Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok sz´am´ıt´og´epes modellez´ese k´ezirat

Kun Ferenc

Debreceni Egyetem Elm´eleti Fizikai Tansz´ek Debrecen 2001

Determinisztikus folyamatok

2

Tartalomjegyz´ ek 1. Determinisztikus folyamatok

5

2. T¨ omegpont mozg´ asa 7 2.1. A dinamika alapt¨orv´enye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Differenci´ alegyenletek ´ es egyenlet rendszerek numerikus megold´ asa 15 3.1. Euler-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Hibaanal´ızis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1. Lok´alis ´es glob´alis hiba . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.2. Algoritmus stabilit´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Tov´abbi elj´ar´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.1. M´asodrend˝ u Runge-Kutta m´odszer . . . . . . . . . . . 26 3.3.2. Negyedrend˝ u Runge-Kutta m´odszer . . . . . . . . . . . 27 3.3.3. Verlet-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.4. Prediktor-Korrektor (j´osl´o-korrig´al´o) m´odszer . . . . . 29 3.4. Az algoritmus pontoss´ag´ar´ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Rezg˝ omozg´ as 4.1. Harm´onikus rezg˝omozg´as . . . 4.2. Csillapod´o rezg´es . . . . . . . 4.3. K´enyszerrezg´es, rezonancia . . 4.3.1. Feladatok . . . . . . . 4.4. Az anharm´onikus rezg˝omozg´as

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

33 33 36 40 43 44

5. T¨ omegpontrendszerek mechanik´ aja 47 5.1. T¨omegpontrendszer mozg´asegyenletei . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2. Gravit´aci´os dinamika: a bolyg´ok mozg´asa . . . . . . . . . . . . 51 3

Determinisztikus folyamatok 5.2.1. A bolyg´omozg´as t¨orv´enyszer˝ us´egei . . 5.2.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Nap-F¨old-Jupiter rendszer vizsg´alata 5.2.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . ¨ oz´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Utk¨ ¨ oz´esek t¨orv´enyszer˝ 5.3.1. Utk¨ us´egei . . . . . 5.3.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

53 57 59 62 63 64 70

6. F¨ uggel´ ek 6.1. Az anharm.exe program kezel´ese . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Az orbiter.exe program kezel´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. A collision.exe program haszn´alata . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 76 78

4

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

1. fejezet Determinisztikus folyamatok A determinisztikusnak nevezz¨ uk azokat a folyamatokat, amelyek id˝ofejl˝od´ese determinisztikus, azaz ismerve a rendszer egy adott id˝opillanatbeli a´llapot´at ´es a mozg´as´anak t¨orv´enyeit a rendszer a´llapota tetsz˝oleges k´es˝obbi ´es kor´abbi id˝opillanatban meghat´arozhat´o. Ilyen determinisztikus folyamatok a fizik´aban a klasszikus mechanika a´ltal vizsg´alt anyagi testek mozg´asai. A Determinisztikus folyamatok sz´ am´ıt´ og´epes modellez´ese c´ım˝ u t´argy keret´eben a klasszikus mechanikai mozg´asok kinematik´aj´aval ´es dinamik´aj´aval foglalkozunk. A kinematika csup´an a mozg´as le´ır´as´aval foglalkozik, a mozg´asokat o¨nmagukban, keletkez´es¨ ukre val´o tekintet n´elk¨ ul vizsg´alja, m´ıg a dinamika az egyes mozg´asform´ak keletkez´es´enek okait kutatja. A klasszikus mechanikai mozg´asokat Newton m´asodik t¨orv´eny´ere ´ep¨ ul˝o mozg´asegyenletek megold´as´aval kapjuk. A determinisztikus mozg´asok mozg´asegyenletei matematikai szerkezet¨ uket tekintve k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek, illetve egyenlet rendszerek. A legegyszer˝ ubb esetekt˝ol eltekintve, ezeket a differenci´alegyenleteket nem tudjuk analitikus eszk¨oz¨okkel megoldani, ez´ert sz´ am´ıt´ og´epes modellez´est v´egz¨ unk, az egyenletek numerikus megold´as´at keresve. Anyagi testek mozg´asainak tanulm´anyoz´asa sor´an az egyszer˝ ubb rendszerekt˝ol haladunk a bonyolultabbak fel´e. Ha a test m´eretei elhanyagolhat´oak a mozg´asa sor´an fell´ep˝o m´eretekhez k´epest, akkor a test mozg´asa reprezent´alhat´o egyetlen pontj´anak mozg´as´aval. Ilyenkor a kiterjedt testet anyagi pontnak, t¨ omegpontnak tekintj¨ uk. A defin´ıci´ob´ol l´athat´o, hogy az, hogy egy testet t¨omegpontnak tekinthet¨ unk-e az att´ol is f¨ ugg, hogy az illet˝o testnek milyen mozg´as´at vizsg´aljuk. Ha a F¨oldnek a Nap k¨oz¨ uli mozg´as´at tanulm´anyozzuk, akkor a p´alya m´eretei miatt a F¨old reprezent´alhat´o egyetlen ponttal. Viszont ha a F¨old forg´as´ara vagyunk kiv´ancsiak, akkor mint kiterjedt objektumot kell vizsg´alnunk. A t¨omegpont teh´at a val´os testeknek egy absztrakci´oja, modellje. A t¨omegpont mozg´as´anak le´ır´asa viszonylag egyszer˝ u, mert nem kell foglalkoznunk az testek v´eges kiterjed´ese okozta 5

Determinisztikus folyamatok bonyadalmakkal. Vizsg´al´od´asaink k¨ovetkez˝o l´ep´esek´ent t¨obb t¨omegpontb´ol a´ll´o, u ´ gynevezett t¨ omegpont rendszerekkel fogunk foglalkozni. A t¨ omegpont rendszerek speci´alis esetek´ent kapjuk majd a merev testeket. A kiterjedt merev test egy olyan t¨omegpont rendszer, amely pontjainak egym´ashoz viszony´ıtott t´avols´aga a pontrendszer mozg´asa sor´an a´lland´o. A jegyzet v´eg´en pedig olyan testek mozg´asait vizsg´aljuk, amelyek deform´al´odhatnak is.

6

2. fejezet T¨ omegpont mozg´ asa Els˝ok´ent a legegyszer˝ ubb mechanikai rendszerrel, a t¨omegponttal foglalkozunk. A t¨omegpont mozg´as´anak le´ır´asa azt jelenti, hogy a t¨omegpontnak egy masik testhez viszony´ıtott hely´et b´armelyik id˝opilanatban meg tudjuk mondani. A tov´abbiakban ezt fogalmazzuk meg egy kicsit pontosabban. A t¨omegpont pillanatnyi hely´et a t´erben az ~r helyvektorral jellemezz¨ uk, amelyet egy O referencia pontt´ol m´er¨ unk. A t¨omegpont az O referencia ponthoz k´epest nyugalomban van, ha az ~r helyvektor id˝oben a´lland´o, s mozog, ha ~r v´altozik. A t¨omegpont mozg´as´at ismerj¨ uk, ha ismerj¨ uk az ~r(t) f¨ uggv´enyt, amelyet p´ alyag¨ orb´ enek nevezz¨ unk ´es felt´etelezz¨ uk, hogy sima f¨ uggv´eny. A klasszikus mechanika c´elja az, hogy egy adott rendszerre, adott k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott meghat´arozzuk az ~r − t f¨ uggv´enykapcsolatot. t¨omegpont

∆~r(t1 , t2 )

p´alya

PSfrag replacements

~r(t1 ) ~r(t2 )

O referencia pont

2.1. a´bra. A helyvektor ´es a p´alya illusztr´aci´oja.

Tov´abbi fontos alapfogalmak 7

t¨omegpont Elmozdul´ as: A t1 < t2 id˝opillanatp´arhoz tartoz´o elmozdul´as ∆~r(t1 , t2 ) = ~r(t2 ) − ~r(t1 ).

(2.1)

Sebess´ eg: a t¨omegpont t pillanatbeli sebess´ege ~v (t) a p´alyaf¨ uggv´eny differenci´alh´anyadosa ~v (t) =

d~r(t) ; dt

~v (t) = ~r˙ (t).

(2.2)

´ a t1 < t2 id˝opillanatok k¨oz¨ott megtett u Ut: ´ t s(t1 , t2 ) az ~r(t) f¨ uggv´eny ~r(t1 ) ´es ~r(t2 ) pontjai k¨oz´e es˝o ´ıv´enek hossza, azaz Z

s(t1 , t2 ) =

Z

s(t1 , t2 ) =

t2 t1 t2 t1

d~ r(t) dt, dt

(2.3)

|~v (t)| dt

(2.4)

Az 2.4 egyenlet alapj´an l´athat´o, hogy a t1 < t2 id˝opillanatok k¨oz¨ott megtett u ´ t a sebess´egnagys´ag-id˝o f¨ uggv´eny integr´alja, azaz a |~v (t)| g¨orbe alatti ter¨ ulet. P´elda:

a)

b)

PSfrag replacements v(t)

v(t)

t1

t2

t1

t

t∗

t2

t

2.2. a´bra. Sebess´egnagys´ag-id˝o f¨ uggv´enyek. Az a) a´br´an a t¨omegpont a´lland´o nagys´ag´ u sebess´eggel mozog, a b) a´br´an viszont a t1 − t∗ id˝ointervallumban a sebess´eg line´arisan n˝ott, majd be´allt egy konstans ´ert´ekre. Lend¨ ulet: t¨omegpont lend¨ ulete p~ = m~v .

(2.5)

Gyorsul´ as: a t¨omegpont gyorsul´asa ~a =

d2~r(t) , dt2

azaz ~a = ~v˙ (t)

´ Erdekesebb speci´alis esetek: 8

(2.6)

t¨omegpont • A ~r(t) helyvektor p´arhuzamos a ~v (t) sebess´eg vektorral, akkor a p´alyag¨orbe az O referencia pontra illeszked˝o ~r(to ) ir´any´ u egyenes. • Ha a ~v (t) sebess´eg vektor p´arhuzamos az ~a(t) gyorsul]´assal, akkor a p´alyag¨orbe az ~r(to ) pontra illeszked˝o ~v (to ) ir´any´ u egyenes. Gyors´ıt´asr´ol (lass´ıt´asr´ol) besz´el¨ unk, ha a t¨omegpont sebess´eg´enek nagys´aga n˝o (cs¨okken).

PSfrag replacements

m

z ~r

~e3

y

O

~e2

~e1

x

2.3. a´bra. koordin´atarendszer defin´ıci´oja. A mozg´as le´ır´as´ara az O referencia ponthoz koordin´atarendszert r¨ogz´ıt¨ unk. Az O pontot orig´onak nevezz¨ uk, a koordinata tengelyeket pedig az O-hoz r¨ogz´ıtett ~eα b´azisvektorok jel¨olik ki. A koordinatarendszer¨ unkben az ~r(t) vektort a 



x(t)   ~r(t) =  y(t)  z(t) koordin´at´akkal jellemezz¨ uk, amelyek az id˝o f¨ uggv´enyei. Ehhez hasonl´oan a sebess´eg ´es gyorsul´as komponensei 

~v (t) =

         

dx(t) vx (t) = dt dy(t) vy (t) = dt dz(t) vz (t) = dt



     ,    



~a(t) =

9

d2 x(t) dt2 d2 y(t) ay (t) = dt2 d2 z(t) az (t) = dt2

 ax (t) =         



     .    

t¨omegpont Mozg´ asi energia: az m t¨omeg˝ u v sebess´eggel mozg´o t¨omegpont mozg´asi energi´aja: 1 Emozg = mv 2 . 2

2.1.

(2.7)

A dinamika alapt¨ orv´ enye

A dinamika alapt¨orv´enye szerint a t¨omegpont mozg´as´at a k¨ornyezete hat´arozza meg u ´ gy, hogy megadja a t¨omegpont lend¨ ulet´enek v´altoz´asi gyorsas´ag´at p~˙ = F~ ,

(2.8)

ahol F~ = F~ (~r, ~v , t) ismertnek felt´etelezett f¨ uggv´eny, amely a k¨ornyezetnek ´ a vizsg´alt testre kifejtett hat´as´at jellemzi. Altal´ anos esetben F~ f¨ ugghet a t¨omegpont ~r hely´et˝ol, ~v sebess´eg´et˝ol ´es a t id˝ot˝ol. Behelyettes´ıtve a lend¨ ulet defin´ıci´oj´at a k¨ovetkez˝o alakra jutunk d~ p d(m~v ) d~v p~˙ = = =m , dt dt dt d2~r m 2 = F~ . dt

(2.9) (2.10)

Az 2.10 egyenlet az ~r(t) f¨ uggv´enyre m´asodrend˝ u k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet

m

d2~r(t) = F~ . dt2

(2.11)

Ebb˝ol az egyenletb˝ol, ismerve a k¨ornyezet hat´as´at a vizsg´alt testre ( F~ ), meghat´arozhat´o a test mozg´asa, azaz az ~r(t) f¨ uggv´eny, ez´ert a 2.10 egyenletet mozg´asegyenletnek nevezz¨ uk. Az egyenlet megold´as´anak egy´ertelm˝ u meghat´aroz´as´ahoz kezd˝ofelt´etelek megad´asa sz¨ uks´eges. M´asodrend˝ u differenci´alegyenletr˝ol l´ev´en sz´o, meg kell adnunk egy to id˝opillanatban a nulladik ´es az els˝o deriv´alt ´ert´ek´et, azaz a helyvektort ~r(to ) ´es a sebess´egvektort ~v (to ) a to id˝opillanatban. Egy koordin´ata rendszerben a 2.11 mozg´asegyenlet h´arom darab differenci´alegyenletre esik sz´et, amelyek csatolt differenci´alegyenletrendszert is alkothatnak m¨ x = Fx (x, y, z, vx , vy , vz , t), m¨ y = Fy (x, y, z, vx , vy , vz , t), m¨ z = Fz (x, y, z, vx , vy , vz , t). 10

(2.12) (2.13)

t¨omegpont A egyenletek csatol´asa azt jelenti, hogy az x koordin´at´ara vonatkoz´o egyenletben szerepl˝o Fx er˝okomponens nemcsak x-t˝ol, hanem az o¨sszes t¨obbi koordin´at´at´ol ´es sebess´egkomponenst˝ol f¨ ugghet. Igy a h´arom egyenletet a´ltal´aban nem lehet egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul megoldani. Az egyes konkr´et fizikai esetek, ~ rendszerek az F alakj´aban k¨ ul¨onb¨oznek. A tov´abbiakban egyszer˝ u, speci´alis eseteket vizsg´alunk, egyszer˝ u er˝o alakok mellett keress¨ uk a mozg´asegyenlet megold´as´at. P´ eld´ ak: Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert egydimenzi´os, azaz egyenes ment´en t¨ort´en˝o mozg´asokat tekint¨ unk. Ilyenkor a 2.13 egyenletrendszerb˝ol csak egyetlen egyenlet¨ unk marad. • nem hat er˝o: F=0. PSfrag replacements vo

O

x

xo 2.4. a´bra. A referencia pont, a koordin´atarendszer ´es a kezd˝ofelt´etelek illusztr´aci´oja.

Az O referencia pontot a kezd˝osebess´eg a´ltal meghat´arozott egyenesen felv´eve, s a koordin´atarendszer x tengely´et ~vo -al p´arhuzamosan ir´any´ıtva (l´asd az 2.4 a´br´at) az 2.13 egyenletrendszerb˝ol egyetlen egyenlet marad: m¨ x = 0.

(2.14)

Az egyenlet megold´as´at k´etszeri integr´al´assal kapjuk x(t) ˙ = C1 , x(t) = C1 t + C2 .

(2.15) (2.16)

A megold´asf¨ uggv´enyben szerepl˝o konstansokat a kezd˝ofelt´etelekb˝ol lehet meghat´arozni. A t = 0 id˝opillanatban a kezdeti koordin´ata xo a kezd˝osebess´eg ´ert´eke pedig vo . Behelyettes´ıtve a fenti egyenletekbe ad´odik C1 = vo , C2 = xo . Teh´at azt kaptuk, hogy v(t) = vo ´es x(t) = xo + vo t, a t¨omegpont egyenesvonal´ u egyenletes mozg´ast v´egez. 11

t¨omegpont • mozg´as konstans er˝o hat´asa alatt: F~ = F~o ´es F~o ||~vo .

A referencia pontot ´es a koordin´ata rendszert az el˝oz˝o feladathoz hasonl´oan felvehetj¨ uk, ´ıgy ism´et egy egyv´altoz´os probl´em´aval a´llunk szemben. A mozg´asegyenlet most m¨ x = Fo

(2.17)

alak´ u. A mozg´asegyenlet megold´as´at az el˝oz˝o esethez hasonl´oan k´etszeri integr´al´assal kapjuk meg Fo t + C1 , (2.18) m 1 Fo 2 x(t) = t + C1 t + C2 . (2.19) 2m A C1 , C2 konstansokat ism´etelten a kezd˝ofelt´etelekb˝ol hat´arozhatjuk meg, C1 = vo , C2 = xo . x(t) ´es v(t) alakj´at a 2.5 ´es 2.8 a´bra illusztr´alja. x(t) ˙ =

7

25

6 20

15

4

x(t)

v(t)

5

3

10

2 5 1 0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0 0.0

5.0

0.5

t

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

t

2.5. a´bra. A t¨omegpont sebess´ege az id˝onek line´aris f¨ ugv´enye.

2.6. a´bra. Az x(t) f¨ uggv´eny egy parabola.

• f´ekez˝o er˝o: F = −αv.

Az er˝o kifejez´es´eben a negat´ıv el˝ojel azt fejezi ki, hogy az er˝o ellent´etes ir´any´ u a sebess´eggel. A mozg´asegyenlet a k¨ovetkez˝o alak´ u lesz m¨ x = −αv = −αx˙

(2.20)

Ez m´asodrend˝ u egyenlet x-re, de bevezetve a sebess´eget, mint f¨ uggetlen v´altoz´ot, reduk´alhat´o els˝orend˝ u egyenlett´e dv α = − v. dt m 12

(2.21)

t¨omegpont Ez m´ar egy egyszer˝ u sz´etv´alaszthat´o v´altoz´oj´ u differenci´alegyenlet, amelynek megold´asa Z

α dv =− v m

Z

dt + C.

(2.22)

Az integr´al´ast elv´egezve ´es a konstans ´ert´ek´et a kezd˝ofelt´etelekb˝ol meghat´arozva kapjuk α t + C, m α v = v o e− m t .

ln v = −

L´athat´o, hogy a sebess´eg a f´ekez˝o er˝o hat´as´ara a kezdeti v o ´ert´ekr˝ol exponenci´alisan cs¨okken. A cs¨okken´es gyorsas´ag´at az α f´ekez´esi egy¨ utthat´o ´es az m t¨omeg h´anyadosa hat´arozza meg. A helykoordin´ata meghat´aroz´as´ahoz a sebess´eg id˝o f¨ uggv´enyt integr´aljuk α dx = v o e− m t , dt m α x(t) = −vo e− m t + C, α  α m x(t) = xo + vo 1 − e− m t . α

v=

Az x(t) ´es v(t) f¨ uggv´enyeket az a´bra illusztr´alja. 2.0 1.8 2.0

1.6 1.4

1.5

x(t)

v(t)

1.2 1.0 0.8

1.0

0.6 0.5

0.4 0.2 0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.0 0.0

5.0

t

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

t

2.7. a´bra. A sebess´eg exponenci´alisan tart null´ahoz.

2.8. a´bra. Az x(t) egy konstanshoz tart.

13

t¨omegpont

2.2.

Feladatok

1. Hat´arozzuk meg az 2.2 a´br´an l´athat´o k´et sebess´eg-id˝o f¨ uggv´eny eset´en a t1 , t2 id˝ointervallumban megtett utat. 2. Egy t¨omegpont mozg´asa k¨ozben helyvektor´anak abszol´ ut ´ert´eke a´lland´o. Hat´arozzuk meg, milyen sz¨oget z´ar be a helyvektor a sebess´egvektorral! 3. vo sebess´eggel rep¨ ul egy rep¨ ul˝og´ep. Rak´et´aval akarjuk lel˝oni. A rak´eta vr sebess´eggel k´epes haladni, ´es mindig u ´ gy mozog, hogy sebess´egvektora a rep¨ ul˝og´ep fel´e mutat. Hat´arozzuk meg, hogy a rak´eta milyen p´aly´an mozog a becsap´od´asig! 4. Villamos meg´all´asakor a vezet˝o folyamatosan cs¨okkenti a szerelv´enyre hat´o h´ uz´oer˝ot. Tegy¨ uk fel, hogy az er˝o cs¨okken´ese id˝oben line´aris, azaz F (t) = Fo −kt, ahol k egy konstans. Hat´arozzuk meg a le´all´asig megtett utat! 5. Az el˝oz˝oekben k¨ ul¨on-k¨ ul¨on vizsg´altuk egy test mozg´as´at konstans er˝o ´es csak sebess´egt˝ol f¨ ugg˝o f´ekez˝o er˝o hat´asa alatt. Ha egy testre egyszerre hat egy konstans nagys´ag´ u er˝o ´es egy f´ekez˝oer˝o, mozg´asegyenlete a k¨ovetkez˝o: m¨ x = Fo − αv. Elemezz¨ uk a mozg´ast! Mekkora sebess´egre gyorsulhat fel a test? 6. Er˝os sz´elben egy k¨onnyen cs´ usz´o test a sz´el hat´as´ara mozg´asba j¨on. A test mozg´asegyenlete m¨ x = α(vsz − v) alak´ u, ahol vsz jel¨oli a sz´el sebess´eg´et, v pedig a vizsg´alt test sebess´ege. Oldjuk meg az egyenletet vo = 0 kezd˝ofelt´etel eset´en! Mekkora sebess´egre gyorsulhat fel a test? 7. Az eddigiek alapj´an vizsg´aljuk a ferde hajit´ast leveg˝oben! Milyen sz¨og alatt kell leveg˝oben r¨ogz´ıtett vo sebess´eggel eldobni egy k¨ovet, hogy legmesszebb rep¨ ulj¨on?

14

3. fejezet Differenci´ alegyenletek ´ es egyenlet rendszerek numerikus megold´ asa A klasszikus mechanik´aban a mozg´ast a Newton t¨orv´enyek alapj´an differenci´alegyenletekkel, vagy egyenlet rendszerekkel irjuk le. A 2.11 mozg´asegyenlet matematikai form´aj´at tekintve egy k¨oz¨ons´eges, m´asodrend˝ u differenci´alegyenlet az ~r(t) p´alyaf¨ uggv´enyre. Az el˝oz˝o fejezetben l´attuk, hogy a mozg´asegyenletet csak a legegyszer˝ ubb esetekben, az F~ (~r, ~v , t) legegyszer˝ ubb alakjai mellett lehet analitikusan megoldani. A komplik´alt, de ´erdekes, esetleg a gyakorlat sz´am´ara is fontos esetekben a mozg´asegyenletet csak numerikusan tudjuk kezelni. Az egyetlen t¨omegpont mozg´as´at le´ır´o mozg´asegyenlet a´ltal´anos alakja a k¨ovetkez˝o m~¨r = F~ (~r, ~v , t),

(3.1)

amelynek egy´ertelm˝ u megold´as´ahoz meg kell adjuk a t0 kezdeti id˝opillanathoz tartoz´o ~ro kezdeti hely ´es a ~vo kezdeti sebess´eg ´ert´ek´et. A numerikus elj´ar´asok ismertet´es´ehez, az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert, egydimenzi´os, egyenes ment´en t¨ort´en˝o mozg´asokat tekint¨ unk, azaz az m¨ x = F (x, v, t)

(3.2)

egyenlet numerikus megold´as´aval foglalkozunk. A feladatunk teh´at az, hogy ismert F (x, v, t) eset´en hat´arozzuk meg az x(t) f¨ uggv´enyt. A tanultakat a fejezet v´eg´en a´ltal´anos´ıtjuk tetsz˝oleges dimenzi´osz´amra. K¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek numerikus megold´asi elj´ar´asai az u ´ gynevezett v´eges differencia m´odszerre ´ep¨ ulnek. Ezek alapgondolata, hogy az 15

Euler-m´ odszer

v v(t + ∆t) v(t)

PSfrag replacements

t

t + ∆t

t

3.1. a´bra. Az Euler-m´odszer szeml´eltet´ese. L´athat´o, hogy v(t)∆t egyenl˝o a t´eglalap ter¨ ulet´evel.

id˝ot, mint f¨ uggetlen v´altoz´ot, diszkretiz´aljuk ´es a megold´asf¨ uggv´enyt a csonkolt Taylor-sor´aval k¨ozel´ıtj¨ uk.

3.1.

Euler-m´ odszer

A legegyszer¨ ubb v´eges differencia m´odszer az Euler m´odszer. Ehhez tekints¨ uk az 3.2 egyenlet x(t) megold´asf¨ uggv´eny´enek Taylor-sor´at:



dx 1 d2 x 2 x(t + ∆t) = x(t) + ∆t + ∆t + . . . 2 dt t 2 dt t

(3.3)

Az Euler-m´odszern´el a Taylor sort az els˝o deriv´altat tartalmaz´o tag ut´an csonkoljuk, azaz a x(t + ∆t) = x(t) + v(t)∆t

(3.4)

k¨ozel´ıt´essel ´el¨ unk. Ez azt jelenti, hogy x-nek a t + ∆t-ben felvett x(t + ∆t) ´ert´ek´et x(t) ´es v(t) ismeret´eben k¨ozel´ıtj¨ uk u ´ gy, hogy a ∆t intervallumon x(t)t egyenessel helyettes´ıtj¨ uk. Mivel x(t) a v(t) f¨ uggv´eny id˝o szerinti integr´alja, az Euler-m´odszer az 3.1 a´bra alapj´an ekvivalens azzal, hogy v(t) integr´al´as´at t´eglalap m´odszerrel v´egezz¨ uk. 16

Euler-m´ odszer Hasonl´o k¨ozel´ıt´essel ´el¨ unk a sebess´egre is, ´ıgy teh´at a numerikus megold´ashoz az iter´aland´o egyenletrendszer x(t + ∆t) = x(t) + x(t)∆t, ˙ v(t + ∆t) = v(t) + v(t) ˙ ∆t,

(3.5) (3.6)

|{z} a(t)

alak´ u lesz. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a 3.5 iter´aci´os egyenletek alakja a´ltal´anos, f¨ uggetlen mag´at´ol a megoldand´o differenci´alegyenlett˝ol. A megoldand´o difo¨sszef¨ ugg´esen kereszt¨ ul ferenci´alegyenlet konkr´et alakja az a(t) = F (x(t),v(t),t) m a m´asodik iter´aci´os egyenletben jelenik meg. Az egyenletek jobb oldal´an csak t id˝opillanatbeli mennyis´egek (x(t), v(t)) a´llnak, s ezek birtok´aban a´ll´ıtjuk el˝o a k´es˝obbi, t + ∆t-beli ´ert´ekeket. Az i-edik iter´aci´os l´ep´esben az iter´aland´o egyenletek teh´at, amelyekkel ak´ar m´ar sz´am´ıt´og´epes programot is ´ırhatunk: F (xi , vi , ti ) , m = ti + ∆t, = xi + vi ∆t, = vi + ai ∆t.

ai = ti+1 xi+1 vi+1

(3.7)

A megold´ashoz kezd˝ofelt´etelek megad´asa sz¨ uks´eges x(to ), v(to ). P´ elda: Tekints¨ uk a rezg˝omozg´ast le´ır´o differenci´alegyenletet: m¨ x = −Dx az x(to = 0) = A ´es v(to = 0) = 0 kezd˝ofelt´etelekkel. Az iter´aland´o egyenletrendszert u ´ gy kapjuk, hogy a 3.7 egyenletrendszerben ai hely´ere ai = −Dxi /m-et helyettes´ıt¨ unk. A 3.7 egyenletek alapj´an a megold´as programlist´aja a k¨ovetkez˝o lehet D = 2 // rugoallando m = 1 // a tomegpont tomege x0 = 0.5 v0 = 0.0 x[0] = x0 // kezdeti koordinata v[0] = v0 // kezdeti sebesseg dt = 0.01 for (i = 0 <= N-1) // N iteracios lepest vegzunk 17

Hiba

Euler-m´ odszer { a[i] x[i+1] v[i+1] t }

= = = =

-D*x[i]/m x[i] + v[i]*dt v[i] + a[i]*dt t + dt

A programmal kapott numerikus eredm´enyeknek az analitikus megold´assal t¨ort´en˝o o¨sszevet´es´et a 3.2 a´bra mutatja. A k¨ovetkez˝okben a numerikus meg1200

analitikus megoldas Euler-modszer

1000

x(t)

800

600

400

200

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t 3.2. a´bra. Az analitikus ´es numerikus megold´as o¨sszehasonl´ıt´asa. A k´et g¨orbe elt´er´ese, k¨ ul¨onbs´ege adja a m´odszer teljes hib´aj´at. J´ol megfigyelhet˝o, hogy t n¨oveked´es´evel a hiba n˝o. old´as hib´aj´at prob´aljuk meg jellemezni.

3.2.

Hibaanal´ızis

A v´eges differenci´ak m´odszer´evel a differenci´alegyenlet megold´as´at v´eges pontoss´aggal a´ll´ıtjuk el˝o, a m´odszernek van hib´aja. K´etf´ele hib´at k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg: • csonkol´asi hiba, 18

Hiba

Euler-m´ odszer

• kerek´ıt´esi hiba. Csonkol´ asi hiba A v´eges differencia m´odszereket a 3.3 a´ltal´anos Taylor sor csonkol´as´aval kapunk. Mivel a Taylor sornak csak v´eges sz´am´ u tagj´at vessz¨ uk figyelembe, eredm´eny¨ unk hib´as lesz. A hiba ´ert´eke termeszetesen a Taylor sor elhagyott tagjainak o¨sszege, amelyet jellemezhet¨ unk az els˝o elhagyott, elnemt˝ un˝o tag ´ert´eke´evel. A v´eges differencia m´odszerek csonkol´asi hib´aja te (truncation error) a megold´as f¨ uggv´eny Taylor sor´aban az els˝o elhagyott, el nem t˝ un˝o tag ´ert´eke. Igy p´eld´aul az Euler m´odszer eset´en a csonkol´asi hiba: te =

1 d2 x(t) 2 ∆t . 2 dt2

(3.8)

A 3.8 egyenletb˝ol is l´athat´o, hogy egy adott v´eges differencia m´odszer eset´en a csonkol´asi hiba a ∆t l´ep´esk¨oz cs¨okkent´es´evel cs¨okkenthet˝o. Numerikus m´ odszer rendje Egy v´eges differencia m´odszert n-ed rend˝ unek nevez¨ unk, ha a csonkol´asi n+1 hib´aja ∆t szerint v´altozik. E szerint az Euler m´odszer els˝o rend˝ u. Fontos hangs´ ulyozni, hogy a csonkol´asi hiba ´ert´eke f¨ uggetlen att´ol, hogy a konkr´et sz´am´ıt´asokat hogyan hajtjuk v´egre. Teh´at ez nem k¨ot˝odik a m´odszer sz´am´ıt´og´epes megval´os´ıt´as´ahoz, ha az iter´aci´os l´ep´eseket papiron ceruz´aval sz´amoljuk a csonkol´asi hiba ´epp annyi, mintha sz´am´ıt´og´epen sz´amoltunk volna. Kerek´ıt´ esi hiba A kerek´ıt´esi hiba re (rounding error) azon hib´ak egy¨ uttese, amelyet a v´eges differencia algoritmus sz´am´ıt´og´epes implement´aci´oja okoz. A sz´am´ıt´og´epen a val´os sz´amok v´eges sz´am´ u biten vannak a´br´azolva, ez´ert minden vel¨ uk v´egzett m˝ uvelet v´eges pontoss´ag´ u.

3.2.1.

Lok´ alis ´ es glob´ alis hiba

Tegy¨ uk fel, hogy az m¨ x = F differenci´alegyenletet akarjuk integr´alni a [t 1 , t2 ] intervallumon. Az integr´al´ashoz ∆t l´ep´esk¨ozt haszn´alunk. Ekkor az integr´aci´os tartom´any τ hossza τ = t2 −t1 ´es az integr´al´ashoz sz¨ uks´eges iter´aci´os l´ep´esek sz´ama M = τ /∆t. A lok´ alis hiba az egy iter´aci´os l´ep´esen bel¨ ul fell´ep˝o hib´ak o¨sszess´ege, vagyis lte+lre, ahol lte a lok´alis csonkol´asi, ´es lre a lok´alis kerek´ıt´esi hib´akat jel¨olik. A glob´ alis hiba a teljes sz´amol´as (azaz a τ hossz´ u intervallumon M l´ep´esben 19

Hiba

Euler-m´ odszer

t¨ort´en˝o integr´al´as) alatt felhalmoz´odott hiba gte + gre, ahol gte ´es gre a glob´alis csonkol´asi ´es kerek´ıt´esi hib´akat jel¨olik. Egy numerikus sz´amol´as v´egeredm´eny´enek pontoss´aga szempontj´ab´ol a glob´alis hiba a relev´ans.

gte+gre

kerek´ıt´es csonkol´as

PSfrag replacements

∆t

∆t∗

3.3. a´bra. A gte+gre teljes hiba mint ∆t f¨ uggv´enye. Az a´br´an jelezt¨ uk, hogy az egyes ∆t tartom´anyokon melyik hibaforr´as adja a teljes hiba domin´ans j´arul´ek´at. Egy n-ed rend˝ u m´odszer lok´alis csonkol´asi hib´aja a´ltal´anosan az lte = kx(n+1) ∆tn+1

(3.9)

o¨sszef¨ ugg´essel adhat´o meg, ahol x(n+1) az x(t) f¨ uggv´eny n + 1-edik deriv´altj´at jel¨oli. M iter´aci´os l´ep´es alatt, ∆t l´ep´esk¨ozt haszn´alva, a glob´alis csonkol´asi hiba gte = k

M X

(n+1)

xi

∆tn+1 = k∆tn+1

M X

(n+1)

xi

(3.10)

i=1

i=1

(n+1)

alak´ u. Az xi deriv´altak k¨ ul¨onb¨oz˝oek lehetnek az egyes i iter´aci´os l´ep´esekben, de helyettes´ıthetj¨ uk o˝ket a´tlagukkal gte = k∆tn+1 M x(n+1) .

(3.11)

Mivel a mozg´asegyenletnek egy τ hossz´ u id˝ointervallumon t¨ort´en˝o v´egigintegr´al´as´ahoz M = τ /∆t sz´am´ u iter´aci´os l´ep´es sz¨ uks´eges, az ek¨ozben fell´ep˝o 20

Hiba

Euler-m´ odszer

glob´alis csonkol´asi hiba gte = k∆tn+1

τ (n+1) x = kτ ∆tn x(n+1) . ∆t

(3.12)

Teh´at azt kaptuk eredm´eny¨ ul, hogy az n-ed rend˝ u m´odszer glob´alis csonkol´asi hib´aja ∆t n-edik hatv´any´aval ar´anyos gte ∼ ∆tn , m´ıg a lok´alis csonkol´asi hiba lte ∼ ∆tn+1 volt. Az 3.12 egyenlet azt is megmutatja, hogy r¨ogz´ıtett ∆t eset´en a hiba a v´egigintegr´alt id˝ointervallum τ hossz´anak line´aris f¨ uggv´enye. Egy sz´amol´as teljes hib´aj´at a csonkol´asi ´es a kerek´ıt´esi hiba egy¨ uttese hat´arozza meg. Az eddigiekben l´athattuk, hogy egy adott v´eges differencia m´odszern´el a glob´alis csonkol´asi hiba az integr´al´ashoz haszn´alt ∆t l´ep´esk¨oz hat´arozza meg. Ezzel szemben a kerek´ıt´esi hiba az elv´egzett numerikus m˝ uveletek sz´am´at´ol, azaz az iter´aci´os l´ep´esek sz´am´at´ol, f¨ ugg. Az 3.3 a´bra a gte + gre teljes hib´anak a ∆t id˝ol´ep´est˝ol val´o f¨ ugg´es´et illusztr´alja. Az el˝oz˝oek -2

10

5

gte+gre

2

10

-3

5

2

10

-4

5

2 5

10

-5

2

5

10

-4

2

5

-3

10

2

5

-2

10

2

5

-1

10

t 3.4. a´bra. Az Euler-m´odszer gte + gre teljes hib´aja mint ∆t f¨ uggv´enye. alapj´an, nagy ∆t ´ert´ekek eset´en egy adott hossz´ us´ag´ u id˝ointervallum v´egigintegr´al´as´ahoz sz¨ uks´eges m˝ uveletek sz´ama kicsi, ez´ert a kerek´ıt´esi hiba kicsi. A teljes hib´at a csonkol´asi hiba hat´arozza meg. ∆t cs¨okkent´es´evel a csonkol´asi hiba cs¨okken, ugyanakkor n¨ovekszik a kerek´ıt´esi hiba, majd a kerek´ıt´esi hiba v´alik domin´anss´a a teljes hib´aban. Van teh´at egy optim´alis ∆t∗ l´ep´esk¨oz, amellyel a teljes hib´at minimaliz´alni lehet. 21

Hiba

Euler-m´ odszer

A 3.3 a´bra sematikusan mutatja be a v´eges differencia m´odszerek hib´aj´anak ∆t-t˝ol val´o f¨ ugg´es´et. A hiba elemz´es´et minden konr´et m´odszer eset´en el kell v´egezni, illetve az optimumot ad´o ∆t∗ ´ert´eke m´eg mag´at´ol a megoldand´o differenci´alegyenlett˝ol is f¨ ugghet. A p´elda kedv´e´ert a 3.4 a´br´an megmutatjuk, hogyan n´ez ki az Euler-m´odszerre gte + gre a ∆t f¨ uggv´eny´eben, ha egy t¨omegpontra csak a sebess´eggel ar´anyos f´ekez˝oer˝o hat (l´asd a 2.20 mozg´asegyenletet). ∆t ´ert´ek´et t¨obb, mint n´egy nagys´agrenden kereszt¨ ul v´altoztattuk ´es a hiba ´ert´eke is t¨obb nagys´agrenden kereszt¨ ul v´altozik, ez´ert mindk´et tengelyen logaritmikus sk´al´at haszn´altunk. Az a´br´ab´ol leolvashat´o, hogy ∆t∗ ≈ 2 × 10−4 . Megvizsg´alhatjuk azt is, hogyan v´altozik a teljes hiba, ha r¨ogz´ıtj¨ uk ∆t ´ert´ek´et, s v´altoztatjuk az integr´aci´os intervallum τ hossz´at. Ezt mutatja be a 3.5 a´bra. Az a´br´an l´athat´o line´aris f¨ ugg´es o¨sszhangban van 0.3

0.25

gte+gre

0.2

0.15

0.1

0.05

0.0

0

10

20

30

40

50

3.5. a´bra. Az Euler-m´odszer gte+gre teljes hib´aja mint τ f¨ uggv´enye r¨ogz´ıtett ∆t eset´en. a teljes csonkol´asi hib´ara vonatkoz´o 3.12 a´ltal´anos eredm´ennyel!

3.2.2.

Algoritmus stabilit´ asa

Egy numerikus algoritmust stabilnak nevez¨ unk, ha egyik iter´aci´os l´ep´esr˝ol a m´asikra nem er˝os´ıti a hib´at. Az algoritmus instabil, ha a hib´at er˝os´ıti. Az algoritmus fel´etelesen stabil, ha kis ∆t ´ert´ekekre stabil, de ∆t-t egy kritikus ∆tc ´ert´ek f¨ol´e n¨ovelve az algoritmus instabill´a v´alik. 22

Hiba

Euler-m´ odszer

Vizsg´aljuk az el˝oz˝o alfejezetben bemutatott Euler-algoritmus stabilit´asi tulajdons´agait! A p´elda kedv´e´ert a rezg˝omozg´as 3.8 differenci´alegyenlet´et tekintj¨ uk. Legyen a mozg´asegyenlet egzakt megold´asa x(t) ´es v(t), a numerikus elj´ar´assal kapott k¨ozel´ıt˝o megold´asokat pedig jel¨olj¨ uk x , (t)-vel ´es v , (t)-vel. Az egyes f¨ uggv´enyek egy iter´aci´os l´ep´esbeli hib´aja az egzakt ´es a numerikus megold´asok k¨ ul¨onbs´ege: ex (t) = x, (t) − x(t), ev (t) = v , (t) − v(t). N´ezz¨ uk meg hogyan v´altozik a hiba k´et egym´ast k¨ovet˝o iter´aci´os l´ep´esben: ex (t + ∆t) = = = =

x, (t + ∆t) − x(t + ∆t) x, (t) + x˙ , (t)∆t − x(t) − x(t)∆t ˙ , , x (t) − x(t) + (x˙ (t) − x(t))∆t ˙ ex (t) + ev (t)∆t.

Hasonl´oan a sebess´eg hib´aj´anak id˝ofejl˝od´ese: ev (t + ∆t) = v , (t + ∆t) − v(t + ∆t) = v , (t) − v(t) + (v˙ , (t) − v(t))∆t ˙   D [x, (t) − x(t)] ∆t. = ev (t) + − m Itt f¨olhaszn´altuk a konkr´et p´eld´ankat a gyorsul´as kisz´ am´ıt´as´ara: a = F/m q 2 azaz a = (−D/m)x = −ω x, ahol bevezett¨ uk az ω = D/m jel¨ol´est. Teh´at a v´egeredm´eny: ex (t + ∆t) = ex (t) + ev (t)∆t,   D ev (t + ∆t) = ev (t) + − ex (t)∆t. m

(3.13)

A 3.14 egyenletrendszer egy iter´aci´os egyenletrendszer, amely a rezg˝omozg´as differenci´alegyenlet´enek Euler m´odszerrel t¨ort´en˝o integr´al´asakor fell´ep˝o csonkol´asi hiba id˝ofejl˝od´es´et ´ırja le. Az egyenletrendszer egy¨ utthat´o m´atrixa  

A=

1

∆t

−ω 2 ∆t

1

  

A hiba id˝ofejl˝od´es´et az A m´atrix saj´at´ert´ekei hat´arozz´ak meg. Ha a 2 × 2es val´os elem˝ u A m´atrix k´et saj´at´ert´ek´enek abszol´ ut´ert´eke egyn´el nagyobb, 23

Hiba

Euler-m´ odszer

akkor az algoritmus a hib´at er˝os´ıti, ha kisebb egyn´el, akkor nem er˝os´ıt. Saj´at´ert´ekek meghat´aroz´asa: (1 − λ)2 + ω 2 ∆t2 = 0 λ2 − 2λ + 1 + ω 2 ∆t2 = 0 λ1,2 =

2±

√

−4ω 2 ∆t2 2

√ = 1 ± ∆t −ω 2 L´athat´o, hogy ∆t ´ert´ek´et˝ol f¨ uggetlen¨ ul |λ| > 1, ez´ert a bemutatott Euler algoritmus instabil. A felt´eteles stabilit´as illusztr´aci´oj´ara m´odos´ıtjuk az Euler m´odszert. Legyenek az iter´aci´o egyenletei: x(t + ∆t) = x(t) + [v + v∆t] ˙ ∆t, v(t + ∆t) = v(t) + v∆t. ˙ A vizsg´alt konkr´et p´elda eset´en az egyenleteink: x(t + ∆t) = x(t)[1 − ω 2 ∆t2 ] + v(t)∆t, v(t + ∆t) = v(t) − ω 2 x(t)∆t. Ekkor a stabilit´asi m´atrix:  

A=

1 − ω 2 ∆t2 ∆t −ω 2 ∆t

1

Stabil megold´ast kapunk, ha −2 < ω∆t < 2.

24

  

Tov´ abbi m´ odszerek

3.2.3.

Feladatok

1. A GENMOT program seg´ıts´eg´evel vizsg´aljuk egy t¨omegpont mozg´as´at, amelyre egy konstans Fo er˝o hat! Kezd˝ofelt´etelk´ent v´alasszuk az x(0) = xo ´es vo = 0 ´ert´ekeket, majd legyen vo 6= 0! Az Euler-m´odszert haszn´alva elemezz¨ uk numerikusan az x(t), v(t), v(x) f¨ uggv´enyeket! 2. Legyen F = −cv ´es elemezz¨ uk a t¨omegpont mozg´as´at analitikusan, majd az Euler-m´odszerrel numerikusan. Elemezz¨ uk az x(t), v(t), a(t), ´es a v(x), a(x) f¨ uggv´enyeket, vess¨ uk o˝ket o¨ssze az analitikus eredm´enyekkel! 3. Elemezz¨ uk az Euler-m´odszer hib´aj´at! Adott ∆t mellett integr´aljuk a mozg´asegyenletet egy r¨ogz´ıtett t∗ ´ert´ekig, ´es itt olvassuk le x(t∗ ), v(t∗ ) ´ert´ek´et a programb´ol. Az integr´al´ast ism´etelj¨ uk meg legal´abb o¨t k¨ u∗ l¨onb¨oz˝o ∆t ´ert´ekkel, majd az egyes ∆t-k mellett kapott x(t ), v(t∗ ) a megfelel˝o egzakt megold´asokb´ol kivonva hat´arozzuk meg a m´odszer ´ azoljuk valamilyen programmal a hib´aj´at, mint ∆t f¨ uggv´eny´et! Abr´ hib´at, mint ∆t f¨ uggv´eny´et! 4. Vizsg´aljuk a rezg˝omozg´ast! El˝osz¨or n´ezz¨ uk meg az x(t) ´es v(t) f¨ uggv´enyeket, majd a v(x) f¨ uggv´enyt! Hat´arozzuk meg analitikusan a v − x s´ıkon kapott g¨orbe egyenlet´et! Az Euler-m´odszerrel integr´alva a mozg´asegyenletet, hogyan lehet ´eszrevenni a v−x s´ıkon, hogy a m´odszer nem stabil? Ind´ıtsunk mozg´asokat a legk¨ ul¨ob¨oz˝obb kezd˝ofelt´etelek mellett! 5. A GMRACE nev˝ u programban egy versenyaut´oval kell megtenn¨ unk egy k¨ort a versenyp´aly´an. Az aut´o gyorsul´as´anak nagys´ag´at ´es ir´any´at tudjuk versenyz˝ok´ent kontrol´alni. Pr´ob´aljunk tenni egy k¨ort az aut´oval! Hogyan lehet kanyarodni? Figyelj¨ uk milyen a gyorsul´as ´es sebess´egvektor egym´ashoz viszony´ıtott ir´anya menet k¨ozben! 6. A f´ekez˝oer˝o eset´en m´erj¨ uk ki, hogyan v´altozik az Euler m´odszer teljes hib´aja, ha r¨ogz´ıtett ∆t mellett n¨oveljuk az integr´aci´os id˝ointervallum τ hossz´at! A kapott eredm´enyt vess¨ uk o¨ssze az analitikus eredm´enyekkel! 7. V´egezz¨ uk el analitikusan a m´odos´ıtott elj´ar´as stabilit´as vizsg´alat´at! Milyen intervallumon v´alasszuk ∆t-t, hogy stabil elj´ar´ast kapjunk? 25

Tov´ abbi m´ odszerek

3.3.

Tov´ abbi elj´ ar´ asok

Az el˝oz˝o fejezetben l´attuk, hogy az Euler-m´odszer egy egyszer˝ u, viszont pontatlan m´odszer, es r´aad´asul instabil is. Pontatlans´aga ´es instabilit´asa miatt gyakorlati sz´am´ıt´asokra alkalmatlan, de egyszer˝ us´ege r´even az a´llatorvosi l´o szerep´et j´atsza, rajta kereszt´ ul a v´eges differencia m´odszerek minden l´enyeges tulajdons´aga bemutathat´o.

3.3.1.

M´ asodrend˝ u Runge-Kutta m´ odszer v v(t + ∆t) v(t)

PSfrag replacements

t + ∆t

t

t

¨ 3.6. a´bra. Integr´al´as trap´ez m´odszerrel. Osszevetve az a´br´at az Eulerm´odszer 3.1 a´br´aj´aval l´athat´o, hogy itt pontosabb eredm´enyt kapunk. A 3.6 a´bra alapj´an l´athat´o, hogy jobb, pontosabb iter´aci´os m´odszert kapunk, ha a v(t) g¨orbe alatti ter¨ uletet nem t´eglalap m´odszerrel, hanem trap´ez m´odszerrel k´ıs´erelj¨ uk meg kisz´am´ıtani. Ekkor a k¨ozel´ıt˝o m´odszer¨ unk egyenletei a k¨ovetkez˝ok: 1 (3.14) x(t + ∆t) = x(t) + [v(t) + v(t + ∆t)] ∆t, 2 1 v(t + ∆t) = v(t) + [a(t) + a(t + ∆t)] , 2 F (x(t + ∆t), v(t + ∆t), t + ∆t) a(t + ∆t) = . m A 3.15 egyenletszer m´eg nem haszn´alhat´o, mert az egyenletek jobb oldal´an nemcsak a t id˝opillanatbeli mennyis´egek, hanem m´ar a t + ∆t id˝opillanatbeli 26

Tov´ abbi m´ odszerek mennyis´egek is szerepelnek, amelyeket nem ismer¨ unk. A jobboldalon szerepl˝o x(t + ∆t), v(t + ∆t) kisz´am´ıt´as´ara haszn´aljuk fel az el˝oz˝o fejezetben bemutatott Euler-m´odszert. Ekkor x(t + ∆t)Euler = x(t) + v(t)∆t, v(t + ∆t)Euler = v(t) + a(t)∆t, a(t + ∆t)Euler = F (x(t + ∆t)Euler , v(t + ∆t)Euler , t + ∆t). Behelyettes´ıtve a fenti egyenleteket a 3.15 egyenletrendszerbe, m´ar haszn´alhat´o elj´ar´ast kapunk. i 1h (3.15) x(t + ∆t) = x(t) + v(t) + v(t + ∆t)Euler ∆t, 2 i 1h v(t + ∆t) = v(t) + a(t) + a(t + ∆t)Euler ∆t, 2 Az egyenletek jobb oldal´an csak t-beli ´ert´ekek a´llnak. Mivel az egyenletrendszer jobboldal´an ∆t a m´asodik hatv´anyon szerepel, a megkonstru´alt elj´ar´as m´asodrend˝ u. A differenci´alegyenlet ilym´odon t¨ort´en˝o integr´al´as´at m´asodrend˝ u Runge-Kutta m´odszernek nevezz¨ uk. Mivel a m´odszer m´asodrend˝ u, pontosabb sz´amol´ast biztos´ıt, mint az Euler-m´odszer. Vegy¨ uk azonban ´eszre, hogy ennek a´ra az, hogy a gyorsul´ast egy iter´aci´os l´ep´esben nem egyszer, hanem k´etszer kell kisz´am´ıtani, ami effekt´ıve k´etszer t¨obb CPU id˝ot ig´enyel.

3.3.2.

Negyedrend˝ u Runge-Kutta m´ odszer

Az el˝obb bemutatott Runge-Kutta m´odszer pontoss´ag´at tov´abb jav´ıthatjuk, ha x(t), v(t) kisz´am´ıt´as´ahoz a t + ∆t intervallumon bel¨ ulr˝ol is v´alasztunk seg´edpontokat, ´es a f¨ uggv´enyek ottani k¨ozel´ıt˝o ´ert´ekeit is felhaszn´aljuk x(t + ∆t), v(t + ∆t) pontosabb meghat´aroz´as´ara. A negyedrend˝ u Runga-Kutta m´odszer x(t)-re vonatkoz´o iter´aci´os egyenletei a k¨ovetkez˝ok: 1 x(t + ∆t) = x(t) + (s1 + 2s2 + 2s3 + s4 )∆t, 6 ahol az egyes si -k x(t) deriv´altjai a t + ∆t intervallum k¨ ul¨onb¨oz˝o pontjaiban: s1 = v(t), 1 1 s2 = v(t + ∆t, x(t) + s1 ∆t), 2 2 1 1 s3 = v(t + ∆t, x(t) + s2 ∆t), 2 2 s4 = v(t + ∆t, x(t) + s3 ∆t).

27

Tov´ abbi m´ odszerek L´athat´o, hogy ez a m´odszer negyed rend˝ u, teh´at jav´ıtottuk a pontoss´agot, viszont enek a´ra az, hogy egyetlen iter´aci´os l´ep´esben nem egyszer, hanem ´ n´egyszer kell kisz´am´ıtani a deriv´alt ´ert´ek´et. Altal´ anosan igaz az, hogy egy n-ed rend˝ u Runga-Kutta m´odszerrel egy iter´aci´os l´ep´esben n-szer kell a deriv´altat ki´ert´ekelni. Ez´ert a m´odszer lass´ u! Gyors sz´amol´as csak eg´eszen egyszer˝ u rendszerek eset´en v´egezhet˝o. A fizik´aban olyan m´odszereket pr´ob´alunk alkalmazni, amelyek a pontoss´agot n¨ovelik an´elk¨ ul, hogy a deriv´altat egy iter´aci´os l´ep´esben egyn´el t¨obbsz¨or kellene kisz´am´ıtani! Erre k´et lehet˝os´eg k´ın´alkozik: • haszn´aljunk koordin´ata ´es sebess´eg adatokat, amelyeket az el˝oz˝o iter´aci´os l´ep´esekben sz´am´ıtottunk ki (Verlet-m´odszer). • a jelen poz´ıci´o birtok´aban j´osoljuk j¨ov˝obeli koordin´ata ´es sebess´eg ´ert´ekeket (Prediktor-Korrektor m´odszerek).

3.3.3.

Verlet-m´ odszer

Az x(t + ∆t) Taylor sora harmad rendig bez´ar´oan:





(3.16)



(3.17)

dx 1 d3 x 1 d2 x 2 x(t + ∆t) = x(t) + ∆t3 . ∆t + ∆t + dt t 2 dt2 t 3! dt3 t

Irjunk hasonl´o Taylor sort x(t − ∆t) kisz´am´ıt´as´ara



dx 1 d2 x 1 d3 x 2 x(t − ∆t) = x(t) − ∆t + ∆t − ∆t3 . dt t 2 dt2 t 3! dt3 t

A k´et egyeneletet o¨sszeadva ´es a´trendezve, k¨ozel´ıt˝o o¨sszef¨ ugg´est kapunk x(t+ ∆t)-re: d2 x(t) 2 ∆t + .... dt2 Ez az egyenlet defini´alja a Verlet-m´odszert, melynek hib´aja ∆t4 -el ar´anyos, ez´ert harmad rend˝ u! Az 3.18 egyenlet nem tartalmaz inform´aci´ot a sebess´egr˝ol, benne csak a m´asodik deriv´alt fordul el˝o, amit a kiindul´asi mozg´asegyenletb˝ol kell behelyettes´ıteni. Teh´at a m´odszer a gyorsul´asb´ol, illetve az er˝ob˝ol kiindulva, direktben a poz´ıci´ot szolg´altatja. Ha a sebess´egre k´ıv´ancsiak vagyunk, akkor ezt m´ar a koordin´ata birtok´aban, a sebess´eg defin´ıci´oja alapjan sz´am´ıthatjuk ki: x(t + ∆t) = 2x(t) − x(t − ∆t) +

x(t + ∆t) − x(t − ∆t) . 2∆t A Verlet algoritmus, mint l´attuk, egy k´etl´ep´eses m´odszer, mert x(t + ∆t) ´ert´ek´et k´et iter´aci´os l´ep´esbeli inform´aci´o felhaszn´al´as´aval hat´arozza meg. v(t) ≈

28

Tov´ abbi m´ odszerek

3.3.4.

Prediktor-Korrektor (j´ osl´ o-korrig´ al´ o) m´ odszer

A Prediktor-Korrektor (j´osl´o-korrig´al´o) m´odszerek egy iter´aci´os l´ep´esben h´arom m˝ uveletet v´egeznek el: • prediktor l´ep´es: x(t) ´es v(t) birtok´aban megbecs¨ ulj¨ uk x(t + ∆t) ´es v(t + ∆t) ´ert´ek´et. • ki´ert´ekel´es: ki´ert´ekelj¨ uk a gyorsul´ast a t + ∆t id˝opillanatban a becs¨ ult x(t + ∆t) ´es v(t + ∆t) ´ert´ekeket felhaszn´alva. • korrektor l´ep´es: korrig´aljuk a becs¨ ult x(t + ∆t) ´es v(t + ∆t)-t felhaszn´alva az el˝oz˝o ´es esetleg kor´abbi iter´aci´os l´ep´esekbeli koordin´ata ´es sebess´eg ´ert´ekeket. P´eldak´ent tekints¨ uk a harmadrend˝ u Gear prediktor-korrektor m´odszert! 1. Becsl´ es Enn´el a m´odszern´el a helykoordin´ata, a sebess´eg, a gyorsul´as ´es a magasabb deriv´altak becsl´es´et a k¨ovetkez˝o egyenletek alapj´an v´egezz¨ uk 1 1 xp (t + ∆t) = x(t) + v(t)∆t + a(t)∆t2 + b(t)∆t3 , 2 6 1 2 p v (t + ∆t) = v(t) + a(t)∆t + b(t)∆t , 2 ap (t + ∆t) = a(t) + b(t)∆t, bp (t + ∆t) = b(t). 2. Ki´ ert´ ekel´ es A ki´ert´ekel´es azt jelenti, hogy a becs¨ ult mennyis´egek seg´ıts´eg´evel kisz´am´ıtjuk az egyes r´eszecsk´ekre hat´o er˝ot F p = F (xp , v p )

→

ac (t + ∆t) =

Fp . m

3. Korrig´ al´ as A ki´ert´ekel´essel kapott ac (t + ∆t) mennyis´egre ´ep´ıtve korrig´aljuk a becs¨ ult ´ert´ekeket. Ehhez kisz´am´ıtjuk ∆a(t + ∆t) = ac (t + ∆t) − ap (t + ∆t), 29

Tov´ abbi m´ odszerek majd a korrekci´ot a k¨ovetkez˝o egyenletek alapj´an v´egezz¨ uk     

xc (t + ∆t) v c (t + ∆t) ac (t + ∆t) bc (t + ∆t)

    

   

=

xp (t + ∆t) v p (t + ∆t) ap (t + ∆t) bp (t + ∆t)





    +  

c0 c1 c2 c3



   ∆a(t + ∆t) 

Az egyenletekbe szerepl˝o (c, c1 , c2 , c3 ) egy¨ utthat´ok ´ert´ek´et u ´ gy hat´arozzuk meg, hogy a k´ıv´ant pontoss´agot ´erhess¨ uk el. M´asodrend˝ u differenci´alegyenletek eset´en ´ert´ek¨ uk c0 = 3/16, c1 = 251/360, c2 = 1, c3 = 11/18.

3.4.

Az algoritmus pontoss´ ag´ ar´ ol

A fizik´aban haszn´alt v´eges differencia algoritmusok pontoss´ag´at gyakran jellemezz¨ uk u ´ gy, hogy megn´ezz¨ uk, az algoritmus meg˝orzi-e megmarad´o fizikai mennyis´egek ´ert´ek´et. A legegyszer˝ ubb ilyen teszt az energia vizsg´alat´an alapszik. A mechanikai rendszer teljes energi´aja 1 E = mv 2 + Epot , 2 a moyg´asi ´es a potenci´alis, helyzeti, energia o¨sszege. Form´alisan az E energia a kordin´at´anak ´es a sebess´egnek egy o¨sszef¨ ugg´ese E = E(x(t), v(t)). Az energia a´lland´os´aga azt jelenti, hogy a rendszer mozg´asa sor´an v´altozik x(t) ´es v(t), de a kettej¨ ukb˝ol alkotott kifejez´es E = E(x(t), v(t)) ´ert´eke mindig a´lland´o. A v´eges differencia algoritmusunkkal vizsg´aljunk olyan rendszert, amelyben a teljes energia megmarad´o fizikai mennyis´eg, azaz ´ert´eke a mozg´as sor´an a´lland´o. Ekkor az M iter´aci´os l´ep´esben felgy¨ ulemlett teljes hib´at jellemezhetj¨ uk azzal, hogy az algoritmus mennyire k´epes meg˝orizni az energia ´ert´ek´et: ge =

v uM uX t [E 0 (0) − E 0 (k∆t)]2 , k=1

0

ahol E (0) jel¨oli a numerikusan sz´amolt energia ´et´ek´et az integr´al´as elej´en, 0 majd E (k∆t) az numerikusan energia ´ert´eke az egyes k iter´aci´os l´ep´esekben.

30

Tov´ abbi m´ odszerek

3.4.1.

Feladatok

1. A GENMOT program seg´ıts´eg´evel, elemezz¨ uk a m´asodrend˝ u ´es negyedrend˝ u Runge-Kutta-m´odszer hib´aj´at! Legyen F = −cv. Adott ∆t mellett integr´aljuk a mozg´asegyenletet egy r¨ogz´ıtett t∗ ´ert´ekig, ´es itt olvassuk le x(t∗ ), v(t∗ ) ´ert´ek´et a programb´ol. Az integr´al´ast ism´etelj¨ uk meg legal´abb o¨t k¨ ul¨onb¨oz˝o ∆t ´ert´ekkel, majd az egyes ∆t-k mellett kapott x(t∗ ), v(t∗ ) a megfelel˝o egzakt megold´asokb´ol kivonva hat´arozzuk ´ azoljuk valamilyen meg a m´odszer hib´aj´at, mint ∆t f¨ uggv´eny´et! Abr´ programmal a hib´at, mint ∆t f¨ uggv´eny´et! 2. Az el˝oz˝o pontbeli sz´am´ıt´asokat elv´egezve hasonl´ıtsuk o¨sze a Runge´ Kutta m´odszerre kapott eredm´enyeket az Euler-m´odszer hib´aj´aval! Ertelmezz¨ uk a l´atottakat! 3. R¨ogz´ıtett ∆t mellett v´altoztassuk az integr´aci´os tartom´any τ hossz´at a m´asodrend˝ u Runge-Kutta m´odszer eset´en es m´erj¨ uk ki gte + gre-t a τ f¨ uggv´eny´eben! 4. A m´asodrend˝ u Runge-Kutta m´odszerre pr´ob´algat´assal hat´arozzuk meg a kritikus ∆tc ´ert´eket, ami alatt v´alasztva ∆t-t stabil m´odszert kapunk!

31

Tov´ abbi m´ odszerek

32

4. fejezet Rezg˝ omozg´ as Az eddig tanultak alkalmaz´asak´ent a tov´abbiakban konk´et fizikai rendszereket tekint¨ unk, amelyek mozg´as´at analitikus ´es numerikus eszk¨oz¨okkel elemezz¨ uk. Els˝ok´ent a rezg˝omozg´ast v´egz˝o t¨omegponttal foglalkozunk. A fejezetben l´ep´esr˝ol l´ep´esre haladva felt´arjuk a harm´onikus, a csillapod´o majd a k´enyszerrezg´es tulajdons´agait. A fejezet v´eg´en r¨oviden kit´er¨ unk az anharm´onikus rezg´esekre is.

4.1.

Harm´ onikus rezg˝ omozg´ as

Defin´ıci´ o: Az egyenes ment´en mozg´o t¨omegpont rezg˝omozg´ast v´egez, ha pillanatnyi helyzet´et a x(t) = A(t) sin (ωt + ϕ)

(4.1)

f¨ uggv´eny ´ırja le. x az egyenes valamely adott pontj´at´ol (neve egyens´ ulyi helyzet) m´ert helyzetjellemz˝o, A(t) amplit´ ud´o, φ(t) = ωt + ϕ f´azisf¨ uggv´eny, ω k¨orfrekvencia, ϕ f´azis´alland´o, vagy f´azissz¨og. Ha A(t) = A o a´lland´o, akkor a rezg˝omozg´ast harm´onikusnak nevezz¨ uk. Ha A(t) monoton cs¨okken˝o, akkor csillapod´o rezg˝omozg´asr´ol besz´el¨ unk. A T = 2π/ω mennyis´eget rezg´esid˝onek nevezz¨ uk. Id˝o szerint differenci´alva x(t)-t, a harm´onikus rezg˝omozg´ast v´egz˝o t¨omegpont sebess´ege v(t) = Ao ω cos (ωt + ϕ)

(4.2)

alak´ unak ad´odik. Az (4.1,4.2) egyenletekb˝ol meghat´arozhatjuk a v sebess´eget, mint az x helykoordin´ata f¨ uggv´eny´et x2 v2 + = 1, A2o A2o ω 2 33

(4.3)

Rezg˝ omozg´ as 6

10

4 5

0

0

v

x

2

-2 -5 -4

-6

-10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

t

4.1. a´bra. A harm´onikus rezg˝omozg´ast v´egz˝o t¨omegpont x(t) f¨ uggv´enye k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o kezd˝ofelt´etel eset´en, ´es a v(x) f¨ uggv´eny az egyik esetre.

ami a v − x s´ıkon egy ellipszist ´ır le, melynek f´eltengelyei Ao ´es Ao ω. Defin´ıci´ o: Kv´azielasztikus er˝o: F~ = −D~r, ahol D > 0 a´lland´o, ~r a t¨omegpont helyvektor´at jel¨oli. Ha egy t¨omegpontra csak a kv´azielasztikus er˝o hat, mozg´asegyenlete m~¨r = −D~r,

m~¨r + D~r = 0

alak´ u. Csak az egydimenzi´os esettel foglakozunk, ez´ert a mozg´asegyenletet a m¨ x + Dx = 0

(4.4)

form´aba ´ırjuk. A tov´abbiakban a (4.4) mozg´asegyenlet megold´as´at keress¨ uk valamilyen xo , vo kezdeti felt´etelek mellett. Az egyenlet egy k¨oz¨ons´eges, m´asodrend˝ u, line´aris, konstans egy¨ utthat´os, homog´en differenci´alegyenlet, amelynek analitikus megold´as´ara l´etezik a´ltal´anosan haszn´alhat´o elj´ar´as. Keress¨ uk 4.4 megold´as´at exponenci´alis alakban azaz xp (t) = Aeλt ,

(4.5)

amit behelyettes´ıtve kapjuk a differenci´alegyenlet λ-ra vonatkoz´o karakterisztikus egyenlet´et mλ2 + D = 0.

(4.6)

Mivel a karakterisztikus egyenlet m´asodfok´ u, λ-nak k´et lehets´eges ´ert´eke van λ = ±iωo ,

ahol 34

ωo =

s

D . m

Rezg˝ omozg´ as

D: a rug´o kem´enys´ege

PSfrag replacements

4.2. a´bra. A kv´azielasztikus er˝o legegyszer˝ ubb megval´os´ıt´asa, ha egy testet csavarrug´ora akasztunk. A rug´o a´ltal a testre kifejtett er˝o a rug´o ∆l megny´ ul´as´anak F = −D∆l alak´ u f¨ uggv´enye, ahol D jel¨oli a rug´o kem´enys´eg´et.

A differenci´alegyenlet k´et partikul´aris megold´asa teh´at xp1 (t) = A1 eiωo t ,

xp2 (t) = A2 e−iωo t .

Az a´ltal´anos megold´as a partikul´aris megold´asok line´aris kombin´aci´ojak´ent a´ll´ıthat´o el˝o x(t) = A1 eiωo t + A2 e−iωo t , ahol az A1 , A2 egy¨ utthat´ok ´ert´ek´et a kezd˝ofelt´etelekb˝ol hat´arozhatjuk meg. V´eve az egyenlet mindk´et oldal´at a to = 0 helyen xo = A 1 + A 2 . A t¨omegpont sebess´eg´et deriv´al´assal kapjuk v(t) = iωo A1 eiωo t − iωo A2 e−iωo t , majd f¨olhaszn´alva a kezd˝ofelt´etelt vo = iωo (A1 − A2 ) ad´odik. A kapott k´et egyenletb˝ol meghat´arozhat´oak az A1 , A2 egy¨ utthat´ok: A1 =

xo + 2

vo iωo

,

A2 = 35

vo ro − iω o , 2

Rezg˝omozg´as

Csillapod´ o rezg´es

a megold´asf¨ uggv´eny pedig x(t) = xo cos ωo t +

vo sin ωo t ωo

alak´ unak ad´odik, amit o¨sszevetve az a´ltal´anos x(t) = Ao sin (ωo t + ϕ) form´aval leolvashat´o az amplit´ ud´o ´es a f´azissz¨og ´ert´eke: Ao =

tgϕ =

v u u tx2 o

+

vo2 , ωo2

ω o xo . vo

A fentieket o¨sszegezve bel´attuk, hogy ha egy t¨omegpontra csak a kv´azielasztikus er˝o hat, akkor az harm´onikus rezg˝omozg´ast fog v´egezni. A kialakul´o harm´onikus rezg´es k¨orfrekvenci´aj´at a D er˝oa´lland´o ´es az m t¨omeg, az amplit´ ud´ot ´es a kezd˝o f´azist pedig a kezd˝ofelt´etelek hat´arozz´ak meg.

4.2.

Csillapod´ o rezg´ es

Eddig t¨omegpont mozg´as´at vizsg´altuk a kv´azielasztikus er˝o hat´asa alatt. N´ezz¨ uk meg, mi t¨ort´enik, ha ezen k´ıv¨ ul m´eg egy Ff = −βv sebess´eggel ar´anyos f´ekez˝o er˝o is hat a t¨omegpontra, azaz ha egy testet rug´ora akasztunk ´es valamilyen k¨ozegbe (leveg˝obe, v´ızbe) tessz¨ uk. Ekkor a mozg´asegyenlet m¨ x = −Dx − β x, ˙

m¨ x + Dx + β x˙ = 0

(4.7)

lesz, amit a t¨omeggel v´egigosztva ´es bevezetve a 2κ = β/m jel¨ol´est, a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o x¨ + 2κx˙ + ωo2 x = 0.

(4.8)

Ez is m´asodrend˝ u, line´aris, a´lland´o egy¨ utthat´os, homog´en differenci´alegyenlet, teh´at megold´as´at az el˝oz˝o esetben ismertetett gondolatmenethez hasonl´oan kapjuk. A megold´ast az 4.5 exponenci´alis alakban keresve a karaketerisztikus egyenlet λ2 + 2κλ + ωo2 = 0 β κ= . 2m

⇒

λ1,2 = −κ ±

q

κ2 − ωo2 ,

ahol

λ1,2 ´ert´eke, ´es ´ıgy a megold´asf¨ uggv´eny alakja er˝osen f¨ ugg κ ´es ω o viszony´at´ol. A lehets´eges eseteket k¨ ul¨on-k¨ ul¨on t´argyaljuk. 36

Rezg˝omozg´as

Csillapod´ o rezg´es 4 - t

3

ae

x

2

x1

1

x3

0

x4

x2

-1

- t

-ae -2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

4.3. a´bra. Csillapod´o rezg´es. Az (4.9) egyenlet olyan rezg˝omozg´ast ´ır le, amelynek amplit´ ud´oja exponenci´alisan cs¨okken. xi jel¨oli az egym´ast k¨ovet˝o maximumok ´ert´ek´et. q

κ < ωo : gyenge f´ekez´es. Ekkor λ1,2 = −κ ± iω, ahol ω = ωo2 − κ2 , k´et line´arisan f¨ uggetlen partikul´aris megold´ast kapunk: A1 eλ1 t , A2 eλ2 t ´es az a´ltal´anos megold´as x(t) = e−κt (A1 eiωt + A2 e−iωt ) alak´ unak ad´odik. A megold´ast´ol azt k´ıv´anjuk, hogy val´os legyen, ami el´erhet˝o p´eld´aul u ´ gy, hogy a konstansokat a k¨ovetkez˝o alakban vessz¨ uk fel: a a A2 = e−iα , A1 = eiα , 2 2 vagyis A1 , A2 helyett k´et u ´ j a, α konstanst vezet¨ unk be a fenti defin´ıci´oval. Igy x = ae−κt cos (ωt + α) ad´odik, vagy α helyett α − π/2-t ´ırva x = ae−κt sin (ωt + α).

(4.9)

Az (4.9) egyenlet olyan rezg˝omozg´ast ´ır le, amelynek amplit´ ud´oja az id˝ovel exponenci´alisan cs¨okken, ez´ert csillap´ıtott rezg˝omozg´asnak nevezz¨ uk, b´ar ez nem peri´odikus folyamat. Az (4.9) egyenletb˝ol leolvashat´oak a csillap´ıtott rezg´es tulajdons´agai is: a k¨ orfrekvencia ´es a rezg´esid˝ o ω=

q

ωo2 − κ2 ,

T =q

2π ωo2 − κ2

.

Az ω teh´at kisebb, mint a csillap´ıtatlan rezg˝omozg´as ωo k¨orfrekvenci´aja, a T 37

Rezg˝omozg´as

Csillapod´ o rezg´es

rezg´esid˝o pedig nagyobb To -n´al. L´athat´o, hogy az x(t) f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke lim x(t) = 0,

t→∞

azaz a f´ekez´es hat´as´ara a mozg´as aszimpt´otikusan le´all ´es a r´eszecske a rug´o feszitetlen hely´en´el nyugalomba ker¨ ul. Az 4.9 megold´asf¨ uggv´eny viselked´es´et a 4.3 a´bra illusztr´alja. A csillapod´o rezg˝omozg´as ´erdekes tulajdons´aga, hogy b´armely k´et egym´asut´ani, egyir´any´ u maxim´alis kit´er´es viszonya ugyanaz (l´asd a 4.3 a´br´at): x2 xn x1 = = ... = , x3 x4 xn+2 mert ha p´eld´aul az xn -hez tartoz´o id˝o tn , akkor (4.9) szerint x(tn ) xn = = eκT . xn+2 x(tn + T )

(4.10)

Ez´ert a K = eκT mennyis´eget a csillapod´as m´ert´ek´enek tekinthetj¨ uk ´es csillapod´asi h´anyadosnak nevezz¨ uk. Most r´at´er¨ unk arra az esetre, amikor a karakterisztikus egyenlet gy¨okei val´osak.

x

PSfrag replacements

0

t

4.4. a´bra. Az aperi´odikus hat´areset. Az x(t) f¨ uggv´eny nem v´alt el˝ojelet. Kis t ´ert´ekekre n¨ovekszik, majd nagy t-kre exponenci´alisan cs¨okken.

κ > ωo , er˝os f´ekez´es. Ekkor λ1,2 = −κ ± 38

q

κ2 − ωo2 , vagyis a λ1 , λ2 gy¨ok¨ok

Rezg˝omozg´as

K´enyszerrezg´es

val´osak ´es negat´ıvak, az a´ltal´anos megold´as pedig x(t) = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t alak´ u lesz. Mivel mindk´et λ val´os, az x(t)-ben szerepl˝o tagok az id˝ovel exponenci´alisan cs¨okkenek ´es ´ıgy a mozg´as nem lesz rezg˝omozg´as. K¨ozelebbr˝ol tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o kezd˝ofelt´etelekkel jellemzett esetet: t = 0-n´al legyen x = 0, teh´at A1 + A2 = 0, valamint x˙ = v = vo , teh´at A1 λ1 + A2 λ2 = vo . Ebb˝ol k¨ovetkezik A1 = −A2 =

vo vo = q , λ1 − λ 2 2 κ2 − ωo2

´es innen vo



e x(t) = q 2 κ2 − ωo2

−(κ−

√

κ2 −ωo2 )t

−e

−(κ+

√

κ2 −ωo2 )t



.

(4.11)

A megold´as alakj´ab´ol l´athat´o, hogy x ´ert´eke sosem lesz negat´ıv. A 4.11 megold´as alakj´at a 4.4 a´bra illusztr´alja. A mozg´as sor´an t = 0-t´ol kezdve x n¨ovekszik, bizonyos t1 id˝opillanatban el´eri maximum´at, majd t → ∞ re z´erushoz tart. A maximum helye abb´ol hat´arozhat´o meg, hogy ott a t¨omegpont meg´all. Igy mozog p´eld´aul a rug´ora akasztott test, amelyet valamilyen nagy viszkozit´as´ u folyad´ekba mer´ıt¨ unk ´es egyik ir´anyba kit´er´ıt¨ unk. A kit´er´ıt´est k¨ovet˝oen a test a m´asik oldalra m´ar nem fog a´tmenni, hanem a feszitetlen helyen meg´all.

κ = ωo . Ebben az u ´ gynevezett aperi´odikus hat´aresetben λ1 = λ2 = −κ ´es ´ıgy egy partikul´aris megold´ast kapunk: e−κt . A differenci´alegyeneletek elm´elete alapj´an a m´asik partikul´aris megold´as te−κt ´es ´ıgy az a´ltal´anos megold´as x(t) = e−κt (A1 + A2 t). Ha ism´et az el˝oz˝o kezd˝ofelt´eteleket haszn´aljuk k¨onnyen bel´athat´o, hogy A 1 = 0, A2 = vo ´es x(t) = vo te−κt , ami az el˝oz˝o esethez hasonl´o f¨ uggv´enyalakot ad, azaz aperi´odikus mozg´as, x kiz´ar´olag mindig egyir´any´ u ´es t → ∞-re null´ahoz tart. 39

Rezg˝omozg´as

4.3.

K´enyszerrezg´es

K´ enyszerrezg´ es, rezonancia

Tegy¨ uk fel, hogy a t¨omegpontra a kv´azielasztikus ´es a f´ekez˝o er˝on k´ıv¨ ul m´eg egy peri´odikus gerjeszt˝o er˝o is hat: F = Fo cos (ωt). Ez az eset legegyszer¨ ubben u ´ gy val´os´ıthat´o meg, hogy egy testet csavarrug´ora er˝os´ıt¨ unk, majd a rug´o fels˝o v´eg´et fel ´es le mozgatjuk. Igy az el˝oz˝oekben megismert csillap´ıtott szabad rezg´est k´ıv¨ ulr˝ol befoly´asoljuk, ez´ert ezt az esetet k´enyszerrezg´esnek nevezz˝ uk, ω-t pedig gerjeszt´ enyszerq esi, vagy k´ 2 2 frekvenci´anak h´ıvjuk. A kor´abban bevezetett ωs = ωo − κ mennyis´eget saj´atfrekvenci´anak nevezz¨ uk. A probl´ema mozg´asegyenlete m¨ x = −Dx − β x˙ + Fo cos ωt, vagy a kor´abban bevezetett jel¨ol´esekkel ωo =

D , m

β , 2m

κ=

fo =

Fo m

az egyenlet alakja a k¨ovetkez˝o lesz m¨ x + 2κx˙ + ωo2 x = fo cos ωt.

(4.12)

Ez az egyenlet abban k¨ ul¨onb¨ozik a kor´abban l´atott (4.4,4.8) mozg´asegyenletekt˝ol, hogy a jobb oldal nem nulla, hanem maga is t f¨ uggv´enye, teh´at az ismeretlen f¨ uggv´enyen ´es deriv´altjain k´ıv¨ ul m´as, ismert f¨ uggv´enye is van t-nek az egyenletben. Az ilyen differenci´alegyenletet inhomog´ennak nevezz¨ uk. Az inhomog´en differenci´alegyenlet a´ltal´anos megold´as´at u ´ gy kapjuk meg, hogy megkeress¨ uk egy partikul´aris megold´as´at majd ehhez hozz´aadjuk a megfelel˝o homog´en egyenlet a´ltal´anos megold´as´at. A megold´as r´eszleteit nem ismertetj¨ uk, hanem helyette megadjuk a megold´asf¨ uggv´eny alakj´at, majd azt elemezz¨ uk. κ < ωo eset´en az 4.12 egyenlet a´ltal´anos megold´asa: q

x(t) = A cos (ωt − ϕ) + ae−κt sin ( ωo2 − κ2 t + α), |

{z

peri´odikus

ahol A= q

}

|

fo (ωo2 − ω 2 )2 + 4κ2 ω 2

{z

csillapod´o

,

´es

40

tgϕ =

(4.13)

}

2κω ωo2 − ω 2

(4.14)

Rezg˝omozg´as

K´enyszerrezg´es

2.0

4.5. a´bra. A k´enyszerrezg´es mozg´asegyenlet´enek (4.13) megold´asa. Az a´bra j´ol illusztr´alja, hogy a csillapod´o r´esz elt¨ un´es´evel peri´odikus mozg´ast kapunk.

1.5 1.0

x

0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t

Az (4.13) a´ltal´anos megold´asb´ol l´athat´o, hogy az anyagi pont mozg´ et q asa k´ 2 r´eszb˝ol tev˝odik o¨ssze: egy ω k¨orfrekvenci´aj´ u csillap´ıtatlan ´es egy ωo − κ2 k¨orfrekvenci´aj´ u csillap´ıtott rezg˝omozg´asb´ol. Az id˝o m´ ul´as´aval a csillapod´o r´esz kihal ´es asszimpt´otikusan a gerjeszt´es ´es f´ekez´es egy¨ uttes hat´as´anak eredm´enyek´ent egy peri´odikus mozg´as, harm´onikus rezg˝omozg´as alakul ki, teh´at a t¨omegpont a gerjeszt˝o er˝o ω k¨orfrekvenci´aj´aval csillap´ıtatlan rezg´est, k´enyszerrezg´est v´egez. Ezt illuszr´alja a 4.5 a´bra. A kialakul´o k´enyszerrezg´es 3.5

4.6. a´bra. A kialakul´o harm´onikus rezg´es (4.14) amplitud´oja mint az ω gerjeszt˝o frekvencia f¨ uggv´enye k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o κ f´ekez´esi egy¨ utthat´o ´ert´ek mellett.

3.0

1

2.5

<

2

5

6

A

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

0

1

2

3

4

7

8

9

10

A amplit´ ud´oja ´es a gerjeszt˝o er˝o ´es a k´enyszerrezg´es k¨oz¨otti f´azistol´as ϕ sz¨oge a gerjeszt˝o er˝o ω k¨orfrekvenci´aj´at´ol f¨ ugg. A (4.14) egyenlet szerint, amint a gerjeszt˝o frekvencia 0-t´ol ωo -ig, majd innen ∞-ig n˝o, a ϕ f´azisk¨ ul¨onbs´eg 0-t´ol π/2-ig, majd onnan π-ig n˝o, teh´at a rezg´es f´azisban mindig elmarad a gerjeszt˝o er˝oh¨oz k´epest. Az amplitud´o kis ω-´akt´ol indulva el˝osz¨or n˝o, ω = ω o k¨ozel´eben maximumot ´er el, majd ism´et cs¨okken. Teh´at az amplit´ ud´o akkor a legnagyobb, ha a gerjeszt˝o frekvencia a rendszer saj´atfrekvenci´aj´anak k¨ozel´ebe esik. Ez a jelens´eg a rezonancia, az A(ω) g¨orb´et pedig rezonan41

Rezg˝omozg´as

K´enyszerrezg´es

cia g¨ orb´enek nevezz¨ uk (l´asd a 4.6 a´bra). L´athat´o, hogy a maximum ann´al er˝osebb, min´el kisebb a rendszer κ csillap´ıt´asa. Csillap´ıtatlan rendszerre ω = ωo eset´en az amplit´ ud´o v´egtelenn´e v´alna. Ez a jelens´eg a rezonancia katasztr´ ofa. A rezonanci´anak rendk´ıv¨ ul nagy jelent˝os´ege van a gyakorlati ´eletben. Egy ´ep¨ uletben a vizvezet´ekben fell´ep˝o rezonancia miatt az ´ep¨ ulet s´ ulyosan rong´al´odhat, a rezonancia az oka annak, hogy hidakon katon´ak nem mehetnek l´ep´est tartva.

42

Rezg˝omozg´as

4.3.1.

K´enyszerrezg´es

Feladatok

1. Leng˝o rendszerekn´el, p´eld´aul a m´erlegn´el, az xo egyens´ ulyi helyzet meghat´arozhat´o h´arom egym´ast k¨ovet˝o fordul´opont x1 , x2 , x3 megfigyel´es´eb˝ol. (Az 4.4 a´br´an xo ´ert´eke nulla.) Kiindulva a (4.10) egyenletb˝ol, fejezz¨ uk ki xo -t az x1 , x2 , x3 seg´ıts´eg´evel. A kapott formul´at r´egen gyakran haszn´alt´ak m´erlegel´esn´el. 2. Elemezz¨ uk a csillapod´o rezg˝omozg´ast numerikusan! Adott ωo mellett ind´ıtsunk mozg´asokat v´altoztatva a β f´ekez´esi egy¨ utthat´ot a mozg´asegyenletben (azaz v´altoztatva κ-t. • Vegy¨ uk fel β-t u ´ gy, hogy κ < ωo teljes¨ ulj¨on! Inditsunk egy mozg´ast valamilyen kezd˝ofelt´etellel ´es figyelj¨ uk a csillapod´o rezg´es l´etrej¨ott´et. Olvassuk le a fordul´opontokban az x ´ert´ek´et majd ellen˝orizzuk az (4.10) egyenlet teljes¨ ul´es´et! • Vegy¨ uk fel β-t u ´ gy, hogy κ > ωo teljes¨ ulj¨on! Miben k¨ ul¨onb¨ozik az ´ ´ıgy kialakul´o mozg´as az el˝oz˝o esett˝ol? Ertelmezz¨ uk a kapott x(t) g¨orb´et. Adott kezd˝ofelt´etelek mellett az x mi´ert nem v´alt el˝ojelet? Inditsunk mozg´asokat u ´ gy, hogy x legyen negat´ıv, majd pozit´ıv. • Elemezz¨ uk az aperi´odikus hat´aresetet! 3. Csillapod´o rezg˝omozg´as vizsg´alat´an´al κ < ωo felt´etel mellett inditsunk egy mozg´ast majd a´br´azoljuk a t¨omegpont sebess´eg´et a helykoordin´ata ´ f¨ uggv´eny´eben! Ertelmezz¨ uk a l´atottakat ´es hasonl´ıtsuk o¨ssze a kapott g¨orb´et a csillap´ıtatlan esetben kapottakkal! 4. Vizsg´aljuk a csillap´ıtott ´es gerjesztett oszcill´ator mozg´as´at! Ind´ıtsunk mozg´asokat k¨ ul¨onb¨oz˝o kezd˝ofelt´etelekkel v´altoztatva a programban a csillap´ıt´as ´es gerjeszt´es ´ert´ek´et! Figyelj¨ uk a gerjesztett rezg˝omozg´as kialakul´as´at! Elemezz¨ uk a mozg´ast a v − x s´ıkon is! 5. Az anharm.exe program seg´ıts´eg´evel vegy¨ uk fel a periodikusan gerjesztett, csillap´ıtott harmonikus oszcill´ator rezonanciag¨orb´ej´et k´et k¨ ul¨onb˝oz˝o κ ´ert´ek mellett. Sz´amoljuk ki a maximumot ´es a f´el´ert´eksz´eless´eget a k¨ ul¨onb¨oz˝o csillap´ıt´asok mellett. Az analitikus megold´as alapj´an elemezz¨ uk a l´atottakat.

43

Anharm´ onikus rezg˝ omozg´ as

4.4.

Az anharm´ onikus rezg˝ omozg´ as

Az el˝oz˝o fejezetben l´attuk, hogy a harmonikus rezg˝omozg´as kialakul´as´anak dinamikai felt´etele a t¨omegpontra hat´o az x kit´er´essel ar´anyos visszat´er´ıt˝o er˝o, azaz F = −Dx. Ilyen er˝ot fejt ki p´eld´aul a csavarrug´o a hozz´a er˝os´ıtett testre, ha a rug´o megny´ ul´asa kicsi a nyugalmi hossz´ahoz k´epest. Azonban nagyobb megny´ ul´asokn´al a rug´o a´ltal kifejtett er˝o m´ar nem line´aris f¨ uggv´enye az x kit´er´esnek, hanem x magasabb hatv´anyait is tartalmazza. Term´eszetesen az ilyenkor kialakul´o mozg´as sem lesz m´ar harm´onikus rezg˝omozg´as, hanem egy komplik´alt u ´ gynevezett anharmonikus rezg˝omozg´as j¨on l´etre. A k¨ovetkez˝okben nagyon r¨oviden n´eh´any tipikus anharm´onikus rezg˝orendszerrel ´es a kaotikus mozg´as kialakul´as´aval fogunk foglalkozni. A feladatok megold´as´ahoz az anharm.exe programot haszn´aljuk, amelynek le´ır´asa az 6.1 f¨ uggel´ekben tal´alhat´o. 1. Duffing oszcill´ator A rezg˝omozg´asr´ol tanultak legegyszer¨ ubb a´ltal´anos´ıt´asa, ha az F er˝o 3 kifejez´es´eben egy x -el ar´anyos, a rug´oer˝ovel ellent´etes ir´any´ u er˝ot is figyelembe vesz¨ unk, azaz F = −Dx + C3 x3 − βv + F0 sin(ωt).

(4.15)

Az ´ıgy kapott rezg˝o rendszert Duffing oszcill´atornak nevezz¨ uk, amely a kaotikus viselked´es kialakul´as´anak egyik ”iskolap´eld´aj´at” mutatja. Feladatok (a) β = 0, Fo = 0 eset´en hat´arozzuk meg azokat az x∗ pontokat, ahol F (x∗ ) = 0, teh´at a t¨omegpontra nem hat er˝o. (b) β = 0, Fo = 0 eset´en ind´ıtsunk mozg´asokat a legk¨ ul¨onb¨oz˝obb ´ kezd˝ofelt´etelekkel! Ertelmezz¨ uk a kialakult mozg´asokat! Mi az el˝obb meghat´arozott x∗ pontok szerepe? ´ (c) Ism´etelj¨ uk meg az el˝oz˝o sz´am´ıt´asokat β 6= 0 eset´en! Ertelmezz¨ uk a v(x) s´ıkon l´atottakat! (d) Kapcsoljuk be a gerjeszt˝o er˝ot! Analiz´aljuk a mozg´ast Fo ´es ω k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekei mellett! 2. Atomok ´es molekul´ak egym´as k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´as´at lehet modellezni az F = −Dx − 3A2 x2 − 4A3 x3 − βv + F0 sin(ωt) (4.16) egyenlet˝ u oszcill´atorral. D = F0 = 0 eset´en a potenci´alis energia U = Rx k 2 0 0 3 4 eterek alkalmas megv´alaszt´asa 0 F (x )dx = 2 x +A2 x +A3 x a param´ 44

Anharm´ onikus rezg˝ omozg´ as eset´en az x = 0 pont k¨or¨ ul k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o meredeks´eg˝ u a´ggal rendelkezik, ami a tasz´ıt´o ´es vonz´o k¨olcs¨onhat´asok k¨ ul¨onb¨oz˝o er˝oss´eg´et modellezi. 3. Elektromos a´ramk¨or¨ok modellez´es´ere haszn´alhat´o a Van Der Pol oszcill´ator: (4.17) F = −Dx − β(X02 − x2 )v + F0 sin(ωt) A hat´arciklus ´es a k´aosz tanulm´anyoz´asa egyer´ant lehets´eges a rendszeren. Feladatok (a) Elemezz¨ uk a mozg´asokat β > 0 ´es β < 0 eset´en a v(x) s´ıkon! (b) Figyelj¨ uk meg a kialakul´o hat´arciklus alakj´at! Ind´ıtsunk mozg´asokat a cikluson bel¨ ulr˝ol ´es k´ıv¨ ulr˝ol is! Hasonl´ıtsuk o¨ssze a hat´arciklus egyes a´gain t¨ort´en˝o halad´as sebess´eg´et! 4. Inga M = mL2 ϑ¨ = −mgL sin ϑ − LD ϑ˙ + LF0 sin(ωt)

(4.18)

ahol M az ing´ara hat´o forgat´onyomat´ek, L az inga hossza, ϑ a kit´er´ese. Kis kit´er´esek eset´en a rendszer a sin ϑ ≈ ϑ k¨ozel´ıt´essel megoldhat´o. Ha ezt a line´aris k¨ozel´ıt´est feladjuk, az amplit´ ud´o v´altozni fog az id˝oben, a rezonanciag¨orbe t¨obb´ert´ek˝ uv´e v´alik ´es a rendszer kaotikus tulajdons´agokat mutat. Feladatok (a) Ind´ıtsunk mozg´asokat el˝osz¨or kicsi, majd nagy kezdeti kit´er´esekkel! Hasonl´ıtsuk o¨ssze a k´et esetben kialakult mozg´ast! 5. A szimul´aci´os programmal vizsg´alhat´o m´eg egy k´et fal k¨oz´e r´ ug´okkal kifesz´ıtett t¨omegpont mozg´asa (a fallal p´arhuzamosan, 1 dimenzi´oban): W 2 F = −2D(L − L0 )x/L − βv + F0 sin(ωt) ahol L = x + 2 (4.19) a r´ ug´ok r´ ug´oa´lland´oja D, L0 a nyugalmi, L a ny´ ujtott hosszuk, W a falak t´avols´aga. A r´ ug´ok o¨sszenyomhat´oak. A rendszer kaotikus viselked´est mutat. 2

45

2





Anharm´ onikus rezg˝ omozg´ as Az el˝oz˝o esetek elemz´es´en´el l´athattuk, hogy ha az er˝o kifejez´es´eben x-ben nemline´aris tagok is el˝ofordulnak a mozg´as bonyol´ ult, aperi´odikus, o¨sszevissza lesz ´es sosem v´alik o¨nism´etl˝ov´e. Az ilyen mozg´ast kaotikusnak nevezz¨ uk. A kaotikus mozg´asok egyik legjellemz˝obb tulajdons´aga a kezd˝ofelt´etelre val´o ´erz´ekenys´eg. Kaotikus mozg´asokn´al a rendszer kezd˝ofelt´etelekkel szembeni ´erz´ekenys´eg´et a Ljapunov–exponenssel m´erik. Ez szeml´eletesen a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´alhat´o: Jel¨olje xt a kaotikusan mozg´o test helykoordin´at´aj´at a t id˝opillanatban. Nyilv´an xt a kezdeti felt´etelek f¨ uggv´enye: xt = xt (x0 ). Ha a testet kicsivel k¨ ul¨onb¨oz˝o kezd˝ofelt´etelekkel ind´ıtjuk, koordin´at´aj´anak xt (x0 )–t´ol m´ert t´avols´aga exponenci´alisan fog n˝oni a t id˝ovel |xt (x0 + ε) − xt (x0 )| ≈ |ε|etλ

(4.20)

ahol λ a Ljapunov – exponens. λ teh´at a trajekt´ori´ak t´avolod´as´anak gyorsas´ag´at jellemzi!.

46

5. fejezet T¨ omegpontrendszerek mechanik´ aja Az egyetlen t¨omegpont mozg´as´anak vizsg´alata ut´an t¨omegpontok rendszereinek mozg´as´at elemezz¨ uk. A t¨omegpontrendszer kinematikai ´es dinamikai vizsg´alata a t¨omegpontra vonatkoz´o fogalmakra ´ep¨ ul. Term´eszetesen a t¨omegpontra vonatkoz´o fogalmak a t¨omegpontrendszer egyes elemeire k¨ ul¨onk¨ ul¨on ´ertelmezhet˝oek, teh´at ~ri , p~i , . . . jel¨oli a pontrendszer i-edik elem´enek helyvektor´at, impulzusvektor´at, ..., tov´abb´a teljes¨ ul, hogy ~vi = ~r˙i , ´ertelmezhet˝o az si u ´ t, stb. Egy t¨omegpontrendszert a {~ri , mi }N m´odon jel¨ol¨ unk, ahol ~ri , mi az i-edik t¨omegpont helyvektora ´es t¨omege, N jel¨oli a pontrendszer elemeinek a sz´am´at. Egy t¨omegpontrendszer elemei nemcsak egym´assal, de a pontrendszerhez nem tartoz´o m´as t¨omegpontokkal is k¨olcs¨onhat´asban lehet, ez´ert els˝ok´ent az er˝o fogalm´at kell gazdag´ıtanunk. Defin´ıci´o: Bels˝ o er˝ o-nek nevezz¨ uk az {~ri , mi }N t¨omegpontrendszer elemei k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´ast jellemz˝o F~iB er˝oket. F~j→i jel¨oli a rendszer j-edik eleme a´ltal az i-edik elemre kifejtett er˝ot, ekkor F~iB =

N X

F~j→i ,

j6=i=1

azaz az i-edik t¨omegpontra hat´o bels˝o er˝o a t¨obbi t¨omegpont a´ltal r´a kifejtett er˝ok o¨sszege.

47

T¨ omegpont rendszerek Defin´ıci´o: Az F~j→i er˝ot centr´ alisnak nevezz¨ uk, ha az i ´es j t¨omegpontokat ~ o¨sszek¨ot˝o egyenesbe esik, vagyis Fj→i ||~rij . A tov´abbiakban a bels˝o er˝okr˝ol mindig felt´etelezz¨ uk, hogy centr´alis! T¨omegpontrendszerre egy egyszer˝ u p´elda k´et t¨omegpont amelyet rug´oval kapcsolunk o¨ssze. m1 F~2→1

PSfrag replacements

~r1 z ~r2

O

y

5.1. a´bra. P´elda t¨omegpontrendszerre. K´et k¨ ul¨onb¨oz˝o t¨omeg˝ u t¨omegpont rug´oval van o¨sszek¨otve. F~1→2 A t¨omegpontrendszer elemeinek sz´ama 2. A k´et t¨omegpont a rug´on kereszt¨ ul er˝ot fejt ki egym´asra. Az m2 a´br´an szerepl˝o rendszer z´art, mert a rendszerhez nem tartoz´o m´as testekkel nem a´ll k¨olcs¨onhat´asban.

x uls˝ o er˝ o-nek nevezz¨ uk az {~ri , mi }N t¨omegpontrendszerhez nem Defin´ıci´o: K¨ sorolt testekkel val´o k¨olcs¨onhat´ast jellemz˝o F~iK er˝oket. Defin´ıci´o: A t¨omegpontrendszer z´art ha elemeire k¨ uls˝o er˝ok nem hatnak. A 5.1 a´br´an bemutatott k´et t¨omegpontb´ol a´ll´o rendszer z´art, mert a t¨omegpontrendszerhez nem tartoz´o t¨omegponttal nincs k¨olcs¨onhat´asban. Ha figyelembe venn´enk a F¨old a´ltal az m1 , m2 t¨omegpontra kifejtett gravit´aci´os er˝ot a t¨omegpontrendszer ny´ılt lenne. A r´ ug´o a´ltal a k´et t¨omegpontra kifejtett er˝o F~2→1 = −D(~r2 − ~r1 )

(5.1)

centr´alis, mert mindig p´arhuzamos a k´et t¨omegpontot o¨sszek¨ot˝o ~r2 − ~r1 vektorral.

5.1.

T¨ omegpontrendszer mozg´ asegyenletei

Egy t¨omegpontrendszer mozg´as´at ismerj¨ uk, ha ismerj¨ uk minden elem´enek mozg´as´at, vagyis ha az o¨sszes ~ri (t) f¨ uggv´eny ismert. A t¨omegpont mozg´as48

T¨ omegpont rendszerek egyenlet´eb˝ol kiindulva kapjuk a t¨omegpontrendszer mozg´asegyenlet rendszer´et mi~r¨i = F~iB + F~iK , i = 1, . . . , N (5.2) ahol F~iB ´es F~iK jel¨oli a rendszer i-edik t¨omegpontj´ara hat´o bels˝o ´es k¨ uls˝o er˝ok ered˝oj´et, N pedig a rendszer elemeinek sz´ama. A (5.2) egyenletben F~iB ´es F~iK az ~r1 , ~r2 , . . . , ~rN helyvektoroknak ismert f¨ uggv´enyei. Vegy¨ uk ´eszre, hogy (5.2) egy skal´aregyenletekben sz´amolva 3N darab m´asodrend˝ u differenci´alegyenletb˝ol a´ll´o csatolt differenci´alegyenlet rendszer. A csatol´as a bels˝o er˝okben fell´ep˝o koordin´ata f¨ ugg´eseken kereszt¨ ul val´os´ ul meg. A egyenletrendszer egy´ertelm˝ u megold´as´ahoz kezd˝ofelt´etelek megad´asa sz¨ uks´eges, ami az ismeretlen f¨ uggv´enyek nulladik ´es els˝o deriv´altj´anak ´ert´eke valamilyen kezdeti t0 id˝opontban: ~ri0 = ~ri (to ),

´es

~vi0 = ~vi (to ),

(5.3)

azaz meg kell adnunk minden r´eszecske kezdeti hely´et ´es sebess´eg´et. A fenti differenci´alegyenlet rendszer megold´asa szolg´altatja a rendszer egyes elemeinek ~ri (t) p´alyaf¨ uggv´eny´et. P´elda: Az 5.1 a´br´an bemutatott rendszer mozg´asegyenletei a k¨ovetkez˝ok: m1~¨r1 = −D(~r1 − ~r2 ), (5.4) ¨ m2~r2 = D(~r1 − ~r2 ).

A kezd˝ofelt´etelek ~r1 (to ), ~v1 (to ), ´es ~r2 (to ), ~v2 (to ). Ha a referenciaponthoz koordin´atarendszert r¨ogz´ıt¨ unk, akkor a vektorokra fel´ırt 5.4 egyenletrendszer, hat darab skal´ar egyenletb˝ol a´ll´o egyenletrendszerr´e alak´ıthat´o: m1 x¨1 m1 y¨1 m1 z¨1 m2 x¨2 m2 y¨2 m2 z¨2

= = = = = =

−D(x1 − x2 ), −D(y1 − y2 ), −D(z1 − z2 ), D(x1 − x2 ), D(y1 − y2 ), D(z1 − z2 ).

(5.5)

Az egyenletek k¨oz¨otti csatol´as abban ny´ılv´anul meg, hogy az egyenletek jobb oldal´an a x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 v´altoz´ok o¨ssze vannak keveredve. Ha a kezd˝ofelt´eteleink olyanok, hogy a k´et t¨omegpont egy egyenes ment´en mozog, akkor az 5.5 skal´ar egyenletekb˝ol a´ll´o egyenletrendszer tov´abb egyszer˝ us´ıthet˝o k´et skal´ar egyenletb˝ol a´ll´o egyenletrendszerr´e: m1 x¨1 = −D(x1 − x2 ), m2 x¨2 = D(x1 − x2 ), 49

T¨ omegpont rendszerek ahol a koordin´atarendszer x tengely´et a mozg´as egyenes´en vett¨ uk fel, a kezd˝ofelt´etelek pedig x1 (to ), v1 (to ), ´es x2 (to ), v2 (to ) alakba ´ırhat´ok. A tov´abbiakban n´eh´any a t¨omegpontrendszer eg´esz´ere vonatkoz´o t´etelt t´argyalunk. Defin´ıci´o: Az {~ri , mi }N t¨omegpontrendszer t¨omegk¨oz´eppontja az ~rc =

P

i

mi~ri , m

ahol

m=

X

mi

(5.6)

i

helyzetvektor´ u pont. Megjegyz´esek: • A t¨omegk¨oz´eppont ~rc helyvektora csak a t¨omegeloszl´ast´ol f¨ ugg, nem f¨ ugg a referencia pont megv´alaszt´as´at´ol. A defin´ıci´ob´ol l´athat´o, hogy P rc − ~ri ) = 0, ´es az orig´o eltol´asa a ~rc − ~ri k¨ ul¨onbs´egen nem i mi (~ v´altoztathat. • N = 2 eset´en a t¨omegk¨oz´eppont a k´et t¨omegpontot o¨sszek¨ot˝o egyenesen van, ami az el˝oz˝o pont gondolatsor´anak egyenes k¨ovetkezm´enye, 5.2 a´bra. • Ha a t¨omegpontok mozognak, mozoghat a t¨omegk¨oz´eppontjuk is! Sebess´eg´et 5.6 helyvektor´anak id˝o szerinti differenci´al´as´aval kapjuk ~vc =

P

i

mi~vi . m

Innen r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy a t¨omegpontrendszer teljes p~tot impulP zusa p~tot = i mi~vi = m~vc . ~r2

5.2. a´bra. A t¨omegk¨oz´eppont helye k´etelem˝ u t¨omegpontrendszer eset´en.

~rc

PSfrag replacements

O

~r1

A mozg´asegyenlet rendszerb˝ol kiindulva fontos meg´allap´ıt´ast tehet¨ unk a ¨ t¨omegk¨oz´eppont mozg´as´ara. Osszeadva a 5.2 mozg´asegyenlet rendszer egyen50

Gravit´ aci´ os dinamika leteit N X

mi~r¨i =

X

F~iB +

F~iK ,

i

i

i=1

X

| {z } =0

N X

p~˙i =

F~iK ,

X

F~iK .

i

i=1

| {z }

X

p ~tot

p~˙ tot =

i

A fenti egyenletb˝ol l´athat´o, hogy ha egy rendszerre k¨ uls˝o er˝ok nem hatnak k ~ Fi = 0, akkor a rendszer elemei u ´ gy mozognak, hogy a rendszer teljes impulzusa a´lland´o marad. Teh´at a fenti eredm´eny azt jelenti, hogy a rendszer t¨omegk¨oz´eppontja nyugalomban marad.

5.2.

Gravit´ aci´ os dinamika: a bolyg´ ok mozg´ asa

A k¨ovetkez˝okben olyan t¨omegpontrendszer mozg´as´at vizsg´aljuk, amelyeknek elemei a gravit´aci´os er˝ovel hatnak k¨olcs¨on. El˝osz¨or a Nap-F¨old rendszert elemezz¨ uk, amelyet az 5.3 a´bra illusztr´al: PSfrag replacements mN F~F →N

~r = ~rF − ~rN F~N →F

~rN

O

mF

~rF r = |~r|

5.3. a´bra. K´et t¨omegpont, amelyek k¨oz¨ott a gravit´aci´os er˝o hat. Az egyik t¨omegpont a Nap, m´asik a F¨old. A Nap a´ltal a F¨oldre kifejtett gravit´aci´os er˝o mN mF ~r (5.7) F~N →F = −γ r2 r alak´ u, ahol γ jel¨oli a gravit´aci´os a´lland´ot, mN , mF a Nap ´es F¨old t¨omege, ~r pedig a Nap-t´ol a F¨oldh¨oz mutat´o vektor, amelynek r abszol´ ut´ert´eke a NapF¨old t´avols´ag. A gravit´aci´os er˝o teh´at egyenesen ar´anyos a testek t¨omeg´evel 51

Gravit´ aci´ os dinamika ´es ford´ıtottan ar´anyos a testek t´avols´ag´anak n´egyzet´evel. A negat´ıv el˝ojel azt fejezi ki, hogy az er˝o vonz´o er˝o, azaz a Nap a´ltal a F¨oldre kifejtett er˝o ir´anya ellent´etes a Nap-t´ol a F¨oldh¨oz mutat´o vektorral. Az a´br´an bemutatott Nap-F¨old rendszer mozg´asegyenletei a k¨ovetkez˝ok: mN mF ~r , r2 r mN mF ~r = γ , r2 r

mF ~¨rF = −γ mN ~¨r N

(5.8)

ami skal´aregyenletekben sz´amolva 6 darab egyenletb˝ol a´ll´o m´asodrend˝ u csatolt differenci´alegyenletrendszer az ismeretlen ~rF (t), ~rN (t) f¨ uggv´enyekre. Kezd˝ofelt´etelk´ent meg kell adnunk a k´et objektum kezdeti hely´et ´es sebess´eg´et: ~rF (to ), ~rN (to ) ´es ~vF (to ), ~vN (to ). Az 5.8 egyenletrendszer adja az u ´ gynevezett gravit´aci´os k´ ettestprobl´ ema a´ltal´anos le´ır´as´at, amelynek megold´as´aval kaphatjuk meg a Nap ´es a F¨old mozg´as´at. Ha a k´et vizsg´alt objektum k¨oz¨ ul az egyik t¨omege j´oval nagyobb, mint a m´asik´e, mint eset¨ unkben a Nap t¨omege 330.000 szerese a F¨old t¨omeg´enek, a nagyt¨omeg˝ u objektum mozg´asa elhanyagolhat´o m´ereteihez k´epest, a´ll´onak tekinthet˝o, azaz a mozg´asegyenletben az o˝ koordin´at´aja a´lland´onak vehet˝o. Ezt a k¨ozel´ıt´est, teh´at amikor a nagy t¨omegk¨ ul¨onbs´eg miatt a nagyt¨omeg˝ u k¨olcs¨onhat´o partner mozg´as´at elhanyagoljuk, egytest k¨ ozel´ıt´ esnek, egytest probl´ em´ anak, vagy Kepler-probl´ em´ anak nevezz¨ uk. Egytest k¨ozel´ıt´es eset´en c´elszer˝ u a referencia pontot a nagyt¨omeg˝ u test hely´enek v´alasztani, azaz a mi eset¨ unkben a Naphoz r¨ogz´ıteni:

y PSfrag replacements

F¨old ~r

Nap

5.4. a´bra. A Nap-F¨old rendszer egytest k¨ozel´ıt´esben.

x

A F¨oldre vonatkoz´o mozg´asegyenlet ekkor a k¨ovetkez˝o: mF ~¨r = −γ

mN mF ~r , r2 r 52

(5.9)

Gravit´ aci´ os dinamika ahol most r jel¨oli a F¨old-Nap t´avols´agot. Ennek megold´as´aval kaphatjuk a F¨old, illetve hasonl´o egyenletek megold´as´aval, a t¨obbi bolyg´o Napk¨or¨ uli mozg´as´at.

5.2.1.

A bolyg´ omozg´ as t¨ orv´ enyszer˝ us´ egei

A bolyg´ok mozg´as´anak t¨orv´enyszer˝ us´egeit Kepler a´llap´ıtotta meg Tycho Brahe megfigyel´esi eredm´enyeinek analiz´al´as´aval: Kepler t¨ orv´ enyek: 1. A bolyg´ok a Nap k¨or¨ ul ellipszis alak´ u p´aly´akon keringenek, amelyek egyik f´okuszpontj´aban a Nap van. 2. A Napt´ol egy bolyg´ohoz h´ uzott vez´ersug´ar egyenl˝o id˝ok alatt egyenl˝o ter¨ uleteket s´ urol. 3. Az ellipszis p´aly´an t¨ort´en˝o mozg´asn´al a T peri´odus id˝ore ´es az ellipszis a f´el nagytengely´ere fenn´all: T2 = a´ll. a3 Az a´lland´o ´ert´eke a Naprendszerre jellemz˝o, minden a Naprendszerben kialakul´o ellipszis p´aly´ara ugyanaz.

F¨old PSfrag replacements

a

Nap

5.5. a´bra. Az ellipszis p´alya jellemz˝oi. A mozg´asegyenletek minden inform´aci´ot tartalmaznak a mozg´asr´ol, ´ıgy a Kepler t¨orv´enyek mindenk´eppen igazolhat´oak az egytestprobl´ema 5.9 mozg´asegyenlet´eb˝ol kiindulva. A gravit´aci´os egytestprobl´ema vizsg´alat´ahoz szorozzuk meg a 5.9 egyenlet mindk´et oldal´at vektori´alisan ~r-el mN mF mF [~¨r, ~r] = −γ [~r, ~r]. r3 53

Gravit´ aci´ os dinamika Mivel p´arhuzamos vektorok vektorszorzata nulla, az egyenlet jobb oldala nulla, a baloldal pedig a´talak´ıthat´o a k¨ovetkez˝o m´odon d [~r, ~r˙ ] = [~r˙ , ~r˙ ] + [~r, ~¨r] = [~r, ~¨r ], dt ahol ism´et kihaszn´altuk, hogy p´arhuzamos vektorok vektorszorzata nulla. Teh´at v´egeredm´eny¨ ul azt kaptuk, hogy d [~r, ~r˙ ] = 0, dt azaz [~r, ~r˙ ] = a´ll.. A vektorszorzat a´lland´os´anak nagyon fontos a´ltal´anos k¨ovetkezm´enyei vannak az ~r(t) f¨ uggv´enyre vonatkoz´oan. A vektorszorzat mer˝oleges mindk´et szorz´ot´enyez˝o vektorra, l´asd a 5.6 a´bra. A fenti egyenlet szerint a szorzatvektor a´lland´os´aga azt jelenti, hogy a t¨omegpont mindig a vektorszorzatra mer˝oleges s´ıkban kell mozogjon, azaz a mozg´as s´ıkmozg´as. Ez minden centr´alis er˝o hat´asa alatt l´etrej¨ov˝o mozg´asra igaz. Teh´at megmutattuk, hogy a gravit´aci´os er˝ot´erbeli mozg´as s´ıkmozg´as. Azt, hogy p´alyag¨orbe ellipszis, a mozg´asegyenlet analitikus megold´as´aval lehet bel´atni.

[~r, d~r] 5.6. a´bra. A fel¨ uleti sebess´eg illusztr´al´asa. A besat´ırozott ter¨ ulet nagys´aga kifejezhet˝o az [~r, d~r] vektorszorzat seg´ıts´eg´evel.

d~r PSfrag replacements

~r

Az [~r, ~r˙ ] = [~r, d~r]/dt mennyis´egnek szeml´eletes jelent´ese van. A vektorszorzat ´ertelmez´ese szerint [~r, d~r] a k´et vektor a´ltal felfesz´ıtett paralelogramma ter¨ ulete, amelyet teh´at az ~r vektor dt id˝o alatt s´ urol. Teh´at a vektorszorzat fel¨ uleti sebess´egk´ent ´ertelmezhet˝o ~vF = 12 |[~r, ~v ]|, ´es a´lland´os´aga ´epp Kepler m´asodik t¨orv´eny´enek teljes¨ ul´es´et jelenti. Kepler harmadik t¨orv´eny´et szint´en a 5.9 mozg´asegyenlet a´ltal´anos megold´as´anak elemz´es´evel lehet igazolni, viszont k¨orp´alya speci´alis eset´eben teljes¨ ul´es´et k¨onnyen bel´athatjuk. Az r sugar´ u k¨orp´aly´an mozg´o test gyorsul´asa 2 a = ~v /r nagys´ag´ u, s a k¨or k¨oz´eppontja fel´e mutat. Bolyg´ok eset´en a 54

Gravit´ aci´ os dinamika k¨ormozg´ast a Nap a´ltal kifejtett gtavit´aci´os er˝o hozza l´etre, ez´ert ekkor a mozg´asegyenlet a k¨ovetkez˝o alak´ u mN m ~v 2 =γ 2 , (5.10) r r ahol mN a nap t¨omeg´et, m pedig egy tetsz˝oleges bolyg´o t¨omeg´et jel¨oli. Innen a v p´alyasebess´eg meghat´arozhat´o m

1



γmN 2 v= . (5.11) r Mivel a v sebess´eg a´lland´o, egy k¨orbefordul´as T ideje, azaz a peri´odus id˝o 2rπ T = (5.12) v lesz. A fenti k´et egyenletet egym´asba helyettes´ıtve ad´odik Kepler harmadik t¨orv´eny´enek teljes¨ ul´ese 4π 2 T2 = , r3 γmN

(5.13)

s ezzel meghat´aroztuk a t¨orv´enyben szerepl˝o naprendszer a´lland´o ´ert´ek´et is.

5.7. a´bra. A p´alya alakj´anak v´altoz´asa a kezdeti sebess´eg f¨ uggv´eny´eben.

rag replacements

[~r, d~r] ~r d~r Mivel a mozg´as s´ıkmozg´as, a referenci´aul v´alasztott Naphoz egy koordin´atarendszert r¨ogz´ıtve a fenti vektoregyenlet k´et skal´aregyenlett´e esik sz´et. Az ~r vektor komponensei (x, y), majd a r´ajuk vonatkoz´o egyenletek: mN x x¨ = −γ 3 , r mN y y¨ = −γ 3 , q r r = x2 + y 2 . 55

Gravit´ aci´ os dinamika A kapott egyenletrendszer numerikus megold´as´at p´eld´aul Verlet-m´odszerrel a k¨ovetkez˝o m´odon kaphatjuk meg: −3

r3 (t) = (x(t)2 + y(t)2 ) 2 , x(t + ∆t) = 2x(t) − x(t − ∆t) − γmN x(t)r3 (t)∆t2 , y(t + ∆t) = 2y(t) − y(t − ∆t) − γmN y(t)r3 (t)∆t2 , A numerikus megold´as sor´an ´erdemes minden iter´aci´os l´ep´esben el˝ore kisz´am´ıtani r 3 ´ert´ek´et. A szimul´aci´o kezd˝ofelt´etel´et c´elszer˝ u u ´ gy megv´alasztani, hogy a Napt´ol egy adott t´avols´agban r¨ogz´ıtj¨ uk a kezdeti helyet majd v´altoztatjuk a kezd˝osebss´eg ´ert´ek´et a bolyg´ot a Nappal o¨sszek¨ot˝o egyenesre mer˝oleges ir´anyban az 5.7 a´br´an illusztr´alt m´odon.

56

Gravit´ aci´ os dinamika

5.2.2.

Feladatok

A feladatok v´egrehajt´as´ahoz az orbiter.exe programot haszn´aljuk, illetve sz¨ uks´eg¨ unk lehet egy grafikus a´br´azol´o programra. 1. A t´abl´azat a Naprendszer bolyg´oinak p´alyaadatait adja. Az id˝o egys´ege 1 f¨oldi ´ev a t´avols´ag´e pedig a F¨old p´alya f´el nagytengelye. Bolyg´o Merkur V´enusz F¨old Mars Jupiter Saturnusz Ur´anusz Neptunusz Plut´o

Kering´esi id˝o (T ) F´elnagytengely (a) 0.241 0.387 0.615 0.723 1.0 1.0 1.88 1.523 11.86 5.202 29.5 9.539 84.0 19.19 165 30.06 248 39.44

5.1. t´abl´azat. A Naprendszer bolyg´oinak p´alyaadatai.

Egy grafikus a´br´azol´o program seg´ıts´eg´evel mutassuk meg Kepler harmadik t¨orv´eny´enek teljes¨ ul´es´et, s hat´arozzuk meg a Naprendszer-´alland´o T 2 /a3 , majd a γmN ´ert´ek´et! (Seg´ıts´eg: az egyik legegyszer˝ubb lehet˝os´eg, hogy a´br´azoljuk k´etszer logaritmikus sk´al´an T -t mint a f¨ uggv´eny´et. Ha teljes¨ ul Kepler harmadik t¨orv´enye, milyen g¨orb´et kell l´atnunk?)

2. Az orbiter programmal tekints¨ uk meg a Naprendszert! A m´eretbeli k¨ ul¨onbs´egek miatt a t´avoli bolyg´okat csak a bels˝o boltg´okt´ol szepar´altan tudjuk megne´ezni! 3. Tekints¨ uk egyetlen bolyg´o mozg´as´at! A kezd˝ofelt´etel der´eksz¨og˝ u koordin´ata rendszerben legyen x(t = 0) 6= 0, y(t = 0) = 0, vx(t = 0) = 0, ´es vy(t = 0) 6= 0. • Miut´an r¨ogz´ıtett¨ uk a Napt´ol m´ert kezdeti x(t = 0) t´avols´agot, v´altoztassuk addig vy(t = 0)-t, amig k¨orp´aly´at nem kapunk! Hasonl´ıtsuk o¨ssze a kapott p´aly´akat! • Mit nevez¨ unk els˝o ´es m´asodik kozmikus sebess´egnek? • Mi´ert negat´ıv a teljes energia? • Mi t¨ort´enne, ha pozit´ıv lenne? 57

Gravit´ aci´ os dinamika 4. V´alasszuk meg a kezd˝ofelt´eteleket az el˝oz˝o feladatban ismertetett technik´aval u ´ gy, hogy ellipszis p´alya alakuljon ki! A programban haszn´alt numerikus integr´al´asi elj´ar´as u ´ gynevezett adapt´ıv ∆t ´ert´eket haszn´al. Ez azt jelenti, hogy ha a bolyb´o gyorsan mozog, a kiel´eg´ıt˝o numerikus pontoss´ag el´er´es´ehez kis ∆t-t kell haszn´alni, m´ıg ahol a mozg´as lass´ u nagy ∆t is j´o eredm´enyt ad. Hogy a mozg´ast val´os id˝oben ´erz´ekelhess¨ uk, integr´aljuk a mozg´ast n´eh´any peri´odusra, majd haszn´aljuk a program Replay funkci´oj´at, ami val´osidej˝ u visszaj´atsz´ast csin´al. • Jellemezz¨ uk a bolyg´o p´alyamenti sebess´eg´enek alakul´as´at!

• T´etelezz¨ uk fel, hogy a vizsg´alt bolyg´o a F¨old! Mennyi id˝o telik el a F¨old¨on a Nap k´et delel´ese k¨oz¨ott, ha a F¨old Napk¨ozelben, illetve Napt´avolban van?

5. Hogyan lehetne figyelembe venni a leveg˝o f´ekez˝o hat´as´at egy szatelitre? • Milyen er˝ot kellene a mozg´asegyenletbe irni?

• milyen lesz a mozg´as p´aly´aja?

6. A napsz´el hogyan deform´alja egy szatellit F¨old k¨or¨ uli p´aly´aj´at? 7. Ha egy bolyg´o egy kett˝os csillag rendszer´eben mozog, nagyon kicsi az es´elye annak, hogy z´art p´alya alakul ki. A bolyg´o mozg´asa ilyenkor er˝osen irregul´aris, o¨sszevissza, z´art p´alya csak nagyon speci´alis kezd˝ofelt´etelek mellett alakulhat ki. A program lehet˝os´eget ny´ ujt a kett˝os csillag plussz egy bolyg´o rendszer´enek vizsg´alat´ara. • A bolyg´ot inditsuk az egyik csillag k¨ozel´eb˝ol s figyelj¨ uk meg milyen p´alya alakul ki! • Keress¨ unk olyan kezd˝ofelt´etelt, amellyel a bolyg´o a k´et csillagot nyolcas alakban megker¨ uli, majd elhagyja a csillagrendszert! • A kett˝oscsillag rendszer´eben a bolyg´o mozg´asa kaotikus lehet, ami abban ny´ılv´anul meg, hogy a bolyg´o p´aly´aja nagyon ´erz´ekeny a kezd˝ofelt´etelekre. Inditsunk mozg´asokat egym´ashoz nagyon k¨ozeli kezd˝ofelt´etelekkel egy figyelj¨ uk meg az egyes p´alyg¨orb´ek egym´ast´ol val´o t´avolod´as´at! • N¨ovelj¨ uk a bolyg´o t¨omeg´et! Figyelj¨ uk, hogyan v´altozik a p´alya alakja ´es stabilit´asi tulajdons´agai nagyobb t¨omegek eset´en!

58

Gravit´ aci´ os dinamika

5.2.3.

Nap-F¨ old-Jupiter rendszer vizsg´ alata

Eddig csak azt vizsg´altuk, hogyan mozog egy bolyg´o a Nap gravit´aci´os ter´eben. A Nap k¨or¨ ul kering˝o bolyg´ok a k¨oz¨ott¨ uk hat´o gravit´aci´os er˝o r´ev´en szint´en befoly´asolj´ak egym´as mozg´as´at. Mivel a bolyg´ok t¨omege l´enyegesen kisebb a Nap t¨omeg´en´el, ez a hat´as t¨obbnyire a Nap k¨or¨ uli sz´am´ıtott p´alya kis m´odosul´as´aban ny´ılv´anul meg, ez´ert azt mondjuk, a bolyg´ok csak zavarj´ak, perturb´alj´ak egym´as mozg´as´at. El˝ofordulhatnak azonban olyan esetek, amikor bolyg´ok egym´asra kifejtett hat´asa er˝osen befoly´asolja a Napk¨or¨ uli mozg´as p´aly´aj´at: Ha egy bolyg´o t¨omege nagy ´es Napk¨or¨ uli kering´ese sor´an id˝or˝olid˝ore egy m´asik, kisebb t¨omeg˝ u bolyg´o k¨ozel´ebe ker¨ ul, hossz´ u id˝o eltelt´evel a kisebb bolyg´o p´aly´aja megv´altozhat. A Naprendszer bels˝o bolyg´oi k¨oz¨ ul a Jupiter j´oval nagyobb t¨omeg˝ u, mint a t¨obbi bolyg´o, ez´ert jelent˝osen befoly´asolta k¨ornyezete id˝ofejl˝od´es´et a Naprendszer t¨ort´enete folyam´an (l´asd a kisbolyg´ok o¨v´eben a Kirkwood s´avok kialakul´asa), s˝ot hat´as´at m´eg a f¨old¨on is ki lehet mutatni. M´asik tipikus eset, amikor a perturb´aci´ok fontoss´a v´alhatnak a Naprendszer k¨ uls˝o bolyg´oi eset´en k¨ovetkezhet be. Ezek a bolyg´ok m´ar nagyon nagy t´avols´agban mozognak a Napt´ol, ´ıgy a Nap gravit´aci´os hat´as´at m´ar egy nem t´ uls´agosan nagyt¨omeg˝ u, de a k¨ozelben l´ev˝o m´asik bolyg´o is m´odos´ıthatja, p´alyam´osul´ast okozva. A k¨ uls˝o bolyg´ok felfedez´es´et is a m´ar kor´abban ismert bolyg´ok p´alyam´odosul´asai elemz´es´enek k¨osz¨onhetj¨ uk. Erre nagyon sz´ep p´elda az Neptunusz t¨ort´enete. Az Ur´anuszt 1781-ben fedezte fel F. W. Herschel majd p´aly´aj´at Bouvard hat´arozta meg 1821-ben figyelembe v´eve a Jupiter ´es a Szaturnusz p´aly´aj´at. Azonban a sz´am´ıtott ´es a megfigyelt p´alya k¨oz¨ott elt´er´es mutatkozott, ami az id˝o m´ ul´as´aval n˝ott. Leverrier francia csillag´asz 1846-ben az anom´alia magyar´azat´ara abb´ol a feltev´esb˝ol indult ki, hogy az Ur´anuszon t´ ul l´etezik egy nagyt¨omeg˝ u bolyg´o, s az anom´alia m´ert´ek´eb˝ol a hely´et is meghat´arozta. Sz´am´ıt´asai alapj´an Galle berlini csillag´asz tal´alta meg t´avcs¨ov´evel a keresett bolyg´ot, amely a Neptunusz nevet kapta. A Pluto-t 1930-ban fedezt´ek fel a fentiekhez hasonl´o m´odon [1]. Ha az el˝oz˝o felyezetben ismertetett k´ettestprobl´em´at kieg´esz´ıtve, a F¨old¨on k´ıv¨ ul m´eg egy m´asik bolyg´ot is figyelembe vesz¨ unk a h´aromtest probl´em´at kapjuk, amit analitikusan m´ar nem lehet megoldani. Ilyenkor a probl´ema csak numerikusan kezelhet˝o. A k¨ovetkez˝okben a Nap-F¨old-Jupiter rendszer mozg´as´at elemezz¨ uk u ´ gy, hogy a Napot tov´abbra is nyugv´onak tekintj¨ uk. A rendszert az 5.8 a´bra szeml´elteti. Ekkor a Jupiter a´ltal a F¨oldre kifejtett er˝o mJ mF F~J→F = −γ 2 , rF J ahol rF J a F¨oldnek a Jupitert˝ol m´ert t´avols´ag´at jel¨oli. A mozg´asegyenletekben Napnak az egyes bolyg´okra kifejtett hat´as´an k´ıv¨ ul itt m´ar figyelembe 59

Gravit´ aci´ os dinamika

y PSfrag replacements

F¨old

~rF J

~rF

Jupiter

~rJ

x

Nap

5.8. a´bra. A Nap-F¨old-Jupiter rendszer. A Napot tov´abbra is nyugv´onak tekintj¨ uk s a referencia pontot a Nap hely´ere v´alasztjuk. kell venni a F¨old-Jupiter k¨olcs¨onhat´ast is! A bolyg´ok mozg´asegyenletei mJ mF (~rF − ~rJ ) mN mF ~rF −γ , mF ~¨r F = −γ 3 rF rF3 J mJ mF (~rF − ~rJ ) mN mJ ~rJ +γ . mJ ~¨r J = −γ 3 rJ rF3 J A k´et egyenlet csatolt mozg´asegyenlet rendszert alkot, nem lehet o˝ket egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul megoldani. Az egyenletek jobb oldal´an az els˝o tag mindig a Nap a´ltal az illet˝o bolyg´ora kifejtett er˝o, a m´asodik tagok pedig a bolyg´ok k¨olcs¨on¨os hat´as´at ´ırj´ak le. Az egyenletrendszert csak numerikusan tudjuk megoldani. Ehhez el˝osz¨or fel´ırjuk az egyenleteket koordin´at´as alakban m N xF mJ (xF − xJ ) −γ , 3 rF rF3 J mJ (yF − yJ ) mN y F , = −γ 3 − γ rF rF3 J

x¨F = −γ y¨F

m N xJ mF (xF − xJ ) +γ , 3 rJ rF3 J mN y J mF (yF − yJ ) = −γ 3 + γ , rJ rF3 J

x¨J = −γ y¨J

60

Gravit´ aci´ os dinamika majd megkonstru´aljuk a v´alasztott numerius m´odszer, p´eld´aul a Verlet m´odszer, iter´aci´os egyenleteit rF 3 (t) = (xF (t)2 + yF (t)2 )

−3 2

, −3

2

rF J3 (t) = ((xF (t) − xJ (t)) + (yF (t) − yJ (t))2 ) 2 , xF (t + ∆t) = 2xF (t) − xF (t − ∆t) − γ [mN x(t)F rF 3 (t) + mJ (xF (t) − xJ (t))rF J3 (t)] ∆t2 , yF (t + ∆t) = 2yF (t) − yF (t − ∆t) − γmN yF (t)rF 3 (t)∆t2 , −3

rJ3 (t) = (xJ (t)2 + yJ (t)2 ) 2 , xJ (t + ∆t) = 2xJ (t) − xJ (t − ∆t) − γmN x(t)J rF J3 (t)∆t2 , yJ (t + ∆t) = 2yJ (t) − yJ (t − ∆t) − γmN yJ (t)rF 3 (t)∆t2 .

61

Gravit´ aci´ os dinamika

5.2.4.

Feladatok

1. A Mars ´es a Jupiter k¨oz¨ott h´ uz´odik a kisbolyg´ok o¨ve, ahol sok ezer kism´eret˝ u bolyg´o kering. R´eszletes vizsg´alatok kider´ıtett´ek, hogy a kisbolyg´ok p´aly´aja nem egyenletesen t¨olti ki a Mars ´es a Jupiter k¨oz¨otti ter¨ uletet, hanem vannak s´avok, ahol egy´altal´an nem tal´alunk kisbolyg´ot. Ezek az u ¨ res s´avok az u ´ gynevezett Kirkwood s´avok! A Kirkwood s´avok kialakul´as´anak oka, hogy a k¨ozeli Jupiter zavar´o hat´asa miatt azok a p´aly´ak, amelyeken a kering´esi id˝o a Jupiter kering´esi idej´evel racion´alis ar´anyban all, instabilak, ez´ert r´oluk a kisbolyg´ok kisz´or´odtak a Naprendszer t¨ort´enete folyam´an. P´eld´aul ezek a Kirkwood s´avokb´ol kisz´or´odott nagyt¨omeg˝ u objektumok okozhatnak id˝or˝ol-id˝ore riadalmat a F¨old¨on, mert o¨ssze¨ utk¨ozhetnek bolyg´onkkal. • A fenti t´abl´azat seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg azon kisbolyg´ok p´aly´aj´anak a f´elnagytengely´et, amelyek kering´esi ideje a Jupiter kering´esi idej´enek 1/2, 3/7, 2/5, ´es 2/3 r´esze! • A fenti eredm´enyeket haszn´aljuk kezd˝ohelyk´ent, majd keress¨ unk olyan kezd˝osebess´eget, amelyyel k¨orp´alya alakul ki! Hogyan helyezkednek el a k¨orp´aly´ak egym´ashoz k´epest? 2. Nap-Jupiter-¨ ust¨ok¨os rendszer: a Jupiter k¨ozel´eben elhalad´o u ¨ st¨ok¨oz¨ok p´aly´aja jelent˝osen m´odosul. Az u ¨ st¨ok¨os param´etereit v´altoztatva elemezz¨ uk a Jupiter hat´as´at! 3. Mini Naprendszer: a Jupiter ´es holdjainak rendszere a Naprendszerhez hasonl´o o¨n´all´o kis rendszer. A szimul´aci´os program lehet˝os´eget ad ezen kis rendszer o¨n´all´o elemz´es´ere. 4. Lagrange pontok ˝ 5. Urhaj´ o dokkol´asa: A rendszer h´arom objektumb´ol a´ll, F¨old, a F¨old r¨or¨ ul kering˝o u ˝ r´allom´as ´es egy u ˝ rhaj´o, amely az u ˝ r´allom´ashoz akar csatlakozni. Az a´llom´as ´es u ˝ rhaj´o a F¨old k¨or¨ ul kering. A csatlakoz´ashoz az u ˝ rhaj´o seb´ess´ege (vektor!) egyenl˝o kel legyen az u ˝ r´allom´as sebess´eg´evel. Az u ˝ rhaj´o hajt´om˝ uv´et tudjuk kontroll´alni a nyilakkal, l¨ok´eseket adva x ´es y ir´anyban.

62

¨ oz´esek Utk¨

5.3.

¨ oz´ Utk¨ esek

A t¨omegpontrendszerek mozg´as´ar´ol tanultak tov´abbi alkalmaz´asak´ent kiterjedt mechanikai testek u ¨ tk¨oz´es´et vizsg´aljuk. Testek mozg´as´anak vizsg´alatakor u ¨ tk¨oz´esnek nevezz¨ uk azt a jelens´eget, amikor k´et vagy t¨obb, egym´ashoz ¨ oz´eskor, a testek sebess´ege k´epest mozg´o test ´erintkez´esbe jut egym´assal. Utk¨ miatt, a testek k¨oz¨ott az ´erintkez´es r¨ovid ideje alatt igen nagy er˝ok l´epnek fel. Ha ezeket az er˝oket pontosan meg tudn´ank adni, akkor fel tudn´ank ´ırni a testek mozg´asegyenlet´et, amelynek megold´as´aval a testek mozg´asa pontosan meghat´arozhat´o lenne. Az u ¨ tk¨oz´eskor fell´ep˝o er˝ok pontos alakj´at viszont nem ismerj¨ uk, r´oluk t¨obbnyire annyit tudunk, hogy igen nagyok ´es r¨ovid ideig, l¨ok´esszer˝ uen hatnak, ez´ert er˝ol¨ok´eseknek is nevezz¨ uk o˝ket. A probl´em´at ez´ert u ´ gy fogalmazzuk a´t, hogy adottak az u ¨ tk¨oz˝o testek sebess´egei k¨ozvetlen¨ ul az u ¨ tk¨oz´es el˝ott, ´es adottak az er˝ol¨ok´esek, keress¨ uk a testek u ¨ tk¨oz´es ut´ani sebess´eg´et, ahogyan az 5.9 a´bra illusztr´alja. ~v1, ~v1 PSfrag replacements ~v2 ~v2, 5.9. a´bra. K´et billi´ardgoly´o u ¨ tk¨oz´ese. A k´et g¨ombalak´ u goly´o kem´eny anyagb´ol k´esz¨ ul, ez´ert az u ¨ tk¨oz´eskor fell´ep˝o nagy er˝ok k¨ovetkezt´eben az u ¨ tk¨oz´es r¨ovid ideig tart. Tetsz˝oleges alak´ u testek u ¨ tk¨oz´es´en´el az u ¨ tk¨oz´est centr´ alisnak nevezz¨ uk, ha az u ¨ tk¨oz´esi pontban a k´et fel¨ ulet k¨oz¨os ~n norm´alisa egybeesik a k´et test t¨omegk¨oz´eppontj´at o¨sszek¨ot˝o egyenessel, l´asd az 5.10 a´br´at. Igy teh´at g¨omb alak´ u testek u ¨ tk¨oz´ese mindig centr´alis. Ha k¨ozvetlen¨ ul az u ¨ tk¨oz´es el˝ott a k´et sebess´egvektor egy egyenesbe esik, akkor az u ¨ tk¨oz´est egyenesnek, egy´ebk´ent ferd´enek nevezz¨ uk. A k´et u ¨ tk¨oz˝o test t¨omege legyen m1 ´es m2 , u ¨ tk¨oz´es el˝otti sebess´egeik ~v1 , ¨ tk¨oz´es el˝otti ~v2 , az u ¨ tk¨oz´es ut´aniak pedig ~v1, , ~v2, . C´elunk teh´at az, hogy az u sebess´egek ´es az u ¨ tk¨oz´eskor fell´ep˝o er˝ol¨ok´es ismeret´eben hat´arozzuk meg az u ¨ tk¨oz´es ut´ani sebess´egvektorokat. 63

¨ oz´esek Utk¨

c1

~v1

PSfrag replacements ~n

c2 ~v2

5.10. a´bra. Az ~n u ¨ tk¨oz´esi norm´alis defin´ıci´oja. Ha az ~n vektor egybeesik a c1 , c2 t¨omegk¨oz´eppontokat o¨sszek¨ot˝o egyenessel, az u ¨ tk¨oz´est centr´alisnak nevezz¨ uk.

5.3.1.

¨ oz´ Utk¨ esek t¨ orv´ enyszer˝ us´ egei

Mivel k´et test u ¨ tk¨oz´esekor csak bels˝o er˝ok l´epnek fel, az impulzus megmarad´asa mindig teljes¨ ul, azaz igaz, hogy p~1 + p~2 = p~,1 + p~,2 , m1~v1 + m2~v2 = m1~v1, + m2~v2, .

(5.14) (5.15)

A teljes impulzus a´lland´os´aga miatt a rendszer t¨omegk¨oz´eppontja vagy nyugalomban van, vagy egyenes vonal´ u egyenletes mozg´ast v´egez. A fenti egyenlet o¨nmag´aban m´eg nem elegend˝o az u ¨ tk¨oz´es ut´ani sebess´egek meghat´aroz´as´ahoz, ez´ert egyszer˝ us´ıt˝o feltev´esekkel kell ´elj¨ unk. Az u ¨ tk¨oz´eseknek h´arom f˝o t´ıpus´at k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg: • T¨ ok´ eletesen rugalmas u ¨tk¨ oz´ es T¨ok´eletesen rugalmasnak nevezz¨ uk az u ¨ tk¨oz´est, ha az u ¨ tk¨oz´es sor´an a rendszer teljes mozg´asi energi´aja a´lland´o. Ha E1 , E2 jel¨oli a k´et test mozg´asi energi´aj´at, akkor E1 + E2 = E1, + E2, , 1 1 1 1 m1~v12 + m2~v22 = m1~v1,2 + m2~v2,2 . 2 2 2 2

(5.16) (5.17)

• Rugalmatlan u ¨tk¨ oz´ es Egy u ¨ tk¨oz´es a val´os´agban szinte sohasem lehet t¨ok´eletesen rugalmas, mindig van valamekkora energia vesztes´eg, vagyis 0

0

E1 + E 2 > E 1 + E 2 . 64

(5.18)

¨ oz´esek Utk¨ Ennek t¨obbnyire az az oka, hogy u ¨ tk¨oz´eskor a testek deform´al´odnak, s az anyag viszkozit´asa miatt a mozg´asi energia egy r´esze a testek meleg´ıt´es´ere ford´ıt´odik. Sokszor u ¨ tk¨oz´es sor´an a testek maradand´o alakv´altoz´ast szenvednek, vagy apr´o reped´esek keletkeznek rajtuk, ami szint´en energi´aba ker¨ ul. Adott anyagb´ol k´esz¨ ult g¨omb alak´ u testek u ¨ tk¨oz´esekor a rugalmatlans´ag m´ert´ek´et jellemezhetj¨ uk u ´ gy, hogy megadjuk az u ¨ tk¨oz´es el˝otti ´es ut´ani mozg´asi energia ar´any´at 0

0

E + E2 , ε= 1 E1 + E 2

ahol

ε ≤ 1.

(5.19)

R¨ogz´ıtett alak mellett (pl. g¨omb) ε csak az anyagi min˝os´egt˝ol f¨ ugg˝o jellemz˝o. • T¨ ok´ eletesen rugalmatlan u ¨tk¨ oz´ es T¨ok´eletesen rugalmatlan u ¨ tk¨oz´es sor´an a testek o¨sszetapadnak, s az u ¨ tk¨oz´est k¨ovet˝oen egy¨ utt haladnak tov´abb. Ilyenkor teh´at a k´et test u ¨ tk¨oz´es ut´ani ~v sebess´ege azonos. A k¨oz¨os ~v sebess´eget az impulzusmegmarad´as alapj´an egyszer˝ uen kisz´am´ıthatjuk. Mivel m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2 )~v ,

(5.20)

k¨ovetkezik, hogy ~v =

m1~v1 + m2~v2 . m1 + m 2

(5.21)

A tov´abbiakban csak a t¨ok´eletesen rugalmas u ¨ tk¨oz´es probl´em´aj´at vizsg´aljuk r´eszletesen. Az eddigi vizsg´alataink sor´an az egyes mennyis´egeket az u ´ gynevezett Laborat´oriumi vonatkoztat´asi rendszerben, r¨oviden Laborrendszerben irtuk fel. Vizsg´aljuk most meg a mozg´ast a t¨omegk¨oz´epponthoz r¨ogz´ıtett vonatkoztat´asi rendszerben! A t¨omegk¨oz´eppont ~v c sebess´ege a Laborat´oriumi rendszerben ~vc =

m1~v1 + m2~v2 . m1 + m 2

(5.22)

Az egyes t¨omegpontoknak a t¨omegk¨oz´epponthoz viszony´ıtott ~v 10 , ~v20 sebess´ege az u ¨ tk¨oz´es el˝ott ~v10 = ~v1 − ~vc , ~v20 = ~v2 − ~vc . 65

(5.23)

¨ oz´esek Utk¨ Behelyettes´ıtve ~vc 5.22 alakj´at a k¨ovetkez˝o ad´odik m2 m2 (~v1 − ~v2 ) = ~v , m1 + m 2 m1 + m 2 m1 m1 (~v2 − ~v1 ) = − ~v . = m1 + m 2 m1 + m 2

~v10 =

(5.24)

~v20

(5.25)

Azt kaptuk, hogy a k´et sebess´eg egym´assal ellent´etes ir´any´ u, teh´at ak´armilyenek is a Laborrendszerbeli sebess´egek, a T¨omegk¨oz´epponti rendszerb˝ol mindig azt l´atjuk, hogy a k´et u ¨ tk¨oz˝o test egy egyenes ment´en mozog vagy egym´as fel´e, vagy egym´ast´ol t´avolodva. A ~v = ~v1 − ~v2 a k´et test egym´ashoz viszony´ıtott relat´ıv sebess´ege. Az u ¨ tk¨oz˝o rendszer teljes impulzusa a T¨omegk¨oz´epponti rendszerben m1~v10 + m2~v20 =

m1 m2 m1 m2 ~v − ~v = 0. m1 + m 2 m1 + m2

(5.26)

Teh´at a k´et test impulzusa egyenl˝o nagys´ag´ u ´es ellent´etes ir´any´ u, ´ıgy a teljes impulzus nulla. Az impulzus megmarad´as miatt az u ¨ tk¨oz´es ut´ani teljes impulzus is nulla kell legyen, azaz az u ¨ tk¨oz´es eredm´enyek´ent mind¨ossze annyi t¨ort´enhet, hogy a testek impulzusvektorai, sebess´egvektorai elfordulnak, l´asd a 5.11 a´br´at. Az u ¨ tk¨oz´es ut´ani mozg´as egyenes´et jellemezhetj¨ uk p´eld´aul a , ~v10

PSfrag replacements

~v20

~v10

, ~v20

5.11. a´bra. T¨ omegk¨ oz´epponti rendszerben u ¨tk¨ oz´eskor a sebess´egvektorok csak elfordulnak. 0

~no = ~v10o ir´anyvektorral. Hogy ez az ir´any pontosan milyen, att´ol f¨ ugg, hogy a testek ´erintkez´esekor pontosan mi t¨ort´ent, hogyan deform´al´odtak, milyen er˝ovel hatottak egym´asra. Itt nem t´er¨ unk ki arra, hogyan lehet a k¨olcs¨onhat´as pontos ismeret´eben az ~no ir´anyvektort meghat´arozni, felt´etelezz¨ uk, hogy ~no ismert, vagyis hogy az u ¨ tk¨oz´esi probl´em´at a t¨omegk¨oz´eponti rendszerben megoldottuk. Keress¨ uk az u ¨ tk¨oz´es ut´ani a´llapot a´ltal´anos jellemz˝oit a laborrendszerben. Ekkor a T¨omegk¨oz´epponti rendszerben az u ¨ tk¨oz´es 66

¨ oz´esek Utk¨ ut´ani sebess´egek m2 v~no , m1 + m 2 m1 = − v~no . m1 + m 2

, ~v10 =

(5.27)

, ~v20

(5.28)

Miut´an meghat´aroztuk az u ¨ tk¨oz´es eredm´eny´et a T¨omegk¨oz´epponti rendszerben, a Laborrendszerbeli sebess´egeket az 5.23 egyenletek alapj´an kaphatjuk meg m1~v1 + m2~v2 m2 v~no + , m1 + m 2 m1 + m 2 m1 m1~v1 + m2~v2 = − v~no + . m1 + m 2 m1 + m 2

~v1, = ~v2,

(5.29)

Az u ¨ tk¨oz´es kezdeti ´es v´eg´allapot´anak viszony´at egyszer˝ uen lehet geometriailag szeml´eltetni a k´et test k¨olcs¨onhat´as´anak, azaz az ~n o vektornak a pontos ismerete n´elk¨ ul. Az 5.29 egyenleteket a megfelel˝o t¨omegekkel megszorozva megkapjuk a testek Laborrendszerbeli impulzusait az u ¨ tk¨oz´es ut´an m1 (~ p1 + p~2 ) , m1 + m 2 m2 = −mv~no + (~ p1 + p~2 ) , m1 + m 2

p~,1 = mv~no + p~,2

(5.30)

ahol m jel¨oli a k´et u ¨ tk¨oz˝o partner u ´ gynevezett reduk´alt t¨omeg´et m=

m1 m2 . m1 + m 2

(5.31)

Az 5.30 egyenletek alapj´an lerajzolhatjuk az u ¨ tk¨oz´es laborrendszerbeli menet´et: els˝o l´ep´esk´ent rajzoljunk egy mv sugar´ u O k¨oz´eppont´ u k¨ort az 5.12 ~ ~ a´br´an illusztr´alt m´odon. Az a´br´an az AO, OB vektorok az 5.30 egyenletekben szerepl˝o komponensek. Adott ~v1 , ~v2 kezdeti sebess´egek, illetve p~1 , p~2 kezdeti impulzusok mellett a k¨or sugara ´es az A, B pontok helye v´altozatlan, ami v´altozhat, az csak a C pont helye, vagyis az u ¨ tk¨oz´es ut´ani impulzusok. Az, hogy az A ´es B pont a k¨or¨on bel¨ ulre, vagy k´ıv¨ ulre esik, f¨ ugg a t¨omegekt˝ol ´es a kezdeti sebess´egekt˝ol. T´etelezz¨ uk fel, hogy a 2. r´eszecske kezdetben nyugalomba van, azaz p~ 2 = ~ = m2 p~1 = m~v , ´ıgy a B pont ´eppen rajta van a k¨or¨on. Az 0. Ekkor OB m1 +m2 A pont ekkor m´eg mindig lehet a k¨or¨on bel¨ ul, ha m1 < m2 , illetve a k¨or¨on k´ıv¨ ul, ha m1 > m2 . Az 5.13 a´bra az m1 < m2 esetet mutatja be. Ha r´aad´asul m´eg a k´et t¨omeg is egyforma, az a´bra a k¨ovetkez˝o alak´ u lesz Az a´br´an χ jel¨oli az ~no vektornak az eredeti mozg´asir´annyal bez´art 67

¨ oz´esek Utk¨ C ~ AC

~ CB

~ = m~v , OC m1 ~ = AO (~ p1 + p~2 ) , m1 + m 2 m2 ~ = OB (~ p1 + p~2 ) . m1 + m 2

~no PSfrag replacements A

O

B

5.12. a´bra. A szerkeszt´esb˝ol k¨ovetkezik, ~ = p~,1 ´es CB ~ = p~,2 . hogy AC

C PSfrag replacements

~ AC

~ CB χ

Θ1 A

O

Θ2 B

5.13. a´bra. Kisebb t¨ omeg˝ u mozg´ o test u ¨tk¨ ozik egy nyugalomban l´ev˝ o nagyobb t¨ omeg˝ uvel. Az ~no vektort szaggatott vonallal jel¨ olt¨ uk.

sz¨og´et, amit t¨omegk¨oz´epponti rendszerbeli sz´or´assz¨ognek is nevez¨ unk. Laborat´oriumi rendszerben a kezdetben mozg´o test u ¨ tk¨oz´es ut´ani mozg´as´anak ir´anya az eredeti mozg´asir´annyal Θ1 sz¨oget z´ar be, amit Laborrendszerbeli sz´or´assz¨ognek is nevez¨ unk. Az u ¨ tk¨oz´es hat´as´ara a kezdetben nyugalomban l´ev˝o test mozg´asba j¨on, melynek ir´anya az 1. r´eszecske u ¨ tk¨oz´es el˝otti ir´any´aval Θ2 sz¨oget z´ar be. A szerkeszt˝osb˝ol egyszer˝ uen leolvashat´o egy nagyon fontos a´ltal´anos eredm´eny, hogy Θ1 + Θ2 = π/2, vagyis a sz´ort ´es megl¨ok¨ott egym´asra mer˝oleges ir´anyban mozognak, f¨ uggetlen¨ ul Θ 1 ´es Θ2 konkr´et ´ert´eket˝ol. Θ1 ´es Θ2 kifejezhet˝o a χ t¨omegk¨oz´epponti rendszerbeli sz´or´assz¨oggel 68

¨ oz´esek Utk¨ C PSfrag replacements

~ AC

~ CB χ

Θ1 A

O

Θ2 B

5.14. a´bra. Azonos t¨ omeg˝ u testek u ¨tk¨ oz´ese. A 2. index˝ u test kezdetben a laborat´ oriumi rendszerben nyugalomban volt.

Θ1 =

χ , 2

Θ2 =

69

π−χ . 2

(5.32)

¨ oz´esek Utk¨

5.3.2.

Feladatok

A feladatok v´egrehajt´as´ahoz a collision.exe programot haszn´aljuk. 1. K¨ot´elre f¨ uggesztett m1 t¨omeg˝ u homokos l´ad´aba ~v sebess´eggel m2 t¨omeg˝ u l¨oved´eket l¨ov¨ unk vizszintes ir´anyban. A l¨oved´ek a homokban teljesen lef´ekez˝odik. Hat´arozzuk meg, mekkora sebess´eggel lend¨ ul ki a l´ada a benne l´ev˝o l¨oved´ekkel! 2. K´et azonos t¨omeg˝ u billi´ard goly´o u ¨ tk¨ozik. Az egyik goly´o kezdetben nyugalomban van, s az u ¨ tk¨oz´es centr´alis ´es egyenes. Hat´arozzuk meg az u ¨ tk¨oz´es ut´ani sebess´egeket! Gondoljuk v´egig a tanult szerkeszt´est erre az esetre! 3. Hogyan m´odosul az el˝oz˝o pont eredm´enye, ha m1 < m2 , illetve m1 > m2 ? 4. Amikor k´et goly´o u ¨ tk¨ozik, az u ¨ tk¨oz´esi pont k¨orny´ek´en a goly´ok deform´al´odnak. A rugalmas deform´aci´o hat´as´ara k¨oz¨ott¨ uk tasz´ıt´o er˝o l´ep fel, ami v´eg¨ ul is sz´etdobja o˝ket, s ezt a folyamatot l´atjuk k´ıv¨ ulr˝ol egy gyors u ¨ tk¨oz´esnek. Az u ¨ tk¨oz´eskor fell´ep˝o rugalmas deform´aci´ot ´es az eredm´enyek´ent fell´ep˝o tasz´ıt´o er˝ot kiel´eg´ıt˝oen modellezhetj¨ uk u ´ gy, hogy a k´et goly´o k¨oz´e az u ¨ tk¨oz´es id˝otartama alatt egy rug´ot k´epzel¨ unk. A rug´o megny´ ul´asa egyenl˝o a k´et goly´o a´tlapol´od´as´aval. Ha a goly´ok sugara R ´es k¨oz´eppontjuk t´avols´aga r, akkor az a´tlapol´od´as x = 2R − r s a rugalmas deform´aci´o okozta er˝o F = kx, amely addig hat, am´ıg a k´et test ´erintkez´esben van egym´assal. k ´ert´eke az testek anyag´at´ol ´es alakj´at´ol is f¨ ugg. Hat´arozzuk meg analitikusan a testek ´erintkez´es´enek id˝otartam´at k´et goly´o egyenes u ¨ tk¨oz´esekor! (Irjuk fel a relat´ıv mozg´as mozg´asegyenlet´et!) Haszn´aljuk fel a kor´abban a rezg˝omozg´asr´ol tanultakat! 5. J´ol tudjuk a gyakorlatb´ol, hogy testek u ¨ tk¨oz´ese sosem t¨ok´eletesen rugalmas, a mozg´asi energia egyr´esze mindig disszip´al´odik. Gondoljunk csak a pattog´o labd´ara! Testek u ¨ tk¨oz´esekor az energia disszip´aci´o egyik gyakori oka, hogy a testek deform´aci´ojakor, az anyag bels˝o surl´od´asa, viszkozit´asa miatt, az energia egy r´esze h˝ov´e alakul. A bels˝o s´ url´od´ast j´ol modellezhetj¨ uk, ha az el˝oz˝o pontban fel´ırt mozg´asegyenletet kieg´esz´ıtj¨ uk egy disszip´aci´ot okoz´o taggal η~v , ahol ~v = ~v1 −~v2 a testek relat´ıv sebess´ege. • Hat´arozzuk a kezdeti ´es v´eg´allapoti mozg´asi energi´ak ar´any´at! 70

¨ oz´esek Utk¨ • V´altozott-e az u ¨ tk¨oz´es id˝otartama a t¨ok´eletesen rugalmas esethez k´epest. 6. A collision.exe program seg´ıts´eg´evel elemezz¨ uk kem´eny billi´ard goly´ok u ¨ tk¨oz´es´et! A program lehet˝os´eget ad arra, hogy egyszerre l´athassuk az u ¨ tk¨oz´es lefoly´as´at a Laborat´oriumi ´es a T¨omegk¨oz´epponti rendszerben, tov´abb´a az impulzus vektorokat is megvizsg´alhatjuk. 7. N´ezz¨ uk meg ugyanezt puha goly´okkal is!

71

¨ oz´esek Utk¨

72

6. fejezet F¨ uggel´ ek A t´argyhoz kapcsol´od´o sz´am´ıt´og´epes gyakorlatokon el˝ore elk´esz´ıtett, felhaszn´al´obar´at programcsomagok ker¨ ulnek felhaszn´al´asra. A f¨ uggel´ekbe o¨sszegy˝ ujt¨ott¨ uk az egyes programok haszn´alat´anak le´ır´as´at.

6.1.

Az anharm.exe program kezel´ ese

A mozg´ast az enter billenty˝ uvel vagy az eg´errel a f´azisdiagramm egy tetsz˝oleges pontj´ara vagy a k´eperny˝o jobb als´o r´esz´en lev˝o potenci´aldiagrammra kattintva lehet elind´ıtani. A f´azisdiagrammra kattintva egy´ uttal a mozg´as kezd˝ofelt´eteleit is kijel¨olj¨ uk. Men¨ uk: ( az F10 gombbal lehet el´erni ) Choices – Be´all´ıt´asok A k¨ovetkez˝o opci´ok v´alaszthat´ok: • k´eperny˝ot¨orl´es • k´eperny˝ot¨orl´es ´es u ´ jrask´al´az´as ( a sk´al´akat u ´ gy v´alasztja meg, hogy a mozg´as elf´erjen az ablakban ) • A k´et minimumhellyel v¨olggyel” rendelkez˝o potenci´alokn´al mindk´et ” v¨olgybe bejel¨oli a pillanatnyi energia´ert´eket • Az anim´aci´o ki/be kapcsol´asa. A kikapcsol´as a sz´amol´as sebess´eg´et n¨oveli. • Maxim´alis energi´aj´ u a´br´azolhat´o mozg´as megad´asa • peri´odusid˝o energiaf¨ ugg´es´enek a´br´azol´asa a rendszerparam´eterek ( k vagy g ) 5 k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ek´en´el 73

¨ oz´esek Utk¨ • rezonanciag¨orbe a´br´azol´asa a rendszerparam´eter 2 k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eke mellett. Egy almen¨ uben be´all´ıthatjuk a param´eterek ´ert´ekeit. Ha a rezonanciag¨orb´enek van t¨obb´ert´ek¨ u szakasza, akkor ez is megkereshet˝o • A mozg´as Fourier – transzform´al´asa. A k¨ovetkez˝o lehet˝os´egek k¨oz¨ ul lehet v´alasztani:A(ω) ( s´arga ) ´es φ(ω) ( z¨old ); Val´os ´es k´epzetes Fourier – transzform´aci´o • Poincar´e – mozg´ok´ep: A gerjeszt˝oer˝o k¨ ul¨onb¨oz˝o f´azisain´al felvett Poincar´e diagrammok egym´as ut´ani a´br´azol´asa. Az F2 – nyomvatart´as´aval az els˝o n´eh´any • tranziens mozg´ashoz tartoz´o – pontot le lehet t¨or¨olni. • ugyanez a mozg´ok´ep” a visszat´er˝o diagrammal. ” Display – Kijelz´es. A k¨ovetkez˝o ablakokat lehet v´alasztani: • x(t)f¨ uggv´eny • v(t)f¨ uggv´eny • v(x)f¨ uggv´eny – ez a f´azisdiagramm • Poincar´e diagramm • Visszat´er´esi diagramm • 2 a´bra v´alaszt´asa • 4 a´bra v´alaszt´asa • el˝oz˝oleg kiisz´amolt peri´odusid˝o – energia f¨ uggv´eny a´br´azol´asa • el˝oz˝oleg kiisz´amolt rezonanciag¨orbe a´br´azol´asa • kijelz´esi opci´ok Forces – Er˝ok A bevezet˝oben le´ırt oszcill´atortipusok k¨oz¨ ul lehet v´alasztani. Ezenk´ıv¨ ul be lehet a´ll´ıtani a gerjeszt´es ´es a csillap´ıt´as er˝oss´eg´et (Drive & Damping) Az Interesting Parameters men¨ upont az egyes rendszereket olyan kezd˝ofelt´etelekkel ind´ıtja, ahol ´erdekes viselked´es v´arhat´o A Search Parameter Space men¨ uponttal a param´etert´er egy be´all´ıtott tartom´any´ab´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o kezd˝ofelt´etelekkel lehet elind´ıtani a rendszert, ´es 74

¨ oz´esek Utk¨ minden param´eter´ert´ekn´el egy 30 pontb´ol a´ll´o Poincar´e diagrammot vesz fel a program, ami a Files men¨ uben a Read Search Map utas´ıt´assal megn´ezhet˝o. Ez a men¨ u a h´att´erben fut, az eredm´enyeket a program egy file–ban t´arolja. A Series Approximation men¨ upont a k´et fal” ill. az inga eset´eben a ” mozg´asegyenletet a nemline´aris tagot Taylor–sor´anak max. harmadrend˝ u r´esz¨osszeg´evel k¨ozel´ıti: F = −A1 mx − A3 mx3 − Dv + F0 sin(ωt) F = −(g/l)θ + θ 3 /6 − Dv + F0 sin(ωt)

75

k´et fal” ” inga

(6.1) (6.2)

¨ oz´esek Utk¨

6.2.

Az orbiter.exe program kezel´ ese

A program a bolyg´omozg´as Newton - f´ele egyenlet´et oldja meg a klasszikus Runge– Kutta iter´aci´os m´odszer seg´ıts´eg´evel [2] 246.o. A program ugyancsak alkalmas a csillag´aszati t¨obbtestprobl´ema ( max. 5 test ) szimul´al´as´ara. A program az orbiter.exe -vel ind´ıthat´o. Bejelentkez´es ut´an a k´eperny˝o fels˝o r´esz´en egy men¨ ut tal´alunk, melyben a k¨ovetkez˝o funkci´ok a´llithat´oak be ( F10 -zel juthatunk a men¨ uh¨oz ): Files A defini´alt rendszer ( t¨omegek, pillanatnyi koordin´at´ak ´es sebess´egek egy¨ uttese) kimenthet˝o ´es k´es˝obb visszat¨olthet˝o Choices A kijelz´est ´es az ´erintett rendszert illet˝o v´alaszt´asi lehet˝os´egek: Clear & Continue T¨orl´es ´es folytat´as. T¨orli az ablakokat ( ha a t¨orl´es opci´o be van a´ll´ıtva ) ´es folytatja a mozg´ast onnan, ahol meg´all´ıtottuk ´ Restart Ujraind´ ıt´as. A mozg´ast a kezdeti felt´etelek a´ltal r¨ogz´ıtett pontb´ol ind´ıtja u ´ jra. Ha az egyik testr˝ol m´asolatot k´esz´ı tett¨ unk akkor megk´erdezi, hogy az eredeti vagy a m´odos´ıtott rendszert k´ıv´anjuk u ´ jraind´ıtani. Replay Visszaj´atsz´as. A program a p´alyag¨orb´et vis. az ~r(t) f¨ uggv´enyt diszkr´et id˝ok¨oz¨onk´ent elmenti. Ezek az elmentett p´aly´ak visszaj´atszhat´oak. Ennek el˝onye, hogy amig az iter´aci´os m´odszer – a pontoss´ag megtart´asa ´erdek´eben – ott a leglassabb, ahol a testek sebess´ege a legnagyobb, addig a visszaj´atsz´as a val´os id˝ovel ar´anyos id˝osk´al´an mutatja a mozg´asokat. Az ´egitestek mozg´asa ugyanis ott a leggyorsabb, ahol helyzeti energi´ajuk a legkisebb ( ld. energiamegmarad´as t´etele ) vagyis mivel ez ut´obbi negat´ıv, amikor a vonz´ocentrumhoz a legk¨ozelebb vannak. Viszont itt a legnagyobb a p´alyag¨orb¨ ulet ´es ez´ert a gyorsul´as, azaz azonos pontoss´ag el´er´ese ´erdek´eben az iter´aci´os m´odszernek itt kisebb id˝ointervallummal kell dolgoznia. Replicate Body Egy kiszemelt test megsokszoroz´asa. Max. 8 db., egy tetsz˝olegesen kiv´alasztott testhez k¨ozeli kezdeti sebess´eggel ´es koordin´at´aval rendelkez˝o testekkel lehet ugyanazt a szimul´aci´ot elind´ıtani. Ennek kaotikus mozg´asok tanulm´anyoz´as´an´al van jelent˝os´ege, ott ui. a f´azist´er egym´ashoz k¨ozeli pontjaib´ol indul´o testek trajekt´ori´aja is jelen˝osen elt´er˝o lesz r¨ovid id˝on bel¨ ul. Settings A sz´amol´ast ´es a kijelz´est meghat´aroz´o param´eterek Reverse Time Id˝omegford´ıt´as. Ha a rendszert meg´all´ıtjuk ´es visszafel´e 76

¨ oz´esek Utk¨ ind´ıtjuk el a testeknek a kiindul´asi poz´ıci´oba kell visszat´erni. Az elt´er´essel a numerikus integr´al´as pontoss´aga ellen˝orizhet˝o. Change Parameters A mozg´as param´etereinek (hely, id˝o, t¨omeg ) megv´altoztat´asa Move Body(Mouse) Test mozgat´asa eg´errel Add Body Test hozz´ad´asa. A men¨ upont kiv´alaszt´asa ut´an az eg´errel a megfelel˝o ablakba kattintva egy testet lehet a rendszerhez adni. Ezt k¨ovet˝oen ennek param´eterei is be´all´ıthat´ok. Allow Thurst L¨ok´es enged´elyez´ese. A legutols´o testnek a nyilakkal megfelel˝o ir´any´ u l¨ok´est lehet adni. Ennek nagys´aga a Page Up/Down gombokkal n¨ovelhet˝o / cs¨okkenthet˝o. Plots & Zoom Ablakok ´es nagy´ıt´asok v´alaszt´asa: 1,2,4 ill. 6 ablakot v´alaszthatunk, amelyek a k¨ovetkez˝ok lehetnek: T¨omegk¨oz´epponthoz r¨ogz´ıtett vonatkoztat´asi rendszer; Naphoz, F¨oldh¨oz ill. Jupiterhez r¨ogz´ıtett rendszer; a Nappal ´es F¨olddel egy¨ utt forg´o rendszer. Systems Az al´abbi ´egitest rendszerek k¨oz¨ ul lehet v´alasztani: Nap–F¨old–Hold Naprendszer ˝ Urhaj´ o dokkol´asa: Egy F¨old k¨or¨ uli p´aly´an kering˝o u ˝ r´allom´asra kell dokkolni egy u ˝ rhaj´oval. A nyilakkal lehet korm´anyozni az u ˝ rhaj´ot, a PgUp – gombbal a hajt´om˝ u tol´oerej´et lehet szab´alyozni Nap–Jupiter ´es Holdjai Lagrange pontok: Stabil k¨orp´aly´an kering˝o pontok a Nap–Jupiter rendszerben Kett˝oscsillag ´es u ¨ st¨ok¨os A Jupiter F¨oldh¨oz k´epesti relat´ıv mozg´as´at szeml´eltet˝o program. A Jupiter n´eha u ´ gy l´atszik, mintha visszafel´e” forogna. A jelens´eget az o´korban sok´aig ” helytelen¨ ul ´ertelmezt´ek. ´ rendszer defini´al´asa Uj 77

¨ oz´esek Utk¨

6.3.

A collision.exe program haszn´ alata

A program a r´eszecsk´ek p´aly´ait a mozg´asegyenletek numerikus integr´al´as´aval hat´arozza meg ( klasszikus Runge – Kutta m´odszerrel, ld. [2] ). A r´eszecsk´eket ”v´egtelen t´avolinak” tekinti, ha a k´eperny˝on felt¨ untetett t´avols´ag 3 -szoros´aval elt´evolodnak a sz´or´ocentrumt´ol, ez´ert un. ”befog´asi k´ıs´erletek” nem modellezhet˝ok . A program a colision.exe - vel ind´ıthat´o. Az F10 gombbal lehet a men¨ ube bel´epni, az F2 ind´ıtja a szimul´aci´ot, az F3-mal lehet a param´etereket be´all´ıtani. Ekkor a k¨ovetkez˝o men¨ upontokb´ol v´alszthatunk:

Single Collision Egyetlen sz´or´asi folyamat vizsg´alata. A param´etereket a Collision Conditions – sz´or´asi adatok” men¨ uben lehet be´all´ıtani. ” ¨ oz´esi param´eter v´altoztat´asa. Az ezt Vary Impact Parameter Utk¨ k¨ovet˝o almen¨ uben az u ¨ tk¨oz´esi param´eterek sz´am´at, als´o ´es fels˝o hat´ar´at lehet be´all´ıtani, ill. a t¨obbi param´etert megv´altoztat´o men¨ u is leh´ıvhat´o.

PlotCross Section σ(χ) f¨ uggv´eny kirajzol´asa. Az ezt k¨ovet˝o almen¨ uben be´all´ıthat´o, hogy h´any u ¨ tk¨oz´esi param´eter eset´en fusson le a szimul´aci´o, ´es ezek egyenletesen, a 0 k¨ozel´eben koncentr´altan, vagy er˝osen koncentr´altan oszoljanak el. Az ezt k¨ovet˝o pontokban rendre a sz´or´od´o r´eszecske energi´aj´at, a potenci´al tipus´at, a t¨omegek ar´any´at, a k¨olcs¨onhat´as er˝oss´eg´et, ill. hat´ot´avols´ag´at lehet be´all´ıtani. Ugyancsak leh´ıvhat´o egy – a t¨obbi param´etert megv´altoztat´o – almen¨ u, ´es itt kell be´all´ıtani, hogy a χ − σ(χ) adatokat tartalmaz´o file–t k´ıv´anunk –e k´esz´ıteni

A Plots&Zoom Grafikonok ´es sk´al´ak men¨ upontban a grafikus megjelen´ıt´est lehet ir´any´ıtani. Rendre a k¨ovetkez˝oek v´alaszthat´oak:

78

¨ oz´esek Utk¨ Egy ablak v´alaszt´asa Csak p´aly´ak a´br´azol´asa: K´et ablak jelenik meg, ami a labor ill. a t¨omegk¨oz´epponti rendszerben mutatja a r´eszecsk´ek p´aly´ait. Csak impulzusvektorok a´br´azol´asa Az el˝obbi k´et ablak orig´oj´ab´ol kiindulva a´br´azolja az impulzusvektorokat. P´aly´ak ´es impulzusvektorok A fenti 4 ablak Az ablakok sk´al´aj´anak cs¨okkent´ese / n¨ovel´ese Az alap´ertelmez´esbeli sk´al´ak vissza´all´ıt´asa Kimentett hat´askeresztmetszet a´br´ak kirajzol´asa A Forces – Er˝ok men¨ uben a bevezet˝oben felsorolt potenci´alok k¨oz¨ ul lehet v´alasztani. Ha Coulomb potenci´alt v´alasztunk, akkor megjelenik egy almen¨ u, amelyben be´all´ıthat´o, hogy a k¨olcs¨onhat´as tasz´ıt´o vagy vonz´o legyen, ill. hogy mely potenci´alokkal szorz´odjon meg a Coulomb potenci´al U (r) = kr f¨ uggv´enye. ( K¨olcs¨onhat´asok kombin´al´asa ).

79

¨ oz´esek Utk¨

80

Irodalomjegyz´ ek ´ [1] B´aba Agoston: Mechanika I – II KLTE Egyetemi jegyzet [2] J´arai Antal: Modern Alkalmazott Anal´ızis KLTE Egyetemi jegyzet 1991 [3] Charles Kittel: Bevezet´es a szil´ardtestfizik´aba M˝ uszaki k¨onyvkiad´o Bp. 1981 [4] T´el Tam´as – Sz´epfalusy P´eter: A k´aosz Akad´emiai kiad´o Bp. 1982 [5] Landau – Lifsic: Elm´eleti Fizika I: Mechanika Tank¨onyvkiad´o Bp. 1988

81