MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
1
Bab 3 Peluang Bersyarat dan Kebebasan: ”Ketika A Bergantung Pada B”
Ilustrasi 3.1 Monty Hall Dillema. Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say number 1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say number 3, which has a goat. He says to you, ”Do you want to pick door number 2?” Is it to your advantage to switch your choice of doors?
Ilustrasi 3.2 Dalam suatu survey, setiap responden akan ditanya 2 buah pertanyaan (satu pertanyaan bersifat tidak sensitif, yang lain sensitif): (a) apakah anda lahir pada bulan April? (b) apakah anda seorang pencinta sesama jenis? Pada awal survey, responden diminta melantunkan mata uang logam (koin). Jika muncul MUKA maka responden menjawab pertanyaan (a). Hasil survey menunjukkan ada 7% dari seluruh responden yang menjawab “YA”. Berapa peluang seorang responden, yang menjawab pertanyaan sensitif (b), menjawab YA?
Ilustrasi 3.3 Salah satu dialog dalam film DIE HARD3. Simon : That’s the point. Now, do I have your attention? As I was going to St-Asra, I meet a man with 7 wives, every wife had 7 sacs, every sac had 7 cats, every cat had 7 kids and everykids, cats, sacs and wives. How many were going to St-Asra? My phone number is 555-... John : No, no, wait. I didn’t get all that. Say it again.
2
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
KONSEP BERSYARAT • Persyaratan (conditioning) adalah suatu tindakan yang memadukan antara pengetahuan dan keyakinan dimana derajat keyakinan akan adanya suatu kejadian berdasarkan kejadian lain yang sudah terjadi. • Persyaratan bersifat subyektif.
Definisi 3.1 (law of compound probability) Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian dalam lap-σ A. Peluang AB (A dan B) adalah P (AB) =
P (A|B) P (B)
Definisi 3.2 Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian dalam lap-σ A. Peluang bersyarat A diberikan B adalah P (A|B) =
P (AB) P (B)
dimana P (B) > 0. Jika P (B) = 0 maka peluang bersyarat tidak terdefinisi.
Teorema 3.1 Peluang bersyarat adalah suatu peluang, dimana a. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1 b. P (S|A) = 1 c. Jika {A1 , A2 , . . .} adalah kejadian-kejadian yang saling bebas maka ! ∞ ∞ [ X P Ai |B = P (Ai |B) i=1
i=1
Teorema 3.2 P (BC) > 0 ⇒ P (A|BC) =
P (AB|C) P (B|C)
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
3
Bukti: P (ABC) P (BC) P (AB|C) P (C) = P (B|C) P (C) P (AB|C) = P (B|C)
P (A|BC) =
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku: P (AB) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A) sehingga, jika P (B) > 0 kita mempunyai P (A|B) =
P (B|A) P (A) P (B)
dan, dengan cara yang sama, jika P (A) > 0 kita mempunyai P (B|A) =
P (A|B) P (B) P (A)
Teorema 3.3 ATURAN BAYES Misalkan {B1 , B2 , . . . , Bn } adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan A adalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian Bj diberikan A adalah P (A Bj ) P (A) P (A|Bj ) P (Bj ) = Pn i=1 P (A|Bi ) P (Bi )
P (Bj |A) =
KEBEBASAN STOKASTIK Definisi 3.3 Kejadian A dan B dikatakan saling bebas secara stokastik (stochastically independent) atau bebas secara statistik (statistically independent) atau bebas (independent) jika P (AB) = P (A) P (B)
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
4
Teorema 3.4 Jika A dan B adalah kejadian-kejadian yang saling bebas maka A dan B c juga saling bebas. Bukti: Karena P (A) = P (A ∩ (B ∪ B c )) = P (AB) + P (AB c ), maka kita punyai P (AB c ) = P (A) − P (AB) = P (A) − P (A) P (B) = P (A) [1 − P (B)] = P (A) P (B c )
Definisi 3.4 Kejadian-kejadian A, B, C dikatakan bebas berpasangan (pairwise independent) jika P (AB) = P (A) P (B) P (AC) = P (A) P (C) P (BC) = P (B) P (C)
Definisi 3.5 Kejadian-kejadian A, B, C dikatakan bebas bersama (mutually independent) jika P (AB) = P (A) P (B) P (AC) = P (A) P (C) P (BC) = P (B) P (C) P (ABC) = P (A) P (B) P (C) Diskusi. Bagaimana kaitan antara bebas berpasangan dan bebas bersama?
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
5
Contoh. Pandang ruang sampel S = {(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a), (a, a, a), (b, b, b), (c, c, c)} dimana peluang kejadian elementer adalah sama yaitu 91 . Misalkan A1 , A2 , A3 kejadiankejadian sbb: A1 = {(a, b, c), (a, c, b), (a, a, a)} A2 = {(b, a, c), (c, a, b), (a, a, a)} A1 = {(b, c, a), (c, b, a), (a, a, a)} dengan P (A1 ) = P (A2 ) = P (A3 ) = 31 . Pertanyaan: P (A1 A2 ), P (A1 A3 ), P (A2 A3 ) ? bebas berpasangan? P (A1 A2 ) A3 ? bebas bersama?
KEBEBASAN BERSYARAT Definisi 3.6 Misalkan A, B, C adalah kejadian-kejadian. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas secara bersyarat (conditionally independent) diberikan C jika P (AB|C) = P (A|C) P (B|C)
Teorema 3.5 Kejadian A dan B dikatakan saling bebas secara bersyarat diberikan C jika dan hanya jika P (A|BC) = P (A|C)
Bukti: Dari teorema sebelumnya kita punyai P (AB|C) = P (A|BC) P (B|C)
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
6
sedangkan dari definisi kebebasan bersyarat kita punyai P (AB|C) = P (A|C) P (B|C) Jadi, P (A|BC) P (B|C) = P (A|C) P (B|C) P (A|BC) = P (A|C)
Contoh. 1. Perusahaan tempat K bekerja akan mengadakan acara makan malam untuk para karyawannya yang memiliki sedikitnya 1 anak laki-laki. Jika K diketahui memiliki 2 anak, berapa peluang kedua anaknya laki-laki, diberikan bahwa K diundang ke acara makan malam tersebut? Tentukan ruang sampelnya. 2. D kebingungan apakah akan mengambil mata kuliah TP atau ML. D menduga bahwa peluang mendapatkan nilai A untuk mata kuliah TP adalah 0.5 sedangkan untuk mata kuliah ML adalah 2/3. Jika D akhirnya memutuskan mengambil mata kuliah berdasarkan lantunan sebuah mata uang logam, tentukan peluang bahwa D mendapat A untuk mata kuliah ML?
