Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai

Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai Persamaan Saint Venant - Exner Model Parabolik Acuan Utama Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 6, pp. 358−370, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.

Degradasi dan Agradasi Degradasi • terjadi apabila debit solid yang datang lebih kecil daripada kemampuan transpor sedimen • dasar sungai tererosi • dasar sungai turun

Agradasi • debit solid lebih besar daripada kemampuan transpor sedimen • terjadi deposisi sedimen • dasar sungai naik Teknik Sungai

Degradasi dan Agradasi

1-2

Degradasi dan Agradasi Beberapa contoh degradasi

Beberapa contoh agradasi

• pasokan sedimen (solid discharge) dari hulu berhenti atau berkurang • debit aliran (air) bertambah • penurunan dasar sungai di suatu titik di hilir Teknik Sungai

• pasokan sedimen (solid discharge) dari hulu bertambah • debit aliran (air) berkurang • kenaikan dasar sungai di suatu titik di hilir


1-3


Teknik Sungai


1-4

Pemahaman Degradasi dan Agradasi Proses • merupakan proses jangka panjang evolusi dasar sungai, z(x,t) • aliran sungai pada awal dan akhir proses berupa aliran permanen dan seragam (steady and uniform flow) • selama proses, aliran sungai berupa aliran permanen semu (quasi-unsteady) dan tak-seragam (nonuniform)

Asumsi untuk penyederhanaan • aliran quasi-uniform, ∂U/∂x = 0 • shg dapat dipakai model parabolik, yang memungkinkan dilakukannya penyelesaian analitik Teknik Sungai


1-5

Metode Analisis Degradasi dan Agradasi Model parabolik • didasarkan pada persamaan Saint-Venant – Exner, dengan beberapa penyederhanaan » aliran dengan Angka Froude kecil, Fr < 0,6 » aliran quasi-steady » aliran quasi-uniform » tinjauan hanya untuk jarak x yang panjang dan waktu t yang lama

Teknik Sungai


1-6

Persamaan Saint-Venant – Exner

So

Teknik Sungai


1-7

Persamaan Saint-Venant – Exner Persamaan Saint-Venant • • • •

aliran permanen tak-seragam saluran prismatik kemiringan dasar kecil dasar tetap (fixed bed)

∂h ∂h ∂U +h +U =0 ∂t ∂x ∂x

• pers. kontinuitas untuk B = konstan

∂h ∂z ∂U ∂U +U +g +g = − g Se ∂t ∂x ∂x ∂x

• pers. momentum

• kemiringan garis energi, Se, ditetapkan berdasarkan aliran seragam dan koefisien kekasaran, f, untuk dasar mobil (mobile bed) Teknik Sungai


Se = f ( f ,U , h ) 1-8

Persamaan Saint-Venant – Exner Persamaan Exner • dasar saluran bergerak (mobile bed) • variasi dasar saluran dinyatakan dengan persamaan berikut

∂U ∂z = −aE ∂x ∂t

aE = koefisien erosi

• yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan kontinuitas aliran partikel solid (solid phase)

( )

∂z 1 ⎡∂ ~ ∂ 1 ∂qs ⎤ ∂z ( ) Cs h + CsUh ⎥ ≅ + + =0 ⎢ ∂t 1 − p ⎣ ∂t ∂x ⎦ ∂t 1 − p ∂x Teknik Sungai


1-9

Persamaan Saint-Venant – Exner • dalam persamaan tersebut: » p = porositas, rasio antara volume rongga udara yang terisi air dengan volume total » Cs = konsentrasi, rasio antara volume bagian padat (solid) dengan volume total campuran (mixture) » qs = debit solid per satuan lebar

• debit solid, qs, umumnya dianggap merupakan fungsi debit air, q, menurut suatu hubungan tertentu

qs = f (U , h, sedimen )

Teknik Sungai


1-10

Persamaan Saint-Venant – Exner 1. ∂h + h ∂U + U ∂h = 0 ∂t ∂x ∂x

Unknowns:

2. ∂U + U ∂U + g ∂h + g ∂z = − g Se ∂t ∂x ∂x ∂x 3. Se = f ( f ,U , h ) ∂z 1 ∂qs 4. + =0 ∂t 1 − p ∂x

5. qs = f (U , h, sedimen ) Teknik Sungai

• U(x,t) = kecepatan rata-rata aliran campuran air+sedimen • h(x,t) = kedalaman aliran campuran air+sedimen • z(x,t) = elevasi dasar sungai • Se = kemiringan garis energi → persamaan empirik • qs = debit bagian padat → persamaan empirik

Independent variables • x = jarak, posisi • t = waktu Degradasi dan Agradasi

1-11

Persamaan Saint-Venant – Exner Kaitan antara bagian cair dan bagian padat • • •

Pers. 1, 2, 3 Pers. 4, 5 Coupling

→ → →

aliran air (+sedimen) melalui dasar mobil transpor sedimen (erosi dan deposisi) secara implicit melalui persamaan 3 dan 5 (persamaan semi-empirik)

Prosedur penyelesaian • Pers. 1, 2 • Pers. 4

Teknik Sungai

→ untuk mendapatkan kecepatan dan kedalaman aliran, U dan h → untuk mendapatkan variasi dasar sungai, z


1-12

Persamaan Saint-Venant – Exner Persamaan-persamaan Saint-Venant – Exner dapat dikaitkan secara langsung (explicit coupling) apabila persamaan kontinuitas bagian cair (Pers. 1) dituliskan dalam bentuk sbb. 1a. ∂h + ∂z + ∂ (Uh ) = 0 ∂t ∂t ∂x Persamaan-persamaan Saint-Venant – Exner dengan demikian dapat diselesaikan secara simultan karena z muncul dalam persamaan bagian cair maupun bagian padat Metode penyelesaian • cara analitik → untuk kasus sederhana • cara numerik → untuk kasus kompleks Teknik Sungai


1-13

Penyelesaian Analitik: Model Parabolik Persamaan Saint-Venant – Exner • hyperbolik • non-linear

Dalam bentuk aslinya, penyelesaian anatilik persamaan tsb sulit dilakukan → persamaan tsb perlu disederhanakan • aliran dengan Angka Froude kecil • aliran permanen (quasi-steady)

Justifikasi: • variasi aliran (debit) → fenomena jangka pendek • variasi dasar sungai → fenomena jangka panjang • shg dalam tinjauan variasi dasar sungai, ∂z/∂t, aliran dapat dianggap konstan (∂Uh/∂t = 0) Teknik Sungai


1-14

Model Parabolik Dengan asumsi aliran quasi-steady, didapat persamaan:

6.

∂U ∂x

∂z h⎞ ⎛ − + = − g Se U g g ⎜ ⎟ ∂x U⎠ ⎝

4a. (1 − p ) ∂z + ∂qs ∂U = 0 ∂t ∂U ∂x Kedua persamaan di atas: • tak-linear • shg tidak dapat dilakukan penyelesaian secara analitik

Perlu penyederhanaan lebih lanjut • linearisasi Teknik Sungai


1-15

Model Parabolik Dengan asumsi aliran quasi-steady dan quasi-uniform, dari Pers. 6. didapat: 2 3 z U U ∂ 7. g = − g Se = − g 2 = − g 2 C h C q ∂x

Diferensiasi persamaan di atas thd x menghasilkan: 2 2 3 3U ∂U ∂ z U ∂U 8. g = −g 2 = −g 2 2 ∂x C q ∂x C h ∂x

Teknik Sungai


1-16

Model Parabolik Substitusi ∂U/∂x dari Pers. 8 kedalam Pers. 4, diperoleh:

9.

∂z ∂2 z − K (t ) 2 = 0 ∂t ∂x

dimana K(t) adalah koefisien (difusi) yang merupakan fungsi waktu dan yang didefinisikan sbb.

10.

1 ∂qs 1 C 2 h K= 3 ∂U (1 − p ) U

Persamaan di atas merupakan model parabolik, yang berlaku untuk nilai x dan t yang besar, x > 3Rh/Se dan t > (40/30).{Rh2/(Se .qs)} Teknik Sungai


1-17

Model Parabolik Persamaan koefisien difusi, K, dapat dituliskan pula dalam bentuk:

1 ∂qs 1 U ⎛ U o ⎞ 10a. K = ⎜ ⎟ 3 ∂U (1 − p ) Seo ⎝ U ⎠

2

dengan linearisasi (untuk U ≅ Uo), didapat:

10b. K ≡ Ko =

1 ∂qs 1 U o 3 ∂U (1 − p ) Seo

dimana index o menunjuk pada aliran seragam (uniform).

Teknik Sungai


1-18

Model Parabolik Apabila debit bagian padat dihitung dengan persamaan power law, yaitu: qs = as U bs

as = koefisien, bs = konstanta maka

10c.

Teknik Sungai

1 1 1 K ≡ bs qs (1 − p ) Seo 3


1-19

Model Parabolik Persamaan model parabolik variasi dasar sungai:

∂2 z ∂z − K (t ) 2 = 0 ∂x ∂t

9.

1 1 1 10c. K ≡ bs qs (1 − p ) Seo 3

Syarat model parabolik dapat dipakai: • • • • •

aliran quasi-steady aliran quasi-uniform Fr < 0,6 x > 3h/Se t > (40/30).{Rh2/(Se .qs)}

Teknik Sungai


1-20

Model Degradasi Dasar Sungai Penurunan muka air di titik kontrol hilir (reservoir) sebesar ∆hw

• dasar sungai di titik kontrol tsb turun sebesar ∆h • dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan turun

o o

Teknik Sungai


1-21

Model Degradasi Dasar Sungai Aliran dianggap permanen dan seragam • model parabolik dapat dipakai • karena debit konstan, maka koefisien K konstan

Diskripsi matematis • Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hulu • Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal, So0 • Syarat awal dan syarat batas

z ( x,0 ) = 0 ;

Teknik Sungai

z (0, t ) = ∆h ;

lim z ( x, t ) = 0 x →∞


1-22

Model Degradasi Dasar Sungai Penyelesaian analitik ⎛ x ⎞ ⎟ z ( x, t ) = ∆h erfc⎜ ⎜2 Kt ⎟ ⎠ ⎝

Complementary error function, erfc ∞

2 − ξ2 erfc (Υ ) = e dξ ∫ πΥ

erfc (Υ ) = 1 − erf (Υ )

erfc (dan erf: error function) dapat dihitung dengan bantuan tabel matematik, dan tersedia pula dalam MS Excel Teknik Sungai


1-23

Model Degradasi Dasar Sungai Contoh permasalahan • ingin diketahui, kapan dan dimana, elevasi dasar sungai telah turun menjadi separuh dari elevasi dasar sungai semula: turun separuh: z/∆h = 50% = ½ kapan, t50% dimana, x50%

⎛ x50% z ( x, t ) 1 = = erfc⎜ ⎜2 Kt ∆h 2 50% ⎝

⎞ ⎟ = erfc (Υ ) ⎟ ⎠

• dari Tabel ataupun dengan MS Excel, didapat Υ ≈ 0,48 • sehingga didapat hubungan sbb.

(

x50% = 0,48 2 K t50% Teknik Sungai

)

dimana t50% ≈ x50%


2

(0,96 K ) 2

1-24

Model Agradasi Dasar Sungai Kenaikan debit solid di titik kontrol hulu (akibat tanah longsor) sebesar ∆qs

• dasar sungai di titik kontrol tsb naik sebesar ∆h • dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan naik

⎛ x ⎞ ⎟ z ( x, t ) = ∆h (t ) erfc⎜ ⎜2 Kt ⎟ ⎝ ⎠ o o

Teknik Sungai


1-25

Model Agradasi Dasar Sungai Aliran dianggap permanen dan seragam • model parabolik dapat dipakai • karena debit konstan, maka koefisien K konstan

Diskripsi matematis • Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hilir • Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal, So0 • Syarat awal dan syarat batas

z ( x,0) = 0 ;

Teknik Sungai

z (0, t ) = ∆h (t );


lim z ( x, t ) = 0 x →∞

1-26

Model Agradasi Dasar Sungai Penyelesaian analitik ⎛ x ⎞ ⎟ z ( x, t ) = ∆h (t ) erfc⎜ ⎜2 Kt ⎟ ⎠ ⎝ • Penyelesaian tsb serupa dengan penyelesaian pada permasalahan degradasi dasar sungai, hanya saja ∆h(t) merupakan fungsi waktu • Koefisien difusi K dalam penyelesaian tsb merupakan nilai K pada saat awal, K0, jadi tanpa memperhitungkan ∆qs (kenaikan debit solid di titik kontrol hulu)

Teknik Sungai


1-27

Model Agradasi Dasar Sungai Panjang ruas sungai yang mengalami agradasi, La • ditetapkan sbg panjang ruas sungai dari titik kontrol hulu sampai titik di mana deposisi mencapai z/∆h = 0,01 (Υ ≈ 1,80) • dihitung dengan persamaan berikut

La ≈ x1% = 3,65 K t1%

Teknik Sungai


1-28

Model Agradasi Dasar Sungai Volume pasokan debit solid, ∆qs

• selama waktu tertentu, ∆t, volume debit solid adalah ∆qs· ∆t • jumlah tsb terdistribusi di dasar sungai sepanjang La • dengan demikian didapat hubungan sbb. La

∆qs ⋅ ∆t = (1 − p ) ∫ z d x 0

Teknik Sungai


1-29

Model Agradasi Dasar Sungai Tinggi (tebal) agradasi, ∆h • • •

dari panjang ruas sungai yang mengalami degradasi, La, dan dari volume debit solid adalah ∆qs· ∆t dapat dihitung tebal agradasi, ∆h La

La ≈ x1% = 3,65 K t1%

dan

∆qs ⋅ ∆t = (1 − p ) ∫ z d x 0

Tinggi agradasi, ∆h

∆qs ⋅ ∆t ( ) ∆h t = 1,13 (1 − p ) K ∆t Teknik Sungai

Catatan: tampak bahwa tinggi agradasi, ∆h, merupakan fungsi waktu


1-30

Model Agradasi Dasar Sungai

⎛ x ⎞ ⎟ z ( x, t ) = ∆h (t ) erfc⎜ ⎜2 Kt ⎟ ⎝ ⎠

o o

Teknik Sungai


1-31

erfc(Υ) Tabel matematik Persamaan aproximatif • erfc(Υ) = 1/(1 + a1Υ + a2Υ2 + a3Υ3 + a4Υ4 + a5Υ5 + a6Υ6)16 + ε(Υ) • ⏐ε(Υ)⏐ ≤ 3.10–7 • a1 = 0,0705230784 a2 = 0,0422820123 a3 = 0,0092705272 a6 = 0,0000430638 a4 = 0,0001520143 a5 = 0,0002765672

MS Excel • erfc(…)

Teknik Sungai


1-32

Debit Solid (Transpor Sedimen) Debit solid, qs • adalah transpor sedimen total, terdiri dari bed load, qsb, suspended load, qss, (dan wash load, qsw) qs = qsb + qss (+ qsw) • kadang-kadang hanya ditinjau bed load, qsb

Debit solid dihitung dengan persamaan empirik, misal: • • • •

Schoklitsch Meyer-Peter, et al. Einstein Graf

Teknik Sungai


1-33

Debit Solid (Transpor Sedimen) Schoklitch (bed load) 2,5 3 2 qsb = S e (q − qcr ) ss

q = debit air+sedimen qcr = debit kritik, menunjukkan awal gerak butir sedimen 53 32 ( ) qcr = 0,26 ss − 1 d 40

Teknik Sungai


Se

1-34

76

Debit Solid (Transpor Sedimen) Meyer-Peter, et al. (bed load) ⎛ g ρ Rhb ξ M S e − 0,047 g (ρ s − ρ ) d 50 ⎞ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ qsb = 13 0,25 ρ g (ρ s − ρ ) ⎝ ⎠

32

Rhb = radius hidraulik dasar sungai ξM = parameter kekasaran

ξM

= (K s

K s′ )

Ks = U K s′ = 21,1 d 50

16

Teknik Sungai

(R

hb

→ tanpa bed forms • ξM = 1 • 1 > ξM > 0,35 → bed forms 23

Se

12

K s′ = 26 d 90

)

16

koefisien kekasaran (total) Strickler koefisien kekasaran (butir sedimen)


1-35

Debit Solid (Transpor Sedimen) Einstein (bed load) qsb =

(ss − 1) g d 503 0,465

⎛ − 0,391(ss − 1) d 50 ⎞ ⎟⎟ exp⎜⎜ ′ Se Rhb ⎝ ⎠

radius hidraulik dasar sungai akibat butir sedimen

Teknik Sungai


1-36

Debit Solid (Transpor Sedimen) Graf (total load) C s U Rh

(ss − 1) g d 503

⎡ (ss − 1) d 50 ⎤ = 10,39 ⎢ ⎥ S R e h ⎣ ⎦

−2 , 52

h qs = C s U h = C s U Rh Rh

Teknik Sungai


1-37

Model Parabolik? Hitungan degradasi atau agradasi dasar sungai dengan model parabolik dapat dilakukan apabila syarat-syarat berikut dipenuhi • aliran quasi-steady (variasi jangka panjang dasar sungai) • aliran quasi-uniform dengan Fr < 0,6 • nilai x > 3Rh/Se • nilai t > (40/30).{Rh2/(Se .qs)}

Apabila syarat-syarat tsb tidak dipenuhi, maka diperlukan model yang lebih andal • model yang didasarkan pada penyelesaian numerik persamaan Saint-Venant – Exner Teknik Sungai


1-38

Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai The End

Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai

Recommend Documents