1
Diferenciální počet funkcí dvou a více proměnných 1. Pojem funkce více proměnných Připomeňme, že (reálná) funkce jedné (reálné) proměnné je zobrazení, jehož vzory (obvykle značíme x) i obrazy (obvykle značíme y) jsou reálná čísla. Funkční předpis má tvar y = f (x). Funkce dvou proměnných Reálná funkce dvou reálných proměnných (dále jen funkce 2 proměnných) je zobrazení, jehož vzory jsou uspořádané dvojice reálných čísel (značíme X = [x, y]) a obrazy (značíme z) jsou reálná čísla. Funkční předpis má tvar z = f (x, y) nebo z = f (X). (Všimněte si, že nepíšeme f ([x, y]).) Číslo f (X) se nazývá funkční hodnota v bodě X. Funkce r proměnných (Reálná) funkce r (reálných) proměnných je zobrazení, jehož vzory jsou uspořádané r-tice reálných čísel (značíme X = [x1 , x2 , ..., xr ]) a obrazy (značíme y) jsou reálná čísla. Funkční předpis má tvar y = f (x1 , x2 , ..., xr ) nebo y = f (X). (Značení může být jiné. Např. u funkce tří proměnných lze psát w = f (x, y, z).) Definiční obor, obor hodnot Množinu reálných čísel můžeme ztotožnit s euklidovským prostorem E1 , množinu uspořádaných dvojic reálných čísel můžeme ztotožnit s E2 . (Množinu uspořádaných r-tic reálných čísel můžeme ztotožnit s Er .) Množina všech dvojic [x, y], pro které existuje funkční hodnota (obraz) funkce dvou proměnných, je definiční obor funkce. (Pro funkci r proměnných je to množina takových r-tic.) Obor hodnot stejně jako u funkce jedné proměnné je množina všech funkčních hodnot funkce. Definiční obor funkce dvou proměnných je tedy podmnožinou E2 . (Pro funkci r proměnných je to podmnožina Er .) Obor hodnot je podmnožina E1 . Funkce dvou proměnných1 tedy přiřazuje každému bodu X = [x, y] z definičního oboru právě jedno reálné číslo z. Podobně funkce r proměnných2 tedy přiřazuje každému bodu X = [x1 , x2 , ..., xr ] z definičního oboru právě jedno reálné číslo y. P ř í k l a d 1: Stanovme funkční hodnotu funkce dvou proměných f (x, y) = x2 − y v bodě C = [1, 3]. Funkční hodnota funkce f (x, y) = x2 − y v bodě C = [1, 3] je f (C) = f (1, 3) = 12 − 3 = −2.
P ř í k l a d 2: Stanovme funkční hodnotu funkce tří proměnných f (x, y, z) = Funkční hodnota funkce f (x, y, z) =
x+y z
x+y z
v bodě C = [1, 2, 3].
v bodě C = [1, 2, 3] je f (C) = f (1, 2, 3) =
1+2 3
= 1.
2. Množiny v E2 , definiční obory funkcí Zobecněním pojmů otevřeného a uzavřeného intervalu jsou otevřená a uzavřená množina, zobecněním omezeného uzavřeného intervalu je kompaktní množina. Pro zavedení otevřené a uzavřené množiny je zapotřebí pojmu okolí bodu. Připomeňme, že okolím bodu c na číselné ose (tj. v prostoru E1 ) je libovolný interval (c − ε; c + ε), kde ε > 0.
1 Definice.
(Formální definice funkce dvou proměnných:) Funkce dvou proměnných je zobrazení f podmnožiny A množiny R × R (prostoru E2 ) do množiny reálných čísel R (prostoru E1 ), symbolicky f : A ⊂ E2 → E1 . 2 Definice. (Formální definice funkce r proměnných:) Funkce r proměnných je zobrazení f podmnožiny A množiny Rr (prostoru Er ) do množiny reálných čísel R (prostoru E1 ), symbolicky f : A ⊂ Er → E1 .
2 Okolí bodu Okolí bodu C = [c1 , c2 ] ∈ E2 je libovolný dvourozměrný interval (c1 − ε; c1 + ε) × (c2 − ε; c2 + ε), kde ε > 0 (viz obr. 1). Jde o čtverec bez hraničních úseček, jehož středem je bod C. P o z n á m k a : Podobně lze definovat okolí bodu v Er . Např. v E1 jde o výše popsané okolí, v E3 je okolí bodu krychle bez hraničních stěn se středem v daném bodě.
y
A
ε c2
O
A
ε c1- ε
B
ε
c1
ε
c1+ ε
Obr. 1. Okolí bodu C v E2
x Obr. 2. Vnitřní (A) a hraniční (B) bod množiny M
Vnitřní a hraniční body Mějme množinu M ⊂ E2 . Bod C ∈ E2 se nazývá (1) vnitřní bod množiny M, pokud je alespoň jedno jeho okolí obsaženo v množině M, (2) hraniční bod množiny M, pokud každé jeho okolí má neprázdný průnik s množinou M, i jejím doplňkem. (Doplněk množiny M je prostor E2 bez množiny M). Viz obr. 2. P o z n á m k a : Podobně lze definovat tyto vlastnosti pro body a množiny v Er . Např. v E1 vnitřními body intervalu h1; 2) jsou všechny body otevřeného intervalu (1; 2), hraničními body jsou 1 a 2. Vnitřek a hranice Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M. Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M. P ř í k l a d 1: Načrtněme množinu bodů [x, y] v E2 danou nerovnicí: x2 + y 2 ≤ 9. Vyznačme její vnitřek a hranici. Tato množina je kruh v rovině E2 , střed je v bodě [0, 0], poloměr je 3. Vnitřkem množiny bude vnitřek tohoto kruhu (viz obr. 6) a hranicí bude jeho obvodová kružnice. Viz obr. 3. P o z n á m k a : Prázdná množina a rovina E2 mají jako hranici prázdnou množinu.
Obr. 3. Vnitřek a hranice množiny
3 Otevřené, uzavřené, omezené, kompaktní množiny Množina M ⊂ E2 (analogicky v Er ) se nazývá
(1) otevřená, jestliže neobsahuje žádný svůj hraniční bod (viz např. obr. 6, 10), (2) uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body (celou svou hranici) (viz např. obr. 3, 8), (3) omezená, pokud je celá obsažena v okolí nějakého bodu (viz obr. 4). (Jednoduše řečeno omezenou množinu lze načrtnout celou, neomezenou nikoli - viz obr. 5.) (4) kompaktní, pokud je omezená a uzavřená (viz např. obr. 3).
y y
x
x
O
O Obr. 4. Omezená množina
Obr. 5. Neomezená množina
P o z n á m k a : Otevřená a uzavřená množina nejsou ”opačné” pojmy. Množina může být otevřená i uzavřená (prázdná množina, celý prostor E2 ). Nemusí být ani otevřená ani uzavřená (např. množina na obr. 4, 5, 7). P ř í k l a d 2: Načrtněme množinu bodů [x, y] v E2 danou nerovnicí: x2 + y 2 ≤ 9. Rozhodněme, zda jde o otevřenou, uzavřenou, omezenou či kompaktní množinu. Použijeme výsledky Příkladu 1. Tato množina je kruh v rovině E2 , střed je v bodě [0, 0], poloměr je 3. Hranicí je obvodová kružnice, kterou kruh obsahuje. Jde tedy o uzavřenou množinu. Není otevřená. Lze ji uzavřít do čtverce se středem v počátku a straně délky 8 (množina je načrtnutá celá), tudíž množina je omezená. Je tedy kompaktní. Viz obr. 3. P ř í k l a d 3: Načrtněme množinu bodů [x, y] v E2 danou nerovnicí: x2 + y 2 < 9. Rozhodněme, zda jde o otevřenou, uzavřenou, omezenou či kompaktní množinu. Použijeme výsledky Příkladu 1. Tato množina je vnitřek kruhu z příkladu 1. Hranicí je obvodová kružnice, z níž ani jeden bod tato množina neobsahuje. Jde tedy o otevřenou množinu. Není uzavřená. Množina je načrtnutá celá, tudíž je omezená. Není kompaktní (protože není uzavřená). Viz obr. 6. P ř í k l a d 4: Načrtněme množinu bodů [x, y] v E2 danou soustavou nerovnic: x2 + y 2 < 9 ∧ y ≤ x. Rozhodněme, zda jde o otevřenou, uzavřenou, omezenou či kompaktní množinu. Použijeme výsledky Příkladu 1. Tato množina je průnikem vnitřku kruhu v rovině E2 o středu [0, 0] a poloměru 3 a poloroviny, která má hraniční přímku y = x a obsahuje body na této přímce a pod ní. Hranicí je část obvodové kružnice, z níž ani jeden bod tato množina neobsahuje, a část dané přímky, kterou množina obsahuje. Jde tedy o množinu, která není otevřená ani uzavřená. Množina je načrtnutá celá, tudíž je omezená. Není kompaktní (protože není uzavřená). Viz obr. 7. x2 + y 2 < 32
y
x
0
3 y x
Obr. 6.
Obr. 7.
P ř í k l a d 5: Načrtněme množinu bodů [x, y] v E2 danou nerovnicí: y ≥ x2 + 1. Rozhodněme, zda jde o otevřenou, uzavřenou, omezenou či kompaktní množinu.
4 Tato množina obsahuje parabolu y = x2 + 1 a body nad ní. Hranicí je parabola, kterou tato množina obsahuje. Jde tedy o uzavřenou množinu. Není otevřená. Množinu nelze načrtnout celou, tudíž není omezená. Není kompaktní (protože není omezená). Viz obr. 8.
y
O
x O Obr. 8
-1
O
1
Obr. 9
Obr. 10
Definiční obory funkcí dvou proměnných Připomeňme, že v případě funkce dvou proměnných lze dvojice nezávisle proměnných x, y (argumenty čili vzory) ztotožnit s body [x, y] roviny E2 souřadnicových os x, y. Množinu argumentů nazýváme definiční obor dané funkce a značíme D(f ). √ P ř í k l a d 6: Načrtněme definiční obor funkce dané předpisem z = f (x, y) = 1 − x2 ln y. Rozhodněme, zda jde o otevřenou, uzavřenou, omezenou či kompaktní množinu. Definičním oborem je množina bodů [x, y] splňujících podmínky: 1 − x2 ≥ 0 ∧ y > 0.
První nerovnici vyřešíme pomocí nulových bodů, což jsou body x = 1 a x = −1. Dosazením hodnot z jednotlivých (tří) intervalů zjistíme, že výraz 1 − x2 je nezáporný pro x ∈ h−1; 1i. Řešením této nerovnice jsou všechny body [x, y], jejichž x-ové souřadnice jsou v tomto intervalu. Řešením druhé nerovnice jsou všechny body, jejichž y-ové souřadnice jsou kladné. Jelikož množina obsahuje část své hranice, ale ne celou, není ani otevřená ani uzavřená. Nelze ji načrtnout celou, není tedy omezená. Není kompaktní (protože není omezená ani uzavřená). Viz obr. 9. P ř í k l a d 7: Načrtněme definiční obor funkce dané předpisem f (x, y) = ln(xy). Rozhodněme, zda jde o otevřenou, uzavřenou, omezenou či kompaktní množinu. Definičním oborem je množina bodů [x, y] splňujících podmínku: xy > 0. Součin dvou čísel je kladný, právě když jsou obě kladná nebo obě záporná. Tedy řešením naší nerovnice jsou body, jejichž obě souřadnice jsou kladné nebo obě záporné, tj. I. a III. kvadrant roviny E2 bez os x a y. Je to množina otevřená (neobsahuje ani jeden bod své hranice, tj. os x a y) a neomezená. Množina není kompaktní, neboť není omezená ani uzavřená. Viz obr. 10.
3. Grafy funkcí dvou proměnných. Jednoduché funkce dvou proměnných Nejprve ještě pro srovnání připomeneme, co je graf funkce jedné reálné proměnné. Funkce f každému bodu x ∈ D(f ) přiřazuje funkční hodnotu f (x). Grafem funkce jedné proměnné je množina takových bodů [x, y] v rovině, jejichž první souřadnice x ∈ D(f ) a druhá souřadnice je y = f (x). Graf je tedy tvořen body [x, f (x)]. U funkce dvou proměnných budeme graf chápat podobně. Už víme, že definičním oborem funkce dvou proměnných je rovina nebo její část. Funkce f každému bodu [x, y] ∈ D(f ) přiřazuje funkční hodnotu f (x, y). Graf je tedy tvořen takovými body v prostoru, které mají souřadnice [x, y, f (x, y)]. První dvě souřadnice jsou proměnné z D(f ) a třetí souřednice je funkční hodnota f (x, y). Graf si můžeme představit jako ”nějakou plochu” umístěnou v trojrozměrném prostoru.
5
z
x y
Obr. 11. Graf funkce dvou proměnných Jednoduché funkce dvou proměnných Nyní popíšeme některé jednoduché funkce dvou resp. více proměnných. Lineární funkce dvou proměnných je funkce daná předpisem f (x, y) = ax + by + c
kde
a, b, c
jsou reálné konstanty.
Poznamenejme ještě, že grafem lineární funkce dvou proměnných je rovina daná rovnicí z = ax + by + c v prostoru (viz obr. 12.). Např. funkce f (x, y) = 4x − 3y + 1 je lineární funkcí dvou proměnných a jejím grafem je rovina z = 4x − 3y + 1.
z
x
Obr. 12. Graf lineární funkce
Obr. 13. Graf kvadratické funkce f (x, y) = x2 + y 2
Podobně můžeme definovat i lineární funkci r proměnných předpisem f (x1 , x2 , . . . xr ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + ar xr + b,
kde a1 , a2 , . . . , ar , b jsou reálná čísla.
Kvadratická funkce dvou proměnných x, y je funkce daná předpisem f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
kde
a, b, c, d, e, f
jsou reálné konstanty.
Např. funkce f daná předpisem f (x, y) = 3x2 − 2xy + y 2 + 4x − 5y − 7 je kvadratickou funkcí dvou proměnných. Graf kvadratické funkce f (x, y) = x2 + y 2 je na obr. 13. Podobně můžeme definovat kvadratické funkce tří a více proměnných. Speciálním případem kvadratické funkce je kvadratická forma, její funkční předpis obsahuje pouze druhé mocniny nezávisle proměnných nebo součiny vždy dvou nezávisle proměnných. Obecný tvar kvadratické formy dvou proměnných je f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2
kde
a, b, c
jsou reálné konstanty.
6 Příkladem kvadratické formy dvou proměnných je f (x, y) = 5x2 + 2xy − y 2 . Zcela obdobně jako v případě jedné proměnné se definují elementární funkce r proměnných. Jejich funkční předpis obsahuje výrazy pro základní funkce3 a symboly aritmetických operací, případně výrazy vzniklé složením základních funkcí. Např. funkce f (x, y) = x sin y + e2x+y je elementární funkce dvou proměnných a funkce f (x, y, z) = arctg (x2 + y)3 + z ln(3x2 + y 4 + z 2 ) je elementárními funkce tří proměnných. Platí: Všechny elementární funkce r proměnných jsou spojité ve svém definičním oboru. P o z n á m k a : Stejně jako u funkce jedné proměnné hovoříme o spojitosti funkce více proměnných, pokud blízkým argumentům odpovídají blízké funkční hodnoty. 4. Parciální derivace U funkce jedné proměnné lze změnu funkčních hodnot zkoumat pouze vlevo nebo vpravo od daného bodu. U funkcí dvou a více proměnných je možností více: k danému bodu se můžeme přibližovat ve směru souřadnicových os (po přímce rovnoběžné s některou souřadnicovou osou), ale také po jiných přímkách procházejících daným bodem a dokonce i po křivkách. Při zkoumání funkce f více proměnných se omezíme na změny ve směrech souřadnicových os. To znamená, že si funkci představujeme tak, že všechny proměnné kromě jedné považujeme za parametry (konstanty). Taková funkce, kde některé proměnné jsou fixovány (chápány jako parametry), se nazývá zúžení funkce. Termín ”zúžení” označuje jak proces vytvoření této funkce, tak samotnou funkci. P ř í k l a d 1: Uvažujme funkci f dvou proměnných x, y danou předpisem f (x, y) = x2 y −y sin x. Fixujemeli např. proměnnou x, dostaneme funkci f ∗ jedné proměnné f ∗ (y) = x2 y − y sin x , kde y je proměnná a x parametr. P ř í k l a d 2: U funkce tří proměnných g(x, y, z) = (x + y)2 − ex yz + ln z zafixujeme y a z a budeme mít funkci g ∗ jedné proměnné g ∗ (x) = (x + y)2 − ex yz + ln z s parametry y, z. Zúžení f ∗ funkce f na proměnnou x, resp. y popisuje chování funkce f pouze ve směru souřadnicové osy x, resp. y.
Z funkce zúžené na jednu proměnnou vyjdeme při definování pojmu, který odpovídá pojmu derivace funkce jedné proměnné. Definice. Derivace funkce f ∗ vzniklé zúžením funkce f na jednu proměnnou x (resp. y) se nazývá parciální derivace funkce f podle proměnné x (resp. y). ∂f . ∂x Parciální derivace funkce f (dvou proměnných x a y) podle proměnné x v bodě C = [xo , yo ] ∈ D(f ) ∂f (x0 , y0 ) nebo ∂f (C). se značí5 ∂x ∂x Pro parciální derivaci funkce f (dvou proměnných x a y) podle proměnné x v obecném bodě ∂f (x, y). X = [x, y] ∈ D(f ) se užívá značení6 ∂x Podobně se značí parciální derivace funkce dvou proměnných f podle proměnné y či parciální derivace funkce tří a více proměnných. Parciální derivace funkce f podle proměnné x se značí4
Zúžení funkce dvou proměnných f na proměnnou x, resp. y je funkce jedné reálné proměnné, proto parciální derivace počítáme stejným způsobem jako derivace funkcí jedné proměnné s tím, že na fixovanou √ jsou konstantní funkce, x, n x, ex , ln x, goniometrické funkce sin x, cos x, tg x, cotg x, a cyklometrické funkce arcsin x, arctg x, arccos x, arccotg x. 4 Používá se též ∂ f nebo fx . x 5 Někdy také ∂ f (x , y ), fx (x0 , y0 ), ∂x f (C) nebo fx (C). x 0 0 6 Případně ∂x f (x, y) nebo fx (x, y). 3 Což
7 neboli při derivování funkce dvou proměnných f proměnnou pohlížíme jako na konstantu. Při výpočtu ∂f ∂x podle proměnné x chápeme y jako konstantu, při derivování téže funkce podle proměnné y bude konstantou proměnná x. √ P ř í k l a d 3: Vypočítáme parciální derivaci podle proměnné y funkce f (x, y) = 2x3 + 4 y + y 2 sin x. Počítáme-li parciální derivaci podle proměnné y, proměnnou x považujeme za konstantu, tedy první sčítanec je konstanta a sin x je také konstanta. ′ 1 1 1 ∂f √ (x, y) = [f ∗ (y)]′ = 2x3 + 4 y − y 2 sin x = 0 + 4 y − 2 + 2y sin x = 2 √ + 2y sin x y ∂y 2 P ř í k l a d 4: Vypočítáme parciální derivace funkce f (x, y, z) = xy + y ln z podle všech proměnných. Při derivování podle x jsou y, z konstanty, tedy první sčítanec se musí derivovat podle vzorce (xn )′ a druhý sčítanec je konstanta. ∂f (x, y) = [f ∗ (x)]′ = (xy + y ln z)′ = y · xy−1 + 0 = y · xy−1 ∂x Při derivování podle y jsou x, z konstanty, tedy první sčítanec se musí derivovat podle vzorce (ay )′ a ln z je kontanta. ∂f (x, y) = [f ∗ (y)]′ = (xy + y ln z)′ = xy ln x + ln z ∂y Při derivování podle z jsou x, y konstanty, tedy první sčítanec je konstanta a ln z je násobený konstantou. ∂f 1 y (x, y) = [f ∗ (z)]′ = (xy + y ln z)′ = 0 + y · = ∂z z z P ř í k l a d 5: Vypočítáme parciální derivace f (x, y) = x3 y 2 − obecně, pak jejich hodnoty v bodě C = [2, −1].
x y
funkce podle obou proměnných nejprve
Nejprve budeme počítat parciální derivaci funkce f podle proměnné x. pohlížíme na ni jako na konstantu. ∂f (x, y) = [f ∗ (x)]′ = ∂x
x x y − y 3 2
′
=
1 y ·x − ·x y 2
3
′
Proměnnou y fixujeme,
= y 2 · 3x2 −
1 1 = 3x2 y 2 − y y
Analogicky při počítání parciální derivace podle y je konstantou x. ∂f (x, y) = [f ∗ (y)]′ = ∂y
x x y − y 3 2
′
=
1 x ·y −x· y 3
2
′
3
= x · 2y − x ·
1 − 2 y
= 2x3 y +
x y2
Dosazením souřadnic bodu C získáme hodnoty parciálních derivací v tomto bodě. ∂f 1 ∂f (C) = (2, −1) = 3 · 22 · (−1)2 − = 12 + 1 = 13 ∂x ∂x −1 ∂f 2 ∂f (C) = (2, −1) = 2 · 23 · (−1) + = −16 + 2 = −14 ∂y ∂y (−1)2 Pro funkce více proměnných se někdy kromě parciálních derivací užívá i pojem derivace. Derivací funkce f v bodě C rozumíme vektor, jehož složkami jsou hodnoty parciálních derivací v bodě C. Derivace funkce f (dvou proměnných x a y) v bodě C je tedy vektor7 f ′ (C) = 7 Derivace
∂f ∂f (C), (C) . ∂x ∂y
funkce f (proměnných x a y) v obecném bodě X = [x, y] je f ′ (x, y) =
∂f (x, y), ∂f (x, y) ∂x ∂y
.
8 P o z n á m k a : Derivaci funkce v daném bodě uvažujeme jen tehdy, pokud jsou parciální derivace podle všech proměnných v tomto bodě vlastní. P ř í k l a d 6: Pro funkci f (x, y) = yexy vypočítáme derivaci v bodě C = [0, −3].
Jako první musíme stanovit parciální derivace podle obou proměnných a určit jejich hodnoty v daném bodě. Počítáme-li parciální derivaci podle proměnné x, derivujeme složenou funkci exy násobenou konstantou y. ∂f (x, y) = y · exy · y = y 2 exy ∂x Ale při výpočtu parciální derivace podle proměnné y si musíme uvědomit, že vzhledem k y se jedná o derivaci součinu (y a složené funkce exy ). ∂f (x, y) = exy + y · exy · x = exy (1 + xy) ∂y Nyní stanovíme hodnoty parciálních derivací v v bodě C a zapíšeme jako složky vektoru f ′ ∂f ∂f (C) = (0, −3) = (−3)2 e0 = 9, ∂x ∂x
∂f ∂f (C) = (0, −3) = e0 (1 + 0) = 1, ∂y ∂y
f ′ (C) = (9, 1).
Parciální derivace budeme využívat zejména při hledání extrémů funkcí více proměnných.
9 5. Extrémy funkce f vzhledem k množině M ⊂ D(f ) Podobně jako u funkce jedné proměnné definujeme maximum a minimum (souhrnně extrémy) funkce více proměnných: Funkce f má v bodě C ∈ M ⊂ D(f ) maximum vzhledem k množině M (označíme max f (X) = f (C)), X∈M
platí-li pro všechna X ∈ M nerovnost f (X) ≤ f (C).
Funkce f má v bodě C ∈ M ⊂ D(f ) minimum vzhledem k množině M (označíme min f (X) = f (C)), X∈M
platí-li pro všechna X ∈ M nerovnost f (X) ≥ f (C).
Extrémy funkce vzhledem k extrémy).
celému definičnímu oboru se nazývají globální extrémy (nebo pouze
z
x y Obr. 14. Extrémy funkce na kruhu Na obr. 14 je znázorněn graf funkce dvou proměnných, jejímž definičním oborem je vyznačený kruh se středem v počátku. Je zřejmé, že tato funkce má (globální) maximum v bodě P0 = [0, 0] a toto maximum je rovno hodnotě f (P0 ), a že funkce nabývá svého minima rovného 0 ve všech hraničních bodech (ozn. Ph ) svého definičního oboru, tj. ve všech bodech vyznačené kružnice. Obdobně jako jsme u funkce jedné proměnné využívali při hledání extrémů Weierstrassovy věty, budeme u funkce více proměnných užívat tzv. zobecněné Weierstrassovy věty: Věta ( zobecněná Weierstrassova ) . Funkce spojitá na neprázdné kompaktní množině nabývá vzhledem k této množině svého maxima a minima. Pokud tedy budou splněny předpoklady zobecněné Weierstrassovy věty, tj. funkce bude spojitá a množina bude kompaktní, bude zaručena existence extrémů funkce. Extrémy se hledají jiným způsobem ve vnitřních bodech množiny, jiným v hraničních. Extrémy na hranici se většinou hledají jako tzv. vázané extrémy (extrémy na ”hladkých” částech hranice, kde nejsou žádné ostré zlomy hranice), nebo mohou extrémy být v tzv. ”hrotech” (ostrých zlomech na hranici) - viz obr. 15.
O
Obr. 15. Hroty a hladké úseky hranice 6. Vázané extrémy funkcí dvou proměnných Vázané extrémy jsou extrémy funkce f vzhledem k množině popsané rovnicí g(x, y) = 0 (∧ [x, y] ∈ D(f )), což je množina bez vnitřních bodů. Můžeme např. hledat extrémy nějaké funkce vzhledem k množině
10 x2 + y 2 − 9 = 0, tzn. zkoumat funkční hodnoty nad (nebo pod) kružnicí x2 + y 2 = 9 (viz obr. 16), nebo {z } | g(x,y)
hledat extrémy funkce na přímce (např. 3x + 2y − 5 = 0), na parabole (např. x2 + 3y − 1 = 0) atd. {z } {z } | | g(x,y)
g(x,y)
Rovnice g(x, y) = 0 se nazývá vazební rovnice, množina všech řešení této rovnice (tj. množina, na které hledáme extrémy) se nazývá vazba.
z
x O y Obr. 16. vázané extrémy na kružnici P o z n á m k a : V celé této kapitole budeme předpokládat, že funkce f i g mají spojité parciální derivace, a nebudeme tento požadavek dále explicitně uvádět. Vázané extrémy lze hledat užitím dále uvedených tří metod; ne každá metoda je však vhodná pro řešení každého příkladu. 1) dosazovací metoda 2) metoda jakobiánu 3) metoda Lagrangeových multiplikátorů Dosazovací metoda Dosazovací metodu je vhodné použít tehdy, lze-li z vazební rovnice jednoznačně vyjádřit proměnnou x nebo y, např. je-li množinou popsanou vazební rovnicí přímka, parabola atd. Princip dosazovací metody je ten, že se z vazební rovnice vyjádří jedna z proměnných a dosadí se do předpisu funkce, jejíž extrémy hledáme. Tím vznikne funkce jedné proměnné – její extrémy už nalézt umíme. Nalezneme-li lokální extrémy této funkce jedné proměnné, nalezneme tak lokální vázané extrémy dané funkce dvou proměnných: P ř í k l a d 1: Nalezneme body, v nichž nastávají lokální extrémy funkce f (x, y) = 3x2 y na množině M: x2 − y − 2 = 0. Hledáme lokální extrémy funkce na parabole. Z rovnice x2 − y − 2 = 0 lze snadno vyjádřit y a dosadit do předpisu funkce f . Vzniklou funkci jedné proměnné (proměnné x) označíme h: x2 − y − 2 = 0 ⇒ y = x2 − 2, x ∈ R ⇒ h(x) = 3x2 (x2 − 2) = 3x4 − 6x2 , x ∈ R . Hledáme tedy lokální extrémy funkce h: h′ (x) = 12x3 − 12x = 12x(x2 − 1) = 12x(x + 1)(x − 1) = 0 ⇒ x = ±1 ∨ x = 0. Pomocí druhé derivace h′′ (x) = 36x2 − 12 zjistíme, jsou-li v těchto podezřelých bodech lokální extrémy funkce h: h′′ (−1) = 36 − 12 > 0 ⇒ v bodě −1 je lokální minimum, h′′ (0) = −12 < 0 ⇒ v bodě 0 je lokální maximum, h′′ (1) = 36 − 12 > 0 ⇒ v bodě 1 je lokální minimum.
11 Pro funkci f dvou proměnných musíme ještě dopočítat druhé souřadnice bodů, v nichž lokální extrémy nastávají. Tyto souřadnice získáme dosazením x-ových souřadnic do vazební rovnice, resp. do upravené rovnice y = x2 − 2: x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ [−1, −1] x = 0 ⇒ y = −2 ⇒ [0, −2] x = 1 ⇒ y = −1 ⇒ [1, −1]. Funkce f má tedy lokální vázané minimum v bodech [1, −1] a [−1, −1] a lokální vázané maximum v bodě [0, −2]. Stejně jako u funkce jedné proměnné se i u funkce více proměnných většinou určují pouze body, v nichž nastává lokální extrém, nikoliv hodnota lokálního extrému. Ta by se vypočítala jako funkční hodnota v bodě, v němž lokální extrém nastává. Můžeme si dosazením ověřit, že funkce f nabývá v bodech [−1, −1], [0, −2] a [1, −1] stejných hodnot jako funkce h v bodech 1, 0 a −1: h(−1) = 3 · (−1)4 − 6 · (−1)2 = −3; h(0) = 0; h(1) = −3;
f (−1, −1) = 3 · (−1)2 · (−1) = −3,
f (0, −2) = 3 · 02 · (−2) = 0, f (1, −1) = 3 · 12 · (−1) = −3.
(Je tedy lokální minimum = −3 a lokální maximum = 0.)
P ř í k l a d 2: Nalezneme extrémy funkce f (x, y) = exy na úsečce y − 2x = −8 ∧ x ∈ h0, 3i.
Z vazební rovnice lze snadno vyjádřit y a dosadit do předpisu funkce f – dostaneme funkci h jedné proměnné (proměnné x): y = 2x − 8 ⇒ h(x) = ex(2x−8) = e2x
2
−8x
, x ∈ h0, 3i.
Hledáme extrémy funkce h na uzavřeném intervalu h0, 3i. Nalezneme podezřelé body: h′ (x) = e2x
2
−8x
(4x − 8) = 0 ⇒ 4x − 8 = 0 ⇒ x = 2.
Bod x = 2 patří do daného intervalu h0, 3i (jinak bychom ho nadále nebrali v úvahu). Vypočítáme hodnotu funkce h v bodě 2 a v krajních bodech intervalu: h(2) = e−8 ,
h(0) = 1,
h(3) = e−6 .
Funkce h má tedy maximum = 1 v bodě 0 a minimum = e−8 v bodě 2. Pro funkci f dopočítáme k hodnotám x = 0 a x = 2 (body, v nichž má extrémy funkce h) druhé souřadnice z rovnice y = 2x − 8 (upravená vazební rovnice): x = 0 ⇒ y = −8 ⇒ P1 = [0, −8], x = 2 ⇒ y = −4 ⇒ P2 = [2, −4]. Funkce f má tedy vázané maximum v bodě P1 = [0, −8] a toto vázané maximum je rovno 1 (můžeme zkontrolovat: h(0) = 1, f (0, −8) = e0·(−8) = 1), a vázané minimum v bodě P2 = [2, −4] a toto vázané minimum je rovno e−8 (h(2) = e−8 , f (2, −4) = e2·(−4) = e−8 ). Metoda jakobiánu Metodu jakobiánu je možno použít pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách – nejčastěji na kružnici, elipse. Princip metody spočívá v tom, že nalezneme podezřelé body8 užitím determinantu zvaného jakobián (viz dále), a protože existence extrémů je zaručena dle zobecněné Weierstrassovy věty, stačí porovnat 8 Podezřelý
bod je stejně jako u funkce jedné proměnné bod, ve kterém může (ale nemusí) být extrém.
12 funkční hodnoty v podezřelých bodech a vybrat z nich největší (vázané maximum) a nejmenší (vázané minimum). Jakobián (ozn. J(x, y)) je determinant, který má pro funkce dvou proměnných tvar: J(x, y) =
∂f (x, y), ∂x ∂g (x, y), ∂x
∂f (x, y) ∂y . ∂g (x, y) ∂y
Podezřelé body jsou body, ve kterých je J(x, y) = 0; tyto body současně musí splňovat vazební rovnici. Souřadnice podezřelých bodů dostaneme tedy řešením soustavy (většinou nelineárních) rovnic: J(x, y) = 0 ∧ g(x, y) = 0. P ř í k l a d 3: Nalezneme extrémy funkce f (x, y) = 2x − y na elipse x2 + 2y 2 = 18.
Funkce f je spojitá, elipsa je kompaktní množina – existence extrémů je zaručena podle zobecněné Weierstrassovy věty a lze je nalézt metodou jakobiánu. Vazební rovnici přepíšeme do tvaru x2 + 2y 2 − 18 = 0, tzn. g(x, y) = x2 + 2y 2 − 18. Dostáváme: J(x, y) =
∂f (x, y), ∂x ∂g (x, y), ∂x
∂f (x, y) ∂y ∂g (x, y) ∂y
2 = 2x
−1 = 8y + 2x. 4y
Podezřelé body dostaneme řešením soustavy J(x, y) = 0 ∧ g(x, y) = 0, tzn. 8y + 2x = 0 ∧ x2 + 2y 2 = 18. Z první rovnice vyjádříme x a dosadíme do druhé: x = −4y ⇒ (−4y)2 + 2y 2 = 18 16y 2 + 2y 2 = 18 18y 2 = 18 ⇒ y = ±1 a x dopočítáme ze vztahu x = −4y:
y = 1 ⇒ x = −4,
y = −1 ⇒ x = 4.
Dostali jsme podezřelé body P1 = [−4, 1], P2 = [4, −1]. Porovnáním funkčních hodnot v těchto bodech dostaneme vázané maximum a vázané minimum funkce f : f (P1 ) = f (−4, 1) = −8 − 1 = −9,
f (P2 ) = f (4, −1) = 8 + 1 = 9.
Vázané maximum je tedy rovno 9 a nastává v bodě P2 = [4, −1], vázané minimum je rovno −9 a nastává v bodě P1 = [−4, 1]. P ř í k l a d 4: Nalezneme extrémy funkce z Příkladu 2, tj. y − 2x = −8 ∧ x ∈ h0, 3i.
extrémy funkce f (x, y) = exy na úsečce
Úsečka je kompaktní množina (na rozdíl od paraboly v Příkladu 1), lze tedy k řešení tohoto příkladu užít i metodu jakobiánu. Vazební rovnici přepíšeme do tvaru 2x − y − 8 = 0 (tedy g(x, y) = 2x − y − 8) a užitím jakobiánu nalezneme podezřelé body na množině popsané touto rovnicí (tj. na přímce). Zkontrolujeme, zda takto nalezené body vyhovují podmínce x ∈ h0, 3i (pokud ne, takové body vyřadíme z dalších výpočtů). Navíc musíme jako podezřelé body vzít v úvahu krajní body úsečky (podobně jako u funkce jedné proměnné krajní body intervalu). Ve všech podezřelých bodech vypočítáme funkční hodnoty a vybereme největší a nejmenší. J(x, y) =
∂f (x, y), ∂x ∂g (x, y), ∂x
∂f (x, y) ∂y ∂g (x, y) ∂y
yexy = 2
xexy = −yexy − 2xexy = exy (−y − 2x) = 0, −1
13 −y − 2x = 0 ⇒ y = −2x.
Dosadíme do vazební rovnice:
2x − (−2x) − 8 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ y = −4.
Dostáváme podezřelý bod P = [2, −4], jehož x-ová souřadnice vyhovuje podmínce x ∈ h0, 3i. Určíme ještě krajní body A, B dané úsečky: x = 0 ⇒ y = 2 · 0 − 8 = −8 ⇒ A = [0, −8], x = 3 ⇒ y = 2 · 3 − 8 = −2 ⇒ B = [3, −2]. Vypočítáme funkční hodnoty v podezřelých bodech P , A, B: f (A) = f (0, −8) = e0 = 1,
f (P ) = f (2, −4) = e−8 ,
f (B) = f (3, −2) = e−6 .
Funkce f má tedy vázané maximum = 1 v bodě A = [0, −8] a vázané minimum = e−8 v bodě P = [2, −4]. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Metodu Lagrangeových multiplikátorů je možno použít pouze pro hledání vázáných extrémů na kompaktních množinách. Její princip spočívá v tom, že podezřelé body hledáme jako body vazby, v nichž má tzv. Lagrangeova funkce (viz dále) parciální derivace podle obou proměnných rovny nule. Protože předpokládáme splnění předpokladů zobecněné Weierstrassovy věty, stačí pak pro nalezení vázaných extrémů vybrat největší a nejmenší funkční hodnotu v těchto podezřelých bodech. Sestrojíme tzv. Lagrangeovu funkci (ozn. L): L(x, y) = f (x, y) + λ · g(x, y), kde λ je zatím neznámá konstanta (tzv. Lagrangeův multiplikátor). Vypočítáme parciální derivace funkce L podle obou proměnných a položíme = 0; spolu s vazební rovnicí tvoří tyto rovnice soustavu tří (obvykle nelineárních) rovnic o třech neznámých x, y, λ. Jejím řešením obdržíme podezřelé body. P ř í k l a d 5: Nalezneme metodou Lagrangeových multiplikátorů extrémy funkce z Příkladu 3, tj. extrémy funkce f (x, y) = 2x − y na množině x2 + 2y 2 = 18 (tedy g(x, y) = x2 + 2y 2 − 18).
Sestrojíme Lagrangeovu funkci: L(x, y) = 2x − y + λ(x2 + 2y 2 − 18), vypočítáme její parciální derivace podle obou proměnných a položíme = 0: 1 ∂L (x, y) = 2 + 2λx = 0 ⇒ x = − , ∂x λ 1 ∂L (x, y) = −1 + 4λy = 0 ⇒ y = , ∂y 4λ kde λ 6= 0 (pro λ = 0 nemá soustava řešení). Takto vyjádřené x a y dosadíme do vazební rovnice:
−
1 λ
2
+2
1 4λ
2
= 18,
1 1 + = 18 2 λ 8λ2
/ · 8λ2
9 = 18 · 8λ2 ⇒ λ2 = 1 ay= Dosazením vypočtené hodnoty λ do vztahů x = − λ
λ=
1 4λ
1 1 ⇒ λ=± . 16 4
obdržíme podezřelé body:
1 ⇒ x = −4, y = 1 ⇒ P1 = [−4, 1], 4
14 λ=−
1 ⇒ x = 4, y = −1 ⇒ P2 = [4, −1]. 4
Dále stačí porovnat hodnoty funkce f v bodech P1 , P2 : f (P1 ) = f (−4, 1) = −9,
f (P2 ) = f (4, −1) = 9.
Funkce f má tedy vázané maximum = 9 v bodě P2 = [4, −1] a vázané minimum = −9 v bodě P1 = [−4, 1]. P o z n á m k a : Metoda Lagrangeových multiplikátorů nemá pro hledání extrémů funkcí dvou proměnných příliš velký význam – obvykle je efektivnější řešit příklad metodou jakobiánu nebo dosazovací metodou. Metoda Lagrangeových multiplikátorů je však vhodná pro hledání vázaných extrémů funkcí více než dvou proměnných a je hojně užívána v ekonomických aplikacích.
15 7. Vázané extrémy funkcí více proměnných Při řešení ekonomických problémů sa často setkáme s úlohou nalézt extrémy nějaké funkce více proměnných při současném splnění dalších podmínek. Jedná se o hledání vázaných extrémů funkce f (x1 , ..., xr ) na množině popsané několika vazebními rovnicemi g1 (x1 , ..., xr ) = 0, ... , gs (x1 , ..., xr ) = 0, přičemž vazebních rovnic je méně než proměnných, tzn. s < r. P o z n á m k a : Předpokládáme, že funkce f , g1 , . . . , gs mají spojité parciální derivace. K hledání vázaných extrémů slouží tři metody uvedené pro funkce dvou proměnných, avšak dosazovací metoda je příliš komplikovaná a nebudeme ji uvádět. Metoda jakobiánu Stejně jako pro funkce dvou proměnných je určena pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách, navíc musí být splněno, že počet vazebních rovnic je o 1 menší než počet proměnných, tzn. s = r − 1. Tento požadavek má velmi prostý důvod – je třeba, aby matice tvořená parciálními derivacemi funkcí f , g1 , . . . , gr−1 byla čtvercová, abychom mohli počítat determinant – jakobián (ozn. J(x1 , ..., xr ) nebo zkráceně J(X)): ∂f ∂f ∂f (X) ... (X) ∂x1 (X) ∂x2 ∂xr ∂g1 ∂g1 ∂g1 (X) ... (X) . ∂x2 ∂xr J(X) = ∂x1 (X) ... ... ... ... ∂gr−1 ∂gr−1 ∂gr−1 (X) (X) ... (X) ∂x1
∂x2
∂xr
Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. Metoda Lagrangeových multiplikátorů
Metoda Lagrangeových multiplikátorů je opět určena pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách; na rozdíl od metody jakobiánu je možno ji použít pro libovolný počet vazebních rovnic. Lagrangeova funkce má tvar: L(x1 , ..., xr ) = f (x1 , ..., xr ) + λ1 g1 (x1 , ..., xr ) + ... + λs gs (x1 , ..., xr ), kde λ1 , ..., λs jsou neznámé konstanty - Lagrangeovy multiplikátory. Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. P ř í k l a d 1: Nalezneme extrémy funkce f (x, y, z) = 8x + 4y − 2z − 3 na množině x2 + y 2 + z 2 = 21.
Množina popsaná rovnicí x2 + y 2 + z 2 = 21 je kulová plocha, tedy kompaktní množina; funkce f je na této množině spojitá. Není možné použít metody jakobiánu, protože funkce f je tří proměnných a máme pouze jednu vazební rovnici. Extrémy tedy nalezneme metodou Lagrangeových multiplikátorů. Vazební rovnici přepíšeme do tvaru g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 21 = 0. Sestrojíme Lagrangeovu funkci, vypočítáme její parciální derivace podle všech proměnných a položíme = 0: L(x, y, z) = 8x + 4y − 2z − 3 + λ(x2 + y 2 + z 2 − 21),
∂L 4 (x, y, z) = 8 + 2λx = 0 ⇒ x = − , ∂x λ 2 ∂L (x, y, z) = 4 + 2λy = 0 ⇒ y = − , ∂y λ 1 ∂L (x, y, z) = −2 + 2λz = 0 ⇒ z = . ∂z λ kde λ 6= 0 (pro λ = 0 nemá soustava řešení). Takto vyjádřené x, y, z dosadíme do vazební rovnice: 2 2 2 1 4 2 + − + = 21, − λ λ λ 4 1 16 + 2 + 2 = 21 λ2 λ λ 21 = 21 ⇒ λ = ±1. λ2
16 2 4 , y = −λ ,z= Dosazením hodnot λ = ±1 do vztahů x = − λ
1 λ
obdržíme podezřelé body:
λ = 1 ⇒ x = −4, y = −2, z = 1 ⇒ P1 = [−4, −2, 1], λ = −1 ⇒ x = 4, y = 2, z = −1 ⇒ P2 = [4, 2, −1]. Porovnáním hodnot funkce f v těchto bodech obdržíme hledané extrémy: f (P1 ) = f (−4, −2, 1) = −32 − 8 − 2 − 3 = −45, f (P2 ) = f (4, 2, −1) = 32 + 8 + 2 − 3 = 39. Funkce f má tedy v bodě P1 vázané min. = −45, v bodě P2 vázané max. = 39. 8. Extrémy funkce uvnitř množiny Ve vnitřních bodech M ⊂ D(f ) budeme hledat podezřelé body podle následující věty, která je obdobná příslušné větě pro funkci jedné proměnné. Věta ( nutná podmínka pro extrém uvnitř množiny ) . Jestliže má funkce f ve vnitřním bodě množiny M extrém vzhledem k této množině, pak jsou v tomto bodě parciální derivace funkce f podle všech proměnných rovny nule (pokud existují). P o z n á m k a : Větu můžeme stručně zapsat: C – vnitřní bod M, f (r proměnných) má v bodě C extrém ∂f ∂f ⇒ ∂x (C) = 0, ..., ∂x (C) = 0 (pokud existují) nebo ještě stručněji: 1
r
C – vnitřní bod M, f (r proměnných) má v bodě C extrém ⇒ f ′ (C) = o¯ (pokud existuje).
Stejně jako u funkce jedné proměnné je tato podmínka pouze nutnou podmínkou, nikoliv postačující. To znamená, že implikace neplatí obráceně (nulovost všech parciálních derivací v bodě ještě nezaručí existenci extrému v tomto bodě) – z podmínky nulovosti parciálních derivací obdržíme pouze podezřelé body (další podezřelé body jsou body, kde parciální derivace neexistují, tuto situaci však nebudeme uvažovat – přesahuje rámec této publikace). Pokud je vnitřní bod součástí kompaktní množiny, lze extrémy spojité funkce na této množině získat porovnáním funkčních hodnot ve všech podezřelých bodech (vnitřních i hraničních). Extrémy funkce na nekompaktních množinách obsahujících vnitřní body hledat nebudeme, zdůrazňujeme ale, že v takovém případě nelze extrémy hledat pouhým srovnáváním funkčních hodnot v podezřelých bodech. 9. Extrémy spojité funkce na kompaktních množinách obsahujících vnitřní body Hledání extrémů na kompaktních množinách obsahujících vnitřní body je opět založeno na zobecněné Weierstrassově větě. Protože je podle této věty existence extrémů spojité funkce na kompaktní množině zaručena, stačí nalézt podezřelé body a vypočítat v nich funkční hodnoty. Podezřelé body budeme hledat zvlášť uvnitř množiny (podle nutné podmínky uvedené v předchozí podkapitole 8), zvlášť na hranici – jakožto vázané extrémy na hladkých částech hranice; dalšími hraničními podezřelými body budou ostré zlomy na hranici – hroty. Podezřelé body: 1) uvnitř množiny (parciální derivace podle všech proměnných = 0) 2) na hranici — a) na hladkých částech (body podezřelé z vázaných extrémů) — b) hroty Ve všech podezřelých bodech vypočítáme funkční hodnoty - největší je maximum, nejmenší je minimum. P ř í k l a d 1: Nalezneme extrémy funkce f (x, y) = x2 − 2x + y 2 na množině popsané nerovnicí x2 + y 2 ≤ 4.
Jedná se o extrémy spojité funkce na kruhu – kompaktní množině. Hranice množiny je kružnice, tj. množina bez hrotů. Budeme hledat podezřelé body zvlášť uvnitř kruhu (podle nutné podmínky pro extrém ve vnitřním bodě), zvlášť na kružnici. 1) Podezřelé body uvnitř množiny
17 Vypočítáme parciální derivace funkce f a položíme = 0: ∂f (x, y) = 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1 ∂x ∂f (x, y) = 2y = 0 ⇒ y = 0. ∂y Dostáváme podezřelý bod P1 = [1, 0]; je ovšem třeba ověřit, že patří do námi uvažované množiny. Protože jeho souřadnice vyhovují nerovnici x2 + y 2 ≤ 4, daný bod do množiny patří.
2) Podezřelé body na hranici
Podezřelé body na kružnici x2 + y 2 = 4 získáme metodou jakobiánu: J(x, y) =
∂f (x, y), ∂x ∂g (x, y), ∂x
∂f (x, y) ∂y ∂g (x, y) ∂y
2x − 2 = 2x
2y = (2x − 2)2y − 4xy = −4y = 0. 2y
Odtud y = 0; po dosazení této hodnoty do vazební rovnice x2 + y 2 − 4 = 0 dostaneme x2 = 4, tzn.
x = ±2. Podezřelými body na kružnici jsou tedy body P2 = [2, 0] a P3 = [−2, 0].
Srovnáním funkčních hodnot ve všech podezřelých bodech získáme maximum a minimum: f (P1 ) = f (1, 0) = 1 − 2 = −1,
f (P2 ) = f (2, 0) = 4 − 4 = 0,
f (P3 ) = f (−2, 0) = 4 + 4 = 8.
Funkce f má vzhledem ke kruhu x2 + y 2 ≤ 4 maximum = 8 v bodě P3 = [−2, 0] a minimum = −1
v bodě P1 = [1, 0].
DÁLE (DO KONCE ODSTAVCE 9) NEPOVINNÉ: P ř í k l a d 2: Nalezneme extrémy funkce f (x, y) = y 2 + (x − 1)2 + y 2 ≤ 9 ∧ x ≥ 0.
1 3 x 3
− x na množině M popsané nerovnicemi
Funkce f je spojitá, množina M je kompaktní – jedná se o část kruhu (viz obr. 17). Nalezneme podezřelé body užitím metod uvedených v podkapitolách 6 a 8. Musíme ale zkontrolovat, zda takto vypočtené body v uvažované množině skutečně leží. y P5 P8
x P4
P2
P7 O
P1
P9
P6
P3
Obr. 17. Podezřelé body na části kruhu – viz Př. 2 1) Podezřelé body uvnitř množiny Vypočítáme parciální derivace funkce f a položíme = 0: ∂f (x, y) = x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 ∂x ∂f (x, y) = 2y = 0 ⇒ y = 0. ∂y
18 Odtud dostáváme podezřelé body P1 = [1, 0] a P2 = [−1, 0], je ale nutné ověřit, jestli tyto body leží v množině M. To můžeme učinit podle obrázku nebo dosazením souřadnic podezřelých bodů do obou nerovnic popisujících množinu M: P1 : P2 :
(1 − 1)2 + 02 ≤ 9 ∧ 1 ≥ 0,
(−1 + 1)2 + 02 ≤ 9 ∧ −1 ≥ 0.
Vidíme, že bod P2 nevyhovuje druhé nerovnici - nepatří tedy do uvažované množiny. Uvnitř množiny dostáváme tedy jediný podezřelý bod P1 = [1, 0]. 2) Podezřelé body na hranici a) na hladkých částech Hranice množiny sestává z části kružnice (x − 1)2 + y 2 = 9 a z části přímky x = 0. Budeme hledat podezřelé body zvlášť na kružnici a zvlášť na přímce, přičemž přebytečné body (tj. body, které sice leží na uvedených křivkách, ale mimo námi uvažované úseky) nebudeme brát v úvahu. α) podezřelé body na kružnici (x − 1)2 + y 2 = 9
Podezřelé body na kružnici získáme metodou jakobiánu ( g(x, y) = (x − 1)2 + y 2 − 9 = x2 − 2x + y 2 − 8): ∂f (x, y) x2 − 1 2y ∂x (x, y), ∂f ∂y 2 = J(x, y) = ∂g ∂g 2x − 2 2y = 2y(x − 1) − 2y(2x − 2) = (x, y), (x, y) ∂x ∂y = 2y(x2 − 1 − 2x + 2) = 2y(x2 − 2x + 1) = 0
y = 0 ∨ x2 − 2x + 1 = 0
⇒
(x − 1)2 = 0 x = 1. K vypočteným hodnotám y = 0 a x = 1 (tyto souřadnice nepatří k sobě!) dopočítáme zbývající souřadnice z vazební rovnice: y=0
⇒
(x − 1)2 + 02 = 9 x2 − 2x − 8 = 0
(x − 4)(x + 2) = 0 x = 4 ∨ x = −2,
odtud P3 = [4, 0], P4 = [−2, 0], x=1
⇒
(1 − 1)2 + y 2 = 9
y = ±3,
odtud P5 = [1, 3], P6 = [1, −3].
Body P3 , P4 , P5 , P6 leží na kružnici, ale P4 neleží na jejím úseku, který uvažujeme (nevyhovuje podmínce x ≥ 0). Zůstávají nám tedy body P3 = [4, 0], P5 = [1, 3], P6 = [1, −3]. β) podezřelé body na přímce x = 0
Podezřelé body na přímce můžeme získat např. dosazovací metodou: do předpisu funkce f dosadíme x = 0 a dostaneme funkci h proměnné y: h(y) = y 2 +
1 2 · 0 − 0 = y2 , 3
y ∈ R.
Odtud získáme podezřelé body funkce h: h′ (y) = 2y = 0 ⇒ y = 0. Dostáváme tedy další podezřelý bod pro funkci f : P7 = [0, 0]; tento bod leží v námi uvažovaném úseku přímky.
19 b) hroty Hroty na hranici množiny M jsou průsečíky kružnice (x − 1)2 + y 2 = 9 s přímkou x = 0. Jejich souřadnice získáme řešením soustavy (x − 1)2 + y 2 = 9 ∧ x = 0: x=0
(−1)2 + y 2 = 9
⇒
y2 = 8
√ y = ± 8.
Hroty jsou body P8 = [0,
√ √ 8], P9 = [0, − 8].
Nakonec vypočítáme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech a vybereme největší a nejmenší: 52 25 2 , f (P5 ) = f (1, 3) = f (P1 ) = f (1, 0) = − , f (P3 ) = f (4, 0) = 3 3 3 √ √ 25 , f (P7 ) = f (0, 0) = 0, f (P8 ) = f (0, 8) = 8, f (P9 ) = f (0, − 8) = 8. f (P6 ) = f (1, −3) = 3 Funkce f nabývá na množině M maxima =
52 3
v bodě P3 = [4, 0] a minima = − 32 v bodě P1 = [1, 0].
P ř í k l a d 3: Vypočítáme extrémy funkce f (x, y) = x2 − xy + y 2 na množině M popsané nerovnicemi y ≥ x − 1 ∧ y ≤ −x + 1 ∧ x ≥ −1. Funkce je spojitá, množina M je trojúhelník (viz obr. 18). P7
y
P4
P3 1 P1 P5 P2
-1
y= x-1 x y= -x+ 1
P6 x= -1
Obr. 18. Podezřelé body na trojúhelníku – viz Př. 3 1) Podezřelé body uvnitř množiny ∂f (x, y) = 2x − y = 0 ⇒ y = 2x ∂x ∂f (x, y) = −x + 2y = 0 ∂y Dosadíme y = 2x do 2. rovnice: −x + 4x = 0
⇒
x=0
⇒
y=0
⇒
P1 = [0, 0].
Bod P1 = [0, 0] patří do M (vyhovuje všem nerovnicím; nebo dle obrázku).
2) Podezřelé body na hranici a) na hladkých částech
Hladkými částmi jsou části přímek y = x − 1, y = −x + 1 a x = −1. Na každé z nich nalezneme podezřelé body dosazovací metodou. α) podezřelé body na přímce y = x − 1 y =x−1
⇒
h(x) = x2 − x(x − 1) + (x − 1)2 = x2 − x2 + x + x2 − 2x + 1 = x2 − x + 1 1 1 1 ⇒ y = −1=− h′ (x) = 2x − 1 = 0 ⇒ x = 2 2 2 1 1 ∈M ,− ⇒ P2 = 2 2
20 β) podezřelé body na přímce y = −x + 1 y = −x + 1
⇒
h(x) = x2 − x(−x + 1) + (−x + 1)2 = x2 + x2 − x + x2 − 2x + 1 = 3x2 − 3x + 1 1 1 1 ⇒ y = − −1 = h′ (x) = 6x − 3 = 0 ⇒ x = 2 2 2 1 1 , ∈M ⇒ P3 = 2 2
γ) podezřelé body na přímce x = −1 x = −1
⇒
h(y) = 1 + y + y 2 1 h′ (y) = 2y + 1 = 0 ⇒ y = − ∧ x = −1 2 1 ∈M ⇒ P4 = −1, − 2
b) hroty = vrcholy trojúhelníku Vypočteme vrcholy známým způsobem – jakožto průsečíky přímek (postup neuvádíme): P5 = [1, 0], P6 = [−1, −2], P7 = [−1, 2]. Na závěr vypočítáme funkční hodnoty: f (P1 ) = f (0, 0) = 0,
f (P3 ) = f
1 1 , 2 2
f (P5 ) = f (1, 0) = 1,
=
f (P2 ) = f
1 1 1 1 − + = , 4 4 4 4
1 1 ,− 2 2
f (P4 ) = f
f (P6 ) = f (−1, −2) = 1 − 2 + 4 = 3,
=
1 1 1 3 + + = , 4 4 4 4
−1, −
1 2
=1−
1 1 3 + = , 2 4 4
f (P7 ) = f (−1, 2) = 1 + 2 + 4 = 7.
Maximum funkce f vzhledem k množině M je 7 a je ho nabýváno v bodě P7 = [−1, 2], minimum funkce f vzhledem k množině M je 0 a je ho nabýváno v bodě P1 = [0, 0]. 10. Extrémy lineární funkce na konvexním polyedru Pojem konvexní polyedr (mnohostěn) nebudeme nijak přesně vymezovat – jedná se např. o krychli, hranol, jehlan ap. v trojrozměrném prostoru, o čtverec, obdélník, lichoběžník, trojúhelník ap. v dvourozměrném prostoru (zde by bylo příhodnější mluvit spíš o polygonu (mnohoúhelníku)). Konvexní polyedr je kompaktní množina, lineární funkce je spojitá – jsou tedy splněny předpoklady zobecněné Weierstrassovy věty. Extrémy lineární funkce na konvexním polyedru je ale možné počítat jednodušším způsobem než v předchozích příkladech. Platí totiž následující věta: Věta ( extrémy lineární funkce na konvexním polyedru ) . Lineární funkce definovaná na konvexním polyedru nabývá svého maxima a minima v některých z jeho vrcholů. P o z n á m k a : Nabývá-li lineární funkce např. svého maxima ve dvou bodech A, B, nabývá tohoto maxima i na celé úsečce AB; nabývá-li lineární funkce svého maxima ve třech bodech A, B, C, nabývá tohoto maxima i na celém trojúhelníku ABC atd. (stejně pro minimum). P ř í k l a d 1: Nalezneme extrémy funkce f (x, y) = 3x − 2y + 4 na čtverci o vrcholech A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 2], D = [0, 2]. Jedná se o lineární funkci na konvexním mnohoúhelníku, zde čtyřúhelníku. Stačí tedy vypočítat funkční hodnoty ve všech vrcholech čtverce a vybrat největší – maximum funkce a nejmenší – minimum funkce: f (A) = f (0, 0) = 4,
f (B) = f (2, 0) = 10,
f (C) = f (2, 2) = 6,
f (D) = f (0, 2) = 0.
Funkce f nabývá svého maxima = 10 v bodě B = [2, 0], svého minima = 0 v bodě D = [0, 2].
21 P ř í k l a d 2: Nalezneme extrémy funkce f (x, y) = 2x + 3y − 5 na trojúhelníku o vrcholech A = [1, −1], B = [4, −3], C = [−1, −4].
Hledáme extrémy lineární funkce na konvexním mnohoúhelníku – vypočítáme funkční hodnoty ve vrcholech: f (A) = f (1, −1) = −6,
f (B) = f (4, −3) = −6,
f (C) = f (−1, −4) = −19.
Vidíme, že maximální hodnoty = −6 je nabýváno ve dvou vrcholech A, B – funkce nabývá tedy této maximální hodnoty na celé úsečce AB, tj. na množině popsané rovnicemi x = 1 + 3t, y = −1 − 2t, t ∈ h0, 1i, neboli na množině { [1 + 3t, −1 − 2t], t ∈ h0, 1i}. Funkce má minimum = −19 v bodě C. P o z n á m k a Zkoumání extrémů lineární funkce na konvexním polyedru je základní úlohou lineárního programování; konvexní polyedr lze totiž popsat soustavou lineárních rovnic nebo nerovnic. 11. Druhé parciální derivace funkce dvou proměnných Připomeňme, že 2. derivaci funkce jedné proměnné získáme zderivováním 1. derivace. Parciální derivace 2. řádu U funkce dvou proměnných je situace trochu složitější, protože máme dvě parciální derivace. Pokud je obě znovu parciálně zderivujeme, získáme čtyři parciální derivace 2. řádu (dále jen 2. parciální derivace). 2. parciální derivace funkce f podle proměnných x a y je parciální derivace podle proměnné y . Vypočteme ji tedy tak, že funkci f nejprve zderivujeme podle x a pak podle y. stanovená z funkce ∂f ∂x ∂2f Značí se (x, y), a platí: ∂x∂y ∂2f ∂ ∂f = . ∂x∂y ∂y ∂x Podobně získáme ostatní tři 2. parciální derivace: 2. parciální derivace funkce f podle proměnných y a x: ∂2f ∂ ∂f = . ∂y∂x ∂x ∂y 2. parciální derivace funkce f dvakrát podle proměnné x:
∂2f ∂ = ∂x2 ∂x
∂f . ∂x
2. parciální derivace funkce f dvakrát podle proměnné y:
∂2f ∂ = 2 ∂y ∂y
∂f . ∂y
P ř í k l a d 1: Stanovme všechny 2. parciální derivace funkce f (x, y) = x2 + xy 3 v bodě [3, 1]. Nejprve stanovíme 1. parciální derivace v obecném bodě [x, y]: ∂f ∂f (x, y) = 2x + y 3 , (x, y) = 3xy 2 . ∂x ∂y Odtud: ∂ ∂ 2f (x, y) = 2 ∂x ∂x
∂ ∂2f (x, y) = ∂y∂x ∂x
∂f ∂x
∂f ∂y
(x, y) = 2,
(x, y) = 3y 2 ,
∂2f ∂ (x, y) = ∂x∂y ∂y
∂ 2f ∂ (x, y) = 2 ∂y ∂y
∂f ∂x
∂f ∂y
(x, y) = 3y 2 .
(x, y) = 6xy.
22 Dosadíme bod [3, 1]: ∂2f (3, 1) = 3 · 12 = 3, ∂x∂y
∂ 2f (3, 1) = 2, ∂x2
∂2f (3, 1) = 3 · 12 = 3, ∂y∂x
∂2f (3, 1) = 6 · 3 · 1 = 18. ∂y 2
Pořadí derivování P o z n á m k a : Pokud jsou všechny druhé parciální derivace funkce f v okolí bodu [x, y] spojitými ∂2f ∂2f funkcemi, nezáleží při výpočtu druhé parciální derivace na pořadí derivování, tj. (x, y) = (x, y) ∂x∂y ∂y∂x (viz předchozí příklad). Hessova matice Druhé parciální derivace zapisujeme do tzv. Hessovy matice
Hf =
∂2 f , ∂x2 2 ∂ f , ∂y∂x
∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y 2
.
Podle předchozí poznámky je pro vhodné funkce Hessova matice symetrická podle hlavní diagonály. P ř í k l a d 2. Napišme Hessovu matici funkce f (x, y) = x2 + xy 3 v bodě [3, 1]. Použijeme výsledky z příkladu 1.
2, 3y 2 , 2, Dosazením získáme Hessovu matici v bodě [3, 1]: Hf (3, 1) = 3,
Hessova matice v obecném bodě [x, y] má tvar Hf (x, y) =
3y 2 . 6xy 3 . 18
12. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Na rozdíl od extrémů na množinách či globálních extrémů (popsaných v předchozích podkapitolách) není naším úkolem najít největší a nejmenší hodnotu funkce. Zajímá nás tvar grafu funkce, konkrétně místa, kde graf vytvoří ”kopečky” či ”prohlubně”. Funkce má v bodě C lokální maximum (minimum), má-li tam maximum (minimum) vzhledem k nějakému okolí bodu C (viz obr. 20.) Funkce musí být na příslušném okolí bodu C definovaná. Je tedy bod C určitě vnitřním bodem definičního oboru funkce. Nutná podmínka lokálního extrému Má-li funkce f lokální extrém v bodě C, ve kterém existují všechny parciální derivace, jsou nutně všechny parciální derivace v tomto bodě nulové9 (srovnejte s nutnou podmínkou extrému uvnitř množiny), tj. ∂f (C) = 0, ∂x
∂f (C) = 0, ∂y
pokud tyto derivace existují.
P o z n á m k a : Nulové hodnoty parciálních derivací jsou nutnou, ne však postačující podmínkou pro lokální extrém.10 . Pokud v takovém bodě lokální extrém nenastává (a 2. parciální derivace jsou v okolí tohoto bodu spojité), říkáme, že v tomto bodě nastává sedlo11 dané funkce (viz obr 19). 9 Neboli
derivace v bodě C je nulový vektor. s funkcemi jedné proměnné. 11 Tvar grafu v tomto bodě připomíná koňské sedlo. 10 Srovnejte
23
z O
x
x O
C
y
y Obr. 19
Obr.20
Podezřelé body Podezřelé body (z lokálních extrémů) jsou tedy body, ve kterých je každá parciální derivace nulová (nebo neexistuje12 ). Víme, ve kterých (podeřelých) bodech mohou lokální extrémy nastat. k rozhodnutí, ve kterých z nich nastávájí lokální extrémy a ve kterých sedla, budeme používat následující větu. Postačující podmínka lokálního extrému funkce dvou proměnných Nechť ve vnitřním bodě C definičního oboru funkce f platí ∂f (C) = 0 ∂y
∂f (C) = 0, ∂x
a funkce f má v okolí bodu C spojité 2. parciální derivace. (1) ”(a)” Pokud platí
∂2 f (C), ∂x2 ∂2 f (C), ∂y∂x
nastává v bodě C sedlo funkce f . (2) ”(b)” Pokud platí ∂2f ∂x2
(C) > 0
a
∂2 f (C) ∂x∂y ∂2 f (C) ∂y 2
∂2 f (C), ∂x2 2 ∂ f (C), ∂y∂x
∂2 f (C), ∂x2 ∂2 f (C), ∂y∂x
nastává v bodě C lokální minimum funkce f .
< 0,
> 0,
> 0,
∂2 f (C) ∂x∂y ∂2 f (C) 2 ∂y
(3) ”(c)” Pokud platí ∂2f (C) < 0 ∂x2
a
nastává v bodě C lokální maximum funkce f .
∂2 f (C) ∂x∂y ∂2 f (C) ∂y 2
P o z n á m k a : Na rozdíl od globálních extrémů se lokální extrémy neurčují výpočtem funkčních hodnot. Funkční hodnoty v lokálních extrémech většinou nestanovujeme. Mohou dokonce nastat případy, že funkční hodnota v lokálním maximu je menší než funkční hodnota téže funkce v lokálním minimu. 12 Příklady
tohoto typu přesahují rámec této publikace.
24 P o z n á m k a : Ve všech následujících příkladech mají zkoumané funkce spojité parciální derivace 2. řádu v celém D(f ). P ř í k l a d 1: Stanovme, ve kterých bodech nastávají lokální extrémy, resp. sedla funkce f (x, y) = −x2 + 2x − y 2 − 2y. Stanovme nejprve podezřelé body (obě parciální derivace položíme = 0): ∂f ∂f (x, y) = −2x + 2 = 0, (x, y) = −2y − 2 = 0. ∂x ∂y Soustava má jediné řešení C = [1, −1].
Matice druhých parciálních derivací má v tomto případě pro všechny body [x, y] stejný tvar
Hf (X) =
∂2 f , ∂x2 2 ∂ f , ∂y∂x
∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y 2
=
−2 0
0 −2
.
Platí
−2 0
∂2f (1, −1) = −2 < 0, ∂x2
0 = 4 > 0. −2
Podle postačující podmínky lokálního extrému nastává v bodě C = [1, −1] lokální maximum funkce f . P ř í k l a d 2: Stanovme, ve kterých bodech nastávají lokální extrémy, resp. sedla funkce f (x, y) = x3 − y 3 + 3xy. Stanovme nejprve podezřelé body: ∂f (x, y) = 3x2 + 3y = 0, ∂x
odtud
∂f (x, y) = −3y 2 + 3x = 0, ∂y
x2 + y = 0,
odtud
− y 2 + x = 0.
Soustavu řešíme dosazovací metodou: z druhé rovnice vypočteme x = y 2 a po dosazení do první rovnice dostáváme y 4 + y = 0 neboli y(y 3 + 1) = 0. Tedy y = 0 nebo y = −1. Soustava má dvě řešení: C1 = [0, 0],
C2 = [1, −1].
Nyní stanovíme matici druhých parciálních derivací:
Hf (X) =
∂2 f , ∂x2 ∂2 f , ∂y∂x
∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y 2
=
6x 3
3 −6y
.
V obou podezřelých bodech C1 = [0, 0], C2 = [1, −1] postupně stanovíme hodnotu determinantu Hessovy matice Hf (X):
∂2 f ∂x2
a hodnotu
Pro bod C1 = [0, 0] dostáváme ∂2f (0, 0) = 6 · 0 = 0, ∂x2 V bodě C1 = [0, 0] tedy nastává sedlo.
Hf (C1 ) = 0 3
3 = −9 < 0. 0
Pro bod C2 = [1, −1] dostáváme ∂2f (1, −1) = 6 · 1 = 6 > 0, ∂x2 V bodě C2 = [1, −1] tedy nastává lokální minimum.
Hf (C2 ) = 6 3
3 = 27 > 0. 6
P o z n á m k a : V případě, že determinant Hessovy matice je v uvažovaném bodě C nulový, nelze použít postačující podmínku lokálního extrému, extrém může (jako v následujícím příkladě) a nemusí v daném bodě nastat. P ř í k l a d 3: Stanovme, ve kterých bodech nastávají lokální extrémy, resp. sedla funkce
25 f (x, y) = x4 + y 4 . Stanovme nejprve podezřelé body: ∂f (x, y) = 4x3 = 0, ∂x
odtud
x = 0,
∂f (x, y) = 4y 3 = 0, ∂y
odtud
y = 0.
Podezřelým bodem je tedy bod C = [0, 0]. Nyní stanovíme matici druhých parciálních derivací:
Hf (X) =
∂2 f , ∂x2 2 ∂ f , ∂y∂x
∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y 2
=
12x2 , 0,
0 12y 2
.
Pro bod C1 = [0, 0] dostáváme ∂2f (0, 0) = 12 · 02 = 0, ∂x2
Hf (0, 0) = 0, 0,
0 = 0. 0
Postačující podmínku lokálního extrému nelze použít. Musíme postupovat jinak. Nejprve stanovíme funkční hodnotu v bodě [0, 0]: f (0, 0) = 04 + 04 = 0. Z funkčního předpisu je vidět, že v bodě [0, 0] nastává lokální (i globální) minimum, protože v každém jiném bodě je funkční hodnota kladná, tady větší než f (0, 0). Cvičení 1 Graficky znázorněte definiční obor funkce f v rovině souřadnicových os E2 a rozhodněte, zda daná množina je otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní: p 6
1 − x2 − y 2 , x2 + y 2
a)
f (x, y) =
c)
f (x, y) = y arcsin (y−x) ,
e)
f (x, y) =
p
5−y+
p
p
b)
f (x, y) = √ 3
d)
f (x, y) = p
√ √ y − 1 + 3 4 − x+ 1 + x.
y − x2 , y−x−1 ln(xy 2 ) 1 − x2 − y 2
,
2 Vypočítejte parciální derivace daných funkcí podle všech proměnných (pro všechny přípustné hodnoty x, y resp. x, y, z). √ a) f (x, y) = 2x3 y 4 + 6x2 y sin x c) f (x, y) = y2 e) f (x, y) = ex
3 2
y
g) f (x, y) = x2 y 3 ln (x2 y) i) f (x, y) = arctg
x y
k) f (x, y, z) = ye−x + z 2 sin x − xyz
b) f (x, y) = x2 e3y − y 3 ln x d) f (x, y) = ln (x2 + y 3 + 5) f) f (x, y) = x cos (xy) y ln y h) f (x, y) = 2x + 1 p j) f (x, y) = x3 y 5
l) f (x, y, z) = x3 ln (xy 2 z 3 )
3 Vypočítejte f ′ (C) pro danou funkci f a bod C. a) f (x, y) = 3x2 y 5 , C = [2, −1] p c) f (x, y) = x2 + 5y, C = [−2, 1] 2
e) f (x, y) = xy cos (2x + 3y),
C = [3, −2]
b) f (x, y) = y 2 ex + x3 ln y, 3x+y 2
d) f (x, y) = xe
2
, −x
f) f (x, y) = (x + y)e
C = [0, 1]
C = [−3, 3] ,
C = [−1, −3]
26 y , C = [−1, −3, 2] x h) f (x, y, z) = ln (x4 − 3y 2 + 2z 3 ), C = [1, 2, 2]
g) f (x, y, z) = x2 z 3 −
4 Stanovte vázané extrémy funkce f vzhledem k dané vazbě. a) f (x, y) = x2 − 2y 2 na přímce x − y − 1 = 0 √ b) f (x, y) = x − 2y + 1 na kružnici x2 + y 2 − 3 = 0
c) f (x, y) = exy na úsečce y − 3x − 1 = 0, x ∈ h−1, 3i y2 (x + 1)2 + =1 4 2 2 2 e) f (x, y) = x − 2y na kružnici x + y − 20 = 0 d) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) na elipse
x2 + y 2 na úsečce s krajními body A = [0, 1], B = [−1, 0] 2 g) f (x, y) = xy na části paraboly y − x2 + 3 = 0 ∧ x ∈ (−∞, 0i f) f (x, y) =
h) f (x, y, z) = x − 2y − z na kulové ploše x2 + y 2 + z 2 − 6 = 0
5 Stanovte globální extrémy funkce f vzhledem k dané množině. a) f (x, y) = 3x2 − y 2 na kruhu x2 + y 2 ≤ 9
y2 x2 + ≤1 4 9 c) f (x, y) = x2 + 3y 2 na množině dané podmínkou 3x2 + y 2 ≤ 12
b) f (x, y) = e−x
2
−y 2
na množině dané podmínkou
d) f (x, y) = exy na kruhu x2 + y 2 ≤ 8
e) f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 2y + 3 na množině dané podmínkou x2 + y 2 ≤ 8 ∧ y ≥ 0 f) f (x, y) = x2 + y 2 + xy + x + y na trojúhelníku (včetně vnitřku)
o vrcholech A = [−4, 0], B = [0, −4], C = [0, 0] 6 Stanovte globální extrémy dané lineární funkce vzhledem k dané množině. a) f (x, y) = x − 3y + 1 na úsečce s krajními body A = [2, 3], B = [−2, 1]
b) f (x, y) = 2x − y + 5 na trojúhelníku vymezeném osami x a y a přímkou y = −x + 3
c) f (x, y, z) = x + y − z na trojúhelníku o vrcholech A = [2, 2, 1], B = [0, 5, 2], C = [−1, 3, 4] d) f (x, y, z) = x − y + 3z na čtyřstěnu o vrcholech
A = [2, 0, 0], B = [1, 3, 0], C = [−1, −1, 0], D = [0, 0, 3]
7 Stanovte body podezřelé z extrému: a) c) e) g)
f (x, y) = xy 2 + 2y − x,
b)
f (x, y) = 16x4 − 8x2 + y 3 − 3y,
f)
f (x, y) = 2x2 − 8xy + y 2 ,
d)
f (x, y, z) = 4x2 z − 2xy − 4x2 − z 2 + y,
h)
f (x, y) = 5xy 2 − 20x − 3y 2 , f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy 2 ,
f (x, y) = 2y 2 x + 3x2 y − 4xy,
f (x, y, z) = 3(x2 + y 2 + z 2 ) − (x + y + z)2 .
8 Určete body, ve kterých nastávají lokální extrémy a sedla funkce f : a) f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 6x − 9y 4
2
c) f (x, y) = y + 32x − 32xy e) f (x, y) = (x + 1)2 + y 2 g) f (x, y) = y 2 ln x − 4x
b) f (x, y) = x2 + y 2 − 2x
d) f (x, y) = x − y 2 − ex−2y
f) f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy + 15
h) f (x, y) = 3x(y 2 + 1) − 6x
27 x3 + y + ln(x − y) 3 k) f (x, y) = ey (x2 + y 2 )
i) f (x, y) = −
j) f (x, y) = x2 +
2y 2 + 4y x
Výsledky 1
O O
O
O
O O
Obr. 21 a) b) c) d) e)
D(f ) není otevřená, není uzavřená, je omezená, není kompaktní
D(f ) není otevřená, není uzavřená, není omezená, není kompaktní
D(f ) není otevřená, není uzavřená, není omezená, není kompaktní D(f ) je otevřená, není uzavřená, je omezená, není kompaktní
D(f ) není otevřená, je uzavřená, je omezená, je kompaktní
2 √ ∂f x2 (x, y) = 6x2 y 4 + 12x y, ∂f (x, y) = 8x3 y 3 + 3 √ , ∂x ∂y y 3 (x, y) = 2xe3y − yx , ∂f (x, y) = 3x2 e3y − 3y 2 ln x, b) ∂f ∂x ∂y x x c) ∂f , ∂f , (x, y) = cos (x, y) = −2ysin 3 ∂x ∂y y2 ∂f ∂f 3y 2 2x d) ∂x (x, y) = x2 +y3 +5 , ∂y (x, y) = x2 +y3 +5 , 3 2 3 2 (x, y) = 3x2 y 2 ex y , ∂f (x, y) = 2x3 yex y , e) ∂f ∂x ∂y f) ∂f (x, y) = cos(xy) − xy sin(xy), ∂f (x, y) = −x2 sin(xy), ∂x ∂y ∂f ∂f g) ∂x (x, y) = 2xy 3 ln(x2 y) + 2xy 3 , ∂y (x, y) = 3x2 y 2 ln(x2 y) + x2 y 2 , ∂f −2y ln y y+1 h) ∂f (x, y) = (2x+1) (x, y) = ln , 2, ∂x ∂y 2x+1 ∂f y ∂f −x i) ∂x (x, y) = y2 +x2 , ∂y (x, y) = y2 +x2 , 2 5 3 4 √ y , ∂f √ y , j) ∂f (x, y) = 3x (x, y) = 5x ∂x ∂y 3 5 2 x y 2 x3 y 5 ∂f −x 2 + z cos x − yz, ∂f (x, y) = e−x − xz, ∂f (x, y) k) ∂x (x, y) = −ye ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f 2x3 3x3 2 2 3 2 l) ∂x (x, y) = 3x ln(xy z ) + x , ∂y (x, y) = y , ∂z (x, y) = z
a)
= 2z sin x − xy,
3 a) f ′ (C) = (−12, 60), d) f ′ (C) = (−8, −18), g) f ′ (C) = (−19, 1, 12),
b) f ′ (C) = (1, 2), c) f ′ (C) = (− 23 , 65 ), ′ e) f (C) = (4, −12), f) f ′ (C) = (0, e), 12 24 4 ′ h) f (C) = ( 5 , − 5 , 5 )
28 4 a) vázané minimum neexistuje, v bodě [2, 1] je vázané maximum = 2 h h √ i √ i b) v bodě −1, 2 je vázané minimum = −2, v bodě 1, − 2 je vázané maximum = 4 1 1 1 je vázané minimum = e− 12 , v bodě [3, 10] je vázané maximum = e30 c) v bodě − , 6 2 d) v bodě [1, 0] je vázané minimum = 0, v bodě [−3, 0] je vázané maximum = ln 9 e) v bodě [−2, 4] je vázané minimum = −10, v bodě [2, −4] je vázané maximum = 10 2 1 1 f) v bodě − , je vázané minimum = , v bodě [0, 1] je vázané maximum = 1 3 3 3 g) vázané minimum neexistuje, v bodě [−1, −2] je vázané maximum = 2
h) v bodě [−1, 2, 1] je vázané minimum = −6, v bodě [1, −2, −1] je vázané maximum = 6 5 a) v bodě [0, 3] a [0, −3] je globální minimum = −9, v bodě [3, 0] a [−3, 0] je globální maximum = 27
b) v bodě [0, 3] a [0, −3] je globální minimum = e−9 , v bodě [0, 0] je globální maximum = 1 √ √ c) v bodě [0, 0] je globální minimum = 0, v bodech [0, 12] a [0, − 12] je globální maximum = 36 d) v bodech [2, −2] a [−2, 2] je globální minimum = e−4 ,
v bodech [2, 2] a [−2, −2] je globální maximum = e4 √ √ e) v bodě [1, 1] je globální minimum = 1, v bodě [− 8, 0] je globální maximum = 11 + 2 8 1 1 1 f) v bodě − , − je globální minimum = − , v bodě [−4, 0] a [0, −4] je globální maximum = 12 3 3 3 6
a) v bodě [2, 3] je globální minimum = −6, v bodě [−2, 1] je globální maximum = −4
b) v bodě [0, 3] je globální minimum = 2, v bodě [3, 0] je globální maximum = 11
c) v bodě [−1, 3, 4] je globální minimum = −2, ve všech bodech úsečky AB je globální maximum = 3
d) v bodě [1, 3, 0] je globální minimum = −2, v bodě [0, 0, 3] je globální maximum = 9 7 3 3 [−1, 1], [1, −1], b) ,2 , , −2 , c) [0, 0], 5 5 1 1 1 1 e) ,1 , − ,1 , , −1 , − , −1 , [0, 1], [0, −1], 2 2 2 2 1 4 1 4 2 f) [0, 0], [0, 2], , g) , h) ,0 , , , −1, 3 9 3 2 2 a)
8 a) LOMIN v [1, 4], b) LOMIN v [1, 0], c) sedlo v [0, 0], LOMIN v [1, 2] a v [−1, −2], d) LOMAX v [2, 1],
e) LOMIN v [−1, 0],
d)
[0, 0],
[t, t, t], t ∈ R .
29 f) sedlo v [0, 0], LOMIN v [3, 3], g) sedla v [1, 2] a v [1, −2],
h) sedla v [0, 1, ] a v [0, −1],
i) sedlo v [−1, −2], LOMAX v [1, 0], j) LOMIN v [1, −1],
k) sedlo v [0, −2], LOMIN v [0, 0].
