Calculus 1
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 4. Limit C A. Infinite Limits Definisi 4.1 Notasi lim → ( ) = ∞ Menyatakan bahwa nilai ( ) membesar tanpa batas jika nilai dekat dengan , tetapi tidak sama dengan .
lim
→
( ) = ∞ lim
→
semakin
( ) = −∞
Definisi 4.2 Notasi lim → ( ) = −∞ Menyatakan bahwa nilai ( ) mengecil tanpa batas jika nilai dekat dengan , tetapi tidak sama dengan .
semakin
Definisi yang sama dapat diberikan untuk limit tak hingga sepihak. → berarti mendekati dari sebelah kiri, yaitu semua nilai lebih kecil dari . → berarti mendekati dari sebelah kanan, yaitu semua nilai lebih besar dari .
Calculus 1
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Definisi 4.3. Garis = disebut asimtot tegak (vertical asymptote) dari kurva = ( ) jika minimal dipenuhi salah satu pernyataan berikut: ( )=∞ ( )=∞ lim → ( ) = ∞ lim → lim → ( ) = −∞ ( ) = −∞ lim → ( ) = −∞ lim → lim → Contoh 1. Tentukan lim
→
.
Penyelesaian: Dicari limit dengan pendekatan numerik dan grafik:
Perhatikan bahwa jika nilai
semakin dekat dengan 0, maka nilai
sema-
kin besar tanpa batas. Contoh 2. Tentukan lim
→
dan lim
→
.
Penyelesaian: Jika dekat dengan 3 tetapi lebih besar dari 3, maka ngan positif yang kecil dan 2
− 3 merupakan bila-
dekat dengan 6. Sehingga
merupakan
bilangan positif yang besar: lim Jika
→
= ∞.
dekat dengan 3 tetapi lebih kecil dari 3, maka
ngan negatif yang kecil dan 2 bilangan negatif yang besar: lim
→
= −∞.
− 3 merupakan bila-
dekat dengan 6. Sehingga
merupakan
Calculus 1
Garis
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
= 3 merupakan asimtot tegak (vertical asymtote).
B. Limits at Infinity Definisi 4.4 Diberikan fungsi yang terdefinisi pada interval ( , ∞). Maka lim → ( ) = menyatakan bahwa nilai ( ) dapat dibuat sedekat mungkin dengan jika mengambil nilai cukup besar ( membesar tanpa batas).
lim
→
( )=
Definisi 4.5 Diberikan fungsi yang terdefinisi pada interval ( , ∞). Maka ( )= lim → menyatakan bahwa nilai ( ) dapat dibuat sedekat mungkin dengan jika mengambil nilai semakin mengecil tanpa batas.
lim
→
( )=
Definisi 4.6. Garis = disebut asimtot datar (horizontal asymptote) dari kurva = ( ) jika minimal dipenuhi salah satu pernyataan berikut: ( )= lim → ( ) = atau lim →
Calculus 1
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Contoh. Tentukan limit tak hingga (infinite limits), limit di tak hingga (limits at infinite), dan asimtot dari grafi fungsi berikut.
Penyelesaian: Perhatikan bahwa nilai ( ) semakin besar jika → −1 dari kedua sisi, sehingga diperoleh ( ) = ∞. lim → Nilai ( ) semakin kecil tanpa batas (membesar ke arah negatif) jika mendekati 2 dari kiri, tetapi semakin besar jika mendekati 2 dari kanan, yaitu ( ) = −∞ dan lim → ( ) = ∞. lim → Dengan demikian, garis = −1 dan = 2 merupakan vertical asymptotes. Jika semakin besar, maka nilai ( ) semakin mendekati 4. Tetapi jika semakin mengecil ke arah negatif, maka nilai semakin mendekati 2, sehingga diperoleh ( ) = 2. lim → ( ) = 4 dan lim → Dengan demikian, garis = 4 dan garis = 2 merupakan horizontal asymptotes. Sifat. Jika lim
→
bilangan bulat positif, maka = 0 dan lim
→
=0
Contoh 1. Tentukan nilai dari lim
→
Penyelesaian: Pembilang dan penyebut dibagi dengan pada penyebut, yaitu .
.
dengan derajat tertinggi yang ada
Calculus 1
Contoh 2. Evaluasi nilai dari lim
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
→
(√
+ 1 − ).
Penyelesaian:
C. Infinite Limits at Infinity Notasi berikut: lim → ( ) = ∞ Menyatakan bahwa nilai ( ) semakin besar jika semakin besar. Pernyataan yang hampir sama juga berlaku untuk notasi-notasi berikut. ( )=∞ lim → lim → ( ) = −∞ ( ) = −∞ lim →
Calculus 1
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Contoh 1. Tentukan lim
→
(
− ).
Penyelesaian: Tidak boleh ditulis: lim → ( − ) = lim → − lim → = ∞ − ∞. Aturan limit tidak dapat digunakan karena ∞ bukan suatu bilangan (∞ − ∞ tidak dapat didefinisikan). Tetapi kita dapat menulis: lim → ( − ) = lim → ( − 1) = ∞, karena dan − 1 semakin membesar. Contoh 2. Tentukan lim
→
.
Penyelesaian: Pembilang dan penyebut dibagi dengan pada penyebut, yaitu . lim
→
= lim
→
= −∞.
dengan derajat tertinggi yang ada
