DINAMIKA DAN INTERAKSI SOLITON DNA MODEL PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS DENGAN APROKSIMASI POTENSIAL MORSE ORDE LIMA IZZATU YAZIDAH

DINAMIKA DAN INTERAKSI SOLITON DNA MODEL PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS DENGAN APROKSIMASI POTENSIAL MORSE ORDE LIMA

IZZATU YAZIDAH

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

Izzatu Yazidah. Dinamika dan Interaksi Soliton DNA Model PeyrardBishop-Dauxois dengan Aproksimasi Potensial Morse Orde Lima. Dibimbing oleh : Dr. Husin Alatas, S. Si, M. Si.

Abstrak DNA model PBD (perpanjangan dari model Peyrard-Bishop) merupakan model DNA yang menggambarkan denaturasi (replikasi) DNA. Tulisan ini menjelaskan makna fisis dari solusi numerik DNA model PBD dengan aproksimasi potensial morse hingga orde lima dalam efek gangguan pada dinamika gelombang soliton DNA. Dengan menggunakan metode finite-difference yang dibantu metode interpolasi Lagrange diperoleh solusi numerik dinamika soliton DNA model PBD yang diberikan gangguan pada solusi stabilnya. Pengaruh gangguan dengan mengalikan nilai (1+ɛ) pada solusi stabilnya dapat terlihat pada peristiwa undulasi (dimana terjadi penyempitan soliton dan kenaikan amplitudo), sedangkan gangguan beda fase (θ=0,π/2 dan π) tidak memberikan pengaruh yang cukup signifikan terhadap kondisi selanjutnya. Kata kunci: DNA model PBD, metode finite-difference, interpolasi Lagrange, potensial morse, soliton.

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi yang berjudul Dinamika dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop-Dauxois dengan Aproksimasi Potensial Morse Orde Lima adalah benar-benar hasil karya saya sendiri dibawah bimbingan Dr. Husin Alatas. S.Si, M.Si, dan belum pernah digunakan sebagai karya ilmiah pada perguruan tinggi atau lembaga manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Bogor, Agustus 2012

Izzatu Yazidah

Judul : Dinamika dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop-Dauxois dengan Aproksimasi Potensial Morse Orde Lima Nama : Izzatu Yazidah NRP

: G74070035

Menyetujui, Pembimbing

Dr. Husin Alatas, S.Si, M.Si NIP : 19710604 199802 1 001

Mengetahui, Ketua Departemen Fisika FMIPA IPB

Dr. Akhiruddin Maddu, M.Si NIP : 19710604 199802 1 001

Disetujui tanggal :

DINAMIKA DAN INTERAKSI SOLITON DNA MODEL PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS DENGAN APROKSIMASI POTENSIAL MORSE ORDE LIMA

Oleh: IZZATU YAZIDAH NRP. G74070035

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

i

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan penulisan laporan tugas akhir dengan judul ”Dinamika dan Interaksi Soliton DNA Model Peyrard-Bishop-Dauxois dengan Aproksimasi Potensial Morse Orde Lima”. Shalawat serta salam tidak lupa dipanjatkan kepada Nabi besar Muhammad SAW beserta para pengikutnya hingga akhir masa kelak. Laporan penelitian tugas akhir yang dilakukan oleh penulis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penyelesaian penulisan laporan tugas akhir ini, yaitu kepada dosen pembimbing, dosen penguji, editor, keluarga besar di rumah serta teman-teman yang tidak dapat dituliskan satu persatu. Penulis menyadari bahwa usulan penelitian ini jauh dari sempurna, oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat diperlukan bagi penulis. Semoga laporan tugas akhir ini bermanfaat bagi semuanya.

Bogor, Agustus 2012

Penulis

ii

UCAPAN TERIMA KASIH

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam penyelesaian penelitian serta laporan tugas akhir yang dilakukan: 1. Bapak Dr. Husin Alatas - selaku dosen pembimbing akademik serta pembimbing tugas akhir yang telah banyak memberikan bimbingan, masukan, dan semangat kepada penulis. 2. Bapak Dr. Irmansyah dan Ibu Mersi Kurniati, M.Si – selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan semangat kepada penulis. 3. Bapak M.N Indro, M.Sc – selaku editor yang telah memberikan masukan mengenai tatacara penulisan laporan tugas akhir serta memberikan semangat kepada penulis. 4. Bapak Dr. Laksmana Tri Handoko dan tim GFTK LIPI FISIKA yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk belajar mengenai komputasi di GFTK, LIPI Puspiptek Serpong, Tangerang. 5. Keluarga besar H. Ahmad Suhaily – Papa, (Alm.) Mama, Cindy, Rully, Ahsan dan Ela - yang telah memberi dorongan kepada penulis baik secara materi maupun spiritual. 6. Laskar SA Palembang dan Big Families H. Syawal. 7. Direktur, Kasubdit serta staff di Direktorat Panas Bumi, Ditjen EBTKE, Kementrian ESDM RI atas bantuan selama ini . 8. Switenia Wana Putri dan Dede Hermanudin – selaku rekan satu team dan seperjuangan dalam melakukan penelitian DNA PBD ini. Terima kasih banyak atas bantuan dan kebersamaan kita selama ini ^^. 9. Dita Rahayu B. – Teman, Sahabat, Saudara penulis selama berada di IPB, Bogor. Terima kasih banyak atas sukaduka, kebersamaan, keceriaan dan bantuan selama ini ^^~. 10. Teman-teman penghuni Lab Fisika Teori dan Komputasi, Ka Fabian, Ka Teguh, Ka Mardhani, Ka Andre, Ka Chandra K, Firman, Maman, Hema. 11. Teman-teman Fisika 44 Dede Y, Hilal, Leli, Balgies, Neneng, Ayul, Wita, Mbah, dll serta teman-teman dari Dept. Fisika IPB Bambang, Bagus, Epa, Anggi, Nisa, Mbak Ais, Mbak Wenny, Mas Ian, Bu Grace, Pak Firman, Mang Jun serta lainnya yang tidak dapat dituliskan satu persatu. 12. Teman-teman kosan RZ, GMSK, 348Nation, Pioner WI, Doetha serta adik kelas di IPB angkatan 46,47 dan 48 yang tidak dapat dituliskan satu persatu. 13. Teman-teman admin dan member di komunitas Korea: KPOPDRAMALv, SungJoonID, SunghyunLv, dan ANJELL Indo, serta Wedding Channel – Mediaworks Indonesia.

iii

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Bekasi pada 08 April 1989, anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan H. Ahmad Suhaily dan Hj.Lulu Lutfiah, Dsy. (Alm). Pendidikan penulis dimulai pada tahun 1994 di TK Parkit Darma Wanita Tambun, tahun 1995 di SD Negeri Mekarsari 01 Tambun, tahun 2001 di SLTP Negeri 2 Tambun Selatan, tahun 2004 di SMA Negeri 1 Tambun Selatan dan tahun 2007 di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Selama di IPB, penulis aktif di Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) Bekasi - KEMSI sebagai anggota pada tahun 2007-2008 dan Bendahara 2 pada tahun 2008-2009, Himpunan Mahasiswa Fisika (HIMAFI) sebagai Ketua Divisi Infokom pada tahun 2009 serta ikut aktif dalam berbagai kepanitian besar di kampus sebagai divisi acara, pdd, humas dan konsumsi. Selain itu penulis juga mengajar sebagai asisten praktikum Fisika Dasar untuk mahasiswa TPB pada tahun 2008-2011 serta asisten praktikum Eksperimen Fisika 2 pada tahun 2011.

iv

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ...……………………………………………………

v

DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………

vi

BAB 1 PENDAHULUAN .......................................................................... 1.1 Latar Belakang ........................................................................... 1.2 Tujuan Penelitian ....................................................................... 1.3 Perumusan Masalah ................................................................... 1.4 Hipotesis ....................................................................................

1 1 1 1 1

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ................................................................. 2.1 Replikasi DNA ………………………………………....…… 2.2 Model DNA PBD ……………………………………....……

2 2 2

BAB 3 METODE PENELITIAN .............................................................. 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................... 3.2 Peralatan ................................................................................... 3.3 Metode Penelitian ..................................................................... 3.3.1 Studi Pustaka ................................................................... 3.3.2 Penguasaan Software dan Persamaan Matematis ............. 3.3.3 Pembuatan dan Pengujian Program ................................. 3.3.3.1 Aplikasi Metode Finite Difference Dalam Program ………………………………………. 3.3.3.2 Aplikasi Interpolasi Lagrange Dalam Program..

6 6 6 6 6 6 6

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN ..................................................... 4.1 Simulasi Perambatan Soliton pada Kondisi Stabil .................... 4.2 Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada Amplitudo 4.3 Simulasi Interaksi Dua Soliton ..................................................

9 9 10 11

BAB 5 SIMPULAN ..................................................................................

13

SARAN .....................................................................................................

14

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................

14

LAMPIRAN-LAMPIRAN ..........................................................................

16

6 8

v

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Tiga cara teoritis replikasi DNA …...............................................

2

Gambar 2. Representasi grafis model pegas sederhana untuk rantai DNA ....

3

Gambar 3. Perkiraan untuk turunan dari f (x) di P dengan menggunakan Forward, Backward, dan Central Difference …………………...

6

Gambar 4. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima stabil …………………………………………. (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi ……………………... (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat T awal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir ………………………. Gambar 5. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi I …………………………...……… (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi ……………………... (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat T awal, grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir, dan grafik hijau menunjukkan saat terjadinya undulasi ………………………….

9 9

9 10 10

10

Gambar 6. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi II ………………………...………... (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi …………………….. (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat T awal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir ………………………..

11

Gambar 7. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi III plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir …………………………………...................................... (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = 0 ……….. 𝜋 (b) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = 2 ……..... (c) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π …….....

12 12 12 12

11 10

vi

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran A. Program Simulasi Perambatan Soliton pada Kondisi Stabil ….

17

Lampiran B. Program Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada Amplitudo ……………………………………………………

20

Lampiran C. Program Simulasi Interaksi Dua Soliton …………….…….....

23

BAB 1

sebagai model PBD yang akan menjadi fokus dalam penelitian ini.

PENDAHULUAN

Dinamika DNA model PBD dapat didekati dengan gelombang soliton, karena soliton merupakan solusi persamaan diferensial nonlinear, yang memiliki energi total berhingga, terlokalisasi dalam ruang, bersifat stabil, dan tidak menyebar. Profil sebaran rapat energinya menyerupai gundukan yang terpusat dalam rentang ruang berhingga. Setiap gelombang soliton dicirikan oleh sifat tidak berubahnya topologi yang menunjukkan sifat kestabilannya.15

1.1 Latar Belakang Asam deoksiribonukleat atau yang lebih dikenal DNA (Deoxyribo Nucleic Acid), adalah sejenis asam nukleat yang tergolong biomolekul utama penyusun berat kering setiap organisme. Struktur heliks ganda DNA mengalami dinamika yang sangat kompleks seperti transkripsi, translasi dan mutasi. Dinamika DNA sendiri telah dipelajari dengan hirarkihirarki yang berbeda dari model struktural batang elastik yang sederhana sampai ke nonlinier kisi heliks diskrit1-4. Dinamika nonlinier telah berhasil digunakan untuk menjelaskan denaturasi DNA5. Masih banyak spekulasi pada kemungkinan peran nonlinier (Kinks atau soliton) dalam masalah interaksi protein-DNA, regulasi transkripsi, interaksi jarak jauh dari protein-protein, dan konfirmasi gelombang yang diproduksi oleh karsinogen.1 Model nonlinear juga mendukung eksitasi koheren yang muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dirintis sejak penemuan oleh Fermi, Pasta dan Ulam6. Penemuan Fermi, Pasta dan Ulam tersebut mendorong banyak ilmuwan menggunakan model nonlinier dalam studi sistem yang kompleks 7, diantaranya model nonlinear yang mulai masuk ke dalam fisika DNA. Englander et al.8 pada tahun 1980, memodelkan dinamika DNA dengan persamaan sinus-Gordon. Sejak saat itu, banyak pekerjaan yang dikhususkan untuk eksitasi nonlinier dalam DNA, baik dari sudut pandang mekanika dinamik dan statistik. Di antara bagian kerja tersebut, terutama model yang sukses yakni model dinamika DNA yang diajukan pertama kali oleh PeyrardBishop (PB)5,9, dan dikembangkan oleh Dauxois10-14 dengan potensial morse berperan menggambarkan ikatan hidrogen antar nukleotida dalam strand (rantai) yang berbeda. Model PeyrardBishop-Dauxois selanjutnya disebut

1.2 Tujuan Penelitian Di dalam penelitian ini akan dicari bagaimanakah solusi numerik menggunakan metode beda higga (finitedifference). Kemudian melakukan simulasi terhadap berbagai macam efek gangguan dan menjelaskan arti fisis dari hasil yang diperoleh.

1.3 Perumusan Masalah Sampai saat ini, penelitian yang dilaporkan di berbagai literatur masih terbatas pada model DNA PBD semidiskrit. Pada model ini di asumsikan bahwa untai DNA merupakan sistem kontinu. Padahal kenyataannya DNA merupakan sistem diskrit. Dinamika DNA untuk model semi-diskrit sendiri telah dikaji secara analitik hingga orde ke lima. Dan pada penelitian ini, akan ditinjau pemecahan bagaimana solusi numerik dan simulasi yang dihasilkan pada persamaan soliton DNA model PBD orde ke lima saat diberi gangguan?.

1.4 Hipotesis Solusi numerik persamaan soliton DNA model PBD yang diberi gangguan akan memberikan hasil yang berbeda dengan solusi eksak tanpa diberi gangguan.

2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

equilibrium density-gradient centrifugation. Percobaan ini dilaporkan hasilnya pada tahun 1958 oleh M.S. Meselson dan F.W. Stahl.19

2.1 Replikasi DNA DNA atau asam deoksiribonukleat merupakan polimer yang terdiri atas tiga komponen utama, yaitu gugus fosfat, gula deoksiribosa, dan basa nitrogen19. Salah satu fungsi pokok DNA adalah menyimpan informasi genetik dan dengan tepat dapat meneruskan informasi tersebut dari tetua kepada keturunannya, dari generasi ke generasi. Fungsi ini merupakan fungsi genotipik, yang dilaksanakan melalui replikasi. Ada tiga cara teoretis replikasi DNA yang pernah diusulkan, yaitu semikonservatif, konservatif, dan dispersif (lihat Gambar 1). Pada replikasi semikonservatif tangga berpilin mengalami pembukaan terlebih dahulu sehingga kedua untai polinukleotida akan saling terpisah, namun masing-masing untai ini tetap dipertahankan dan akan bertindak sebagai cetakan (template) bagi pembentukan untai polinukleotida baru. Pada replikasi konservatif seluruh tangga berpilin DNA awal tetap dipertahankan dan akan mengarahkan pembentukan tangga berpilin baru. Pada replikasi dispersif kedua untai polinukleotida mengalami fragmentasi di sejumlah tempat. Fragmen-fragmen polinukleotida yang terbentuk akan menjadi cetakan bagi fragmen nukleotida baru sehingga fragmen lama dan baru akan dijumpai berselang-seling di dalam tangga berpilin yang baru. Di antara ketiga cara replikasi DNA yang diusulkan tersebut, hanya cara semikonservatif yang dapat dibuktikan kebenarannya melalui percobaan yang dikenal dengan nama sentrifugasi seimbang dalam tingkat kerapatan atau

Gambar 1. Tiga cara teoritis replikasi DNA.19

2.2 Solusi Model DNA PBD Model yang digunakan untuk mendeskripsikan dinamika molekul DNA pada penelitian ini adalah model PeyrardBishop-Dauxois. Bentuk B-DNA dalam model Watson-Crick merupakan helix ganda, yang terdiri atas dua alur yang digabungkan melalui ikatan hidrogen (alur s1 dan s2) seperti terlihat pada Gambar 2. Salah satu alur dapat diasumsikan sebagai sebuah massa umum m untuk semua nukleotida yang memiliki nilai sama untuk konstanta kopling k untuk interaksi longitudinalnya5,14. Struktur helicoidal dari rantai DNA menunjukkan bahwa nukleotida dari alur yang berbeda menjadi cukup dekat sehingga alur-alur tersebut dapat berinteraksi. Ini berarti bahwa suatu nukleotida n disalah satu alur berinteraksi dengan kedua nukleotida (n+h) dan (n-h) pada alur lainnya.

3

Gambar 2. Representasi grafis model pegas sederhana untuk rantai DNA. 10

Nukleotida mengalami gerak transversal un dan vn dari posisi kesetimbangan di sepanjang arah ikatan hidrogen. Energi nukleotida tersebut direpresentasikan melalui Hamiltonian untuk rantai DNA 10, 11,13 𝐻=

𝑚

𝑘

𝑢2 + 𝑣 2 + 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛 −1 2

2

2

+

𝑣𝑛−𝑣𝑛−12+𝐾2𝑢𝑛−𝑣𝑛+𝑕2+𝑢𝑛−𝑣𝑛 −𝑕2+𝐷[𝑒^ −𝑎(𝑢_𝑛−𝑣_𝑛 ) −1]2 ………….…...….. (1)

𝑚𝑥𝑛 = 𝑘 𝑥𝑛+1 + 𝑥𝑛−1 − 2𝑥𝑛 + 𝐾 𝑥𝑛 +𝑕 + 𝑥𝑛−𝑕 − 2𝑥𝑛 …..... (3) dan 𝑚𝑦 = 𝑘 𝑦𝑛+1 + 𝑦𝑛−1 −2𝑦𝑛 − 𝐾 𝑦𝑛+𝑕 + 𝑦𝑛−𝑕 + 2𝑦𝑛 + 2 2𝑎𝐷[𝑒^(−𝑎 2 𝑦_𝑛 ) − 1] 𝑒^(−𝑎 2 𝑦_𝑛 ) ..…………. (4) Seperti dijelaskan artikel10,11,13,16-18 transformasi

dalam beberapa dapat diterapkan 𝑦

Dimana k adalah konstanta harmonik helicoid untuk untai yang sama; K adalah konstanta harmonik helicoid untuk untai yang berbeda; H adalah Hamiltonian potensial morse yang mendekati potensial ikatan hidrogen; D adalah kedalaman potensial morse; dan a adalah jarak antar nukleotida pada rantai yang berbeda.

𝑛 𝑦𝑛 = 𝜀1/2 Φ𝑛 atau Φ𝑛 = 𝜀 1/2 …..... (5)

Dari Persamaan (1) akan lebih mudah untuk menggambarkan gerakan dua alurnya dengan membuat transformasi ke koordinat pusat massa yang mewakili gerak ke dalam dan gerakan keluar untuk gerakan transversal, yaitu

Φ𝑛 = 𝑚 Φ𝑛+1 + Φ𝑛−1 −2Φ𝑛 −

𝑥𝑛 =

𝑢 𝑛 +𝑣𝑛 2

, 𝑦𝑛 =

𝑢 𝑛 −𝑣𝑛 2

………... (2)

Dengan menyubstitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1) maka akan diperoleh persamaan dinamis yang menggambarkan gelombang linear dan gelombang nonlinier.

Dimana faktor skala 0 < ɛ << 1 membolehkan kita untuk mengembangkan potensial Morse menjadi ekspansi Taylor orde lima dengan menyesuaian pada Hamiltonian sehingga didapatkan persamaan gerak untuk Φ𝑛 𝑘

𝐾

𝑚

Φ𝑛+𝑕 + Φ𝑛−𝑕 + 2Φ𝑛 −

𝜔𝑔2 Φ𝑛 +∝ 𝜀1/2 Φ𝑛2 + 𝛽εΦ𝑛3 + γ𝜀3/2Φ𝑛4 ……………..….....…. (6) 4𝑎 2 𝐷 3𝑎 7𝑎 2 dimana 𝜔𝑔2 = 𝑚 , 𝛼 = − 2 , 𝛽 = 3 dan 5𝑎 3

𝛾 = −2

2

...………………... (7)

Kita asumsikan pemecahan Persamaan (7) menggunakan pendekatan semi-diskrit sehingga solusi Φ𝑛 diberikan sebagai berikut:

4

Φ𝑛 = 𝐹1 𝜀𝑛𝑙, 𝜀𝑡 𝑒 𝑖𝜃 𝑛 + 𝑐. 𝑐 + 𝜀1/2 𝐹0 𝜀𝑛𝑙, 𝜀𝑡 +

exp(i0) didapatkan bentuk hubungan dari ɛ1/2 :

𝐹2𝜀𝑛𝑙,𝜀𝑡𝑒𝑖2𝜃𝑛+𝑐.𝑐+𝑂𝜀 ..(8)

𝐹0 = 𝜇 𝐹1 2 …………......…... (11)

dimana 𝜃 ≡ 𝜃𝑛 = 𝑛𝑞𝑙 − 𝜔𝑡 ……….... (9)

4𝐾

dengan 𝜇 = −2𝛼 1 + 𝑚 𝜔 2

dengan parameter l, ω dan q=2π/λ dimana l merupakan jarak antara dua nukleotida tetangga pada rantai yang sama, q adalah bilangan gelombang soliton DNA, ω adalah frekuensi optik dari getaran pendekatan linear dan c.c adalah istilah conjugate-compleks dari fungsi F1 dan F2.

𝑔

𝐹2 = 𝛿 𝐹12 …………...…..…... (13)

dengan 𝛿 = 2 𝑘 cos

− 2𝑖ɛ𝜔

𝜕𝐹1 𝜕𝑇

2𝑞𝑙 −1 −𝐾 cos 2𝑞𝑕𝑙 +1 +𝑚(4𝜔 2 −𝜔 𝑔 2 )

(14)

α(μ² + 2δ²) + 6β(μ + δ) + 6γ = 0 ….... (15) Akhirnya dari hubungan harmonik exp(i𝜃𝑛 ) kita akan memperoleh persamaan :

Dimana variabel kontinu z dan t telah disubtitusi 𝑧 = 𝑍/𝜀, dan 𝑡 = 𝑇/𝜀. Subtitusi Persamaan (8) kedalam Persamaan (6) dan dengan mengumpulkan

𝜕𝑇 2

𝑚𝜔 𝑔2 𝛼

Berdasarkan hubungan Persamaan (11) dan (13) kita dapat mengikuti kondisi konsisten yang berasal dari ɛ3/2 dengan aturan exp(i𝜃𝑛 ):

𝐹𝑖 𝜀 𝑛 ± 𝑕 𝑙, ɛ𝑡 → 𝐹𝑖 𝑍, 𝑇 ± 𝜀𝑕𝑙 𝐹𝑍 𝑍, 𝑇 + 1 2 2 2 𝜀 𝑕 𝑙 𝐹𝑍𝑍 𝑍, 𝑇 ...(10) 2

𝜕 2 𝐹1

........….. (12)

Selanjutnya dari hubungan harmonik exp(2i𝜃𝑛 ) kita dapat mengeluarkan ɛ0 sehingga mengikuti relasi untuk 𝐹2 :

Untuk kasus semi-diskrit kita mengambil batas 𝑛𝑙 → 𝑧 untuk fungsi 𝐹𝑖 sehingga secara umum menghasilkan pendekatan :

𝜀2

−1

𝑘

− 𝜔²𝐹1 = 𝑚 [2𝐹1 (cos 𝑞𝑙 − 1) + 2𝑖ɛ𝑙𝐹1𝑍 sin 𝑞𝑙 + ɛ2 𝑙2 𝐹1𝑍𝑍 cos 𝑞𝑙] − 𝐾 [2𝐹1 (cos 𝑞𝑙𝑕 − 1) + 2𝑖ɛ𝑙𝑕𝐹1𝑍 𝑚 2 2 2 ɛ 𝑙 𝑕 𝐹1𝑍𝑍 cos 𝑞𝑙𝑕] − 𝜔𝑔2 {𝐹1 + 2 2

sin 𝑞𝑙𝑕 + ɛ[2𝛼 𝜇 + 𝛿 + 3𝛽]|𝐹1 |²𝐹1 + + 4𝛾 3𝜇 +

ɛ² 3𝛽 𝜇 + 2𝜇𝛿 + 2𝛿 4𝛿 |𝐹1 |4 𝐹1 } ………………………………………........ (16)

kemudian diperoleh hubungan dispersi sebagai berikut: 𝜔2 =

2𝑘

dari nukleotida sehingga Persamaan (16) menjadi :

2𝐾

1 − cos 𝑞𝑙 + 𝑚 cos 𝑞𝑕𝑙 + 1+𝜔𝑔2 ………………….…... (17)

𝑉𝑔 −

𝑚

𝜔 𝑔2

2𝜔

𝑙2

𝑉𝑔 ² − 𝑚 (𝑘 cos 𝑞𝑙 − 𝐾𝑕 2 cos 𝑞𝑙𝑕)

𝜕 2𝐹 1 𝜕𝑆 2

Dari hubungan dispersi yang diberikan oleh Persamaan (17) kita dapat menemukan hubungan kecepatan grup dari nukleotida dengan menetapkan 𝑉𝑔 = 𝑑𝜔/𝑑𝑞 sehingga diberikan :

(𝑘 sin 𝑞𝑙 − 𝐾𝑕 sin 𝑞𝑙𝑕)

𝜕𝐹1 𝜕𝑆

=

𝑖 2𝜔 [2𝛼 𝜇 + 𝛿 + 3𝛽]|𝐹1 |²𝐹1 ….….. (18)

kemudian kita menerapkan transformasi koordinat baru 𝑆 = 𝑍 − 𝑉𝑔 𝑇, 𝜏 = 𝜀𝑇 dengan Vg merupakan kecepatan group 1

𝑙 𝑚𝜔

untuk orde ɛ, sedangkan untuk orde ɛ² :

−𝑖

𝜕 𝐹1 𝜕𝑇

𝜔 𝑔2

= − 2𝜔 [3𝛽 𝜇2 + 2𝜇𝛿 + 2𝛿 2 +

4𝛾 3𝜇 + 4𝛿 ]|𝐹1 |4 𝐹1 ……..… (19) 𝑙

𝑉𝑔 = 𝜔𝑚 𝑘 sin 𝑞𝑙 − 𝐾𝑕 sin 𝑞𝑙𝑕 ....... (20) dengan mudah dapat dilihat kecepatan grup pada Persamaan (20) menghilangkan

5

sisi kanan dari Persamaan (18) sehingga dari Persamaan (15) akan didapatkan: 2α(μ+ δ) + 3β = 0 …………....... (21) dengan pemecahan secara simultan untuk kondisi Persamaan (15) dan (20) untuk μ dan δ :

𝑙2

1

𝑃 = 2𝜔

𝑚

𝑉𝑔2

𝑘 cos 𝑞𝑙 − 𝐾 𝑕 2 cos 𝑞𝑕𝑙

−

…………………..…….… (27)

𝜔 𝑔2

𝑅 = − 2𝜔 3𝛽 𝜇2 + 2𝜇𝛿 + 2𝛿 2 + 4𝛾3𝜇+4𝛿 ………..……...... (28)

………....... (22a)

Agar Persamaan (26) dapat diselesaikan maka diberikan persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS kuintik

………...... (22b)

𝐹1 𝑆, 𝜏 = 𝑓 𝑆 − 𝑢𝑒 𝜏 exp⁡ [𝑖𝜎 𝑆 − 𝑢𝑐 𝜏 ] (29)

dimana α, β, dan γ telah diberikan pada Persamaan (7) sehingga untuk Persamaan (22) mudah dibuktikan selalu real pada

dengan F1 merupakan fungsi dari S dan 𝜏, Sedangkan ζ merupakan frekuensi gelombang soliton DNA berperan sebagai varibel bebas dan 𝑓 𝑆 − 𝑢𝑒 𝜏 merupakan fungsi real.

𝜇= 𝛿=

−𝛽 ± 10𝛽²−8𝛼𝛾 2𝛼 −2𝛽 ± 10𝛽²−8𝛼𝛾 2𝛼

10𝛽² − 8𝛼𝛾 =

220 𝑎 2 9

> 0.

Dari penjumlahan Persamaan (22) dengan Persamaan (12) dan (14) dapat ditentukan nilai konstanta pegas k dan K dengan memasukan nilai parameter m, a, D, q, l dan h melalui hubungan berikut : 1

𝐾 = − 𝑚𝜔𝑔 2 (1 + 4 𝑘=

𝑚 𝜔𝑔2

2𝛼 𝜇

) ……...... (23)

𝛼 −3 +4𝐾[𝑐𝑜 𝑠 2 𝑞𝑙𝑕 −2(cos 𝑞𝑙𝑕 +1)] 𝛿

4(cos 𝑞𝑙 −1)²

... (24)

sebagai ilustrasi, kita menganggap nilai parameter sebagai berikut16 : −10

−25

l = 3.4 x 10 m, m = 5.1 x 10 kg, h = 5, a = 0.9 x 1010 𝑚−1 , D = 9.6 x 10−21 J …. (25)

Akhirnya jelas bahwa Persamaan (19) tidak ada apa-apa tetapi persamaan NLS Kuintik dapat dituliskan dengan sederhana menjadi : 𝑖

𝜕𝐹1 𝜕𝜏

+𝑃

𝜕²𝐹1 𝜕𝑆 ²

+ 𝑅 𝐹1 4 𝐹1 = 0 …...… (26)

dengan koefisien dispersi dan koefisien nonlinear :

𝑦𝑛 𝑡 = 2𝜀1/2 Ʌ sech1/2 2ɛ 𝐴 𝑛𝑙 − 𝑉𝑒 𝑡 𝑉𝑒 𝑡

𝜇 2

+ 𝛿 cos 2 𝛩𝑛𝑙 − 𝛺𝑡

Masukan Persamaan (29) kedalam Persamaan (26) maka akan didapatkan bagian imajiner dengan hubungan: 𝑢

𝜎 = 2𝑃𝑒 ………………....... (30) Sementara hasil bagian real mengikuti persamaan diferensial biasa : 𝑓 ′′ − 𝐴𝑓 + 𝐵𝑓 5 = 0 ………...... (31) dimana: 𝐴=

𝑢 𝑒 ²−2𝑢 𝑐 𝑢 𝑒 4𝑃²

𝑅

, 𝐵 = 𝑃 ……….... (32)

Dengan memindahkan koordinat (S-𝑢𝑒 𝜏) dan mengalikan Persamaan (31) dengan 𝑓′ sebagai integral pertama maka akan didapatkan solusi sederhana: 3𝐴

𝑓 𝑆 − 𝑢𝑒 𝜏 = ( 𝐵 )1/4 sech1/2 [2 𝐴 𝑆 −

𝑢𝑒𝜏] ....................... (33)

Terakhir dengan menggabungkan Persamaan (8), (29), (30), (32) dan (33) serta mengembalikan Z  ɛnl dapat dituliskan hubungan persamaan kuintik NLS DNA model PBD semi diskrit sebagai berikut:

cos 𝛩𝑛𝑙 − 𝛺𝑡 + Ʌɛ1/2 sech1/2 2ɛ 𝐴 𝑛𝑙 − + 𝑂(ɛ) …………………………………….. (34)

6

dengan : 3(𝑢

2− 𝑢

𝑢 )

1/4

𝑒 𝑒 𝑐 Ʌ= .................. (35) 4𝑃𝑅 𝑉𝑒 = 𝑉𝑔 + ɛ𝑢𝑒 ........................ (36) ɛ𝑢 𝛩 = 𝑞 + 2𝑃𝑒 .............................. (37)

𝛺 = 𝜔+

ɛ𝑢 𝑒 2𝑃

(𝑉𝑔 +𝜀𝑢𝑐 )............. (38)

BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor mulai bulan Februari 2011 sampai bulan Februari 2012.

3.2 Peralatan Peralatan yang digunakan adalah alat tulis, PC, laptop, software Matlab versi 2008b, software Microsoft Office 2007 dan beberapa sumber literatur dari jurnaljurnal ilmiah, buku dan internet.

3.3 Metode Penelitian 3.3.1 Studi Pustaka Studi pustaka dilakukan untuk memahami dan mempelajari konsep dasar dari persamaan soliton DNA model PBD.

diperlukan untuk mendapatkan solusi numerik DNA model PBD. Pemecahan solusi numerik sendiri didapatkan melalui simulasi terhadap berbagai macam efek gangguan yang diberikan sehingga akan menggambarkan karakteristik DNA model PBD. Sintaks program simulasi dibuat dengan bantuan software Matlab 2008b dan menggunakan metode numerik: finite-difference dan interpolasi Lagrange.

3.3.3.1 Aplikasi Metode Finite Difference Dalam Program Teknik-teknik pada Finite Difference didasarkan pada pendekatan mengganti persamaan Differensial dengan persamaan Finite Difference. Pendekatan Finite Difference ini dalam bentuk aljabar dan solusinya terkait dengan titik kisi. Skema dari Finite Difference : Persamaan Differensial  memperkirakan turunan numerik  persamaan Finite Difference. Diberikan sebuah fungsi f(x) yang ditunjukkan pada Gambar 3. Kita dapat memperkirakan turunan, kemiringan atau garis singgung P dengan melihat kemiringan busur PB, PA atau AB. Dengan melihat kemiringan busur dapat diperoleh persamaan untuk masingmasing Forward-Difference, BackwardDifference, atau Central-Difference.

3.3.2 Penguasaan Software dan Persamaan Matematis Penguasaan software Matlab 2008b dilakukan agar lebih memahami dasardasar pemrograman Matlab. Persamaan matematis sendiri dilakukan untuk mempermudah saat pembuatan algoritma program simulasi soliton DNA model PDB.

3.3.3 Pembuatan dan Pengujian Program Pembuatan dan pengujian program dengan bahasa pemrograman Matlab

Gambar 3. Perkiraan untuk turunan dari fungsi f(x) di P dengan menggunakan Forward, Backward, dan Central Difference. 20

7

Pendekatan yang digunakan untuk memperoleh persamaan Finite Difference adalah deret Taylor :

𝑓 ′ 𝑥0 =

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 𝑓 ′ 𝑥0 + 1 ∆𝑥 2 𝑓 ′′ 𝑥0 +

dan untuk persamaan BackwardDifference

2! 1

∆𝑥 3 𝑓 ′′′ 𝑥0 + 𝑂(∆𝑥)4 ……….……(39) 3!

dan 𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 = 𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 𝑓 ′ 𝑥0 + 1 ∆𝑥 2 𝑓 ′′ 𝑥0 − 2! 1

∆𝑥 3 𝑓 ′′′ 𝑥0 + 𝑂(∆𝑥)4 …………….(40) 3!

dimana 𝑂(∆𝑥)4 merupakan error yang disebabkan oleh deret yang dipotong. Dengan mengurangi Persamaan (39) dan (40), kita akan memperoleh : 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 = 2∆𝑥 𝑓 ′ 𝑥0 ...…. (41) yang dapat dituliskan kembali menjadi berikut yang merupakan persamaan Central-Difference : 𝑓 ′ 𝑥0 =

𝑓 𝑥 0 +∆𝑥 −𝑓 𝑥 0 −∆𝑥 2∆𝑥

……… (42)

Persamaan Forward-Difference dan Backward-Difference dapat diperoleh dengan mengatur Persamaan (39) dan (40) sehingga :

𝑖

𝐹 𝑥 𝑖 ,𝑡 𝑖+1 − 𝐹 𝑥 𝑖 ,𝑡 𝑖+1 ∆𝑡

+𝑃

Untuk persamaan Forward-Difference

𝑓 ′ 𝑥0 =

𝑓 𝑥 0 +∆𝑥 −𝑓 𝑥 0 ∆𝑥

𝑓 𝑥 0 −𝑓 𝑥 0 −∆𝑥 ∆𝑥

…………. (43)

…………. (44)

Kita dapat menemukan pemotongan kesalahan untuk kedua persamaan dalam bentuk ∆𝑥. Setelah menambahkan Persamaan (43) dan (44) maka didapatkan 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 + 𝑓 𝑥0 − ∆𝑥 = 2𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 2 𝑓 ′′ 𝑥0 ………... (45) Kemudian akan diperoleh : 𝑓 ′′ 𝑥0 =

𝑓 𝑥 0 +∆𝑥 − 2𝑓 𝑥 0 + 𝑓 𝑥 0 −∆𝑥 ∆𝑥 2

…. (46)

Orde yang lebih tinggi untuk pendekatan Finite Difference dapat diperoleh dengan mengambil banyak batas dalam ekspansi deret Taylor20. Metode ini digunakan untuk membantu dalam menentukan solusi numerik dari persamaan NLS (26) sebelumnya, yang dapat dituliskan kembali 𝑖

𝜕𝐹1 𝜕𝜏

+𝑃

𝜕²𝐹1 𝜕𝑆 ²

+ 𝑅 𝐹1 4 𝐹1 = 0 .. (26)

persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik beda hingga untuk masing-masing turunan parsial, sehingga akan diperoleh persamaan

𝐹 𝑥 𝑖+1 ,𝑡 𝑖 −2 𝐹 𝑥 𝑖 ,𝑡 𝑖 +𝐹 𝑥 𝑖−1 ,𝑡 𝑖 ∆𝑥²

+ 𝑅 𝐹1 4 𝐹1 = 0 ......................... (47)

Kemudian akan diperoleh persamaan selanjutnya yang akan diubah ke dalam bahasa pemrograman MATLAB. ∆𝑡

𝐹 𝑥𝑖 , 𝑡𝑖+1 = 2𝑖 ∆𝑥 2 𝑃 𝑓 𝑥𝑖+1 , 𝑡𝑖 − 2 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑡𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖−1 , 𝑡𝑖

.

+ 𝑅 𝐹1 4 𝐹1 𝐹 𝑥𝑖 , 𝑡𝑖+1 (48)

8

3.3.3.2 Aplikasi Interpolasi Lagrange Dalam Program Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1). Langkah pertama yang kita lakukan adalah mendefinisikan fungsi berikut 𝑥 −𝑥 1

𝐿0 𝑥 = 𝑥

............... (49a)

0 −𝑥 1

Persamaan (50) dinamakan interpolasi Lagrange derajat 1. Nama interpolasi ini diambil dari nama penemunya, yaitu Joseph Louis Lagrange yang berkebangsaan Perancis. Bentuk umum interpolasi Lagrange derajat ≤ n untuk (n+1) titik berbeda adalah: 𝑛 𝑖=0 𝑎𝑖

𝑃 𝑥 =

𝐿𝑖 𝑥 = 𝑎0 𝐿0 𝑥 + 𝑎1 𝐿1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐿𝑛 ..... (53)

𝑎𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 dan 𝐿𝑖 𝑥 =

dan 𝑥 −𝑥 0

𝐿1 𝑥 = 𝑥

…………… (49b)

1 −𝑥 0

𝑃 𝑥 = 𝐿0 𝑥 𝑦0 + 𝐿1 (𝑥)𝑦1 … (50)

(𝑥 𝑖 −𝑥) 𝑥 𝑖 −𝑥 𝑖 … 𝑥 𝑖 −𝑥 𝑖−1 𝑥 𝑖 −𝑥 𝑖+1 …(𝑥 𝑖 −𝑥 𝑛 )

𝑥 −𝑥 1

𝑥−𝑥 𝑜

𝑦0 + 𝑥

1 −𝑥 0

𝑦1 …. (51)

dan ketika 𝑥 = 𝑥0 𝑥 −𝑥

𝑥 −𝑥

𝑃 𝑥0 = 0 1 𝑦0 + 𝑥 0 −𝑥 𝑜 𝑦1 = 𝑦0 (52a) 𝑥 −𝑥 0

1

1

0

𝐿𝑖 𝑥𝑗 =

Jika terdapat N data yang terdiri dari titik-titik 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , dan seterusnya,

𝑃 𝑥1 = 𝑥

0 −𝑥 1

h 𝑥 1 −𝑥 𝑜

𝑦0 + 𝑥

1 −𝑥 0

=

h

h

h

h

𝑦1 = 𝑦1 (52b)

Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa Persamaan (51) benar-benar melewati titik (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) dan (𝑥1 , 𝑦1 ).21

𝑃 𝑥 =

1 ,𝑖 = 𝑗 0 ,𝑖 ≠ 𝑗

dan polinom interpolasi P(x) melalui setiap titik data.22

dan pada saat 𝑥 = 𝑥1 𝑥 1 −𝑥 1

(54)

Mudah dibuktikan bahwa:

Substitusi Persamaan (49a) dan (49b) ke Persamaan (50), maka akan didapat: 𝑥 0 −𝑥 1

=

𝑥−𝑥 0 𝑥−𝑥 1 … 𝑥−𝑥 𝑖−1 𝑥−𝑥 𝑖+1 … 𝑥−𝑥 𝑛

kemudian definisikan fungsi polinomial sebagai berikut:

𝑃 𝑥 =

𝑥−𝑥 𝑗 𝑛 𝑗 =0 𝑥 −𝑥 𝑖 𝑗 𝑗 ≠𝑖

x

x0

x1

x2

x3

N

dan jarak antara titik satu dengan lainnya adalah h, maka Persamaan (53) dapat ditulis untuk tiga titik terdekat (𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ):

𝑥 − 𝑥1 (𝑥 − 𝑥2 ) 𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥2 ) 𝑥 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦 𝑥0 − 𝑥1 (𝑥0 − 𝑥2 ) 𝑥1 − 𝑥0 (𝑥1 − 𝑥2 ) 𝑥2 − 𝑥0 (𝑥2 − 𝑥1 ) 2 −2𝑕 (−3𝑕) −𝑕 (−3𝑕) −𝑕 (−2𝑕) 𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦 −𝑕 (−2𝑕) 𝑕(−𝑕) 2𝑕 (𝑕) 2

= 3𝑦0 − 3𝑦1 + 𝑦2 ...................................................................................... (55) Persamaan-persamaan matematis yang telah diubah kedalam bentuk persamaan finite-difference dan interpolasi Lagrange diubah kedalam bahasa pemrograman MATLAB

[Lampiran A-C]. Program simulasi soliton DNA model PBD ini akan ditampilkan dalam bentuk grafik tiga

9

dimensi yang merupakan hasil solusi numerik soliton DNA model PBD ini. Solusi numerik yang diperoleh kemudian dianalisa dengan melihat tingkat kestabilan serta karakteristik dari dinamika DNA model PDB yang telah diberi gangguan serta mengetahui bahwa program yang telah dibuat sudah benar.

ada di literatur sehingga akan difokuskan pada hasil numerik pada tiga keadaan yakni keadaan stabil (tanpa gangguan), dengan gangguan serta interaksi dua buah solusi soliton. Dengan menggunakan metode finitedifference dan interpolasi Lagrange sebagai syarat batas terkait maka akan diperoleh solusi numeriknya dalam bentuk grafik tiga dimensi dan dua dimensi.

BAB 4

Keadaan pertama yakni pada stabil (tanpa gangguan) dapat terlihat pada Gambar 4 bahwa pada keadaan ini karakteristik stabil sejak waktu awal (T=1) hingga waktu akhirnya. Dari gambar terlihat bahwa solusi yang diperoleh untuk keadaan stabil (tanpa gangguan) yakni bentuk dari profil soliton dengan amplitudo yang cukup stabil.

HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Simulasi Perambatan Soliton pada Kondisi Stabil

yn (pm)

Hasil-hasil analisis numerik dari DNA model PBD dengan karakteristik solusi hingga orde-5 akan dibahas pada bagian ini. Parameter numerik yang digunakan adalah parameter yang sudah

T (s) nl (pm)

yn (pm)

(a)

nl (pm)

(b)

Gambar 4. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima stabil. (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat T awal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir.

10

dengan suatu nilai 1 + 𝜀 . Untuk keadaan ini nilai ɛ yang digunakan adalah 0.5. Penjelasan mengenai perubahan yang terjadi saat keadaan stabil dengan keadaan saat diberikan gangguan dapat dilihat pada Gambar 5 dan 6 sebagai berikut ini:

4.2 Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada Amplitudo

yn (pm)

Keadaan kedua yakni karakteristik solusi hingga orde-5 yang diberi gangguan. Gangguan yang diberikan yakni terhadap amplitudonya dengan mengalikan persamaan stabil 𝐹1 𝑆, 𝜏

nl (pm)

(a)

yn (pm)

T (s)

nl (pm)

Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi I. (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat T awal, grafik biru menunjukkan grafik pada saat T akhir.

yn (pm)

Gambar 5.

(b)

nl (pm) T (s)

(a)

yn (pm)

11

nl (pm)

Gambar 6.

(b)

Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi II (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat T awal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat T akhir

Dari kedua gambar diatas terlihat perbedaan antara solusi stabil (tanpa gangguan) dengan solusi yang diberi gangguan. Pada soliton DNA yang diberi gangguan terbentuk undulasi. Pada saat undulasi terjadi penyempitan yang diiringi dengan kenaikan amplitudonya. Gambar 5 dan 6 menunjukkan bahwa amplitudo untuk solusi gangguan lebih tinggi dibandingan dengan solusi stabil sehingga menunjukkan bahwa gangguan yang diberikan pada anzatz mempengaruhi amplitudo dari soliton. Perubahan profil pada soliton itu sendiri juga terjadi, hal ini terlihat dengan perubahan amplitudo yang terjadi serta soliton yang mengalami dispersi lebih besar dari keadaan stabilnya. Hal ini dapat berarti gangguan yang diberikan juga mempengaruhi hubungan dispersi pada persamaan Hamiltoniannya.

ini mengakibatkan pengurangan jumlah nukleotida dalam proses denaturasi. Dalam hal ini, nukleotida pada solusi II berkurang lebih sedikit jika dibandingan dengan jumlah nukleotida pada solusi I.

Pada kasus ini terdapat dua keadaan yakni solusi perturbasi I dengan nilai 1 + 𝜀 yang dikalikan hanya pada satu parameter sedangkan pada solusi perturbasi II terdapat dua parameter yang dikalikan dengan 1 + 𝜀 . Dari Gambar 5 dan 6 dapat terlihat bahwa undulasi pada solusi II tampak lebih lebar daripada solusi I namun nilai amplitudo undulasi pada solusi II lebih kecil dari solusi I. Undulasi pada keadaan solusi perturbasi

4.3 Simulasi Interaksi Dua Buah Soliton

Hasil numerik yang dapat dijelaskan dari solusi perturbasi I dan II yakni terjadi peristiwa undulasi pada keduanya. Peristiwa undulasi terjadi ketika soliton mengalami penyempitan karena efek nonlinier mengalami ketidakstabilan yang lebih dominan daripada efek dispersinya. Pada peristiwa ini terjadi pengurangan jumlah eksitasi nukleotida yang terlibat dalam proses denaturasi dimana nukleotida yang awalnya meregang menjadi terhalangi akibat efek nonlinier ini.

Bagian ini membahas mengenai simulasi dari interaksi dua buah soliton dimana persamaan yang digunakan adalah 3𝐴

𝐹1 𝑆, 𝜏 = ( 𝐵 )1/4 sech1/2 2 𝐴 𝑆 − 𝑢𝑒𝜏 exp⁡[𝑖𝜃] ………... (56)

12

dan θ = π) didapatkan hasil simulasinya yang ditunjukkan pada Gambar 7 berikut

yn (pm)

Dengan membuat variasi pada nilai beda 𝜋 fase (θ) yakni degan nilai θ = 0, θ = 2 ,

(a)

nl (pm)

(b)

yn (pm)

yn (pm)

nl (pm)

nl (pm)

Gambar 7.

(c)

Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi III plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat T akhir (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = 0 (b) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π/2 (c) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π

13

Untuk kondisi x = 0.0005 pm dan θ = 0, artinya, jarak antara soliton satu dengan yang lain adalah 0.0005 pm dengan beda fase 0. Pada gangguan ini tampak pada gambar 7, kedua soliton yang awalnya terpisah dengan jarak 0.0005 menjalar dengan bentuk dan kecepatan yang sama, kemudian kedua soliton semakin mendekat namun masih dalam kondisi yang sama (tetap stabil). Untuk kondisi interaksi dua soliton 𝜋 pada θ = 2 dan θ = π terlihat bahwa hasil yang diperoleh sama seperti pasa kondisi θ = 0 yakni pada awalnya terbentuk dua buah soliton yang terpisah dengan jarak 0.0005 pm dengan amplitudo dan kecepatan yang sama namun sampai akhir kondisi ini tetap sama dan tidak ada perubahan yang signifikan. Hal ini berarti beda fase tidak memberikan pengaruh yang cukup signifikan terhadap kondisi selanjutnya. Terlihat pula bahwa soliton mengalami undulasi, kenaikan dan penurunan amplitudo, serta dispersi yang semakin meningkat.

BAB 5 SIMPULAN Pada penelitian sebelumnya15, telah diperoleh solusi analitik untuk persamaan NLS kubik DNA model PBD. Model PBD merupakan model yang menggambarkan denaturasi DNA. Penelitian ini dilakukan untuk mencari solusi numerik persamaan NLS kubik DNA model PBD dengan menggunakan metode finite-difference dengan interpolasi Lagrange. Hasil yang diperoleh dari solusi numerik yang dilakukan adalah bagaimana profil dari dinamika DNA saat terjadi proses denaturasi dimana DNA mengalami dinamika yang cukup stabil dari proses awal hingga akhirnya. Keadaan DNA model PBD yang ditinjau pada penelitian ini yakni keadaan stabil (tanpa gangguan), diberi gangguan serta interaksi dua buah solusi soliton. Dengan

menggunakan metode finite-difference dan interpolasi Lagrange sebagai syarat batas terkait maka akan diperoleh solusi numeriknya dalam bentuk grafik tiga dimensi dan dua dimensi. Pada keadaan stabil (tanpa gangguan) terlihat bentuk dari profil soliton dengan amplitudo yang cukup stabil serta gambaran umum proses replikasi (denaturasi) DNA yang bergerak dominan ke arah un. Keadaan kedua yakni karakteristik solusi hingga orde lima yang diberi gangguan. Gangguan yang diberikan yakni terhadap amplitudonya dengan mengalikan persamaan stabil 𝐹1 𝑆, 𝜏 dengan suatu nilai 1 + 𝜀 . Kondisi ini menunjukkan bahwa amplitudo untuk solusi gangguan lebih tinggi dibandingan dengan solusi stabil sehingga menunjukkan bahwa gangguan yang diberikan pada anzatz mempengaruhi amplitudo dari soliton. Perubahan profil pada soliton itu sendiri juga terjadi, yakni pada perubahan amplitudo serta dispersi lebih besar dari keadaan stabilnya. Saat diberi gangguan terlihat pula di gambar bahwa terdapat undulasi. Peristiwa undulasi terjadi ketika soliton mengalami penyempitan karena efek nonlinier mengalami ketidakstabilan yang lebih dominan daripada efek dispersinya. Pada peristiwa ini terjadi pengurangan jumlah eksitasi nukleotida yang terlibat dalam proses denaturasi dimana nukleotida yang awalnya meregang menjadi terhalangi akibat efek nonlinier ini. Pada interaksi dua soliton dengan jarak x telah ditinjau kasus tiga kondisi fase awal yaitu dengan membuat variasi pada beda fase diantara kedua soliton, 𝜋 yaitu pada saat θ = 0, 2 , dan π. Interaksi dua soliton pada jarak x dapat diartikan sebagai proses denaturasinya, dimana nukleotida terlokalisasi dalam dua ruang. Untuk kondisi x = 0.0005 pm dan θ = 0, artinya, jarak antara soliton satu dengan yang lain adalah 0.0005 pm dengan beda fase 0. Pada gangguan ini terlihat bahwa kedua soliton yang awalnya terpisah dengan jarak 0.0005 menjalar dengan

14

bentuk dan kecepatan yang sama, kemudian kedua soliton semakin mendekat namun masih dalam kondisi yang sama (tetap stabil). Begitupula untuk kondisi interaksi dua soliton pada 𝜋 θ = 2 dan θ = π yakni pada awalnya terbentuk dua buah soliton yang terpisah dengan jarak 0.0005 pm dengan amplitudo dan kecepatan yang sama namun sampai akhir kondisi ini tetap sama dan tidak ada perubahan yang signifikan. Hal ini berarti beda fase tidak memberikan pengaruh yang cukup signifikan terhadap kondisi selanjutnya. Terlihat pula bahwa soliton mengalami undulasi, kenaikan dan penurunan amplitudo, serta dispersi yang semakin meningkat.

generation of solitons in DNA. J. de Phys. 50 (C3), 217-222. 4. Ichikawa, Y. H., Konno K, Wadati M. (1981). Nonlinear transverse oscillation of elastic beams under tension. J. Phys. Soc. 50, 1799. 5. Peyrard, M. and Bishop, A.R. (1989). Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation. Phys. Rev. Lett. 62, 2755-2758. 6. E. Fermi, J. R. Pasta and S. Ulam, Los Alamos Report LA-UR-1940 (1955); reprinted in Collected Papers of Enrico Fermi, edited by E. Segr¶e, University of Chicago, Chicago (1965). 7. A. C. Scott. (1999). Nonlinear Science. Oxford University, Oxford.

SARAN Untuk pengembangan selanjutnya, ada beberapa hal yang perlu dilakukan. Metode numerik yang digunakan sebaiknya yang mempunyai tingkat akurasi yang tinggi dan mengekpansi potensial morse hingga orde yang lebih tinggi agar perhitungan solusi dapat lebih cepat dan hasilnya akurat (mendekati keadaan sebenarnya). Selain itu penelitian ini dapat dikembangkan dengan mengamati DNA model lainnya atau dapat pula meninjau untuk gerak longitudinal atau gerak torsional untuk DNA model PBD.

DAFTAR PUSTAKA 1. Yakushevich, L.V. (1998). Nonlinear Physics of DNA. Wiley Series in Nonlinear Science, John Wiley, Chichester. 2. Christiansen, P. L., Lomdahl, P.S. & Muto, V. (1990). On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom. Nonlinearity 4, 477-501. 3. Muto, V., Scott A.C., Christiansen P.L. (1989). Microwave and thermal

8. Englander, S.W., Kalenbach, N.R., Heeger, A.J., Krumhansl, J.A. and Litwin, S. (1980). Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of soliton excitations. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 77, 7222-7226. 9. T. Dauxois, M. Peyrard, and A. R. Bishop. (1993). Entropy-driven DNA denaturation. Phys. Rev. E 47, R44. 10. Dauxois, T. (1991). Dynamics of breathers modes in a nonlinear “helocoidal” model of DNA. Phys. Lett. A-159, 390-395. 11. Dauxois, T. and Peyrard, M. (1991). Dynamics of Breather Modes in a Nonlinear Helicoidal Model of DNA. Lecture Notes in Physics 393, Dijon, p.79. 12. Zdravković, S. and Satarić, M.V. (2001). „Impact of viscosity on DNA dynamics‟, Phys. Scripta 64, 612615. 13. Satarić, M.V. and Tuszyński, J.A. (2002). Impact of regulatory proteins on the nonlinear dynamics of DNA. The American Physics Society. 65, 110.

15

14. Zdravković, S., Tuszyński, J.A. and Satarić, M.V. (2004). PeyrardBishop-Dauxois model of DNA dynamics and impact of viscosity. J. Comput. Theor. Nanosci.1, 171-179. 15. Hermanudin, D. (2011). Efek osilasi anharmonik pada soliton Deoxyribo Nucleic Acid Peyrard-BishopDauxois [Skripsi]. Bogor: Departemen Fisika-FMIPA, IPB. 16. Alatas, Husin dan Hermanudin, Dede. (2011). Quintic DNA-Breather in Peyrard-Bishop-Dauxois Model with Fifth Order Approximation Morse Potential [Jurnal]. Bogor: Departemen Fisika-FMIPA, IPB. 17. Remoissenet, M. (1986). Lowamplitude breather and envelope solitons in quasi-one dimentional physical models. Phys. Rev. B-33, 2386-2392.

18. Zdravković, S. and Satarić, M.V. (2001). Impact of viscosity on DNA dynamics. Phys. Scripta 64, 612-615. 19. Anonim. BAB IV. REPLIKASI DNA. Edublogs. Februari 2010. Web. 28 Februari 2011. . 20. A. Thom an C. J. Apelt. (1961). Field Computations in Engineering and Physics. London: D. Van Nostrand. 21. Supriyanto. (2007). Komputasi untuk Sains dan Teknik. Jakarta: Universitas Indonesia. 22. Munir, R. (2006). Metode numerik. Bandung: Informatika.

LAMPIRAN

17

Lampiran A Program Simulasi Perambatan Soliton pada Kondisi Stabil clear all clc % ## DEFINISI NILAI PARAMETER ## %Parameter Awal M = 10000; N = 200; dx = 0.001; dt = 2.5000e-005; r = dt/dx^2; t0 = -N/2*dt; x0 = -N/2*dx; %Parameter Masukan k=5.370; K=1.146; l=3.4e-13; m=5.1e-23; h=5; a=0.9e-9 D = 9.6e-21; Ue=10^5; Uc=0; e1=0.0001; lamda=10*l; q=(2*pi)/lamda; ql=0.85*pi; tau=0; phi=0.001; psi=0.002; epsilon=0.5; % ## DEFINISI NILAI KOEFISIEN ## Wg = 2*a*sqrt(D/m); alfa =(-3*a)/sqrt(2); beta = (7*(a^2))/3; gamma =(-5*(a^3))/(2*sqrt(2)); % ## DEFINISI HUBUNGAN DISPERSI ## W = sqrt((Wg^2) + (2/m)*(k*(1-cos(q*l)) + (K*(cos(q*l*h)+1))));

% ## DEFINISI HUB. F1 dgn F0 dan F2 miu = -2*alfa/(1+(4*K)/(m*Wg.^2)); delta = (m*(Wg.^2) * alfa)/((m*((4*W^2)-(Wg^2))) + (2*((k*(cos(2*q*l)-1)/m) - (K*(cos(2*h*q*l)+1)))));

% ## DEFINISI KECEPATAN GRUP Vg =(l/(m*W))*((k*sin(q*l)) -

(K*h*sin(q*l*h)));

18

% ## DEFINISI KOEF. DISPERSI (P) DAN KOEF.NON LINIER (R) P = (1/(2*W))*((l^2/m)*((k*cos(q*l))- (K*(h^2)*(cos(q*l*h))))Vg^2); R = (Wg^2/(2*W))*((3*beta*(miu^2+(2*miu*delta)+(2*(delta^2))))+(4*gamma *((3*miu)+(4*delta)))); sigma=10^10; A=sigma/P; B=R; Ag=((3*(Ue^2-(Ue*Uc)))/(4*P*R))^0.25; Ve=Vg+(e1*Ue); Q=q*((e1*Ue)/(2*P)); ohm=W+(((e1*Ue)/(2*P))*(Vg+(e1*Uc))); O=0; % ## RUNNING PROGRAM ## F=zeros(N,M); yn=zeros(N,M); for i=1:N x(i,1)=x0+(i-1)*dx; F(i,1)=((3/P)^0.25*psi)*((sech(2*x(i,1)/phi))^0.5); end for j=1:M for i=3:N-1 if i==3 F(i-1,j)=3*F(i,j)-3*F(i+1,j)+F(i+3,j); end if i==N-1 F(i+1,j)=3*F(i,j)-3*F(i-1,j)+F(i-3,j); end if j==1 F(i,j+1)=1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i-1,j)))+ (psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j); else F(i,j+1)=2*1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i1,j)))+(psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j-1); end t(j)=(j-1)*dt; yn(i,j)= (2*(e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma)))*((cos((sigma*tau)+theta(i ,j)))+ (((e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma))))*((miu/2)+(delta*cos(2*((s igma*tau)+theta(i,j)))))))); end j end

surf(t,x,abs(yn(:,1:M))) view(0,90); colorbar shading interp

19

xlabel ('T (s)'); ylabel ('nl (pm)'); zlabel ('yn (pm)'); figure plot(x,abs(yn(:,1))); figure plot(x,abs(yn(:,M)));

20

Lampiran B Program Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada Amplitudo clear all clc % ## DEFINISI NILAI PARAMETER ## %Parameter Awal M = 10000; N = 200; dx = 0.001; dt = 2.5000e-005; r = dt/dx^2; t0 = -N/2*dt; x0 = -N/2*dx; %Parameter Masukan k=5.370; K=1.146; l=3.4e-13; m=5.1e-23; h=5; a=0.9e-9 D = 9.6e-21; Ue=10^5; Uc=0; e1=0.0001; lamda=10*l; q=(2*pi)/lamda; ql=0.85*pi; tau=0; phi=0.1; psi=0.2; epsilon=0.25; % ## DEFINISI NILAI KOEFISIEN ## Wg = 2*a*sqrt(D/m); alfa =(-3*a)/sqrt(2); beta = (7*(a^2))/3; gamma =(-5*(a^3))/(2*sqrt(2)); % ## DEFINISI HUBUNGAN DISPERSI ## W = sqrt((Wg^2) + (2/m)*(k*(1-cos(q*l)) + (K*(cos(q*l*h)+1))));

% ## DEFINISI HUB. F1 dgn F0 dan F2 miu = -2*alfa/(1+(4*K)/(m*Wg.^2)); delta = (m*(Wg.^2) * alfa)/((m*((4*W^2)-(Wg^2))) + (2*((k*(cos(2*q*l)-1)/m) - (K*(cos(2*h*q*l)+1)))));

% ## DEFINISI KECEPATAN GRUP Vg =(l/(m*W))*((k*sin(q*l)) -

(K*h*sin(q*l*h)));

21

% ## DEFINISI KOEF. DISPERSI (P) DAN KOEF.NON LINIER (R) P = (1/(2*W))*((l^2/m)*((k*cos(q*l))- (K*(h^2)*(cos(q*l*h))))Vg^2); R = (Wg^2/(2*W))*((3*beta*(miu^2+(2*miu*delta)+(2*(delta^2))))+(4*gamma *((3*miu)+(4*delta)))); sigma=10^10; A=sigma/P; B=R; Ag=((3*(Ue^2-(Ue*Uc)))/(4*P*R))^0.25; Ve=Vg+(e1*Ue); Q=q*((e1*Ue)/(2*P)); ohm=W+(((e1*Ue)/(2*P))*(Vg+(e1*Uc))); O=0; % ## RUNNING PROGRAM ## F=zeros(N,M); yn=zeros(N,M); for i=1:N x(i,1)=x0+(i-1)*dx; % Solusi Perturbasi I F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech(2*x(i,1)/phi))^0.025)* (1+epsilon); % Solusi Perturbasi II %F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech(2*(1+epsilon)*x(i,1)/phi))^0 .025)*(1+epsilon); end for j=1:M for i=3:N-1 if i==3 F(i-1,j)=3*F(i,j)-3*F(i+1,j)+F(i+3,j); end if i==N-1 F(i+1,j)=3*F(i,j)-3*F(i-1,j)+F(i-3,j); end if j==1 F(i,j+1)=1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i-1,j)))+ (psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j); else F(i,j+1)=2*1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i1,j)))+(psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j-1); end t(j)=(j-1)*dt; yn(i,j)= (2*(e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma)))*((cos((sigma*tau)+theta(i ,j)))+ (((e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma))))*((miu/2)+(delta*cos(2*((s igma*tau)+theta(i,j)))))))); end j end

22

surf(t,x,abs(yn(:,1:M))) view(0,90); colorbar shading interp xlabel ('T (s)'); ylabel ('nl (pm)'); zlabel ('yn (pm)'); figure plot(x,abs(yn(:,1))); figure plot(x,abs(yn(:,M)));

23

Lampiran C Program Simulasi Interaksi Dua Soliton clear all clc % ## DEFINISI NILAI PARAMETER ## %Parameter Awal M = 10000; N = 200; dx = 0.001; dt = 2.5000e-005; r = dt/dx^2; t0 = -N/2*dt; x0 = -N/2*dx; %Parameter Masukan k=5.370; K=1.146; l=3.4e-13; m=5.1e-23; h=5; a=0.9e-9 D = 9.6e-21; Ue=10^5; Uc=0; e1=0.0001; lamda=10*l; q=(2*pi)/lamda; ql=0.85*pi; tau=0; phi=0.000015; psi=0.000025; epsilon=1; % ## DEFINISI NILAI KOEFISIEN ## Wg = 2*a*sqrt(D/m); alfa =(-3*a)/sqrt(2); beta = (7*(a^2))/3; gamma =(-5*(a^3))/(2*sqrt(2)); % ## DEFINISI HUBUNGAN DISPERSI ## W = sqrt((Wg^2) + (2/m)*(k*(1-cos(q*l)) + (K*(cos(q*l*h)+1))));

% ## DEFINISI HUB. F1 dgn F0 dan F2 miu = -2*alfa/(1+(4*K)/(m*Wg.^2)); delta = (m*(Wg.^2) * alfa)/((m*((4*W^2)-(Wg^2))) + (2*((k*(cos(2*q*l)-1)/m) - (K*(cos(2*h*q*l)+1)))));

% ## DEFINISI KECEPATAN GRUP Vg =(l/(m*W))*((k*sin(q*l)) -

(K*h*sin(q*l*h)));

24

% ## DEFINISI KOEF. DISPERSI (P) DAN KOEF.NON LINIER (R) P = (1/(2*W))*((l^2/m)*((k*cos(q*l))- (K*(h^2)*(cos(q*l*h))))Vg^2); R = (Wg^2/(2*W))*((3*beta*(miu^2+(2*miu*delta)+(2*(delta^2))))+(4*gamma *((3*miu)+(4*delta)))); sigma=10^10; A=sigma/P; B=R; Ag=((3*(Ue^2-(Ue*Uc)))/(4*P*R))^0.25; Ve=Vg+(e1*Ue); Q=q*((e1*Ue)/(2*P)); ohm=W+(((e1*Ue)/(2*P))*(Vg+(e1*Uc))); O=0; % ## RUNNING PROGRAM ## F=zeros(N,M); yn=zeros(N,M); for i=1:N x(i,1)=x0+(i-1)*dx; % Interaksi 2 soliton dengan θ=0 F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech((x(i,1)+0.055)/phi))+ (sech((x(i,1)-0.015)/phi))*(exp(1i*(0)))); % Interaksi 2 soliton dengan θ=π %F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech((x(i,1)+0.055)/phi))+ (sech((x(i,1)-0.015)/phi))*(exp(1i*(pi)))); % Interaksi 2 soliton dengan θ=π/2 %F(i,1)=(((3/P)^0.25)*psi)*((sech((x(i,1)+0.055)/phi))+ (sech((x(i,1)-0.015)/phi))*(exp(1i*(pi/2)))); end for j=1:M for i=3:N-1 if i==3 F(i-1,j)=3*F(i,j)-3*F(i+1,j)+F(i+3,j); end if i==N-1 F(i+1,j)=3*F(i,j)-3*F(i-1,j)+F(i-3,j); end if j==1 F(i,j+1)=1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i-1,j)))+ (psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j); else F(i,j+1)=2*1i*((r*phi^2*(F(i+1,j)-2*(F(i,j))+F(i1,j)))+(psi^6*dt*((conj(F(i,j))^2)*(F(i,j)^3))))+F(i,j-1); end t(j)=(j-1)*dt; yn(i,j)= (2*(e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma)))*((cos((sigma*tau)+theta(i ,j)))+ (((e1^0.5)*(psi*F(i,j)/(sqrt(R/sigma))))*((miu/2)+(delta*cos(2*((s igma*tau)+theta(i,j)))))))); end j

25

end

surf(t,x,abs(yn(:,1:M))) view(0,90); colorbar shading interp xlabel ('T (s)'); ylabel ('nl (pm)'); zlabel ('yn (pm)'); figure plot(x,abs(yn(:,1))); figure plot(x,abs(yn(:,M)));