Definisi Peluang bersyarat A bila B diketahui dilambangkan dengan P(A B) dan didefinisikan sebagai, P(B) > 0

MODUL 3 Peluang Bersyarat Peluang suatu kejadian A bila diketahui bahwa suatu kejadian lain B telah terjadi disebut sebagai peluang bersyarat dan dilambangkan P(A|B) dan dibaca peluang terjadinya A bila kejadian B diketahui. Definisi Peluang bersyarat A bila B diketahui dilambangkan dengan P(A|B) dan didefinisikan sebagai

P( A | B) 

P( A  B) P( B)

, P(B) > 0

Contoh Bila ruang sampel S terdiri dari lulusan Sarjana Matematika di Propensi Jawa Timur. Suatu pengkategorian disusun berdasarkan gender dan melanjutkan ke Pasca Sarjana atau tidak. Melanjutkan ke Pasca Sarjana

Tidak melanjutkan ke Pasca Sarjana

Laki – laki

450

50

Perempuan

150

250

Misalkan diberikan notasi kejadian sebagai berikut L : kejadian yang terpilih laki - laki K: kejadian yang terpilih adalah orang yang melanjutkan ke Pasca Sarjana Misalkan akan diambil sacara acak individu dari populasi di atas, sehingga apabila akan dihitung peluang suatu kejadian yang terpilih adalah laki-laki dengan syarat bahwa yang terpilih adalah yang melanjutkan ke Pasca Sarjana maka akan didapat : P(L|K) = 450/600 = ¾ Dengan memakai definisi peluang persyarat :

P( L | K ) 

n ( K  L ) n( K  L ) / n ( S ) P ( K  L )   , n( K ) n( K ) / n( S ) P( K )

Nilai dari P(KL) dan P(K) dihitung dari ruang sampel S.

P( K ) 

600 2 450 1  dan P( K  L)   900 3 900 2

Dengan demikian P( L | K ) 

1/ 2 3  , sama dengan nilai yang telah diperoleh sebelumnya 2/3 4

MODUL PELUANG PRODI MAT. UB-2014- - 14

Contoh Peluang Lion Air berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) = 0.85, peluang Lion Air datang tepat pada waktunya adalah P(D) = 0. 90 dan peluang pesawat tersebut berangkat dan datang tepat pada waktunya adalah P(BD) = 0.75. Hitung peluang bahwa Lion air tersebut a.Datang tepat pada waktunya bila diketahui pesawat komersial itu berangkat tepat pada waktunya b. Berangkat tepat pada waktunya bila diketahui pesawat komersial tersebut datang tepat pada waktunya. Jawab. a. Peluang bahwa Lion Air datang tepat pada waktunya bila diketahui bahwa pesawat komersial tersebut berangkat pada waktunya adalah :

P( D | B) 

P( D  B) 0.75   0.88 P( B) 0.85

b.Peluang bahwa Lion Air berangkat pada waktunya bila diketahui pesawat komersial tersebut datang tepat waktu adalah :

P ( B | D) 

P( D  B) 0.75   0.83 P( D) 0.90

ATURAN PERKALIAN Dari pengertian peluang bersyarat

P( A2 | A1 ) 

P( A1 A2 ) P( A1 )

, P(A1) > 0

P( A1 A2 )  P( A1 ) P( A2 A1 ) Jika ada kejadian

A1 , A2 , A3 ...An  S

P( A1 A2 A3 ...An )  P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )....P( An A1 A2 ...An 1 ) Suatu kejadian A dapat dinyatakan sebagai gabungan dua kejadian yang mutually exclusive yaitu BA dan BcA.

B

A

Bc


Dengan demikian A = (BA)  (BcA) Menggunakan Aksioma Peluang P(A) = P [(BA)  (BcA)] = P(BA) + P(BcA)] = P(B)P(A|B) + P(Bc)P(A|Bc) Generalisasi dari masalah di atas pada suatu partisi terhadap ruang sampel menjadi k himpunan bagian dapat dinyatakan dalam teorema peluang total berikut Kaidah Total Peluang Jika kejadian – kejadian Bi 0 untuk i = 1, 2, …,k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + … + P(Bk) P(A|Bk).

Bukti: Perhatikan diagram Venn dalam Gambar di bawah. Kejadian A dapat dipandang sebagai gabungan kejadian – kejadian B1A, B2A, …, BkA yang mutually exclusive, dengan kata lain, A = (B1A)  (B2A)  … (BkA). Sehingga akan didapatkan P(A) = P[(B1A)  (B2A)  … (BkA)] P(A) = P(B1A) + P(B2A) + … P(BkA)] P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + … + P(Bk) P(A|Bk). ▄


Contoh : Tiga wakil Himpunan Mahasiswa A, B dan C mencalonkan diri sebagai presiden. Badan Eksekutif Mahasiswa. Peluang wakil dari Hima A terpilih sebagai presiden BEM adalah 0.4, peluang wakil dari Hima B terpilih adalah 0.3 dan peluang wakil dari Hima C terpilih adalah 0.3. Seandainya wakil dari Hima A terpilih sebagai presiden BEM , peluang terjadinya BHMN adalah 0.7. Seandainya yang terpilih adalah wakil dari Hima B , peluang terjadinya BHMN adalah 0.4. Bila yang terpilih adalah wakil dari Hima C maka peluang terjadinya BHMN adalah 0.6. Berapa peluang terjadinya BHMN ? Jawab. Misalkan N :kejadian Terjadinya BHMN A : kejadian wakil dari Hima A terpilih sebagai presiden BEM B : kejadian wakil dari Hima B terpilih sebagai presiden BEM C : kejadian wakil dari Hima C terpilih sebagai presiden BEM Dengan menerapkan teorema peluang total, akan didapatkan P(N) = P(A)P(N|A) + P(B)P((N|B) + P(C)P(N|C) = 0.4(0.7) + 0.3(0.4) + 0.3(0.6) = 0.58 Contoh : Sebuah toko menjual bola lampu. Empat puluh lima persen dari bola lampu yang dijual toko tersebut diproduksi oleh pabrik A dan sisanya diproduksi oleh pabrik B.Bola lampu yang diproduksi pabrik A mempunyai peluang cacat sebesar 3 persen sedangkan yang diproduksi pabrik B mempunyai peluang cacat sebesar 5 persen. Bila seseorang membeli bola lampu dari toko tersebut, berapa peluang dia akan mendapatkan bola lampu yang cacat? Jawab Misalkan A : kejadian terbelinya bola lampu yang diproduksi pabrik A B : kejadian terbelinya bola lampu yang diproduksi oleh pabrik B C : kejadian terbelinya bola lampu yang cacat P(A) = 0.45 dan P(B) = 0.55 P(C|A) = 0.03 dan P(C|B) = 0.05 Sehingga P(C) = P(A)P(C|A) + P(B) P(C|B) = 0.45(0.03) + 0.55(0.05) = 0.041


Pada contoh. disamping mencari nilai P(N) dengan memakai Teorema total peluang, perlu diperhatikan permasalahan yaitu menghitung peluang bersyarat P(A|N). Dengan kata lain seandainya sudah diketahui bahwa BHMN telah digulirkan, berapa peluang bahwa yang terpilih sebagai presiden BEM adalah wakil dari Hima A? Pertanyaan semacam ini dapat dijawab dengan menerapkan kaidah berikut, yang dikenal dengan Kaidah Bayes

Kaidah Bayes. Jika kejadian – kejadian B1, B2, …, Bk merupakan partisi dari ruang sampel S dengan P(Bi)  0 untuk i = 1, 2, …, k, maka untuk sembarang kejadian A yang mempunyai sifat P(A)  0,

P( Br | A) 

P( Br ) P( A | Br ) P( B1 ) P( A | B1 )  P( B2 ) P( A | B2 )  ...  P( Bk ) P( A | Bk )

Bukti Menurut definisi peluang bersyarat

P( Br | A) 

P( Br  A) P( Br ) P( A | Br )  P( A) P( A)

Substitusikan P(A) dari Teorema Total Peluang untuk mendapatkan hasil yang diinginkan dan melengkapi pembuktiannya. Contoh : Pada contoh , misalkan ada seorang mahasiswa yang tidak mengetahui siapa yang menjadi presiden BEM

karena pada saat pemilihan dia masih belum pulang ketempat

kostnya. Bila beberapa waktu kemudian ternyata BHMN telah dilaksanakan , berapa peluang bahwa yang menjadi presiden BEM adalah wakil dari Hima A? Jawab Dengan menggunakan kaidah Bayes kita dapat menuliskan P(A|N) =



P( A) P( N | A) P(A)P(N | A)  P(B)P(N | B)  P(C)P(N | C) 0.4(0.7) 0.28   0.48 0.4(0.7)  0.3(0.4)  0.3(0.6) 0.58

Contoh : Untuk masalah pada contoh pembelian bola lampu , misalkan ada seseorang yang membeli bola lampu dari toko tersebut. Setelah sampai rumah dan dicoba, ternyata lampu tersebut cacat. Berapa peluang bahwa lampu tersebut diproduksi oleh pabrik A


Jawab. Menurut kaidah Bayes, dapat kita tulis

P( A | C ) 

P( A) P(C | A) 0.0135   0.33 P( A) P(C | A)  P( B) P(C | B) 0.041

KEJADIAN SALING BEBAS ( MUTUALLY INDEPENDENT) Pada kejadian bersyarat yaitu P(AB) , jika kejadian A tidak dipengaruhi oleh terjadinya kejadian B atau dapat ditulis sebagai P(AB) = P(A) maka dapat

dikatakan bahwa A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas (independent). DEFINISI Dua kejadian A dan B saling bebas (independent) jika P(AB) = P(A). Dengan cara yang sama P(BA) = P(B) Jika tidak maka dikatakan kejadian yang bergantung (dependent).

CONTOH: A dan B dua kejadian yang bersifat mutually exclusive. Suatu percobaan memilih satu mobil secara acak. Misal kejadian A = { mobil yang bersilinder 4 } dan B={ mobil yang bersilinder 6 } Karena bersifat mutually exclusive, jika B yang terpilih (terjadi) maka A tidak mungkin terjadi sehingga P(AB) = 0  P(A) Dari pernyataan di atas tersirat bahwa jika A dan B dua kejadian yang mutually exclusive maka A dan B bergantung (dependent) CONTOH : Sekeping mata uang dilemparkan dua kali. A suatu kejadian muncul angka pada lemparan pertama, B suatu kejadian muncul angka pada lemparan kedua Hitung peluang muncul angka pada lemparan kedua ! Jawab : P(B) = ½ dan P(BA) = ½


SOAL : Dari tumpukan kartu bridge diambil dua kali selembar kartu secara berurutan. A suatu kejadian penarikan pertama menghasilkan kartu king B suatu kejadian penarikan kedua menghasilkan kartu queen Hitung : a.Peluang pengambilan kedua didapat kartu queen jika pengambilan kartu pertama tidak dikembalikan pada tumpukan. b.Peluang pengambilan kartu kedua diperoleh kartu queen jika pengambilan kartu pertama dikembalikan. Untuk mengetahui bagaimana P(AB) jika A dan B saling bebas

P( A B) 

P( AB ) P( B)

P( AB )  P( A B) P( B) P( AB )  P( A) P( B) SOAL : A dan B suatu kejadian dengan P(A)>0 dan P(B)>0 , buktikan : a. Bila A dan B mutually exclusive maka A dan B tidak bebas. b. Bila A dan B saling bebas maka A dan B tidak mutually exclusive. SOAL : Seorang eksekutif muda mempunyai jadwal meeting pagi hari dan sore hari dalam hari tertentu. Misal A suatu kejadian eksekutif tersebut terlambat menghadiri meeting pagi hari , B suatu kejadian eksekutif tersebut terlambat menghadiri meeting sore hari. a. Jika P(A)=0.4 , P(B)=0.5 dan P(AB)=0.25 . Apakah A dan B dua kejadian yang saling bebas ! b. Jika A dan B kejadian saling bebas dengan P(A) dan P(B) sesuai nilai point a. i.

Hitung peluang bahwa eksekutif tersebut menghadiri meeting untuk kedua jadwal yang telah ditentukan tepat waktu

ii.

Hitung peluang bahwa tepat satu dari kedua meeting tersebut , eksekutif itu datang tepat waktu.


SOAL: Peluang Jono dan Lono hidup paling sedikit 1 tahun lagi masing-masing 0.8 dan 0.9. Hitung peluang bahwa : a. Keduanya hidup paling sedikit setahun lagi b. Paling sedikit seorang akan meninggal satu tahun lagi. SOAL : Dari hasil survey di kalangan ponpes X , 5% para santri tidak menyetujui RUU APP. Bila 6 santri diambil acak, hitung peluang tepat 2 orang tidak menyetujui RUU APP tersebut ! SOAL: Industri kompor cap “ Merjosari” memberi jaminan kepada konsumennya bahwa untuk setiap pembelian kompor yang rusak/cacat dapat ditukarkan. Industri tersebut memproduksi 10.000 unit pertahun dengan pendistribusian sebagai berikut : DAERAH

DISTRIBUSI PERTAHUN

RATA-RATA RUSAK/CACAT

PENDISTRIBUSIAN Malang

4.000 unit

5%

Blitar

3.000 unit

5%

Jombang

1.000 unit

2%

Probolinggo

2.000 unit

4%

a. Hitung peluang ditemukannya sebuah kompor yang rusak/cacat dari produksi setiap tahunnya! b. Misal diambil sebuah kompor secara acak dan ternyata kompor tersebut rusak/cacat , hitung peluang bahwa kompor tersebut adalah kompor yang akan dipasarkan di Blitar !


Definisi Peluang bersyarat A bila B diketahui dilambangkan dengan P(A B) dan didefinisikan sebagai, P(B) > 0

Recommend Documents