Desain Feedback Variabel Keadaan

---

Bab

- -.-.----------

8

Desain Feedback Variabel Keadaan

8.1 KONTROLABILITAS DANOBSERVABILITAS SISTEMLINEAR Dalam bab ini kita akan mengembangkan metode pengaturan feedback variabel keadaan untuk sistem ruang keadaan linear deterministikyang ditentukan oleh (2.1-3) dan (2.1-4), yaitu: x = Ax + Du

(8.1-1)

y = Cx + Du,

(8.1-2)

di mana x adalah vektor keadaan (diroensiNx), u adalah vektor pengaturan (dimensi Nu),y adalah vektor pengukuran (dimensiNy),.dan A. B. C. dan D adalah matriks konstan nyata dari ukuran Nxx Nx, Nxx Nu, Nyx Nx, dan Nyx Nu, secara berurutan. Bertentangan dengan Bab 6 dan 7, kita tidak membatasi sistem menjadi single input single output. Jika Nu > 1, kita mempunyai sistem input berganda (multipleoutput system), dan jika Ny > 1, kita mempunyai sistem output ganda. Sebagaimana dengan sistem single-input singie output, sasaran pengaturan dasar adalahuntuk mentransfer sistem tersebut ke beberapa kondisi pengoperasian baru, berdasarkan pada input perintah (com357

358

Pengantar Sistem Pengaturan

mand input), dan untuk menstabilkan sistem tersebut di sekitar kondisi pengoperasian baru.

Kontrolabilitasdan Observabilitas Sistem Bergantung kepada sistem dinamik, dan pengukuran tersedianya, tidak selalu memungkinkan untuk mencapai kondisi operasi yang diinginkan. Misalnya, seorang perenang tidak dapat berenang ke atas melawan arus kuat, atau seorang pengangkat besi tidak dapat mengangkat berat 1000 lb. Ini adalah contoh-contoh mengenai sistem yang tidak dapat dikontrol sebab pengatur tidak mempunyai "kekuatan" yang memadai untuk melaksanakan sasarannya. Batas pengaturan adalah faktor-faktor yang mempengaruhi kontrolabilitas, namun bukan faktor yang dibahas dalam bab ini. Pengaturan u pada (8-1-1) diasumsikan untuk tidak mempunyai batasan atau kendala dalam hal ini. Pengaturan dapat dipilih sebesar mungkin. Jenis kontrolabilitas yang lebih mendasar akan dibahas di sini. Pembahasan kontrolabilifas dan observabilitas ini diperkenalkan secara singkat pada Bagian 2.1 ketika kita mendiskusikan berbagai penyajian sistem pengaturan. Dalam bagian ini kita akan mempertimbangkan topik ini secara lebih mendetail. Sistem ruang keadaan (8.1-1) adalah dapat dikontrol (kontrolabel) jika dan hanya jika untuk setiap keadaan awal x(O)pada ruang keadaan dan setiap keadaan target yang diinginkan misal x(T) = 0, maka akan ada waktu terhingga T sedemikian rupa sehingga pengaturan u(t), t £ [0,11, yang akan mentransfer keadaan sistem menjadi keadaan target yang diinginkan. Keadaan dan sistem pengukuran yang ditentukan oleh (8.1-1) dan (8.1-2) adalah dapat diobservasi (obserable) jika dan hanya jika ada waktu terhing9'l T sehingga keadaan awal x(O) dapat ditentukan daTi catatan observasi 'Y(t),E £[0, 11, dengan pengaturan u(t) t £ [0, 11. Secara kualitatif, suatu sistem dapat dikontrol jika setiap variabel keadam dapat dipengaruhi secara independen, langsung atau tidak langsung, dengm vektor pengaturan u. Demikian pula, sistem tersebut dapat diobservasi jka vektor pengukuran y dipengaruhi, secara langsung atau tidak langsung, o2h masing-masing variabel keadaan.

Desain

Feedback Variabel Keadaan

359

Suatu sistem tertentu tidak dapat dikontrol terhadap keadaan target tertentu, meskipun tanpa batasan pada pengaturan, secara sederhana hal ini disebabkan struktur sistem dinamik tidak membolehkan pengaturan tersebut mempengaruhi beberapa bagian dari keadaan tersebut. Misalnya, pertimbangkan sistem dengan persamaan keadaan ini:

X2 = -6x,

+ X3 + Ii

X3 = -X3'

Evolusi dari x:Jt) tida\
CONTOH

8.1-1

Slltem yang tldak dlpat Dlkontrol dan Tldak Dapat dloblervall

Pertimbangkan sistem yang ditentukan oleh:

[;J

=[ -

y = [I

i ~] [~J + [ - ] :

I]

XI

[ X2 ]

/(

.

Akan terlihat bahwa pengaturan mempengaruhi kedua variabel keadaan dan bahwa pengukuran mengukur kedua variabel tersebut. Namun, pada kenyataannya, pengaturan tersebut tidak mempunyai efek terhadap kuantitas:

yang ditentukan oleh persamaarr diferensial )'

Solusi yang sesuai

--

---

= y.

360


tidak bergantung pada u(t). Sehingga, tak ada masalah 9pakah input pengaturan itu, jumlah keadaan akan berubah sesuai dengan hubungan ini. Sistem

tersebutjelastidak dapat dikontrol.Lebihlanjut,misalkanXt(O)+ X2(O) = O. Maka catatan pengukuran yang dihasilkany(t) == 0 hanya memberitahukan kita bahwa Xt(O)+ X2(O) = O. Hal ini tidak memperbolehkan kita untuk menentukan Xt(O) dan X2(O)secara independen. Jadi, sistem tersebut tidak dapat dikontrol.

Krlterlalonirolablillas dan Obsenablllias Contoh 8.1-1 menggambarkan 'kenyataan bahwa kontrolabilitasdan observabilitas mungkin tidak jelas dari persamaan sistem itu sendiri. Salah satu cara untuk memeriksa kontrolabilitasdan observabilitas,sebagaimana ditunjukkan pada. Bagian 2.1, adalah dengan diagonalisasi. Misalkan ~ dan ~ft i = l,...,Nx, menunjukkan eigenvalues dan eigenvektor, berturut-turut, untuk matriks A, dan misalkan matriks transformasi eigenvektor, yang kolom-kolomnya aqalah eigenvektor, yang dinyatakan oleh M [~,""'~N]. Jika eigenvektor tersebut secara linear independen. (misalnya,jika eigenv;Uuesnyaberbeda), maka transfonnasi untuk vektor keadaan x ke vektor eigenstate, (8.1-3)

menghasilkan persamaan keadaan decoupled (8.1-4)

.dan persamaan pengukuran yang sesuai y

= CMz

(8.1-5)

+ Du,

di mana

A = M-'AM = diag[),I

.AN,.1-

Kriteria kontrolabilitas yang diagonalisasi adalah bahwa suatu sist~m dikatakan dapat dikontrol jika dan hanya jika tidak ada baris nol dari matJiks


361

MIB. Jia kondisi ini dipenuhi, maka pengaturan u mempengaruhi setiap komponen vektor z dan oleh karena itu setiap komponen vektor keadaan X tersebut, melalui korespondensi satu-satu ditentukan oleh (8.1-3)..,; Demikian pula, kriteria observabilitas diagonalisasi adalah bahwa suatu sistem dapat diobservasi jika dan hanya jika tidak ada kolom nol pada matriks CM. Jika kondisi ini berlaku, maka pengukuran y berisi informasi dari setiap komponen z dan oleh karenanya juga x melalui (8.1-3).

CONTOH

8.1-2

Pendiagonalan Contoh 8.'-'

MatriksA pada Contoh 8.1-1 ditentukan oleh

mempunyai eigenvalues}... 1 = 1, }...2 matriks transformasi eigenvektor

= 2.

Eigenvektor yang sesuai menghasilkan

Untuk memeriksa kriteria kontrolabilitas yang diagonalisasi, kita buat

Karena M-1B berisi baris nol, kriteria kontrolabilitas tidak terpenuhi. Hal ini sesuai dengan observasi kita sebelumnya bahwa sistem ini tidak dapat dikontrol. Untuk memeriksa kriteria observabilitas diagonalisasi, kita buat

---

362


Karena CM berisi kolom nol, maka kriteria observabHitas tidak terpenuhi, yang sesuai dengan observasi kita sebelumnya bahwa sistem ini tidak dapat diobservasi.

Kriteria Observabilitas dan Kontrolabilitas Kalman Kriteria observabilitas dan kontrolabilitas diagonalisasi mensyaratkan kita tidak hanya mencari eigenvalues dan eigenvektor A, tetapi juga eigenvektor tersebut secara linear independen. Meskipun kondisi 'sebelumnya juga berlaku untuk sistem yang ditransformasikan ke bentuk diagonal blok Jordon dengan menggunakan eigenvektor yang digeneralisasikan (Brogan, 1982), ada uji pengganti (Kalman et aI., 1963) yang tidak memerlukan penghitungan dari eigenvalues dan eigenvektor A. Kriteria kontrolabilitas Kalman adalah bahwa sistem tersebut (8.1-1) atau pasangan matrik yang ekuivalen (A,B), dapat dikontrol jika dan hanya jika: rank[P] = N,. di mana P adalah matriks kontrolabilitas

(8.1-6)

Nx x NuNx

P = [B, AB, A2n, . . . . AN, -IB].

(8.1-7)

Untuk membuktikan hasH ini, ingat kembali dari Bagian 3.3 bahwa matriks transisi keadaan Nx x Nx (8.1-8)

dapat ditulis, dengan menggunakan teorema Cayley Hamilton, sebagai deret terhingga yang ditentukan oleh (3.3-27), kita ulangi di sini


363

Untuk keadaan awal tertentu x(O) dan pengaturan u(t), solusi ke (8.1-1) dapat ditulis sebagai

x(t) = (t)x(O)+

L (t -

r)Bu(r) dr.

(8.1-10)

Untuk kontrolabilitas kita mensyaratkan bahwa keadaan awal'dapat ditransferkan ke keadaan akhir dengan beberapa pengaturan u(t) yang sesuai. Sebagai contoh, dengan mengambil keadaan akhir sebagai titik awal, kita mensyaratkan waktu akhir T < 00 sedemikian rupa sehingga

di mana kita telah membuktikan bahwa (t- .) tukan vektor Nu x 1

= (t)(-.).Dengan

menen-

r p.~

=1

a~(

- r)u(r) dr,

()

~ita dapatkan

Oleh karena itu, setiap vektor kontrolabilitas x(O) harus dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom matriks kontrolabilitas P. Jadi, kolomkolom ini harus menjangkau ruang dimensi Nx, yang mensyaratkan rank [P] = Nx. Dalam bentuk analogi, kriteria observabilitas Kalman adalah bahwa sistem terse but (8.1-1) dan (8.1-2) adalah observabel jika dan hanya jika rank[Q]

= N"

(8.1-14)

364


di mana Q adalah matriks observabilitas

Q

CONTOH 8.1-3

=I

C CA CA2

(8.1-15)

Menggunakan Syarat Kalman

Matriks P untuk Contoh 8.1-1 ditentukan oleh

Karena kolom kedua hanya dua kali dari kolom pertama, maka kolom tersebut tidak secara linear independen dan, oleh karena itu, rank P harus kurang dari 2. Karena P adalah kuadrat, kita juga dapat membuktikan bahwa kriteria kontrolabilitas tidak terpenuhi dengan memperhatikan bahwa IP I = o. Matriks Q pada Contoh 8.1-1 ditentukan oleh

Sekali lagi, baris (atau kolom) tersebut secara linear independen sehingga rank Q kurang dari 2. Karena Q kuadrat, kita simpulkan bahwa kriteria observabilitas tidak memenuhi, karena IQ I = O.

-

.-

- - - .u___


365

8.2 PENEMPATAM EIGENVALUE Feedback variabel Keadaan

Pertimbangkan sistem ruang keadaan yang ditentukan oleh (8.1-1) dan (8.1-2) dan asumsikan bahwa. outputnya adalah keseluruhan vektor keadaan x(t). Asumsi ini akan dikurangi pada bagian 8.3. Dengan setiap komponen x diukur, yaitu, y = x, kita dapatkan C = I dan D = o. Sasaran desain ini adalah untuk mencari hukum pengaturan u(r ,x) yang akan menstabilkan sistem tersebut dengan mempertimbangkan input perintah r(t), dengan keakuratan yang sudah ditetapkan dan dengan perilaku respon transient yang cocok. Secara khusus, kita menginginkan memiliki pengaturan yang lengkap terhadap penempatan eigenvalues untuk sistem terkontrol tersebut, dan mungkin beberapa pengaturan pada eigenvektor di mana, ketika nyata, mengontrol arah pendekatan ke titik keseimbangan pada ruang keadaan. Dalam suatu cara yang analog terhadap kasus 10 satu dimensi di mana kita menggunakan feedback kekeliruan, sekarang kita pertimbangkan pengatur feedback variabel keadaan dari bentuk u = Fr(t) - Kx(t) ,

(8.2-1)

di mana r(t) adalah vektor N, x 1 dari input perintah, F adalah matriks transformasi input Nu x NT>dan K adalah matriks gain feedback Nu x Nx. Perhatikan bahwa matriks F dibutuhkan, karena dimensi input perintah mungkin tidak sarna dengan dimensi vektor pengaturan. Jika kita mengaplikasikan pengatur ini ke sistem yang ditentukan oleh (8.1-1) dan (8.1-2) kita dapatkan sistem lingkartertutup

di mana

x = Ax + Br

(8.2-2)

y = x,

(8.2-3)

-.

366

_.

--. .....-

.

__

h

__ _...._


A

=A -

B

= BF.

BK

(8.2-4)

(8.2-5)

Perhatikan bahwa sistem ruang keadaan yang dihasilkan mempunyai bentuk yang sarna dengan sistem original, yaitu, sistem pengaturan koefisien konstan linear, kecuali bahwa matriks A bergantung pada matriks parameter K, dan input pengaturan sekarang adalah input perintah r(t).

Untuk kasus input perintah konstan r(t) ;;;

r, solusi keseimbangan x(t) ;;; x

diberikan oleh solusi pada [A - BK]x

= - BFf.

Jadi, baik matrik F dan K mempengaruhi lokasi titik keseimbangan lingkar tertutup. Narnun rnatriks K itu sendiri mempengaruhi eigenvalues dan eigenvektor dari sistem pengaturan tersebut. Pada kenyataannya, jika sistem tersebut benar-benar dapat dikontrol, (memenuhi salah satu kriteria kontro1abilitas), maka setiap himpunan eigenvalues yang diinginkan untuk A dapat dipilih melalui pilihan K yang tepat (Davidson, 1968 : Heymann, 1968; Wonham, 1967).

C:()~()l1

8.2-1

Sistem 10 tlnskat Kedua

Pertimbangkan sistem 10 tingkat kedua dari bentuk Z + PI:' + PuZ =

z

(/ull

(8.2-6)

mana z dan sarna-sarna diukur dan qo *-o. Kita menggunakan z selain y, karena kita tidak ingin menyatakan secara langsung dengan (8.2-6) dan hanya z yang menjadi output. Dengan memisalkan Xl = YI = z dan X2 = Y2= Z, kita dapatkan penyajian ruang keadaan ekuivalen

di


.

x=

0

I

[ - Po - P J

x+

I

y

o [ q() J

367

II

= x

dimana outputnya adalah keadaan menyeluruh (entire state). Dengan menggunakan kriteria kontrolabilitasKalman, kita melihat bahwa IPI

= -q~.

Karena qo =1= 0, maka kriteria kontrolabilitas dipenuhi. Jika kita menerapkan feedback keadaan dari bentuk (8.2-1),

di mana dalam hal ini, F = Ks adalah faktor penskalaan dan K = [kb k2] merupakan vektor baris. Kita dapatkan

yang mempunyai persamaan ciri ).2

+ (PI + k2q()). + (Po + k,(:o) = 0.

Dengan memilih k1 dan k2 yang tepat, kita dapatkan pengaturan lengkap dengan dua koefisien dalam persamaan ciri. Jadi, eigenvalues A dapat dipilih. Misalnya, untuk mendapatkan sistem dengan persamaan ciri dalam bentuk (8.2-7) kita-dapat mencocokkan koefisien untuk mendapatkan ,

k, =

w,,- Po C/o

'

k 2-

2,w"

qo

PI

.

(8.2-8)

368


Respon Keadaan Tetap dari Sistem TingkatKedua Karena sistem 10 tingkat kedua yang dipelajari pada bab sebelumnya merupakan pembentukan blok yang mendasar untuk sistem dinamik linear, maka adalah sangat menarik untuk menguji, dengan secara lebih mendetaiil, sistem yang dibahas pada Contoh 8.2-1. Misalkan, bahwa kita telah memilih gain feedback k 1 dan k2 untuk membuat sistem ini stabil. Maka di bawah input langkah konstan--r{t) = r, kita dapatkan solusi keadaan tetap, ._

XI

K.~C/oI:

=

Po + k IC/o

.

x~ = o. Output untuk sistem ruang keadaan kita adalah xl dan Xz. Oleh karena itu, konsep SISO dari output yang menelusuri input tidak dapat diaplikasikan secara langsung. Dalam hal ini, kita mempunyai satu variabel input dan dua variabel output. Secara umum, kita tidak dapat mempunyai salah satu variabel keadaan menelusuri salah satu variabel input. Dalam hal ini, jelasnya, Xz tidak dapat menelusuri r, karena xl dapat menelusuri r solusi keseimbangan ul1tukXl berisi r: Jika ini adalah sasaran kita, maka kita catat bahwa pada keadaan tetap kita dapat membuat Xl menjadi faktor f kali r dengan menetapkan

Ks = (Po

+

k.qo)f qo

Namun demikian, cara lain untuk mendapatkan xl menelusuri r dan untuk menghilangkan setiap kekeliruan keadaan tetap berkaitan dengan input bias tak tentu adalah memperkenalkan pengaturan integral dengan memakai variabel keadaan integral kekeliruan tambahan,

pada persamaan keadaan ketiga. Dalam hal ini, sistem secara keseluruhan meliputi input tak tentu v ditentukan oleh


X2

= -PoX. - P.X2 + qo(u + v)

x)

= ir

369

(8.2-9)

- X..

Jika kita sekarang memilih pengaturan feedback menurut

maka sistem yang dihasilkanditentukan oleh

X2

= -(Po + qok.)x, - (PI +.qok2)x2- qok)x) + iqor + qov

X3 = ir - XI.

r

Di bawah input langkah r(t) = dan input tak tentu (bias)konstan vft) = V, kita

dapatkan solusi keadaan tetap XI

= ff

X2= 0

Solusi ini menghasilkan hubungan keadaan tetap yang diinginkan untuk Xl meskipun terdapat input bias v. Inidicapai dengan mengorbankan keseimbangan nonzero untuk X3. Karena variabel keadaan X3merupakan integral dari kekeliruan e = fr - Xl, ini memberikan ukuran bagaimana kita menelusuri input secara rata-rata. MatriksA untuk sistem pengaturan diberikan oleh

370

Pengant

Sistem Pengaturan

yang mempunyai persamaan ciri (8.2-10) Tiga gain feedback kb k2, dan k3 sekarang dapat dipilih untuk memberikan eigenvalues yang diinginkan. Misalnya, untuk mendapatkan sistem dengan persamaan ciri dalam bentuk (8.2-11) kita dapat memperluas persamaan ini dan m~ncocokkan koefisien dengan (8.2-10) untuk mendapatkan k ,-- w~ + 2(w,,{3 - Po

lIo

k2

=

k ) _---

2(w" + {3 - PI lIo

(8.2-12)

(3w~ lIo

Dalam membandingkan desain pengaturan tanpa feedback kekeliruan integral [(8.2-7) dan (8.2-8)J dengan desain pengaturan dengan feedback kekeliruan integral [(8.2-11) dan 8.2-12)), kita lihat bahwa akar kompleksnya dapat dip~rtahankan sarna untuk kedua contoh tersebut. Jika kita mempertahankan akar A. = -13baik untuk sebelah kiri dari akar kompleks, maka respon dinamik dari sistem tingkat ketiga akan cocok secara dekat dengan sistem tirigkat kedua. Efek akar A. = -13memungkinkan menelusuri input dengan kekeliruan keadaan tetap nol. Dengan 13besar, jumlah tindakan pengaturan yang signifikan juga diperlukan dan dapat menghasilkan kejenuhan pengaturan dalam situasi praktis. Untuk mengimplementasikan feedback variabel keadaan bersama dengan feedback kekeliruan integral, pengontrol harus ekuivalen dengan sistem 1)

Ii

= Ir -

XI

= Ir - k,xl - /':'2>':2 .- /.:.)>.:.1.


371

Sesuai dengan asumsi feedback variabel keadaan, kita mempunyai x I dan Xz (baik dengan pengukuran langsung atau dari observer yang akan dibahas nanti). Tentu saja input perintah juga tersedia. Jika kita menggunakan HOpamps" untuk menyusun pengatur, maka prosedur berikut ini dapat digunakan. Pertama, masukkan Xl dan negatif dari r ke dalam summing integrator, seperti pada Gambar 6.2-8, dengan RI = 1, Rz = II!, dan C = 1. Outputnya menjadi X3. Selanjutnya, masukkan Xl>Xz, X3 dan negatif dari r ke dalam summing amplifier, seperti pada Gambar 6.2-5, dengan RI = l/kl> Rz = l/kz, R3 = l/k3, R4 = II!, dan Rj = 1. Outputnya akan menjadi u. Sekarang tanda pengaturan ini dapat digunakan secara langsung dengan sistem fisik melalui interface yang tepat seperti power amplifier. Penelusuran Input-Output Konsep yang diperk~malkan pada bagian sebelumnya mengenai variabel keadaan menelusuri input sedikit dapat digeneralisasikan. Misalkan bahwa beberapa kombinasi linear (skalar) dari variabel keadaan dan pengaturan skalar, ditentukan oleh y;'

Cx + dll = [c1,. . . , CN]X + du, x

y

diperlukan untuk menelusuri input skalar. Perhatikan bahwa bukan merupakan output. Di bawah asumsi bagian ini, output vektor y adalah keadaan x. Pertimbangkan sekarang dengan memasukkan variabel keadaan baru XN..1 , memenuhi XNx+ I = fr

- y = fr - Cx - duo

Rangkaian lengkap dari persamaan keadaan ini sekarang dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai

Sekarang masukkan feedback variabel keadaan dalam bentuk

372


di mana K = [kb...,kNx).Persamaan sistem pengaturan menjadi

r

Solusi keseimbangan di bawah input konstan r(t) = ditentukan oleh

asalkan inversi tersebut ada. Syarat yang terakhir ini secara efektif mengatur kombinasi variabel pengaturan dan keadaan linear yang dapat menelusuri input tertentu. Perhatikan, secara khusus, jika terjadi solusi keseimbangan, maka XNHI = 0 menyatakan

Cx +

dt(

= Jr.

yang mencapai penelusuran yang diinginkan, karena

y= Cx + du.

Sistem Input Berganda Untuk sistem pengaturan input-tunggal, prosedur penempatan eigenvalue yang diuraikan pada Contoh 8.2-1 akan selalu memberikan solusi unik untuk matriks gain K. namun demikian, dengan sistem pengaturan input berganda, matriks gain K tidak unik.

CONTOH 8.2-2

Sistem Input Tunggal

Perhatikan sistem pengaturan input tunggal dari bentuk (8.1-1) dengan:


373

Misalkan kita ingin menempatkan eigenvalue pada A.I = -2 "dan A.2'=' -3 menggunakan feedback variabel keadaan dari bentuk II

= r - Kx.

matriks A yang sesuai ditentukan dengan

A = C ~ k, dengan persarnaan ciri

Dengan mensubstitusikan eigenvalue yang diinginkan ke dalarn persarnaan ini, kita memperoleh sistem dua persamaan untuk kl dan k2 yang tidak diketahui.

k, - 2k2= - 3 k. - 3k2= - 8. kita dapatkan solusi unik

CONTOH 8.2-3

Sistem Input Berganda

Misalkansebuah sistem mempunyai matriksA yang sarna seperti dalam contoh 8.2-2, tetapi dengan matriks B yang ditentukan oleh matriks identitas

374

Pengantar

Sistem Pengaturan

Karena P adalah dari rank 2, sistem tersebut tetap dapat dikontrol. Dengan menggunakim feedback variabelkeadaan dalam bentuk u = r - Kx, yaitu,

kita dapatkan matriks [A - BK] -k'l [A - BK] dengan persamaan

=[I -

k21

ciri

Jika sekarang kita mencari eigenvalues yang sarna dengan pada Contoh 8.2-2 dengan mensubstitusikan Al = -2 dan A 2 = -3 ke dalam persamaan ini, kita dapat menyelesaikan dua dari gain feedback dalam bentuk dua lainnya. Oleh karena itu, penentuan gain feedback tidak unik. Pada contoh ini kita dapatkan

Satu keuntungan dari ketidakunikan ini adalah bahwa perancang sistem pengaturan mungkin dapat memberikan pengatur yang lebih kuat (robust controller), yang bekerja bahkan pada kondisi desain yang salah, dengan memilih salah satu rangkaian solusi untuk parameter versus lainnya. Secara khusus, adalah memungkinkan untuk memilih kij bukan hanya untuk menghasilkan eigenvalues yang diinginkan, tetapi juga, bila elemen feedback tertentu


375

gagal dalam operasinya, sistem yang dihasilkan tidak menjadi tidak stabil. Dalam contoh kita, misalkan kita memilih kll = 1 dan k1Z = 2. Maka, untuk sistem lingkar tertutup nominal untuk mendapatkan eigenvalues yang diinginkan, kita perlu kZ1 = -1 dan kzz = 4. Sekarang, misalkan elemen feedback kll gagal, sehingga kll = O. Dengan kij lainnya yang tertentu dengan nilai desain nominalnya, persamaan ciri menjadi A~ + 4A + 2

=0

dan sistem pengaturannya tetap stabil.

Prosedur Umum unluk Penempalan Eigenvalues

Metode penempatan eigenvalue terjadi (Wonham, 1967, 1985; Brogan, 1982) tidak hanya mempunyai keuntungan memperbolehkan penentuan yang sistematik dari matriks K untuk kasus input berganda, tetapi juga dapat diadaptasi untuk solusi numerik. Permasalahan mendasamya adalah mencari elemen matriks gain feedback K sedemikian rupa sehingga eigenvalues tertentu AI, ..., ANxadalah solusi bagi persamaan ciri untuk matriks A yang ditentukan oleh (8.2-4). Dengan kata lain, eigenvalues harus memenuhi IAI.v, - (A - BK)I = 0,

(8.2-12)

di mana IN adalah matriks identitas dimensi Nx. Untuk ~istem dengan hanya beberapa variabel pengaturan dan keadaan, matriks pada (8.2-12) secara sederhana dapat disusun sebagai suatu fungsi elemen K. Kemudian elemen K dapat dipilih untuk menghasilkan determinan nol pada (8.2-12), seperti pada contoh 8.2-3. Tetapi, ada modifikasi dari pendekatan ini yang menghasilkan solus! bentuk tertutup eksplisit untuk K. Pendekatan ini sesuai untuk sejumlah variabel pengaturan dan keadaan dan menguntungkan bila jumlah variabel pengaturan dan keadaan kurang dari jumlah variabel keadaan. Misal P(A)merupakan persamaan ciri untuk matriks [A - BK]

376


PO.) = IAI.".,.- (A - BK)I

(8.2-13)

dan p(A.)merupakan persar'naan ciri untuk matriks A peA) = lAIN,.- AI.

(8.2-14)

Menunjukkan matriks inverse [~. - A]dengan
(8.2-15)

Kita sekarang dapat menulis p(A.)sebagai peA) = lAINx - A + [AINx - A] [AINx - A] - 'BKI atau

Karena dua matriks dalam tanda kurung adalah kuadrat, kita dapat menulis

atau (8.2-16)

Sekarang kita dapat menggunakan identitas II" + DEI = 11m+ EDI.

di mana D adalah matriks n x m dan E adalah matriks m x n, untuk menulis (8.2-16) sebagai peA)= peA) IIN" + K
(8.2-17)


377

Tentu saja, (8.2-17) hanyalah merupakan cara lain dalam menulis persamaan ciri untuk matriks fA - BK). Namun demikian, dalam bentuk ini, ada cara yang jelas untuk memilih K untuk memenuhi P (A)= O. Secara khusus, kita dapat memilih K sehingga kolom matriks (8.2-18) adalah no!. Persamaan ini akan menjamin bahwa determinan yang sesuai adalah nol, dan oleh karena itu, P(A)

CONTOH

8.2-4

= o.

(8.2-19)

MendesainUlangSistemInputTunggaldarlContoh8.2-2

Kita akan menggunakan (8.2-17) untuk mengerjakan kembali Contoh 8.2-2. Kita dapatkan A

[AIN,- A] =

[ -I

ct>(A)=

~ A- -

- 1

A] A I

[

1 1 A] .

Jadi,

Karena~" = 1, matriks (8.2-18) dibuat nol dengan memilih k1 dan k2 sehingga

378


+

Secara

k. + k2A = o. A2 - I

khusus, dengan Al = -2, dan A2 = -3 kita dapatkan kl-2k2=-3 kl-3k2=-8,

yang merupakan rangkaian persamaan yang sama kita dapatkan dalam Contoh 8.2-2.

CONTOH 8.2-5

MendesalnUlansSistemInputBersandadarlContoh8.2-3

Pertimbangkan kembalisistem input berganda dalam Contoh 8.2-3. Dalam hal ini,

K~(A)B

=~ A2 = k. A2

I

[k

+ k2l1

_I

I

k, j

A

- [I

I AJ

o

[I J

.

Sekarang kita dapat memilih gain feedback untuk membuat determinan matriks ini nol baik untuk eigenvaluesAl= -2 dan 1..2= -3. Hal ini dapat dilakukan, misalnya, dengan membuat kolom pertama nol pada saat A = -2 dan kolom kedua nol pada saat A= -3, yang menghasilkan

K=~U

I~]

Perhatikan bahwa rangkaian gain feedback tertentu yang diperoleh pada contoh ini dihasilkan dari pilihan tertentu untuk kolom determinan untuk


379

dinolkan untuk masing-masingeigenvalue.Rangkaian gain feedback pengganti diperoleh jika gain dipilihuntuk membuat kolom kedua nol dengan eigenvalue pertama dan kolom pertama nol dengan eigenvaluekedua. Kombinasilainnya dimungkinkandalam kasusini, yaknigain tersebut dapat dipilihuntuk membuat kolom kedua nol dengan kedua eigenvalues.

Prosedur yang umum secara komputasi dapat dilakukan lebih efisien dengan menyelesaikan K secara langsung. Misalnya ej merupakan kolom ke-j dari INu' yaitu, I

o e, = 10

o

o dan misalkan Wf A;)

~

= (A;)B.

(8.2-20)

Untuk kolom ke-j dari (8.2-18) menjadi nol, kita memerlukan (8.2-21)

di mana \{ljadalah kolom ke-j dari \{l.Jika eigenvalues yang diinginkan berbeda, maka kita dapat mencari kolom independen linear Nx dari \{l(~), i = 1, ..., Nx untuk membentuk ~

G = [WjI (AI)' . . . ,Wj N, (A )]

(8.2-22)

.f

dan kemudian menyelesaikan (8.2-23) di mana h, ..., jN. berarti kolom independen linear yang sesuai pada IN,,'

380


Akar-akar

Original

Dalam beberapa situasi desain, kita menginginkan untuk menyimpan beberapa eigenvalues original dari A. Jika A.adalah eigenvalues dari A dan juga merupakan eigenvalues dari A = A - BK, maka kita menggunakan A. + & dalam menghitung G dan misalkan &~ 0 setelah menghitung HI.

CONTOH 8.2-6

MenggunakanAkarOriginal

Pertimbangkan sistem pengaturan dinamik di mana -I A=

[

0

I

020, o 0 -I

]

Eigenvaluesuntuk matriks A ditentukan oleh A.

= -I

A~= 2 A) = - I. Selarang kita mendesain hukum pengaturan feedback dari bentuk (8.2-1), dengan menggunakan (8.2-23) sedemikian rupa sehingga keseluruhan sistem tersebut mempunyai eigenvalues AI

= -I

A~= - 2 A) = - 4.

Kita dapatkan dari (8.2-15),


I

q.(A) = [AI - A)-I

o

=

I

o I

A+I

A - 2

o

381

(A + 1)2 o I A+ I

o

dan dari (8.2-21),

o 'I1(A) = (A)B =

I A- 2 o

A+ 2 (A + 1)2 o

(8.2-24)

I A+ I

Jadi, I

-

0

+€ ,

tE-

'11(-

I +

€) =

I -€

I

0

- 3

I=

['I1.(A. +

E),

I

0

€

L

'I12(Az)]

W(-2)

'11(-4)

-I ]

[-

= I-

0

- ,

6

o

0

[W,(A,)

"

-

I=

['I1.(A3),

'I12(A3)]

'I12(A,

+ E)]

382


Untuk membentuk G seperti ditentukan oleh (8.2-22), kita perlu memilih tiga kolom independen linear, masing-masing dari '1'(1..1),'1'(1..2),dan '1'(1..3),Sebagai contoh, kita dapat mengguncikan '1'1(AI+ E),'1'2(1..2), dan '1'2(1..3), menghasilkan

0 - 2

0 G

= ['i1.(AI

+ E),

9

1

0

'i12('\2) . 'i12(A3)]= 1-E - 3 0

-I

0 -

J 3

yang mempunyai inverse 2 9

o G -I

= 9(E 2

3)

o

I -2 o 3(E - 3) 9( E - 3) -I

o

E- 3

o

Pada limit E ~ 0, kita dapatkan

0 G-1

3

=I

2

-

9

,

-3 0 0

0 -] 0

Karena kita menggunakan kolom 1, 2, dan 2 dari tiga matriks '1', berturut-turut, kita menggunakan kolom yang sesuai dari identitas 2 x 2 matriks IN = 12 untuk menghitung K, dari (8.2-23), sebagai

u


0 K

= -

3

[e.

e2 e2]G - I

=

-

[

]

2.

0

-3 0

383

-)

I

- 9 ... 2

0

0

yang menghasilkan

K

=

0 3 0

[3

0

)

],

-

dan pembaca dapat membuktikanbahwa A BK mempunyai eigenvalues yang diinginkan 'A = -1, -2, -4.

Eigenvalues

Kompleks

Jika sistem pengaturan harus mempunyai eigenvalues kompleks, maka eigenvalues ini harus ditentukan dalam bentuk pasangan konjugasi kompleks. Dalammembentuk G, kolom yang sarna dari 'P('A)digunakan untuk pasangan kompleks tertentu.

CONTOH

8.2-7

Menggunakan Eigenvalues Kompleks

Misal matriks A dan B adalah sarna seperti pada Contoh 8.2-6. Kita akan mendesain hukum pengaturan feedback dari bentuk (8.2-1), dengan menggunakan (8.2-20) - (8.2-23), sehingga keseluruhan sistem ini akan mempunyai eigenvalues,

384


Karena A dan B adalah sarna dengan contoh sebelumnya, maka '1'(1..)kembali akan ditentukan oleh (8.2-24). Sekarang kita memilih

di mana dua kolom terakhir dari G dipilih dari kolom yang sarna dari '1'(1..).Jadi, -

0 G

=

I-:!.

-

I

2

0

5

I 2

0

-) - i --) + i 2 2

0

dengan inverse 0

G-

I

=.

~ - I - i 2/ _) + i

-5

[

0 0

0

i - i]

Sekarang kita dapat menghitung K dari (8.2-23), yang menghasilkan K=

0 5 0

[2

° 0]

Kita perhatikan dalam contoh ini meskipun G dan G-1 adalah kompleks, K tetap nyata. Ini merupakan alasan untuk memilih kolom yang sarna dari 'I' (A.) dua kali (sekali untuk akar kompleks yang diinginkan dan sekali untuk konjugasinya). Akar-akar

Berulang

Jika akar berulang adalah yang diinginkan, maka prosedur yang terdahulu dapat atau tidak dapat menghasilkan kolom '¥j(A.j)independen linear Nx, dan prosedur yang dimodifikasi mungkin diperlukan (Brogan, 1982). Suatu persamaan independen tambahan untuk memaksa P(A.;)= 0 ditentukan dengan mendeferensialkan (8.2.21), menghasilkan


K-d'l1j dA

CONTOH 8.2-8

= o. l

A

~

385

(8.2-25)

Ai

Menggunakan Akar Berulang

Pertirnbangkan sistern dengan rnatrik A dan B yang sarna yang digunakan dalarn Contoh 8.2-6. Sekarang, kita rnenginginkan untuk rnendesain hukurn pengaturan feedback dari bentuk (8.2-1), dengan rnenggunakan (8.2-23) dan (8.2-25), sedernikian sehingga keseluruhan sistern ini akan rnernpunyai eigenvalues 1..1= -3, 1..2= 1..3= -4. Matriks '1'(1..)kernbali ditentukan oleh (8.2-24). Jadi,

0

'1'( - 3) = I -

'11(-4)

-

4 01

5

0

-

I 2

0

-

2 '}

=I-

01

6

-

0

= ['111(A2),

'I12(A2)]

I 27

0

:IA= -4 = j-i6

'I12(A2)]

I 3

0

0

= ['I1/AI)'

- I

9

dA dA J. = [ 'I1I(A2), d'l12(A2)

386


Kita perlu memilih tiga kolom independen linear. Kita menggunakan kolom 'PIP"I), 'Pz(A.z),dan dlpz(l...z}/dA. dan menghitung K menurut

sehingga, 0 K

=

-[ .

]

_..2

- I

9

27

0

0

I0 L

I

3

-

'-1

I '1

yang menghasilkan,

K = [~ 8.3 DESAINOBSERVER UNTUKSISTEMLINEAR Pada bagian 8.2 kita telah menunjukkan bagaimana menghitung matriks gain feedback K sehingga pengatur feedback variabek keadaan dari bentuk u = Fr(t) - Kx

(8.3-1)

akan memberikan eigenvalues tertentu untuk sistem pengaturan

x = (A - BK)x+ BFr.

(8.3-2)

Diasumsikan bahwa outputnya adalah keseluruhan keadaan, yaitu, y = x.

(8.3-3)


387

Untuk desain sistem pengaturan umum, syarat (8.3-3) mungkin tidak praktis atau bahkan tidak mungkin. Dikatakan tidak praktis karena diperlukan sejumlah besar sensor, atau tidak mungkin karena beberapa keadaan tidak dapat diukur. Untungnya, metode yang dihubungkan dengan desain feedback variabel keadaan masih dapat diaplikasikan, meskipun outputnya bukan merupakan vektor keadaan penuh yang ditentukan oleh (8.3-3). Pada kenyataannya, kita dapat meneruskan menggunakan metode feedback variabel keadaan sepanjang sistem tersebut dapat diobservasi. Alasan untuk hal ini adalah untuk sistem yang dapat diobservasi, adalah memungkinkan untuk membuat peralatan yang dikenal sebagai observer Luenberger (Luenberger, 1971) yang secara aproksimasi akan menyusun kembali setiap keadaan yang tidak diukur secara langsung. Sekalipun keseluruhan vektor keadaan tidak diukur, pertama kita akan memulai dengan desain feedback variabel keadaan sebagaimana didiskusikan pada Bagian 8.2. Setelah matriks gain K ditentukan, kemudian kita memberikan perhatian langsung pada desain observer. Observer (estimator keadaan) menjadi bagian dari keseluruhan skema feedback, sebagaimana digambarkan pada Gambar 1.4-3.

Observer Identitas Sekalipun keadaan tersebut tidak semuanya secara langsung dapat diukur, masih memungkinkan untuk membangun observer untuk sistem tersebut sepanjang sistem terse but dapat diobservasi. Sebuah observer yang menyusun kembali keseluruhan vektor keadaan disebut sebagai observer identitas. Gagasan di"belakang observer adalah menggunakan model sistem untuk menghasilkan estimasi keadaan x. Karena kita mengetahui input u pada sistem tersebut, kita dapat mempertimbangkan sebagai observer, keadaan Q yang didapatkan dengan mengintegrasikan (on-line) persamaan

x=

Ax + Bu.

(8.3-4)

Peralatan semacam itu d~pat dibangun dengan mengin~egrasikan amplifier operasional, sebagaimana dibahas pada Bagian 6.2. Namun demikian, sebuah observer yang didasarkan pada (8.3-4) secara umum, tidak akan menjadi

388


observer yang baik. Untuk melihat hat ini, marilah kita menuliskan kembali sistem aktual seperti

x = Ax +

Bu + v(t),

(8.3-5)

di mana v adalah vektor Nx x 1 yang menyajikan semua sistem tak tentu. Hal ini dapat meliputi ketidakakuratan pada A dan B, efek nonlinear, dan efek tingkat lebih tinggi, maupun input tak tentu. Sekarang pertimbangkan efek v(t) terhadap kekeliruan yang ditentukan dengan e'

= x-x.

(8.3-6)

Jika kita mendiferensialkan (8.3-6) dan mensubstitusikan pada (8.3-4) dan (8.3-6), kita dapatkan

e = Ae - v(t).

(8.3-7)

Ada dua permasalahan mendasar dengan observer yang ditentukan oleh (8.3-4). Pertama kita mengobservasi dari (8.3-7) yang kalau semua eigenvalues A tidak mempunyai bagian nyata negatif, persamaan kekeliruan tersebut akan tidak stabil. Sekalipun A mempunyai semua eigenvalues dengan bagian nyata negatif, waktu kembali untuk (8.3-7) menjadi besar. Sistem dengan waktu kembali besar akan lebih sensitif terhadap v(t) daripada sistem dengan waktu kembali kecil (lihat Bagian 4.4). Permasalahan kedua adalah kenyataan bahwa tidak ada informasi output yang digunakan pada (8.3-4). Observer yang didesain dengan tepat harus dapat menggunakan informasi ini.dalam mengestimasi keadaan (state). Untuk tujuan ini, pertimbangkan penambahan bentuk feedback negatif ke (8.3-4), proporsional terhadap kekeliruan pada output, untuk menghasilkan observer dalam bentuk, i = Ax + Bu -- G[5' - yJ,

(8.3-8)

di mana Q(O)~ 0, G adalah matriks Nx x Ny yang harus ditentukan, dan

y = Cx + Du

(8.3-9)


389

adalah pengukuran yang diprediksikan sesuai dengan (8.1-2). Struktur estimator keadaan (8.3-8) - (8.3-9) adalah sarna dengan filter Kalman (Kalman, 1960), yang digunakan untuk estimasi keadaan di dalam Gaussian random noise input. Dengan mensubstitusikan (8.3-9) ke dalam (8.3-8) dan dengan menyusun kembali bentuk tersebut menghasilkan observer identitas * = [A - GC]x + [B - GD]u + Gy,

dengan ~O)

~O. Komponen

(8.3-10)

matriks G sekarang dapat dipilih sehingga per-

samaan kekeliruannya, (8.3-11)

akan mempunyai sifat stabilitas yang diinginkan. Secara khusus, dengan mensubstitusikan (8.3-5) dan (8.3-8) ke dalam (8.3-11) menghasilkan

Substitusikan untuk y dan

e = Ax -

Gy + Gy - Ax - v(t).

ydengan

menggunakan (8.1-2) dan (8.3-9), kita

(8.3-12)

dapat menulis kembali(8.3-12) sebagai e = [A -

GC]e - v(r),

(8.3-13)

-

di mana (8.3-6) digunakan untuk menghilangkan Q- x. Perhatikan bahwa [A GC] adalah matriks Nx x Nx dengan G dipilih sehingga kekeliruan seperti yang ditentukan oleh (8.3-13) akan mendekati di sekitar titik asal meskipun ada input tak tentu v(t). Misalnya, waktu kembali dari persamaan kekeliruan harus dipilih sehingga ini tidak hanya lebih cepat daripada waktu kembali dari sistem pengaturan namun juga cukup cepat untuk memenuhi persyaratan kinerja pada kekeliruan keadaan tetap yang dihasilkan dari batasan input v yang diharapkan. Observer yang didasarkan pada (8.3-10) mengatasi dua permasalahan mendasar yang telah disebutkan sebelumnya. Baik input u dan output y sekarang adalah "input" bagi persamaan observer. Sifat stabilitas dari persamaan kekeliruan benar-benar di bawah pengaturan perancang, asalkan kita dapat memilih

390


matriks G pada (8.3-13) untuk memberikan eigenvalues yang diinginkan untuk [A - GC]. Hal ini akan selalu memungkinkan, asalkan sistem tersebut dapat diobservasi. Lebih tepatnya, jika dan hanya jika Q, sebagaimana ditentukan oleh (8.1-15), adalah rank Nx dapat menjadikan eigenvalues [A - GC] ditentukan dengan memilih G yang tepat (Luenberger, 1971). Secara umum, G dipilih sehingga [A - GC] mempunyai eigenvalues yang berbeda dari [A BK]. Secara khusus, mereka harus dipilih ke sebelah "kiri" dari eigenvalues sistem pengaturan sehingga waktu kembali dari observer akan lebih cepat daripada untuk sistem pengaturan.

-

Desain Ruang Keadaan dengan MenggunakanObserver Identitas Misalkan bahwa suatu sistem yang ditentukan oleh (8.1-1) dan (8.1-2) keduanya dapat dikontrol dan dapat diobservasi dan hanya beberapa (atau mungkin beberapa kombinasi linear) dari keadaan yang diukur secara langsung. Pengatur feedback variabel keadaan masih dapat didesain untuk sistem ini dalam bentuk (8.2-1) dengan memilih K sehingga A pada (8.2-2) mempunyai eigenvalues yang diinginkan. Namun demikian, sekarang kita harus menggunakan observer untuk mensuplai bagian dari informasi keadaan yang hilang. Secara khusus, jika kita mengestimasi keseluruhan keadaan, maka pengatur merupakan bentuk dari u = Fr - Kx

(8.3-14)

- GC] mempunyai eigenvaluespada sebelah "kiri"dari [A - BK].Keseluruhan sistem pengaturan kemudian akan dinyatakan dengan

dengan Qditentukan dari (8.3-10) di mana G telah dipilih sehingga [A

x = Ax - BKx + BFr

(8.3-15)

dan persamaan (8.3-10). Suatu diagram blok untuk sistem ini digambarkan dalam Gambar 8.3-1. Pada prakteknya, tanda pengaturan u akan tersedia untuk observer, karena tanda yang sarna ini harus merupakan input ke dalam sistem yang harus dikontrol. Jika kita mensubstitusikan untuk u pada (8.3-10), kita dapatkan


x

391

y ~f+

x= (A-GC)x+ (B-GD)u + Gy

GaIT_bar

8.3-1 Feedback ruang-keadaandengan menggunakan observer identitas.

~ = [A - GC - (B - GD)K]x + Gy + [B - GD]Fr.

(8.3-16)

Hal tersebut akan muncul dari persamaan coupled (8.3-15) dan (8.3-16) bahwa observer bisa rr.engubah sifat stabilitas lingkar tertutup dari sistem yang dimaksudkan dengan memilih K. Namun demikian, untuk sistem yang dapat dikontrol dan dapat diobservasi, observer tidak mengubah eigenvalues lingkar tertutup dari sistem pengaturan ketika mereka dimasukkan, namun secara sederhana berbatasan dengan eigenvalues mereka sendiri. Yaitu, eigenvalues untuk sistem (8.3-15) dan (8.3-16) , dihubungkan dengan [A - BK] dan [A GCI, berturut-turut

-

CONTOH

8.3-1

Sistem 10 Tingkat Kedua

Pertimbangkan sistem 10 tingkat kedua dari bentuk

Kita menginginkan menggunakan metode feedback variabel keadaan untuk mendesain pengatur. Pertama kita mengkonversikan sistem tersebut ke dalam

392


angka-angka ruang keadaan. Dengan memisalkan Xl = Y dan X2 = y, kita dapatkan sistem ekuivalen

Y = Xl'

yang merupakan bentuk dari (8.1-1) dan (8.1-2) dalam bentuk matriks

Sistem ini dapat diobservasi (I Q I = 1) dan, asalkan qo "#0, sistem tersebut dapat dikontrol ( IP I = -q6). Dengan menggunakan pengatur feedback variabel keadaan dari bentuk (8.2-1), secara khusus,

kita dapatkan

B=

[;J,

c

= [I

0],

D = o.

dengan persamaan ciri (8.3-17)

Karena ini merupakan sistem input tunggal, kita dapat menentukan k I dan k2 secara unik dengan mencocokkan koefisien. Sekarang kita mendesain pengatur sehingga sistem pengaturan mempunyai persamaan ciri dari bentuk (8.3-18 )


393

dengan 0 < S < 1 dan OOn> o. Dengan mencocokkan koefisien di antara (8.3-17) dan (8.3-18) menghasHkan hasHyang sarna seperti yang kita dapatkan pada contoh 8.2-1 sebagaimana dH5erikanoleh (8.2-8). Dalam hal ini, karena hanya Xl yang diukur, kita hanya perlu mendapatkan estimasi untuk Xz dari observer. Namun demikian, observer identitas mungkin masih digunakan denga~ membuang estimasi untuk Xl. Jika kita menggunakan observer identitas, maka kita harus mencari G [gl gz]T sehingga [A - GC] mempunyai eigenvalues yang tepat. Kita dapatkan

yang direduksi menjadi

Persamaan ciri untuk [A - GC)ditentukan oleh (8.3-19) Sekarang kita memilih g 1dan g2 sehingga observer mempunyai persamaan ~iri dalam bentuk (8.3-20)

di mana, jika dibandingk~n dengan (8.3-18), S illn > SOOn sehingga eigenvalues observer berada di sebelah kiri dari eigenvalues sistem pengaturan. Dengan mencocokkan koefisien antara (8.3-19) dan (8.3-20), kita dapatkan (8.3-21) Persamaan observer (8.3-10) untuk hal ini dapat ditulis sebagai

394


= X2 - c\-) - y)g) 12 = -Poo\-) - PI.\-2 -

11

(8.3-22) (.\-) - y)g2 + qollo

Persamaan ini dapat diselesaikan secara langsung untuk menghasilkan Q}dan Q2' Pengontrol yang dihasilkan adalah (8.3-23)

Perhatikan bahwa kita dapat menggunakan pengukuran aktual y = Xl pada pengatur (8.2-23). Namun demikian, jika pengukuran y berisi noise di mana kita dapat menyaring noise tersebut, untuk secara luas, dengan menggunakan estimasi keadaan Qpenuh.

Secara umum, baik observer (8.3-10) dan pengatur (8.3-1) dapat diimplementasikan dengan menggunakan amplifier operasior'lal (lihat Bab 6). Keuntungan menggunakan amplifier operasional untuk observer adalah bahwa outputnya mengestimasi dari observer secara langsung (on line) dan dapat dimasukkan secara langsung ke dalam pengatur apakah pengatumya digital atau analog. Kondisi awal untuk integrator mungkin tidak diketahui. Namun demikian, pada kebanyakan situasi hal ini tidak menampilkan kesulitan dengan observer yang didesain dengan tepat. Sekalipun semua kondisi awal ditetapkan sarna dengan nol, setiap kekeliruan yang terjadi akan segera cenderung ke nol sesuai dengan persamaan kekeliruan. Dengan kata lain, pada awalnya, mungkin ada kekeliruan dalam estimasi keadaan, namun kekeliruan ini akan dengan cepat diperkecil, karena waktu kembali untuk observer lebih cepat dib~ndingkan dengan sistem pengatur. Perhatikan bahwa setiap input langkah untuk r akan mempunyai efek sarna dengan kekeliruan kondisi awal.

Reduced-Order Observer Untuk sistem yang diberikanoleh (8.1-1) - (8.1-2), yang kita ulangidi sini untuk acuan, x = Ax + Bu

(8.3-24)


y

= Cx + Du,

395

(8.3-25)

misalkan bahwa y "*x, namun rank tersebut [e] = Ny < Nx. Yaitu, kita tidak mengukur keseluruhan keadaan, namun pengukuran yang kita lakukan adalah independen linier. Jika kita menggunakan observer identitas untuk mengesti~ masi Q, maka observer tersebut adalah sLlatusistem yang dinamik dari tingkat Nx. Karena kita mempunyai Ny pengukuran independen linear y, maka ada beberapa redundansi pada observer, yang membawa kita untuk mempertimbangkan suatu desain yang didasarkan pada reduced-order observer, dari tingkat Nx x Ny. Observer ini akan memasukkan pengukuran y sebagai bagian dari keadaan dan hanya mengestimasi informasi keadaan yang hilang, daripada vektor keadaan penuh. Jika sistem fersebut dapat diobservasi dan rank [e] = Ny, maka tidak hanya reduced-order observer semacam itu dapat didesain namun juga eigenvalues untuk kekeliruan observer dapat ditetapkan ke nilai yang diinginkan. Hasil yang kita tampilkan berkaitan dengari Luenberger (1979). Secara umum, langkah pertama dalam proses tersebut adalah membuat transformasi koordinat ruang keadaan sehingga pengukuran y(t) menjadi bagian dari vektor keadaan baru. Kemudian kita mendesain sebuah observer untuk vektor keadaan baru yang lainnya. Pilih matriks T (Nx - Ny)x Nx sehingga (8.3-26)

merupakan matriks nonsingular. Matriks T ada, jika rank [e] = Ny. Maka vektor keadaan baru

(8.3-27)

dipartisikan untuk menentukan keadaan tak terukur ill (unmeasured stale) dan keadaan terukur (measured state) 11 ~ Y - DU. Transforrhasiini, diaplikasikan ke (8.3-24), menghasilkan persamaan keadaan baru = Az + Bu, dengan A = M-1AM dan B = M-1B, dalam bentuk partisi

z

396


(8.3-28)

Sekarang, dengan y(t) dan u(t) dan oleh karena itu T)(t), reduced-state ditentukan sebagai ~

y(r)

= w(t) -

Gl1(t),

(8.3-29)

di mana G adalah matriks gain reduced-order (Nx- Ny)x Ny yang merupakan determinan. Pengetahuan estimasi f(t) untuk y(t), bersama dengan T)(t), akan menentukan estimasi &(t) untuk ro(t), melalui (8.3-29) dan, karena itu, estimasi ~(t) untuk keadaan z(t) yang ditransformasikan. Kemudian dari (8.327) kita dapat menyusun estimas(~t) untuk vektor keadaan original seperti x(t)

=M

w(t)

[ 11(t) ] .

(8.3-30)

Dengan mendeferensialkan (8.3-29) dan dengan menggunakan persamaan keadaan yang ditransformasikan (8.3-28) menghasilkan

Dengan mensubstitusikan untuk 0) dari (8.3-29), kita dapatkan it = [All - GA~I]Y + [(A1~ - GAn) + (All - GA~,)Gll1 + [BI - GB~]u.

Dengan y(t) dan u(t) dan oleh karena itu T)(t),persamaan diferensial ini akan menentukan y(t), kecuali bahwa kita tidak mengetahui y(O). Sebagai suatu estimasi f(t) untuk y(t), kita memilih nilai untuk f(0) dan copy dari persamaan diferensial tersebut, menghasilkan reduced-order observer yang didapatkan dari .y = [All - GA~I]Y + [(A1~ - GA~~) + (A'I - GA~I)G]l1 + [BI - GB2]u.

(8.3-31)


397

di mana estimasi keadaan ~t) yang dihasilkan dihitung dari (8.3-30), dengan

Oalam bentuk kekeliruan e(t)

w(1) = y(1)

+ Gl1(t)

(8.3-32)

11(1) = y(t)

-

(8.3-33)

~&(t) -

ro(t)

Du(t).

= f(t) -

y(t), kita dapatkan (8.3-34)

Jika sistem ruang keadaan original dapat diobservasi, kita dapat mengambil elemen dari matriks gain G (Nx - Ny) x Nx sehingga matriks persamaan kekeliruan [All - GA21]mempunyai eigenvalues yang diinginkan (Luenberger, 1971). Selanjutnya, jika pengatur feedback keadaan penuh dari bentuk u = Fr

- Kx telah didesain untuk rangkaian eigenvalues tertentu untuk [A - BK], pengatur yang diimplementasikansebagai u = Fr -

~

akan mempunyai

eigenvalues yang diinginkan, independen dari yang dipilih untuk reduced-order observer. Yakni, seperti pada kasus observer identitas, desain dari pengatur feedback dapat dipisahkan dari desain reduced-order observer, asalkan sistem tersebut dapat dikontrol dan dapat diobservasi.

CONTOH

8.2-3

Sistem 10 Tingkat Kedua

Kita akan menggunakan sistem yang sarna dengan Contoh 8.3-1,

Y

= XI'

Outputnya adalah Y = Xl dan kita hanya memerlukan estimasi untuk X2' Urituk

mencocokkan dengan notasi kita, di mana keadaan yang dapat diukur adalah

398


komponen Ny terakhir dari vektor keadaan yang ditransformasikan baru z, kita tukar tingkatan

keadaan tersebut dengan menggunakan

transformasi

(Zb Z2) =

(X2, y) = (00,11).Tetapi, dalam kasus sederhana ini, kita akan menggunakan notasi (X2,y) sebagai pengganti (00,11).Oleh karenu itu, kita dapatkan

Jadi,

Dengan y = 00- G11= X2- gy, (8.3-31) menghasilkan reduced-order observer (8.3-35)

dengan (8.3-36)

(8.3-37)

Kekeliruan e = Q2 - X2

= f-

y ditentukan oleh

e=

-(PI

+ g)e,

(8.3-38)

di mana g dipilih sehingga PI + g > 0 dan eigenvalues kekeliruan berada pada sebelah kiri dari eigenvalues untuk sistem ruang keadaan. Yakni, koefisien g dipilih sehingga waktu kembali untuk persamaan kekeliruan (8.3-38) lebih cepat daripada waktu kembali untuk sistem pengaturan. Seketika hal ini ditentukan, Persamaan (8.3-35) dapat diintegrasikan "on line" (misalnya, dengan amplifier operasional) dengan menggunakan "input" y dan u untuk menghasilkan f. Estimasiuntuk Q2kemudiandidapatkan secara langsung dari (8.3-37).


399

8.4 IMPLEMENTASI DIGITALDARIPENGATUR RUANG-KEADAAN Sistem Sample-Data Dalam situasi desain sistem pengaturan yang didiskusikan sejauh ini, kita telah mengasumsikan bahwa sensor, pengatur, dan aktuator semuanya berprilaku dalam bentuk waktu kontinyu. Hal ini benar untuk beberapa aplikasi di mana peralatan waktu kontinyu (continuous-time device) digunakan pada setiap tahap proses pengaturan; misalnya, ketika ukuran tegangan, tachometer motor, dan sebagainya, digunakan untuk pengukuran, amplifier operasional digunakan untuk logik sistem pengaturan, dan "servomotor" digunakan sebagai aktuator. Namun demikian, dalam kebanyakan teori pengaturan, peralatan pengukuran atau pengaturan logik adalah digital. Misalnya, "encoder" optik dapat digunakan untuk mengukur perpindahan dan mikroprosesor dapat digunakan untuk menyelesaikan logik desain pengaturan feed-back. Kita akan secara singkat menguji bagaimana desain pengaturan kontinyu dapat dimodifikasi untuk penggunaan sistem di mana alat-alat digital membuat beberapa atau semua komponen pengaturan.

Zero Order Hold Misalkan bahwa kita menggunakan metode feedback variabel keadaan untuk mendesain sebuah pengatur untuk sistem (8.1-1)dan (8.1-2)di mana C = I dan D = 0, sebagaimana diilustrasikanpada Gambar 8.4-1. Jika alat-alat digital digunakan, maka tanda pengaturan yang benar-benar diaplikasikan pada sistem tersebut akan menjadi rangkaian pengaturan konstan. Penggunaan

xU)

K

Gambar 8.4-1 Pengaturan waktu kontinyu dari sistem ruang keadaan.

400


r(kT)

Gambar

x(kT)

8.4-2 Pengaturan waktu diskrit dari sistem ruang keadaan.

peralatan waktu-diskrit rnernpunyai efek tentang pernasukkan zero-order hold Ouga disebut sampel dan hold) dalarn sistern tersebut, sebagairnana diilustrasikan pada Garnbar 8.4-2. "Zero order hold" adalah alat yang outputnya rnerupakan aproksirnasi "stepwise" dari input, sebagairnana diilustrasikan dalarn Garnbar 8.4-3. Tentu saja, kita tidak benar-benar rnenernpatkan "zero order hold" pada sirkuit tersebut. Secara sederhana ia hanya rnenyajikan efek dari penggunaan alat-alat digital. Sistern digital yang diilustrasikan pada Garnbar 8.4-2 dikatakan ekuivalen dengan sistern kontinyu yang diilustrasikan pada Garnbar 8.4-1 jika respon dari kedua sistern terse but sangat cocok untuk input dan kondisi awal yang sarna.

Analisis

dan Desain Sampling

Interval Waktu

Sekarang kita lebihdahulu rnenghitungrespon dari sisternwaktu kontinyupada interval waktu-diskrit,t = 0, T, 2T,..., dengan rnenggunakan pengatur feedback keadaan dari bentuk

o

T

Gambar

2T

3T

4T

57"

8.4-3 Perbandingan input dan output untuk "zero-order hold".

Time


u

=

Fr - Kx.

401

(8.4-1)

Keadaan x(t) dalam sistem waktu-kontinyu akan disusun sesuai dengan persamaan diferensial x(1) = [A - BK]x(1) + BFr(1).

(8.4-2)

Oalam bentuk matriks transisi keadaan
- BK])untuk sistem ini, kita dapatkan sesuai dengan metode pada Bagian 4.2 X(/) = <1>(1- (0)X(ro) +

I

-

I <1>(1

r)BFr( r) dr.

II)

sehingga dalam bentuk waktu "awal" kT, keadaan pada waktu kT + T ditentukan oleh x(kT + T) = (T)x(kT) + r~T+T(kT + T - r)BFr(r) dr. Ju

(8.4-3)

Keadaan ~t) dari sistem waktu-diskrit dimulai pada kT akan bergerak melalui peri ode sampling T sesuai dengan i(1)

= Ax(1)

+ B[Fr(kT)

- Kx(kT)].

(8.4-4)

di mana pengatur feedback keadaan berada dalam bentuk yang sarna dengan (8.4-1), tetapi dengan gain feedback f< berbeda. Pernatikan bahwa kita mendan inpur r melewati alat gasumsikan kedua output keadaan (keadaan "sample-and-hold" dan, dengan demikian, secara khusus, ~kT) tidak dapat dikombinasikan dengan x(t), sebagaimana dilakukan pada (8.4-2). jika tanda perintah merupakan waktu-kontinyu, daripada yang diberikan oleh alat digital, analisis berikut ini masih akan valid, asalkan r(t) ~ r(kT) melampaui satu periode sampling. Koefisien B pada (8.4-4) menyajikan input lapgkah ke dalam sistem waktu kontinyu. Kita dapat mencari perubahan keadaan dari sistem ini dari matriks transisi keadaan (yang diperoleh dengan menggunakan A) sebagai

~

x(1)

=

<1>(1

-

(o)x(1o) +

J

' <1>(1 - r)B[FrCkT) - Kx(kT)] dr.

II)

Oalam bentuk waktu "awal" kT, keadaan pada waktu kT + T ditentukan oleh

402


~T+ T

f

i(kT + T) = cf>(T)i(kT) +

Pennasalahan

l

cf>(kT+ T - T)BFr(kT) dT

~T

kT + T

~T

cf>(kT+ T

-

T)BKi(kT)

(8.4-5)

dT.

mendasar dalam implementasi digital dari pengatur waktu

~

sehingga keadaan x(kT + 7j sebapaimana ditenkontunyu adalah mencari tukan oleh (8.4-3) adalah sedekat mungkin dengan keadaan SQ,kT+ 7j yang ditentukan oleh (8.4-5), dengan x(k7j = ~k7j tertentu. Jadi, syarat pencocokan berikut ini harus berlaku ~T-

cf>(T)x(kT)

= cf>(T)i(kT)

-

7

f~T

q~(kT + T - T)BKi(kT)

dT

dan

l

~T+T

~T

~T+T

cf>(kT

+ T-

=

T)BFr( T) (IT

f

~T

$O,J + T - T)BFr(kT) (IT.

.

Dengan menggunakan syarat ini, dengan asumsi tambahan bahwa r(t) ;:::::r(k7j [ atau secara ekuivalen, r(t) diaplikasikan dalam bentuk "stepwise"], maka memungkinkan untuk menunjukkan (Kuo, 1980), bahwa untuk T kecil A

K

=K

T + - K[A - BK]. 2

(8.4-6)

Jadi, dengan desain original untuk K yang didasarkan pada sistem waktu kontinyu, desain yang tepat untuk yang harus digunakan dalam sistem digital dapat dengan tepat dihitung dari (8.4-6), asalkan bahwa waktu tunda (delay time) T yang disebabkan oleh elemen digital dapat ditentukan dan tidak terlalu besar. Sesuai dengan teorema sampling Nyquist, untuk mendapatkan penyajianfrekuensi yang tepat, maka kita harus membuat sample pada frekuensi, paling tidak, dua kali lebih besar daripada frekuensi sistem tertinggi. Namun demikian, harus diperhatikan bahwa, pada plot waktu dari tanda yang dijadikan samp1e pada dua kali frekuensi tertinggi dari tanda terse but tidak akan menjadi halus. Untuk mendapatkan plot waktu yang halus, maka sample harus dilakukan pada frekuensi yang lebih tinggi.

~


403

8.5 LAYIHAM 8.5-1

Lakukan semua detail untuk mengerjakan Contoh 8.1-2 dan 8.1-2.

8.5-2

Dengan menggunakan metode ruang keadaan, desainlah sebuah pengatur untuk pendulum terbalik (inverted pendulum). Model yang diperkirakan (lihatBagian 1.3) ditentukan oleh

"

Sistem tertentu yang menjadi perhatian kita mempunyai

= - 17.627/sec2 G2 = O.187/sec {II

h

= O.6455/sec2- V.

Pengatur mempunyai bentuk

Tentukan k I dan k 2 sehingga sistem pengatur akan mempunyai rasio peredaman S = 0.5 dan frekuensi dasar teredam kurang (undamped natural frequency) OOn= 5/rad/sec.

8.5-3

Sebuah pengatur baru harus didesain untuk pendulum terbalik yang ditentukan pada Latihan 8.5-2 dengan menggunakan feedback keadaan plus pengaturan kekeliruanintegral. Misalkanperbedaan kekeliruan antara input r dan sudut e = xl ditentukan oleh e = r - e. Eigenvalues diperlukan untuk ditempatkan pada A.1.2= -1 :t i dan

A.3

=

-2. Suatu langkah unit diaplikasikanpada t = 0 dengan sistem tersebut berada pada titik keseimbangan x = O. Berapa kekeliruaneft) bila t = 1/2 sec. Dengan ketentuan ini, berapakah bandwidth sistem tersebut?

404


8.5-4

Pertimbangkanlah permasalahan dalam mendesain pengatur untuk menstabilkan titik asal (origin) untuk sistem

dengan output p6ngukuran y = xl. (a) Sebelum melakukan desain, tentukan jika pengatur semacam itu dapat dikembangkan, dehgan memeriksa kontrolabilitas. (b) Untuk pengatur feedback dari bentuk u = -Kx, tentukan rentang nilai untuk elemen matriks K sehingga sistem' lingkar tertutup secara asimtot stabil. (c) Desain!ah pengatur feedback u = -Kx sehingga sistem lingkar tertutup tersebut mempunyai eigenvalues dominan "A,= -2 dan eigenvektor yang sesuai l; = [9 -6f (d) Untuk sistem yang dihasilkan dari (c), tentukan eigenvalues dan eigenvektor yang lain dan buatlah sketsa lintasan pada ruang (Xl,X2). 8.5-5

Sebuah sistem mempunyai fungsi transfer G p (s)

O(s) = -,... = G" 1(s)G,(s), U(s) -

di mana f(s) G,(s)

=

1

=

U(s)

1+0.1.1"

0(.1')_ ~. G2(s) = f(s) - .1'2- 4

(a) Kembangkan model ruang keadaan dengan x = [e,~,r]Tdan y = e. Tentukan matriks A, B, C, dan D pada (8.1-1) - (8.1-2). (b) Desainlah pengatur feedback u = fr -Kx sehingga sistem lingkar tertutup mempunyai eigenvalus "A,= -1,-2,-4 dan output keadaan tetap Yoo= dalam kaitannya dengan input langkah r(t) = r.

r

8.5-6

Dengan menggunakan prosedur matriks umum untuk penempatan eigenalue, desainlah pengatur feedback variabelkeadaan dari bentuk

Desain Feedback Variabe1Keadaan

u

405

= r - Kx

untuk sistem ruang keadaan X = Ax + Bu yang ditentukan oleh -3

A =,

[

2

I -2

]'

Sistem pengaturan tersebut mempunyai rasio peredaman l; = 1/2 dan frekuensi dasar teredam kurang IDn= 4 rad/sec. 8.5-7

Ulangilah Latihan 8.5-6, kecuali bahwa sistem pengaturan tersebut mempunyai eigenvalus A = -2, -3 dan (a) u(r, x) hanya berisi Ub dengan variabel pengaturan lainnya sarna dengan nol. (b) u(r, x) hanya berisi uz, dengan variabel pengaturan lainnya sarna dengan nol.

8.5-8

Untuk sistem pengaturan feedback pada Latihan 8.5-4 (a) Tentukan apakah ada atau tidak estimator keadaan penuh yang dapat dikembangkan, dengan memeriksa pengaturanabilitas. (b) Kembangkan estimator keadaan-penuh sehingga persamaan diferensial kekeliruan estimasi keadaan mempunyai eigenvalues A =

-6, -8. 8.5-9

Untuk sistem ruang keadaan pada Latihan 8.5-5(a), desainlah observer identitas sehingga persamaan kekeliruan observer mempunyai eigenvalues A =-5:!:: i, -5. Tulislah persamaan dinamik observer dalam bentuk matriks dengan Udan y sebagai input.

8.5-10

Untuk sistem pada Latihan 8.5-2, vektor keadaannya diestimasi dengan menggunakan observer identitas. Tentukan G sehingga observer akan mempunyai rasio peredaman t;; = 0.5. dan frekuensidasar teredam kurang IDn= 6 rad/sec.

8.5-11

Untuk sistem yang dideskripsikan dengan y + 2y = II,

406

Pengantar Sis~em Pengaturan

(a) dapatkan penyajian ruang keadaan ekuivalendalam bentuk "companion". (b) Apakah sistem tersebut dapat dikontrol? (c) Dengan menggunakan feedback variabelkeadaan dari bentuk

tentukan k1 dan k2 sehingga sistem pengaturannya akan mempunyai eigenvalues pada A = -2 :t i. (d) Apakah sistem tersebut dapat diobservasi ? (e) Tentukan nilai untuk vektor G yarig digunakan dengan observer identitas sehingga eigenvalue observer ditempatkan pada A = -3 +. _I (I) Gambarlah diagram kawat dengan menggunakan amplifieroperasional untuk menggambarkan desain sistem pengaturan lengkap termasuk observer identitas. 8.5-12

Ingat kembali bahwa persamaan diferensial linear yang menggambarkan gerak rotor suspensi magnetik ditentukan oleh

di mana J31 = k/m dan J32 = 11m, sebagaimana ditentukan nya pada Bagian 1.3. Anggap bahwa-k = m = 1.

sebelum-

(a) Dengan menggunakan metode ruang keadaan, desainlah pengatur untuk sistem ini dari bentuk

Sistem pengaturan tersebut mempunyai eigenvaluesA = -5 :t 5;. (b) Desainlah observer identitas untuk sistem tersebut dengan eigenvalues observer ditempatkan pada A = -6 :t 5;. (c) Observer harus diimplementasikan dengan menggunakan amplifier operasional. Gambarlah diagram kawat yang menggambarkan implementasi ini.


407

(d) Desainlah "reduced-order" observer yang akan memberikan waktu kembaliyang sarna seperti observer identitas. 8.5-13

Dengan menggunakan "reduced-order"observer untuk mendapatkan Qz,kerjakan kembaliLatihan (a) 8.5-10 (b) 8.5-11

Tempatkan eigenvalues observer ke sebelah kiri dari eigenvalues sistem pengaturan. 8.5-14 Pengatur yang didesain pada Latihan 8.5-2 harus diimplementasikan dengan menggunakan PC yang dilengkapidengan port AID dan D/A sehingga data tersebut dapat dibaca dan tanda pengaturan dikirim. Tiga bahasa yang berbeda digunakan untuk mengimplementasikan hukum pengaturan: C, FORTRAN, dan BASIC. Waktu tunda yang dikaitkan dengan masing-masingbahasa adalah T = 6 msec, T = 15 msec, dan T = 40 msec, berturut-turut. Dengan menggunakan metode desain ulang digital, tentukan gain feedback variabel keadaan untuk digunakan pada masing-masingkasus. Observer masih diimplementasikan dengan menggunakan amplifieroperasional.

Desain Feedback Variabel Keadaan

Recommend Documents