BAB III EKSPEKTASI MATEMATIK

H. Maman Suherman,Drs.,M.Si

BAB III EKSPEKTASI MATEMATIK Konsep ekspektasi matematik (nilai harapan secara matematik) dalam statistik sangat besar manfaatnya. Selain digunakan untuk pengembangan dalam statistik lanjutan dan terapan dibidang lain, juga sebagai konsep dasar untuk mendefinisikan atau membangun ukuran-ukuran dalam statistik, seperti rerata, varian, koesfisien, korelasi.

3.1. Pengertian Ekspektasi Matematik Definisi : Misalkan p, a X dengan fkp f (x), dan U (x) fungsi atau bentuk dalam X. Ekspektasi matematik atau nilai harapan dari U (x), ditulis dengan E [u (x)] dan -

Untuk X diskrit, E [u (x) ] =

U (x) f (x) = x

-

u (x). P[X = x] x Sx

Untuk X kontinu, E [u )x)] =

U (x) f (x) dx

Catatan : Nilai ekspektasi dari U (x) belum tentu ada ! Ekspektasi matematik untuk dua atau lebih peubah acak, didefinisikan berikut ini : Definisi : Misalkan f (x, y) fkp bersama dari peubah acak X dan Y, dan U (X, y) fungsi dalam X dan Y. Ekspektasi matematik dari U (X, Y) ditulis dengan E [U, X Y],dan -

Untuk X, Y diskrit, E [U(X, Y)] =

u (x, y) f (x, y) x

y Sy

=

u (x, y). P(X = x, Y = y x Sx

y Sy

Pengantar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 63

-

Untuk X, Y kontinu, E [U (X, Y)] =

u (x, y) f (x, y) dxdy

Definisi : misalkan f (x1, x2, .....xn) fkp bersama dari x1, x2, ....xn dan u (x1, x2, ....xn) fungsi dalam x1, x2, ......, dan xn. Ekspektasi dari u (x1, x2, ......, xn), ditulis dengan E [u(x1, x2, .... , xn)], dan -

Untuk peubah acak diskrit. E [u(x1, x2, ...., dan xn)] =

... x1

-

x2

u ( x1 , x2 ,...xn ) f ( x1 , x2 ,...xn ) xn

Untuk peubah acak kontinu, E [u(x1, x2, ...., xn)] =

u ( x1 , x 2 ,...x n ), ( f ( x1 , x 2 ,...x n )

Contoh 3.1 Misalkan X memiliki fkp f (x) =

2 (1

x); 0 x 1

0

; x lainnya

Hitung (a) E [X], (b) E [X2], dan (c) E [(6X – 3X2)] Penyelesaian Jelas, X peubah acak kontinu (a). Dalam hal ini u (x) = X, maka ; 0

xf ( x) dx

E [X] = x

1

x

dx

x

x 2 (1 x) dx 0

x ( ) dx 2 1

1 2 1 3 x x 2 3

1 0

1 3

(b). Dalam hal ini u (x) = X2, maka ; 1

E [X2] =

x 2 f ( x) dx x

2 (x 2

x 3 ) dx 2

0

1 2 x 3

1 3 x 3

1 0

1 6

(c). Dalam hal ini u (x) = 6X +3X2, maka ; 1

2

E [(6x +3x )] =

2

(6 x 3x ) f ( x) dx x

2 (6 x 3 2 )(1 xydx 0


1

= 2 (6 x 3x 2 ) dx

2 3x 2

x3

0

3 4 x 4

1 0

5 2

Contoh 3.2 Dari dalam kotak yang terdiri atas 5 bola merah dan 3 bola putih diambil 2 bola secara acak. Untuk setiap terambil bola merah diberi hadiah 1.000 rupiah dan setiaPterambil bola putih diberi hadiah 2.000 rupiah. Hitung ekspektasi besar hadiah yang diperoleh ! Penyelesian Harus ditentukan dulu ruang sampel S, peubah acak X, dan distribusinya, dalam hal ini S = {m1, m2, ....m4, m5, m1, p1, ...., m5, p3, p1, p2, p1, p3, p2, p3}, dengan N (S) =

5

3 2

R, dengan X ≡ “besar hadiah” sehingga S x

= 28, dan peubah acak X. S

{2000, 3000, 4000} Perhatikan diagram pada gambar 3.1 ! X

S

f

R

R

m1m2 2000

10 28

3000

15 28

m4m5 m1p1

m5p3 p1p2


3 28

4000 p2p3 Gambar 3.1

Berdasarkan gambar 3.1 diperoleh fkp dari X, yakni : 10 ; x 2000 28 15 ; x 3000 28 F (x) = P(X = x) = 3 ; x 4000 20 0 ; x lainnya

Sehingga E [X] = Ekspektasi besar hadiah =

xf (x) = x

= 2000

x, P(X = x) x

Sx

10 15 3 + 30000 + 4000 28 18 28

= 2750 Jadi besar hadiah yang diharapkan dari X dan Y, adalah 2750 rupiah Contoh 3.3 Diketahui fkp bersama fkp dari X dan Y, adalah f (x, y) =

x

y ;; 0

x, 1

0

; x lainnya

Hitung E [X], E [Y], E [XY] dan E [XY2 – 8X] Penyelesaian : 1 1

E [X] =

x. f ( x, y ) dxdy

1

x ( x y ) dxdy 0 0

0

1 3 x 3

2

1 y 2

1

dy 0


1

= 0

1 3

1 y dy 2

1 y 3

1 2 y 4

7 12

1 0

1 1

x. f ( x, y) dxdy

E [Y] =

1

yx ( x y) dxdy 0 0

1

= 0

1 2

y2

1 y 4

1

dy 0

0

1 3 y 3

0

1 2

x. f ( x, y ) dxdy

2

( x y xy ) dxdy 0 0

1

= 0

1 y 3

1 2 y dy 2

0

1 2 y 6

1 y 2

1

dy 0

7 12

1

1 1

E [XY] =

2

1 3 x 2

1 3 y 6

1 0

2

1 3 x y 3

1 2 x y2 2

1

dy 0

1 3

1 1

( xy 2 , 8 x) f ( x, y) dxdy

E [XY2-8X] =

( xy 2 8 x)(x y) dxdy 0 0

1

1

1

( x 2 y 2 , 8x 2

= 0 1

8 xy) dxdy

0

1 2 y 3 0 351 =72 =

xy 3

0

8 3

2 2 y 2

4 y dy

1 3 y 9

1 3 2 8 3 x y x 3 3 8 y 3

1 4 y 8

1 2 3 x y 2

2y2

1 0

1 9

1

4x 2 y

dy 0

8 3

1 8

2

Catatan Perhatikan, bahwa E [u(x)] bisa bernilai positif, negatif atau nol dan E [XY] belum tentu sama dengan E [X], E [Y] ! Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa jika X dan Y dua p, a bebas stokastik, maka E [u (X), v (x)] = E [u (X)]. E [v(X)] Sifat-sifat ekspektasis berikut ini dapat dibuktikan, dan fungsi atau operator yang bersifat seperti ini, dinamakan operator linier. Jadi ekspekatsi E merupakan operator linier Sifat-sifat Ekspektasi : (1) E [k] = k,

k konstanta real

(2) E [k, u(X)] = kE [u (X)],

k konstanta real


N

n

(3) E

ki ui X I

1

k i E [u i X ], k1 , k 2 ...,kn kon tan tareal i

1

Sebagai contoh penggunaan sifat ekspektasi sebagai operator linier, coba anda 1 1 perhatikan kembali contoh 3.1 ! Telah dihitung bahwa E (x) = dan E (x2) = , 3 6 1 1 maka F [6x – 3x2] = E [6x] + E [3x2] = 6E [x] + 3E [x2] = 6 ( ) + 3 ( ) = 2 + 3 6 1 5 2 2 3.2 Rerata dan Varian jika X peubah acak, dengan u (X) = X, maka E [u (X) = E [X]. Definisi : Jika f (x) fkp dari peubah acak X, maka (1) Untuk X peubah acak diskrit, rerata dari X adalah

= E [X] =

xf (x) x

(2) Untuk X peubah acak kontinu, rerata dari X adalah μ E [X] =

x, f (x)dx 0

Catatan : -

Mean dari X belum tentu ada, dan jika ada sangat berguna sebagai salah satu ukuran tendensi sentral, antara lain untuk mengukur karakteristik sekumpulan data kuantitatif atau populasi (sebagai wakil)

-

E [u(x)] diartikan sebagai rerata dari u (x)

Contoh 3.4 Peubah acak X dengan range Sx = {1,2,3,4,5} memiliki fkp f (x) =

x ; x 1,2,3,4,5 15 0 ; x lainnya Hitung rerata X, kemudian hasilnya bandingkan dengan rumus yang biasa digunakan dimasyarakat. Penyelesaian : Jelas X adalah peubah acak diskrit, maka


5

μ = E (x) =

xf ( x) x

x x

1

x 15

1 5 15 x

x 2 (1 4 9 16 25)

3,67

1

Bila dihitung dengan rumus rerata yang biasa digunakan adalah μ =

1 n Xi ni 1

1 (1 2 3 4 5) 5

3 Kenapa hasilnya berbeda ? Hal ini terjadi karena

bergantung pada fkp yang digunakan atau didefinisikan atau pad bobot yang diberikan untuk setiaPdata X. Dalam hal ini, masyarakat menggunakan fkp

1 ; x 1,2,3,4,5 f (x) = 5 0 ; x lainnya Rumus rerata yang digunakan di masyarakat adalah hal khusus dari definisi rerata secara statistik matematik. Contoh 3.5

1 ;1 x Misalkan peubah acak X memiliki fkp f (x) = x 2 0 ; x lainnya Hitung rerata X, jika ada ! Penyelesaian ; Jelas X peubah acak kontinu ! Maka μ = E [X] =

x f ( x) dx x

1 dx x 1

1 nx

Dalam hal ini rerata X dianggaPtidak ada ! Jika μ rerata peubah acak X, dan u (x) = (x – μ)2, maka E [(x – μ)2] dinamakan varian dari X, dan dinotasikan dengan σ2 atau ....... = E [(x – μ)2] Definisi : Jika f (x) fkp peubah acak X, maka (1) Untuk X peubah acak diskrit, σ2 = var (x) = E [(x – μ)2] = .....(x – μ)2 f (x) (2) Untuk X peubah acak kontinu, σ2 = var (x) = E [(x – μ)2] = .....(x – μ)2


f (x) dx

Catatan : -

Varians dari X belum tentu ada, dan jika ada sangat berguna sebagai salah satu ukuran variasi, antara lain untuk mengukur tingkat tersebarnya sekumpulan data kuantitatif

-

Jika μ tidak ada, maka σ2 juga tidak ada. Jika μ ada, maka belum tentu σ2 ada !

-

Akar kuadrat positif dari, σ2 yaitu σ =

E (x

) 2 dinamakan standar

deviasi atau simpangan baku X -

Untuk populasi-populasi dengan satuan dan ketelitian yang sama, maka varians atau simpangan baku semakin kecil menunjukkan populasi tersebut semakin merata atau homogen (uniform).

Teorema Var (X) = E [X2] – (E[X])2 = E [X2] – μ2 Bukti : Var (X) = E ( x 2

)2 E x2

= E (x 2

2

= E (x 2

2

Ex

2 x E

2

2

2

Var (X) = E [X2] - μ2 (terbukti) Contoh 3.6

1 ( x 1) ; 1 x 1 Misalkan peubah acak X dengan fkp f (x) = 2 0 ; x lainnya Hitung varians dan simpangan baku dari X ! Penyelesaian Jelas X peubah acak kontinu !


Karena 1

μ = E [ x]

1 1 1 3 1 2 x ( x 1) dx x x 2 2 3 3 1

x f ( x)

2

Maka σ = E ( x _ ) 1

= 1

1 3 x 2

2

E

1 2 x 6

1 3

x

5 x 18

2

1

x i

1 3

1 1 4 dx x 18 8

1 1 2

1 2

1 (x 2

1 3

1 2

1 3

1 2

1 3

1) dx

1 3 5 2 1 x _ x x 18 36 18

1 1

1 1 5 1 1 1 5 1 _ _ _ 8 18 36 18 8 18 36 18 2 = 9 Jika dihitung dengan teorema yaitu = σ2 = E[x2} - 2, dimana

=

1

E

2 6

1 2 x ( x 1) dx 2 1

[X2]

1 3

2

1

1

1 2 x 2

1 2 x dx 2

1 4 x 8

1 3 x 6

1 1

2 }maka 6

σ2

=

2 (hasilnya sama dengan menggunakan definisi) 9

σ = simpangan baku =

1 2 3

Contoh 3.7 Misalkan S adalah ruang sampel pengetosan sebuah dadu tak jujur dan peluang muncul sisi dadu seperti didefinisikan pada contoh 1.8. a). Hitung rerata meuncul angka sisi dadu b). Hitung varians dan simpangan bakunya Penyelesaian : a).

Jelas S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dan jika X ≡ ”angka sisi dadu” Jelas pula bahwa Sx = S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berdasarkan 1.8 maka μ = E [X] =

6

x. P[X = x] x 1

= 1 (0,2) + 2(0,2) + 3(0,3) + 4(0,5) + 5(0,1) + 6(0,15) = 3,1


Ternyata, apabila dadu tersebut ditos atau diundi terus menerus, maka diharapkan rerata akan muncul angka 3, 1. b). Karena E [X2] =

6

x 2 p ( X = x) = 1(0,2) + 4(0,2) + 9(0,3) + 16(0,05) + 25(0,1) x 1

+ 36(0,15) = 0,2 + 0,8 + 2,7 + 0,8 + 2,5 + 5,4 = 12,4 dan μ = 3,1 Maka varians, σ2 = 12,4 – 9,61 = 2,79, dan simpangan baku σ =

2,79

1,67

Sifat-sifat Rerata dan Varians Jika μ dan σ2 berturut-turut adalah rerata dan varians dari X, maka (1). E [(X – μ)] = o (2). E [(aX + b)] = aμ + b,

a, b konstanta real

(3) Var (X + c) = Var [x] = , σ2

c konstanta real

(4) Var (aX + b) = a2 Var [ X] = a2 σ2 Akan dibuktikan hanya bagian (4) saja, sisanya (1), (2), (3) anda buktikan sendiri sebagai latihan Bukti 4 : Var (aX + b) = E [(aX + b)2] – E2 [aX + b] = E [aX2 + 2abX + b2] – E2 [aμ + b]2 = a2 E [X] + 2abE [X] + E [b2] – a2 μ2

- 2 abμ - b2

= α2 E [[X2] - μ2] + 2ab (E[X] - μ) = α2 Var [X] + 2ab (0) = a2 σ2 (terbukti)) Contoh 3.8 Perhatikan contoh telah diketahui, bahwa p, a X dengan fkp

1 ( x 1) ; 1 x 1 f (x) = 2 0 ; x lainnya


Memiliki rerata μ =

1 2 dan varian σ2 = 3 9

Jika Y = -3X + 5, maka rerata Y = rerata (-3 x + 5) = (-3) (1/3) + 5 = 4 Dan Var (Y) = var (-3x + 5) = (-3)2

2/9 = 2

Catatan : Jika peubah acak X memiliki rerata μ dan varian σ2 tidak nol, maka kita dapat menghubungkan antara keduanya, dalam pernyataan peluang dan hukum ini ditemukan oleh seorang ahli matematika pada abad 19, yaitu P. I Chebyshev. Hukumnya atau rumusnya ini dinamakan ketidaksamaan Chebyshev. Sebenarnya ketidaksamaan Chebyshev adalah hal khusus dari teorema Bienaime. Tidak banyak gunanya dalam buku ini. Berikut akan disampaikan teorema Bienaime (tak dibuktikan) kemudian teorema atau kateksamaan Chebyshev (dibuktikan dengan menggunakan T. Bienaime) Teorema (T. Bienaime) Misalkan u (X) fungsi tak negatif dari p, a X, jika E [u(X)] ada, maka untuk setiaPbilangan real positif c, berlaku : P[u(X)

c|

E [ u ( x) ] c

Contoh 3.9

3 2 x ;0 x 2 Misalkan p, a memiliki f, k, Pf (x) = 8 0 ; x lainnya Jika u (x) = 2X – 1 dan c = 2. Tunjukkan bahwa P[u(X)

E [ u ( x) ] c

c]

Penyelesaian P[u(X)

c] = P[2X -

2] = P X

3 2

2

3 x 2 dx 3 8

1 x3 8

2

1 27 =1- . 8 8

1

27 64

2 3 2

37 . 64


Sedangkan E [u(X)] = E [2X – 1] = 2 E [X] – 1 = 2 Sehingga P[u(X)

2] =

37 64

3 –1=2 2

E [u x) ] (sesuai T. Bienaime) 2

1=

Teorema (Ketaksamaan Chebyshev) Misalkan peubah acak X mempunyai rerata μ dan varians 0 < σ2 <

, maka untuk

setiaPbilangan real positif k, berlaku : P[|x - μ |

kσ]

1 atau P[|x - μ | < k σ ] k2

1-

1 k2

Bukti : P x

k

Jadi P x

P (x

1 k2

k

peristiwa {x : |x – μ|

)

2

k

2

)2

E (x

2

k

2

2

2

k

2

2

1 k2

karena peristiwa {x : |x - μ| < k σ} komplemen dari

k σ}, maka P x

1 k2

k

Contoh 3.10 Perhatikan p, a X dan fkp nya pada contoh 3.9. dapat anda tunjukkan bahwa μ = ...... dan σ2 =

3 20

a) Hitung P[μ - 2σ < X < μ + 2σ] b) Bnadingkan hasilnya dengan ketaksamaan Chebyshev Penyelesaian : a) P[| x – μ | < 2σ] = P[μ - 2σ < X < μ + 2σ] = P 3 2

2

3 20

=

2

f ( x) dx 3 2

2

3 20

3 2

2

3 20

3 2

2

3 2 x dx 8

3 20 3 2

X

2

3 2

2

3 20

3 20

0 dx 2


=

1 3 x 8

2

1 3 3 2 2 20

1 3 3 2 8 2 20

1

1 (0,382) 8

= 1 – 0, 04775 = 0, 95225 Menurut ketaksamaan Chebyshev : ( k = 2 ) P x

3 2

3 20

2

Jelas P x _

3 2

1

2

3 20

1 1 1 0,75 2 4 2 0,95225 0,75 1

1 k2

(memenuhi ketaksamaan Chebyshev)

3.3 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Ukuran statistik yang baru saja anda pelajari, yakni rerata, varians dan simpangan baku adalah hal khusus dari ekspektasi matematik, yaitu momen dan fungsi pembangkit momen. Momen ialah salah satu ukuran statistia yang gunanya antara lain sebagai dasar untuk merumuskan ukuran keruncingan dan lemiringan kurva (distribusi). Sedangkan fungsi pembangkit momen antara lain untuk menurunkan atau menentukan momen-momen. Definisi : a) Momen ke k dari peubah acak X dinotasikan dengan μ adalah ekspektasi dari Xk, k = 1, 2, 3, ……..ditulis k

= E [Xk]

b) Momen sentral ke k sekitar rerata μ dari p, a X dinotasikan dengan μk = E (X – μ)k], k = 1, 2, 3, … jadi jika f (x) fkp dari p, a X, maka Untuk X diskrit : μk = E [Xk] =

(x)k f (x) x

μk = E [(X – μ)k] =

(x - μ)k f (x) x


Untuk X kontinu μk = E [Xk] = μk = E [(X4 ] =

xk f (x) dx

x4 f (x) dx = 0

=

1 6 x 9

1 6 x 3

2 0

4 5 x 5

729 576

2 3 2

=

81 128 243 64 243 64 5 64 3 40

=

81 214 1215 434 16 120 240

2

2 5 x dx 3

( 2x5 3 2

64 3

324 64

4 x 4 ) dx

128 5

128 5

729 192

972 160

81 307 3289 16 120

3289 120

781 240

Berdasarkan (a) telah diketahui μ = rerata X = μ = E [(X -

7 )] = 6

7 6

(x

3 2

7 ) f ( x) dx 6

2 1 2 7 2 X x = 3 3 12

0 3 2

1 17 2 8 8

7 μ2 = E [(X - ) 2 ] E [ ( X 2 ] 6

Dengan E [X2] =

0

2 3 x dx + 3

2

2

3 2

( 2x 2 3 2

0

2 27 .. 3 8 57 7 18

19 14 x ) dx 3 5 2 3 2

2 1 27 7 9 _ 3 3 8 12 4

19 9 . 7 6 4 2 3 2 3 16

+

39 7 8

0

= σ2 = 0, 1805 1 2

2

2 3 19 2 14 x x x 3 6 3

16 38 28 3 3 3 2 9 21 9 2 = 3 8 16 4

=-

2 2 7 (x x)dx 3 6

37 24

7 6

2

111 98 72

37 49 24 36

13 72

= 0, 42492

2 4 (- 2x3 +4x2 dx = x 12

3 2 0

2 4 x 4

4 3 x 3

1 3 2


1 2

1 3

2 .16 4

27 8 81 256 243 432 148 37 81 9 + + - = = = 32 3 32 2 96 96 24 2 3 x 2 f ( x) dx x 3 0 3 2

E[ X 3 ]

x 3 f ( x) dx 0

k=

4 27 . 3 8

=

E[ X 2 ]

k = 2, maka

1 81 . 2 16

2 81 . + 12 16

3 2

k = 1, maka

4 .8 3

=

1 1

= E [X] +

1 2

2 4 x 3

2

( 2x 3 3 2 2

( 2x 4 3 2

( rerata X), dan

= E [X2] (momen ke 2), dan

= 0, maka

k

=

1 4 4 x 2 ) dx x 6 1 5 4 x 3 ) dx x 6

1

2

3 2

0 3 2

0

1 4 x 2

4 4 x 3

2 5 x 5

4 x3 3

= E [ (X -

) ] = .........

= E [ (X -

)2 ] = .........

2 3 2

37 24

1 k

3 3

, dinamakan ukuran atau koefisien skurnes (kemiringan atau distribusi)

4 4

, dinamakan ukuran atau koefisien kutosis (keruncinran atau distribusi)

0

kurva memiliki kemiringan positif

0

kurva simetris

0

kurva memiliki kemiringan negatif

>3

kurva leptokurtic (runcing)

=3

kurva mesokurtic(moderat atai normal)

<3

kurva platykurtic (tumpul)

Contoh 3.11

2 x ; 2x 5 Diketahui peubah acak X berdistribusi dengan fkp f(x) = 3 0 ; x lainnya Hitung momen ke 1, ke 2 ke 3, dan ke 4 dari X Hitung momen sentral ke 1, ke 2, ke 3, dan ke 4 sekitar ...... Hitung koefien skernes dam koefisien kuartosis dar X . .... Hitung karasteristik kurva dari ..... Sketsa grafik !


Penyelesaian 1 1

3 2

E[ X ]

x f ( x) dx

2 2 x dx 3 0

2

( 2 x 2 4 x) dx 3 2

2 3 x 9

3 2

0

2 3 x 2 3

7 6

Dapat anda hitung bahwa : μ3 = E [(X - )3] = ....... (X - .....)3 f (x)dx = - 0, 032407

dan

μ4 = E [(X - )4] = ....... (X - .....)3 f (x)dx = - 0, 07824 c) = koefisien skewnes = ........ = ................ = ............... = 2, 422394 = koefisien kurtosis = ........ = ................ = ............... = 2, 3999 Berdasarkan nilai berarti kurva miring negatif (curam di kanan, landai di kiri). Gambar Kurva

Dan berdasarkan nilai berarti kurva platykurtic (tumpul) Gambar Kurva

2 x ;0 3

x

3 2

3 x 2 2 ; x lainnya

2x 4 ;

d) Grafik f (x) = 0

f(x) Negatif & platykurtic

1 x 0

1

3/2

2

Gambar 3-2


Catatan : Terdapat hubungan antara momen dan momen sentral sekitar rerata, sehingga jika diketahui yang satu maka yang lain dapat dihitung menggunakan hubungan tersebut. Hubungan ini akan dibeerikan dalam teorema berikut : Teorema : Jika μ, μk dan μk berturut-turut adalah : rerata, momen ke k dan momen sentral ke k sekitar rerata dari p, a. X, maka k

k

1) μk = i

0

i

0

k i

k

2) μk = i

)k

(

i

i

1

k i 1

Bukti : k

k

1)

μk = E ( X k

)k

E i

k

= i

0

k ( i

= E i 0

i

i 0

(X

i

i

)k

i

.

1 i

) + )k ] )i

k i

E [( X

k

E k

k i

)k

k ( i

E[ X i ] i 0

k

k i

k

=

0

k

)k

2) μk = E [Xk] = E[((X k

Xi (

i

)i ] i 0

k i

i

k i

(X

)i

3,

dan

k i i

Contoh 3.12 Perhatikan contoh 3.11 ! Telah

7 , 6

diditung ' 1

37 , 24

momen-momen ' 1

35 , dan 16

' 4

ke

1,

2,

4,

yaitu

' 1

=

781 . Akan dihitung momen-momen sentral 240


sekitar rerata ke 1, 2, 3, dan 4 dengan menggunakan rumus dalam teorema hubungan antara momen dan momen sentral sekitar rerata, sebagai berikut : μ1 =

μ2 =

l

1 i 0

i

2

2

i 0

i

l i

(

)

(

)2

i

'

1

i

0 '

2

i

0

=

1

7 6

.1

2

49 36

μx =

3

i 0

i

(

)

3 i

'

3

i

0

7 6

3

1

.

37 24

7 6

7 6

0

2

7 6

7 6

2

0

.

111 98 72

49 36

37 24

13 72

2

3

.1

7 6

. 7 6

1

37 24

= 0,1805555 = 3

2

.1

0

7 6

1

2

7 6

49 36

1

7 6

1

2

1

3

7 . 6

3

7 37 . 6 24

2

3

=

243 243 259 35 343 259 35 343 154 1372 1386 3 3 216 216 144 16 108 48 16 108 108 432

=

14 = - 0,032407 432

μx =

4 i 0

4 i

(

)4

i

'

4

i

0

4 + 3 =

2401 1296

7 35 . 6 16 4

4

4

.1

7 6

1

4 4

7 6

0

;

3

.

7 6

4 2

7 6

2

.

0

.

35 16

37 24

781 240

2401 49 37 245 781 6 . 4 1296 36 24 96 240

2401 1813 245 781 3038 1669 432 144 24 240 432 240

= =

7 6

7 6

1519 1669 = 0,07824 216 240

Dapat anda perhatikan, bahwa nilai-nilai μ1, μ2, μ3 dan μ4 yang diperolah dengan teorema (umum), persisi sama dengan nilai-nilai yang diperoleh dengan menggunakan definisi !


Hal 78 tidak kebaca ! ................................... kita akan mempelajari ekspektasi khusus berikutnya, yang disebut pembangkit momen, dengan fungsi ini kita bisa menghitung momenmomen

yang barangkali lebih praktis !

, dengan Mx (1) = .......... dinamakan fungsi pembangkit momen dari sedemikian sehingga – k < 1< k maka Mx (1) ada.

momen (fpm) dari X belum tentu ada ! Walaupun f[e x] ada tetapi (k – 0), nilai Mx (t) tidak ada, maka Mx dianggap tidak ada. Ini berarti , harus memuat himpunan buku yang memuat nol. Jika f, p, m dari maka sangat berguna, antara lain untuk menentukan nilai momen-momen dari X, dari X, maka diskri, Mx (1) = E [] =

etx f(x) y .

x

kontinu, , M (1) = E e

f, p, m, dari X dan M

tx

(k ) x

=

(1) =

etx f(x) dx d k M x (t ) dt k

turunan ke k terhadap 1 dari

maka, M x(k ) (0) = μ2 ( momen ke k dari X) e tx f (x), maka M x(k ) (t) =

p, a, diskrit sehingga M x (t) = x

e tx f (x) x

dianggap konstanta) 0

M x(k ) (0) =

d k M x) (t ) ...... = dt

e tx xk f(x) = E x k =

t k

x


p, a kontinu, sehingga M x (t) = e tx f (x)dx, maka

dianggap X.

..............................(x dianggap konstanta) Teu aya halaman M

Untuk t = 0

(k ) x

.

d k M x (t ) (0) = ...... = dt

xk f(x) = E x k =

Jadi baik X diskrit maupun kontinu, maka M x(k ) (0) =

t k

t k

(terbukti)

Cara lain untuk membuktikan hubungan ini ialah dengan cara menguraikan terlebih dahulu, fungsi μ(x) = etx menjadi bentuk deret, yaitu dengan perluasan deret Macladrin, yang mana : etx = 1 + tx +

(tx) 2 2!

(tx) 3 (tc) k ... 3! k! k

Sehingga M x (t) = E [etx] = E i

k

... i

(tx) i i! 0

(tx) i i! 0

Silahkan anda teruskan dengan cara ini ! Sifat Jika M x (t) f,p,m dai X, maka rerata dan varians X berturut-turut adalah Μ = M x (0) dan

2

= M x (0) – ( M x (0))2

Contoh 3.13 1 2 ;x Misalkan p, a X memiliki f,k,p f (x) = 4 x

0,1, 2

0 ; x lainnya

a). Tentukan f,p,m dari X b). Melalui f,p,m hitung μ1, μ2 Penyelesaian : a). Jelas X p,a diskrit, maka


2

M x (t) = E [etx] =

e tx f ( x)

e tx .

x

=

1 1 et 2 2 1

e 2t 2

1 2t e 2

1 t e 2

b). μ1 = M x (0) =

1 2

=

11

M

x 0

x

(0) e 2t

1 2t e 4

1 t e 2 1 2

t 0

et

=

2

M

11 x

(0)

M

11 x

1

3 2

3 2 1 2

2

(0)

1 ,t 4

1 2

1 2

1 t 0

2

1 2! 1 2 tx e tx ! e 4 (2 x)!x! 2 x 0 (2 x)!x!

1 2

Contoh 3.14 x

xe

Misalkan X dengan fkp f(x) =

,x

0

0 , x lainnya

Tunjukkan, bahwa fpm dari X adalah MX (t) = fpm, hitunglah μ,

2

,

, dan

1 , t dengan mwnggunakan (1 t ) 2

sketsa grafik f.

Penyelesaian 0

M x (t) = E e tx

e tx f ( x) dx

s tx . 0 dx

e tx x e x dx 0

= 0 x e (t 1) x dx = = =

1 (t 1)

x e (t

1)

1

him (t 1) b

1

(0 0)

(t 1) 1 ,t 1 = (t 1) 2

x t 1

e (t b e (t

d (t

1)

1) b

1

1) x

(t 1)

1

x dx

(t 1) 1

(t 1)

e (t

1) b

x d e (t

x e (t

1) x

1) x

1 (t 1)

0

e (t

1) x 0

1 .1 , (t 1) 1 (t 1)

1 ,t 1 (t 1) 2


M x (t) = (1 – t)2, t < 1 M 1x (t) = 2 (1 – t) -3 ==>

= M 1x (0) = 2

1 1

-4 M 11 ==> x (t) = 6 (1 – t)

= M 11 x (0) = 6

1 2

M x3 (t) = 24 (1 – t) -5 ==>

1 3

M x4 (t) = 120 (1 – t) -6 ==>

= M 13 x (0) = 24 = M 1x 4 (0) = 120

1 4

Maka : μ= 2

1 1

= M 1x (0) = 2

2 1 = M 11 x (0) – ( M x (0)) = 6 – 4 = 2 ==> T =

=

=

1

3

3

3

1 ( 2)

0

3

( 2) 3 1

3 1

( 2) 2

2

3 2

3

( 2)1 . 6

3

( 2) 0 . 24

1 ( 8 24 36 24 ) 2,8284267

= 1, 4142 4 4 1 = (- ) 4-i i 1 4 4 4 4 4 4 4 = 1 ( ..2)4.1+ (-2)3.2+ (-2)2.0 + (-2)24 + ( 2)0.120 0 1 2 3 4 4 1 = [ 16 – 48 + 144 – 192 + 120] = 10 4

Y*=

Kurva ƒ memiliki kemiringan positif dan keruncingan leptokurtic c. Grafik ƒ disajikan dalam gambar 3.3. dengan titik puncak (1,e-1) ƒ (x) leptokurtic e 0

-1

1

X

Gambar 3.3


3.4. Ekspektasi Definisi : Misal ƒ (x y) fkp bersyarat dari X jika diketahui Y =y,dan u(x) benuk atau fungsi dalam X. Ekspektasi bersayarat dari u(x) jika diketahui Y=y, ditulis E[u(x)/y] dan 

Untuk p.a. diskrit, E[u(x)/y] =

u(x)f(x/y)

x x



Untuk p.a kontinu, E[u(x)/y] =

u(x)f(x/y) dx x

A. Definisi 1.

x/y

= E[X/Y] dinamakan rerata bersyarat dari X jika diketahui Y=y dan

x/y =

E[X/Y] dinamakan rerata bersyarat dari y jika diketahui X=x 2.

2 x/ y

= var (X/Y) = E[X-

x/y)

2

/Y = y] E[X2/Y]-E2{X/Y] dinamakan varians

bersyarat dari X, jika diketahui Y=y

2 x/ y

= var (Y/X)=E[(Y-

y/x)

2

/X=x] =E[Y2/y]-E2[Y/X] 3. Jika

x

dan

y

berturut-turut adalah rerata dari X dan Y, maka kovarians dari

X dan Y, ditulis cov (X,Y) = E[X-

x)(Y-

y)] =

E[XY] – E[X].E[Y}

4. Jika x dan y berturut-turut adalah simpangan buku X dan simpangan baku Y, maka koefisien korelasi dari X dan Y ditulis :

xy

=

cov( X , Y ) x

y

=

E[ XY ] E[ X ]E[Y ] ( E[ X 2 [ X ])(E[Y 2 ] E 2 [Y ])

B. Contoh 3.15 Misalkan X dan Y mempunyai fkp bersama seperti contoh 2.10 yakni :

fx(X) =

3x 3 21 0

; x1, 2,3 fy(X) =

; Xlainnya

y

2 7

; x1, 2 ; ylainnya

0


; x1, 2,3

x y f(x/y) = 3y 6 0

;y=1,2

; Xlainnya

; x1, 2,3 x y f(y/x) = ;y=1,2 2x 3 ; Xlainnya 0

a. Hitung E[(22x2-3)/y], E[(3-4y)/x] dan E[(2x2-3)/y=1] b. Hitung rerata X jika diketahui Y=y dan rerata Y jika diketahui X=x Berapakah

x/ y 2

dan

y/x 2

?

c. Hitung var (x/y) dan var (y/x=2) d. Hitung cov (x,y) dan

xy

Penyelesaian : a. E[(22-3)/y] =

x

2X 2

3

3 f x/ y

x 1

2x 2

3

x y 3y 6

3 1 2 x 3 3x 2 x 2 y 3 y x 1 3y 6 1 2 3 2 y 3 y 16 6 8 y 3 y 54 9 18 y 3 y = 3y 6 19 y 54 = 3y 6 19 54 73 1 8 E[(22-3)/y] = 3 6 9 9 2 x y 3 4y E[(3-4y)/x]= xf 3 4 y f y / x x y 1 2x 3 2 1 3x 3 y 4 xy 4 y 2 = y 1 2x 3 1 3x 3 4 x 4 3x 6 8 x 16 = 2x 3 6 x 11 = 2x 3 3 x( x y) 1 xf x / y [4 y 4 2 y 9 3 y ] b. x / y E X / y x 1 2x 3 3y 6

=

=

6 y 13 3y 6


2 y/x

EY/x

yf x / y

y

y 1

=

c.

x/2

6.2 14 3.2 6

y/2

3.2 5 2.2 3

2 x/ y

var(X / y)

E[(x2/y] =

3 x

26 12

y ( y x) 2x 3

1 [ x 1 2 x 4] 2x 3

3x 5 2x 3

13 6

1 7

E[ X 2 / y] E 2 [ X / y] dengan

x 2 ( x y) 1 3y 6

=

1 [1 y 8 4 y 27 9 y ] 3y 6

=

14 y 36 3y 6

Maka

x/ y

14 y 36 36 6 42 y 2

6 y 14 3y 6

193 y

216 3y

2

y/x 2

var y / x

dengan E Y 2 / 2

dan E(Y/2) =

2

36 y 2 168 y 196 6

2

E y2 / 2

2

2 y 1

3.2 5 2.2 3

y2

2 y 4 3

6y2

24 y 3y

6

20 2

E2 y / 2

1 18 [3 16] 7 7

11 7


2

maka

18 7

y/2

2

11 7

126 121 49

5 49

d. Cov. [X,Y]=E[XY]-E[X].E[Y], dengan 3

2

E[XY] =

x, y

xyf ( x, y)

x 1

y 1

xy

x

y 21

y [1 y 4 2 y 9 3 y ] y 1 21 1 72 24 = [20 52] 21 21 7

1 2 (6y2+14y) 21 y 1

2

=

2x 3 21

3

E[X]

=

E[Y]

=

x

xf ( x)

x

x 1

y

2 y

yf y ( y )

Maka Cov [X,Y] =

y

y 1

24 7

Cov( x, y )

2

0,0142

2 x

y

1 [3 8] 7

46 11 21 7

x

3,4286 3,4428

2x 3 x E[ X ] E [ X ] x 1 21 = 5,42857 – 4,79818 = 0,630039 2

3

2

E[Y ] E [Y ]

11 7

0,0142

y

2

2 y

46 21

, dengan

xy x

1 [5 14 27] 21

x y 1

46 2

2

y 2 y 7 2

11 7

2

2

1 (5 28 81) 21 1 3 16 7

2116 441

121 49

= 2,714286 – 2,469388 = 0,244898 maka

xy

=

0,0142 (0,79397 )( 0,49487 )

0,0142 0,3929

0,036

Catatan : Kovarians dari X dan Y, atau Cov (X,Y) adalah ukuran statistik yang digunakan untuk mengukur derajat hubungan linier antara dua peubah acak X dan Y.


Nilainya mungkin positif, negatif atau nol. Jika Cov (X,Y) >0, dikatakan X dan Y mempunyai hubunan positif. Jika Cov (X,Y) <0, dikatakan X dan Y mempunyai hubungan negatif. Ukuran ini memiliki satuan dengan satuan data yang digunakan. Agar tidak memiliki satuan, maka diperbaiki (distandarkan) dengan ukuran statistik derajat

xy

jadi

xy

juga adalah ukuran derajat

hubungan linier antara peubah acak X dan peubah acak Y yang bebas dari satuan ukuran yang dipakai. Dapat dibuktikan bahwa –1

1 . Jika nilai

semakin

besar baik positif maupun negatif, maka kelinieritasannya makin baik, artinya titik-titik pasangan (X,Y) semakin dekat dengan garis lurus. Jika X dan Y dua peubah acak saling bebas stokastik, maka dapat ditunjukkan bahwa E[X,Y] =[X].E[Y], Cov (X,Y) = 0 dan jika Cov (X,Y) = 0 atau untuk

=0. tetapi kebalikannya tidak berlaku yakni,

= 0 maka belum tentu X dan Y bebas. Khususnya

= 0 diartikan bahwa X dan Y tak berkorelasi linier.

Contoh 3.16 Misalkan fkp gaungan dari peubah acak X dan peubah acak Y berbentuk :

xy 96

f ( x, y ) 0

;0 x 4 1 ; xlainnya

y

5

a. Tentukan fkp marjinal dari X, fkp marjinal dari , fkp bersyarat dari X jika diketahui Y = y. periksa apakah X dan Y peubah acak saling bebas ? b. Cov (X,Y) = E[XY] – E[X].E[Y], dengan 5 4 yy E[XY] = dxdy = xyf ( xy)dxdy xy 96 1 0 =

64 1 3 y 3.96 3

5

1 4

E[X] =

Xfx( x)dx

64.124 3.3.96

1 2 x dy 8 0

5

1

y2 1 3 x 96 3

4

dy 0

248 27 1 3 x 24

4

0

64 24

8 3


5

E[Y] =

Yfy( y )dy

Maka Cov (x,y) =

y2 dy 12 1

248 27

8 3

1 3 y 36

31 9

5

124 36

1

31 9

0

Dengan demikian, maka koefisien korelasi

xy

=

Cov( x, y ) x

Karena nilai Cov(x,y) = 0 atau juga

xy

0

y

= 0, ini memberikan arti, bahwa

antara peubah acak X dan Y tidak terdapat korelasi (hubungan) linier, jika kita perhatikan jawaban (a), bahwa peubah acak X dan y saling bebas hal ini berakibat

= 0. silahkan anda berikan contoh peubah acak X dan Y dengan

= 0, tetapi X dan Y tak bebas.

3.5. Soal-soal Latihan 1. Diketahui p.a. X memiliki fpk

x 2 ; 2, x,4 f ( x) 18 ; xlainnya 0 Hitung E[X], E[(x+2)2, dan E[(6X-2(X+2)3] 2. Misalkan fkp dari p.a X berbetuk

x 18 0

f ( x)

; x 3,4,5,6 ; xlainnya

3 X b. Hitung rerata, varian dan simpangan baku X Hitung kovarian dari X dan Y, dan juga koefisien korelasinya, kemudian tafsirkan

a. Hitung E[2-X2] dan E

berdasarkan hasil atau nilai yang diperoleh ! Penyelesaian Misalkan

x

fkp marjinal dari X, maka


5

(X) =

f ( x, y )dy

1 xydy 96 1

5

1 1 2 xy 96 2

1 x 8

1

1 x ;0 x 4 8 xlainnya 0

jadi, f f x ( x)

Misalkan f y fkp marjinal dari Y, maka 4

(y) =

f ( x, y )dy

1 xydx 96 0

y 1 2 x 96 2

4

1

y x 13

y ;1 y 5 12 ylainnya 0

Jadi, f y ( y ) Linier f ( x, y )

f x ( x). f ( y ) untuk setiap x,y

R,

Maka X dan Y dua peubah acak saling bebas stokasta sebagai alasan lain, dapat dijelaskan sebagai berikut misalkan f x

f x, y Y, maka f x = y f y ( y) Linier f x

y

y

fkp bersyarat dari X jika diketahui

1 x ;0 x 4 8 ; xlainnya 0

f x ( x), maka ini menunjukkan pula sebagai alasan, bahwa X dan Y

peubah acak saling bebas (Y tidak mempengaruhi X) 3. Dua dadu homogen dittos sekaligus. Jika X menyatakan jumlah pasangan angka dadu. Berapakah harapan matematik dari jumlah pasangan angka dadu ? 4. Panitia undian berhadiah mengeluarkan 10.000 lembar undian, dengan 1 hadiah pertama ebesar Rp. 5.000.000,2 hadiah kedua masing-masing sebesar Rp.2.000.000,4 hadiah ketiga masing-masing sebesar Rp. 500.000,a. Berapa rupiahkan harapan menang untuk setiap lembar undian ? b. Jika setiap lembar undian dijual dengan harga Rp. 2.000 rupiah, berapakah harapan menang bagi seseorang yang telah membeli selembar undian ? 5. Hitunglah rerata dan varian (jika ada) dari peubah acak berikut :


2 2 ; x a. Peubah acak X dengan fkp f(x) = 3x 2 3 0; xlainnya b. Peubah acak Y dengan fkp g(y) =

0

1 ; y 1,2,3....... 2 ylainnya

2 ; 2 Z c. Peubah acak Z dengan fkp h(z) = 3 0; Zlainnya 6. Misalkan f.k.p bersama dari X dan Y berbentuk 1 ( x, y ) ; x 0,1,2,3 y 0,1,2 f ( x) 30 x, ylainnya 0 a. Hitung rerata bersyarat dari X jika diketahui Y=y b. Hitung rerata besyarat dari Y jika diketahui X=0 c. Hitung E[(2x2-3x-1)/y], dan E[(2x2-3x-1)Y] d. Hitung var(X/Y), dan var (Y/x=0) 7. Misalkan p.a X dengan f.kp f ( x)

x

 0

;x 0 xlainnya

a. Tentukan f.p.m dari X b. Hitung momen sentral sekitar rerata ke 1, ke 2, ke 3, dan ke 4 dengan cara menghitunga terlebih dulu momen ke 1, ke 2, ke 3 dan ke 4. (Pentunjuk ; sebaiknya dengan menggunakan f.pm) c. Hitung koefisien kemiringan y dan koefisien keruncingan y. Bicarakan tentang kurva f berdasarkan hasil ini. Kemudian sketsa grafik 8. Peubah acak X mempunyai mean a. Hitung simpangn baku dari X ( =

3 dan momen ke 2

2

13

)

b. Tentukan batas bawah P{-2 <x<8], dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev 9. Buktikan untuk setiap p.a X dan Y berlaku E[E[X/y]] = E[X] =

x dan

E[E[Y/x]] = E[Y] =

y


10. Misalkan fungsi kepadatan peluang dari X berbentuk

3(1 x) 2 ;0 x 1 ; xlainnya 0

f ( x) a. Jika P[

dan -2

, berturut-turut adalah rerata dan varian x, hitung

<x<

+2

]

b. Bandingkan hasil a) dengan menggunakan ketaksamaan Chebysshev 11. Misalkan pubah acak X dan Y dengan fkp gabungannya

f ( x, y)

12xy(1 y);0

xy 1

0; x, ylainnya a. Hitung cov (X,Y) b. Hitung koefisien korelasi c. Apakah X dan Y bebas Stokastik ? 12. Jika X dan Y peubah acak, a dan b dua konstanta real maka var(aX+bY) = a2var(X) + b2var(Y) + 2abcov(X,Y). Buktikan ! 13. Misalkan X dan Y memiliki fkp bersama

1 ( x, y) (0,2), (1,1), (2,2) f ( x, y ) 3 0; ( x, y )lainnya a. Hitung cov (X,Y) b. Hitung koefisien korelasi c. Apakah X dan Y bebas Stokastik ? 14. Diketahui dua peubah acak X dan y saling bebas dengan fkp X dan fkp Y berturut-turut adalah :

g ( x)

 x;x 0 dan 0; xlainnya

h( x )

 y; y 0 0; ylainnya

a. tentukan cov (X,Y) dan kosefisien korelasi

berdasarkan kebebasan dari X

dan Y b. Hitung cov (X,Y) dan koefisien korelasi

berdasarkan definisi (sifat)


15. Misalkan N peubah acak bernilai bilangan b tak negatif, tunjukkan bahwa E[N] =

k 0

P[N] secara umum, tunjukkan bahwa jika Xp acak non negatif

dengan fungsi distribusi maka E[X] =

E ( x)dx 0


BAB III EKSPEKTASI MATEMATIK

Recommend Documents