Dilatace času 1. Na kosmické lodi vzdalující se od Země rychlostí 0,1c probíhal určitý děj, který podle měření účastníků letu trval jednu hodinu. Jak dlouho trvá tento děj pro pozorovatele na Zemi? Je možné, aby děj trvající na kosmické lodi 1 hodinu trval pro pozorovatele na Zemi 1 000 000 hodin? Řešení Čas ∆t0 je vlastní čas trvání děje probíhajícího na kosmické lodi. Z rovnice
∆t ′ = γ∆t 0 =
∆t 0 1−
v2 c2
po dosazení za ∆t0 a v pak vyplývá ∆t ′ ≅ 1,005 h. Z rovnice ∆t´ = γ ∆t0 kde ∆t0 = 1 h a ∆t´ = 106 dostáváme ∆t ′ 1 γ = = = 10 6 2 ∆t 0 1− β a 1−
v ≅ 5 ⋅ 10 −13 . Odtud vyplývá v = c(1 - 5.10-13) = c - 1,5.10-4 m.s-1. c
Děj, který trvá na kosmické lodi jednu hodinu, může trvat na Zemi 106 h, jestliže se loď pohybuje rychlostí jen o 1,5.10-4 m.s-1 menší než rychlost světla.
2. Let letadla pohybujícího se rychlostí 1 000 km·h-1 trval podle palubních hodin 1 hodinu. Vypočtěte, jak dlouho trval tento let z hlediska pozorovatele na Zemi. Řešení Rychlosti 1 000 km.h-1 ≅ = 0,3 km.s-1 ≅ 10-6 c odpovídá Lorentzův koeficient
γ = 1 + 5 ⋅ 10 −13 . Ze vztahu ∆t ′ = γ∆t 0 pak vyplývá, že děj trvající v letadle 1 hodinu trvá pro pozorovatele na Zemi 1,000 000 000 000 5 h ≅ 1 h. Příklad názorně dokládá, že při rychlostech, s nimiž se setkáváme v běžném životě, lze položit ∆t ′ = ∆t 0 .
Kontrakce délek 1. Na kosmické lodi vzdalující se od Země konstantní rychlostí je umístěna ve směru pohybu tyč o vlastní délce 1 m. a) Jaká je délka této tyče pro pozorovatele na Zemi, jestliže se loď vzdaluje rychlostí 0,1c? b) Je možné, aby tyč, která má na kosmické lodi délku 1 m, měla pro pozorovatele na Zemi délku 1 mm?
Řešení a) Vlastní délka tyče je l0 = 1 m. Délka této tyče vzhledem k Zemi je l ′ = l 0 1 −
b) Z rovnice l ′ = l 0 1 −
v 2 l0 = = 0,995 ⋅ 1 m = 0,9 m. γ c2
v2 , kde l’ =10-3 m a l0 = 1 m, dostáváme 2 c
γ =
l0 1m = −3 = 10 3 l 10 m
a odtud 1−
v = 5 ⋅ 10 −7 ⇒ v = c − 5 ⋅ 10 −7 c ≅ c − 1,5 ⋅ 10 2 m·s-1 c
Tyč, která má na kosmické lodi délku 1 m, má vzhledem k Zemi délku 1 mm, jestliže se pohybuje rychlostí jen o 150 m·s-1 menší, než je rychlost světla.
2. V letadle letícím rychlostí 1 000 km·h-1 leží ve směru jeho letu tyč o vlastní délce 1 m. Jaká je délka této tyče vzhledem k Zemi? Řešení Pro rychlost v = 1000 km ⋅ h −1 ≅ 0,3 km ⋅ s −1 ≅ 10 −6 c dostáváme
1
γ
= 1 − 5 ⋅ 10 −13 . Hledaná
délka l´ je tedy
l′ =
l0
γ
(
)
= 1 − 5 ⋅ 10 −13 ⋅ 1 m = 0,999 999 999 999 5 ≅ 1 m.
Délka tyče vzhledem k Zemi je tedy s velkou přesností opět 1 m. Příklad ukazuje, že kontrakce délek se při rychlostech dopravních prostředků prakticky neprojevuje. Tím lze vysvětlit, proč si každý z nás vytváří již v mládí představu o absolutnosti délky.
3. Těleso, které má v klidové soustavě tvar krychle, se pohybuje ve směru osy x rovnoměrně přímočaře rychlostí v kolmou na stěnu krychle. Velikost rychlosti krychle je v = 0,95c, klidová délka její hrany a0 = 1 m. Určete objem tělesa ve vztažné soustavě K, vzhledem k níž se těleso pohybuje rychlostí v.
Řešení Krychle má v klidové vztažné soustavě K ´ objem V0 = a03. Hrana tělesa ve směru jeho pohybu je v soustavě K kratší než v soustavě K ´ a u příčných rozměrů kontrakce nenastává. Z hlediska pozorovatele v soustavě K je tedy pohybující se těleso kvádr o objemu V´ = abc. a v2 Poněvadž a = a0, b = a0 a c = 1 − 2 a 0 = 0 , je hledaný objem kvádru γ c V ′ = abc =
a 03
γ
=
V0
γ
= 1−
v2 3 a = 0,312 m3. 2 0 c
Z příkladu vyplývá, že tvar tělesa a jeho objem jsou vzhledem k volbě vztažné soustavy relativní.
Poznámka: V některých případech se délka l´ označuje pouze l. Pak l0 je vždy délka tyče v klidu (případně vlastní délka v pohybující se soustavě) a l je délka měřená vnějším pozorovatelem.
Relativistické skládání rychlostí 1. Těleso se pohybuje vzhledem k vztažné soustavě K ´ rychlostí u´ = 3/4c souhlasně orientovanou s osou x´; stejnou rychlostí v se pohybuje soustava K ´ vzhledem k soustavě K. Určete rychlost tělesa vzhledem k soustavě K. Řešení Pro rychlost u' a v neplatí v tomto případě podmínky u ′ « c a v « c, a proto při řešení příkladu nelze použít klasický zákon pro skládání rychlostí. Z relativistického vztahu
u=
u′ + v u ′v 1+ 2 c
dostáváme
3 3 c+ c 4 = 24 c = 0,96c . u= 4 9 25 1+ 16 Výsledná rychlost u je opět menší než rychlost světla ve vakuu. Použití klasického zákona skládání rychlostí by vedlo v tomto případě k nesprávnému výsledku uk = u′ + v =
3 3 c + c = 1,5c . 4 4
2. Z letadla letícího rychlostí 1 000 km·h-1 byla ve směru letu vystřelena střela rychlostí 2 000 km·h-1 (vzhledem k letadlu). Určete rychlost střely vzhledem k Zemi.
Řešení Obě rychlosti v = 1 000 km·h-1 a u' = 2 000 km·h-1 jsou ve srovnání s rychlostí světla c velmi malé; při řešení příkladu lze proto použít klasický zákon skládání rychlostí u = u´ + v = 2 000 km·h-1 + 1 000 km·h-1 = 3 000 km·h-1. Relativistický vztah pro skládání rychlostí vede ke stejnému výsledku u ′ + v 2 ⋅ 10 3 km ⋅ h −1 + 10 3 km ⋅ h −1 u= = = 2 999,999 999 995 km·h-1 ≅ 3 000 km·h-1, 6 −1 ′ uv 2 ⋅ 10 km ⋅ h 1+ 2 1+ c c2 jeho použití je zde však zbytečné.
Relativistická dynamika
1. Letadlo o klidové hmotnosti 20 t letí rychlostí 1 000 km·h-1 vzhledem k Zemi. Vypočtěte přírůstek jeho hmotnosti. Řešení Pro rychlost v = 1 000 km·h-1 ≅ 0,3 km·s-1 ≅ 10-6c dostáváme γ = 1 + 5 ⋅ 10 −13 ; přírůstek hmotnosti letadla je tedy
m0
∆m = m − m0 =
1−
2
v c2
− m0 = m0 (γ − 1) = 2 ⋅ 10 4 kg ⋅ 5 ⋅ 10 -13 = 10 −8 kg
Výpočet ukazuje, proč v běžném životě nezjišťujeme přírůstek hmotnosti tělesa při jeho rostoucí rychlosti. Při malých rychlostech oproti c je totiž přírůstek hmotnosti velmi malý, takže hmotnost tělesa můžeme s dostatečnou přesností považovat za konstantní.
2. V urychlovači získal elektron rychlost v = 0,999 999 92c. Vypočtěte jeho relativistickou hmotnost a porovnejte ji s klidovou hmotností protonu mp = 1,67·10-27 kg. Klidová hmotnost elektronu m0 = 9,1·10-31 kg. Řešení v = 0,999 999 92, je 1 − β = 8 ⋅ 10 −8 a tedy γ = 2,5 ⋅ 10 3 , pro hledanou c relativistickou hmotnost elektronu m pak dostáváme Poněvadž β =
m=
m0 1−
2
v c2
= γ m0 = 2,5.103.9,1.10-31 kg = 2,25.10-27 kg.
Hmotnost elektronu je při této rychlosti větší než klidová hmotnost protonu.
3. Hustota zářivého toku Slunce ve střední vzdálenosti Země od Slunce r = 1,5·1011 m je určena solární konstantou K = 1 327 W·m-2. Zjistěte celkovou energii vyzářenou Sluncem za jednu sekundu a úbytek hmotnosti Slunce za tuto dobu. Řešení Solární konstanta říká, že na každý čtverečný metr, který nastavíme kolmo slunečním paprskům, dopadá výkon 1 327 W, tedy každou sekundu 1 327 J (z toho umí člověk v slunečních elektrárnách získat cca 10 % elektrické energie, tj. z jednoho metru asi 130 W). Odtud lze vypočítat, kolik energie každou sekundu vyšle Slunce, pokud víme, jakou plochu má koule o poloměru 1,5·1011 m (na každý čtverečný metr této plochy připadá 1 327 W a tedy každou sekundu 1 327 J):
∆E = 4πr 2 K∆t = 4π (1,5 ⋅ 1011 m ) ⋅ 1 327 W ⋅ m − 2 ⋅ 1 s ≅ 3,75 ⋅ 10 26 J. 2
Úbytek hmotnosti Slunce za tuto dobu je tedy
∆m =
∆E c2
3,75 ⋅ 10 26 J = = 4,2 ⋅ 10 9 kg −2 16 2 9 ⋅ 10 m ⋅ s
Výpočtem snadno zjistíme, že úbytek hmotnosti Slunce za jeden rok je asi 1,3.1017 kg. Tento úbytek je ale v porovnání s celkovou hmotností Slunce (2·1030 kg) velmi malý.
