DINAMIKA PINDAHAN ENERGI DALAM PROTEIN ALFA HELIKS PADA SUHU FISIOLOGIS DENGAN MODEL DAVYDOV
ADIETYA LANDRAS PRATAMA
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidakditerbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 2013
Adietya Landras Pratama NIM G74080009
ABSTRAK ADIETYA LANDRAS PRATAMA. Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov. Dibimbing oleh FAOZAN AHMAD dan HUSIN ALATAS. Proses pindahan energi yang dihasilkan hidrolisis ATP, selalu terlibat dalam fenomena biologi seperti transpor aktif, kerja mekanis dan reaksi biosintetik. Model Davydov menggunakan pendekatan teori zat padat dengan kelemahan solitonnya hanya terbentuk pada suhu 0K dan untuk parameter tertentu. Pada penelitian ini ditinjau pengaruh variasi suhu, konstanta pegas ikatan hidrogen, dan konstanta interaksi eksiton-fonon terhadap dinamika energi soliton serta menentukan persamaan gerak nonlinier dengan tinjauan kuantum untuk menjelaskan dinamika energi tersebut. Persamaan energi didapat dari penuruan persamaan gerak Euler-Lagrange dengan sistem Hamiltonian, kemudian dilakukan analisis numerik dengan metode Runga Kutta orde empat menggunakan perngkat lunak MATLAB R2008b. Variasi suhu dan konstanta interaksi eksitonfonon berpengaruh pada aliran energi soliton. Variasi konstanta pegas ikatan hidrogen berpengaruh pada lokalisasi energi soliton. Kata kunci: Alfa heliks, ansatz I, Davydov, soliton, suhu
ABSTRACT ADIETYA LANDRAS PRATAMA. Energy Transfer Dynamics in Alpha Helix Proteins at Physiological Temperature with Davydov Model. Supervised by FAOZAN AHMAD and HUSIN ALATAS. ATP hydrolysis energy transfer process always involve in biological phenomena such as active transport, mechanical work and biosynthetic reactions. Davydov models used the solid theory with a weakness, the soliton only formed at 0K and for certain parameters. In this research was reviewed the effect of variation in terms of temperature, hydrogen bond spring constant, and excitonphonon interaction constants of the energy dynamics of solitons and nonlinear equations of motion determine the quantum review to explain the dynamics of the energy. Energy equation derived from the the Euler-Lagrange equations of motion with Hamiltonian system. Then numerical analysis methods performed with the fourth-order Runga Kutta using MATLAB R2008b. Variations of temperatures and constant of exciton-phonon interaction affects the the flow of energy soliton. Variations of spring constants of hydrogen bonding affects the energy soliton localization. Keywords: Alpha helix, ansatz I, Davydov, soliton, temperature
DINAMIKA PINDAHAN ENERGI DALAM PROTEIN ALFA HELIKS PADA SUHU FISIOLOGIS DENGAN MODEL DAVYDOV
ADIETYA LANDRAS PRATAMA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul Skripsi: Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov : Adietya Landras Pratama Nama : G74080009 NIM
Disetujui oleh
Dr Husin Alatas, MSi
Pembimbing II
Tanggal Lulus:
0 3 OCT 2013
Judul Skripsi : Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov Nama : Adietya Landras Pratama NIM : G74080009
Disetujui oleh
Faozan Ahmad, MSi Pembimbing I
Dr Husin Alatas, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2010 ini ialah kekeringan, dengan judul Dinamika Pindahan Energi dalam Protein Alfa Heliks pada Suhu Fisiologis dengan Model Davydov. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Faozan Ahmad, MSi dan Bapak Dr Husin Alatas selaku pembimbing, serta Bapak Hanedi Darmasetiawan, MSi selaku editor yang telah membantu menyempurnakan penulisan skripsi. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2013
Adietya Landras Pratama
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
Manfaat Penelitian
1
Hipotesis
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Fungsi Protein
2
Protein Alfa-heliks
2
Model Davydov
2
Ansatz
4
Pengaruh Suhu terhadap Model Davydov
4
METODE PENELITIAN
5
Waktu dan Tempat
5
Alat
5
Metode
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Hamiltonian Rata-Rata Sistem
6
Persamaan Gerak Euler-Lagrange
7
Hasil Metode Numerik
9
Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen
10
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon
11
Dinamika soliton terhadap variasi suhu
12
SIMPULAN DAN SARAN
13
Simpulan
13
Saran
14
DAFTAR PUSTAKA
14
v
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL 1 Parameter fisis protein 2 Persentase error rata-rata perhitungan energi Hamiltonian total
10 10
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4
Protein alfa-heliks Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon Dinamika soliton terhadap variasi suhu
3 11 12 13
DAFTAR LAMPIRAN 1 Metode Runga-Kutta orde 4 2 Sintaks program untuk solusi numerik
16 17
vi
PENDAHULUAN Latar Belakang Proses pindahan energi yang dihasilkan hidrolisis ATP, selalu terlibat dalam fenomena biologi seperti transpor aktif, kerja mekanis dan reaksi biosintetik1. Banyak model yang diusulkan, salah satunya adalah model milik ilmuwan Soviet, A.S. Davydov. Pada tahun 1973 A.S. Davydov mengusulkan teori energi getaran tereksitasi (vibrational excited energy) yang memodelkan pindahan dan penyimpanan energi protein alfa-heliks menggunakan pendekatan teori zat padat. Eksperimen secara langsung untuk membuktikan teori ini masih sulit dilakukan karena kompleknya struktur protein, tidak benar-benar peiodik dan tidak membentuk kristal tunggal2. Model Davydov memiliki sedikit kelemahan, yaitu soliton terjadi pada parameter tertentu dan pada suhu 0K3. Bahkan muncul pro-kontra tentang keberadaan soliton Davydov pada suhu tertentu, khususnya pada suhu fisiologis3,4. Hal ini menyebabkan munculnya sebuah pertanyaan, seperti apa pengaruh suhu terhadap soliton Davydov, dalam kondisi yang mendekati fenomena aslinya. Pada penelitian ini akan ditinjau pengaruh variasi suhu, konstanta pegas ikatan hidrogen, dan konstanta interaksi eksiton-fonon terhadap dinamika energi soliton pada protein alfa-heliks berdasarkan model Davydov menggunakan gelombang uji ansatz I.
Perumusan Masalah Berdasarkan model Daydov, energi yang mengalir disepanjang alfa-heliks adalah gelombang soliton yang merupakan salah satu fenomena fisika nonlinier. Seperti apakah persamaan gerak nonlinier yang akan didapat dan bagaimana dinamika energi molekuler protein alpha-helix pada suhu fisiologis?
Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk menjelaskan dinamika energi protein alfa-heliks dengan variasi suhu, khususnya pada suhu fisiologis dan menentukan persamaan gerak nonlinier dengan tinjauan kuantum untuk menjelaskan dinamika energi tersebut.
Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat menjadi jawaban dari rasa ingin tahu terhadap fenomena-fenomena makromolekul yang sangat kompleks dan bisa menjadi dasar bagi teknologi di masa depan, dalam bidang nanoteknologi.
2 Hipotesis a. b. c.
Hipotesis yang dapat dibentuk dalam penelitian ini antara lain : Persamaan gerak nonlinier dapat ditentukan dengan menggunakan model Davydov dan tiga persamaan operator energi. Dinamika energi molekuler protein dapat dibuktikan dengan persamaan nonlinier Davydov dengan tiga operator energi. Pindahan energi melalui protein alfa heliks bersifat solitonik
TINJAUAN PUSTAKA Fungsi Protein Protein merupakan polimer dari asam-asam amino (polipeptida) yang mempunyai bermacam-macam fungsi, antara lain : sebagai katalisator reaksireaksi biokimia dalam sel, pengangkut molekul-molekul kecil dan ion, berperan di dalam sistem pergerakan yang terkoordinasi, komponen sistem kekebalan tubuh, feromon, pengatur ekspresi genetik, penerus impuls syaraf, dan komponen pendukung kekuatan-regang (tensile strength) pada kulit dan tulang5. Sesuai dengan fungsinya yang beragam, protein sangat beragam strukturnya, setiap jenis protein memiliki bentuk tiga dimensi atau konformasi yang unik. Struktur protein dibagi menjadi empat tingkatan, dan alfa heliks merupakan struktur protein sekunder6.
Protein Alfa-heliks Alfa-helix merupakan bentuk sekunder dari sebuah protein akibat interaksi intermolekul dan distabilkan oleh ikatan hidrogen dan dibentuk antar ikatan C=O dan N-H. Kelompok alfa-heliks mempunyai 3,6 asam amino setiap putaran pilinan dan tiga ikatan hidrogen yang menghubungkan satu site ke site yang lain. Dengan demikian, garis alfa heliks muncul seperti tiga rantai kelompok asam amino melalui ikatan hidrogen yang dihubungkan oleh ikatan kovalen satu sama lain7.
Model Davydov Berdasarkan struktur atomik dari sebuah protein alfa-heliks dapat dilihat pada Gambar 1, model Davydov dapat dijelaskan sebagai berikut. Energi vibrasi pada peregangan C=O (atau osilator amida-I) yang terlokasir pada bentuk alfa heliks melalui efek kopling fonon merubah bentuk struktur alfa heliks. Perubahan reaksi alfa heliks yang melewati kopling fonon menjebak energi osilasi amida-I mencegahnya dari dispersi. Pengaruh ini disebut lokalisasi diri (self-localization) atau penangkapan diri (self-trapping). Energi bebas yang terlepas di dalam hidrolisis ATP adalah sekitar 0.42 eV dan ini sekitar dua kuanta C=O energi osilator. Asumsi dasar model davydov adalah energi yang dilepaskan reaksi ATP pada awalnya menyimpan gaya C=O tertentu. Interaksi antara eksitasi
3
Gambar 1 Protein alfa-heliks terlokalisasi, seperti eksitasi elektronik atau vibrasi molekul dengan frekuensi tinggi dan frekuensi rendah fonon atau kisi dapat mengakibatkan lokalisasi energi dalam zat padat. Davydov mengklaim bioenergi itu dipindahkan dalam biomolekul protein dalam gelombang soliton. Protein dapat dilihat pada C=O yang digabungkan pada ikatan hidrogen. Melalui gabungan antara C=O dan ikatan hidrogen, bioenergi menyimpan ikatan C=O dan menggerakkan gelombang soliton yang lain8. Berdasarkan asumsi tersebut Davydov mengusulkan bahwa energi total dari sistem terdiri atas eksiton, fonon, dan interaksi eksiton-fonon9, dengan menggunakan sistem Hamiltonian yang secara matematis dapat ditulis H=Hex +Hph +Hint .................................................................................... (2.1) dengan Hex adalah Hamiltonian eksiton, Hph adalah Hamiltonian fonon, dan Hint adalah Hamiltonian interaksi eksiton-fonon. Operator Hamiltonian eksiton dapat didefinisikan sebagai †
†
†
Hex = ∑N n E0 Bn Bn - Jn+1 Bn Bn+1 -Jn-1 Bn Bn-1 ................................................ (2.2) dengan n (=1,2,…,N) menunjukan molekul ke-n dalam satu kanal protein. Sehingga pasangan indeks (n) menunjukan spesifikasi asam amino tertentu; E0 † adalah energi dasar eksiton; Bn dan Bn masing-masing merupakan operator kreasi dan anhilasi boson untuk osilator amida-I. Kedua operator tersebut juga merupakan operator jumlah (numbering operator) yang akan menghitung jumlah
4 †
eksitasi pada setiap molekul. Bn Bn±1 menyatakan pindahan eksiton dari molekul ke-n menuju n±1. J adalah kopling dipol antar unit terdekat untuk kanal yang berbeda. Sedangkan operator Hamiltonian fononnya †
N-1
1
Hph = ∑k-1 ℏωk bk bk + 2 ........................................................................ (2.3) dengan ωak adalah frekuensi fonon (vibrasi) ωk =2
w m
/
|sin kl/2| ........................................................................... (2.4) †
l adalah jarak kisi, bk dan bk masing-masing adalah operator kreasi dan anhilasi. Serta operator Hamiltonian interaksinya * Hint = ∑N a Bnk ∑k bnk (t)+bnk (t ) .............................................................. (2.5)
Bnk =-2iχ
ℏ 2Nmωk
1 2
sin(kl)e-iknl ............................................................... (2.6)
dengan χ adalah parameter kopling eksiton-fonon, yang mempengaruhi tingkat nonlinieritas dan |bnk (t)|2 menyatakan probabilitas ditemukannya fonon. Ansatz Pada model ini juga dikenalkan sebuah persamaan gelombang uji coba (trial wave) atau yang disebut ansatz., yang merupakan hasil dari perkalian fungsi gelombang eksiton dan fungsi gelombang fonon. Terdapat dua buah ansatz, yaitu ansatz I dan ansatz II8. Pada penelitian ini, ansatz I yang akan digunakan dalam permodelan Davydov, yang persamaannya adalah †
|D1 〉= ∑n an (t)Un |0〉Bn |0〉 ....................................................................... (2.7) †
Un |0〉=exp ∑k bnk (t)bk (t)-b*nk (t)bk (t)
|0〉 .......................................... (2.8)
dengan |ank (t)|2 menyatakan probabilitas ditemukannya fonon dan Un |0〉 adalah operator transformasi uniter yang mentransformasi keadaan dasar atau vakum ke keadaan kuasi-statik10
Pengaruh Suhu terhadap Model Davydov Adanya variabel suhu berpengaruh pada bentuk ansatz yang digunakan dan mengubah sistem Hamiltonian. Perubahan bentuk tersebut diakibatkan oleh penggunaan metode rataan Hamiltonian11, sehingga bentuk ansatz I pada persamaan 5 menjadi
5 †
|D1,v 〉= ∑n an (t)Un |v〉Bn |0〉 ................................................................... (2.9) dengan |v〉 adalah distribusi fonon yang berubah-ubah |v〉= ∏k
(bk )vk vk !
|0〉 .................................................................................... (2.10)
Sedangkan pada sistem Hamiltonian, digunakan Hamiltonian yang bergantung pada suhu yang merupakan rata-rata pada harga keseimbangan termal, dinyatakan sebagai berikut ∑n D1 H D1
H(T)=
-
ve Z
-
Z= ∑v' v' e
Hph +Hex kB T
v
............................................................... (2.11)
Hph +Hex kB T
v' ........................................................................... (2.12)
dengan Hph adalah Hamiltonian fonon, Hex adalah Hamiltonian eksiton, Z adalah fungsi partisi dari eksiton dan fonon, kB adalah konstanta Blotzmann, dan T adalah suhu.
METODE PENELITIAN Waktu dan Tempat Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Febuari 2012 sampai dengan Maret 2013. Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB). Alat Alat-alat yang digunakan berupa alat tulis, komputer jinjing (laptop) AXIOO NEON MNC yang dilengkapi dengan perangkat lunak Matlab 2008b dalam proses pembuatan simulasi.
Metode Langkah awal yang dilakukan dalam penelitian ini adalah dengan melakukan studi pustaka untuk memahami mekanisme dinamika molekuler protein sehingga mempermudah penurunan persamaan dan perancangan simulasi serta mempermudah analisis hasil yang diperoleh dari simulasi. Kemudian dilakukan penurunan persamaan (2.1), selanjutnya dilakukan penurunan persamaan gerak Euler-Lagrange12
6 d ∂L
-
∂L
dt ∂q̇ (t) ∂q(t)
=0......................................................................................... (3.1)
dengan L adalah Lagrangian dalam representasi Hamiltonian dengan bentuk persamaan L= Ψ
∂ iℏ ⃡ 2 ∂t
Ψ - Ψ H Ψ ........................................................................ (3.2)
dengan H adalah persamaan Hamiltonian yang telah diturunkan. Sehingga persamaan 2 menjadi d ∂L
∂L
dt ∂q̇ (t) ∂q(t)
Ψ
iℏ ⃡ ∂ 2 ∂t
Ψ =-
∂ΨHΨ ∂q(t)
........................................................ (3.3)
kemudian persamaan 4 akan diturunkan untuk memperoleh persamaan akhir yang akan disimulasikan dengan perangkat lunak MATLAB R2008b.
HASIL DAN PEMBAHASAN Hamiltonian Rata-Rata Sistem Hamiltonian total merupakan harga ekspetasi dari oprator hamiltonian terhadap ansatz I H = D1 H D1
(4.1)
kemudian dilakukan penurunan persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4) menggunakan persamaan (2.7) sehingga didapat †
†
†
†
Hex |D1 〉= ∑n E0 an (t)Bn Bn Bn Un |0〉- ∑n Jn an (t)Bn Bn+1 Bn Un |0〉 + †
†
- ∑n Jn an (t)Bn Bn-1 Bn Un |0〉 †
2
D1 Hex D1 = ∑n E0 |an (t)| - ∑n Jn a*n (t)an+1 (t)〈0|Un Un+1 |0〉 + †
- ∑n Jn a*n (t)an-1 (t)〈0|Un Un-1 |0〉 Hph |D1 〉= ∑n ∑k an (t)ℏω
†
1
b*nk bnk + 2
Un Bn |0〉 1
D1 Hph D1 = ∑n,k an (t)a*n (t)ℏωk b*nk (t)bnk (t)+ 2 †
†
Hint |D1 〉 = ∑n,k an (t) Bnk bk +bk Bn Bn
†
Un |0〉Bn |0〉
7 2
D1 Hint D1 = ∑n,k |an (t)| Bnk bnk (t)+b*nk (t) yang telah diturunkan sebelumnya, dimasukan ke dalam persamaan (2.1) sehingga didapat Hamiltonian totalnya H = D1 H D1 = D1 Hex D1 + D1 Hph D1 + D1 Hint D1 †
2
= ∑n E0 |an (t)| -Jn ∑n a*n (t)an+1 (t)〈0|Un Un+1 |0〉 + †
-Jn ∑n a*n (t)an-1 (t)〈0|Un Un-1 |0〉 + ∑n,k an (t)a*n (t)ℏωk
1
b*nk (t)bnk (t) + 2 +
∑n,k |an (t)|2 Bnk bnk (t)+b*nk (t) ...................................................... (4.2) menggunakan metode yang sama tetapi dengan persamaan (2.9), dapat diperoleh Hamilonian bergantung suhu v exp -
H(T) = ∑v ρv (T) D1,v H D1,v ; ρv (T)=
Hph kB T
∑v' v' exp -
Hph kB T
v v'
†
2 =ρv (T) ∑n,a E0 |an (t)| -Jn ∑n,a a*n (t)an+1 (t)〈v|Un,a Un+1,a |v〉
†
-Jn ∑n,a a*n (t)an-1 (t)〈v|Un,a Un-1,a |v〉 + ∑n,k an (t)a*n (t)ℏωak
1
b*nak (t)bnak (t) + 2 +
∑n,a,k |an (t)|2 Bnak bnak (t)+b*nak (t)
(4.3)
8 Persamaan Gerak Euler-Lagrange Persamaan gerak Euler-Lagrange diturunkan dengan memasukan persamaan (4.2) ke dalam persamaan (3.3) ∂Lt d dt ∂a*ṅ (t)
∂L
∂H
n
n
t - ∂a* (t) =- ∂a* (t)
dengan Lt = D1
⃡ δ iℏ δt 2
D1 =
∑n aṅ (t)a*n (t)-an (t)a*ṅ (t)
iℏ 2 iℏ 2
+
* ∑n,k|an (t)|2 ḃ nk (t)b*nk (t)-bnk (t)ḃ nk (t)
(4.4)
sehingga didapat persamaan gerak eksiton iℏ ∑n aṅ (t) = ∑n E0 an (t) - ∑n Jn+1 an+1 (t)Un,n+1 +Jn-1 an-1 (t)Un,n-1 + ∑n,k an (t)ℏωk
1
b*nk (t)bnk (t) + + 2
* iℏ - 2 ∑n,k an (t) ḃ nk (t)b*nk (t)-bnk (t)ḃ nk (t) +
∑n,k an (t)Bnk bnk (t)+b*nk (t) ............................................ (4.5) Menggunakan metode yang sama, dipeoleh juga persamaan gerak fonon d
∂Lt
dt ∂b*̇ (t) nk
-
∂Lt ∂b*nk (t)
=-
∂H ∂b*nk (t)
........................................................................ (4.6)
a iℏ ḃ nak (t) =- Jn+1,a n+1, bn+1k - bnk Un,n+1 +Jn-1, an,
an-1, an,a
bn-1,k - bnk Un,n-1 a*n, +
ℏωk bnk (t)+Bnk .................................................................... (4.7) Namun, karena adanya pengaruh suhu terhadap model Davydov, persamaan di atas diturunkan kembali dengan faktor suhu, sehingga diperoleh * iℏ iℏaṅ (t)= ∑n E0 an (t) - 2 ∑n,k an (t) ḃ nk (t)b*nk (t)-bnk (t)ḃ nk (t) +
- ∑n Jn+1 an+1 (t)Un,n+1 (T)+Jn-1 an-1 (t)Un,n-1 (T) +
9 1
b*nk (t)bnk (t) + 2 +
∑n,k an (t)ℏωk
∑n,k an (t)Bnk bnk (t)+b*nk (t) ................................................... (4.8) a (t) iℏ ∑n,k ḃ nk (t) =- ∑n Jn+1 an+1(t) (v+1) bn+1,k' (t)-bn,k (t) Un,n+1 (T) + n
∑n Jn+1
an+1 (t) an (t)
- ∑n Jn-1
∑n Jn-1
(v) bn-1,k (t)-bn,k (t) Un,n+1 (T) +
an-1 (t) an (t)
an-1 (t) an (t)
(v+1) bn-1,k' (t)-bn,k (t) Un,n-1 (T) +
(v) bn+1,k (t)-bn,k (t) Un,n+1 (T) +
- ∑n,k ℏωk bnk (t) - ∑n,k Bnk ........................................... (4.9) Un,n' (T) = exp ∑k bnk (t)-bn'k' (t)
2
v+
1 2
+
bnk (t)b*n'k' (t)-b*nk (t)bn'k' (t) 2
dengan v adalah distribusi fonon 1
v= exp
ℏωk kB T
.......................................................................................... (4.6)
Hasil Metode Numerik Dinamika soliton Davydov dievaluasi secara numerik menggunakan metode Runga-Kutta orde 4 dengan menggunakan parameter fisis protein yang disajikan pada Tabel 2 dan parameter yang divariasikan dalam metode numerik adalah konstanta pegas ikatan hidrogen (w), kopling eksiton-fonon (χ) , dan suhu (T). Selain dinamika soliton Davydov, ditinjau juga nilai persentase error dari perhitungan energi Hamiltonian total berdasarkan persamaan (4.1) yang disajikan pada Tabel 2. Hal ini dilakukan untuk memastikan fenomena yang terjadi merupakan fenomena fisis, bukan suatu kesalahan perhitungan numerik dengan syarat persentase error yang didapat tidak melebihi 20%.
10 Tabel 1 Parameter fisis protein Parameter Deskripsi w Konstanta pegas ikatan Hidrogenb
Nilai 20 – 60
Satuan N/m
M
Massa asam aminoa
5.7 x 10-25
kg
J
Dipol kopling antar sitea
1.55 x 10-22
J
Kopling eksiton-fononb
20 – 60
pN
l T
Jarak kisi
a
Suhu (fisiologis)
-10
m
290 – 310
K
4.5 x 10 c
Sumber : aScott (1992), bForner (1991), cSparks et al.(2009)
Tabel 2 Persentase error rata-rata perhitungan energi Hamiltonian total Parameter Persentase Error (%) w (N/m) χ (pN) T (K) 35 310 6,7585 20 1,9953 35 310 25 1,0669 35 310 35 310 0,6998 40 35 310 1,8212 30 22 35 310 2,8979 30 5,3413 310 30 41 15,3098 55 310 30 310 6,7585 35 30 305 1,8922 30 35 35 295 2,5897 30 290 2,4632 35 30 Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen Gambar 2 menyajikan dinamika soliton yang ditinjau dengan variasi konstanta pegas ikatan hidrogen. Sumbu x menyatakan waktu dalam femtosekon, sumbu y menyatakan site ke-n, dan indikator warna menunjukan besar sebaran peluang ditemukannya eksiton (|an(t)|2). Parameter suhu dan kopling eksitonfonon dibuat tetap dengan masing-masing nilai 310K dan 35 pN11. Soliton yang terbentuk dengan w sebesar 20 N/m (Gambar 2a) hanya menjangkau hingga site ke-27 dan terlokalisasi pada site tersebut. Seiring besarnya nilai w, gelombang soliton yang terjadi jangkauan site-nya bertambah dan mendekati bentuk gelombang berjalan terdispersi. Hal ini disebabkan oleh pengaruh nilai w terhadap persamaan (2.4). Semakin besar nilai ωk , semakin kecil nilai Bnk pada persamaan (2.6) yang mempengaruhi pindahan energi dari eksiton ke fonon (kopling eksitonfonon). Bnk juga mempengaruhi dispersi dari soliton menjadi lebih meningkat. Faktor dispersi inilah yang mempengaruhi perjalanan soliton untuk menuju site yang lebih jauh14.
11
(a)
(b)
(b)
(d)
Gambar 2 Dinamika soliton terhadap variasi konsanta pegas ikatan hidrogen (a) w = 20 N/m, (b) w = 25 N/m, (c) w = 35 N/m, (d) w = 40 N/m
Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon Dinamika soliton yang terjadi terhadap variasi kopling eksiton-fonon dapat dilihat pada Gambar 3. Saat nilai χ divariasikan, parameter suhu dan konstanta ikatan hidrogen dibuat tetap dengan masing-masing nilai 310K dan 30 N/m. Saat nilai χ sebesar 22 pN, gelombang yang teramati berupa soliton berjalan terdispersi. Namun seiring meningkatnya nilai χ, jangkauan site dari soliton tersebut semakin mengecil dan terlokalisasi. Selain itu dapat diamati juga pada Gambar 2a sampai Gambar 2d, energi soliton pada waktu yang sama di site sebelum terlokalisasi semakin membesar. Perubahan ini diakibatkan semakin besarnya Bnk, seiring dengan semakin besar nilai χ seperti pada persamaan (2.6). Hal ini menyebabkan turunnya faktor dispersi, sehingga faktor nonlinieritas naik yang menyebabkan soliton menjadi terlokalisasi14.
12
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 3 Dinamika soliton terhadap variasi kopling eksiton-fonon (a) χ = 22 pN, (b) χ = 35 pN, (c) χ = 41 pN, (d) χ = 55 pN
Dinamika soliton terhadap variasi suhu Gambar 4 memperlihatkan dinamika soliton terhadap variasi suhu dengan mengambil nilai dari rentang suhu fisiologis13. Parameter w dan χ dibuat tetap dengan masing-masing nilai 30 N/m dan 35 pN. Pada Gambar 4a (T = 290K) jangkauan soliton bisa mencapai site ke-15 dan berupa gelombang terdispersi. Namun seiring meningkatnya suhu, jangkauan site dari soliton tersebut mengecil hingga hanya mencapai site ke-18 dan kemudian terlokalisasi. Pengaruh suhu membuat soliton berkurang jangkauan site-nya dan menjadi lebih cepat terlokalisasi. Hal ini dapat diamati terjadi karena suhu mempengaruhi fungsi distribusi fonon pada persamaan (4.6) yang menyebabkan fonon sudah tereksitasi terlebih dahulu sehingga interaksi kopling eksiton-fonon menjadi terganggu dan membuat soliton menjadi tidak stabil.
13
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 4 Dinamika soliton terhadap variasi suhu (a) T = 290K, (b) T = 295K, (c) T = 305K, (d) T = 310K
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Persamaan gerak nonlinier dari soliton Davydov yang diperoleh dapat menjelaskan fenomena pindahan energi pada alfa heliks. Pada persamaan tersebut terdapat faktor soliton Bnk yang mempengaruhi jangkauan gelombang soliton. Persamaan gerak tersebut melibatkan fungsi distribusi fonon yang mempengaruhi energi eksitasi fonon ketika berada pada suhu tertentu. Variasi konstanta pegas ikatan hidrogen dalam afa-heliks mempengaruhi stabilitas soliton Davydov. Begitu juga dengan variasi kopling eksiton-fonon dan variasi suhu. Variabel suhu mempengaruhi soliton menjadi tidak stabil akibat peningkatan energi eksitasi dari fonon sehingga tidak terjadi kopling eksitonfonon.
14 Saran Asumsi dalam kajian ini, alfa-heliks masih berbentuk satu kanal dengan kopling dipol (J) yang konstan. Perlu penelitian lanjutan dengan menggunakan tiga buah kanal dan memvariasikan kopling dipol (J), agar kajian yang dilakukan semakin mendekati fenomena aslinya. Selain secara teoritik, kajian eksperimental juga perlu dilakukan agar teori yang ada dapat diaplikasikan dan dikembangkan lebih lanjut.
DAFTAR PUSTAKA 1.
2.
3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
13.
Marks B, Marks A, Smith M. Biokimia Kedokteran Dasar : Sebuah Pendekatan Klinis. Brahm U, Pendit, penerjemah; Suyono, Sadikin, Mandera I, editor. Jakarta (ID) : EGC. Terjemahan dari: Basic Medical Biochemistry : A Clinical Approach. 1996 Ahmad F, Zuliyatin, Alatas H. Dinamika soliton pada rantai protein alpha heliks berdasarkan ansatz II model Davydov. Di dalam: Dahlan K, Muliyani S, Nugrahani EH, Suryani, Kurnia A, June T, Miftahudin, Charlena, Sianturi P, Wijaya SH, Sumaryada TI, Nurcholis W, Indahwati, Kusnanto A, editor. Sains sebagai Landasan inovasi dalam bidang energi, lingkungan dan pertanian berkelanjutan. Seminar Nasional Sains V; 2012 Nov 10; Bogor. Indonesia. Bogor (ID): FMIPA IPB. 2012 Hanson LC. Mechanism of thermal desatbilization of the Davydov soliton. Physical Review A. 45: 4111-4115. 1992 Lomdhal PS. Do Davydov soliton exist at 300K?. Physical Review Letters. 55:1235-1238.1985 Yuwono, Triwibowo. Biologi Molekular. Penerbit Erlangga: Jakarta. 2008 Campbell NA, Reece JB, Mitchell LG. Biologi Jilid I Edisi ke-5. Lestari R, penerjemah; Safitri A, Simarmata L, Hardani HW, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari Biology, Fifth Edition. 2002 Bresler, S. E. Introduction to Molecular Biology. Academic Press, Inc.: New York. 1971 Scott A. Davydov’s soliton, launcing the soliton. Physics Report. 1:1-67. 1992 Förner W. Accuracy of Davydov’s |D1,v 〉 approximation for soliton dynamics in proteins. Physical Review B. 53:6291-6317. 1996 Tannoudji CC, Diu B, Laloe F. Quantum Mechanics. John Willey & Sons: France. 1977 Förner W. Davydov soliton in proteins: applications and calculation of vibrational spectra. Journal of Molecular Modeling. 3:78-116. 1991. Kobe DH. Lagrangian densities and principle of least action in nonrelativistic quantum mechanics [internet]. [diacu 2012 Novemer 20]. Tersedia dari: http://arxiv.org/abs/0712.1608. 2007 Sparks TH, Aasa A, Huber K, Wadsworth R. Changes and patterns in biologically relevant temperatures in Europe 1941–2000. Climate Research. 39:191-207. doi:10.3354. 2009
15 14. Chawda BN, Tripati SBL. Solitons stems from the delicate balance of “nonlinearity” and “dispersion” in the model equations. International Journal of Research in Science and Thecnology. 1. 2011.
16 Lampiran 1 Metode Runga-Kutta orde 4 Metode Runga-Kutta adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial secara numerik. Metode Runga-Kutta sendiri memiliki beberapa tingkatan (orde) dengan tingkat ketelitian yang semakin tinggi dan kerumitan perhitungan yang semakin tinggi pula. Dalam penelitian ini, digunakan orde ke-4 dari metode Runga-Kutta. Karena penelitian ini menggunakan dua buah persamaan diferensial orde 1 yang saling berhubungan, akan dicontohkan metodenya sebagai berikut x' = f(t,x,y) y' = g(t,x,y) dengan t adalah interval dari a sampai b. Diketahui kondisi awal dari x dan y, serta jumlah langkah/iterasi (step) dari perhitungannya adalah n, maka xawal=240; yawal=0; n=10; h = (b-a)/n; t(1) = a; y(a)= yawal; x(a)= xawal; for i=1:n t(i+1)=t(i)+h; k1x=h*fx(x(i), Q(i), T(i)); k1y=h*fy(x(i), Q(i), T(i)); k2x=h*fx(x(i)+h/2, Q(i)+k1x/2, T(i)+k1y/2); k2y=h*fy(x(i)+h/2, Q(i)+k1x/2, T(i)+k1y/2); k3x=h*fx(x(i)+h/2, Q(i)+k2x/2, T(i)+k2y/2); k3y=h*fy(x(i)+h/2, Q(i)+k2x/2, T(i)+k2y/2); k4x=h*fx(x(i)+h, Q(i)+k3x, T(i)+k3y); k4y=h*fy(x(i)+h, Q(i)+k3x, T(i)+k3y); x(i+1)=x(i)+1/6*(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x); y(i+1)=y(i)+1/6*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y); end
17 Lampiran 2 Sintaks program untuk solusi numerik clear all clc for p=1:1 hbar=6.626e-34/(2*pi); img = complex(0,1); Je = (0.967e-3)*(1.602e-19); ws = 20; w=ws; Chi=35e-12; M=5.7e-25; m=M; n=40; h=5e-15; lgth=4.5e-10; KB=1.380658e-23; TEMP=310; a1(n+1)=1e-2; for j=1:n a1(j)=1e-2; a=(0.967e-3)*(1.602e-19); Je(j)=a; end a1(40)=1;
for j=1:n+1 aa1(j)=0; aa2(j)=0; aa3(j)=0; aa4(j)=0;
for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); ba1(j,k)=0; ba2(j,k)=0; ba3(j,k)=0; ba4(j,k)=0; bdot(k)=0; b1(j,k)=0; end end
for i=2:2000 i; Suma1=0; Suma2=0; Suma3=0;
18 sumH(i)=0; sumy(i)=0; Unplus1=1; Unmin1=1; Unxplus1=1; Unxmin1=1; for j=2:n for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); Suma1=Suma1+(a1(j)*(bdot(k)*conj(b1(j,k))b1(j,k)*conj(bdot(k)))); Suma2=Suma2+((a1(j)*hbar*omega(k))*(conj(b1(j,k))*b1(j,k))); Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j* lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*(b1(j,k)+conj(b1(j,k)))*a1(j); end for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1)); Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j+1,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j,k)*conj(b1(j+1,k))conj(b1(j,k))*b1(j+1,k))/2)); Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j-1,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j,k)*conj(b1(j-1,k))-conj(b1(j,k))*b1(j1,k))/2)); Unxplus1=Unxplus1*exp((-1)*(abs(b1(j+1,k)-b1(j,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j+1,k)*conj(b1(j,k))conj(b1(j+1,k))*b1(j,k))/2)); Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs(b1(j-1,k)-b1(j,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j-1,k)*conj(b1(j,k))-conj(b1(j1,k))*b1(j,k))/2)); B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2* n*M*omega(k))^(1/2); ba1(j,k)= h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*(a1(j+1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j+1,k)b1(j,k))*Unplus1)-((b1(j-1,k)-b1(j,k))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j-1,k)-b1(j,k))*Unmin1)((b1(j+1,k)b1(j,k))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*b1(j,k))+B); end aa1(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*a1(j+1)*Unplus1+Je(j-1)*a1(j1)*Unmin1)+(Suma2+Suma3)); Suma1=0; Suma2=0; Suma3=0; Unplus1=1; Unmin1=1;
19 Unxplus1=1; Unxmin1=1;
for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2));
Suma1=Suma1+((a1(j)+0.5*aa1(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+0.5*b a1(j,k)))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj(bdot(k)))); Suma2=Suma2+(((a1(j)+0.5*aa1(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j, k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))); Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j* lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))+conj(( b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))))*(a1(j)+0.5*aa1(j)); end for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1)); Unplus1=Unplus1*exp((1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))-(b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))/2)) ; Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))(b1(j-1,k)+0.5*ba1(j-1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k))*conj((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j-1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))*(b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k)))/2)); Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))conj((b1(j+1,k)+0.5*ba1(j+1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))/2)) ; Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j1,k)+0.5*ba1(j-1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))conj((b1(j-1,k)+0.5*ba1(j1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba1(j,k)))/2)); B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2* n*M*omega(k))^(1/2); ba2(j,k)= h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+(0.5)*aa1(j))/(a1(j)+(0.5)*aa1(j)))*(((vp+ 1)*((b1(j+1,k)+(0.5)*ba1(j,k))-
20 (b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+(0.5)*ba1(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j-1)*((a1(j1)+(0.5)*aa1(j))/(a1(j)+(0.5)*aa1(j)))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+(0.5)*ba1(j,k))-(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba1(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*(b1 (j,k)+(0.5)*ba1(j,k)))+B);
end aa2(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+0.5*aa1(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j1)+0.5*aa1(j-1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3)); Suma1=0; Suma2=0; Suma3=0; Unplus1=1; Unmin1=1; Unxplus1=1; Unxmin1=1; for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); Suma1=Suma1+((a1(j)+0.5*aa2(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+0.5*b a2(j,k)))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj(bdot(k)))); Suma2=Suma2+(((a1(j)+0.5*aa2(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j, k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))); Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j* lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))+conj(( b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))))*(a1(j)+0.5*aa2(j)); end
for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1)); Unplus1=Unplus1*exp((1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))-(b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))/2)) ; Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))(b1(j-1,k)+0.5*ba2(j-1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k))*conj((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j-1,k)))-
21 conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))*(b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k)))/2)); Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))conj((b1(j+1,k)+0.5*ba2(j+1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))/2)) ; Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k))-(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j1,k)+0.5*ba2(j-1,k))*conj((b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))conj((b1(j-1,k)+0.5*ba2(j1,k)))*(b1(j,k)+0.5*ba2(j,k)))/2)); B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2* n*M*omega(k))^(1/2); ba3(j,k)= h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+(0.5)*aa2(j))/(a1(j)+(0.5)*aa2(j)))*(((vp+ 1)*(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j-1)*(a1(j1)+(0.5)*aa2(j))/(a1(j)+(0.5)*aa2(j))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+(0.5)*ba2(j,k))-(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+(0.5)*ba2(j,k))(b1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))*vp*Unxplus1)))))+(hbar*omega(k)*(b 1(j,k)+(0.5)*ba2(j,k)))+B); end aa3(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+0.5*aa2(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j1)+0.5*aa2(j-1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3)); Suma1=0; Suma2=0; Suma3=0; Unplus1=1; Unmin1=1; Unxplus1=1; Unxmin1=1;
for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); Suma1=Suma1+((a1(j)+aa3(j))*(bdot(k)*conj((b1(j,k)+ba3(j,k)) )-(b1(j,k)+ba3(j,k))*conj(bdot(k)))); Suma2=Suma2+(((a1(j)+aa3(j))*hbar*omega(k))*(conj((b1(j,k)+b a3(j,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k)))); Suma3=Suma3+(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*
22 lgth)/(2*n*M*omega(k))^(1/2))*((b1(j,k)+ba3(j,k))+conj((b1(j ,k)+ba3(j,k))))*(a1(j)+aa3(j)); end for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1)); Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))/2)); Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))/2)); Unxplus1=Unxplus1*exp((1)*(abs((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k))*conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k)))/2)); Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs((b1(j-1,k)+ba3(j1,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j-1,k)+ba3(j1,k))*conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))-conj((b1(j-1,k)+ba3(j1,k)))*(b1(j,k)+ba3(j,k)))/2)); B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2* n*M*omega(k))^(1/2); ba4(j,k)= h*1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*((a1(j+1)+aa3(j))/(a1(j)+aa3(j)))*(((vp+1)*((b1(j+1, k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*Unplus1)-(((b1(j1,k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)+aa3(j))/(a1(j)+aa3(j))*(((vp+1)*((b1(j1,k)+ba3(j,k))-(b1(j,k)+ba3(j,k)))*Unmin1)(((b1(j+1,k)+ba3(j,k))(b1(j,k)+ba3(j,k)))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*(b1(j,k)+ ba3(j,k)))+B);
end aa4(j)=h*1/hbar*(1/(img))*((-img*hbar/2)*Suma11*(Je(j)*(a1(j+1)+aa3(j+1))*Unplus1+Je(j-1)*(a1(j-1)+aa3(j1))*Unmin1)+(Suma2+Suma3)); Suma1=0; Suma2=0; Suma3=0; Unplus1=1; Unmin1=1; Unxplus1=1; Unxmin1=1;
a1(j)=a1(j)+(aa1(j)+2*aa2(j)+2*aa3(j)+aa4(j))/6;
23 asq1(j,i)=abs(a1(j))^2; sumH(i)=sumH(i)+asq1(j,i); SumHamiltonian(1)=1; sumza=0; for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1)); Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j+1,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j,k)*conj(b1(j+1,k))conj(b1(j,k))*b1(j+1,k))/2)); Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs(b1(j,k)-b1(j-1,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j,k)*conj(b1(j-1,k))-conj(b1(j,k))*b1(j1,k))/2)); Unxplus1=Unxplus1*exp((-1)*(abs(b1(j+1,k)-b1(j,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j+1,k)*conj(b1(j,k))conj(b1(j+1,k))*b1(j,k))/2)); Unxmin1=Unxmin1*exp((-1)*(abs(b1(j-1,k)-b1(j,k))^2 *(vp+0.5)+ (b1(j-1,k)*conj(b1(j,k))-conj(b1(j1,k))*b1(j,k))/2)); b1(j,k)=b1(j,k)+(ba1(j)+2*ba2(j)+2*ba3(j)+ba4(j))/6; asp1(j,i)=abs(b1(j,k))^2; bdot(k)= 1/hbar*(1/(img))*(((Je(j)*(a1(j+1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j+1,k)b1(j,k))*Unplus1)-((b1(j-1,k)-b1(j,k))*vp*Unxmin1)))+(Je(j1)*(a1(j-1)/a1(j))*(((vp+1)*(b1(j-1,k)-b1(j,k))*Unmin1)((b1(j+1,k)b1(j,k))*vp*Unxplus1))))+(hbar*omega(k)*b1(j,k))+B); sumza=sumza+asp1(j,i); end sumy(i)=sumy(i)+sumza; end sumHf=sum(asp1); sumH1=0; sumH2=0; sumH3=0; sumH4=0; sumH5=0; for j=2:n sumH1=sumH1+(asq1(j,i)); end for j=2:n Unplus1=1; Unmin1=1; for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); vp=(1/((exp((hbar*omega(k))/(KB*TEMP)))-1));
24 Unplus1=Unplus1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j+1,k)+ba3(j+1,k)))/2)); Unmin1=Unmin1*exp((-1)*(abs((b1(j,k)+ba3(j,k))(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))^2 *(vp+0.5)+ ((b1(j,k)+ba3(j,k))*conj((b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))conj((b1(j,k)+ba3(j,k)))*(b1(j-1,k)+ba3(j-1,k)))/2)); end sumH2=sumH2+(Je(j)*a1(j)*conj(a1(j+1))*Unplus1); sumH3=sumH3+(Je(j)*a1(j)*conj(a1(j+1))*Unmin1); end for j=2:n for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); end sumH4=sumH4+(asq1(j,i)*hbar*omega(k)*(asp1(j,i)+0.5)); end for j=2:n for k=1:n-1 wn=2*pi*((n+1)/2-k)/(n*lgth); omega(k)=2*sqrt(ws/M)*abs(sin(wn*lgth/2)); B=(2*img)*Chi*(hbar^0.5*sin(wn*lgth)*exp(img*wn*j*lgth))/(2* n*M*omega(k))^(1/2); sumH5=sumH5+(asq1(j,i))*B*((b1(j,k))+(conj(b1(j,k)))); end end SumHamiltonian(i)=sumH1-(sumH2)-(sumH3)+sumH4+sumH5; persen(i)=(abs(SumHamiltonian(i)SumHamiltonian(1))/SumHamiltonian(1))*100; persenabs=abs(persen); SumHamiltonianAbs=abs(SumHamiltonian); end asq1(1,1)=abs(a1(1))^2; asq1(n+1,1)=abs(a1(n+1))^2; figure(p) mesh(asq1); xlabel('t(1xfs)'); ylabel('n(site)'); zlabel('abs(a)'); figure(p+1) subplot(2,1,1); plot(sumH); xlabel('t(1xfs)'); ylabel('a abs'); subplot(2,1,2); plot(sumHf); xlabel('t(1xfs)'); ylabel('b abs'); end
25
RIWAYAT HIDUP Putra dari pasangan Djoeanda dan Een Hendriawati ini lahir di Subang 6 Mei 1991, 7 tahun sebelum adik perempuan penulis lahir. Penulis menamatkan program wajib belajar 12 tahun di kota asalnya, Pamanukan. Penulis melanjutkan studi dan mengambil bidang fisika di Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Mahasiswa IPB (USMI). Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung dalam organisasi kemahasiswaan, seperti menjadi ketua bidang Instrumen dan Teknologi (Instek) Himpunan Mahasiswa Fisika (HIMAFI) IPB dan menjadi sekretaris organisasi mahasiswa daerah Subang. Selain aktif dalam organisasi, penulis juga pernah menjadi asisten dalam perkuliahan. Pada tahun ajaran 2009/2010 menjadi asisten praktikum mata kuliah Fisika Dasar, pada tahun ajaran 2010/2011 menjadi asisten praktikum mata kuliah Eksperimen Fisika I dan Eksperimen Fisika II, pada tahun ajaran 2011/2012 menjadi asisten praktikum matakuliah Fisika Modern. Selain di kampus S1 IPB, penulis juga pernah menjadi asisten dosen matakuliah Instalasi Jaringan Komputer dan matakuliah Sistem Keamanan Jaringan Komputer di kampus D3 IPB pada tahun ajaran 2011/2012. Penulis pun pernah mendapatkan dana penelitian dengan topik pembuatan sel surya berbasis film tipis CdS, dalam Program Kreatifitas Mahasiswa tahun 2010.
