1
DINAMIKA ORDE PERTAMA SISTEM NONLINIER TERKOPEL DENGAN RELASI PREDASI, MUTUAL, DAN SIKLIK (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi)
Oleh: MADA SANJAYA WS G74103018
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
2
ABSTRAK Mada Sanjaya WS. Dinamika Orde Pertama Sistem Nonlinier Terkopel dengan Relasi Predasi, Mutual, dan Siklik (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi). Dibimbing oleh Husin Alatas. Pengontrolan terhadap populasi suatu spesies tertentu diperlukan untuk menghindari berbagai bencana seperti kekurangan pangan, ledakan hama, dan kepunahan suatu spesies. Penelitian ini dilaksanakan untuk mempelajari sebuah model dinamika mangsa pemangsa menggunakan persamaan Lotka-Volterra termodifikasi melalui analisis numerik dan semi analitik. Model yang diajukan dalam penelitian ini yaitu model mutualisme antara dua spesies dengan kehadiran pemangsa, model dua mangsa satu pemangsa, dan model rantai makanan siklik serta aplikasi model dinamik pengendalian hama pertanian. Telah ditemukan bahwa model dinamika dua spesies hierarki dua tingkat dengan pendekatan persamaan Lotka-Volterra menunjukkan suatu kemiripan dengan data pengamatan fluktuasi populasi kelinci dan Lynx di mana populasi mangsa dan pemangsa berfluktuasi membentuk suatu siklus. Pada model dinamika tiga spesies ini menunjukkan banyak fenomena menarik mengenai keterkaitan antara parameter model dengan fluktuasi populasi ketiga spesies. Hipotesis yang diajukan adalah bahwa pada parameter kritis tertentu diagram fase sistem dinamika tiga spesies akan mengalami bifurkasi yang bisa menunjukan fluktuasi spesies tertentu ke arah kepunahan sementara yang lainya akan mengalami booming hingga akan mencapai keseimbangan kembali. Melalui analisis optimasi dan bifurkasi keterkaitan antara parameter-parameter sistem seperti laju kelahiran dan efektivitas serta produktivitas pemangsa terhadap populasi spesies lainya dapat ditentukan. Titik kritis terjadinya kepunahan dapat diprediksi sehingga pengontrolan bagi ahli biologi untuk memverifikasi sejauh mana kesesuaiannya dengan ekosistem tertentu dan pada akhirnya dapat membantu kita mengatasi atau setidaknya memahami proses kepunahan suatu spesies tertentu.
3
DINAMIKA ORDE PERTAMA SISTEM NONLINIER TERKOPEL DENGAN RELASI PREDASI, MUTUAL DAN SIKLIK (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi)
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : MADA SANJAYA WS G74103018
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
4
Judul : Dinamika Orde Pertama Sistem Nonlinier Terkopel dengan Relasi Predasi, Mutual, dan Siklik (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi). Nama : Mada Sanjaya WS NIM : G74103018
Menyetujui :
Pembimbing I
Dr. Husin Alatas, M.Si NIP 132206234
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP 131473999
Tanggal Lulus:
5
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cirebon, pada tanggal 11 Oktober 1985 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, pasangan Waryano Sunaryo dan Eti. Penulis menyelesaikan studinya di SMU Negeri 1 Lemah Abang-Cirebon pada tahun 2003 dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama duduk di bangku kuliah, penulis aktif dalam berbagai kegiatan (kepanitiaan) dan organisasi intra kampus seperti menjadi anggota DKM Al Hurriyyah IPB pada tahun 2003-2004, Departemen Kerohanian Himpunan Mahasiswa Fisika (HiMaFi) IPB pada tahun 2003-2004, staff Departemen kerohanian BEM FMIPA pada tahun 2004-2005, staff Departemen Kebijakan Nasional BEM KM IPB pada tahun 2005 serta aktif sebagai ketua Rohis OMDA Cirebon pada tahun 2005. Penulis pernah menjadi asisten praktikum mata kuliah Fisika Dasar I dan II 2004-2006, penulis juga aktif mengajar private di kota Bogor, menjadi staff pengajar A-Project, Physics Challange dan Best Student Program pada tahun 2004–2006. Serta menjadi tutor di Bimbingan Belajar Bintang Pelajar Regional Bogor pada tahun 2006 sampai sekarang.
6
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan taufik dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan proposal yang berjudul “Dinamika Orde Pertama Sistem Nonlinier Terkopel dengan Relasi Predasi, Mutual, dan Siklik (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi).”, yang dilakukan dalam rangka tugas akhir untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan banyak terima kasih dan memberikan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada Bapak Husin Alatas atas segala bimbingan dan motivasinya yang diberikan kepada penulis untuk segera menyelesaikan penelitian ini, juga kepada Bapak Irzaman dan Bapak Kiagus Dahlan selaku penguji dari skripsi ini. Kepada orangtua dan seluruh sanak keluarga penulis, juga kepada “Dinda yang selalu berada di hatiku”, seluruh staff dan dosen Fisika khususnya, dan IPB pada umumnya. Serta seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tak mungkin disebutkan satu-persatu, juga kepada semua teman-teman seperjuangan Fisika. Penulis memahami bahwa tiada gading yang tak retak. Oleh karena itu, segala macam saran dan kritik yang membangun akan penulis terima dengan senang hati. Semoga apa yang disampaikan oleh penulis akan bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Bogor, Maret 2007
Penulis
7
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR........................................................................................................................... DAFTAR ISI......................................................................................................................................... DAFTAR GAMBAR............................................................................................................................ DAFTAR TABEL................................................................................................................................. DAFTAR LAMPIRAN......................................................................................................................... PENDAHULUAN................................................................................................................................ . Latar Belakang............................................................................................................................... Tujuan............................................................................................................................................ TINJAUAN PUSTAKA....................................................................................................................... Persamaan Differensial Orde Pertama........................................................................................... Model Dinamik untuk Interaksi Multispesies............................................................................... Titik Kritis (critical point)............................................................................................................. Kontruksi Matrik Jacobi................................................................................................................ Vektor Eigen dan Nilai Eigen....................................................................................................... Model Dinamik Lotka-Volterra Dua Spesies................................................................................ Analisis Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies................................................................... Kontruksi Matriks Jacobi ...................................................................................................... Analisis Kestabilan Titik Kritis............................................................................................. Titik Kritis T1 ........................................................................................................................ 3 Titik Kritis T2 ........................................................................................................................ Orbit dan Kestabilan Sistem.................................................................................................. Kesesuaian Model dengan Hasil Pengamatan Lapangan...................................................... METODOLOGI PENELITIAN........................................................................................................... Waktu dan Tempat Penelitian....................................................................................................... Peralatan ....................................................................................................................................... Studi Pustaka ................................................................................................................................ Pembuatan Program...................................................................................................................... Analisis Output……………………………………………………………….......................…... HASIL DAN PEMBAHASAN……………………………………………….........................……… PEMODELAN…………………………………………………………......................….…… … Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Mutualistik…………….............................……… Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Mutualistik dengan Kehadiran Pemangsa……………………………………………………………………......... .............. Model Dinamik Dua mangsa Satu Pemangsa tanpa Kompetisi Intraspesifik........................ Model Dinamik Dua mangsa Satu Pemangsa dengan Kompetisi Intraspesifik.................... Model Dinamik Rantai Makanan Siklik……………………………………........................ ANALISIS MODEL…………………………………………………………......................…… Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Mutualistik………………….....................… Penentuan Titik Kritis………………………………………………....................……. Kontruksi Matriks Jacobi................................................................................................ Analisis Kestabilan Titik Kritis...................................................................................... Titik Kritis T1....................................................................................................... Titik Kritis T2....................................................................................................... Titik Kritis T3....................................................................................................... Titik Kritis T4....................................................................................................... Orbit dan Kestabilan Sistem................................................................................. Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Mutualistik dengan Kehadiran Pemangsa................................................................................................................. ..............
i ii iv vi vii 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5
5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8
10
8
Penentuan Titik Kritis..................................................................................................... Kontruksi Matriks Jacobi............................................................................................... Analisis Kestabilan Titik Kritis...................................................................................... Titik Kritis T1....................................................................................................... Titik Kritis T2....................................................................................................... Titik Kritis T3....................................................................................................... Titik Kritis T4....................................................................................................... Titik Kritis T5....................................................................................................... Titik Kritis T6....................................................................................................... Model Dinamik Dua mangsa Satu Pemangsa tanpa Kompetisi Intraspesifik....................... Penentuan Titik Kritis.................................................................................................... Kontruksi Matriks Jacobi............................................................................................... Analisis Kestabilan Titik Kritis...................................................................................... Titik Kritis T1....................................................................................................... Titik Kritis T2....................................................................................................... Titik Kritis T3....................................................................................................... Hasil Numerik................................................................................................................ Kasus ad = bc………………………………………………..................….…… Kasus ad > bc…………………………………………………………..….…… Kasus ad < bc...................................................................................................... Model Dinamik Dua mangsa Satu Pemangsa dengan Kompetisi Intraspesifik..................... Penentuan Titik Kritis..................................................................................................... Kontruksi Matriks Jacobi................................................................................................ Analisis Kestabilan Titik Kritis...................................................................................... Titik Kritis T1....................................................................................................... Titik Kritis T2....................................................................................................... Titik Kritis T3....................................................................................................... Titik Kritis T4....................................................................................................... Titik Kritis T5....................................................................................................... Titik Kritis T6....................................................................................................... Titik Kritis T7....................................................................................................... Hasil Numerik................................................................................................................. Parameter 1……………………………………………...................…………... Parameter 2…………………………………………...................……………... Parameter 3........................................................................................................... Attractor Model Dinamik Dua Mangsa Satu Pemangsa………..................…………… Hasil Eksperimen Lapangan........................................................................................... Model Dinamik Rantai Makanan Siklik................................................................................ Penentuan Titik Kritis..................................................................................................... Kontruksi Matriks Jacobi............................................................................................... Analisis Kestabilan Titik Kritis...................................................................................... Hasil Numerik................................................................................................................. Kasus beh = fic.................................................................................................... Kasus beh > fic.................................................................................................... Aplikasi Model Dinamik Pengendalian Hama pertanian...................................................... Analisis Model Dinamik Pengendalian Hama pertanian...................................................... Penentuan Titik Kritis.................................................................................................... Kontruksi Matriks Jacobi............................................................................................... Analisis Kestabilan Titik Kritis..................................................................................... Hasil Numerik................................................................................................................ Kasus ag = fb...................................................................................................... Kasus ag > fb...................................................................................................... Kasus ag < fb...................................................................................................... SIMPULAN DAN SARAN................................................................................................................ DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................................................
DAFTAR GAMBAR
10 10 11 11 11 11 11 12 16 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 21 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 26 26 26 26 26 29 30 32 32 32 35 35 35 36 38 39 39 39 40 40 40 41 42 43 43
Kas
9
Gambar 1. Dinamika populasi dua spesies...................................................................................... Gambar 2. Orbit kestabilan mangsa pemangsa dua spesies............................................................ Gambar 3. Dinamika Populasi Hare dan Lynx oleh Hudson Bay Company.................................. Gambar 4. Orbit Kestabilan Populasi Hare’s dan Lynx oleh Hudson Bay Company………………………………………………………………........... .............. Gambar 5. (a) Grafik ruang phasa bidang xy dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1 (b) Grafik laju populasi dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1................................................................ Gambar 6. Grafik kestabilan titik kritis T4 saat ad > bc (a) ruang phasa bidang xy dengan memvariasikan kondisi awal dan t = 100 (a) laju populasi kondisi awal x = 2 dan y = 2 (b) laju populasi kondisi awal, x = 1 dan y = 2, dan (c) laju populasi kondisi awal x = 2 dan y = 1..................................................................................................... Gambar 7. (a) Grafik ruang phasa bidang xy dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1 dan (b) grafik laju perubahan populasi dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1...................................... Gambar 8. Grafik ruang phasa titik kritis T4 dengan kondisi awal x = 1, y = 1, z = 1, t = 1000 dan parameter a = 2.5, b = 1, c = 1, dan d = 2.5........................................................... Gambar 9. Grafik ruang phasa dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1............................................... Gambar 10. Grafik ruang phasa titik kritis T4 dengan kondisi awal x = 1, y = 1, z = 1, t = 1000 dan parameter a = 0.5, b = 1, c = 1 dan d = 0.5................................................................... Gambar 11. Grafik ruang phasa dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1.............................................. Gambar 12. Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T5 dengan t = 1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) parameter d = 1.5 dan l = 1.5 (b) parameter d = 1.2 dan l = 1.2 (c) parameter d =1 dan l = 1 (d) parameter d = 0.7 dan l = 0.7 (e) parameter d = 0.5 dan l = 0.5 serta (f) parameter d = 0.3 dan l = 0.3…………….. Gambar 13. Grafik Laju Perubahan Populasi pada Titik Kritis T5 dengan beberapa parameter, (a) parameter d = 1.5 dan l = 1.5 (b) parameter d = 1.2 dan l = 1.2 (c) parameter d = 1 dan l = 1 (d) parameter d = 0.7 dan l = 0.7 (e) parameter d = 0.5 dan l = 0.5 serta (f) parameter d = 0.3 dan l = 0.3………………………………………………… Gambar 14. Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T6 dengan t = 1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) parameter b = 0.1 dan c = 0.1 (b) parameter b = 0.5 dan c = 0.5 (c) parameter b = 0.8, c = 0.8 (d) parameter b = 1 dan c = 1 (e) parameter b = 1.1 dan c = 1.1 serta (f) parameter b = 1.2 dan c = 1.2……………………………. Gambar 15. Grafik Laju Perubahan Populasi pada Titik Kritis T6 dengan beberapa parameter, (a) parameter b = 0.1 dan c = 0.1 (b) parameter b = 0.5 dan c = 0.5 (c) parameter b = 0.8 , c = 0.8 (d) parameter b = 1 dan c = 1 (e) parameter b = 1.1 dan c = 1.1 serta (f) parameter b = 1.2 dan c = 1.2……………………………………………….. Gambar 16. Bifurkasi yang terjadi pada model dua mangsa satu predator dengan t= 500 dan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) parameter a = 1, b = 1, c = 1 dan d = 1 (b) parameter a = 2, b = 1, c = 1 dan d = 2 (c) parameter a = 20, b = 1, c = 1 dan d = 20 (e) parameter a = 1, b = 2, c = 2 dan d = 1 (f) parameter a = 1, b = 20, c = 20, dan d = 1……………………………………………………………………… Gambar 17. Grafik Laju Perubahan Populasi pada model dua mangsa satu predator dengan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) parameter a = 1, b = 1, c = 1 dan d = 1 (b) parameter a = 2, b = 1, c = 1 dan d = 2 (c)
3 4 4
4
8
9
10
11 12
12 12
14
15
17
18
22
10
Gambar 18.
parameter a = 20, b = 1, c = 1 dan d = 20 (e) parameter a = 1, b = 2, c = 2 dan d =1 (f) parameter a = 1, b = 20, c = 20 dan d = 1.............................................................................................................. Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T7 dengan t = 1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) bersifat periodik dengan c = 0.003 (b) bersifat periodik dengan c = 0.004 (c) bersifat periodik dengan c = 0.005 (d) bersifat periodik dengan c = 0.006 (e) bersifat periodik dengan c = 0.007 serta (f) bersifat chaotik dengan c = 0.008..........................................................................................................
Laju Perubahan populasi yang terjadi pada titik kritis T7 dengan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) laju populasi tiga spesies dengan c = 0.003 (b) populasi tiga spesies dengan c = 0.005 (c) populasi tiga spesies dengan c = 0.008 (d) Plot x dan z terhadap waktu t dengan c = 0.003 bersifat periodik (e) Plot x dan z terhadap waktu t dengan c = 0.005 bersifat periodik (f) Plot x dan z terhadap waktu t dengan c = 0.008 bersifat chaotik................................................................................... Gambar 20. Attractor model dinamik dua mangsa satu pemangsa dengan kondisi awal populasi predator divariasikan z0 = 2, z0 = 2.1 dan z0 = 2.2 sedangkan parameter c = 0.01 (a) ruang fase tiga spesies t = 3000, (b) laju populasi mangsa x, (c) laju populasi mangsa y dan (d) laju populasi pemangsa z…………………………………………... Gambar 21. Attractor model dinamik dua mangsa satu pemangsa saat kondisi awal populasi predator divariasikan z0 = 2, z0 = 2.1 dan z0 = 2.2 sedangkan parameter c = 0.01 (a) ruang fase tiga spesies, t = 3000 (b) ruang fase bidang xy, (c) ruang fase bidang yz dan (d) ruang fase bidang xz..................................................................................... Gambar 22. Hasil Experimental Dinamika Populasi sistem chemostat bacteria– ciliate.................. Gambar 23. Bifurkasi ruang phasa pada model siklik dengan t = 10 dan memvariasikan parameter yang digunakan, (a) parameter c =0.6 (b) parameter c = 0.8 (c) parameter c = 0.96 (d) parameter c =1. 2 (e) parameter c = 1.35 (f) parameter c = 1.6…………………... Gambar24. Laju perubahan populasi pada model siklik dengan memvariasikan parameter yang digunakan ,(a) parameter c = 0.6 (b) parameter c = 0.8 (c) parameter c = 0.96 (d) parameter c = 1. 2 (e) parameter c = 1.35 (f) parameter c = 1.6…………………. Gambar 25. Skema daur hidup hama ulat buah (Helicoverpa armigera) yang merusak tanaman kapas beserta musuh alaminya....................................................................................... Gambar 26. Diagram rantai makanan pada tanaman kapas............................................................... Gambar 27. Orbit kestabilan pada bidang 3-dimensi kasus ag = fb.................................................. Gambar 28. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x = 1, y = 1, z = 1.5 dan t = 20 kasus ag = fb.................................................................................................................. Gambar 29. Orbit kestabilan pada bidang 3-dimensi kasus ag > fb.................................................. Gambar 30. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x = 2, y = 2, z = 1 dan t = 20 kasus ag > fb....................................................................................................................... .... Gambar 31. Orbit Kestabilan pada bidang 3-dimensi kasus ag < fb................................................. Gambar 32. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x = 2 , y = 2, z = 1 dan t = 20 kasus ag < fb....................................................................................................................... .....
23
27
Gambar 19.
28
29
30 31
33
34
38 39 40
41 41
41 42
42
