Dempingsmodellen in spinsystemen

Dempingsmodellen in spinsystemen Nicole Orval Bachelorstage bij theorie van gecondenseerde materie

De Landau-Lifschitz bewegingsvergelijking (LL) beschrijft de precessie van magnetisaties onder invloed van een magnetisch veld. De beweging van een domain wall in een spinsysteem kan hiermee ook worden beschreven. Naast de dempingsterm α in LL zijn er andere mogelijkheden van demping. Met behulp van simulaties is gevonden dat de plaatsing van defecten zorgt voor pinning en demping van de beweging van de domain wall.

Begeleiders: prof. dr. Annalisa Fasolino Frank Buijnsters MSc

Tweede corrector: dr. Aleksei Kimel

3 februari 2014

INHOUDSOPGAVE

INHOUDSOPGAVE

Inhoudsopgave 1 Inleiding

2

2 Landau-Lifschitz 2.1 Een spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Oplossen van LL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 4

3 Domain wall

5

4 Beginsituaties 4.1 H = 0, θ > 0, K2 > 0 4.2 H 6= 0, θ = 0, K2 = 0 4.3 H 6= 0, θ = 0, K2 6= 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 8 8

5 Systeem met defecten 5.1 Defecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Eendimensionaal systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Tweedimensionaal systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 13 13

6 Resultaten 6.1 Nul defecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Eén defect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Twee defecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16 18 22

7 Conclusie en vooruitblik

28

Appendices

30

A Benaderen van de afgeleide A.1 Voorwaarts en achterwaarts verschil A.2 Centraal verschil . . . . . . . . . . . A.3 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Hogere orde afgeleiden . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

30 30 30 31 31

B Differentiaalvergelijkingen B.1 Simpele Euler methode . . . . . . . . . B.2 Aangepaste Euler methode . . . . . . B.3 Verbeterde Euler methode . . . . . . . B.4 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Tweede orde differentiaalvergelijkingen B.6 Implicit Midpoint methode . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

33 33 33 34 34 35 36

1

1

1

INLEIDING

Inleiding

Dagelijks maken we gebruik van spinsystemen. Harde schijven slaan met behulp van magnetisme informatie op in de vorm van bits. Een bit stelt een 1 of een 0 voor. Een bit is een gebiedje waarin de spins allemaal dezelfde kant op wijzen. Zo kan een gebied met spins up een 1 voorstellen en een gebied met spins down een 0. Deze gebieden worden gescheiden door domain walls. Een domain wall is enkele spins dik en hierin veranderen de spins geleidelijk van richting. Dataopslag bereikt tegenwoordig al een dichtheid van 10 Gbit/inch2 wat betekent dat één bit een grootte heeft van 250 bij 250 nm. Dat betekent dat één bit ongeveer een miljoen spins bevat.[3] Spinsystemen die domain walls bevatten kunnen dynamische systemen zijn. De domain wall beweegt dan in de richting loodrecht op zichzelf door het materiaal. Door lokale energieminima in het materiaal kunnen er pinning effecten optreden, waarbij de domain wall op die locatie ’vastplakt’. In deze scriptie wil ik met behulp van simulaties onderzoeken welke effecten het mechanisme van pinning heeft op de beweging van de domain wall. [2] of [5] In hoofdstuk 2 zullen de fysische eigenschappen van spins die voor dit onderzoek van belang zijn aan bod komen, evenals een afleiding voor de bewegingsvergelijking van deze spin. In hoofdstuk 3 wordt gekeken naar verschillende beginsituaties van spinsystemen en de invloed die zij hebben op de beweging van domain walls. Hoofdstuk 4 legt uit hoe we defecten kunnen maken in onze spinsystemen en wat de gevolgen daarvan kunnen zijn in zowel een- als tweedimensionale systemen. De resultaten van de simulaties worden uiteindelijk behandeld in hoofdstuk 5, waar gekeken wordt naar verschillende hoevelheden en plaatsingen van defecten. In hoofdstuk 6 wordt tenslotte een conclusie en vooruitblik gegeven.

(a) De 1’tjes en 0’tjes worden met behulp van magnetisme op een harde schijf opgeslagen. Elke bit is een gebied van ongeveer een miljoen spins die dezelfde kant op wijzen. (b) Een voorbeeld van een spinsysteem vind je in een harde schijf.

2

2

2

LANDAU-LIFSCHITZ

Landau-Lifschitz

2.1

Een spin

Ons gebruikte systeem is een rooster waarbij op elk roosterpunt een spin zit. Deze spins hebben een magnetisch moment m ~ en dit kan voorgesteld worden als een pijltje met een richting. De spins bevinden zich in een driedimensionaal systeem en ze kunnen een magnetisatie hebben in de x-, y- en z-richting. Deze magnetisaties heten q ook wel Mx , My en Mz en hiervoor geldt ~ ~ M = Mx + My + Mz met in het vervolg |M | = M 2 + M 2 + M 2 = Ms = 1. x

y

z

~ in een magnetisch veld H ~ wordt geWanneer een materiaal met een bepaalde magnetisatie M ~ ~ plaatst, wordt er een minimum in de energie bereikt wanneer M parallel staat aan H. Wanneer het magnetisch veld wordt weggehaald, blijft het materiaal gemagnetiseerd. Als er uiteindelijk een groot genoeg negatief veld wordt toegepast, dan klapt de magnetisatie ook om. Dit proces staat weergegeven in figuur 1.[4]

~ zorgt voor een hysteresiscurve in de magneFiguur 1: Het varieren van een magnetisch veld H ~ tisatie M .

2.2

Beweging

Dit richten van de magnetisatie is een dynamisch proces. Om vervolgens iets te kunnen zeggen over de toestand van het materiaal, moet er dus ook op een dynamische manier naar gekeken worden. Dit kan door het opstellen van een bewegingsvergelijking1 voor het magnetisch moment m. ~ Deze vergelijking voorspelt de rotatie van het magnetisch moment ten gevolge van een magnetisch veld. De relatie tussen magnetisch moment en hoekmoment wordt gegeven door ~ m ~ = −γ0 L waarbij γ0 de gyromagnetische ratio is die voor electronen een positieve constante is. Het hoekmoment en de torque zijn met elkaar verbonden via ~ dL = T~ dt ~ zorgt voor waarbij het hoekmoment behouden is in gesloten systemen. Het magnetisch veld H een torque op het magnetische moment van de afzonderlijke spins. ~ T~ = m ~ ×H 1 Meestal

een differentiaalvergelijking

3

2.3

Oplossen van LL

2

LANDAU-LIFSCHITZ

~ en H ~ zorgt voor een beweging van M ~. Figuur 2: Het uitproduct van M Dit kan samengevoegd worden tot een eerste orde differentiaalvergelijking die puur de precessie van m ~ beschrijft, zoals is weergegeven in figuur 2. Hierbij blijft de modulus van m, ~ dus |m|, ~ constant. ~ dL dm ~ = −γ0 dt dt = −γ0 T~ ~ = −γ0 m ~ ×H De Landau-Lifschitz (LL) vergelijking is een uitbreiding hierop die een dempingsterm bevat. Te~ in plaats van voor een magnetisch moment vens geldt deze vergelijking voor een magnetisatie M m. ~ 2 ~ dM ~ ×H ~ − αγ0 M ~ ×M ~ ×H ~ = −γ0 M dt Ms ~ als er een H ~ bestaat. Het eerste uitproduct in de vergelijking zorgt voor een beweging van M dH ~ ~ ~ Voor M geldt |M | = Ms en H = − dM is het effectieve (dus niet per se externe) veld. Het tweede gedeelte van de vergelijking bevat α, de dempingsterm. In realistische systemen geldt dat α 1 en in conservatieve systemen geldt dat α = 0. Deze dempingsterm zorgt ervoor dat het systeem zijn evenwicht bereikt en dat de magnetisatie parallel komt te staan aan het veld. [6][4] Deze dempingsterm verklaart echter niet alle mogelijke demping. De demping van de beweging van een domain wall is hierin niet meegenomen. In het onderzoek zal daarom alleen gekeken worden naar de eerste term van de LL-vergelijking.

2.3

Oplossen van LL

De LL-vergelijking is een eerste orde differentiaalvergelijking en deze kan numeriek opgelost worden. In appendix B is een algemene methode voor het numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen te vinden. Voor een individuele spin is dit nog makkelijk te doen, maar we hebben hier te maken met een systeem wat bestaat uit gekoppelde spins. In het simulatieprogramma worden deze spins gesimuleerd met behulp van de Implicit Midpoint Method die besproken wordt in appendix B.6 en sectie 3.1.2 van referentie [7]. Deze methode is gebruikt omdat ze de meeste stabiliteit biedt voor systemen zonder demping. 2 De magnetisatie en het magnetisch moment zijn gerelateerd via M ~ = momenten is en V het volume.

4

N V

m ~ waarbij N het aantal magnetisch

4

3

BEGINSITUATIES

Domain wall

Een domain wall is de grens tussen twee gebieden waarvan de spins in tegenovergestelde richtingen wijzen. Een domain wall is enkele spins dik. De spins kunnen in de richting van de domain wall of loodrecht daarop van richting veranderen, zoals geillustreerd in figuur 3.

(a)

(b)

Figuur 3: Verschillende vormen van domain walls. (a) De spins veranderen van richting via de as loodrecht op de domain wall. Dit heet een Bloch domain wall. (b) De spins veranderen van richting via dezelfde as als de domain wall. Dit heet een Neel domain wall. De hoeveelheid spins waaruit de domain wall bestaat, dus de dikte van de domain wall, wordt bepaald door een competitie tussen twee vormen van energie die geminimaliseerd kunnen worden. De hamiltoniaan van het systeem wordt gegeven door: H = Eex + Eani De exchange energie zoals gegeven in vergelijking 1 wordt geminimaliseerd wanneer de spins zoveel mogelijk parallel naast elkaar staan. Het verlagen van deze energie betekent dus dat spins in de domain wall zo geleidelijk mogelijk van richting veranderen. Daarbij wordt de dikte van de domain wall groter. De anisotropie energie wordt gegeven in vergelijking 2. Als het systeem een uniaxiale anisotropie heeft, dus K1 > 0 en K2 = 0, dan is er één voorkeursas voor de spins. Deze voorkeursas is in dit geval de as die overeenkomt met de spins die omhoog of omlaag wijzen, dus de z-as. Bij een minimale anisotropie energie zullen er zo min mogelijk spins afwijken van deze voorkeursas. Dit betekent dat dat er zo min mogelijk spins in de domain wall zitten en dat ze heel snel van richting veranderen. Dit zorgt voor een zo dun mogelijke domain wall. X Eex = −2J m ~ i · m~i+1 (1) i

Eani =

X

−K1 (m ~ i · zˆ)2 + K2 (m ~i · x ˆ )2

(2)

i

Er kan ook een meervoudig axiale anisotropie voorkomen, dan geldt K1 > 0 en K2 > 0. Dat betekent dat er meerdere voorkeursassen zijn en dat noemen we ’vreemde’ anisotropie. Als er geen demping op een systeem wordt toegepast, is de totale energie behouden.

4

Beginsituaties

In figuur 4 staat het verloop van een eendimensionaal spinsysteem als functie van de tijd. De beginsituatie is willekeurig en er is geen sprake van een extern magnetisch veld (H = 0). Er is wel sprake van demping, α = 0.1. Hierdoor bereikt het spinsysteem een evenwichtswaarde waarbij een gedeelte van de spins in de z-richting wijst en een gedeelte in de −z-richting. 5

4.1

H = 0, θ > 0, K2 > 0

4

BEGINSITUATIES

(a) Beginsituatie

(b) Na 10 tijdseenheden

(c) Na 100 tijdseenheden

(d) Na 500 tijdseenheden

Figuur 4: Het verloop van een 1D spin systeem van 200 spins. De beginsituatie is willekeurig. H = 0, K2 = 0 en α = 0.1. Er is dus een uniaxiale anisotropie met als voorkeursas de z-as. Het systeem kan op verschillende manieren beinvloed worden. Eén van de belangrijkste variabelen is een extern magneetveld, H 6= 0, wat in de z-richting op het systeem toegepast kan worden. Een andere mogelijkheid is om de spins die in het midden van de domain wall in de −y-richting wijzen een afwijking mee te geven in de x of −x-richting. De hoek die ze maken met de −yrichting heet dan θ. Dit ziet er vanuit het bovenaanzicht uit zoals in figuur 7. In figuur 5a en 5b staat weergegeven hoe dit eruit ziet voor de hele domain wall. De laatste variabele is het hebben van een uniaxiale (K2 = 0) of een meervoudig axiale (K2 > 0) anisotropie in het systeem. In de figuren 6a en 6b staan nog een keer het zij-aanzicht en het bovenaanzicht van de getekende figuren.

4.1

H = 0, θ > 0, K2 > 0

We kijken eerst naar spins die in de domain wall een hoek θ in de x-richting maken ten opzichte van de −y-as. Omdat er een biaxiale anisotropie is met als eerste voorkeursas de z-as en als ~ vanaf M ~ in de richting van de tweede voorkeursas de y-as, ontstaat er een klein effectief veld H ~ is en er een veld H ~ loodrecht op staat, wordt er volgens −y-as. Doordat er een magnetisatie M ~ M opgewekt die in de −z-richting staat. In figuur 7 staat dit geval getekend, de spin LL een ddt zal dus in de −z-richting bewegen. In figuur 5a en 5b staat deze situatie weergegeven voor de hele domain wall. Als alle spins in de domain wall van de z- naar de −z-richting bewegen, dan verplaatst de domain wall zich in de x-richting zoals in figuur 8b en 8a. Deze hoek θ zorgt dus voor een lineaire verplaatsing in de tijd van de domain wall, wat te zien is in figuur 9 en 13. Omdat de snelheid van de domain wall evenredig is met θ, kan θ als een soort impuls gezien worden. 6

4.1

H = 0, θ > 0, K2 > 0

4

BEGINSITUATIES

(a) Het zijaanzicht

(b) Het bovenaanzicht

Figuur 5: Een domain wall van ongeveer 10 spins breed. De spins in de domain wall wijzen niet recht in de −y-richting, maar maken een hoek met deze as. De bruine spins zijn de spins zonder hoek. De rode spins zijn de nieuwe spins met een hoek.

(a) Het zijaanzicht

(b) Het bovenaanzicht

Figuur 6: De linkshandige coordinatenstelsels van de figuren met spinsystemen. Het zijaanzicht wordt gebruikt in figuur 4, 8a, 9 en 11. Het bovenaanzicht wordt gebruikt in figuur 7, figuur 8b en figuur 10.

7

4.2

H 6= 0, θ = 0, K2 = 0

4

BEGINSITUATIES

Figuur 7: De magnetisatie van de spin maakt een hoek θ met de −y-as waardoor een effectief veld ontstaat in de richting van de −y-as en de −x-as. Doordat H en m loodrecht op elkaar ~ /dt geinduceerd. De spin beweegt dan in de −z-richting. staan wordt er volgens LL een dM

4.2

H 6= 0, θ = 0, K2 = 0

Op een spinsysteem wordt een extern magneetveld aangelegd wat in de z-richting wijst. De z-as is de enige voorkeursas omdat er een uniaxiale anisotropie is. Op de plek van de domain wall ~ wijst namelijk eerst in de draaien de spins rond in het xy-vlak zoals te zien in figuur 10. M ~ staat in de z-richting. Volgens LL is het uitproduct van M ~ met H ~ gelijk aan −y-richting en H ~ dM − dt . De spins zullen in eerste instantie dus bewegen naar de −x-richting. Daar aangekomen ~ in de −x-richting en H ~ nog steeds in de z-richting dus zullen de spins verder draaien staat M ~ in combinatie met een uniaxiale anisotropie zorgt er naar de y-richting. Het aanleggen van H dus voor dat θ verandert volgens een cosinus.

4.3

H 6= 0, θ = 0, K2 6= 0

Er wordt een biaxiale anisotropie toegepast waarbij de z-as de eerste voorkeursas is en de y-as de tweede voorkeursas. Spins die dan in de −y-richting wijzen gaan volgens LL net zoals bij het vorige geval linksom draaien in het xy-vlak, maar nu maakt het voor de energie wèl iets uit op welke positie in het xy-vlak de spin zich bevindt. Het kost namelijk minder energie om in de y of −y-richting te wijzen dan om in de x of −x-richting te wijzen. De mate van energie die het systeem hieraan kwijt is hangt continu af van de hoek θ tussen de voorkeursas en de magnetisatie van de gedraaide spin. Deze functie is een cosinus en voor kleine hoek is deze te benaderen als kwadratisch. Dit is te zien in figuur 12. Voor de energieverandering als gevolg van de vreemde anisotropie moet gecompenseerd worden om de totale hoeveelheid energie constant te houden. Omdat het extern magnetisch veld in de z-richting staat, is het voor een spin energetisch voordeliger om in de z-richting in plaats van in de −z-richting te staan. Dit is dan ook wat er gebeurt in figuur 11. Wanneer de spins in de domain wall een hoek θ met de y-as maken, verschuift de domain wall een stukje in de positieve

8

4.3

H 6= 0, θ = 0, K2 6= 0

4

BEGINSITUATIES

(a) Het zijaanzicht.

(b) Het bovenaanzicht.

Figuur 8: De spins maken een hoek met de −y-as waardoor er een magnetisatie en een effectief veld loodrecht op elkaar staan. Via LL bewegen de spins van de z-richting naar de −z-richting. De domain wall beweegt hierdoor in de x-richting. De rode pijltjes zijn de oorspronkelijke spins, de blauwe pijltjes zijn de spins na een bepaalde tijd.

(a) Na 0 tijdseenheden




Figuur 9: Een eendimensionaal spin systeem met als beginsituatie een domain wall waarvan de spins een hoek θ maken met de y-as. H = 0, θ 6= 0 en K2 6= 0. Omdat de spins van de z-richting naar de −z-richting bewegen, beweegt de domain wall in de positieve x-richting. De positie van de domain wall beweegt lineair in de tijd, zoals ook in figuur 13 is te zien.

9

4.3

H 6= 0, θ = 0, K2 6= 0

4

BEGINSITUATIES

~ is aangelegd in de z-richting. Samen met de magnetisatie Figuur 10: Een extern magneetveld H ~ M ~ M van de spins zorgt dit ervoor dat er een ddt ontstaat. De spins gaan ronddraaien in het xy-vlak waarbij de energie vanwege uniaxiale anisotropie constant blijft. x-richting waardoor er meer spins in de z-richting wijzen. De toename van θ in het xy-vlak zorgt er dus voor dat de domain wall een bepaalde snelheid krijgt in de x-richting. Tussen de hoeveelheid spins die in de richting van het magneetveld wijzen (dus hier de z-richting) en de spins die op de tweede voorkeursas staan (dus hier de y-as) is een evenwicht wat ervoor zorgt dat de hoeveelheid energie constant blijft. De energie ten gevolge van het aantal spins dat in de z-richting wijst hangt lineair af van de positie van de domain wall, zoals geschetst in figuur 12. Daar is ook te zien dat de energie die te maken heeft met de anisotropie varieert via een cosinusfunctie afhankelijk van de hoek θ met de voorkeursas. In figuur 13 is een simulatie te zien van de verschillende situaties, waarin de lineaire functie en cosinusfunctie inderdaad te zien zijn.

10

4.3

H 6= 0, θ = 0, K2 6= 0

4

BEGINSITUATIES

(a) Na 0 tijdseenheden




Figuur 11: Een 1D spin systeem met als beginsituatie geen hoek, maar met extern magneetveld en vreemde anisotropie, dus H 6= 0, θ = 0 en K2 6= 0. Het magneetveld staat in de z-richting wat hier naar beneden is. De x-richting is naar rechts. Er is een evenwicht tussen de energie als gevolg van de vreemde anisotropie en het aantal spins dat in de z-richting wijst. Omdat de totale energie constant moet blijven, beweegt de domain wall heen en weer op de x-as.

11

H 6= 0, θ = 0, K2 6= 0

4

BEGINSITUATIES

Energie

4.3

0

π/2

π

Hoek θ

3π/2

0

Aantal spins in -z-richting

Alle

Figuur 12: Aan de linkerkant staat een schets van de energie als functie van de hoek θ, die de spin maakt met de voorkeursas. Het systeem heeft een biaxiale anisotropie met als voorkeursassen de z- en de y-as. Deze functie is een cosinus. Aan de rechterkant staat een schets van de energie als functie van het aantal spins wat in de richting van het magneetveld wijst. Als alle spins in de richting van het magneetveld, dus in de z-richting wijzen, dan is de energie het laagst. Dat betekent dat er dan geen spins in de −z-richting wijzen. Deze functie is lineair.

95

x(a)

90

85

80 0

Extern magneetveld Spins maken hoek met y-as

100

t

200

300

Figuur 13: De positie van de domain wall is uitgezet tegen de tijd voor twee situaties. De lijn met vierkantjes stelt de simulatie voor met H 6= 0, θ = 0 en K2 6= 0. De domain wall beweegt zich voor een kleine tijdsspanne kwadratisch in de tijd en voor grotere tijd lijkt dit een cosinus te worden. De lijn met cirkeltjes stelt de situatie met H = 0, θ 6= 0 en K2 6= 0 voor. De domain wall beweegt dan lineair in de tijd, als gevolg van een aangelegde hoek θ.

12

5

5 5.1

SYSTEEM MET DEFECTEN

Systeem met defecten Defecten

~ | = Ms = 1. Een manier om van zulke De spins in ons systeem hebben een constante lengte |M ~ | = 0. spins een defect te maken, is door de magnetisatie in alle richtingen op 0 te zetten, dus |M Het defect neemt dan nog wel een positie in het systeem in, maar heeft geen waarde die kan veranderen. Tijdens het simuleren van systemen met defecten blijft de energie behouden. Voor een domain wall zijn deze defecten lokale potentiaalminima. In figuur 14 is een systeem te zien waarin twee defecten zijn geplaatst.

Figuur 14: Een spinsysteem waarin een domain wall te zien is. De blauwe punten geven de locaties van de defecten aan.

5.2

Eendimensionaal systeem

Eerst is er een eendimensionaal systeem gemaakt van 200 spins in de x-richting waarin zich een domain wall bevindt. De spins in de domain wall maken een hoek θ met de y-as en door een vreemde anisotropie beweegt de domain wall in de positieve x-richting op dezelfde manier als in sectie 4.1. In figuur 15 is te zien hoe de positie van deze domain wall verandert bij de plaatsing van geen, één en twee defecten. Voor een eendimensionaal systeem is te zien dat de domain wall niet langs het defect kan. Het midden van de domain wall komt zelfs niet eens bij het defect in de buurt. Verder is aan de steilheid van de lijnen in de buurt van de defecten te zien dat de domain walls versnellen als ze bij een defect in de buurt komen. Dit laat zien dat de defecten inderdaad een lokaal potentiaalminimum zijn voor de domain wall.

5.3

Tweedimensionaal systeem

Voor het tweedimensionale systeem is het eendimensionale systeem een stuk ingekort in de xrichting, van 200 naar 80 spins. In de y-richting is dit 40 keer naast elkaar geplaatst zodat er een systeem ontstond van 40 bij 80 spins3 . Als beginsituatie is de domain wall genomen waarin de spins allemaal een hoek θ afwijken van de y-as. Met een vreemde anisotropie van K2 = 0.5 zorgt dit ervoor dat de domain wall in de positieve x-richting gaat lopen. In figuur 16 staat het coordinatenstelsel zoals dat in de tweedimensionale figuren wordt weergegeven. 3 Voor de simulaties met ´ e´ en defect erin, bestond het systeem uit 43 bij 80 spins, zodat de defecten precies in het midden en op een kwart van de breedte geplaatst konden worden

13

5.3


5


110 105 100 95

x(a)

90 85 80 75 70

Geen defect Een defect op x(a)=96 Een defect op x(a)=96 en op x(a)=62 Plaats van defecten

65 60

0

100

200

300

400

t

500

600

700

800

900

Figuur 15: In een systeem van 200 spins op de x-as (dus x(a) loopt van 0 tot 199) is voor verschillende situaties de positie van de domain wall bepaald. De spins in de domain wall maakten een hoek θ ten opzichte van de y-as en het systeem had een vreemde anisotropie van K2 =0.5. Voor geen defecten is deze verplaatsing lineair, zoals is geillustreerd in figuur 9. Wanneer de domain wall in de buurt van een defect komt, versnelt hij in eerste instantie, maar keert daarna om voordat hij bij het defect is geweest.

Figuur 16: Coordinatenstelsel van de tweedimensionale figuren

In het tweedimensionale spin systeem werden eerst defecten geplaatst in het midden, op een kwart en aan de rand van het systeem. Daarna werden willekeurig defecten geplaatst in een afgebakend gebied. In figuur 17 is dit gebied blauw gekleurd. Wanneer de domain wall langs een defect komt, kan hij een beetje van zijn energie overdragen. Deze energie kan in verschillende effecten gaan zitten, waaronder de buiging van de domain wall. Het systeem heeft open randvoorwaarden en de domain wall kan daardoor buigen in een bepaalde verzameling buigingsmodes. De eerste twee mogelijke modes staan in figuur 18. Om de eerste mode aan te slaan is de minste energie nodig. De tweede mode wordt pas aangeslagen als de eerste mode niet aangeslagen kan worden omdat

14

5.3


5


Figuur 17: In een systeem van 40 bij 80 spins is het gebied waarin de defecten willekeurig geplaatst kunnen worden blauw gekleurd. De domain wall is hier in zijn beginsituatie, die voor alle realisaties (met uitzondering van de defecten) hetzelfde was. er bijvoorbeeld een defect ligt op de knoop van de eerste mode. [9][8]

(a) De eerste, of zwakste, mode.

(b) De tweede mode.

Figuur 18: Om de eerste mode aan te slaan is er de minste energie nodig. De tweede mode wordt pas aangeslagen als de eerste mode niet aangeslagen kan worden. Voor het aanslaan van de tweede mode is een grotere energie nodig en daardoor zal de amplitude van de buiging kleiner zijn.

15

6

6

RESULTATEN

Resultaten

Uit paragraaf 4.1 is bekend dat een hoek θ zorgt voor een beweging van de domain wall. Omdat de grootte van θ wordt weergegeven door Mx , is Mx een maat voor de snelheid van de domain wall. Per y-coordinaat kan Mx gemiddeld worden over alle x-coordinaten. Alleen de spins in de buurt van de domain wall zullen hieraan bijdragen. De spins die verder weg liggen staan recht in de z- of −z-richting en hebben dus geen component Mx . Dit gemiddelde van de rij spins, hMx ix , kan worden uitgezet tegen de tijd. In deze grafieken zijn vaak oscillaties te zien, waarvan een fouriertransformatie gemaakt kan worden. Hiermee kan de periode van de oscillaties in hMx ix bepaald worden. Deze periodes kunnen een aanwijzing zijn voor welke buigingsmodes van het systeem zijn aangeslagen. De waarde hMx i kan in plaats van gemiddeld worden over de rijen, ook gemiddeld worden over het hele systeem, zodat met deze hMx ixy verschillende situaties makkelijker vergeleken kunnen worden. In een dergelijke figuur is dan goed zichtbaar of er demping van de beweging van de domain wall heeft plaatsgevonden. Verder kan er per rij een illustratie van de domain wall worden gemaakt door de magnetisatie in de z-richting weer te geven. Dat is Mz en dit kan beschouwd worden als een soort zijaanzicht van het systeem. Tenslotte kan er gekeken worden naar de buiging van de domain wall. Dit wordt gedaan door op bepaalde tijdstippen de positie van de domain wall te bepalen in elke rij en deze dan in een bovenaanzicht van het systeem te plotten. In deze figuren is de buiging van de domain wall goed zichtbaar. De waardes voor Mx en Mz worden elke 20t berekend en geplot.

6.1

Nul defecten

In figuur 19a is hMx ix te zien voor een systeem dat geen defecten bevat. De snelheid van de domain wall is constant en dit is af te lezen aan het feit dat hMx ix op een constante waarde blijft. In figuur 19b is dit ook goed te zien. Elke lijn stelt daar op een bepaald tijdstip de plek van de domain wall voor. Hier is te zien dat er geen buiging van de domain wall plaatsvindt en dat de domain wall lineair beweegt in de tijd. Dit verwachten we ook, want de energie in de situatie zonder defecten is behouden.

16

6.1

Nul defecten

6

0.1

RESULTATEN

Beginwaarde <Mx>x

0.09 0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

t

1500

(a)

30

y(a)

0t 100t 200t 300t 400t 500t 600t 700t 800t 900t 1000t 1100t 1200t 1300t 1400t 1500t 1600t 1700t

20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

x(a)

(b)

Figuur 19: Een 40 bij 80 spinsysteem zonder defecten. (a) Per rij, ofwel y-coordinaat, is Mx gemiddeld over alle x-coordinaten. Zonder defecten is de situatie voor elke rij gelijk en blijft hMx ix constant. Dit betekent dat de domain wall lineair in de tijd beweegt en niet buigt. (b) Per y-coordinaat is de plaats van de domain wall bepaald op verschillende tijdstippen wat een schematisch bovenaanzicht van het systeem geeft. De snelheid van de wall blijft gelijk, wat is te zien aan het feit dat de afstand tussen twee tijdsintervallen gelijk is. Verder verwachten en zien we geen buiging.

17

6.2

Eén defect

6.2

6

RESULTATEN

E´ en defect

Er zijn drie situaties gemaakt voor het geval van één defect. Als eerste is er een defect aan de rand van het spinsysteem geplaatst, daarna op een kwart van het systeem en tenslotte in het midden van het systeem. In figuur 21a is te zien hoe hMx ix eruit ziet wanneer er een defect helemaal aan de rand van het systeem is geplaatst en in figuur 21b staat de fouriertransformatie daarvan. De plot van hMx ix is erg onduidelijk en als we naar de fouriertransformatie kijken zien we dat er veel frequenties voorkomen. In figuur 21c is te zien dat de domain wall voornamelijk de zwakste buigingsmode aanneemt in de buurt van het defect en daarna. Omdat de domain wall rond het defect blijft hangen is er sprake van permanente pinning. Hier is de werking van een defect als een lokaal potentiaalminimum dus goed te zien. Het tweede systeem met één defect bevat een defect op precies een kwart van de breedte van het systeem. De magnetisatie hMx ix staat in figuur 22a en er is een oscillatie te zien met een regelmatige periode. Met behulp van een fouriertransformatie van deze gegevens is de periode van de oscillatie bepaald. In figuur 22c is wederom de zwakste buigingsmode te herkennen in de buiging van de domain wall maar beweegt de domain wall ook nog in de positieve x-richting. Het laatste systeem in deze serie bevat een defect op precies de helft van de breedte van het systeem. De magnetisatie daarvan is te zien in figuur 23a en daar is ook te zien dat de oscillatie en de periode veel kleiner zijn dan bij de voorgaande gevallen. Deze periode kan berekend worden met behulp van figuur 23b. In figuur 23c is een kleine buiging te zien in de tweede buigingsmode. Deze buigingsmode kost meer energie dan de eerste buigingsmode en daarom buigt de domain wall met een kleinere amplitude. 0.1 Defect aan rand Defect op kwart Defect in midden <Mx>xy aan het begin

0.09 0.08

<Mx>xy

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

1500

t Figuur 20: In deze grafiek is hMx ixy , dus een gemiddelde over zowel de y- als de x-coordinaten weergegeven. Aan de heuvel rond 200t is te zien dat de defecten rond hetzelfde tijdstip bereikt worden. Voor de systemen met defecten op een kwart en in het midden, blijft hMx ixy daarna onder de beginwaarde. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de beweging van de domain wall gedempt is. In figuur 20 zijn de waarden van hMx ixy weergegeven voor elk van de situaties, maar dan gemiddeld over het gehele systeem. De defecten worden allemaal rond dezelfde tijd bereikt, omdat ze in de y-richting even ver van het beginpunt af staan. Dat zien we ook in de figuur aan de verhoging van hMx ixy . Bij de situaties met een defect op een kwart en in het midden is te zien dat de waarde van hMx ixy onder de beginwaarde van hMx ixy uitkomt. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de beweging van de domain wall daarbij is gedempt. 18

6.2

Eén defect

6

0.1

RESULTATEN

Beginwaarde <Mx>x

0.09 0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

1500

t

2000

(a) 0.03

Amplx(freq)

Amplx(freq)

0.01

0.02

0 0

0.01

0.02

0.01

Freq

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1/Freq (b)

30

y(a)

0t 100t 200t 300t 400t 500t 600t 700t 800t 900t 1000t 1100t 1200t 1300t 1400t 1500t 1600t 1700t 1800t 1900t 2000t

20 10 0 0

10

20

30

40

50

x(a)

(c)

Figuur 21: Defect op y = 0 en x = 25 dus aan de rand van het 43 bij 80 spinsysteem. (a) Per rij, ofwel y-coordinaat, is Mx gemiddeld over alle x-coordinaten. hMx ix varieert sterk, waardoor we qua demping van de beweging van de domain wall niet veel kunnen aflezen uit deze figuur. (b) Van figuur 21a is een fouriertransformatie gemaakt die in de kleine figuur rechtsboven staat. De afgekapte piek heeft een waarde van 0.03. Bij deze situatie zijn er meerdere frequenties aangeslagen. De periodiciteit van de oscillatie in hMx ix in tijdstappen kan berekend worden via 1 f requentie . De uitkomst hiervan is weergegeven in de grote figuur. (c) Schematisch bovenaanzicht van het systeem, waarin het defect weergegeven is door een zwarte punt. De domain wall neemt voornamelijk de zwakste buigingsmode aan in de buurt van het defect en beweegt niet verder in de x-richting. Er is daarom sprake van permanente pinning.

6.2

Eén defect

6

0.1

RESULTATEN

Beginwaarde <Mx>x

0.09 0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

1500

t

2000

(a) 0.03

Amplx(freq)

Amplx(freq)

0.01

0.02

0 0

0.01

0.02

0.01

Freq

0 0

100

200

300

1/Freq (b) 40 30

y(a)


20 10 0 0

10

20

30

40

50

x(a)

(c)

Figuur 22: Defect op y = 10 en x = 25 dus op een kwart van het 43 bij 80 spinsysteem. (a) Per rij, ofwel y-coordinaat, is Mx gemiddeld over alle x-coordinaten. Na het passeren van het defect vlak voor 300t, is er een periodiciteit zichtbaar. De horizontale lijn geeft de beginwaarde van hMx ix weer. Nadat de domain wall langs het defect is gekomen, blijft hMx ix grotendeels onder de beginwaarde. (b) Van figuur 22a is een fouriertransformatie gemaakt, die rechtsboven in de figuur staat. De afgekapte piek heeft een waarde tussen de 0.006 en 0.025. Verder zijn er vier pieken te zien bij de aangeslagen frequenties. De bijbehorende periodes in de oscillatie van hMx ix 1 1 1 1 ≈ 182t, 0.011 ≈ 91t, 0.0165 ≈ 61t en 0.022 ≈ 45t. De piek behorende bij de frequentie zijn 0.0055 van 91t is het hoogst, wat betekent dat deze periode de dominante periode is in figuur 22a. De 1 grote figuur bevat dezelfde informatie als de kleine figuur, maar geeft op de x-as f requentie weer. (c) Schematisch bovenaanzicht van het systeem, waarin het defect weergegeven is door een zwarte punt. Na het defect beweegt de domain wall verder in de x-richting terwijl hij zich in de zwakste buigingsmode bevindt.

6.2

Eén defect

6

0.1

RESULTATEN

Beginwaarde <Mx>x

0.09 0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

t

1500

(a) 0.03

Amplx(freq)

Amplx(freq)

0.01

0.02

0 0

0.01

0.02

0.01

Freq

0 0

50

100

150

200

1/Freq (b)

30

y(a)


20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

x(a)

(c)

Figuur 23: Defect op y = 21 en x = 25 dus in het midden van het 43 bij 80 spinsysteem. (a) Per rij, ofwel y-coordinaat, is Mx gemiddeld over alle x-coordinaten. De magnetisatie maakt een kleine afwijking ten opzichte van de gemiddelde waarde. De helft van de kleuren, dus rijen, is maar zichtbaar wat in dit geval betekent dat de afwijkingen symmetrisch zijn in de y-richting. Dat is ook te verwachten omdat het defect precies in het midden stond en de beginsituatie daardoor symmetrisch was. De periode van de oscillatie is erg klein. (b) Van figuur 23a is een fouriertransformatie gemaakt die in de figuur rechtsboven staat. Er is één piek te zien bij de 1 ≈ 83t. In aangeslagen frequentie. De bijbehorende periode van de oscillatie van hMx ix is 0.012 de grote figuur is deze periode direct af te lezen uit de grafiek. (c) Schematisch bovenaanzicht van het systeem, waarin het defect weergegeven is door een zwarte punt. Het defect ligt op de plek waar de knoop van de eerste buigingsmode zou zijn. De domain wall buigt daarom in de tweede buigingsmode. Omdat deze meer energie kost, is de amplitude van de buiging klein.

6.3

Twee defecten

6.3

6

RESULTATEN

Twee defecten

Voor het geval van twee defecten zijn er vijf situaties gemaakt waarbij de defecten telkens willekeurig werden geplaatst binnen het gebied wat te zien is in figuur 17. Naast de magnetisatie en een bovenaanzicht geven we ook een driedimensionele weergave van het systeem. Bij de eerste realisatie liggen de twee defecten redelijk dicht bij elkaar, maar niet in het midden van het systeem. In figuur 25b is de plek van de defecten te zien. Hier zien we ook dat de domain wall in de eerste buigingsmode kan buigen. In figuur 25a is er een piek te zien rond 500t, waar de domain wall de defecten bijna tegelijkertijd bereikt. Daarna oscilleert hMx ix . In de tweede realisatie liggen de defecten in de x-richting verder van elkaar af, wat ook te zien is aan het feit dat hMx ix twee keer een piek heeft. In figuur 26b zien we dat de domain wall de eerste buigingsmode aanneemt. In figuur 27a is een hele hoge piek te zien rond 300t, wat betekent dat de defecten ongeveer tegelijkertijd bereikt worden en de domain wall dus versnelt. Deze versnelling laat de werking van een defect als lokaal potentiaalminimum goed zien. Na het passeren van de defecten oscilleert hMx ix wederom. Bij de vierde realisatie valt op dat de oscillatie in hMx ix kleiner is in amplitude en in periode. Dit komt doordat er een andere buigingsmode van de domain wall is aangeslagen. Uit figuur 28b blijkt dat de defecten in het midden van het systeem liggen en omdat de domain wall dus niet op die plek kan koppelen (dus daar geen knoop kan hebben), buigt de domain wall in de tweede buigingsmode. Deze kost wel meer energie dan de eerste buigingsmode, dus daarom is de amplitude van de buiging minder groot dan in voorgaande gevallen. In figuur 29a zien we twee keer een verhoging in hMx ix wat betekent dat de domain wall twee keer naar een defect toe versnelt. Na het passeren van de defecten is er een oscillatie zichtbaar in hMx ix . Het resultaat van hMx ixy gemiddeld over het hele systeem staat voor alle realisaties in figuur 24. De beginwaarde van hMx ixy is doorgetrokken. hMx ixy komt voor alle realisaties onder de beginwaarde uit. Dit betekent dat de snelheid van de domain wall is gedempt. 0.1 0.09

v1 v2 v3 v4 v5 <Mx>xy aan het begin

0.08

<Mx>xy

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

t Figuur 24: De magnetisatie van de spins in de x-richting is gemiddeld over alle spins in het systeem. In deze grafiek is te zien dat hMx ixy kleiner is geworden nadat de domain wall de defecten is gepasseerd. De beweging van de domain wall is dus gedempt.

22

6.3

Twee defecten

6

RESULTATEN

0.1 0.09

<Mx>x aan het begin

0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

1500

t

2000

(a)

30

y(a)


20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

x(a)

(b)

(c) Beginsituatie

(d) Situatie na 500t

(e) Situatie na 1000t

Figuur 25: Realisatie 1. De defecten bevinden zich op (y,x) = (27, 31) en (28, 34) in een 40 bij 80 spinsysteem. (a) hMx ix is gemiddeld per y-coordinaat. Er is een versnelling zichtbaar naar de defecten toe rond 400t. Na het passeren van de defecten is er een oscillatie zichtbaar. hMx ix valt grotendeels onder de beginwaarde. (b) Elke 100 tijdstappen is de plaats van de domain wall bepaald en weergegeven in een bovenaanzicht. De defecten liggen op de plaats van de zwarte punten. Na het passeren van de defecten bevindt de domain wall zich in de eerste buigingsmode.

23

6.3

Twee defecten

6

RESULTATEN

0.1 0.09

<Mx>x aan het begin

0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

t

(a)

Mz

1

0

-1 30

y(a)

0t 100t 200t 300t 400t 500t 600t 700t 800t 900t 1000t 1100t 1200t 1300t 1400t 1500t 1600t 1700t 1800t

20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

x(a) (b)

(c) Beginsituatie



Figuur 26: Realisatie 2. De defecten bevinden zich op (y,x) = (13, 44) en (18, 30) in een 40 bij 80 spinsysteem. (a) hMx ix is gemiddeld per y-coordinaat. De domain wall versnelt naar de defecten toe rond 400t en rond 700t. Na het passeren van de defecten is er een oscillatie. (b) Het bovenste gedeelte van de figuur is een schematische weergave van rij y = 13. Elke 100 tijdstappen is Mz voor alle spins in de rij gegeven en dit geeft een zijaanzicht. Het onderste gedeelte van de figuur is een schematisch bovenaanzicht waarin de domain wall elke 100 tijstappen wordt weergegeven. Na het passeren van de defecten, op de plaatsen van de zwarte punten, zijn er verschillende soorten buiging zichtbaar in de domain wall.

6.3

Twee defecten

6

RESULTATEN

0.1 0.09

<Mx>x aan het begin

0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

1500

t

2000

(a)

30

y(a)


20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

x(a)

(b)

(c) Beginsituatie



Figuur 27: Realisatie 3. De defecten bevinden zich op (y,x) = (10, 29) en (29, 31) in een 40 bij 80 spinsysteem. (a) hMx ix is gemiddeld per y-coordinaat. De domain wall versnelt sterk naar de defecten toe omdat deze rond hetzelfde tijdstip, 400t, worden bereikt. Na het passeren van de defecten is er een oscillatie zichtbaar. (b) Elke 100 tijdstappen is de plaats van de domain wall bepaald. De domain wall bevindt zich in de eerste buigingsmode na het passeren van de defecten. De amplitude van deze buiging varieert.

25

6.3

Twee defecten

6

RESULTATEN

0.1 0.09

<Mx>x aan het begin

0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

t

(a)

30

y(a)


20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

x(a)

(b)

(c) Beginsituatie



Figuur 28: Realisatie 4. De defecten bevinden zich op (y,x) = (17, 29) en (18, 33) in een 40 bij 80 spinsysteem. (a) hMx ix is gemiddeld per y-coordinaat. Na het passeren van de defecten is er een oscillatie zichtbaar. Deze oscillatie heeft een kleinere afwijking en een kleinere periode dan bij de voorgaande gevallen. Dit betekent dat er waarschijnlijk een andere buigingsmode is aangeslagen. (b) Elke 100 tijdstappen is de plaats van de domain wall bepaald. De defecten liggen ongeveer in het midden van het systeem, wat betekent dat ze op de plaats liggen van de knoop van de eerste buigingsmode. De eerste buigingsmode kan daardoor niet aangeslagen worden. De domain wall buigt in de tweede buigingsmode, maar omdat die meer energie kost, buigt hij met een kleine amplitude.

26

6.3

Twee defecten

6

RESULTATEN

0.1 0.09

<Mx>x aan het begin

0.08

<Mx>x

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

0

500

1000

t

(a)

30

y(a)


20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

x(a)

(b)

(c) Beginsituatie



Figuur 29: Realisatie 5. De defecten bevinden zich op (y,x) = (17, 29) en (24, 46) in een 40 bij 80 spinsysteem. (a) hMx ix is gemiddeld per y-coordinaat. De versnelling naar de defecten toe is zichtbaar rond 400t en 800t. Na het passeren van de defecten is er een oscillatie. (b) Elke 100 tijdstappen is de plaats van de domain wall bepaald. Na het passeren van de defecten neemt de domain wall de eerste buigingsmode aan.

27

7

7

CONCLUSIE EN VOORUITBLIK

Conclusie en vooruitblik

In deze scriptie is onderzoek gedaan naar het mechanisme van pinning als bron van effectieve demping in magnetische systemen. De resultaten suggereren dat defecten zorgen voor pinning van de domain wall en demping van de beweging van de domain wall. Deze effectieve demping kan voorkomen in twee vormen. Ten eerste kan er definitieve pinning optreden waarbij alle bewegingsenergie naar buiging van de domain wall gaat, zoals bij het geval waar het defect aan de rand lag. Als tweede mogelijkheid kan de domain wall het defect passeren en hoewel met een buiging, verder bewegen. Er vindt dan een overdracht van energie plaats van de beweging naar de buiging van de domain wall en weer terug. De positie van defecten speelt een grote rol. Omdat de domain wall niet kan buigen met een knoop op de plaats van een defect, bepalen de posities van defecten welke buigingsmode de domain wall aanneemt. In figuur 23c is te zien dat de domain wall niet kan koppelen in het midden van het systeem en dat hij dus de eerste buigingsmode niet kan aannemen. De domain wall krijgt de vorm van de tweede buigingsmode waarvoor meer energie nodig is. Hierdoor heeft de buiging ook niet zo’n grote amplitude. In de figuren 21c en 22c kan de domain wall wel de eerste buigingsmode aannemen, waarvoor minder energie nodig is, dus hier zien we ook een grotere amplitude in de buiging. Hieruit is af te leiden dat de mate van demping afhangt van de posities van de defecten. Bij de plaatsing van meer defecten is er meer energieuitwisseling mogelijk tussen de beweging van de domain wall en de buiging ten gevolge van die defecten. Dit betekent dat er een verband bestaat tussen de hoeveelheid defecten en de mate van demping. Wat dit verband precies inhoudt kan niet gezegd worden met de behaalde resultaten. In dit onderzoek is duidelijk een verband gezien tussen defecten als pinning mechanismen en demping van de beweging van de domain wall als gevolg daarvan. Het plaatsen van defecten kan zorgen voor een energieoverdracht tussen de beweging en de buiging van de domain wall. Omdat onder andere de posities van defecten een grote rol spelen kan deze demping vooralsnog moeilijk bevat worden in een functie of getal. Verder zijn er per situatie slechts een laag aantal realisaties gedaan waardoor er geen gemiddeld gedrag met hoge statistische precisie te bepalen is.

28

REFERENTIES

REFERENTIES

Referenties [1] P. L. DeVries, A first course in computational physicis, John Wiley and Sons, Inc., Verenigde Staten, 1948. [2] David A. Huse and Christopher L. Henley, Pinning and roughening of domain walls in ising systems due to random impurities, Phys. Rev. Lett. 54 (1985), 2708–2711. [3] IBM, Did you ever wonder how your http://www.research.ibm.com/research/gmr/basics.html.

hard

disk

drive

works?,

[4] T.Schrefl J. Fidler, R.W. Chantrell and M.A. Wongsam, Micromagnetics: Basic principles, Encyclopedia of Materials: Science and Technology (2001), 5642–5651. [5] Bryen E. Lorenz and Richard L. Coren, The effect of local domain wall pinning variations on the energy dissipation in ferromagnetics, J. Appl. Phys. 57 (1985), 4174. [6] J. Mentink, Magnetism on the timescale of the exchange interaction: explanations and predictions, Ipskamp Drukkers, Enschede, Nederland, 2012. [7] J H Mentink, M V Tretyakov, A Fasolino, M I Katsnelson, and Th Rasing, Stable and fast semi-implicit integration of the stochastic landaulifshitz equation, Journal of Physics: Condensed Matter 22 (2010), no. 17, 176001. [8] A. A. Thiele, Excitation spectrum of magnetic domain walls, Phys. Rev. B 7 (1973), 391–397. [9] J. M. Winter, Bloch wall excitation. application to nuclear resonance in a bloch wall, Phys. Rev. 124 (1961), 452–459.

29

A

BENADEREN VAN DE AFGELEIDE

Appendices A

Benaderen van de afgeleide

De definitie van de afgeleide bevat een limiet van h naar 0. Dat is onhandig omdat de afgeleide dan niet bepaald kan worden voor grotere h. f 0 (t) =

df f (t + h) − f (t) = lim dt h→0 h

We zoeken een benadering van de afgeleide waarin geen limiet naar 0 zit en waarvan we kunnen vaststellen hoe groot de fout is ten opzichte van de exacte oplossing.

A.1

Voorwaarts en achterwaarts verschil

Rond het punt f (t) kunnen we een Taylor expansie maken van de functie f (t + h): f (t + h) = f (t) + (t + h − t)f 0 (t) + = f (t) + hf 0 (t) +

(t + h − t)2 00 f (t) + ... 2!

h2 00 f (t) + ... 2!

Deze kan worden opgelost naar een uitdrukking voor f 0 (t): 0

f (t)f orw

f (t + h) − f (t) − = h

h2 00 2! f (t)

− ...

en dit kan worden benaderd met f 0 (t) =

f (t + h) − f (t) + O(h) h

Dit is de voorwaartse verschilbenadering en die bevat een fout van orde h. Net zo is er de achterwaartse verschilbenadering die volgt uit een Taylor expansie van f (t − h) rond f (t). f (t − h) = f (t) + (t − h − t)f 0 (t) +

(t − h − t)2 00 f (t) + ... 2!

h2 00 f (t) + ... 2! 2 f (t) − f (t − h) + h2! f 00 (t) − ... = h f (t) − f (t − h) + O(h) = h = f (t) − hf 0 (t) +

f 0 (t)backw

Ook deze benadering heeft een fout van orde h, dus meestal heeft de ene methode geen voordeel boven de ander.

A.2

Centraal verschil

Zoals hiervoor afgeleid zijn er twee formules mogelijk voor f 0 (t). Eén die van bovenaf benadert en de ander die van onderaf benadert. Deze formules kunnen samengevoegd worden om een meer 30

A.3

Voorbeeld

A


precieze benadering te krijgen. f (t + h) − f (t) f (t) − f (t − h) + h h f (t + h) − f (t − h) 2f 0 (t) = h

f 0 (t)f orw + f 0 (t)backw =

Kijk nu naar de Taylor expansie van f (t + h) en f (t − h) om te achterhalen welke ordes van h er in totaal wegvallen en wat de uiteindelijke fout wordt. h2 00 f (t) + 2! 2 h f (t − h) = f (t) − hf 0 (t) + f 00 (t) − 2! h3 000 0 f (t + h) − f (t − h) = 2hf (t) + 2 f (t) + ... 3! f (t + h) = f (t) + hf 0 (t) +

h3 000 f (t) + 3! 3 h 000 f (t) + 3!

h4 iv f (t) + ... 4! 4 h iv f (t) + ... 4!

Dit kan omgeschreven worden naar een uitdrukking voor f 0 (t) die op zijn beurt weer benaderd kan worden. 3

f (t + h) − f (t − h) − 2 h3! f 000 (t) − ... 2h f (t + h) − f (t − h) + O(h2 ) = 2h

f 0 (t) =

Deze benadering heeft een fout van orde h2 omdat dat de grootste fout is die overblijft na deling van de uitdrukking door 2h. Door het samenvoegen van de expansies van f (t + h) en f (t − h) blijven er alleen maar even machten van h over.

A.3

Voorbeeld

Een voorbeeld van deze benaderingen kan gegeven worden met behulp van de functie f (t) = tet waarvan de afgeleide benaderd wordt in het punt t = 2. h is gelijk aan 0, 05; 0, 10; 0, 15; 0, 20; ...0, 50. Een voorbeeld van de voorwaartse verschilbenadering met h = 0, 50 is dan: f 0 (2) =

2, 50e2,50 − 2e2 0, 50

Omdat ook de exacte oplossing bepaald kan worden bij een bekend probleem, kan het verschil tussen de benadering en de exacte oplossing bepaald worden. Dat is de fout van orde hn . Als de natuurlijke logaritme van de fout tegen de logaritme van h uitgezet wordt, dan is de orde (dus O(h) of O(h2 )) af te lezen aan de helling van de lijn. In figuur 30 is dat te zien.

A.4

Hogere orde afgeleiden

Uit de Taylor expansie van f (t + h) en f (t − h) kan ook de tweede afgeleide van f (t) bepaald worden. Dit kan door de expansies bij elkaar op te tellen. h4 h2 00 f (t) + 2 f iv (t) + ... 2! 4! 4 f (t + h) + f (t − h) − 2f (t) − 2 h4! f iv (t) − ... f 00 (t) = h2

f (t + h) + f (t − h) = 2f (t) + 2

31

A.4

Hogere orde afgeleiden

A


10

ln(E)

1

0.1

Forward difference approximation Backward difference approximation Central difference approximation

0.01 0.01

0.1

ln(h)

1

10

Figuur 30: Voor de drie benaderingsmethoden is de fout in het antwoord bepaald voor verschillende h. Deze fout is van de vorm E ≈ hn . Door van beide kanten de logaritme te nemen wordt dit ln(E) ≈ nln(h). De steilheid van de lijnen in de grafiek geven dan de verschillende waardes van n weer. Voor de voorwaartse en achterwaartse benadering is n = 1 omdat hier de fout O(h) was en voor de centrale benadering geldt n = 2 omdat O(h2 ) geldt. Dit is een uitdrukking die een soort centraal verschilbenadering suggereert f (t + h) + f (t − h) − 2f (t) + O(h2 ) h2 Ook in het geval van hogere orde afgeleiden bestaan er nog een voorwaartse en achterwaartse verschilbenadering waarvan de voorwaartse verschilbenadering hieronder nog wordt afgeleid. Daarvoor hebben we twee Taylor expansies nodig, van f (t + 2h) en f (t + h), die beiden achter f (t) liggen. f 00 (t) =

h2 00 h3 f (t) + f 000 (t) + ... 2! 3! 2 4h 8h3 000 f (t + 2h) = f (t) + 2hf 0 (t) + f 00 (t) + f (t) + ... 2! 3! Deze kunnen van elkaar afgetrokken worden zodat er een benadering voor f 00 (t) ontstaat. f (t + h) = f (t) + hf 0 (t) +

f (t + 2h) − 2f (t + h) = f (t) − 2f (t) + 2hf 0 (t) − 2hf 0 (t) + 2h2 f 00 (t) − h2 f 00 (t) + f 00 (t) =

8h3 000 f (t) − ... 3!

f (t + 2h) − 2f (t + h) + f (t) + O(h) h2

Deze benadering heeft een fout van orde h, omdat er na deling van h3 door h2 nog h overbleef.[1] 32

B

B

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Differentiaalvergelijkingen

Natuurkundige dynamische systemen zijn vaak te beschrijven met differentiaalvergelijkingen. De oplossingen hiervan zijn ´ of heel triviaal óf heel erg moeilijk. De moeilijke vergelijkingen moeten numeriek worden opgelost. Daar zijn verschillende methodes voor, waaronder de Euler methodes.

B.1

Simpele Euler methode

Een eerste orde differentiaalvergelijking is een vergelijking waarbij de afgeleide van een functie y(t) weer een functie is van y en t. y 0 (t) = f (t, y) Voor de functie y(t) kan een eerste orde Taylor expansie gemaakt worden. y(t) ≈ y(t0 ) + (t − t0 )y 0 (t0 ) Maak een substitutie h = t − t0 y(t0 + h) = y(t0 ) + hy 0 (t0 ) Bedenk dat y 0 (t0 ) = f (t0 , y(t0 )) = f0 en y(t0 ) = y0 y(t0 + h) = y0 + hf0 Dit betekent dat in het punt (t0 + h, y(t0 + h)) de functie wordt bepaald door in het beginpunt (t0 , y0 ) de afgeleide f0 te nemen en die door te trekken over het gebiedje h, zoals te zien in figuur 31a.

B.2

Aangepaste Euler methode

Bij de simpele Euler methode wordt aangenomen dat de afgeleide, genomen in het beginpunt, constant blijft over het hele interval h. Om een nauwkeuriger benadering te krijgen kun je beter de afgeleide halverwege het interval nemen. Dat wordt gedaan in de aangepaste Euler method, zoals in figuur 31b. Eerst kan met behulp van de simpele Euler methode bepaald worden wat de coordinaten (tmid , ymid ) in het midden zijn. tmid = t0 +

h 2

ymid = y(tmid ) = y(t0 +

h h ) = y0 + f0 2 2

Deze coordinaten kunnen we invullen in de gegeven differentiaalvergelijking om een afgeleide te bepalen halverwege het interval: f (t, y) = y 0 (t) f (tmid , ymid ) = y 0 (tmid ) Deze afgeleide kan tenslotte net zoals in de simpele Euler methode worden doorgetrokken over het interval h. y(t0 + h) = y0 + hf (tmid , ymid )

33

B.3

Verbeterde Euler methode

50

B


50

Functie Afgeleide op punt x=2

30

30

Functie Afgeleide op punt x=3.5 vanaf x=2 Afgeleide op punt x=3.5

y

40

y

40

20

20

10

10

00

2

4

6

x

8

00

10

(a) Simpel

2

4

x

6

8

10

(b) Aangepast 50

Functie Afgeleide op punt x=2 Afgeleide op punt x=5 Gemiddelde afgeleide

40

y

30 20 10 00

2

4

x

6

8

10

(c) Verbeterd

Figuur 31: Voor drie verschillende Euler methoden is eerst de voorbeeldfunctie getekend, daarna zijn er afgeleides getekend op bepaalde punten. Deze afgeleides geven geven afhankelijk van de methode de tussenstappen of het eindantwoord van de benadering.

B.3

Verbeterde Euler methode

Tenslotte is er nog een derde manier om de functie te benaderen. Bij de verbeterde Euler methode worden de afgeleides op het begin en aan het eind van het interval bepaald en deze worden gemiddeld. Deze waarde wordt vervolgens gebruikt om de lijn voor de functie door te trekken. Dit is te zien in figuur 31c. f0 = f (t0 , y(t0 )) = y 0 (t0 ) f (t0 + h, y0 + hf0 ) = f (t0 + h, y(t0 + h)) = y 0 (t0 + h) h y(t0 + h) = y0 + (f0 + f (t0 + h, y0 + hf0 )) 2

B.4

Voorbeeld

Om een idee te krijgen van hoe goed de verschillende methodes werken is het handig om een voorbeeld te bekijken. De differentiaalvergelijking is y 0 (t) = y 2 + 1 met y(0) = 0 en h in stapjes van 0, 1 over het interval 0, 1 tot 0, 9. De exacte oplossing hiervan is y(t) = tan(t). De simpele 3 Euler methode geeft y(h) = h, de aangepaste methode geeft y(h) = h4 + h en voor de verbeterde 3 methode geldt y(h) = h2 + h. In figuur 32 is te zien hoeveel de afzonderlijke methoden op de exacte oplossing lijken.

34

B.5

Tweede orde differentiaalvergelijkingen

B


1.4 1.2

uitkomst

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.1

Exact: y(x)=tan(x) Simple Modified Improved

0.2

0.3

0.4

0.5

t

0.6

0.7

0.8

0.9

Figuur 32: De voorbeeldfunctie is gegeven door y(t) = tan(t). De op te lossen differentiaalvergelijking was y 0 (t) = y 2 + 1 met y(0) = 0. Voor de simpele Euler methode gaf dit y(h) = h, voor 3 3 de aangepaste y(h) = h4 + h en voor de verbeterde Euler methode was dit y(h) = h2 + h. Deze benaderingen zijn weergegeven zodat ze vergeleken kunnen worden met de exacte uitkomst.

B.5

Tweede orde differentiaalvergelijkingen

Realistische systemen worden meestal beschreven door tweede orde differentiaalvergelijkingen in de volgende vorm: y 00 (t) = f (t, y, y 0 ) Nu kan er een substitutie gemaakt worden met de onafhankelijke variabelen y1 en y2 : y1 = y y2 = y 0 Deze kunnen ingevuld worden in de tweede orde differentiaalvergelijking zodat er uiteindelijk twee eerste orde vergelijkingen overblijven. y10 = y2 = f1 y20 = f (t, y1 , y2 ) = f2 Deze vergelijkingen kunnen we in vectorvorm opschrijven. 0 0 y2 f1 y1 y1 = = = 0 f (t, y1 , y2 ) f2 y2 y2

35

B.6

Implicit Midpoint methode

B


Samengevat is dit y~0 = f~ en dit is weer een eerste orde differentiaalvergelijking die opgelost kan worden met de verschillende Euler methodes. De Euler methoden zijn onderdeel van de Runge-Kutta methoden. Dat zijn benaderingen waarbij de oplossing bestaat uit de afgeleide met verschillende argumenten. [1]

B.6

Implicit Midpoint methode

De methode die bij dit onderzoek is gebruikt om de LL-vergelijking op te lossen is de Implicit Midpoint methode. Dit is in tegenstelling tot de methoden in voorgaande secties die expliciet waren, een impliciete methode. Dit betekent dat de uitkomst van de vergelijking, y(t + h), afhangt van y(t + h). De gebruikte vergelijking is al volgt: 1 1 y(t + h) = y(t) + hf (t + h, (y(t) + y(t + h))) 2 2 Het laatste argument van f , 21 (y(t) + y(t + h)), heet ook wel ymidpoint . Deze vergelijking wordt opgelost door eerst een proefwaarde voor y(t + h) uit te rekenen met behulp van bijvoorbeeld de verbeterde Euler methode en deze dan in te vullen in de vergelijking. Daarmee kan dan een nieuwe y(t + h) worden berekend die een beetje is bijgesteld en die opnieuw kan worden ingevuld. De waarde voor y(t + h) convergeert dan lineair na een aantal iteraties. De reden dat er geen expliciete methode gebruikt kan worden, is dat in magnetische systemen de ’positie’ en ’snelheid’ ~ ~ en dM (analoog aan M dt ) niet losgekoppeld kunnen worden. De Implicit Midpoint methode is tevens een geometrische methode, in tegenstelling tot sommige andere Runge-Kutta methoden. Dit betekent dat de nauwkeurigheid op kleine tijdsschaal niet zo groot is, maar dat de fysische grootheden op grotere tijdsschaal wel behouden zijn. Bij een nietgeometrische methode is de nauwkeurigheid groter, maar is er een drift zichtbaar in bijvoorbeeld de energie in het systeem. Dit zorgt ervoor dat van de fysische grootheden na veel tijdsstappen niet meer zoveel klopt.

36

Dempingsmodellen in spinsystemen

Recommend Documents