Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných
-6.1-
KVADRATICKÉ FORMY PŘÍKLAD 1 Nalezněte funkční předpis kvadratické formy F ( z1 , z2 ) zadané maticí 2 −1 A= . −1 4 Řešení Pro obecnou kvadratickou formu dvou proměnných platí 2
2
F ( z1 , z2 ) = ∑∑ Aij zi z j = A11 z1 z1 + A12 z1 z2 + A21 z2 z1 + A22 z2 z2 = A11 z12 + A22 z2 2 + 2 A12 z1 z2 , i =1 j =1
kde jsme v poslední rovnosti využili symetrie matice A, Aij = Aji . V našem případě je A11 = 2 , A22 = 4 a A12 = A21 = −1 . Po dosazení do obecného předpisu proto máme F ( z1 , z2 ) = 2 z12 + 4 z2 2 − 2 z1 z2 . Pokud bychom dali přednost označení proměnných symboly x a y, psali bychom
F ( x, y ) = 2 x 2 + 4 y 2 − 2 xy .
PŘÍKLAD 2 Nalezněte funkční předpis kvadratické formy F ( z1 , z2 , z3 ) zadané ma −2 0 1 ticí A = 0 3 1 . 1 1 −1
Řešení Postup je stejný jako v příkladu 1, pouze obecný vzorec bude poněkud delší. Obecně má součet na pravé straně vztahu definující kvadratickou formu n proměnných celkem n2 členů (vzhledem k symetrii matice A je možno počet sčítanců nakonec snížit na n(n+1)/2), pro formy tří proměnných tedy máme co do činění se součty o devíti (šesti) sčítancích: 3
3
F ( z1 , z2 , z3 ) = ∑∑ Aij zi z j = i =1 j =1
= A11 z1 z1 + A12 z1 z2 + A13 z1 z3 + A21 z2 z1 + A22 z2 z2 + A23 z2 z3 + A31 z3 z1 + A32 z3 z2 + A33 z3 z3 = = A11 z12 + A22 z2 2 + A33 z32 + 2 A12 z1 z2 + 2 A13 z1 z3 + 2 A23 z2 z3 . V našem případě, kdy je A11 = −2 , A22 = 3 , A33 = −1 , A12 = A21 = 0 , A13 = A31 = 1 a A23 = A32 = 1 , tedy platí F ( z1 , z2 , z3 ) = −2 z12 + 3 z2 2 − z32 + 2 z1 z3 + 2 z2 z3 ,
Kvadratické formy
-6.2 -
nebo též F ( x, y, z ) = −2 x 2 + 3 y 2 − z 2 + 2 xz + 2 yz .
PŘÍKLAD 3 Určete (symetrickou) matici A kvadratické formy F ( z1 , z2 , z3 ) = z2 2 − z32 + 6 z1 z3 . Řešení Podle vzorců uvedených v příkladech 1 a 2 můžeme zajisté bez potíží formulovat návod, jak matici A konstruovat ve zcela obecném případě:
• •
prvky na diagonále matice A odpovídají číselným koeficientům stojícím ve vyjádření formy u druhých mocnin nezávislých proměnných, přesněji Aii je rovno koeficientu u zi 2 , mimodiagonální prvky Aij jsou rovny vždy polovině koeficientů stojících u smíšených součinů zizj.
Pro kvadratickou formu ze zadání tohoto příkladu proto platí • • • • •
A11 = 0 , protože se z12 v zadání F vůbec nevyskytuje (neboli koeficient u něj stojící je nulový), A22 = 1 , protože koeficient u z2 2 je roven 1,
A33 = −1 , protože koeficient u z2 2 je roven -1, A12 = A21 = A23 = A32 = 0 , protože se smíšené součiny z1 z2 a z2 z3 v sumě zadávající F nevyskytují, A13 = A31 = 3 (polovina koeficientu stojícího u smíšeného součinu z1 z3 ).
Vše tedy můžeme shrnout do přehledného tvaru 0 0 3 A = 0 1 0 . 3 0 −1
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 1-3 1. Nalezněte funkční tvary kvadratických forem zadaných těmito maticemi. 2 1 a) A = , 1 2
3 −4 b) A = , −4 0
1 2 0 c) A = 2 1 0 , 0 0 3
0 1 0 d) A = 1 0 −1 . 0 −1 0
2. Nalezněte matice zadaných kvadratických forem. a) F ( z1 , z2 ) = − z12 − 3 z1 z2 + 2 z2 2 ,
b) F ( x, y ) = 3x 2 + xy − y 2 ,
c) F ( z1 , z2 , z3 ) = 2 z1 z2 + 2 z2 z3 ,
d) F ( x, y, z ) = x 2 − y 2 + 4 xz − yz .
Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných
-6.3-
PŘÍKLAD 4
2 −1 Nalezněte vlastní čísla matice A = . −1 4 Řešení Vlastní čísla λ matice A hledáme jako řešení rovnice
det( A − λI ) = 0 , kde I je jednotková matice1 a symbolem „det“ označujeme determinant vepsané matice2. V našem případě máme tedy řešit rovnici 2 − λ −1 det =0. −1 4 − λ Determinant matice 2 x 2 počítáme obvyklým způsobem3 2 − λ −1 2 det = (2 − λ )(4 − λ ) − (−1)(−1) = λ − 6λ + 7 . −1 4 − λ Problém nalezení vlastních čísel přechází takto na úlohu řešit kvadratickou rovnici λ 2 − 6λ + 7 = 0 , pro jejíž kořeny platí λ1,2 =
6 ± 6 2 − 4 ⋅ 7 ⋅1 6 ± 8 = = 3± 2 . 2 ⋅1 2
Vlastní čísla matice A tedy jsou λ1 = 3 + 2 a λ 2 = 3 − 2 .
PŘÍKLAD 5 0 1 0 Nalezněte vlastní čísla matice A = 1 0 1 . 0 1 0
Řešení Výpočet je obdobný jako v předcházejícím příkladu: vlastní čísla hledáme pomocí rovnice 0 −λ 1 det 1 −λ 1 = 0 , 0 1 −λ
přičemž determinant počítáme tentokrát podle Sarrusova pravidla3
1
viz Breviář, Apendix 4, část A4.2, oddíl Speciální matice viz Breviář, Apendix 4, část A4.3 Determinanty 3 viz Breviář, Apendix 4, část A4.3 Determinanty, věta o výpočtu determinantů 2
Kvadratické formy
-6.4 -
0 −λ 1 det 1 −λ 1 = (−λ) ⋅ (−λ ) ⋅ (−λ ) + 1⋅1⋅ 0 + 0 ⋅1⋅1 − 0 ⋅ (−λ ) ⋅ 0 − (−λ ) ⋅ 1⋅1 − 1⋅1⋅ (−λ ) = 0 1 −λ −λ 3 + 2λ .
Vlastní čísla musí tedy splňovat rovnici
−λ 3 + 2λ = 0 , která má následující řešení
λ1 = 0 , λ 2 = 2 a λ 3 = − 2 .
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5 1. Nalezněte vlastní čísla zadaných symetrických matic. 2 1 a) A = , 1 2
3 −4 b) A = , −4 0
1 2 0 c) A = 2 1 0 , 0 0 3
0 1 0 d) A = 1 0 −1 . 0 −1 0
PŘÍKLAD 6 Vyšetřete definitnost kvadratické formy F ( z1 , z2 , z3 ) = 2 z1 z2 + 2 z2 z3 . Řešení O definitnosti kvadratické formy rozhodujeme např. na základě znalosti znamének vlastních čísel jí odpovídající symetrické matice.4 Postup při vyšetřování definitnosti zadané formy můžeme shrnout do následujících bodů
1. nalezneme příslušnou symetrickou matici, 2. určíme její vlastní čísla, 3. podle jejich znamének rozhodneme. Ad 1. Nalézt pro zadanou kvadratickou formu jí odpovídající symetrickou matici jsme se naučili v příkladu 3. Postupem tam uvedeným zjistíme, že v našem případě platí 0 1 0 A = 1 0 1 . 0 1 0
Ad 2. Vlastní čísla této matice jsme již ale určili v příkladu 5, můžeme tedy psát λ1 = 0 , λ 2 = 2 a λ 3 = − 2 .
Ad 3. Protože jedno z vlastních čísel je kladné a jedno záporné, je nutně zadaná kvadratická forma indefinitní.
44
viz Breviář, kap. 2, část 2.5, oddíl Kvadratické formy
Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných
-6.5-
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6 1. Zjistěte, zda je uvedená kvadratická forma pozitivně definitní, negativně definitní, indefinitní, nebo nepatří ani do jedné z uvedených kategorií.
a) F ( z1 , z2 ) = z12 − 2 z1 z2 + 2 z2 2 ,
b) F ( x, y ) = − xy ,
c) F ( z1 , z2 , z3 ) = z12 − 2 z1 z3 + z2 2 ,
d) F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + 4 xz − 2 yz .
Výsledky: CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 1-3
1a) F ( z1 , z2 ) = 2 z12 + 2 z1 z2 + 2 z22 ,
1b) F ( z1 , z2 ) = 3z12 − 8 z1 z2 ,
1c) F ( z1 , z2 , z3 ) = z12 + z22 + 3 z32 + 4 z1 z2 ,
1d) F ( z1 , z2 , z3 ) = 2 z1 z2 − 2 z2 z3 .
−1 2a) − 3 2
3 2b) 1 2
3 − 2 , 2
1 2 , −1
1 0 2d) 0 −1 2 − 1 2
0 1 0 2c) 1 0 1 , 0 1 0
2 1 − . 2 0
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5
1a) λ1 = 1, λ2 = 3 ;
3 + 73 3 − 73 , λ2 = 2 2 1d) λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = − 2 .
1b) λ1 =
1c) λ1 = −1, λ2 = 3, λ3 = 3 ;
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6
1a) Pozitivně definitní,
3+ 5 3− 5 2, 6180; λ2 = 0,3819 , λ1 = 2 2
1b) indefinitní,
1 1 λ1 = , λ2 = − , 2 2
1c) indefinitní,
1 5 1 5 λ1 = 1, λ2 = 2 + 2 , λ3 = 2 − 2 ,
1d) indefinitní,
1 + 21 1 − 21 2, 791; λ2 = −1, 791, λ3 = 1 . λ1 = 2 2
