Diskretizace spojitých systémů

Diskretizace spojitých systémů

Jaroslav Hlava

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

Diskretizace spojitých systémů Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

• Jen relativně malý počet objektů řízení je přirozeně popsán pomocí diferenčních rovnic . • Na diferenční rovnice přímo vede zejména modelování objektů z oblasti informatiky a logistiky: výpočetní systémy, servery, řízení dodavatelsko-odběratelských řetězců apod. • Tato aplikační oblast diskrétního modelování a řízení v poslední době sice nabývá na významu, viz např. monografie Hellerstein J. L. et al. (2004), Feedback Control of Computing Systems, Wiley-IEEE Press zaměřená výhradně na aplikace diskrétního řízení v oblasti výpočetních systémů, přesto však stále představuje spíše okrajovou problematiku. • Naprostá většina objektů řízených je proto spojitých a před návrhem číslicových regulátorů je třeba jej diskretizovat.


Dva hlavní důvody, proč řešíme úlohu diskretizace spojitého systému: a) Spojitý systém má být řízen počítačem. Je nutné najít diskrétní model spojitého systému, který odpovídá tomu, jak se tento spojitý systém jeví řídicímu počítači.Tato úloha může být vyřešena přesně ve smyslu naprosté shody odezev na změny akční veličiny mezi spojitým a diskrétním modelem (samozřejmě jen v okamžicích vzorkování) b) Regulátor je navržen jako spojitý, má však být realizován číslicově. Je třeba najít diskrétní systém, jehož chování bude vyhovujícím způsobem aproximovat chování spojitého regulátoru. Zde se vždy jedná jen o lepší či horší aproximaci. Toto rozlišení je velmi podstatné. Metoda, která přesně řeší úlohu a) za předpokladu použití tvarovače nultého řádu, je naprosto a zcela nevhodná pro úlohu b).


Diskretizace řízené soustavy - stavový model:

Na výstupu regulátoru je D/A převodník s tvarovačem nultého řádu: u (t ) = u ( kTv ) = konst pro kTv ≤ t < ( k + 1)Tv Stavové rovnice spojitého systému:

xɺ (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) + Du(t ) At x ( t ) = e c Obecné řešení homogenní rovnice xɺ (t ) = Ax (t ) je A ( t −t 0 ) x0 Počáteční podmínka x(t0)=x0, řešení pak lze psát jako x (t ) = e

Řešení úplné stavové rovnice lze získat metodou variace konstant

x (t ) = e A(t −t0 ) c (t ) a c (t0 ) = x0

xɺ (t ) = Ae A(t −t0 ) c (t ) + e A(t −t0 ) cɺ (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) = Ae A(t −t0 ) c (t ) + Bu(t ) cɺ (t ) = e − A(t −t0 ) Bu(t )


t

cɺ (t ) = e − A(t −t0 ) Bu(t )

t

c (t ) = c (t0 ) + ∫ e − A(τ −t0 ) Bu(τ )dτ = x (t0 ) + ∫ e − A(τ −t0 ) Bu(τ )dτ t0

t0

  − A (τ −t0 ) x (t ) = e c (t ) = e x (t0 ) + ∫ e Bu(τ )dτ    t0   S využitím tohoto řešení a faktu, že průběh akční veličiny je po částech konstantní u (t ) = u ( kTv ) = konst pro kTv ≤ t < ( k + 1)Tv, lze uvažovat t0=kTv, t=(k+1)Tv a psát ( k +1)Tv   ATv  − A (τ − kTv ) x ((k + 1)Tv ) = e x (kTv ) + ∫ e Bu(kTv )dτ  =   kTv   A ( t −t 0 )

= e ATv x (kTv ) + e

t

A ( t −t0 ) 

( k +1)Tv A ( k +1)Tv − Aτ

∫e

Bdτu(kTv )

kTv

M = e ATv ; N = e

( k +1)Tv A ( k +1)Tv − Aτ

∫e

kTv

Bdτ


M = e ATv ; N = e

( k +1)Tv A ( k +1)Tv − Aτ

∫e

Bdτ

kTv

Výraz pro N lze upravit do vhodnějšího tvaru substitucí ν=τ-kTv Tv

N = e ATv ∫ e − Aν dνB 0

Je-li matice A regulární, lze integraci provést :

(

)

(

)

N = e ATv − I A−1B = A −1 e ATv − I B Je-li matice A singulární je nutné postupovat jinak např. využít rozvoje eAT do nekonečné maticové řady a tu integrovat člen po členu Výstupní rovnici diskretizujeme dosazením t=kTv

y ( k ) = Cx ( k ) + Du( k )


Diskretizace řízené soustavy - vnější popis: a) Lze využít mezipřevod na stavový popis. Přenos převedeme některou z programovacích metod (metoda snižování řádu derivace, metoda postupné integrace) na stavový popis, ten diskretizujeme a přejdeme pak k diskrétnímu přenosu pomocí vztahu −1 G ( z ) = C ( zI - M ) N + D Tento postup je vhodný pro numerický výpočet na počítači


Exkurs: Převod přenosu na stavový popis – metoda snižování řádu derivace an y ( ) (t ) + an−1 y ( n

n −1)

(t ) + .. + a0 y (t ) = bnu ( ) (t ) + bn−1u ( n

n −1)

(t ) + .. + b0u (t )

Přenos roztrhneme na součin dvou fiktivních přenosů vázaných proměnnou yR Y ( s ) bn s n + bn −1s n −1 + .. + b0 = = n n −1 U ( s ) an s + an −1s + .. + a0 bn s n + bn−1s n−1 + .. + b0 YR ( s ) Y ( s ) 1 = = n n −1 an s + an −1s + .. + a0 1 U ( s ) YR ( s )

an yR ( ) (t ) + an −1 yR ( n

n −1)

(t ) + .. + a0 yR (t ) = u (t )

y (t ) = bn yR ( ) (t ) + bn−1 yR ( n

n −1)

(t ) + .. + b0 yR (t )


an yR ( ) (t ) + an −1 yR ( n

n −1)

(t ) + .. + a0 yR (t ) = u (t )

y (t ) = bn yR ( ) (t ) + bn−1 yR ( n

n −1)

(t ) + .. + b0 yR (t )

Zavedeme fiktivní stavové proměnné x1 (t ) = yR (t ) x2 (t ) = yɺ R (t ) ⋮

xɺ1 (t ) = yɺ R (t ) = x2 (t ) xɺ2 (t ) = ɺɺ yR (t ) = x3 (t ) ⇒

xn (t ) = yR( n−1) (t )

xɺn (t ) = yR( n ) (t ) = −

an−1 a a 1 xn (t ) − n −2 xn−1 (t ) − .. − 0 x1 (t ) + u (t ) an an an an


 0  0   ⋮ A=  0  a0 − a  n

1

0

0

1

0

0

a1 − an

a2 − an

 a0 c = b0 − bn an 

a1 b1 − bn an

0  … 0     … 1  an−1  … − an  …

a2 b2 − bn an

0 0   0 b=  ⋮  1 a   n  bn  an−1  d =  … bn−1 − bn  an   an 

tzv. Frobeniův kanonický tvar, vnější chování odpovídá výchozímu přenosu, stavové proměnné jsou zcela fiktivní a nemají žádný fyzikální význam


b) Přímá diskretizace přenosu

Diskrétní signál u(kT) na výstupu číslicového regulátoru je definován jen v diskrétním čase, jeho převod na signál u(t), který je funkcí spojitého času zabezpečuje tvarovač


Diskrétní posloupnost vstupující do tvarovače modelujeme jako ∞ posloupnost Diracových impulsů u * (t ) = ∑ u (iTv )δ (t - iTv ) i =0

Tvarovač nultého řádu pak lze modelovat jako člen, který ze vstupního impulsu u(kTv)δ(t- kTv) vytvoří konstantní signál trvající po dobu jedné periody vzorkování u (t ) = u ( kTv ) = konst pro kTv ≤ t < ( k + 1)Tv Jeho impulsní odezva je tedy g T (t ) = 1(t ) − 1(t − Tv ) a jeho přenos v Laplaceově transformaci T0 ( s ) =

(

1 1 − e − sTv s

)

Obdobným postupem lze odvodit i přenosy tvarovačů vyšších řádů


Vytvoříme nejprve přenos Gc(s) celé spojité části Gc ( s ) = G ( s )T ( s ) V konkretizaci pro tvarovač nultého řádu:

(

Gc ( s ) = G ( s )T0 ( s ) = 1 − e

− sTv

)

1 G ( s) s

Na vstup přichází diskrétní signál modelovaný na spojité rovině jako posloupnost Diracových pulsů na výstupu je signál rovněž vzorkován tzn. převáděn na posloupnost Diracových impulsů

(

)

 −1   −1  1   − sTv 1 −1 G( z) = Z  L  1 − e G ( s )   = (1 − z ) Z  L  G ( s )   s      s


Postup výpočtu je tedy následující a) vypočteme H(s)=(1/s)G(s) b) tento výraz převedeme do časové oblasti zpětnou Laplaceovou transformací a diskretizujeme dosazením t=kTv c) ke vzniklé diskrétní posloupnosti h(k) vypočteme její Z obraz a vynásobíme jej výrazem (1-z-1) Ke stejnému postupu lze dospět na základě úvahy, že signál, který přichází na vstup spojitého systému z tvarovače nultého řádu, je posloupností skoků a přesná diskretizace se tedy musí vyznačovat tím, že bude mít v okamžicích vzorkování stejnou odezvu na jednotkový skok jako původní systém – tzv. skokově invariantní diskretizace Diskretizace nemění stabilitu, u systémů 3. a vyšších řádů však minimálně fázový spojitý systém může vést na neminimálně fázový diskrétní ekvivalent!


Diskretizace systémů se zpožděním P( s ) = G ( s )e -sL Nejjednodušší případ nastane, pokud L=dTv, kde d je celé číslo P ( z ) = G ( z ) z -d

Tento model je konečného řádu!

Obecně však bude platit spíše L = dTv + δL; − Tv 2 ≤ δL ≤ Tv 2 Většinou je však chyba identifikace zpoždění větší než δL a lze tak δL zanedbat. Pokud to není možné, lze postupovat tak, že člen e −δLs nahradíme vhodnou racionální aproximací zpoždění. Diskretizovaný přenos je pak opět ve tvaru P( z ) = G ( z ) z -d přenos G(z) však vznikl diskretizací přenosu G(s)A(s), kde A(s) je racionální aproximace zpoždění


Aproximace zpoždění přenosem ve tvaru racionální lomené funkce 1 1 1. Taylorova řada e -sL = 1 = Tn ( s ) = e sL

2. Využití vztahu

e

- sL

∞

(sL )i

i =1

i!

1+ ∑

1 = lim i →∞ (1 + Ls i )i

L 1− s 2 P ( s ) = 3. Padého aproximace 11 L 1+ s 2 Platí P11 ( jω ) = 1, ∀ω P22 ( jω ) = 1, ∀ω

n

(sL )i

i =1

i!

1+ ∑

1 Gn ( s ) = (1 + Ls n )n

L L2 2 1− s + s 2 12 P22 ( s ) = L L2 2 1+ s + s 2 12

Aproximace fázové charakteristiky je však ve všech případech nutně nedokonalá, neboť fázové zpoždění systému konečného řádu nikdy s narůstající frekvencí nekonverguje k nekonečnu. To však nemusí být - sL na závadu, je-li přenos systému ve tvaru G ( s )e a amplituda přenosu G(s) je již velmi malá na frekvencích, kde se výrazněji uplatní chyba aproximace zpoždění


Příklad:

2 -7,2 s P( s) = e 5s + 1

Tv=0,5 s, L=0,5d+δL, d=14, δL=0,2

S využitím aproximace Taylorovou řadou P( s ) =ɺ

0 ,1218 z + 0 ,0529 P( z ) = 2 z -14 z − 0 ,9869 z + 0 ,0743

2 e -7 s (5s + 1)(0,2s + 1)


Diskrétní realizace spojitých regulátorů (emulace) Přesná metoda diskretizace s uvažováním tvarovače nultého řádu na vstupu soustavy je vhodná pro stanovení diskrétního modelu řízené soustavy, méně je však vhodná pro stanovení diskrétního ekvivalentu spojitého regulátoru Tvarovač nultého řádu: 1 1 − sTv T0 ( s ) = 1 − e ⇒ T0 ( jω ) = 1 − e − jωTv = s jω

(

)

e jωTv 2 − e − jωTv 2 − jωTv e jω

(

2

)

sin(ωTv 2) − jωTv = Tv e ωTv 2

2

Pokles zesílení na fv/2 oproti statickému zesílení (rovno Tv) je na 2/πTv tzn. o 3,92db. Fázové zpoždění vzrůstá od nuly až k π/2 na fv/2 Do regulačního obvodu je tak vneseno dodatečné fázové zpoždění, které zhoršuje stabilitu.


Pokud tedy přesnou metodu diskretizace s uvažováním tvarovače nultého řádu na vstupu soustavy (skokově invariantní diskretizace) použijeme pro diskretizaci přenosu řízené soustavy je to v pořádku, protože D/A převodník s chováním odpovídajícím chování tvarovače nultého řádu je na vstupu této soustavy reálně přítomen. Pokud bychom ji však použili k diskretizaci přenosu regulátoru zbytečně do regulační smyčky vneseme další fázové zpoždění (odpovídající členu se zpožděním Tv/2) a tím jej přiblížíme mezi stability ⇒ zvýšená kmitavost regulace popř. v horším případě jeho nestabilita.


Diskretizace zachovávající odezvu na rampu Na rozdíl od přesné diskretizace s uvažováním tvarovače nultého řádu, která zachovává průběh přechodové charakteristiky (skokově invariantní metoda) zachovává tato metoda průběh odezvy na lineárně proměnný signál (rampu) Postup výpočtu je v principu obdobný (1 − z −1 ) 2  −1  1  G (z ) = Z  L  2 G (s )   −1 Tz   s


Metody přibližné diskretizace Y (s) 1 Spojitý přenos integrálu: U ( s) = s

Výpočet integrálu levou (zpětnou) obdélníkovou metodou: k

y (kTv ) = Tv ∑ u (iTv ) Y ( z )(1 − z

i =1

−1

) = T U ( z) v

k −1

y ((k − 1)Tv ) = Tv ∑ u (iTv )

y (k ) − y (k − 1) = Tv u (k )

i =1

Tv Y ( z) = U ( z ) (1 − z −1 )

Srovnáním se spojitým přenosem dostaneme

(1 − z ) = z − 1 s← −1

Tv

Tv z

zpětná diference


Obdobně pro pravou (dopřednou) obdélníkovou metodu: k −2

k −1

y (kTv ) = Tv ∑ u (iTv ) y ((k − 1)Tv ) = Tv ∑ u (iTv ) y (k ) − y (k − 1) = Tv u (k − 1) i =0

i =0

Y ( z )(1 − z ) = T z −1

v

−1

−1

U ( z)

( 1− z ) z −1 s← =

Y ( z) Tz = v −1 U ( z ) (1 − z )

−1

Tv z −1

Tv

dopředná diference


Výpočet integrálu lichoběžníkovou metodou Tv k −1 y ((k − 1)Tv ) = ∑ {u (iTv ) + u ((i − 1)Tv )} 2 i =1 Tv Tv -1 y (k ) − y (k − 1) = {u (k ) + u ( k − 1)} Y ( z )(1 - z ) = U (z )(1 + z -1 ) 2 2

Tv k y (kTv ) = ∑{u (iTv ) + u ((i − 1)Tv )} 2 i =1

( (

) )

Y ( z ) Tv 1 + z −1 Tv ( z + 1) = = −1 U( z ) 2 1− z 2 ( z − 1)

2  1 − z −1  2  z − 1  =  s ←   −1  Tv  1 + z  Tv  z + 1 

Tustinova aproximace resp. bilineární transformace


Zobrazení stabilní oblasti spojitých systémů při použití různých metod přibližné diskretizace:

Dopředná diference je tak zřejmě nevhodná, neboť stabilní spojitý regulátor může převést na nestabilní diskrétní systém


Modifikace Tustinovy aproximace

ωTv 2 e jωTv − 1 2 e 0 ,5 jωTv − e −0 ,5 jωTv 2 s← = = j tan( ) jωTv 0 ,5 jωTv − 0 ,5 jωTv Tv e Tv 2 + 1 Tv e +e ωTv 2 za s tak nedosazujeme jω, ale j tan( ) Tv 2 K dosažení stejné hodnoty amplitudové frekvenční charakteristiky na definované frekvenci je třeba s v přenosu, který má být diskretizován, vynásobit vhodnou konstantou tak, aby platilo

ωcTv 0 ,5ωcTv 2 jk tan( ) = jω c ⇒ k = ωcTv Tv 2 tan( ) 2 tzv. frequency prewarping


Důležitý zvláštní případ: diskretizace rovnic PID regulátoru 1t de( t ) 1 u( t ) = ro [e( t ) + ∫ e( τ )dτ + Td ] ⇒ U ( s ) = ro [1 + + Td s ]E( s ) dt Ti s Ti 0

Obvykle se kombinují různé metody pro náhradu jednotlivých složek PID regulátoru Integrační složka: obdélníková metoda, lichoběžníková metoda Levá obdélníková metoda:

ro t roTv k e( τ ) ≈ e( i ) = I O ( k ) ∑ ∫ Ti 0 Ti i =1

(vhodnější než pravá, neboť reaguje na právě provedenou změnu žádané hodnoty) Lichoběžníková metoda:

ro t roTv k e( τ ) ≈ ( e( i ) + e( i − 1 )) = I L ( k ) ∑ ∫ Ti 0 2Ti i =1


Vztah pro výpočet integrační složky je třeba převést do podoby rekurzivně počítané diferenční rovnice (bylo by nerozumné počítat pokaždé znovu sumu od 0 či 1). Pro lichoběžníkovou metodu lze převod provést takto:

roTv k I L (k ) = ∑ (e(i) + e(i − 1)) 2Ti i=1 roTv k −1 I L (k − 1) = ∑ (e(i) + e(i − 1)) 2Ti i=1 roTv ⇒ I L (k ) − I L (k − 1) = (e(k ) + e(k − 1)) 2Ti roTv a konečně I L (k ) = I L (k − 1) + (e(k ) + e(k − 1)) 2Ti


Derivační složka: Nejjednodušší varianta: náhrada první diferencí de roTd ≈ roTd (e(k ) − e(k − 1)) Tv = D( k ) dt Tato jednoduchá náhrada je velmi citlivá na šum a v kombinaci s tím, že průběh regulované veličiny je diskrétní i v úrovni, mohou vzniknou problémy při malých hodnotách periody vzorkování (odezva na rampu pak není konstantou, ale posloupností krátkých impulsů o vysoké amplitudě)

1. Alternativa: roTd s Vyjít z přenosu filtrované derivace: D ( s ) = (1 + sαTd ) kde parametr α je mezi 0,05 a 0,2. Ten lze diskretizovat např. pomocí Tustinovy aproximace


Při použití Tustinovy metody dostaneme aproximaci filtrované derivace, která je popsána spojitým přenosem roTd s D( s ) = (1 + sαTd )

v podobě diferenční rovnice 2roTd (2roTd α − Tv ) d (k ) = d (k − 1) ( e(k ) − e(k − 1) ) + (Tv + 2Td α ) (Tv + 2Td α )


2. Alternativa: Náhrada derivace průměrnou diferencí: Derivaci v okamžiku kTv nahradíme průměrnou rychlostí změn regulační odchylky za několik intervalů vzorkování

(Šulc & Vítečková, 2004)

Průměrná odchylka ek + ek −1 + ek −2 + ek −3 ek = 4 ∆ek 1  ek − ek ek −1 − ek ek − ek −2 ek − ek −3   = D(k ) = =  + + + Tv 4  1,5Tv 0,5Tv 0,5Tv 1,5Tv  ek + 3ek −1 − 3ek −2 − ek −3 = 6Tv


Wind-up efekt

Akční veličina je vždy omezená – žádný fyzický akční člen nemůže realizovat libovolně velké akční zásahy, naopak velikost integrační složky je omezena pouze maximální hodnotou, kterou lze v používané aritmetice zobrazit v počítači čili je prakticky neomezená ⇒ akční veličina reaguje na změnu znaménka regulační odchylky s velkým zpožděním Vhodnou ochranou je dynamické omezení integrační složky. Pokud akční veličina leží mimo realizovatelný rozsah, použije se nikoliv aktuální, ale minulá hodnota integrační složky I( k ) ← I( k −1)

integrační složka je tak zmrazena na předem neurčené hodnotě v závislosti na výstupu z ostatních složek regulátoru


Dynamické omezení integrační složky: 1. V každém okamžiku vzorkování spočtěte jednotlivé složky P(k), I(k) a D(k) 2. Spočtěte akční veličinu u(k)= P(k)+I(k)+D(k) 3. Je-li její velikost v realizovatelném rozsahu, pošlete ji do D/A převodníku. Pokud ne, akční veličina zůstane na jedné z mezí, aktuální hodnota I(k) se nepoužije a nahradí se I(k-1) V dalším okamžiku vzorkování se vše opakuje. Výstup integračního členu je tak zmrazen po celou dobu, kdy je akční veličina mimo rozsah a změna znaménka regulační odchylky se tak na akční veličině projeví okamžitě.


Volba periody vzorkování: Číslicový regulační obvod obsahuje prvky, které zhoršují fázovou bezpečnost oproti obvodu se spojitým regulátorem ⇒ musíme požadovat, aby toto zhoršení nebylo příliš výrazné – typicky max. 5 až 15° tzn. cca 0,087 až 0,26 rad. V každém případě musíme uvažovat vliv tvarovače nultého řádu. 1 − e −sTv 1 − 1 + sTv − ( sTv ) 2 2 + ( sTv ) 3 6 − ..... sTv ( sTv ) 2 = = Tv (1 − + − ..) =ɺ s s 2 6 T sTv − s 2v =ɺ Tv (1 − ) = Tv e 2 Ten z hlediska fázové charakteristiky přibližně odpovídá členu s čistým dopravním zpožděním Tv/2 a tedy vnese fázové zpoždění 0,5ωTv rad.


Pro vyhodnocení vlivu na fázovou bezpečnost je podstatná frekvence, kde zesílení otevřené smyčky spojitého regulačního obvodu poprvé překročí jedničku shora. Označíme ji jako ωc. ϕ = 0,5ωcTv 0,087 ≤ ϕ ≤ 0, 26 ⇒ Tv ≈ ( 0,17 ÷ 0,5 )

1

ωc

Navíc bývá často nutné použít anti-aliasingový filtr, uvažujme např. filtr druhého řádu:

ω 2f G ( s) = 2 s + 2ζω f s + ω 2f


ωf   ⇒ ω f = ω N g N Zesílení filtru na Nyquistově frekvenci g N =ɺ   ωN  2

Fázové zpoždění filtru na nízkých frekvencích 2ζωTv 2ζω 2ζω arg G f ( jω ) =ɺ = = ω f ωN g N π g N Celkové přídavné fázové zpoždění způsobené filtrem a tvarovačem:  2ζ  ωcTv ϕ =  0,5 + π gN   Předpokládáme opět, že fázovou bezpečnost lze zhoršit nanejvýše o 5 až 15°a hodnoty ζ=0,707; gN=0,1 dostaneme

Tv ≈ (0 ,05 ÷ 0 ,14)

1

ωc


Zejména pro účely návrhu číslicových PID regulátorů lze formulovat přibližná pravidla, kde je volba prováděna pouze v závislosti na parametrech řízeného systému, např. 0,01 ≤

Tv

τ dom

≤ 0,05

ts t ≤ Tv ≤ s 15 6

τdom je dominantní časová konstanta, ts je doba za kterou se odezva ustálí v pásmu ±5% kolem ustálené hodnoty Pro systémy s dominantním dopravním zpožděním je doporučováno: L L ≤ Tv ≤ 8 4

kde L je dopravní zpoždění

Pro potlačení poruch až do frekvence ωmax

π Tv = ωmax


Dále je třeba uvážit velikosti poměrů Td/Tv (nesmí být příliš veliký) a Tv/Ti (nesmí být příliš malý) Další omezení na velikost periody vzorkování, které platí i pro číslicové regulátory, které nebyly navrženy jako diskrétní aproximace spojitého vzoru, je dáno požadovanou rychlostí reakce na poruchovou veličinu a na změny žádané hodnoty. To je důležité zejména při jejím ručním zadávání žádané hodnoty v systémech jako třeba fly by wire, brake by wire atd. Zpoždění reakce je v průměru rovné polovině Tv, maximálně však může dosáhnout až Tv

Diskretizace spojitých systémů

Recommend Documents