Desain Feedback Variabel Keadaan
407
(d) Desainlah "reduced-order" observer yang akan memberikan waktu kembaliyang sarna seperti observer identitas. 8.5-13
Dengan menggunakan "reduced-order"observer untuk mendapatkan Q2'kerjakan kembaliLatihan (a) 8.5-10 (b) 8.5-11
Tempatkan eigenvalues observer ke sebelah kiri dari eigenvalues sistem pengaturan. 8.5-14 Pengatur yang didesain pada Latihan 8.5-2 harus diimplementasikan dengan menggunakan PC yang dilengkapidengan port AID dan Dj A sehingga data tersebut dapat dibaca dan tanda pengaturan dikirim. Tiga bahasa yang berbeda digunakan untuk mengimplementasikan hukum pengaturan: C, FORTRAN, dan BASIC. Waktu tunda yang dikaitkan dengan masing-masingbahasa adalah T = 6 msec,T = 15 msec, dan T = 40 msec, berturut-turut. Dengan menggunakan metode desain ulang digital, tentukan gain feedback variabel keadaan untuk digunakan pada masing-masingkasus. Observer masih diimplementasikan dengan menggunakan amplifieroperasional.
Apendiks
Jawaban Latihan NomorGenap DAB 1 1.5-2
(a) x
=
a
Q
-) RC
(b) 1I = E
) R -) a =RC
all = 0
al2 = )
hi = 0
-R 022 = L
) h, = -
u=E
1.5-4
=-
021 =-
b=-
-) LC
b =-
-
) RC
L
1.5-6
Bilamana fungsi clan clerivatif parsial tingkat pertama clan keclua acla clan kontinyu.
1.5-8
- 1--(a ) X
JLg11/2
K
(b) 1-. = X2 - X-' k .\"2= --
II XI + -
11/,
11/1
Jawaban Latihan Nomor
.
XJ
- Genap
409
k
= -x._ m2
1.5-10 (a) Tertentu (b) Tertentu (c) Untuk x = [r, r, e, e]T(dengansernua kornponen kecil),.u = r, dan y = [r, e]T, per sarna an linear adalah
dirnana
0
-- - +
mg[J A =j P R
_ mg p
m(R
x= Ax + Bu,
1 + h)
0
- I)
:g(
0
o
0
J
0
0
0
mghJ P R2
R- + m)
( J,
0
B
= IP R l
.
+ m(R 0 + h)]
I
c= [1 0010' 0 0 OJ
P (+m) R2
-
dengan
1.5-12
.(.
= X2
.\-2
= -
f32 T (
m
+ f3lx~ +
XI
f32f34X~
)
-
f32XSX2
y = Cx,
+
f3JX~1I
o
o
410
Pengantar Sistem Pengaturan
LF... RF.. LF. RF 1 .5 -14 -JO+-JO---"":'mgeOcosO--mgesinO=EF. KA
KA
K...
KA
dimana KA adalah konstan, dengan r = KAlA merupakan tenaga putar motor 1.5-16 Satu pendekatan ditentukan oleh 1. Dengan pendulum'yang cukup beTatterpasang, aplikasikan voltase konstan E. Kemudian pada ekuilibrium,gunakan (1.3-50) untuk menetukan kr. 2. Lepaskan pendulum tersebut, tinggalkan rotor dan kelembaman batang. 12ada(1.3-48), dengan rex = 0, aplikasikan voltase konstan E *-0. Gunakan (1.3-48) pada ekuilibriumuntuk menentukan kB. BAB2 2.5-2 (a) z = [~ y = [I (b)
.=
z
4i
°
.! - i i
2(1 - i) 2(I + i)J
U
_12i Jz
(a) y + 4y + 3y = 1311+ 21i (b) Y + Y = 2u (c) Kondisi observabilitas tidak dipenuhi.
(d) y - 4y + 3y = 2.5-6
1I
l]z
[ ° _ 4iJ Z + 4 [
Y = Ui 2.5-4
O 15.75 -2 J z + [ -15.75 J
II
+ Ii.
Mengikuti dari CAk = baris ke-k dari A, k = 1,...,Nx-1.
2.5-8 Sistem dapat dikontrol. 2.5-10 Tertentu
Jawaban Latihan Nomor
2.5-12
- Genap
411
2+s (a) G(s) = S2 + 2s' + 3 (b) A =
[ _ ~ _~ J.
(c) G(s)
= S2 + 35 +
B
2+s
c = [I 0]
= [6J.
5'
2.5-14 Tertentu 2.5-16
(a)
G (s) = I
(b) G (s) 2
=
0.5 0.5 + (s + 2) (I + Ts) 20(1 + 7S)
0.5 + (s + 2) (I + Ts)
(c ) G(s) = -0.5 [
P(s)
20(1 + TS) P(s) ]
,
= 0.5
P(s)
+ (s + 2) (I + Ts)
(d) Dengan x = [Xl xz]T dan U = [UI UZ]T,satu representasi diberikan oleh
o x = [ -2.~834 y
= [I
-9.3166
]
x +
[
0.7538 -0.7538
I] x.
BAB3
3.6-2
(a) Y = e-)t (b) ~ = 3e-2t - 2e-)t (c) y = 3e-2t - 2e-)t (d) y = e-t +
~ V7 e ?
3.6-4
(a)«I>(t)=
[ _I
-t/2.'
?
Sin
]
_I
e-t+
TV7 t.
[
- I 1
-2 2
]
e--2t
22.0605 -2.0605 ] u
diagonal
412
Pengantar Sistem Pengaturan
(b) ~(t)
=
(c) ~(t)
= e-,
[
COS
2t +
~
sin 2t
26 sin 2t . cos 2t - 8 SIn 2t J
- 2.5SIn 2t
[
COS2t +.isin2t - hIn 2t
isin2t. . cos 2t - ~SIn2t J
3.6-6 x(t) 3.6-8
= DJ e3, + [ =:J e2,.
Untuk a *- 0, titik asalnya adalah titik sadel, seperti pada Gambar 3.4-1e. Untuk a = 0, lintasannya adalah seperti pada Gambar 3.4-1f.
3.6-10 Stabilitas memerlukan
3.6-12
132k2> 0 dan 132k1- 131> O.
Stabil untuk a > 0, b> 0, dan ab - c > O. Tidak stabiljika a = 0 atau
b = O.Stabiljikac = 0 dengana > 0 dan b > O. BAB4 4.5-2
(a) y =.\'2 = e-' - e-21 (b) y = .\'2 = - 4 + 4 cas 2t + 0.5 sin 2t (c) Y =.\'2 = 0.5e-'sin2r
4.5-4
5' + 2~w,,5' + w;,y = w;,u,
4.5-6
~ = 0.8892.
4.5-8
(a) Untuk contoh 4.4-1, I A) ' = --:!: .-
2
(b) Untuk contoh 4.4-2, AI.2=-I,-2,
~ = 0.3579,
v'3
;-
2
'
w" = 672.88 rad/sec.
Jawaban
Latihan Nomor
- Genap
BAB5 5.5-2
5.5-4
(a) yet) = -3 + (3 + 9t)e-l, as t -+ oc,yet) -+ y, = -3 (b) yet) = n [(24 - 9Ot)e-1 + 57 sin 21 - 24cos 2tJ, as t -+ ~, yet) -+ y,(t) = H sin 2t - H cos 2t. y,(t) = Ysin(wt + lp) 2 (a) Y- Y(2 - W2)2+ 9w2' (b) Y
=
(c) Y 5.5-6
=
=
52
14
-
w21'
_ L_
lp
lp = tan-I 0
{ 7T
I~_~ - ~,
~
'
[ w2 - 2J
~f 0
< w< 2
If
> 2
w
lp = tan-'
Frekuensi rendah: IG(iw)ldb-+ 0
[w22: 5J
as w -+ 0
Frekuensi tinggi: IG(iw)ldb-+ - 40 log !!...
as w -+ 00
Wn
Intersect: IG(iw)ldb =
w
0,
I,
dimana
Wn
5.5-8 Tertentu 5.5-10 Tertentu
BAB6 H(s)
6.6-2 (a) Gp(s)
=
Q;(s)
= As
+ k.
K (b) G(s)
= As + k. + K
(c) h(t) =. ~ [2 + e-31!2]
(d) h..,= t 6.6-4
(a) C = k, (b) yet) = I
6.6-6
(a) K
iIJ" = 5 1.0103 e -I sin(4.8991 + 1.3694).
= 3.5 (b) C = 0.025 (c) Untuk w = 2, ly(t)1-+ IG(iw)I.= 17.5 ft.
= 4.
413
414
Pengantar Sistem Pengaturan
6.6-8
(a) Ks = 0.1, K = 5, Ti = 0.2 (b) - 20 db; + 20 db/decade at w (c)
Wh
=
6.6-10
K = 20, a = 0.4.
6.6-12
(a) Gp(5) = mglJ = 0.1963 52
= V5
52
(b) tidak stabil mg
(c) G(5)
=
.
53
+
-.!.. 52
I +-
( ) K mg + + K mg (T ) J J (T")
KsK-
5
J
T"
T"
T" (d) K = 5.093, Te = .1.8, T" = 0.2 (e) Ks = 0.1.
6.6-14
I; - 20 db/decade at w
= 7 rad/sec, T = !.
5
"
(a) K > 27.308 (b) K
=
88.467.
BAB7
7.5-2
(a) 0", = :t 60°, 180° (b)
a = -
(c)
Od
= =
~
- 63.43° :tiV5
(d) 5 (e) 51>= - I
(f) 5h = -~. 7.5-4
(a) Sumbu nyata : -00< &:s;0 Asimtot: centroid pada & = -2, sudut em= :t 60°, 180° Tidak ada "break point" Berangkat dari s = -3 + i2: ed = -56.3° Intersepsi sumbu imajiner pada s = :t i3.6 Secara asimtoto stabil untuk 0 < K < 78
(b) Sumbu nyata : -4 :s;&:s;-1 Asimtot : sentroid pada & = -3/2, sudut em =:t 90° Tidak ada "breakpoint"
Jawaoon Latihan Nomor
- Genap
415
Berangkat dari s = -3 - i2 : ed= 18.43° Tidak ada sumbu imajineryang bersilangan Seeara asimtot stabil untuk K > O. 7.5-6
(a) Sumbu nyata : -4.2936
:$; 8 :$; 4.1063
Asimtot: sentroid pada 8 = -0.0936 sudut em = :t 90° "Break point" : Sb = -0.0936 Intersepsi sumbu imajiner pada s
=0
Seeara asimtot stabil untuk K > 27.312 (b) Sumbu nyata : -4.2936 :$; 8 :$; -0.3 0 :$; 8 :$; 4.1063 Asimtqt: sentroid pada 8 = 0.0564, sudutem = :t 90° "Breakpoint" : Sb = 1.2116 Tidak ada sumbu imajiner yang bersilangan Tidak stabil untuk K > O. (c) Sumbu nyata : -00 < 8 :$;0 Asimtot: centroid pada 8 = -0.0624, sudut em = :t 60°, 180° Tidak ada "Break point" Intersepsi sumbu imajiner pada s = :t i4.7435 Seeara asimtot stabil untuk 'tj >
9.5274
(d) Sumbunyata : -10:$; 8:$;-4.2936,0:$; 8:$;4.1063 Asimtot : sentroid pada 8 = 4.9064, sudut em = :t 90° "Breakpoint" : Sb = 2.204 Tidak ada sumbu imajiner yang bersilangan Tidak stabil untuk K > O. 7.5-8
Pusat pada s = -2 + iO, radius r = 2.
7.5-10
Seeara asimtot dijamin stabil untuk 0 < K < 0.7241 61.7579
7.5-12
Tertentu
7.5-14
S = 0.5 dan S = 0.3
7.5-16
GM = 10.3 db, dengan lintas fase pada ffiq> = 7.2 rad/see PM = 36°, sesuai dengan lintas gain pada ffik= 3.2 rad/see
7.5-18
(a) GM = 25db, PM = 57°, stabil (b) F(s) ==
I + D.ls . s( I + 0.5.1')(I - 0.2s
atau K >
416
Pengantar Sistem Pengaturan
BAB8 8.5-2
k1 = 66.042,
k2 = 7.456
8.5-4
(a) Dapat dikontrol ~ ya (b) k2 < k1 < 0 (c) k2 ,; ~k1- 2. Sebagaicontoh,pilihA,2= -4. MakaK = [k1 k2]= [-8 -14]. (d) untuk A,2= -4, ;2 = [1 -0.8f Simpul stabil.
8.5-6
(a) (b)
8.5-8
(a) Dapat diobsetVasi ~ ya (b) G = [14 48f
8.5-10
G = [5.8128
8.5-12
(a) k1 = 51,. k2 =10 ., (b) G = [12 62]T , J (c) ObsetVer identitas ditentukan dengan
52.542f
-12
;
I
'
x = [ _ 61 °J x +
"
o [ 1J
'
Ii +
12
[ 62 J y.
(d) Reduce-order obsetVerditentukan oleh cd = X2
8.5-14
- 6w -
=w
35y +
Ii
+ 6)',
Untuk T = 0.006 see, Untuk T = 0.015 see, Untuk T = 0.040 see,
~ = [65.45 ~ = [64.64 ~ = [62.31
7.546f 7.676]T
8.035]T
