11MSP: Dom´ ac´ı pˇr´ıprava ˇ c. 3 Vnitˇrn´ı a vnˇ ejˇs´ı popis diskr´ etn´ıch syst´ em˚ u Dopˇredn´ a Z-transformace Zpˇ etn´ a Z-transformace ˇ sen´ı diferenˇ Reˇ cn´ıch rovnic Stabilita diskr´ etn´ıch syst´ em˚ u Spojov´ an´ı syst´ em˚ u Diskretizace Jan Pˇrikryl, Bohumil Kov´aˇr, Lucie K´arn´a 29. dubna 2015
Obsah 1 Pˇrevod mezi vnˇ ejˇs´ım a vnitˇrn´ım popisem
2
2 Opakov´ an´ı iterativn´ıch v´ ypoˇ ct˚ u
4
3 Dopˇredn´ a Z-transformace
4
4 Z-transformace v´ yraz˚ u
6
5 Zpˇ etn´ a Z-transformace
7
ˇ sen´ı diferenˇ 6 Reˇ cn´ıch rovnic
8
7 Stabilita diskr´ etn´ıch syst´ em˚ u
9
8 Spojov´ an´ı syst´ em˚ u
9
9 Diskretizace
11
Kromˇe ot´ azek, uveden´ ych v tomto psan´ı, se v p´ısemce samozˇrejmˇe mohou vyskytnout ot´azky na cokoliv z odpˇredn´ aˇsen´e teorie – pˇredpokl´ad´ame, ˇze jste dostateˇcnˇe sezn´ameni se z´akladn´ımi vlastnostmi spojit´ ych a diskr´etn´ıch syst´em˚ u a s teori´ı (a matematick´ ymi postupy) vnˇejˇs´ıho a vnitˇrn´ıho popisu syst´em˚ u.
1
Doporuˇcujeme vaˇs´ı pozornosti text Pˇr´ıklady na Z-transformaci, jenˇz si m˚ uˇzete st´ahnout jako priklady_z_2015.pdf z webov´ ych str´anek s programem cviˇcen´ı. V p´ısemce se neobjev´ı pˇr´ıklady na stabilitu syst´em˚ u, spojov´ an´ı syst´em˚ u a diskretizaci (posledn´ı tˇri ˇc´ıslovan´e odstavce). Uv´ ad´ıme je zde pro u ´plnost, objev´ı se aˇz v z´ avˇereˇcn´em testu.
1 Pˇrevod mezi vnˇ ejˇs´ım a vnitˇrn´ım popisem Pˇrevod mezi vnˇejˇs´ım a vnitˇrn´ım popisem jsme si ukazovali na pˇredn´aˇsce pro spojit´e syst´emy. U syst´em˚ u diskr´etn´ıch je postup zcela analogick´ y. Pˇ r´ıklad 1. Diskr´etn´ı LTI syst´em, popsan´ y rovnic´ı n
y[n + 2] − y[n + 1] + y[n] = −
1 2
(1)
s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y[0] = 1 a y[1] = −1 pˇreved’te na ekvivalentn´ı vnitˇrn´ı popis. Zapiˇste matice vnitˇrn´ıho popisu. ˇ sen´ı: Reˇ Analogicky se spojit´ ymi syst´emy zavedeme substituci x1 [n] ≡ y[n], x2 [n] ≡ y[n + 1] z ˇcehoˇz plyne rovnou x1 [n + 1] = x2 [n]. Po dosazen´ı do (1) m´ ame x2 [n + 1] − x2 [n] + x1 [n] = −
n 1
2
x2 [n + 1] = −x1 [n] + x2 [n] −
n 1
2
Syst´em je tedy pops´ an soustavou rovnic x1 [n + 1] = x2 [n] x2 [n + 1] = −x1 [n] + x2 [n] −
n 1
2
y[n] = x1 [n]. a matice jsou "
#
" #
0 1 M= , −1 1 h
N=
i
0 , 1
D = ∅.
C= 1 0 ,
2
´ Ukol 1. Diskr´etn´ı LTI syst´em, popsan´ y rovnic´ı 1 y[n + 2] − y[n] = (−2)n 2 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y[0] = −1 a y[1] = 0 pˇreved’te na ekvivalentn´ı vnitˇrn´ı popis. Zapiˇste matice vnitˇrn´ıho popisu. ´ Ukol 2. Diskr´etn´ı LTI syst´em, popsan´ y rovnic´ı 1 y[n] − y[n − 2] = (−2)n 2 pˇreved’te na ekvivalentn´ı vnitˇrn´ı popis. Zapiˇste matice vnitˇrn´ıho popisu. Pˇ r´ıklad 2. Mˇejme diskr´etn´ı LTI syst´em, popsan´ y soustavou rovnic x1 [n + 1] = 2x1 [n] + x2 [n] x2 [n + 1] = −x1 [n] − u[n] y[n] = x1 [n]. s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami x1 [0] = −1 a x2 [0] = 1. Bez pouˇzit´ı Z-transformace naleznˇete moˇznou rovnici vnˇejˇs´ıho popisu syst´emu a odpov´ıdaj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. ˇ sen´ı: Reˇ Prost´ ym dosazen´ım y[n] ≡ x1 [n] a y[n + 1] ≡ x1 [n + 1] m´ame y[n + 1] = 2y[n] + x2 [n] x2 [n + 1] = −y[n] − u[n]. Syst´em je LTI, prvn´ı rovnici m˚ uˇzeme proto pˇrepsat substituc´ı n → n + 1 na y[n + 2] = 2y[n + 1] + x2 [n + 1] a po dosazen´ı druh´e rovnice soustavy za x2 [n + 1] m´ame y[n + 2] = 2y[n + 1] − y[n] − u[n]. V´ ysledn´a rovnice vnˇejˇs´ıho popisu by tedy mohla b´ yt napˇr´ıklad y[n + 2] − 2y[n + 1] + y[n] = −u[n]. Protoˇze je y[n] = x1 [n], je y[0] = x1 [0] = −1. Z prvn´ı rovnice soustavy potom m´ame y[1] = 2x1 [0] + x2 [0] a druh´ a poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınka je proto y[1] = −1. ´ Ukol 3. Mˇejme diskr´etn´ı LTI syst´em, popsan´ y soustavou rovnic x1 [n + 1] = 2x2 [n] − u[n] x2 [n + 1] = −x1 [n] y[n] = x2 [n]. s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami x1 [0] = 1 a x2 [0] = 0. Bez pouˇzit´ı Z-transformace naleznˇete moˇznou rovnici vnˇejˇs´ıho popisu syst´emu a odpov´ıdaj´ıc´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky.
3
2 Opakov´ an´ı iterativn´ıch v´ ypoˇ ct˚ u Pˇ r´ıklad 3. Bez pouˇzit´ı Z-transformace vypoˇctˇete prvn´ıch pˇet ˇclen˚ u posloupnosti v´ ystupu diskr´etn´ıho LTI syst´emu s impulsn´ı odezvou h[n] = −
n 1
2
pokud na vstup pˇrivedeme sign´ al u[n] = (−1)n . ˇ sen´ı: Reˇ V´ ystup diskr´etn´ıho LTI syst´emu je d´an konvoluc´ı vstupu s impulsn´ı odezvou, tedy y[n] =
∞ X
h[n − m]u[m] =
m=0
n X
h[n − m]u[m].
m=0
Z toho y[0] = h[0]u[0] =1·1=1 y[1] = h[1]u[0] + h[0]u[1] 1 1 = · 1 + 1 · (−1) = − 2 2 y[2] = h[2]u[0] + h[1]u[1] + h[0]u[2] 1 1 3 = · 1 + · (−1) + 1 · 1 = 4 2 4 y[3] = h[3]u[0] + h[2]u[1] + h[1]u[2] + h[0]u[3] 1 1 1 5 = · 1 + · (−1) + · 1 + 1 · (−1) = − 8 4 2 8 y[4] = h[4]u[0] + h[3]u[1] + h[2]u[2] + h[1]u[3] + h[0]u[4] 1 1 1 11 1 · 1 + · (−1) + · 1 + · (−1) + 1 · 1 = = 16 8 4 2 16 ´ Ukol 4. Naleznˇete h[n], v´ıte-li, ˇze s[n] = (7/8)n . ´ Ukol 5. Naleznˇete prvn´ıch pˇet ˇclen˚ u odezvy y[n] diskr´etn´ıho LTI syst´emu na vstupn´ı posloupnost u[n] = {1, 1, 0, 0, 0, . . . }∞ ıte-li, ˇze h[n] = (7/8)n . n=0 , v´ ´ Ukol 6. Naleznˇete prvn´ıch pˇet ˇclen˚ u posloupnosti impulsn´ı odezvy h[n] diskr´etn´ıho LTI syst´emu, jehoˇz odezva na vstupn´ı posloupnost u[n] = {1, −1, 0, 1, 0, . . . }∞ n=0 je y[n] = {−1/2, 1, 0, −1, 0, . . . }∞ . n=0
3 Dopˇredn´ a Z-transformace Pˇ r´ıklad 4. Urˇcete F (z), pokud f [n] = nan .
4
ˇ sen´ı: Reˇ Podle pˇredn´ aˇsek (a s vyuˇzit´ım vˇety o derivaci obrazu a znalosti o derivaci pod´ılu dvou funkc´ı) je d 1 dz 1 − az −1 0 · (1 − az −1 ) − 1 · (0 + az −2 ) −az −2 = −z = −z (1 − az −1 )2 (1 − az −1 )2 az −1 . = (1 − az −1 )2
Z {nan } = Z {nan } = −z
Pˇ r´ıklad 5. Naleznˇete F (z) pro spojitou funkci na obr´azku za pˇredpokladu, ˇze funkce je vzorkov´ ana s periodou T = 1 s.
f (t) 4 3 2 1 t
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
ˇ sen´ı: Reˇ Prvn´ıch jeden´ act ˇclen˚ u posloupnosti f [n], kter´a vznikne navzorkov´an´ım spojit´eho sign´alu f (t), zap´ıˇseme pro pˇrehlednost do tabulky: n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
nT
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f [n] = f (nT )
0
2
4
2,5
1
1
1
1
1
1
1
5
D´ale postupujeme v´ ypoˇctem transformace podle definiˇcn´ıho vzorce, F (z) =
∞ X
f [n]z −n = 0 · z 0 + 2 · z −1 + 4 · z −2 + 2,5 · z −3 + 1 · z −4 + 1 · z −5 . . .
n=0
= 2z −1 + 4z −2 + 2,5z −3 + = 2z −1 + 4z −2 + 2,5z −3 +
∞ X
z −m
m=4 z −4
1 − z −1
.
´ Ukol 7. Urˇcete F (z), pokud f [n] = ean . ´ Ukol 8. Naleznˇete Z-transformaci posloupnosti, jeˇz vznikne vzorkov´an´ım spojit´eho sign´alu z pˇr´ıkladu 5 s periodou T = 1/2 s. ´ Ukol 9. S pomoc´ı definiˇcn´ıho vztahu ukaˇzte, ˇze Z-transformace posloupnosti zpoˇzdˇen´eho jednotkov´eho skoku ( 1 pro n ≥ m xn = 1[n − m] = 0 pro n < m je rovna z 1−m . z−1
X(p) =
´ Ukol 10. Pomoc´ı Eulerova vzorce odvod’te Z {cos(an)}. ´ Ukol 11. S pomoc´ı vzorce pro Z-transformaci konvoluce dokaˇzte, ˇze pro w[n] = n + 1 z2 je W (z) = (z−1) 2. N´apovˇeda: Uvˇedomte si, jak´ ych hodnot nab´ yv´a posloupnost w[n] pro n = 0, 1, 2, . . . . Pn Vyj´adˇrete tento souˇcet jako w[n] = m=0 x[n]y[n − m] a naleznˇete odpov´ıdaj´ıc´ı x[n] a y[n] a jim odpov´ıdaj´ıc´ı X(z) a Y (z).
4 Z-transformace v´ yraz˚ u Pˇ r´ıklad 6. Naleznˇete F (z) periodick´e sekvence, pro niˇz plat´ı f [n + 2] = f [n], f [0] = −5 a f [1] = 5. ˇ sen´ı: Reˇ Podle vˇety o posunut´ı je Z {f [n + 2]} = Z {f [n]} , 2
2
z F (z) − z f [0] − zf [1] = F (z) z 2 F (z) − F (z) = −z 2 f [0] − zf [1] F (z) =
−z 2 f [0] − zf [1] z2 − 1
6
a po dosazen´ı poˇc´ ateˇcn´ıch podm´ınek F (z) = 5
z(z − 1) z =5 . (z + 1)(z − 1) z+1
´ Ukol 12. Zapiˇste Z-transformaci soustavy rovnic vnitˇrn´ıho popisu syst´emu x1 [n + 1] = x2 [n] x2 [n + 1] = −x1 [n] + x2 [n] − u[n] y[n] = x1 [n]. Z transformovan´e soustavy vyj´ adˇrete Y (z) jako funkci U (z) pro poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x1 [0] = 1 a x2 [0] = −1. ´ Ukol 13. Urˇcete fundament´ aln´ı periodu a naleznˇete Z-transformaci periodick´e posloupnosti f [n], naznaˇcen´e na n´ asleduj´ıc´ım obr´azku f [n] 4 3 2 1 n
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
´ Ukol 14. Vyj´ adˇrete Y (z) jako funkci U (z) pro diskr´etn´ı LTI syst´em popsan´ y diferenˇcn´ı rovnic´ı y[n + 2] − y[n + 1] + y[n] = u[n] s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y[0] = 1 a y[1] = −1.
5 Zpˇ etn´ a Z-transformace ´ Ukol 15. Najdˇete y[n] = Z
−1
bz 1 z − 1 1 − az −1
. n+1 b(a − 1) ˇ Reˇsen´ı: a−1
7
´ Ukol 16. Najdˇete y[n] = Z
−1
z (−2 z + b + a) − . (−z + a)(−z + b)
ˇ sen´ı: [an + bn ] Reˇ
´ Ukol 17. Najdˇete y[n] = Z −1
za(b − 1) . (za − b)(za − 1)
n b −1 ˇ Reˇsen´ı: an
´ Ukol 18. Najdˇete (
y[n] = Z −1
z −za + a2 − z 2 + 2 zb − b2 a (−z + b)2 (−z + a)
)
. ˇ sen´ı: nbn−1 + an−1 Reˇ
ˇ sen´ı diferenˇ 6 Reˇ cn´ıch rovnic ´ Ukol 19. S pomoc´ı Z-transformace vyˇreˇste diferenˇcn´ı rovnici y[n + 1] − 3y[n] = 4n. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka je y[0] = 0. ´ Ukol 20. S pomoc´ı Z-transformace vyˇreˇste soustavu diferenˇcn´ıch rovnic √ √ 2 2 x[n + 1] = x[n] − y[n] 2 2 √ √ 2 2 y[n + 1] = x[n] + y[n] 2 2 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami x[0] = 1 a y[0] = 0. Pˇ r´ıklad 7. Vyˇreˇste homogenn´ı diferenˇcn´ı rovnici y[n + 2] − 4y[n + 1] + 3y[n] = 0 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y[0] = y0 = 1 a y[1] = y1 = 5. ˇ sen´ı: Reˇ Po Z-transformaci obdrˇz´ıme z rovnice (2) algebraickou rovnici ve tvaru z 2 Y (z) − z 2 y0 − zy1 − 4zY (z) + 4zy0 + 3Y (z) = 0
8
(2)
a proto z 2 Y (z) − 4zY (z) + 3Y (z) = z 2 y0 + zy1 − 4zy0 h
i
Y (z) z 2 − 4z + 3 = z 2 + 5z − 4z Y (z) =
z2 + z . (z − 1)(z − 3)
Pro rozklad na parci´ aln´ı zlomky mus´ıme vztah upravit (stupeˇ n polynomu v ˇcitateli mus´ı b´ yt niˇzˇs´ı, neˇz stupeˇ n polynomu ve jmenovateli), 1 z+1 1 1 Y (z) = = −1 · +2· z (z − 1)(z − 3) z−1 z−3 a odtud y[n] = Z
−1
{Y (z)} = Z
−1
z z − +2 z−1 z−3
= −1 + 2 (3)n .
7 Stabilita diskr´ etn´ıch syst´ em˚ u ´ Ukol 21. Urˇcete, zda je odezva syst´emu, popsan´eho v pˇr´ıkladu 7, stabiln´ı. ´ Ukol 22. Vyˇsetˇrete stabilitu syst´emu, diskutovan´eho v u ´loze 19. ´ Ukol 23. Urˇcete, jak´e hodnoty parametr˚ u a a b zaruˇc´ı stabilitu syst´emu s impulsn´ı odezvou bn − 1 h[n] = . an
8 Spojov´ an´ı syst´ em˚ u Pˇ r´ıklad 8. Diskr´etn´ı syst´em je tvoˇren dvˇema paralelnˇe zapojen´ ymi subsyst´emy, popsan´ ymi pomoc´ı d´ılˇc´ıch pˇrenosov´ ych funkc´ı z z H1 (z) = . a H2 (z) = − 1 z−α z−2 Zapiˇste v´ yslednou pˇrenosovou funkci cel´eho syst´emu. ˇ sen´ı: Reˇ Pro dva syst´emy zapojen´e paralelnˇe (tedy vedle sebe“) plat´ı, ˇze v´ ysledn´a pˇrenosov´a ” funkce syst´emu bude souˇctem d´ılˇc´ıch pˇrenos˚ u. V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy H(z) = H1 (z) + H2 (z) = =
z z−
1 2
−
z(z − α) − z(z − 12 ) z = z−α (z − 12 )(z − α)
z( 21 − α) . (z − 12 )(z − α)
9
´ Ukol 24. Zapiˇste pˇrenosovou funkci s´eriovˇe zapojen´ ych subsyst´em˚ u z pˇr´ıkladu 8. ´ Ukol 25. Uvaˇzujte nestabiln´ı diskr´etn´ı syst´em s pˇrenosem H(z) =
z 3 + 2z 2 − 3z + 2 . z 3 + 3z + 3
Jak´e zes´ılen´ı α mus´ı m´ıt zpˇetnovazebn´ı ˇclen, j´ımˇz v´ yˇse uveden´ y syst´em stabilizujeme? N´apovˇeda: Pˇrenos zpˇetnovazebn´ıho ˇclenu je Hα (z) = α. ´ Ukol 26. Vyj´ adˇrete pˇrenos H(z) = Y (z)/U (z) sloˇzen´eho syst´emu na n´asleduj´ıc´ım obr´azku:
H4 (z) u[n]
H1 (z)
+ +
−
H2 (z)
+
y[n]
H3 (z)
H5 (z) ´ Ukol 27. Vyj´ adˇrete pˇrenos H(p) = Y (p)/U (p) syst´emu na n´asleduj´ıc´ım obr´azku:
H1 (p) u(t) −
− +
H2 (p)
+
y(t)
H3 (p) ˇ Reˇsen´ı: H(p) =
H1 (p) + H2 (p) 1 + H1 (p) + H2 (p) + H2 (p)H3 (p)
´ Ukol 28. V jak´em vztahu mus´ı b´ yt pˇrenos G(p) ku H(p), aby pro n´ıˇze uveden´e syst´emy platilo y1 (t) ≡ y2 (t)? Zd˚ uvodnˇete.
10
u(t)
y(t)
H(p)
y1 (t)
u(t)
y(t)
H(p)
y2 (t)
G(p) ˇ Reˇsen´ı: G(p) =
1 H(p)
9 Diskretizace Pˇ r´ıklad 9. Pˇreved’te autonomn´ı spojit´ y LTI syst´em, popsan´ y homogenn´ı diferenci´aln´ı rovnic´ı y 00 (t) + 4y(t) = 0 (3) s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = 1 a y 0 (0) = 0, na syst´em diskr´etn´ı n´ahradou derivace dopˇrednou diferenc´ı. ˇ sen´ı: Reˇ Nahrad´ıme-li derivaci dopˇrednou diferenc´ı, dostaneme y(nT + T ) − y(nT ) T y(nT + 2T ) − 2y(nT + T ) + y(nT ) d d 00 y(t) ≈ y (t) = dt dt T2 y 0 (t) ≈
a po dosazen´ı do (3) y(nT + 2T ) − 2y(nT + T ) + y(nT ) + 4t(nT ) = 0, T2 y(nT + 2T ) − 2y(nT + T ) + y(nT ) + 4T 2 y(nT ) = 0. Pro ˇcleny v´ ystupn´ı posloupnosti y[n] plat´ı y[n] ≡ y(nT ) a proto y[n + 2] − 2y[n + 1] + y[n] + 4T 2 y[n] = 0, y[n + 2] − 2y[n + 1] + (4T 2 + 1)y[n] = 0. Zb´ yv´a urˇcit poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky diskr´etn´ıho syst´emu. Protoˇze je y(0) = 1, je tak´e y[0] = 0. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku v y[1] mus´ıme ale dopoˇc´ıtat z dopˇredn´e diference y 0 (0) ≈
y(T ) − y(0) y[1] − y[0] ≡ T T
odkud dostaneme postupnˇe y[1] − y[0] ≈ T y 0 (0), y[1] ≈ T y 0 (0) + y[0].
11
Odtud po dosazen´ı za y[0] = 0 y[1] ≈ T · 0 + 1 = 1. ´ Ukol 29. Na rovnici z pˇr´ıkladu 9 demonstrujte vliv r˚ uzn´e d´elky vzorkovac´ı periody T na kovergenci ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı rovnice k ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı diferenci´aln´ı rovnice: • Naleznˇete y(t) jako ˇreˇsen´ı rovnice (3) ve spojit´em ˇcase. • Naleznˇete y1 [n], y2 [n] a y3 [n] jako ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı diferenˇcn´ı rovnice se vzrokovac´ı periodou T1 = 1 s, T2 = 0,01 s a T3 = 0,0001 s. • Zakreslete vˇsechny ˇctyˇri pr˚ ubˇehy do jednoho grafu. Nezapomeˇ nte na spr´avn´e mˇeˇr´ıtko na ose t.
12
