. nezávislost vysvětlujících proměnných – každá proměnná přispěje novou informací k vysvětlení veličiny Y.
Y´= b0+b1 X1+ b2X2
SVS
přednášky
- 42 -
Ověření multikolinearity: i. spočtu korelační matici vysvětlujících proměnných: X1 X1 X2 . Xk
X2 1 r x1x2
….
Xk r x1 xk
1 1 1
|r xj xk | < 0,75 |r xj xk | > 0,75 ~ multikolinearita - hodnota korelačního koef. ii. v SASU – VIF – Variance Inflation Factor VIF > 10 ~ multikolinearita. c. Rezidua, tvz rozdíly Yi – Yi` , i = 1,2,3…n by měla mít normální rozdělení s nulovou stření hodnotou a konstantním rozptylem a konstantním rozptylem. - konstantní rozptyl – čím je variabilita větší, tím jsou hodnoty kolísavější a méně přesná - normální rozdělení říká, že odhadnutá regresní přímka leží zhruba ve středu hodnot (naměřených). 2.2. testování: začneme posouzením normality vstupních dat – univariate (test lze vynechat v případě malých souborů, uvedené testy Shapiro-wilk atd jsou kvalitní až od n>30.)
v tomto případě zbytečné – málo dat! Lépe přes box plot atd. The SAS System
10:42 Sunday, January 14, 2007 Proměnná:
6
Procedura UNIVARIATE R_hodiny (hodiny residuals) Testy normality
Test
--Statistika--
----p hodnota-----
Shapiro-Wilk Kolmogorov-Smirnov Cramer-von Mises Anderson-Darling
W D W-Kv A-Kv
Pr Pr Pr Pr
Kmen 1 1 0 0 -0 -0 -1 -1 -2
List 7 0 8 334 2 5
0.939701 0.200058 0.058844 0.340696 # 1 1 1 3 1 1
6 1 3 1 ----+----+----+----+ násobit listy větve číslem 10**-1
< > > >
W D W-Kv A-Kv
0.5497 >0.1500 >0.2500 >0.2500
Krb.graf | | +-----+ *--+--* | | +-----+ | | |
SVS
přednášky
0.175+ | | | -0.025+ | | | -0.225+
- 43 -
Graf pravděpodobnosti norm. rozdělení ++*+ ++++ ++*+ * *+*++* * *+++ ++++ ++++ ++++ * +++++ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2
veličina IQ nemá normální rozdělení a proto není ideální použití pearsonova koef. a proto do skriptu zahrneme ještě spearmana. – spočte difoltně spearmena: proc corr var_ proměnné pro které chci provést výpočet. run; quit; bez příkazu Var spočte všechny korelace proměnných. – spočtění korelační matice: proc corr data=ms pearson spearman; run; quit;
– rozšířený model mnohonásobné regrese influence – zjistí, jestli v množině vysvětlujících proměnných není nějaká odlehlá hodnota. - Leverage( vliv) – hii – - DFFITS – Welschova kulova vzdálenost – opět posouzení vlivnost r – vlivnost a odlehlost spec – spočte tvz Whiteův test – umožňuje posoudit konstantní rozptyl reziruí. plot r. *p. – konstrukce reziduálního grafu, orientační posouzení vlastností plot cookd. *p. – graf hodnot cookovi vzdálenosti symbol - provedení grafů : v=dot (tečky) c=green; output - vytvoříme pomocný soubor: out=diag (název souboru) r=rezid; a s jeho pomocí chceme kontrolovat vlastnosti reziduí, obsahuje jedinou proměnnou nazvanou rezid – rezidua.
SVS
přednášky
Proc reg data=ms corr; model body=hodiny iq/r influence vif spec; plot r. *p.; plot cookd. *p.; symbol v=dot c=green; output out=diag r=rezid; run; quit;
Proc reg data=ms corr; model body=hodiny iq/r influence vif spec; plot r. *p.; plot cookd. *p.; symbol v=dot c=green; output out=diag r=rezid; run; quit; cokova vzdálenost je obecnější – do jaké míry to pozorování ovlivňuje celý model DFFITS - do jaké míry to nalezené pozorovaní ovlivňuje tu jednu konkrétní hodnotu veličiny Y, kde byla vlivná hodnota nalezrna.
- 44 -
SVS
přednášky
10.P
Vícenásobná regrese Y = a + bX
+ cX2
Y = b0 + b1 X1 + b2 X2 Př.: proc gplot data=A; plot spotreba*rychlost; symbol v=dot c=blue; run;
2 vysvětlující proměnné X1 – původní rychlost vozu X2 – rychlost2 1. průzkumová analýza
- 45 -
SVS
přednášky
mod insight: pro lineární model.
pozn.: vyžádání souboru – procedura PRINT – zobrazí soubor na který se chci podivat. proc print data=svs; var spotreba rychlost… run;
synraxe: proc svs1; set svs; rychlost2=rychlost*rychlost; proc reg data=svs1; LINEAR: model spotreba=rychlost; plot spotreba*rychlost; plot r.*p.; symbol v=dot c=red h=1; QUADRATIC: model spotreba=rychlost rychlost2/r influence spec; plot r.*p.; plot cookd.*p.; - nakreslí graf cook.vzdáklenosti. Osa X(predikované hodnoty, osa Y (cook.vz) ~ pro kterou vyrovnanou hodnotu se objevil problém. plot cookd.*obs.; - pro které pozorování se problém objevil. run;
- 46 -
SVS
přednášky
- 47 -
plot r.*p.; / konstrukce reziduálního grafu. plot cookd – chark kooovy vzdalenosti
výstupy:
model: LINEAR
• statisticky významný. • R2 = 0,6273 plot r.*p.; - reziduální graf modelu.
Podle reziduí se dá usuzovat, že model lineární není, ideální průběh reziduí u lin.modelu zobrazuje obdélník.
model: Quadratic • statisticky významný. • R2 = 0,98 ~ 98% - variabilita proměné spotřeba je z 98% vysvětlená proměnnou spotřeba. • odhady parametrů – individuální P-hodnoty jsou sta.významné.
Výstupové statistiky/ Výstupy regresní diagnostiky – posouzení kvality modelu QUADRATIC: model spotreba=rychlost rychlost2/r influence spec;
SVS
přednášky
- 48 -
• studentizovaná rezidua – podává informaci, zda ve vysvětlované proměnné nebyla nějaká hodnota, která by narušila model (extrém nebo odlehlost) - hodnoty ve sloupci porovnáme s /SR/ >2, nebo z hvězdičkovým výstupem ****, v modelu nebyla nalezena Y hodnota která by model zkreslila. Případný údaj je třeba ještě otestovat na vlivnost. • cookovo D - cookova vzdálenost určí že pozorování je nejen odlehlé, ale i vlivné. Hodnotí kombinace veličiny Y, X a X2 Jak vlivné pozorování ovlivňuje všechny hodnoty Y. ○ ukazuje vlivnost v globále, je ovlivněna počtem pozorování ○ D > 4 n
○ D > 0,5 = vlivné pozorování - pozorování č.8, • DFFITS (lepší test než cookova vzdálenost) – Welschova-kuova vzdálenost Říká jakým způsobem vlivné pozorování ovlivnilo pouze pozorování Y8. ○ p | DFFITS
|> 2
n
= 0 , 80
p=3 n=8 ○ |DFFITS| > = vlivné pozorování p – počet parametrů regresního modelu. (b0, b2, b3) opět identifikovala pozorování č.8 jako vlivné.
• Hat Diag H – klobouková matice ○
H
ii
> 2⋅
p 3 6 = 2⋅ = = 0 , 75 n 8 8
n – počet měření p – počet regresních parametrů (a, b = 2)
Ve sloupci žádný takový údaj není. Provedeme kontrolu údajú a ….
test první a druhé specifikace momentu – výstup Whiteůva testu kontroluje předpoklad použitelnosti modelu – zda rezidua (rozdíl závislé proměnné a predikované) mají konstantní rozptyl. • P-hodnota: 0,15 P.hot > 0,05 => H0. H0: rezidua mají konstantní variabilitu.
SVS
přednášky
- 49 -
11.p Kromě zkoumání kvantitativních proměnných je možné se zabývat zkoumáním kvatitativních proměnných. Jejich obměny nejsou vyjádřeni číselně.
Kategoriální proměnné (Kvalitativní) např.: vzdělání – ZS, SS, VS národnost kvalifikace barva očí základní pojmy: (různé členění) 1) typy kvalitativních znaků: a. alternativni znaky (pouze 2 obměny – pohlaví) b. množné (vzdělání atd.) 2) nominální znaky – jednotlivé varianty znaku můžeme pouze pojmenovat, ale nedají se utřídit např od nejmenší k největší. (národnost) 3) ordinální znaky – znaky lze pojmenovat a zároveň jdou setřídit na stupně. (vzdělání, kvalifikace) Analýza kvalitativních znaků: znak A, B A – A1, A2……….Ak B- B1,B2,………..Bm zkoumání je založeno na sestavení kontingenční tabulky kx m BN1
m
BN 2
n11 n12 KKK n1m n21 n22 KKK n2 m M M
nij
M
k
M M M
nk 1 n k 2 KK K nkm
nij – empirické (experimentální četnosti) - kolikrát se společně vyskytla varianta A1, B1 společně. 2 základní úkoly: I. posouzení závislosti kategoriálních znaků II. určení síly závislosti (těsnosti) III. ¨
SVS
přednášky
- 50 -
použití 2 testů: chí kvadrát – vyžaduje spočítat očekávané četnosti, na základě velikosti těch očekávaných četností se rozhodneme o užití testu. Tečkový způsob zápisu.
χ = ∑∑ 2
k
( nij − oij )2 oij
m
počet stupňů volnosti f = ( k − 1 )( m − 1 ) f = 1⋅1 = 1 ○ tabulková hodnota χ 02,05 ;1 = 3,841 ○ porovnání vypočtené a tabulkové hodnoty 2 χ 2 < χ dif
⇒ H 0 nazamítáme
2 χ 2 > χ dif
⇒ H 0 zamítáme existuje závislost a můžeme prokázat její těsnost
v SASU porovnáváme vypočtenou hladinu významnosti (P value). SAS se řídí heslem všechno se může hodit a vyhodí vše co umí, je třeba si vybrat vhodnou charakteristiku. p <α
⇒ H 0 zamítáme
H0: kvalitativní znaky A a B jsou nezávislé. očekávané četnosti – počítají se z marginálních četností n i • ⋅ n• j o ij = n
• chí kvadrát pro kontingenční tabulku k X m se nedá použít, jestli že více než 20% očekávaných četností je < 5, případně když alespoň v jednom políčku kontingenční tabulky je očekávaná četnost < 1. V těchto případech je nutno některé sousedící skupiny spojit (řádky nebo sloupce). Výstupy ~ 2 typy: o chí kvadrátové míry těsnosti závislosti – odvozeny od tesu chí kvadrát
Cramerovo V V =
χ2 n (k − 1; ) pokud H0 nezamítáme nemá smysl počítat těsnost závislosti
SVS
přednášky
- 51 -
K = menší hodnota z počtu řádků a sloupců. •
0 ≤ |V| < 0,3 – velmi slabá závislost 0,3 ≤ |V| < 0,8 (0,75) – střední závislost 0,8 ≤ |V| < 1 – velmi silná závislost
U tabulky 2X2 je třeba rozhodovat vždy v absolutní hodnotě. zásadní nevýhodou chí kvadrát testů závislosti je to, že nemají statistický obsah. Příklad: V = 0,56 – střední závislost, ale samo o sobě to číslo neznamená nic. Na rozdíl od r2 který vysvětluje variabilitu závislé proměnné. Nerozlišuje jestli zkoumané znaky jsou nominální nebo ordinální, dále nerozlišuje jestli znak je závisle nebo nezávisle proměnná. o Predikční míry – míry typu PRE (proportionale reduction error) – mají překonat zmiňované nevýhody. Testy pouze pro znaky nominální/ordinální.Charakteristiky rozlišují mezi závislou a nezávislou (asimetrické) . pozn.: vstupní tabulka 2x2 – Asociační tabulka pohlaví / souhlas M Ž
ANO B C
NE B D
zvláštnosti – chí kvadrát test dává spolehlivé výsledky pouze pro dostatečně velké rozsahy výběru. Pro n<20 jsou výsledky obvykle velmi nepřesné a tento test by se neměl používat. pro 2040 pokud nepoužijeme test Chí kvadrát, použijeme Fisherův test. Fisherův přesný test Buňka (1,1) Četnost (F) Levostranný Pr <= F Pravostranný Pr <= F
10 0.9956 0.0521
Tabulková pravděpodobnost (P) Dvoustranný Pr <= P
0.0477 0.0623
Velikost výběru = 20
SVS
přednášky
- 52 -
Př.: Bylo sledováno zda pravidelná účast studentů na přednáškách má vliv na úspěch v prvním termínu u ZK. Ověřte zda existuje závislost mezi znaky. účast/ uspěch Ano ne
ANO 30 10
NE 15 25
Tři proměnné: proměnná počet je kvantitativní.Úspěch a účast jsou kvalitativní.
Příslušná procedura: proc freq data=ms; tables uspech*ucast/expected norow nocol nopercent chisq measures; weight pocet; run;
tables jméno_řádkové proměnné(úspěch)* sloupcová proměnná weight– jméno kvantitativní proměnné. Bez ní by byli všechny četnosti nahrazeny 1. /: expected – vyžádání očekávaných četností, kůli zvolení testu. norow,nocol ,nopercent – vyjadřují procentické zastoupení v řádcích, sloupcích a celkové. Tímto je potlačujeme. chisq – vytištění testového kritéria chí.kvadrát measures – predikční míry The SAS System
11:33 Sunday, January 28, 2007 Procedura FREQ Tabulka pro uspech podle ucast uspech
ucast
Četnost ‚ Očekávaná‚ano
‚ne
‚ Součet
ano
‚ ‚
30 ‚ 22.5 ‚
15 ‚ 22.5 ‚
45
ne
‚ ‚
10 ‚ 17.5 ‚
25 ‚ 17.5 ‚
35
40
40
80
Součet
Splňuje podmínky pro užití chí kvadrát testu, 80>20
1
SVS
přednášky
- 53 -
Statistiky pro tabulku uspech na ucast Statistika
DF
Hodnota
Pr
1 1 1 1
11.4286 11.7384 9.9556 11.2857 0.3780 0.3536 0.3780
0.0007 0.0006 0.0016 0.0008
Chí-kvadrát Chí-kvadrát poměru věrohodností Spojitě přizp. Chí-kvadrát Mantel-Haenszelův Chí-kvadrát Koeficient Fí Kontingenční koeficient Cramerovo V
p (0,0007) < α
⇒ H 0 zamítáme
Prokázali jsme závislost mezi účastí na
přednáškách a ZK. 0,3 ≤ |V | < 0,8 (0,75) – střední závislost Fisherův přesný test Buňka (1,1) Četnost (F) Levostranný Pr <= F Pravostranný Pr <= F
30 0.9999 7.164E-04
Tabulková pravděpodobnost (P) 5.889E-04 Dvoustranný Pr <= P 0.001
The SAS System
11:33 Sunday, January 28, 2007
2
Procedura FREQ Statistiky pro tabulku uspech na ucast Statistika
Hodnota
ASE
Gama Kendallovo Tau-b Stuartovo Tau-c
0.6667 0.3780 0.3750
0.1361 0.1031 0.1027
Somersovo D C|R Somersovo D R|C
0.3810 0.3750
0.1038 0.1027
Pearsonova korelace Spearmanova korelace
0.3780 0.3780
0.1031 0.1031
Lambdaasymetrické C|R Lambdaasymetrické R|C Lambdasymetrické
0.3750 0.2857 0.3333
0.1169 0.1527 0.1257
Koeficient nejistoty C|R Koeficient nejistoty R|C Symetrický koeficient nejistoty
0.1058 0.1071 0.1064
0.0593 0.0600 0.0596
• Pro znaky nomiální • Pro znaky ordinální Zde se jedná o znaky nominální a zhodnotíme pomocí koef. lambda • • •
Lambda asymetrické C|R (závisle proměnná – sloupcová/ řádková nezávislá) Lambda asymetrická R/C (obráceně – úspěch/účast. Lamba symetrické – nediferencuje.
Lambdaasymetrická R/C = 0,2857 – proměnná účast na přednáškách ovlivňuej úspěch z 29%.
SVS
přednášky
Typ studie
- 54 -
Hodnota
Případové řízení (Poměr šancí) Skupina (Riziko slp1) Skupina (Riziko slp2)
95% Meze interv. spolehlivosti
5.0000 2.3333 0.4667
1.9141 1.3287 0.2936
13.0609 4.0976 0.7417
Velikost výběru = 80
12.p Př.: Bylo zkoumáno, zda použití určitého očkovacího sera může snížit počet onemocnění nakažlivou chorobou. Pokus byl proveden u 23 pokusných zvířat stejného stáří (12 jich bylo očkováno) a 11 neočkováno. A byla vystevena stejné nákaze. Výsledky šetření jsou uvedeny v tabulce: počet nakažených nenakažených celkem očkovaných 1 11 neočkovaných 7 4 celkem 8 15
12 11 23
teoretická četnost: (12*8) / 3 = 4,17 < 5 => nelze použít chíkvadrát test pro ověření nulové hypotézy H0: výskyt nákazy není závislý na očkování. použijeme:
Fisherův test celkem tři proměnné: 1. ockování – ano/ ne 2. nákaza – ano/ne – vysvětlovaná proměnná je ve sloupci i. tyto proměnné nelze třídit podle nějaké stupnice a jde o znaky nominální. 3. počet – skript: ods rtf; proc freg data=ms; tables ockovani*nakaza/norow nocol nopercent chisq measures; weight pocet; run; ods rtf close;
SVS
přednášky
- 55 -
použitý: proc freg data=mss; tables ockovani*nakaza/norow nocol nopercent chisq measures; weight pocet; run;
P (0,0094) < 0,05 => HA. Procedura FREQ Tabulka pro ockovani podle nakaza ockovani
nakaza
Četnost ‚ano
‚ne
‚ Součet
ano
‚
1 ‚
11 ‚
12
ne
‚
7 ‚
4 ‚
11
Součet
8
15
23
Statistiky pro tabulku ockovani na nakaza Statistika Chí-kvadrát Chí-kvadrát poměru věrohodností Spojitě přizp. Chí-kvadrát Mantel-Haenszelův Chí-kvadrát Koeficient Fí Kontingenční koeficient Cramerovo V
DF
Hodnota
Pr
1 1 1 1
7.7378 8.4155 5.4919 7.4014 -0.5800 0.5017 -0.5800
0.0054 0.0037 0.0191 0.0065
VAROVÁNÍ: 50% buněk má očekávané počty menší než 5. Chí-kvadrát může být neplatný test.
Fisherův přesný test Buňka (1,1) Četnost (F) Levostranný Pr <= F Pravostranný Pr <= F
1 0.0084 0.9997
Tabulková pravděpodobnost (P) Dvoustranný Pr <= P
0.0081 0.0094
doplňkové charakteristiky – příkaz measure: koef. mají statistický obsah Procedura FREQ Statistiky pro tabulku ockovani na nakaza Statistika
Hodnota
ASE
Gama Kendallovo Tau-b Stuartovo Tau-c
-0.9012 -0.5800 -0.5520
0.1144 0.1610 0.1655
Somersovo D C|R Somersovo D R|C
-0.5530 -0.6083
0.1655 0.1634
Pearsonova korelace Spearmanova korelace
-0.5800 -0.5800
0.1610 0.1610
0.3750 0.5455 0.4737
0.3278 0.1734 0.2271
Lambdaasymetrické C|R Lambdaasymetrické R|C Lambdasymetrické
SVS
přednášky
- 56 -
Koeficient nejistoty C|R Koeficient nejistoty R|C Symetrický koeficient nejistoty
0.2832 0.2643 0.2734
0.1670 0.1598 0.1629
Vybíráme podle typu vstupních dat: • pro ordinální znaky – koef. gamma or spearmen (pořadová korelace) • pro nominální znaky – lambdy. • • •
lambda asysmetrická C/R (závisle proměnná C – uvedená ve sloupci / R nezávislé proměnná – řádková proměnná) lambda asysmetrická R/C - obráceně lambda symetrická – nerozlišujeme která proměnná má roli příčiny a která důsledku, pouze vztah.
U příklady využijeme asymetrickou souvislost, zda je nakaza ovlivněna očkováním. Souvislost zde je, to již zjistil fisher test. Vybereme C/R: Lambdaasymetrické C|R - 0.3750 Nákaza je z 37,5% ovlivňováno tím, zda je jedinec očkován. „Budeme-li vědet, zda konkrétní jedinec byl očkován, tak tato informace nám o 37,5% zredukuje chyby odhadu toto, co se z jedincem stane.“
Kontingenční tabulka Př.: V určitém podniku byla prováděna analýza, zda příčina nespokojenosti pracovníků v podniku souvisí se stupněm jejich dosaženého vzdělání. cetnost V S Z suma
plat 15 28 38 81
prostredi vztahy rizeni jiné 7 6 16 29 27 17 32 28 12 68 61 45
suma 6 19 20 45
50 120 130 300
máme zde opět tři proměnné, 2 kvalitativní a jednu kvantitativní. vzdělání – ordinální nespokojenost – nominální H0: není rozdíl ve spokojenosti a vzdělání. tables rádková_proměnná*sloupcová proměnná proc freg data=ms order=data; tables vzdelani*nespokojenost/norow nocol nopercent chisq measures; weight pocet; run;
order=data – chceme aby byly zachovány řádky a sloupce v původním pořadí, tabulka v původní struktuře. pokud chci výstup ve formátu RTF – ods rtf;
SVS
přednášky
- 57 -
výstup: automaticky u kontingenční tabulky není nabízen fisherův test. A pokud není splněna podmínka pro chí test, fisherův test vyvoláme příkazem: exact tables vzdelani*nespokojenost/exact
…………………………………………………………………………………………………. chí kvadrát P (0,0211) < 0,05 => Ha cramerovo V 0,17 ………………………………………………………………………………………………….. Ha: spokojenost souvisí s dosaženým vzděláním, závislost spokojenosti je slabá (0,17). Při použití predikční míry: (pokud je alespoň jeden znak nominálního typu, využíváme pouze koeficienty lambda) nespokojenost je sloupcová proměnná – lambdaasymetrické C/R……………0,0091 Procentické ovlivnění nespokojenosti vzděláváním je 0,9%. Vzdělání hraje velmi slabou roly.
SVS
přednášky
- 58 -
Časové řady závisle proměnná – sledovaný ukazatel nezávisle proměnná – čas
Cílem je získat extrapolační předpoklady a navrhnout výstižné předpoklady. TSFS – time series forecasting systém Y1, Y2…………….Yn 1 2 …………n
vyrovnání časové řady funkcí a predikce
Základní termíny: referenční období – (1995 až 2003) V Sasu jsou k dispozici: - klasické trendové modely (lineární, kvadratický, exponentiální atd) - adaptivní modely – pokud řada vykazuje nějaké nesrovnalosti. Neustále se přizpůsobují nejnovější informaci. Řadu modelují po částech a vyrovnávají jednotlivé úseky. Zabezpečují diskontní váhy, které nejstarším hodnotám přidávají menší váhu než těm novějším. - kombinované modely které spojují obě – ARIMA a SARIMA modely – univerzální systém pro modelování časových řad.
SVS
přednášky
- 59 -
12.přednáška Tvorba předpovědí – největší váhu mají poslední údaje (stárnutí informace). Stárnutí informace nám zabezpečují adaptivní modely:
a. Braunův model jednoduchého exponenciálního vyrovnávání – váhy jednotlivých hodnot směrem do minulosti exponenciálně klesají. Váhy přidělujeme jednou vyrovnávací konstantou. Braunův model se nesnaží proložit model jednou „čarou“, ale hledá homogenní úseky a ty pak prokládá.
Model je vhodný, pokud se časová řada dá rozložit na úseky, kdy má konstantní trend.Pro jednoduché modely bez trendu. vyrovnávací konstanta…………………………………α (0,1) – empirické nalezení metodou: pokus/omyl MSE = mean Squared Error - hledáme min. hodnotu charakteristiky. MSE =
1 Σ(Yt − Y ´t ) 2 n
Yt , t = 1,….n – skutečné Y´t – vyrovnané hodnoty (teoretické hodnoty časové řady)
b. Braunův model dvojitého exponenciálního vyrovnávání -
vhodné pro situace, kdy se řada dá rozdělit na malé dílčí úseky, kdy každý úsek se dá popsat lineárním trendem.
vyrovnávací konstanta…………………………………α (0,1) – pomocí konstanty se zde modeluje průměrná hodnota časové řady a dále se zde modeluje trend čas. řady, jako u bodu a.
c. Braunův model trojitého exponenciálního vyrovnávaní. dílčí úseky lze popsat kvadratickým trendem
d. Hortův model exponenciálního vyrovnávání. Podobné jako u dvojitého braunova, použijeme tehdy,kkdyž je zřetelná lineární složka, resp. pokud je v modelu výrazný trend. Používá 2 vyrovnávací konstanty: úrovňová vyrovnávací konstanta…………………………………α (0,1) trendová vyrovnávací konstanta……………………………….…β (0,1)
SVS
přednášky
- 60 -
Časové řady v programu SAS 1. Založení datového souboru v knihovně work. Údaje psát do sloupců. 2. uložit datový soubor 3. čas. Řady lze dělat procedurálně (programovat), pokud přesně neznám typ trendu, použiji modul. Modul pro trend: 1. je třeba opustit tabulku. 2. Solutions – analysis – Time series forecaasting systém - systém předpovědi čas.řad. develop models nabídka knihoven, vyberu náš datový soubor. Vyplnit: Data set: název souboru ms Variable : proměnou sou peníze Naším časovým intervalem sou roky a proměnou peníze a SAS to musí vědět. Time Id:_____________ Interval: _____________
SELECT CREATE
Create from starting date and freguenci (tvořit podle vstupních údajů a četností) Create from existent variables – podle proměnných … Create from observation numbers – podle počtu měření (v našem příkladě 9) Create from starting date and freguenci Time ID creation ….. Starting date: 1995 počáteční údaj, první sledování Interval : specifikovat- type ~ YEAR Ok OK
Po dvojím OK jsem zpátky v nabídce knihoven a mám vyplněny všechny údaje. Data set: MS Variable : PENÍZE Time Id: DATE Interval: YEAR OK Potvrdím
SVS
přednášky
.
Nastavit MAPE Mean A.P. error
Rozpětí : SET RANGES DATA RANGE: celá řada FIT RANGE: období modelu pro časové řady EVALUATION RANGE: hodnotící období, které posuzuje modelu při extrapolaci.
- 61 -
SVS
přednášky
Zvolení modelu: Ručně – TOOLS – Diagnostic serie
Automaticky vyhledá trend atd. OK Dále: OPTIONS – AUTOMATIC FIT Zvolím si např. 6 best modelů. To znamená, pokud existuje 6 Modelů, tak mi je to vyhledá a seřadí podle nejlepšího.
- 62 -
SVS
přednášky
Pak pravím tlačítkem myši v ploše a FIT MODELS AUTOMATICLI¸
Zobrazilo se několik nejlepších funkcí. Nejhorší je linear Trent ~ MAPE 3,16 % Vyberu fci, linear trend –
Horní a dolní interval spolehlivosti. Naměřené hodnoty by se měli s 95% spolehlivostí měli pohybovat v tomto rozmezí --
rovnici trendové funkce posouzení kvality modelu – tlačítko σ 2 forecast table. – předpovědní tabulka
- 63 -
SVS
b = 533,86 a = 28,78
přednášky
- 64 -
o Trendová linear. funkce Y´t = a + b . t
o
Y´t = 533,86 + 28,7833 t
posouzení kvality modelu σ 2
∑ (Yt − Yt ) = 1− ∑ (Yt − Y ) ´
R – Square –Index determinace I
Mean Absolute chyba MAPE – 3,16 %
2
2
= 0,89
SVS
přednášky
Předpovědní tabulka
Předpokládáme že v roce 2005 se zaplatí za kulturu 850 kč, v roce 2006 880 kč.
Volba jiného trendu Braunůw double model je z těchto přednastavených nejlepší. pravím / levým tlačítkem myši v ploše a FIT ARIMA model
- 65 -
SVS
přednášky
- 66 -
ADD . – zobrazení nabídky funkce:
Linear trend Trend curve - nabídka trendových funkcí. Regressors Interval …… Zvolili jsme Quadratic trend – Přímka se dá velice slušně nahradit parabolou, která už je hodně daleko a na krátkém úseku připomíná přímku. Ok
Můj zvolený kvadratický trend je podle hodnoty MAPE mnohem lepší než původní lineární a téměř stejně dobrý jako Brownův.
Do budoucna lehce klesá . Výdaje na kulturu by klesaly? Je třeba vyzkoušet ještě další trendy. Nejlepší se jeví logaritmický s indexem MAPE 1,17. Je lepší než původní nabízené.
SVS
přednášky
- 67 -
Odhady: Čekáme že se to bude každý rok zvyšovat , ale ne tak prudce, jak předpovídá lineární trend ale logaritmicky.
. Model se tedy jeví jako nejlepší a teď je třeba to ověřit.
Ověření kvality zvoleného modelu Zvolím si kratší časový úsek, třeba 1995 – 2000 a udělám extrapolaci na rok 2001 do 2003. Pokud se odhadované hodnoty budou shodovat s skutečnými naměřenými hodnotami, model je velice kvalitní a vhodný pro předpověď do budoucna.
