MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
1
Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: ”Harapan Tanpa Syarat” Ilustrasi 9.1 Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat. Misalkan banyaknya buruh yang terluka/cedera setiap kecelakaan adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean dua. Asumsikan bahwa banyaknya buruh yang terluka di setiap kecelakaan saling bebas dengan banyaknya kecelakaan yang terjadi. Berapa banyak orang terluka rata-rata per minggu? Ilustrasi 9.2 Seorang petambang terjebak dalam suatu areal pertambangan yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan agar selamat dalam waktu dua jam. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke areal pertambangan dalam tempo masing-masing tiga dan lima jam. Asumsikan bahwa sang petambang selalu memilih pintu dengan acak, berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? Ilustrasi 9.3 Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam tempo masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? FUNGSI PELUANG BERSYARAT Definition 9.1 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Jika pX (x) > 0 maka fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x (notasi: pY |X (y|x)), adalah pY |X (y|x) =
pX,Y (x, y) , ∀y ∈ R pX (x)
Jika pX (x) = 0, kita definiskan pY |X (y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang!
Proposisi 9.1 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubah acak ini dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika pX,Y (x, y) = pX (x) pY (y) ∀x, y ∈ R
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
2
Contoh/Latihan. 1. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, tentukan peluang bersyarat dari parameter kecelakaannya. Tentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya. Solusi: Misalkan N menyatakan banyak kecelakaan per tahun yang berdistribusi Poisson dengan mean λ, dimana Λ berdistribusi Gamma dengan parameter s dan α (Catatan: Λ adalah huruf besar dari λ). P (Λ = λ, N = n) P (N = n) 1 = P (N = n|Λ = λ) fΛ (λ) P (N = n) e−λ λn sα α−1 −α λ 1 λ e = P (N = n) n! Γ(α)
fΛ|N (λ|n) =
= C xn+α−1 e−(s+1)x , dengan C konstanta. Fungsi peluang fΛ|N haruslah berdistribusi Gamma dengan parameter s + 1 dan n + α. Jadi, fΛ|N (λ|n) =
(s + 1)n+α n+α−1 −(s+1)x x e Γ(n + α)
Banyak kecelakaan yang diharapkan (expected number of accidents), E(Λ|N = n), adalah nilai harapapan (expected value) dari distribusi Gamma dengan parameter s + 1 dan n + α yaitu (n + α)/(s + 1). 2. Banyaknya orang Z yang datang ke ruang UGD selama sejam memiliki distribusi Poisson dengan parameter λ. Peluang orang yang datang adalah laki-laki adalah p dan peluang perempuan datang adalah q. Misalkan X dan Y berturut-turut adalah banyaknya laki-laki dan perempuan yang datang ke UGD selama sejam. a. Tunjukan bahwa X ∼ P OI(pλ) dan Y ∼ P OI(qλ) b. Apakah X dan Y saling bebas? Solusi: Peubah acak Z berdistribusi Poisson: fZ (z) =
e−λ λz , z = 0, 1, 2, . . . z!
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
3
Untuk Z = z, maka kedatangan pasien laki-laki adalah peubah acak Binomial dengan parameter (z, p): fX|Z (x|z) = Cxz px (1 − p)z−x , x = 0, 1, . . . , z dan untuk pasien perempuan: fY |Z (y|z) = Cyz q x (1 − q)z−y , y = 0, 1, . . . , z Sehingga fungsi peluang bersama X dan Y diberikan Z = z: z fX,Y |Z (x, y|z) = Cx,y px q y , x + y = z
Untuk mendapatkan fungsi peluang marginal dari X, kita hitung X X fX (x) = fX,Z (x, z) = fX|Z (x|z) fZ (z) z
z
e−pλ (pλ)x = ··· = x! Jadi, X ∼ P OI(pλ). Dengan cara sama, kita peroleh Y ∼ P OI(qλ). Selanjutnya, untuk menentukan apakah X dan Y saling bebas kita tunjukkan bahwa X X fX,Y (x, y) = fX,Y,Z (x, y, z) = fX,Y |Z (x, y|z) fZ (z) = fX (x) fY (y) z
z
3. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y . Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama fX,Y (x, y) =
2 y −(2x−1)/(x−1) , x > 1, y > 1 x2 (x − 1)
a. Tentukan fX (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3. Solusi: Z
∞
a. fX (x) = 1
2 y −(2x−1)/(x−1) dy x2 (x − 1)
= ··· 3
fX,Y (x, y) b. P (1 < Y < 3|X = 2) = dy fX (x) X=2 1 = · · · = 8/9 Z
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
4
DISTRIBUSI FUNGSI P.A., DISTRIBUSI X1 + X2 Misalkan X berdistribusi Uniform pada selang (0, 1). Misalkan Y = X n . Maka FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X n ≤ y) = P (X ≤ y 1/n ) = FX (y 1/n ) = y 1/n dan fungsi peluang dari Y adalah fY (y) = (1/n) y 1/n−1 , 0 ≤ y ≤ 1 Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang fX . Misalkan Y = X 2 , FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X 2 ≤ y) √ √ = P (− y ≤ X ≤ y) √ √ = FX ( y) − FX (− y) dan fungsi peluangnya adalah fY (y) =
1 √ √ √ fX ( y) − fX (− y) 2 y
Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak positif saling bebas. Misalkan (i) Z = X/Y (ii) Z = XY , maka FZ (z) = P (Z ≤ z) = P (X/Y ≤ z) = P (X ≤ zY ) Z ∞ Z zy = fX (x) fY (y) dx dy 0 0 Z ∞ Z zy = fY (y) fX (x) dx dy 0 0 Z ∞ = fY (y) FX (zy) dy 0
dan fungsi peluangnya: Z fX/Y (z) = · · · =
∞
y fY (y) fX (zy) dy 0
Misalkan X dan Y saling bebas dan kita ingin menentukan fungsi distribusi dan fungsi
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
5
peluang X + Y , FZ (z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) = P (X ≤ zY ) Z ∞ Z z−y fX (x) fY (y) dx dy = −∞ ∞
Z
−∞ z−y
Z
=
fX (x) dx fY (y) dy Z−∞ ∞
−∞
FX (z − y) fY (y) dy,
= −∞
dimana fungsi distribusi FX+Y ini disebut “konvolusi” dari distribusi FX dan FY . Fungsi peluangnya adalah Z ∞ d fX+Y (z) = FX (z − y) fY (y) dy dz −∞ Z ∞ d FX (z − y) fY (y) dy = −∞ dz Z ∞ = fX (z − y) fY (y) dy −∞
Tentukan distribusi dari X + Y jika X dan Y peubah acak-peubah acak saling bebas berdistribusi (i) Uniform(0, 1) (ii) Poisson dengan parameter λi .
EKSPEKTASI BERSYARAT Definisi 9.2 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, Z ∞ Z ∞ fX,Y (x, y) E(Y |X = x) = y dy = y fY |X (y|x) dy fX (x) −∞ −∞
Proposisi 9.2 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka Z ∞ E(Y ) = E(Y |X = x) fX (x) dx −∞
atau E(Y ) = E(E(Y |X = x))
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
6
Definisi 9.3 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, 2 V ar(Y |X = x) = E Y − E(Y |X = x) X = x
Proposisi 9.3 Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka V ar(Y ) = E(V ar(Y |X = x)) + V ar(E(Y |X)) Bukti. ... Latihan. 1. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi eluang bersama f (x, y) = e−x(y+1) , 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e − 1 a. Tentukan fY (y) b. Hitung P (X > 1|Y = 21 ) c. Hitung E(X|Y = 12 ) Solusi: 1 P (X > 1|Y = ) = 2
Z
∞
Z1 ∞
= 1
e−x(y+1) dx 1/(y + 1) 3 −3 x e 2 dx 2
= e−3/2 2. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Seragam pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? Solusi: Y ∼ U (0, 60), X|Y = y ∼ U (20, 20 + (2y)/3). Z 60 E(X) = E(X|Y = y) fY (y) dy = 30 0
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
7
3. E(X1 + X2 |X1 ) 4. Jika X dan Y peubah acak-peubah acak Poisson saling bebas dengan parameter λx dan λy , tentukan E(X|X + Y = n). Bagaimana jika X dan Y berdistribusi Geometrik identik dengan parameter p? KOVARIANSI dan KORELASI Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka fX,Y (x, y) = fX (x) gY (y), Akibatnya, E(XY ) = E(X) E(Y ) Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h, E g(X)h(Y ) = E g(X) E h(Y ) Definisi 9.4 Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X, Y ), adalah Cov(X, Y ) = E X − E(X) Y − E(Y ) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi • Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) • Cov(X, X) = V ar(X) • Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) P P Pm Pm n n • Cov X , Y i i=1 j=1 Cov(Xi , Yj ) j=1 j = i=1 Bukti.
Perhatikan bahwa: V ar
n X
! Xi
n n X X = Cov Xi , Xj
i=1
i=1
=
n X
n X
j=1
Cov(Xi , Xj )
i=1 j=1
=
n X i=1
V ar(Xi ) +
XX i6=j
Cov(Xi , Xj )
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 9
8
Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X, Y ), didefinisikan sebagai Cov(X, Y ρ(X, Y ) = p , V ar(X) V ar(Y ) asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilai ρ(X, Y ) yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(X, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan. 1. Tunjukkan bahwa Cov(X, E(Y |X)) = Cov(X, Y ) 2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) sdh P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2 . Didefinisikan Y = X, jika I = 1 Y = −X, jika I = 0 Tunjukkan bahwa Cov(X, Y ) = 0
