APLIKASI RELASI PELUANG BERSYARAT FUZZY PADA SISTEM INFORMASI FUZZY
NIKEN WIDIASTUTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
i
ABSTRAK NIKEN WIDIASTUTI. Aplikasi Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy pada Sistem Informasi Fuzzy. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan N. K. KUTHA ARDANA. Dalam kehidupan sehari-hari seringkali ditemui suatu fenomena yaitu data mengandung sesuatu yang tidak akurat. Data yang tidak akurat tersebut dapat berupa kata-kata manusia yang bersifat relatif. Pada kasus ini, himpunan fuzzy dapat digunakan untuk merepresentasikan data yang tidak akurat tersebut dengan derajat keakuratan data yang berbeda. Pada tulisan ini diperkenalkan relasi peluang bersyarat fuzzy atau fuzzy conditional probability relations (FCPR) yang digunakan untuk merepresentasikan relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy yang tidak perlu simetris atau transitif. Konsep FCPR yang dibahas difokuskan pada relasi kemiripan yang lemah yang merupakan tipe khusus pada relasi fuzzy biner dengan perumuman relasi kemiripan. Sistem informasi fuzzy yang digunakan adalah tabel data fuzzy sederhana yang merupakan aplikasi dari knowledge discovery and data mining (KDD). Dengan memanfaatkan derajat dari dasar kemiripan (FCPR), aplikasi FCPR yaitu konsep α-objek redundan, ketergantungan atribut, pendekatan data reduksi dan proyeksi, dan pendekatan data query. Perhitungan berdasarkan FCPR berguna untuk menentukan derajat kemiripan dari dua kata yang tidak perlu simetris atau transitif. Konsep α-objek redundan sangat penting untuk mereduksi angka dari aturan keputusan dengan adanya tabel keputusan. Konsep ketergantungan atribut berdasarkan FCPR sangat penting untuk manganalisa ketergantungan dari atribut. Aplikasi pendekatan data reduksi dan proyeksi digunakan untuk menemukan relasi di antara anak himpunan fuzzy dari partisi fuzzy dan menghasilkan fuzzy integrity constraints. Aplikasi pendekatan data query digunakan untuk menghasilkan relasi fuzzy query dengan adanya tabel keputusan. Kata kunci : Relasi peluang bersyarat fuzzy, fungsi ketergantungan fuzzy (FFD), fuzzy integrity constraints (FIC), knowledge discovery and data mining (KDD), data query.
ii
ABSTRACT NIKEN WIDIASTUTI. The Applications of Fuzzy Conditional Probability Relations in Fuzzy Information Systems. Supervised by SRI NURDIATI and N. K. KUTHA ARDANA. In our daily life we often find a phenomenon related to an imprecise data. The imprecise data can be in the form of relative human words. In this case, fuzzy sets can be used to represent the imprecise data in which preciseness degrees of data are intuitively different. This paper introduced a fuzzy conditional probability relations (FCPR) which is used to represent a similarity relation between two fuzzy sets, The two fuzzy sets may not necessarily be symmetric or transitive. The concept of FCPR which is explained in this paper was focused on a weak relation similarity which turned out to be a special type of fuzzy binary relation generalizing similarity relation. Fuzzy information system which is used in this paper was a simple fuzzy data table that was an application of knowledge discovery and data mining (KDD). By using degrees of similarity (FCPR), the application of FCPR consists of α-redundant object concept, a concept of dependency of attribute, approximate data reduction and projection, and approximate data query. Calculation based on FCPR is used to determine degrees of similarity which may not necessarily be symmetric or transitive. The concept of α-redundant object is very important for the purpose of reducing the number of decision rules concerning a decision table. The concept of dependency attribute based on the FCPR is very important for purpose of analyzing dependency of attribute. Application of approximate data reduction and projection is used to find relations among fuzzy subsets as results of fuzzy partition and provide fuzzy integrity constraints. Application of approximate data query is used to design a fuzzy query relation in which the present the decision table. Keywords : Fuzzy conditional probability relations, fuzzy functional dependency (FFD), fuzzy integrity constraints (FIC), knowledge discovery and data mining (KDD), data query.
i
APLIKASI RELASI PELUANG BERSYARAT FUZZY PADA SISTEM INFORMASI FUZZY
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : NIKEN WIDIASTUTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
ii
Judul : Aplikasi Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy pada Sistem Informasi Fuzzy Nama : Niken Widiastuti NRP : G54104040
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. NIP. 131 578 805
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. NIP. 131 842 412
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus :
vii
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 22 November 1985 dari pasangan Mochamad Mochtar dan Sri Hastuti sebagai anak keempat dari empat bersaudara. Penulis memulai pendidikan di Taman Kanak-kanak Purnamasari Bogor pada tahun 1991. Penulis menamatkan sekolah dasar di SD Negeri Empang I Bogor. Tahun 2001 penulis lulus dari SLTP Negeri 4 Bogor. Tahun 2004 penulis lulus dari SMU Negeri 3 Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjalani masa perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan. Beberapa organisasi di antaranya adalah pengurus UKM MERPATI PUTIH dan pengurus himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Pada kepengurusan UKM MERPATI PUTIH periode 2005/2006 dan periode 2006/2007 penulis aktif sebagai staf Departemen Pendidikan dan Latihan UKM Merpati Putih dan pada kepengurusan GUMATIKA periode 2006/2007 penulis aktif sebagai staf Biro Kesekretariatan. Penulis aktif mengikuti kepanitiaan berbagai kegiatan seperti Matematika Ria 2006 (seksi Kesekretariatan), Musyawarah Wilayah IKAHIMATIKA III (seksi Logistik dan Transportasi), Matematika Ria 2007 (koordinator seksi Konsumsi), Galaksi FMIPA 2007 (seksi Bakti Sosial), Try Out SPMB Nasional IKAHIMATIKA 2007 (koordinator seksi Konsumsi). Dalam upaya mengamalkan ilmu yang didapat, penulis aktif sebagai pengajar Kalkulus yang diadakan oleh GUMATIKA pada tahun 2007 dan pengajar Kalkulus di bimbingan belajar Real Education Center (REC) pada tahun 2008. Sejak Mei tahun 2008, penulis bergabung dengan Lembaga Les Privat dan Kelompok Belajar Bintang Pelajar (BP) regional Bogor sebagai guru freelance matematika tingkat SMU dan masih aktif sampai sekarang.
vi
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat, berkah, nikmat, dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak hentihentinya kepada umatnya hingga akhir jaman. Skripsi ini berjudul Aplikasi Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy pada Sistem Informasi Fuzzy. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah memberikan dorongan terhadap penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, yaitu : 1. Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. dan Ir. N. K. Kutha Ardana, M. Sc. selaku dosen pembimbing, yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahannya sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini. 2. Mochamad Tito Julianto, M. Kom. selaku dosen penguji atas saran dan masukannya. 3. Bapak dan ibuku tercinta, Moch. Mochtar dan Sri Hastuti, atas segala do’a, dukungan, motivasi, dan kasih sayang yang diberikan kepada penulis; juga kakak-kakakku (Mba Dien, Mas Yon, Dimas, Piet, Ayu, Mas Agus); keponakan-keponakanku (Rania, Bagas, Divio) yang telah memberikan keceriaan; Keluarga besar di Semarang khususnya Bulik Ning dan Om Eko dan juga sepupu-sepupuku tersayang Vita, Anggoro, Nia, Devi. 4. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan; serta staf Departemen Matematika : Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono, terimakasih atas bantuan selama di Departemen Matematika. 5. Teman-temanku tersayang : Jo, Uwie, Abank, Soe (Terimakasih atas tawa, canda, suka, duka selama 4 tahun ini). Teman seperjuanganku (Enny dan Iboy), terimakasih atas dukungannya selama ini. 6. Maryam, Neng Ria, dan Budi yang telah bersedia menjadi pembahas pada saat seminar. 7. Teman-teman Math’41: Maryam, Mahar, Iyank, Zali, Yaya, Rite, Ndit, Situl, Chie, Mora, Ria, Fitri, Dian, Kurenz, Tia, Dee, Armi, Ani, Ayu, Roma, Rina, Ika, Eli, Tities, NJ, Mukti, Liam, Liay, Febrina, Sifa, Darwisah, Nidia, Udin, Idris, Chaerun, Aji, Fred, Herry, Yeni, Deny, Triyadi, Amin (Terimakasih atas warna-warni kehidupan selama 4 tahun ini). 8. Mbak Ana (Math S2), Adik-adik Math’42 : Ayeep, Niknik, Jane, Jawa, Moko, Fachri, Vera, Ily, dan lainnya (Tetap semangat ya!). 9. Teman-temanku tercinta : Alm. Triyani, Irien, Shuri, Tyas, Ode, Isa, Mas Andi, Ratian, Jurek, Mas Ewin, Heru, Ricky, Sandi, Dewi, Kiwil, dan lainnya. 10. Keluarga besar Merpati Putih Bogor terutama kolat IPB : Mas Agan, Mba Eno, Utie, Ismi, Putra, Elghar, A Teta, Mas Yogi, Ade Murni, Ade Mulat, Paul, Widi, Anjel, Endah, Viona, Tea, Aci, Praba, Ira, Iman, dan lainnya (Terimakasih atas semangat yang diberikan dan telah menjadi keluarga kedua bagiku). 11. Seluruh staf dan pengajar Lembaga Les Privat dan Kelompok Belajar Bintang Pelajar, terutama mas Ifni, Leni, mbak Reni, mbak Nita, Angga, mbak Novianti, mbak Novalia, mbak Farida, dan lainnya (Terimakasih atas nasehat dan dorongan yang bermanfaat). 12. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Penulisan skripsi ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis adalah semoga penulisan karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis dan bagi para pembacanya atau pihak lain yang membutuhkan.
Bogor, September 2008
Niken Widiastuti
vii
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI .............................................................................................................................. vii DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. viii DAFTAR TABEL ...................................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. ix I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .............................................................................................................. 1 1.2 Tujuan ............................................................................................................................ 1 1.3 Ruang Lingkup .............................................................................................................. 1
II
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy ........................................................................ 2.2 α - Objek Redundan ...................................................................................................... 2.3 Ketergantungan Atribut ................................................................................................ 2.4 Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi .................................................. 2.5 Pendekatan Data Query ................................................................................................. 2.6 Fungsi Keanggotaan pada Toolbox MATLAB ............................................................
1 3 3 3 4 5
III METODOLOGI PENELITIAN .......................................................................................... 6 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pengumpulan Data ........................................................................................................ 4.2 Rekonstruksi FCPR dari Dua Himpunan Fuzzy ........................................................... 4.3 Rekonstruksi Konsep α - Objek Redundan berdasarkan FCPR .................................. 4.4 Rekonstruksi Ketergantungan Atribut berdasarkan FCPR .......................................... 4.5 Rekonstruksi Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi ........................... 4.6 Rekonstruksi Pendekatan Data Query ..........................................................................
7 7 8 10 12 18
V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................... 22 5.1 Kesimpulan ................................................................................................................... 22 5.2 Saran ............................................................................................................................. 22 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 22 LAMPIRAN ............................................................................................................................... 24
viii
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Kurva Segitiga............................................................................................................ 5 Gambar 2 Kurva Trapesium ....................................................................................................... 6 Gambar 3 Fungsi Keanggotaan HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) ............................... 8
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1 Tabel 2a Tabel 2b Tabel 3 Tabel 4 Tabel 5 Tabel 6
Derajat Keanggotaan dari Linguistik H dan AP ....................................................... Reproduksi Hewan ..................................................................................................... Reproduksi Hewan..................................................................................................... I (U, A = {c1, c2, c3, b1}) ........................................................................................... Sistem Informasi dari Karir....................................................................................... Derajat Kemiripan dari Karir I(U, A = {E, S}) ......................................................... ℘ 1 = (U , S , E , 0 .2 ( S , E ) ) .........................................................................................
Tabel 7
℘ 2 = (U , E , S , 0 .2 ( E , S ) ) ....................................................................................... 15
Tabel 8
Relasi R(N, C, G) ....................................................................................................... 16
Tabel 9
R 1 ( N → G ) 0 .1 ......................................................................................................... 17 R 2 ( C → G ) 0 .1 ......................................................................................................... 17
Tabel 10 Tabel 11 Tabel 12 Tabel 13 Tabel 14 Tabel 15 Tabel 16 Tabel 17 Tabel 18 Tabel 19 Tabel 20 Tabel 21 Tabel 22 Tabel 23 Tabel 24 Tabel 25 Tabel 26 Tabel 27 Tabel 28 Tabel 29
7 9 10 11 13 14 15
R ( E , S → U ) 0 .5 / 9 .4 ................................................................................................ 18
IF {E dan S} THEN U IS nilai ................................................................................. IF U THEN {E dan S} IS nilai ................................................................................. R ( E , S → U ) 0 .5 / 1 3 .2 ............................................................................................... IF {E atau S} THEN U IS nilai ................................................................................ IF U THEN {E atau S} IS nilai ................................................................................ I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z1’}) ................................................... I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) ................................................... I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z2’}) ................................................... I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z2’}) ................................................... I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z2’}) ................................................... I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z1’}) ................................................... I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) ................................................... I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) ................................................... Transformasi Tabel 5 ................................................................................................. Relasi R(N='j',C='m',G='A') ...................................................................................... Relasi R(N, G)............................................................................................................ Relasi R(C, G)............................................................................................................ R(U, he, hs) ................................................................................................................
19 19 20 21 21 25 25 25 26 26 26 27 27 30 33 34 34 36
ix
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Lampiran 2 Lampiran 3 Lampiran 4 Lampiran 5 Lampiran 6 Lampiran 7 Lampiran 8
Hasil Transformasi Tabel 3 ................................................................................... Perhitungan Tabel 5 untuk Contoh 4 .................................................................... Perhitungan Tabel 5 .............................................................................................. Hasil Transformasi Tabel 8 untuk Contoh 5 ........................................................ Hasil Transformasi Tabel 9 untuk Contoh 6 ........................................................ Hasil Transformasi Tabel 10 untuk Contoh 6 ...................................................... Hasil Transformasi Tabel 4 untuk Contoh 7 dan Contoh 8 ................................. Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (26) Yaitu Peluang Query untuk Objek ui dengan Diberikannya “he AND hs” ............................................ Lampiran 9 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (26) Yaitu Peluang Query untuk ‘he AND hs” dengan Diberikannya Objek ui ............................................ Lampiran 10 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (29) Yaitu Peluang Query untuk Objek ui dengan Diberikannya “he OR hs”................................................ Lampiran 11 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (29) Yaitu Peluang Query untuk ‘he OR hs” dengan Diberikannya Objek ui................................................
25 27 30 33 34 34 36 36 37 39 40
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Kata-kata manusia pada data mempunyai perbedaan batas pengertian. Beberapa kata mungkin mempunyai arti yang lebih umum dibandingkan dengan yang lainnya. Derajat kemiripan dari dua kata tidak perlu simetris atau transitif. Sebagai contoh, warna “merah” mempunyai pengertian yang lebih umum dan lebih luas dibandingkan dengan warna “merah tua” yang mempunyai arti lebih spesifik. Kata “merah” mempunyai interval yang lebih luas daripada kata “merah tua” sehingga interval dari pengertian warna adalah berbeda untuk dua kata. Biasanya kalimat “merah tua seperti merah” lebih benar dan biasa digunakan daripada kalimat “merah seperti merah tua”. Selain itu, dapat dikatakan bahwa derajat kemiripan dari “merah dengan diberikan merah tua” adalah berbeda dengan “merah tua dengan diberikan merah”. Dalam kehidupan sehari-hari seringkali ditemui suatu fenomena yaitu data mengandung sesuatu yang tidak akurat dengan derajat keakuratan data yang berbeda. Data yang tidak akurat tersebut dapat berupa kata-kata manusia yang bersifat relatif. Himpunan fuzzy dapat merepresentasikan data yang tidak akurat tersebut. Pada tulisan ini, relasi peluang bersyarat fuzzy atau fuzzy conditional probability relations (FCPR) digunakan untuk merepresentasikan relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy yang tidak perlu simetris atau transitif. Konsep dari FCPR akan difokuskan pada relasi kemiripan yang lemah yaitu relasi fuzzy biner dengan perumuman relasi kemiripan (Zadeh 1970 dalam Intan dan Mukaidono 2004). Sistem informasi fuzzy yang digunakan pada tulisan ini adalah tabel data fuzzy
sederhana yang merupakan aplikasi dari knowledge discovery and data mining (KDD). Pertama, akan diperkenalkan FCPR dari dua himpunan fuzzy pada sistem informasi fuzzy yang diberikan. Kemudian, dengan memanfaatkan derajat kemiripan dari FCPR, maka tulisan ini akan memperkenalkan aplikasi FCPR pada sistem informasi fuzzy yang diberikan. Aplikasi tersebut adalah konsep α-objek redundan, ketergantungan atribut, pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi, dan aplikasi yang terakhir adalah pendekatan data query yang berdasarkan pada input bergantung dan input bebas. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan ini adalah : 1. Merekonstruksi FCPR dari dua himpunan fuzzy pada sistem informasi fuzzy. 2. Merekonstruksi α-objek redundan berdasarkan pada FCPR pada sistem informasi fuzzy. 3. Merekonstruksi ketergantungan atribut berdasarkan pada FCPR pada sistem informasi fuzzy. 4. Merekonstruksi pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi, dan pendekatan data query pada sistem informasi fuzzy. 1.3 Ruang Lingkup Ruang lingkup penulisan ini adalah : 1. Tulisan ini dibatasi pada rujukan utama jurnal Fuzzy Conditional Probability Relations and Their Applications in Fuzzy Information Systems (Intan dan Mukaidono 2004). 2. Sistem informasi fuzzy yang digunakan dibatasi pada tabel data fuzzy yang sederhana (ukuran tabel tidak besar). 3. Konsep FCPR hanya difokuskan pada relasi kemiripan yang lemah yaitu relasi fuzzy biner dengan perumuman relasi kemiripan.
II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy Definisi 1 Himpunan Crisp Himpunan crisp A didefinisikan oleh elemen-elemen yang ada pada himpunan itu. Jika a ∈ A , maka nilai yang berhubungan dengan a adalah 1. Namun jika
a ∉ A , maka nilai yang berhubungan dengan a adalah 0. Keanggotaan himpunan crisp selalu dapat dikategorikan secara penuh tanpa ada ambiguitas. (Kusumadewi 2002)
2
Definisi 2 Himpunan Fuzzy Misalkan Dˆ j = { dˆ 1j , dˆ 2j , ..., dˆ nj } adalah himpunan dengan domain crisp dan Dj adalah himpunan dengan domain tidak akurat. dˆ ij adalah nilai data crisp ke-i dari domain Dˆ j dan Dˆ j ⊆ D j . Data tidak akurat, x ∈ Dj, menganggap himpunan fuzzy x pada Dˆ adalah definisi yang sederhana dari Dˆ j
j
ke selang tertutup [0,1] dengan fungsi keanggotaan μ x : Dˆ j → [0 ,1] . Himpunan fuzzy x didefinisikan oleh :
{
}
x = μ x ( dˆ ij ) dˆ ij dˆ ij ∈ Dˆ j ,
μ x ( dˆ ij )
dengan
adalah
nilai
(1) derajat
Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian sehingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0,1]. Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu elemen dalam semesta pembicaraannya tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak di antaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu elemen tidak hanya bernilai benar atau salah, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah. Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu: a. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti : muda, probaya, tua. b. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti : 40, 25, 50, dan lainnya. (Kusumadewi 2002) Definisi 3 Fungsi Keanggotaan Fungsi keanggotaan μ dari himpunan fuzzy x adalah pemetaan dari himpunan dengan domain crisp Dˆ j ke selang tertutup
{
x
j
j
j
j
adalah himpunan nilai dari atribut aj dengan data Dj adalah data tidak akurat (bernilai fuzzy). (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 5 Total Ketidaktahuan Misalkan Dˆ j = { dˆ 1j , dˆ 2j , ..., dˆ nj }
},
(2) (Intan dan Mukaidono 2004)
Definisi 4 Sistem Informasi Fuzzy Sistem informasi fuzzy didefinisikan sebagai pasangan I = (U, A), dengan U
adalah
himpunan dengan domain crisp dan Dj adalah himpunan dengan domain tidak akurat. dˆ ij adalah nilai data crisp ke-i dari domain Dˆ j dan Dˆ j ⊆ D j .
keanggotaan dari dˆ ij pada x. (Intan dan Mukaidono 2004)
[0,1], dinotasikan dengan : x = μ ( dˆ i ) dˆ i dˆ i ∈ Dˆ
adalah himpunan semesta dari objek dan A adalah himpunan semesta dari atribut sedemikian sehingga a j : U → Dj , ∀a j ∈ A . Dj
Total
ketidaktahuan
Dˆ j merupakan representasi didefinisikan oleh : ignorance (TI) atas
{ = {0 dˆ ,..., 0 dˆ
atau
dengan
dˆ ij ∈ Dˆ j
sederhana
yang
}
T I = 1 dˆ 1j ,1 dˆ 2j , ...,1 dˆ nj , dˆ ij
1 j
i −1 j
total
}
,1 dˆ ij , 0 dˆ ij+1 ,..., 0 dˆ nj ,
(3) (4)
dengan μ T I ( dˆ 1j ) = 1 yang diwakili oleh 1 dˆ 1j . TI dianggap seperti himpunan fuzzy yang merepresentasikan himpunan semesta dengan diberikan domain crisp. (Intan dan Mukaidono 2000a) Definisi 6 Relasi Kemiripan Relasi kemiripan adalah pemetaan s j : D j x D j → [0,1] , dengan x , y , z ∈ D j , a) Refleksif s j ( x , x ) = 1,
(5)
b) Simetris
s j ( x , y ) = s j ( y , x ),
(6)
c) Max-min transitif
s j ( x , z ) ≥ max {min[ s j ( x , y ), s j ( y , z )]} .
(7)
(Zadeh 1970 dalam Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 7 Relasi Kemiripan yang Lemah Relasi kemiripan yang lemah adalah dengan pemetaan S j : D j x D j → [0,1] , x, y, z ∈ D j .
a.) Refleksif S j ( x , x ) = 1,
b.) Simetris Jika S j ( x, y) > 0, maka S j ( y, x) > 0,
(8) (9)
3
⎧1, x = y I j ( x, y ) = ⎨ ⎩ 0, lainnya.
c.) Transitif Jika Sj (x, y) ≥Sj (y, x) >0 dan Sj (y, z) ≥Sj (z, y) >0 maka Sj (x, z) ≥ Sj (z, x).
(10) (Intan dan Mukaidono 2004)
(14)
(Intan dan Mukaidono 2004)
Definisi 8 Kardinalitas Himpunan Fuzzy Misalkan y adalah himpunan dengan domain tidak akuratik Dj dan dˆ ij adalah nilai data crisp ke-i dari domain crisp Dˆ ,
2.3 Ketergantungan Atribut
maka kardinalitas himpunan didefinisikan sebagai berikut :
himpunan semesta dari objek dan A adalah himpunan semesta dari atribut. C , B ⊆ A . sebagai derajat δ i ( C , B ) didefinisikan
j
y =
∑
i
fuzzy
μ y ( dˆ ij ).
y
(11) (Klir dan Yuan 1995)
Definisi 9 Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy (FCPR) Misalkan µx dan µy adalah dua fungsi keanggotaan dengan diberikannya domain Dˆ j untuk dua himpunan fuzzy dan misalkan
x, y ∈ Dj maka
FCPR adalah pemetaan
R j : D j x D j → [0,1] yang didefinisikan oleh :
R j ( x, y ) =
x∩ y y
=
∑ min {μ (dˆ ), μ ∑ μ (dˆ ) i j
x
i
i
y
i j
y
},
( dˆ ij )
(12) Rj(x, y) merupakan derajat y yang serupa dengan x. (Intan dan Mukaidono 2004) 2.2
α -Objek Redundan
Definisi 10 α - Objek Redundan Objek ui ∈U dianggap sebagai α‐objek
redundan pada sistem informasi fuzzy I(U, A) jika terdapat objek u j ∈ U yang mencakup semua karakteristik dari ui sedikitnya dengan derajat dari yaitu apabila α = (α 1 , α 2 , ..., α m ) memenuhi : Rk (ak (u j ), ak (ui )) ≥ α k , ∀k ∈ ` m , (13) dengan Rk adalah FCPR antara dua elemen data pada domain Dk, dan α k ∈ [0,1] .
ak (uj ), ak (ui ) ∈Dk melambangkan pemetaan dari atribut ak ke objek uj dan ui. (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 11 Relasi Identitas Relasi identitas adalah pemetaan I j : D j x D j → {0,1} , untuk x , y ∈ D j ,
Definisi 12 Derajat Ketergantungan Atribut Misalkan I = (U, A) adalah sistem informasi adalah fuzzy, dengan U = { u 1 , ..., u n }
ketergantungan C menentukan B pada objek ui dengan : δ i (C , B ) =
∑ ∑
u∈U
min a j ∈C ∪ B R j ( a j (u i ), a j (u ))
u∈U
min a j ∈C R j ( a j (u i ), a j (u ))
.
(15) (Intan dan Mukaidono 2004)
Definisi 13 Ketergantungan Fungsi Fuzzy (FFD) Ketergantungan fungsi fuzzy atau fuzzy functional dependency (FFD) C menentukan B (C→B) pada sistem informasi I (U, A) yaitu jika memenuhi : δ i (C , B ) ≥ δ i ( B , C ) , ∀ i ∈ ` n . (16)
(Intan dan Mukaidono 2004) 2.4
Pendekatan Data Operator Proyeksi
Reduksi
dengan
Definisi 14 Tabel Keputusan Misalkan I(U, A) adalah sistem informasi dan misalkan Con , Dec ⊂ A dengan Con
adalah atribut kondisi dan Dec adalah atribut keputusan. Sistem informasi yang membedakan antara Con dan Dec disebut dengan tabel keputusan dan dilambangkan dengan : ℘= (U , Con, Dec, α(Con,Dec ) ), (17) dengan α ( Con , Dec ) ∈ [0,1] menentukan derajat ketergantungan keputusan diberikan kondisi (Con).
(Dec)
dengan
(Pawlak 1991) Definisi 15 Relasi ℜ ℜ adalah relasi R(D) yang ada pada I(U, A), dengan setiap tuple pada relasi ℜ berhubungan ke objek pada himpunan objek U dan himpunan domain D = {D1, D2,…, D3} berhubungan ke himpunan atribut A = {a1 , a2 ,..., am } .
(Intan dan Mukaidono 2004)
4
Definisi 16 Proyeksi Relasi ℜ Proyeksi relasi ℜ pada dom(Con ∪ Dec) (domain atribut pada Con ∪ Dec ) didapatkan dengan mengambil pembatasan dari tuple ℜ ke dom(Con ∪ Dec) .
Proyeksi dari ℜ di atas dom(Con ∪ Dec) adalah relasi ℜ ' yang didefinisikan dengan : πCon∪Dec (ℜ) = ℜ'{t(dom(Con ∪ Dec)) | t ∈ℜ}. (18) (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 17 Fuzzy c-Partition Misalkan Dˆ j = { dˆ 1j , dˆ 2j , ..., dˆ nj } adalah
himpunan dengan domain crisp dan Dj adalah himpunan dengan domain tidak akurat. Dˆ j ⊆ D j dan dˆ ij adalah nilai data crisp ke-i dari domain Dˆ j . Fuzzy c-partition dari Dˆ adalah keluarga dari anak j
himpunan fuzzy atau kelas fuzzy dari P, dengan yang P = { p1 , p 2 , ..., p c } , memenuhi : c
∑
i =1
μ
pi
( dˆ kj ) = 1 , ∀ k ∈ ` n ,
dan 0 <
n
∑μ k =1
pi
(dˆ kj ) < n , ∀ i ∈ ` c ,
(19) (20)
dengan c adalah bilangan bulat positif dan μ pi ( dˆ kj ) ∈ [0, 1]. (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 18 Derajat Ketergantungan pada Relasi ℜ Misalkan X = {x1, x2, …, xn} adalah himpunan fuzzy (hasil dari fuzzy partition) yang akan menjadi himpunan atribut Con = {a1, a2, …, ar} dan misalkan Y = {xr+1, .…, xw} adalah himpunan fuzzy (hasil dari fuzzy partition) yang akan menjadi himpunan atribut Dec={ar+1,…,aw}. Jika ada n tuple di derajat ketergantungan Y ℜ , maka diberikan X pada relasi ℜ diberikan oleh :
ϕ ℜ (Y , X ) =
∑ ∑
n i =1 n i =1
m in wj=1 R j ( x j , a j ( t i )) m in rj =1 R j ( x j , a j ( t i ))
.
(21) (Intan dan Mukaidono 2004)
Definisi 19 Ketergantungan Fungsi Fuzzy pada Relasi ℜ Misalkan himpunan fuzzy X dan Y merepresentasikan dom(Con) dan dom(Dec), maka ketergantungan fungsi fuzzy pada relasi p
ℜ dilambangkan dengan X → Y yaitu jika memenuhi : ϕ ℜ (Y , X ) ≥ ϕ ℜ ( X , Y ).
(22) Persamaan tersebut adalah bagian dari FFD. (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 20 (α(X,Y)) α ( X ,Y ) adalah definisi seperti
α
–cut yaitu
derajat ketergantungan X dalam menentukan Y yang memenuhi persamaan berikut : (23) α( X ,Y ) = 0 ⇔ϕℜ(Y, X ) < α,
ϕℜ( X ,Y) = ϕℜ(Y, X ) ⇔ϕℜ (Y, X ) ≥ α, (24) dengan α ∈ [0, 1]. (Intan dan Mukaidono 2004) 2.5 Pendekatan Data Query Definisi 21 Peluang Query untuk Input Bergantung Misalkan {A1, A2, …, An} adalah himpunan input domain, B adalah himpunan output domain dari data query, D adalah himpunan semesta dari domain (A1, A2, …, An, B ∈ D), dan ℜ adalah relasi pada R(D). Peluang query untuk b* diberikan input yang bergantung dilambangkan dengan a * 1 , ..., a * n
Qˆ ℜ (b* | a*1 ,..., a*n )α ∈ [0,1] , dengan α ∈[0,1] dan b* , a*1 ,..., a*n adalah himpunan fuzzy pada B , A1 ,..., An . t melambangkan tuple pada relasi
ℜ , dan R ( − , − ) adalah FCPR.
Jika ada m tuple, maka untuk t r (a r 1 , ..., a r n , b r ) ∈ ℜ : ⎛ ⎞ ∑m r =1 min ⎜⎝ R A1 ( a*1 , ar 1 ),..., R An ( a* n , arn ), RB ( b* , br ) ⎟⎠ , σ = ⎛ ⎞ min ⎜ R A ( a*1 , a r 1 ),..., R A ( a* n , arn ) ⎟ ∑m r =1 n ⎝ 1 ⎠
Untuk σ < α , maka Qˆ ℜ ( b* | a * 1 , ..., a * n ) α = 0 , Untuk σ ≥ α , maka Qˆ ℜ ( b* | a * 1 , ..., a * n ) α = σ .
(25) (26) (27) (Intan dan Mukaidono 2004)
5
Definisi 22 Relasi Fuzzy Query Misalkan D adalah himpunan semesta dari domain. R ( A1 , A2 ,..., An → B )α adalah definisi relasi fuzzy query untuk membuat query untuk B diberikan input A 1 , A 2 , . . . , A n dengan α ∈ [0,1], dengan A1, A2 ,..., An , B ∈ D . (Intan dan Mukaidono 2004)
Definisi 23 Peluang Query untuk Input Bebas Misalkan { A1 , A2 ,..., An } adalah himpunan
input domain, B adalah himpunan output domain dari data query, D adalah himpunan semesta dari domain ( A1 , ..., A n , B ∈ D ), dan
ℜ adalah relasi pada R(D). Peluang query untuk b* diberikan input yang bebas dilambangkan dengan a*1 , ..., a* n Qˆ ℜ (b* | a*1 ,..., a*n )α ∈ [0,1] , dengan α ∈[0,1] dan b* , a*1 ,..., a*n adalah himpunan fuzzy pada B , A1 ,..., An . t melambangkan tuple pada relasi ℜ , dan R ( − , − ) adalah FCPR.
Jika ada m tuple, maka untuk t r (a r 1 , ..., a rn , b r ) ∈ ℜ , ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ∑m r =1 max ⎜ min ⎜⎝ R A1 ( a*1 , ar 1 ), RB ( b* , br )⎟⎠ ,...,min ⎜⎝ R An ( a* n , arn ), RB ( b* , br )⎟⎠⎟ ⎝ ⎠ , λ = ⎛⎛ ⎞⎞ m ∑ r =1 max ⎜⎜ R A ( a*1 , ar 1 ),..., R A ( a* n , arn )⎟⎟ n ⎠⎠ ⎝⎝ 1
Untuk λ < α , maka Qˆ ℜ ( b * | a * 1 , ..., a * n ) α = 0 ,
(28) (29)
Untuk
(30)
λ ≥ α , maka Qˆ ℜ ( b*
| a * 1 , ..., a * n ) α = λ .
(Intan dan Mukaidono 2004)
2.6 Fungsi Keanggotaan Pada Toolbox MATLAB Fungsi keanggotaan fuzzy biasanya digambarkan dalam bentuk kurva yang menunjukkan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Software MATLAB 7.0.1 menyediakan beberapa tipe fungsi keanggotaan yang dapat digunakan. Tipe-tipe tersebut antara lain : a. Trimf Fungsi ini berguna untuk membuat fungsi keanggotaan dengan kurva segitiga
Fungsi keangotaannya : ⎧ 0, x < a ⎪x−a ⎪ ,a ≤ x ≤ b ⎪b − a f ( x; a , b , c ) = ⎨ ⎪c − x ,b ≤ x ≤ c ⎪c −b ⎪ 0, c ≤ x ⎩
µ[x] 1
0
a
b
c
x
Gambar 1 Kurva Segitiga b. Trapmf Fungsi ini berguna untuk membuat fungsi keanggotaan dengan kurva trapesium. Fungsi keanggotaannya : ⎧0, x ≤ a ⎪x−a ⎪ ,a ≤ x ≤ b ⎪b − a ⎪ f ( x ; a , b , c , d ) = ⎨ 1, b ≤ x ≤ c ⎪d − x ⎪ ,c ≤ x ≤ d ⎪d −c ⎩⎪ 0 , d ≤ x
6
µ[x] 1
0
a
x d b c Gambar 2 Kurva Trapesium
(Kusumadewi 2002)
III METODOLOGI PENELITIAN Dalam melakukan penelitian ini, langkahlangkah yang ditempuh adalah sebagai berikut : Penggalian Informasi atau Studi Pustaka Pengumpulan bahan pustaka yang berkaitan dengan himpunan crisp, himpunan fuzzy, relasi peluang bersyarat fuzzy, fungsi ketergantungan fuzzy (FFD), fuzzy integrity constraints (FIC), knowledge discovery and data mining (KDD), dan data query. Pengumpulan Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari rujukan utama jurnal Fuzzy Conditional Probability Relations and their Applications in Fuzzy Information Systems (Intan dan Mukaidono 2004). Rekonstruksi FCPR dari Dua Himpunan Fuzzy Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, akan ditentukan himpunan fuzzy dan fungsi keanggotaan kemudian akan ditentukan derajat dari relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy tersebut. Selain itu, akan dibuat grafik fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy dengan menggunakan software MATLAB 7.0.1. Rekonstruksi Konsep α‐Objek Redundan berdasarkan FCPR Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, akan dibuktikan bahwa salah satu
objek mengandung α-objek redundan. Konsep α-objek redundan ditentukan dalam kaitannya dengan sistem informasi fuzzy dengan memanfaatkan derajat dari dasar kemiripan FCPR. Rekonstruksi Ketergantungan Atribut berdasarkan FCPR Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, akan ditentukan ketergantungan dari dua atribut menggunakan definisi ketergantungan fungsi fuzzy (FFD). Rekonstruksi Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi. Untuk menghasilkan relasi di antara himpunan fuzzy, akan dibentuk tabel keputusan dengan pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi dari sistem informasi fuzzy yang diberikan. Pertama, akan dibuat fuzzy partition yang menghasilkan anak himpunan fuzzy. Kemudian, akan ditentukan ketergantungan atribut dari dua anak himpunan fuzzy. Selanjutnya akan ditetapkan α(Con,Dec) ≥ 0.2 untuk mendapatkan relasi dari dua anak himpunan fuzzy tersebut. Terakhir, akan didapatkan dua tabel keputusan. Rekonstruksi Pendekatan Data Query Pendekatan data query berdasarkan pada dua kerangka, yaitu input yang bergantung dan input yang bebas. Relasi fuzzy query mengenalkan hasil dari proses pendekatan data query.
7
IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pengumpulan Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari rujukan utama jurnal Fuzzy Conditional Probability Relations and their Applications in Fuzzy Information Systems (Intan dan Mukaidono 2004). Data tersebut terdapat pada Tabel 1, 2, 3, 4, dan 8. 4.2 Rekonstruksi FCPR dari Dua Himpunan Fuzzy Salah satu fenomena pada data yang dijumpai di lapangan mengandung sesuatu yang tidak akurat dengan derajat keakuratan data yang berbeda. Sebagai contoh, tinggi dari Mt. Everest tidak diketahui secara akurat. Misalnya dikatakan bahwa tinggi Mt. Everest adalah “sekitar 8000 meter” atau “sangat tinggi”. Baik “sekitar 8000 meter” maupun “sangat tinggi” mempunyai derajat keanggotaan yang berbeda dari segi keakuratan. Mungkin saja “sekitar 8000 meter” lebih akurat daripada “sangat tinggi”, atau sebaliknya. Derajat keakuratan didapatkan dengan cara menentukan total ketidaktahuan (TI) ke crisp. TI merepresentasikan data yang tidak akurat dan crisp merepresentasikan data yang akurat. Pada tulisan ini, himpunan fuzzy digunakan untuk merepresentasikan data yang tidak akurat.
Misalkan diberikan data temperatur (data tidak akurat) yaitu HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) pada Tabel 1 yang merupakan variabel linguistik. H dan AP mempunyai domain crisp yaitu Temperatur (T) yang menyatakan derajat Celsius (oC). a. Pembentukan Himpunan Fuzzy dan Fungsi Keanggotaan Dengan menggunakan definisi himpunan fuzzy pada persamaan (1), maka Tabel 1 dapat dinyatakan sebagai dua himpunan fuzzy, yaitu:
H = {0.2/240C, 0.5/260C, 1/280C, 1/300C, 0.5/320C, 0.2/340C}, AP = {0.5/300C, 1/320C, 1/340C, 0.5/360C}. Variabel H dan AP merupakan himpunan fuzzy dari variabel suhu sehingga ada 2 variabel fuzzy yang dimodelkan, yaitu: 1) Variabel HANGAT (H), 2) Variabel AGAK PANAS (AP). Variabel HANGAT (H) Variabel H merupakan himpunan fuzzy karena anggota yang terdapat dalam variabel H memiliki nilai keanggotaan yang berbeda (kontribusi pada himpunan itu). Variabel H dapat direpresentasikan dengan kurva trapesium (Trapmf). Fungsi keanggotaan H :
Contoh 1
Tabel 1 Derajat Keanggotaan dari Linguistik H dan AP HANGAT (H) (oC)
Derajat Keanggotaan
24
0.2
26
0.5
28
1
30
1
32
0.5
34
0.2 AGAK PANAS (AP)
(oC)
Derajat Keanggotaan
30
0.5
32
1
34
1
36
0.5
⎧ 0; x ≤ 23 atau x ≥ 35 ⎪ ( x − 23) /(35 − 23); 23 ≤ x ≤ 28 ⎪ μ H AN G AT [ x ] = ⎨ ⎪1; 28 ≤ x ≤ 30 ⎪⎩ (35 − x ) /(35 − 30); 30 ≤ x ≤ 35
Variabel AGAK PANAS (AP) Variabel AP merupakan himpunan fuzzy karena anggota yang terdapat dalam variabel AP memiliki nilai keanggotaan yang berbeda (kontribusi pada himpunan itu). AP dapat direpresentasikan dengan kurva trapesium (Trapmf). Fungsi keanggotaan AP : ⎧ 0; x ≤ 28 atau x ≥ 38 ⎪ ⎪ ( x − 28) /(32 − 28); 28 ≤ x ≤ 32 μ AGAKPANAS [ x ] = ⎨ ⎪1; 32 ≤ x ≤ 34 ⎪⎩ (38 − x ) /(38 − 34); 4 ≤ x ≤ 38
8
b. Pembentukan Grafik Fungsi Keanggotaan Dengan menggunakan software MATLAB 7.0.1, maka grafik fungsi keanggotaan dari variabel H dan AP adalah sebagai berikut : H
1
AP
HANGAT
AGAK PANAS
0.9 0.8
Derajat Keanggotaan
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 22
24
26
28
30 Celsius
32
34
36
38
Gambar 3 Fungsi Keanggotaan HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) Menurut fungsi keanggotaan, HANGAT (H) lebih pasti daripada AGAK PANAS (AP) karena interval T pada H lebih lebar daripada interval T pada AP sehingga dapat dikatakan bahwa ukuran dari keakuratan menganggap seperti ukuran yang spesifik (Yager 1970 dalam Intan dan Mukaidono 2004). Oleh sebab itu, derajat kemiripan antara dua data tidak akurat tidak harus simetris maupun transitif. Karakteristik ini termasuk ke dalam FCPR. Konsep dari FCPR akan dikonsentrasikan pada relasi kemiripan yang lemah dengan tipe yang spesifik yaitu relasi fuzzy biner (Intan dan Mukaidono 2004). c. Mencari Derajat Kemiripan antara Dua Himpunan Fuzzy dengan Menggunakan FCPR Untuk merekonstruksi derajat dari relasi kemiripan antara H dan AP, akan digunakan definisi FCPR pada persamaan (12) sehingga derajat dari relasi kemiripan antara HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) yang ada pada Tabel 1 dapat ditentukan sebagai berikut : R j ( H , AP ) =
RT ( H , AP ) =
dan
H ∩ AP AP
=
∑
i
{
},
min μ H ( dˆ ij ), μ AP ( dˆ ij )
∑ i μ AP ( dˆ ij )
min(1, 0.5) + min(0.5,1) + min(0.2,1) 1.2 = , 0.5+1+1+0.5 3
R j ( AP , H ) =
AP ∩ H H
=
∑ min {μ (dˆ ), μ ∑ μ (dˆ ) i
i j
AP
i
H
H
},
( dˆ ij )
i j
min(1, 0.5) + min(0.5,1) + min(0.2,1) 1.2 RT ( AP, H ) = = . 0.2+0.5+1+1+0.5+0.2 3.4
RT(H, AP) dan RT(AP, H) mempunyai nilai yang berbeda. RT(H, AP) adalah derajat kemiripan AP yang serupa dengan H sedangkan RT(AP, H) adalah derajat kemiripan H yang serupa dengan AP. Pendekatan perhitungan menggunakan FCPR berguna untuk menentukan derajat dari relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy. Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan RT(H, AP) ≥ RT(AP, H) (derajat kemiripan AP yang serupa dengan H adalah lebih besar dari derajat kemiripan H yang serupa dengan AP) sehingga dapat disimpulkan bahwa derajat kemiripan antara dua himpunan fuzzy adalah berbeda. Sifat tambahan dari relasi peluang bersyarat adalah sebagai berikut : Untuk x , y , z ∈ D j , maka : R j ( x, y) = R j ( y, x) = 1 ⇒ x = y ,
(31)
⎡⎣ R j ( y , x ) = 1, R j ( x , y ) < 1⎤⎦ ⇒ x ⊂ y ,
(32)
R j ( x, y ) = R j ( y , x ) > 0 ⇒ x = y
(33)
R j ( x, y ) < R j ( y , x ) ⇒ x < y ,
(34)
R j ( x, y ) > 0 ⇒ R j ( y , x ) > 0 ,
(35)
⎡⎣ Rj ( x, y) ≥ Rj ( y, x) > 0, Rj ( y, z) ≥ Rj ( z, y) > 0⎤⎦ ⇒ R j ( x , z ) ≥ R j ( z , x ).
(36)
(Intan dan Mukaidono 2000a) 4.3 Rekonstruksi Konsep α-Objek Redundan berdasarkan FCPR Tabel data fuzzy dinamakan sistem informasi fuzzy yang berisi data mengenai objek dan atribut. Beberapa objek mempunyai karakteristik yang hampir sama. Oleh karena itu, beberapa objek tersebut dapat dianggap seperti objek redundan. Konsep α-objek redundan ditentukan dalam kaitannya dengan sistem informasi fuzzy dengan memanfaatkan derajat dari dasar kemiripan FCPR. Pada sistem informasi klasik (crisp), semua data dianggap seperti data crisp sehingga derajat kemiripannya adalah 0 atau 1 (berderajat 0 jika data berbeda, dan berderajat 1 jika data sama). Dengan kata yang lain, setiap data
9
memiliki kemiripan masing-masing. Definisi relasi identitas digunakan untuk merepresentasikan relasi antar data. Contoh 2 Tabel 2a memperlihatkan sistem informasi dari reproduksi hewan I(U, A), dengan U = {u1, u2, u3}, dan A = {nama hewan (d), reproduksi (r)},
= P ( kuda → m am alia ) = 1,
Tabel 2a Reproduksi Hewan U
Nama Hewan (d)
Reproduksi (r)
u1 u2 u3
Kuda Mamalia Burung
Melahirkan Melahirkan Bertelur
Definisi α-objek redundan pada persamaan (13) dapat digunakan untuk membuktikan bahwa salah satu objek sudah tercakup dalam objek yang lainnya, objek yang sudah tercakup itu dinamakan dengan objek redundan. Pada Tabel 2a akan dibuktikan bahwa u1 adalah objek redundan karena u1 sudah tercakup pada u2 (kuda termasuk ke dalam grup mamalia). Andaikan derajat α ={1, 1}, dengan αd = 1 dan αr = 1 maka akan ditentukan kemiripan dari data dengan FCPR. Atribut “nama hewan” Pada atribut “nama hewan”, terdapat tiga buah objek yang berbeda. Menurut teorema permutasi apabila ada tiga buah objek yang berbeda maka banyaknya permutasi (susunan berbeda) dari tiga buah objek yang berbeda tersebut jika diambil r buah objek tersebut adalah : P (3, 2 ) =
dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut : p : IF mamalia (adalah benar) THEN kuda (adalah benar), Tetapi ini belum tentu benar karena mamalia bukan bagian dari kuda, ( ∀ mamalia (hewan) = kuda) adalah salah. • Rd(d(u2),d(u1)) = Rd(mamalia, kuda)
3! = 6 r e la s i , (3 − 2 ) !
Relasi tersebut adalah : 1. Rd(d(u1),d(u2)) = Rd(kuda, mamalia), 2. Rd(d(u2),d(u1)) = Rd(mamalia, kuda), 3. Rd(d(u1),d(u3)) = Rd(kuda, burung), 4. Rd(d(u3),d(u1)) = Rd(burung, kuda), 5. Rd(d(u2),d(u3)) = Rd(mamalia, burung), 6. Rd(d(u3),d(u2)) = Rd(burung, mamalia). • Rd(d(u1),d(u2)) = Rd(kuda, mamalia) = P ( m am alia → kuda ) 1,
Atau dengan menggunakan kondisi fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995), relasi tersebut dapat dinyatakan sebagai: p : IF kuda (adalah benar) THEN mamalia (adalah benar), Ini tentunya benar karena kuda merupakan bagian dari mamalia, ( ∀ kuda (hewan) = mamalia) adalah benar. • Rd(d(u1),d(u3)) = Rd(kuda, burung) = P ( b uru n g → ku d a ) 1,
dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut : p : IF burung (adalah benar) THEN kuda (adalah benar), Tetapi ini belum tentu benar karena burung bukan bagian dari kuda, ( ∀ burung (hewan) = kuda) adalah salah. • Rd(d(u3),d(u1)) = Rd(burung, kuda) = P ( ku d a → b uru n g ) 1,
dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut : p : IF kuda (adalah benar) THEN burung (adalah benar), Tetapi ini belum tentu benar karena kuda bukan bagian dari burung, ( ∀ kuda (hewan) = burung) adalah salah. • Rd(d(u2),d(u3)) = Rd(mamalia, burung) = P ( bu run g → m a m a lia ) 1,
dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut : p : IF burung (adalah benar) THEN mamalia (adalah benar), Tetapi ini belum tentu benar karena burung bukan bagian dari mamalia, ( ∀ burung (hewan) = mamalia) adalah salah.
10
• Rd(d(u3),d(u2)) = Rd(burung, mamalia) = P ( m a m a lia → b u ru n g ) 1,
dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut : p : IF mamalia (adalah benar) THEN burung (adalah benar), Tetapi ini belum tentu benar karena burung bukan bagian dari mamalia, ( ∀ mamalia (hewan) = burung) adalah salah. Atribut “reproduksi” Pada atribut “reproduksi”, terdapat dua buah objek yang berbeda. Menurut teorema permutasi apabila ada dua buah objek yang berbeda maka banyaknya permutasi (susunan berbeda) dari dua buah objek yang berbeda tersebut jika diambil dua buah objek tersebut adalah : P ( 2, 2 ) =
2! = 2 relasi, ( 2 − 2 )!
Relasi tersebut adalah : 1. Rr(r(u1),r(u3)) =Rd(melahirkan, bertelur), 2. Rr(r(u3),r(u1)) =Rd(bertelur, melahirkan). • Rr(r(u1),r(u3)) = Rd(melahirkan, bertelur) = P ( bertelur → m elah irka n ) 1,
dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut : p : IF bertelur (adalah benar) THEN melahirkan (adalah benar), Tetapi ini belum tentu benar karena bertelur bukan bagian dari melahirkan. ( ∀ bertelur (hewan) = melahirkan) adalah salah. • Rr(r(u3),r(u1)) = Rd(bertelur, melahirkan) = P ( m ela h irka n → b ertelu r ) 1,
dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut : p : IF melahirkan (adalah benar) THEN bertelur (adalah benar), Tetapi ini belum tentu benar karena melahirkan bukan bagian dari bertelur. ( ∀ melahirkan (hewan) = bertelur) adalah salah.
Relasi-relasi pada atribut “nama hewan” dan “reproduksi” dapat dilihat sebagai berikut : Rd(d(u1),d(u2)) = Rd(Kuda, Mamalia) = 0, Rd(d(u2),d(u1)) = Rd(Mamalia, Kuda) =1, Rd(d(u2),d(u3)) = Rd(Mamalia, Burung) = 0, Rd(d(u3),d(u2)) = Rd(Burung, Mamalia) = 0, Rd(d(u1),d(u3)) = Rd(Kuda, Burung) = 0, Rd(d(u3),d(u1)) = Rd(Burung, Kuda) = 0, Rr(r(u1),r(u2)) = Rr(Melahirkan, Bertelur) = 0, Rr(r(u2),r(u1)) = Rr(Bertelur, Melahirkan) = 0. Relasi yang bernilai benar (bernilai 1) adalah relasi pada objek yang sama, yaitu : Rd(d(u1),d(u1)) = Rd(kuda, kuda)= 1, Rd(d(u2),d(u2)) = Rd(mamalia, mamalia)=1, Rd(d(u3),d(u3)) = Rd(burung,burung)= 1, Rr(r(u1),r(u1)) = Rr(melahirkan melahirkan) = 1, Rr(r(u2),r(u2)) = Rr(melahirkan,melahirkan) = 1, Rr(r(u1),r(u2)) = Rr(melahirkan,melahirkan) = 1, Rr(r(u2),r(u1)) = Rr(melahirkan,melahirkan) = 1, Rr(r(u3),r(u3)) = Rr(bertelur, bertelur)=1. Oleh karena Rd(d(u2),d(u1)) = 1, dapat dikatakan bahwa u1 merupakan objek yang berlebih-lebihan (objek redundan). Hal ini sesuai dengan persamaan (13) bahwa u1 adalah objek redundan karena mencakup u2 (kuda termasuk dalam grup mamalia), dengan Rd(d(u2),d(u1))= Rd(mamalia, kuda)=1 sehingga u1 dapat dihilangkan karena merupakan objek redundan (objek yang berlebih-lebihan). Tabel 2a akan berubah menjadi Tabel 2b, yaitu sebagai berikut : Tabel 2b Reproduksi Hewan U
Nama Hewan (d)
Reproduksi (r)
u2 u3
Mamalia Burung
Melahirkan Bertelur
4.4 Rekonstruksi Ketergantungan Atribut berdasarkan FCPR Konsep ketergantungan atribut adalah perluasan dari konsep ketergantungan fungsi fuzzy (FFD). Dapat dikatakan bahwa atribut dari himpunan B ⊆ A bergantung seluruhnya
11
kepada C ⊆ A jika semua data gabungan pada domain himpunan atribut B merupakan penentuan yang khas dengan semua data gabungan pada domain himpunan atribut C, dengan A adalah himpunan semesta dari atribut. Dengan menggunakan keluarga nilai dari persamaan (15) yaitu {δi (C, B) | ∀i ∈` n}, maka derajat ketergantungan C menentukan B dapat didefinisikan menjadi tiga definisi sebagai berikut : (minimum) δ ( C , B ) = m i n δ ( C , B ) , m in i i∈ ` (37) (maksimum) δ max (C , B ) = max δ i (C , B ), i∈` n (38) (rata-rata) δ ( C , B ) = avg δ ( C , B ). avg i i∈ ` (39) Dari definisi di atas, akan diperoleh beberapa properti seperti : δ min (C, B) = 1 ⇔ δavg (C, B) = 1 , (40)
1. Refleksivitas : B ⊆ C ⇒ C → B , (42) 2. Augmentasi : C → B ⇒C ∪ E → B, (43) 3. Transivitas : (C → B dan B → E) ⇒ C → E.
(44) (Intan dan Mukaidono 2000)
Contoh 3 Tabel 3 adalah sistem informasi fuzzy I(U, A = { c1, c2, c3, b1}) dengan U = {u1,…,u8} adalah himpunan objek dan A = {c1, c2, c3, b1} adalah himpunan atribut, C , B ⊂ A .
Tabel 3 I (U, A = {c1, c2, c3, b1})
n
U
c1
c2
c3
b1
u1
w1
x1
y1
z1
u2
w1
x2
y3
z1
u3
w2
x2
y3
z2
u4
w1
x1
y1
z2
u5
w2
x2
y1
z2
(41)
u6
w1
x1
y1
z1
(Intan dan Mukaidono 2004) • Jika δ a v g ( C , B ) = 1 , dapat dikatakan
u7
w2
x2
y3
z1
u8
w1
x2
y3
z1
n
sama halnya dengan, δ m in ( C , B ) < 1 ⇔ δ avg ( C , B ) < 1 .
bahwa B bergantung total pada C, • Jika δ a v g ( C , B ) < 1 , dapat dikatakan bahwa B bergantung sebagian (pada derajat δ a v g ( C , B ) ) pada C. Sama halnya dengan, • jika δ i ( C , B ) = 1 dapat dikatakan bahwa B bergantung total pada C di objek ui, • Jika δ i ( C , B ) < 1 dapat dikatakan bahwa B bergantung sebagian (pada derajat δ i ( C , B ) ) pada C di objek ui. Konsep ketergantungan atribut ini berhubungan dengan konsep ketergantungan fungsi fuzzy dengan adanya fuzzy relational database (Intan dan Mukaidono 2000). Definisi fungsi ketergantungan fuzzy (FFD) pada persamaan (16) ini memenuhi Aksioma Amstrong (Amstrong 1974 dalam Intan dan Mukaidono 2004) sebagai berikut: Jika B , C , E ⊆ A dengan A adalah himpunan semesta dari atribut, maka :
Dari Tabel 3 akan diketahui derajat ketergantungan C menentukan B (B bergantung pada C), dengan C = {c1 , c 2 , c3 } dan B = {b1} dan C , B ⊂ A . • δ 1 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u1. δ 1 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u1. asumsi : c1=’w1’, c2=’x1’, c3=’y1’, dan b1=’z1’. • δ 2 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u2 . δ 2 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u2 . asumsi : c1=’w1’, c2=’x2’, c3=’y3’, dan b1=’z1’. • δ 3 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u3 . δ 3 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u3 . asumsi : c1=’w2’, c2=’x2’, c3=’y3’, dan b1=’z2’. • δ 4 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u4.
12
δ 4 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u4. asumsi : c1=’w1’, c2=’x1’, c3=’y1’, dan b1=’z2’. • δ 5 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u5. δ 5 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u5. asumsi c1=’w2’, c2=’x2’, c3=’y1’, dan b1=’z2’. • δ 6 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u6 . δ 6 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u6 . asumsi : c1=’w1’, c2=’x1’, c3=’y1’, dan b1=’z1’. • δ 7 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u7. δ 7 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u7. asumsi : c1=’w2’, c2=’x2’, c3=’y3’, dan b1=’z1’. • δ 8 ( C , B ) yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u8. δ 8 ( B , C ) yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u8. asumsi : c1=’w1’, c2=’x2’, c3=’y3’, dan b1=’z1’. Transformasi dari Tabel 3 ke masingmasing objek u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, dan u8 terdapat pada Lampiran. Dengan menggunakan definisi derajat ketergantungan atribut pada persamaan (15), maka akan didapatkan derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, dan u8 sebagai berikut : δ 1 (C , B ) = 2 / 3, δ 2 (C , B ) = 1, δ 3 (C , B ) = 1 / 2, δ 4 (C , B ) = 1 / 3, δ 5 (C , B ) = 1, δ 6 (C , B ) = 2 / 3, δ 7 (C , B ) = 1 / 2, δ 8 ( C , B ) = 1.
Dengan menggunakan persamaan (37), (38), dan (39) maka : δ m in ( C , B ) = 1 / 2, δ m ax ( C , B ) = 1 , dan δ avg ( C , B ) = 17 / 24 . Selain itu, hasil dari derajat ketergantungan B menentukan C adalah sebagai berikut :
δ1 ( B, C ) = 2 / 5, δ 3 ( B, C ) = 1/ 3, δ 5 ( B, C ) = 1/ 3, δ 7 ( B, C ) = 1/ 5,
δ 2 ( B, C ) = 2 / 5, δ 4 ( B, C ) = 1/ 3, δ 6 ( B, C ) = 2 / 5, δ 8 ( B, C ) = 2 / 5.
Selanjutnya, derajat ketergantungan B menentukan C kemudian disamakan dengan derajat ketergantungan C menentukan B, sehingga : δ i ( C , B ) ≥ δ i ( B , C ), ∀ i .
Persamaan di atas memenuhi persamaan (16) sehingga dapat disimpulkan bahwa C → B (C menentukan B) yang terdapat pada Tabel 3. 4.5 Rekonstruksi Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi. Pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi digunakan untuk menghasilkan relasi di antara himpunan fuzzy dengan membangun tabel keputusan yang sederhana pada sistem informasi I yang diberikan. Pengertian reduksi artinya mereduksi sistem informasi fuzzy menjasi tabel keputusan yang lebih sederhana dan proyeksi artinya adalah proyeksi pada himpunan fuzzy untuk menghasilkan relasi di antara dua himpunan fuzzy. Berdasarkan pada jenis domain, atribut dapat dibagi menjadi dua kategori : 1. Atribut dengan domain himpunan fuzzy Yaitu atribut dengan domain yang dapat diekspresikan dengan himpunan fuzzy seperti umur, penghasilan, harga, angka mutu, dan lainnya. 2. Atribut dengan domain himpunan crisp Yaitu atribut dengan domain yang hanya dapat diekspresikan dengan data crisp seperti nama, kota, dan lainnya. a. Proyeksi pada Relasi ℜ Sebelum proyeksi dilakukan, setiap domain himpunan fuzzy yang akan diproyeksi dari relasi ℜ harus dibuat fuzzy partition terlebih dahulu. Bagian dari fuzzy partition disebut dengan fuzzy c-partition (Klir dan Yuan 1995), dengan c melambangkan angka dari kelas fuzzy yang dipartition. Hasil partition dari himpunan fuzzy merepresentasikan pendekatan dan pengartian kata dari penggunaan dasar kosa kata secara universal (Bosc et al. 1998). Selanjutnya, relasi antara dua himpunan fuzzy, X dan Y, berhubungan dengan himpunan atribut Con dan Dec, yaitu dengan
13
menggunakan perhitungan derajat ketergantungan atribut pada relasi ℜ pada persamaan (21). Persamaan (21) adalah modifikasi dari persamaan (15), dengan X dan C pada persamaan (15) menggunakan aturan yang sama. Kemudian dengan definisi α-cut, α∈ [0,1], akan didapatkan relasi sebagian daerah di antara dua himpunan atribut dengan menentukan derajat ketergantungan yang lebih besar atau sama dengan α. Dengan mempertimbangkan relasi di antara dua daerah yang derajat ketergantungannya lebih besar atau sama dengan α, akan dibentuk dua relasi asimetris yang dinyatakan pada dua tabel keputusan, dengan kolom atau domain α(Con,Dec) menganggap seperti bobot tuple pada relasi. Contoh 4
Tabel 4 Sistem Informasi dari Karir U
E
S
u01 u02 u03 u04 u05 u06 u07 u08 u09 u10 u11 u12 u13 u14 u15 u16 u17 u18 u19 u20 u21 u22 u23 u24
MS SHS PhD JHS ES SHS MS SHS MS SHS N JHS BA SHS BA SHS BA PhD ES JHS BA SHS BA SHS
400 150 470 200 125 250 420 175 415 275 100 300 350 315 355 150 374 500 125 200 360 255 340 250
Diberikan Tabel 4 yang merepresentasikan sistem informasi dari Karir I = (U, A = {E, S}) dan ℜ adalah relasi R(E, S). Variabel E dan S merupakan
domain himpunan fuzzy, dengan E adalah pendidikan (education) dan S adalah penghasilan (salary). Kemudian, akan diproyeksi E dan S dari relasi ℜ dengan tujuan untuk menemukan relasi di antara E dan S. Keterangan : le = low education (tingkat pendidikan rendah), me = medium education (tingkat pendidikan sedang), he = high education (tingkat pendidikan tinggi), ls = low salary (tingkat penghasilan rendah), ms = medium salary (tingkat penghasilan sedang), hs = high education (tingkat penghasilan tinggi), N = Tidak mempunyai latar belakang pendidikan apapun, ES =Sekolah Dasar (Elementary School), JHS = Sekolah Menengah Pertama (Junior High School), SHS = Sekolah Menengah Umum (Senior High School), BA = Strata 1 (Bachelor), MS = Strata 2 (Magister), PhD = Strata 3 (Doctor. Hasil dari partition dari dua atribut E dan S diasumsikan sebagai berikut : Education (E) = (le, me, he), Salary (S) = (ls, ms, hs). Dengan definisi fuzzy c-partition, fungsi keanggotaan himpunan fuzzy le, me, he, ls, ms, dan hs dapat diuraikan sebagai berikut : le = {1/N, 0.8/ES, 0.5/JHS}, me = {0.2/ES, 0.5/JHS, 0.9/SHS, 0.2/BA}, he = {0.1/SHS, 0.8/BA, 1/MS, 1/PhD}, ls ={1/100, 0.5/125}, ms ={0.5/125, 1/150, 1/175, 1/200, 1/250, 0.9/255, 0.5/275}, hs ={0.1/255, 0.5/275, 1/300, 1/315, 1/340, 1/350, 1/355, 1/360, 1/374, 1/400, 1/415, 1/420, 1/470, 1/500}. Dengan menggunaan persamaan (4), maka fungsi keanggotaan masing-masing objek dari atribut E dapat adalah sebagai berikut :
14
MS = {0/N, 0/ES, 0/JHS, 0/SHS, 0/BA, 1/MS, 0/PhD}, PhD = {0/N, 0/ES, 0/JHS, 0/SHS, 0/BA, 0/MS, 1/PhD}. Derajat kemiripan di antara setiap himpunan fuzzy (hasil fuzzy partition dengan data crisp yang ada pada Tabel 4) akan dihitung dengan menggunakan FCPR yang ada pada persamaan (12) dan dapat dilihat di Tabel 5 (perhitungan lihat Lampiran).
N
= {1/N, 0/ES, 0/JHS, 0/SHS, 0/BA, 0/MS, 0/PhD}, ES = {0/N, 1/ES, 0/JHS, 0/SHS, 0/BA, 0/MS, 0/PhD}, JHS = {0/N, 0/ES, 1/JHS, 0/SHS, 0/BA, 0/MS, 0/PhD}, SHS = {0/N, 0/ES, 0/JHS, 1/SHS, 0/BA, 0/MS, 0/PhD}, BA = {0/N, 0/ES, 0/JHS, 0/SHS, 1/BA, 0/MS, 0/PhD},
Tabel 5 Derajat Kemiripan dari Karir I = (U, A = {E, S}) U
E
S
le
me
he
ls
ms
hs
u01
MS
400
u02
SHS
150
0
0
1
0
0
1
0
0.9
0.1
0
1
0
u03
PhD
470
0
0
1
0
0
1
u04 u05
JHS
200
0.5
0.5
0
0
1
0
ES
125
0.8
0.2
0
0.5
0.5
0
u06
SHS
250
0
0.9
0.1
0
1
0
u07
MS
420
0
0
1
0
0
1
u08
SHS
175
0
0.9
0.1
0
1
0
u09
MS
415
0
0
1
0
0
1
u10
SHS
275
0
0.9
0.1
0
0.5
0.5
u11
N
100
1
0
0
1
0
0
u12
JHS
300
0
0.9
0.1
0
0
1
u13
BA
350
0
0.2
0.8
0
0
1
u14
SHS
315
0
0.9
0.1
0
0
1
u15
BA
355
0
0.2
0.8
0
0
1
u16
SHS
150
0
0.9
0.1
0
1
0
u17
BA
374
0
0.2
0.8
0
0
1
u18
PhD
500
0
0
1
0
0
1
u19
ES
125
0.8
0.2
0
0.5
0.5
0
u20
JHS
200
0
0.9
0.1
0
1
0
u21
BA
360
0
0.2
0.8
0
0
1
u22
SHS
255
0
0.9
0.1
0
0.9
0.1
u23
BA
340
0
0.2
0.8
0
0
1
u24
SHS
250
0
0.9
0.1
0
1
0
3.1
10.9
10
2
9.4
12.6
∑ Dengan menggunakan definisi derajat ketergantungan fungsi fuzzy pada relasi ℜ pada persamaan (21) akan didapatkan derajat ketergantungan antara atribut E dan S (perhitungan lihat Lampiran).
ϕℜ ({le}, {ls})
= 1,
ϕℜ ({me},{hs})
= 0.27,
ϕℜ ({ls},{me})
= 0.04,
15
ϕℜ ({hs},{le})
= 0,
ϕℜ ({me},{ls})
= 0.20,
U
E
S
0.2(E, S)
ϕℜ ({he},{hs})
= 0.75,
u1
le
ls
0.65
ϕℜ ({ms},{me}) = 0.71,
u2
le
ms
0.48
u3
me
ms
0.71
u4
me
hs
0.31
u5
he
hs
0.94
ϕℜ ({le},{ms})
= 0.16,
ϕℜ ({he},{ls})
= 0,
ϕℜ ({ls},{he})
= 0,
ϕℜ ({hs},{me})
= 0.31,
Tabel 7
Tabel 7 menyatakan kondisi yaitu E dan keputusan yaitu S. Dari Tabel 6 dan Tabel 7 dapat dikatakan bahwa “seseorang yang menerima S (penghasilan) yang tinggi, maka E (pendidikan) yang dimilikinya juga tinggi”. Ini yang disebut dengan fuzzy integrity constraint (FIC). Selain itu, himpunan fuzzy dapat digunakan untuk merepresentasikan relasi pada Tabel 6 dan Tabel 7 yaitu dengan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) yaitu pada konteks relasi, proposisi p dapat direpresentasikan dalam salah satu kanonik (bentuk yang resmi) : p : IF Con adalah X, THEN Dec adalah Y IS ϕ ℜ ( X , Y ), (45)
ϕℜ ({me},{ms}) = 0.82, ϕℜ ({ls},{le})
= 0.65,
ϕℜ ({ms},{he})
= 0.08,
ϕℜ ({le},{hs})
= 0,
ϕℜ ({he},{ms})
= 0.09,
ϕℜ ({ms},{le})
= 0.48,
ϕℜ ({hs},{he})
= 0.94.
Misalkan akan ditetapkan α ( Con , Dec ) ≥ 0.2 (derajat ketergantungan adalah lebih besar atau sama dengan 0.2). Terakhir, akan dibentuk dua tabel keputusan yaitu Tabel 6 dan Tabel 7 yang merepresentasikan hasil proyeksi dengan pendekatan data reduksi dari Tabel 4 untuk domain dua himpunan fuzzy, yaitu E (pendidikan) dan S (penghasilan).
Tabel 6
℘ 1 = (U , S , E , 0 .2 ( S , E ) )
U
S
u1 u2
℘ 2 = (U , E , S , 0 .2 ( E , S ) )
E
0.2(S, E)
ls
le
1.00
ls
me
0.20
u3
ms
me
0.82
u4
hs
me
0.27
u5
hs
he
0.75
Tabel 6 menyatakan kondisi yaitu S dan keputusan yaitu E.
atau bentuk kanonik lainnya, p : P(Dec adalah Y | Con adalah X) yaitu ϕ ℜ ( X , Y ), (46) dengan X, Y adalah bagian dari himpunan fuzzy pada dom(Con), dom(Dec), dan P(Dec adalah Y | Con adalah X) adalah peluang bersyarat. Tabel 6 dan Tabel 7 diekspresikan dengan menggunakan fuzzy proposition pada ekspresi (45) sebagai berikut : IF S = ls THEN E = le IS 1.00, IF E = le THEN S = ls IS 0.65, IF S = ls THEN E = me IS 0.20, IF E = le THEN S = ms IS 0.48, IF S = ms THEN E = me IS 0.82, IF E = me THEN S = ms IS 0.71, IF S = hs THEN E = me IS 0.27, IF E = me THEN S = hs IS 0.31, IF S = hs THEN E = he IS 0.75, IF E = he THEN S = hs IS 0.94. IF adalah kondisi, THEN adalah keputusan, dan IS adalah derajat ketergantungan kondisi menentukan keputusan. Fuzzy proposition di atas dapat dianggap sebagai aturan keputusan dengan adanya sistem keputusan. Hal ini adalah
16
aplikasi knowledge discovery and data mining (KDD). Domain skalar pada Tabel 6 dan Tabel 7 yang direpresentasikan dengan himpunan fuzzy menyatakan sebagian daerah dari atribut seperti yang diberikan pada fungsi keanggotaan. Derajat relasi ketergantungan ( ϕ ℜ ) antara dua himpunan domain skalar adalah tidak asimetris. Sebagai contoh, derajat ketergantungan hs dengan diberikan he adalah sama dengan 0.94 sedangkan derajat ketergantungan dari he dengan diberikannya hs adalah sama dengan 0.75, ({hs},{he}) = 0.94, ({he},{hs}) = 0.75. Dari dua nilai asimetris ini dapat p
disimpulkan bahwa he →hs (he menentukan hs pada sebagian daerah) karena memenuhi ϕ ℜ ({hs},{he}) ≥ ϕ ℜ ({he},{hs}) . Secara verbal dapat dikatakan bahwa “seseorang yang mempunyai he (pendidikan tinggi) seharusnya menerima hs (panghasilan tinggi)” daripada mengatakan “seseorang yang menerima hs (penghasilan tinggi) seharusnya memiliki he (pendidikan tinggi)”. Ini terlihat bahwa hs pada relasi he mengambil area yang lebar dari pada he pada relasi hs. he tidak mempunyai relasi kecuali relasi dengan hs. Hal ini berarti tidak ada kelayakan dari S untuk seseorang yang mempunyai he (kecuali seseorang tersebut menerima hs). Pada penanganan yang lain, hs mempunyai relasi baik he maupun me. Hal ini berarti bahwa masih mungkin untuk menerima hs bagi seseorang yang memiliki me, meskipun peluang untuk mendapatkan hs untuk orang yang memiliki me adalah lebih rendah daripada untuk orang yang memiliki he. Pada dunia nyata, relasi ini digunakan untuk KDD. Hasil dari aplikasi tersebut akan diperlukan untuk proses pembuat keputusan, meskipun pada tulisan ini tidak mempunyai implementasi untuk menguji aplikasi ini secara detail.
4.6 Pendekatan Data Query Data query adalah salah satu aplikasi dari relasi database. Untuk membangun tabel keputusan diperlukan relasi fuzzy query. Metode yang berdasarkan pada FCPR digunakan untuk proses pendekatan data query pada pemberian relasi fuzzy. Pendekatan data query adalah pendekatan data yang menggunakan peluang query, peluang query memperlihatkan nilai peluang pada proses data query. Proses data query ditujukan pada dua kerangka yaitu berdasarkan pada input bergantung dan input bebas. Pada kasus ini, input bergantung berhubungan dengan operasi AND dan input bebas berhubungan dengan operasi OR dengan tujuan yaitu untuk menghasilkan output yang relevan. Ini dapat terlihat pada contoh bahwa metode yang memenuhi relasi klasik (crisp) dari data adalah sama baiknya seperti relasi fuzzy. Kemudian, akan diperkenalkan relasi fuzzy query yang berhubungan dengan tabel keputusan pada bagian sebelumnya yaitu seperti pendekatan data query. a. Data Query Berdasarkan Input yang Bergantung Proses data query berdasarkan input yang bergantung berhubungan dengan operasi AND yang menggunakan fungsi minimum seperti standar t-norm pada operasi himpunan fuzzy. Dengan menggunakan definisi peluang query untuk input yang bergantung pada persamaan (27), jika Qˆ ℜ (b* | a*1 ,..., a* n )α = 1 ,
maka proses data query input a *1 , ..., a * n hanya ada satu output yang pasti b* pada relasi ℜ . Sebaliknya, jika Qˆℜ(b* | a*1,..., a*n )α = 0, maka tidak ada peluang untuk menemukan output b* dengan input yang diberikan a *1 , ..., a * n pada relasi ℜ . Contoh 5
Tabel 8 Relasi R(N, C, G) N
C
G
John (j)
Matematika (m)
A
John (j)
Biologi (b)
B
John (j)
Kimia (k)
B
Paul (p)
Matematika (m)
B
Paul (p)
Kimia (k)
A
Paul (p)
Biologi (b)
A
17
Relasi ℜ dari R(N, C, G) terlihat pada Tabel 8. Keterangan : N = nama, C = Course (mata pelajaran), G = Grade (huruf mutu). Kemudian diasumsikan bahwa akan dicari Qˆ ℜ ( G = 'A ' | N = 'j ') dan Qˆ ℜ (G='A' | N= ' j', C='m') dengan α = 0.1 .
Transformasi Tabel 8 dengan N=‘j’, C=‘m’, dan G=‘A’ dapat dilihat pada Lampiran. Dengan menggunakan persamaan (27), maka perhitungan menjadi : 1. Qˆ (G ='A ' | N = ' j ') 0.1 = 1 , ℜ
3
Berarti 1/3 dari mata pelajaran John mendapat nilai A. 2.
Qˆ ℜ (G ='A' | N ='j', C ='m') 0.1 = 1.
Berarti benar bahwa John mendapat nilai A untuk Matematika. Contoh di atas merupakan metode query yang didefinisikan berdasarkan pada definisi peluang query pada relasi database klasik. Peluang query, seperti hasil pada proses data query memperlihatkan nilai peluang pada proses data query. Dengan menguji semua nilai domain, maka akan dibentuk relasi fuzzy query yang berhubungan dengan tabel keputusan pada bagian sebelumnya.
0 .1 Tabel 10 R 2 ( C → G )
C
G
Q(G|C)0.1
Matematika
A
1/2
Biologi
A
1/2
Kimia
A
1/2
Matematika
B
1/2
Kimia
B
1/2
Biologi
B
1/2
Contoh 7 Tabel 4 pada Contoh 4 akan digunakan kembali untuk pendekatan data query berdasarkan input yang bergantung. Tabel 4 merepresentasikan sistem informasi dari Karir I = (U, A ={E, S}) dan ℜ adalah relasi R(E, S). Fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy high education (he), dan high salary (hs), diberikan sebagai berikut : he ={0.1/SHS, 0.8/BA, 1/MS, 1/PhD}, hs = {0.1/255, 0.5/275, 1/300, 1/315, 1/340, 1/350, 1/355, 1/360, 1/374, 1/400, 1/415, 1/420, 1/470, 1/500}. Dengan menggunakan persamaan (27), akan didapatkan peluang query untuk objek yang diberikan “he AND hs” (perhitungan lihat Lampiran). Qˆ ℜ (u1|he,hs) = 1/9.4 = 0.106, Qˆ ℜ (u2|he,hs) = 0,
Qˆ ℜ (u3|he,hs) = 1/9.4 = 0.106,
Contoh 6 Pada Tabel 8 akan dibuat relasi fuzzy query R1 ( N → G ) 0 .1 dan R 2 ( C → G ) 0 .1 , relasi tersebut merepresentasikan query untuk G diberikan input N dan query untuk G diberikan input C seperti yang terlihat pada Tabel 9 dan Tabel 10 (perhitungan lihat Lampiran).
Qˆ ℜ (u4|he,hs) = 0, Qˆ ℜ (u5|he,hs) = 0, Qˆ ℜ (u6|he,hs) = 0, Qˆ ℜ (u7|he,hs) = 1/9.4 = 0.106, Qˆ ℜ (u8|he,hs) = 0,
Qˆ ℜ (u9|he,hs) = 1/9.4 = 0.106, Qˆ ℜ (u10|he,hs) = 0.1/9.4 = 0.0106, Qˆ ℜ (u12|he,hs) = 0.1/9.4 = 0.0106,
0 .1 Tabel 9 R 1 ( N → G )
Qˆ ℜ (u13|he,hs) = 0.8/9.4 = 0.085,
N
G
Q(G|N)0.1
John
A
1/3
John
B
2/3
Qˆ ℜ (u15|he,hs) = 0.8/9.4 = 0.085,
Paul
B
1/3
Qˆ ℜ (u16|he,hs) = 0,
Paul
A
2/3
Qˆ ℜ (u17|he,hs) = 0.8/9.4 = 0.085,
Qˆ ℜ (u14|he,hs) = 0.1/9.4 = 0.0106,
Qˆ ℜ (u18|he,hs) = 1/9.4 = 0.106, Qˆ ℜ (u19|he,hs) = 0,
18
Qˆ ℜ (u20|he,hs) = 0,
Qˆ ℜ (he,hs| u5) = 0,
Qˆ ℜ (u21|he,hs) = 0.8/9.4 = 0.085,
Qˆ ℜ (he,hs| u6) = 0,
Qˆ ℜ (u22|he,hs) = 0.1/9.4 = 0.0106,
Qˆ ℜ (he,hs| u7) = 1,
Qˆ ℜ (u23|he,hs) = 0.8/9.4 = 0.085,
Qˆ ℜ (he,hs| u8) = 0,
Qˆ ℜ (u24|he,hs) = 0.
Qˆ ℜ (he,hs| u9) = 1,
Bilangan 9.4 adalah jarak dari “he AND hs” pada relasi ℜ . Dengan kata lain, 9.4 adalah total nilai keanggotaan dari output (objek) yang memenuhi he dan hs, serta memenuhi, 24
∑ Qˆ r =1
ℜ
( u r | h e , h s ) = 1.
Sebagai contoh, nama u1 mengambil 1/9.4 = 0.0106 bagian dari seluruh output, tapi u12 mengambil 0.1/9.4 = 0.0106 dari seluruh output. Diasumsikan bahwa hanya objek yang peluang query lebih besar atau sama dengan 0.5/9.4 = 0.0503 yang akan diambil sehingga akan ditetapkan α = 0.5/9.4 = 0.0503. Ini memberikan relasi fuzzy query seperti yang terlihat pada Tabel 11. Tabel 11 R ( E , S → U )
0 .5 / 9 .4
E
S
U
Qˆ (U | E , S ) 0 .5 / 9 .4
He
hs
u1
1/9.4 = 0.106
He
hs
u3
1/9.4 = 0.106
he
hs
u7
1/9.4 = 0.106
he
hs
u9
1/9.4 = 0.106
he
hs
u13
0.8/9.4 = 0.085
he
hs
u15
0.8/9.4 = 0.085
he
hs
u17
0.8/9.4 = 0.085
he
hs
u18
1/9.4 = 0.106
he
hs
u21
0.8/9.4 = 0.085
he
hs
u23
0.8/9.4 = 0.085
Pada penanganan yang lain, akan dihitung derajat keanggotaan dari kesesuaian antara setiap output dan input yang diberikan yaitu “he AND hs” dengan peluang query untuk “he AND hs” diberikan objek sebagai berikut : Qˆ ℜ (he,hs| u1) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u2) = 0, Qˆ ℜ (he,hs| u3) = 1,
Qˆ ℜ (he,hs| u4) = 0,
Qˆ ℜ (he,hs| u10) = 0.1, Qˆ ℜ (he,hs| u11) = 0,
Qˆ ℜ (he,hs| u12) = 0.1, Qˆ ℜ (he,hs| u13) = 0.8, Qˆ ℜ (he,hs| u14) = 0.1, Qˆ ℜ (he,hs| u15) = 0.8, Qˆ ℜ (he,hs| u16) = 0,
Qˆ ℜ (he,hs| u17) = 0.8, Qˆ ℜ (he,hs| u18) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u19) = 0,
Qˆ ℜ (he,hs| u20) = 0, Qˆ ℜ (he,hs| u21) = 0.8, Qˆ ℜ (he,hs| u22) = 0.1,
Qˆ ℜ (he,hs| u23) = 0.8, Qˆ ℜ (he,hs| u24) = 0.
Ini berarti u1, u3, u7, u9, dan u18 memenuhi “he dan hs” dengan derajat keanggotaan sama dengan 1. Jarak atau kardinalitas dari “he AND hs” dapat ditentukan sebagai berikut : 24
∑ Qˆ r =1
ℜ
( h e , h s | u r ) = | h e , h s | = 9 .4 ,
dengan |he, hs| berarti jarak atau kardinalitas dari “he AND hs”. Selain itu, himpunan fuzzy dapat digunakan untuk merepresentasikan penamaan fuzzy “he AND hs” di atas himpunan dari objek U, seperti : “he AND hs” = {1/u1, 1/u3, 1/u7, 1/u9, 0.1/u10, 0.8/u13, 0.1/u14, 0.8/u15, 0.8/u17, 1/u18, 0.8/u21, 0.1/u22, 0.8/u23}. Ekspresi (45) yaitu fuzzy proposition dapat digunakan untuk merepresentasikan aturan keputusan dengan adanya tabel keputusan, seperti pada Tabel 12 dan Tabel 13.
19
Tabel 12 IF {E dan S} THEN U IS nilai IF
{(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)}
THEN
dan dan dan dan dan dan dan dan dan dan dan dan dan
U u1 U u3 U u7 U u9 U u10 U u12 U u13 U u14 U u15 U u17 U u21 U u22 U u23
IS
Tabel 13 IF U THEN {E dan S} IS nilai IF
THEN
adalah
0.106
U adalah u1
adalah
0.106
U adalah u3
adalah
0.106
U adalah u7
adalah
0.106
U adalah u9
adalah
0.0106
U adalah u10
adalah
0.0106
U adalah u12
adalah
0.085
U adalah u13
adalah
0.0106
U adalah u14
adalah
0.085
U adalah u15
adalah
0.085
U adalah u17
adalah
0.085
U adalah u21
adalah
0.0106
U adalah u23
adalah
0.085
U adalah u22
b. Data Query berdasarkan Input yang Bebas Proses data query berdasarkan input yang bebas berhubungan dengan operasi OR yang menggunakan fungsi maksimum seperti standar t-conorm pada operasi himpunan fuzzy. Pada kasus ini, input akan dianggap bebas seperti input yang diberikan secara bebas dengan tujuan yang sama yaitu menghasilkan output yang relevan. Contoh 8 Tabel 4 pada Contoh 4 akan digunakan kembali untuk pendekatan data query berdasarkan input yang bergantung. Tabel 4 merepresentasikan sistem informasi dari Karir I = (U, A ={E, S}) dan ℜ adalah relasi R(E, S). Fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy high education (he), dan high salary (hs), diberikan sebagai berikut : he ={0.1/SHS, 0.8/BA, 1/MS, 1/PhD}, hs = {0.1/255, 0.5/275, 1/300, 1/315, 1/340, 1/350, 1/355, 1/360, 1/374, 1/400, 1/415, 1/420, 1/470, 1/500}.
{(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)}
IS
dan
1
dan
1
dan
1
dan
1
dan
0.1
dan
0.1
dan
0.8
dan
0.1
dan
0.8
dan
0.8
dan
0.8
dan
0.8
dan
0.1
Dengan menggunakan persamaan (30), akan dihitung peluang query untuk objek diberikan “he OR hs”, sebagai berikut : Qˆ ℜ (u1|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ ℜ (u2|he,hs) = 0.1/13.2 = 0.0076, Qˆ ℜ (u3|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ ℜ (u4|he,hs) = 0,
Qˆ ℜ (u5|he,hs) = 0, Qˆ ℜ (u6|he,hs) = 0.1/13.2 = 0.0076, Qˆ ℜ (u7|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ ℜ (u8|he,hs) = 0.1/13.2 = 0.0076, Qˆ ℜ (u9|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ ℜ (u10|he,hs) = 0.5/13.2 = 0.0379,
Qˆ ℜ (u11|he,hs) = 0, Qˆ ℜ (u12|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ (u13|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, ℜ
Qˆ ℜ (u14|he,hs) = 1/13.2 = 0.076,
Qˆ ℜ (u15|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ ℜ (u16|he,hs) =0.1/13.2 = 0.0076,
20
Qˆ ℜ (u17|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ ℜ (u18|he,hs) = 1/13.2 = 0.076, Qˆ ℜ (u19|he,hs) = 0,
query untuk “he OR hs” diberikan objek sebagai berikut : Qˆ ℜ (he,hs| u1) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u2) = 0.1,
Qˆ ℜ (u20|he,hs) = 0.1/13.2 = 0.0076,
Qˆ ℜ (he,hs| u3) = 1,
Qˆ ℜ (u21|he,hs) = 1/13.2 = 0.076,
Qˆ ℜ (he,hs| u4) = 0,
Qˆ ℜ (u22|he,hs) = 0.1/13.2 = 0.0076,
Qˆ ℜ (he,hs| u5) = 0,
Qˆ ℜ (u23|he,hs) = 1/13.2 = 0.076,
Qˆ ℜ (he,hs| u6) = 0.1,
Qˆ ℜ (u24|he,hs) = 0.1/13.2 = 0.0076.
Qˆ ℜ (he,hs| u7) = 1,
Bilangan 13.2 adalah jarak dari “he OR hs” pada relasi ℜ . Dengan kata lain, 13.2 adalah total nilai keanggotaan dari output (objek) yang memenuhi “he OR hs”, serta memenuhi, 24
∑ Qˆ r =1
ℜ
Qˆ ℜ (he,hs| u8) = 0.1, Qˆ ℜ (he,hs| u9) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u10) = 0.5, Qˆ ℜ (he,hs| u11) = 0,
( u r | h e , h s ) = 1.
Qˆ ℜ (he,hs| u12) = 1,
Sebagai contoh, nama u1 mengambil 1/13.2 = 0.076 bagian dari seluruh output, tapi u2 mengambil 0.1/13.2 = 0.0076 dari seluruh output. Diasumsikan bahwa hanya objek yang peluang querynya lebih besar atau sama dengan 0.5/13.2 = 0.0379 yang akan diambil sehingga akan ditetapkan α=0.5/13.2. Ini memberikan relasi fuzzy query seperti yang terlihat pada Tabel 14.
Qˆ ℜ (he,hs| u13) = 1,
Qˆ ℜ (he,hs| u14) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u15) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u16) = 0.1,
Qˆ ℜ (he,hs| u17) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u18) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u19) = 0,
Qˆ ℜ (he,hs| u20) = 0.1,
Tabel 14 R ( E , S → U ) 0 .5 / 1 3 .2 E
S
U
Qˆ (U | E , S ) 0 .5 / 1 3 .2
he
hs
u1
1/13.2 = 0.076
he
hs
u3
1/13.2 = 0.076
he
hs
u7
1/13.2 = 0.076
he
hs
u9
1/13.2 = 0.076
he
hs
u10
0.5/13.2 = 0.0379
he
hs
u12
1/13.2 = 0.076
he
hs
u13
1/13.2 = 0.076
he
hs
u14
1/13.2 = 0.076
he
hs
u15
1/13.2 = 0.076
he
hs
u17
1/13.2 = 0.076
he
hs
u18
1/13.2 = 0.076
he
hs
u21
1/13.2 = 0.076
he
hs
u23
1/13.2 = 0.076
Pada penanganan yang lain, akan dihitung derajat keanggotaan dari kesesuaian antara setiap output dan input yang diberikan yaitu “he OR hs” dengan peluang
Qˆ ℜ (he,hs| u21) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u22) = 0.1, Qˆ ℜ (he,hs| u23) = 1, Qˆ ℜ (he,hs| u24) = 0.1.
Ini berarti u1, u3, u7, u9, u12, u13, u14, u15, u17, u18, u21, dan u23 memenuhi “he OR hs” dengan derajat keanggotaan sama dengan 1. Jarak atau kardinalitas dari “he OR hs” dapat ditentukan sebagai berikut : 24
∑ Qˆ r =1
ℜ
( h e , h s | u r ) = | h e , h s | = 1 3 .2 ,
dengan |he, hs| berarti jarak atau kardinalitas dari “he OR hs”. Selain itu, himpunan fuzzy dapat digunakan untuk merepresentasikan penamaan fuzzy “he OR hs” di atas himpunan dari objek U, seperti : “he OR hs” = {1/u1, 0.1/u2, 1/u3, 0.1/u6, 1/u7, 0.1/u8, 1/u9, 0.5/u10, 1/u12, 1/u13, 1/u14, 1/u15, 0.1/u16, 1/u17, 1/u18, 0.1/u20, 1/u21, 0.1/u22, 1/u23, 0.1/u24}.
21
Ekspresi (45) yaitu fuzzy proposition dapat digunakan untuk merepresentasikan aturan keputusan dengan adanya tabel keputusan, seperti pada Tabel 15 dan Tabel 16. Tabel 15 IF {E atau S} THEN U IS nilai IF
{(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)}
atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau atau
Tabel 16 IF U THEN {E atau S} IS nilai IF
U adalah u1 U adalah u2 U adalah u3
THEN
IS
U adalah u1 U adalah u2 U adalah u3 U adalah u6 U adalah u7 U adalah u8 U adalah u9 U adalah u10 U adalah u12 U adalah u13 U adalah u14 U adalah u15 U adalah u16 U adalah u17 U adalah u18 U adalah u20 U adalah u21 U adalah u22 U adalah u23 U adalah u24
0.076
U adalah u6
0.0076
U adalah u7
0.076
U adalah u8
0.0076
U adalah u9
0.076
U adalah u10
0.0076
U adalah u12
0.076
U adalah u13
0.0379
U adalah u14
0.076
U adalah u15
0.076
U adalah u16
0.076
U adalah u17
0.076
U adalah u18
0.0076
U adalah u20
0.076
U adalah u21
0.076
U adalah u22
0.0076
U adalah u23
0.076
U adalah u24
0.076 0.076 0.076
THEN
{(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)} {(E adalah he) (S adalah hs)}
IS
atau
1
atau
0.1
atau
1
atau
0.1
atau
1
atau
0.1
atau
1
atau
0.5
atau
1
atau
1
atau
1
atau
1
atau
0.1
atau
1
atau
1
atau
0.1
atau
1
atau
0.1
atau
1
atau
0.1
Proses tujuan data query tidak diberikan hanya untuk memeriksa relasi output ke dalam input yang diberikan, tetapi juga derajat dari padanan antara output yang pasti dan input yang diberikan. Pada kasus ini, derajat peluang query, Q, memperlihatkan apakah output pasti adalah satu-satunya output yang memenuhi input yang diberikan atau ada output lainnya yang memenuhi input yang diberikan. Hasil dari proses data query sangat berguna untuk informasi kembali.
22
V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Kesimpulan dari tulisan ini adalah : 1. Pendekatan perhitungan menggunakan relasi peluang bersyarat fuzzy (FCPR) berguna untuk menentukan derajat dari relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy. Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, RT (H, AP) ≥ RT (AP, H) (derajat
kemiripan AP yang serupa dengan H adalah lebih besar dari derajat kemiripan H yang serupa dengan AP) sehingga dapat disimpulkan bahwa derajat kemiripan antara dua himpunan fuzzy adalah berbeda. 2. Pendekatan perhitungan menggunakan αobjek redundan berguna untuk mereduksi angka dari aturan keputusan dengan adanya tabel keputusan. Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, u1 adalah objek redundan karena u1 sudah tercakup pada u2 (kuda termasuk ke dalam grup mamalia) sehingga u1 (kuda) dapat dihilangkan. 3. Pendekatan perhitungan menggunakan ketergantungan fungsi fuzzy (FFD) berguna untuk menentukan ketergantungan atribut. Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, δi (C, B) ≥δi (B,C),∀i (derajat ketergantungan C menentukan B lebih besar dari derajat ketergantungan B menentukan C) sehingga
dapat disimpulkan bahwa atribut C menentukan atribut B ( C → B ). 4. Pendekatan perhitungan menggunakan data reduksi dan proyeksi berguna untuk menemukan relasi di antara himpunan fuzzy dan menghasilkan fuzzy integrity constraints (FIC). Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, dapat disimpulkan bahwa “seseorang yang menerima S (penghasilan) yang tinggi, maka E (pendidikan) yang dimilikinya juga tinggi”. 5. Pendekatan perhitungan menggunakan data query berguna untuk memperoleh suatu informasi yang diperlukan dengan adanya tabel keputusan. Derajat dari padanan (peluang query), Q, memperlihatkan apakah output pasti adalah satu-satunya output yang memenuhi input yang diberikan atau ada output lainnya yang memenuhi input yang diberikan. 5.2 Saran Pada tulisan ini telah dibahas aplikasi relasi peluang bersyarat fuzzy (FCPR) pada sistem informasi fuzzy sederhana yang dibatasi pada pembelajaran konsep. Penulis menyarankan untuk selanjutnya pembelajaran konsep ini diuji dengan menggunakan software yang sesuai.
DAFTAR PUSTAKA Armstrong WW. 1974. Dependency Structures of Database Relationship. Inform Processing, pp 580-583. Bazdek JC. 1981. Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms. Plenum, New York. Bosc P, Dubois D, Prade H. 1998. Fuzzy Functional Dependencies and Redundancy Elimination. J Am SOC Inf Sci 49(3) : 217-235. Intan R, Mukaidono M. 2000a. Conditional Probability Relations in
Fuzzy Relational Database. Proc of the Second Inte Conf on RSCTC’00, pp 213222. Intan R, Mukaidono M. 2000b. Application of Conditional Probability in Constructing Fuzzy Functional Dependency (FFD). Proc of AFSS’00, pp 271-276. Intan R, Mukaidono M. 2000c. Fuzzy Functional Dependency and Its Application to Approximate Querying. Proc of IDEAS’00, pp 271-276.
23
Intan R, Mukaidono M. 2004. Fuzzy Conditional Probability Relations and their Applications in Fuzzy Information Systems. Knowledge and Information Systems (2004) 6 : 345-365. http://www.proquest.pqdweb.com/fuzzy relation. [14 Februari 2008]
Pawlak Z. 1991. Rough Sets Theoretical Aspects of Reasoning about Data. Kluwer
Klir GJ, Yuan B. 1995. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic : Theory and Applications. Prentice-Hall, New Jersey.
Yager RR. 1990. Ordinal Measures of Specificity. Int J Gen Syst 17:57-72.
Kusumadewi, S. 2002. Analisis Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Tool Box Matlab. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Zadeh LA. 1970. Similarity Relations and Fuzzy Orderings. Inf Sci 3(2) :177-200.
24
LAMPIRAN
LAMPIRAN 1 Hasil Transformasi Tabel 3
25
Tabel 17 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z1’}) U
c1 = ’w1’
c2 = ’x1’
c3 = ’ y1 ’
b1 = ’ z1’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
1 1 0 1 0 1 0 1 5
1 0 0 1 0 1 0 0 3
1 0 0 1 1 1 0 0 4
1 1 0 0 0 1 1 1 5
1 0 0 1 0 1 0 0 3
1 0 0 0 0 1 0 0 2
δ 1 (C , B ) =
∑ min( c , c , c , b ) = ∑ min( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
3
2 , 3
δ1 ( B, C ) =
∑ m in( c , c , c , b ) = ∑ m in( b ) 1
2
3
1
1
2 . 5
Tabel 18 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) U
c1 = ’w1’
c2 = ’x2’
c3 = ’ y3 ’
b1 = ’ z1’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
1 1 0 1 0 1 0 1 5
0 1 1 0 1 0 1 1 5
0 1 1 0 0 0 1 1 4
1 1 0 0 0 1 1 1 5
0 1 0 0 0 0 0 1 2
0 1 0 0 0 0 0 1 2
δ 2 (C , B ) =
∑ m in( c , c , c , b ) ∑ m in( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
=
3
2 = 1, 2
δ 2 (B,C ) =
∑ m in( c , c , c , b ) ∑ m in( b ) 1
2
3
1
=
1
2 . 5
Tabel 19 I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z2’}) U
c1 = ’w2’
c2 = ’x2’
c3 = ’ y3 ’
b1 = ’ z2’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
0 0 1 0 1 0 1 0 3
0 1 1 0 1 0 1 1 5
0 1 1 0 0 0 1 1 4
0 0 1 1 1 0 0 0 3
0 0 1 0 0 0 1 0 2
0 0 1 0 0 0 0 0 1
δ 3 (C , B ) =
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
3
=
1 , 2
δ3(B,C ) =
Tabel 20 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z2’})
∑ m in( c , c , c , b ) ∑ m in ( b ) 1
2
3
1
1
=
1 . 3
26
U
c1 = ’w1’
c2 = ’x1’
c3 = ’ y1 ’
b1 = ’ z2’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
1 1 0 1 0 1 0 1 5
1 0 0 1 0 1 0 0 3
1 0 0 1 1 1 0 0 4
0 0 1 1 1 0 0 0 3
1 0 0 1 0 1 0 0 3
0 0 0 1 0 0 0 0 1
δ 4 (C , B ) =
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in ( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
=
3
1 , 3
δ 4 (B,C ) =
∑ m in( c , c , c , b ) ∑ m in ( b ) 1
2
3
1
=
1
1 . 3
Tabel 21 I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z2’}) U
c1 = ’w2’
c2 = ’x2’
c3 = ’ y1 ’
b1 = ’ z2’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
0 0 1 0 1 0 1 0 3
0 1 1 0 1 0 1 1 5
1 0 0 1 1 1 0 0 4
0 0 1 1 1 0 0 0 3
0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1
δ 5 (C , B ) =
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in ( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
=
3
1 = 1, 1
δ5 (B,C ) =
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in ( b ) 1
2
3
1
=
1
1 . 3
Tabel 22 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z1’}) U
c1 = ’w1’
c2 = ’x1’
c3 = ’ y1 ’
b1 = ’ z1’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
1 1 0 1 0 1 0 1 5
1 0 0 1 0 1 0 0 3
1 0 0 1 1 1 0 0 4
1 1 0 0 0 1 1 1 5
1 0 0 1 0 1 0 0 3
1 0 0 0 0 1 0 0 2
δ 6 (C , B ) =
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
3
=
2 , 3
δ 6 (B,C ) =
Tabel 23 I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’})
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in( b ) 1
2
3
1
1
=
2 . 5
27
U
c1 = ’w2’
c2 = ’x2’
c3 = ’ y3 ’
b1 = ’ z1’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
0 0 1 0 1 0 1 0 3
0 1 1 0 1 0 1 1 5
0 1 1 0 0 0 1 1 4
1 1 0 0 0 1 1 1 5
0 0 1 0 0 0 1 0 2
0 0 0 0 0 0 1 0 1
δ 7 (C , B ) =
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in ( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
=
3
1 , 2
δ7 (B,C ) =
∑ m in( c , c , c , b ) ∑ m in( b ) 1
2
3
1
=
1
1 . 5
Tabel 24 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) U
c1 = ’w1’
c2 = ’x2’
c3 = ’ y3 ’
b1 = ’ z1’
min (c1, c2, c3)
min (c1, c2, c3, b1)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 ∑
1 1 0 1 0 1 0 1 5
0 1 1 0 1 0 1 1 5
0 1 1 0 0 0 1 1 4
1 1 0 0 0 1 1 1 5
0 1 0 0 0 0 0 1 2
0 1 0 0 0 0 0 1 2
δ 8 (C , B ) =
∑ m in ( c , c , c , b ) ∑ m in ( c , c , c ) 1
2
1
3
2
1
=
3
2 = 1, 2
δ8 (B,C ) =
∑ m in( c , c , c , b ) ∑ m in( b ) 1
2
3
1
=
1
2 . 5
LAMPIRAN 2 Perhitungan Tabel 5 untuk Contoh 4
Derajat kemiripan antara setiap himpunan fuzzy (hasil dari fuzzy partition dengan data crisp yang ada pada Tabel 5) akan dihitung dengan menggunakan FCPR sebagai berikut : RE(he, N)
= | he ∩ N | = min(0,1) = 0, |N|
1
RE(he, ES) = | he ∩ ES | = min(0,1) = 0, 1 | ES |
RE(he, MS) = | he ∩ MS | = min(1,1) = 1, | MS |
RE(he, JHS) = | he ∩ JHS | = min(0,1) = 0, | JHS |
1
RE(he, SHS) = | he ∩ SHS | = min(0.1,1) 1 | SHS |
= 0.1,
RE(he, BA) = | he ∩ BA | = min(0.8,1) | BA |
= 0.8,
1
1
RE(he, PhD) = | he ∩ PhD | = min(1,1) = 1, 1 | PhD | RE(me, N)
= | me ∩ N | = min(0,1) = 0,
RE(me, ES)
= | me ∩ ES | = min(0, 0.2) 1 | ES |
|N|
1
= 0.2, RE(me, JHS) = | me ∩ JHS | = min(0.5,1) | JHS |
= 0.5,
1
28
RE(me, SHS) = | me ∩ SHS | = min(0.9,1) 1
| SHS |
= 0.9,
RE(me, BA)
= | me ∩ BA | = min(0.2,1)
= 0.2,
1
| BA |
RS(hs, 350) = | hs ∩ 350 | = min(1,1) = 1, | 350 |
1
RS(hs, 355) = | hs ∩ 355 | = min(1,1) = 1, 1 | 355 | RS(hs, 360) = | hs ∩ 360 | = min(1,1) = 1, | 360 |
1
RE(me, MS) = | me ∩ MS | = min(0,1) = 0, 1 | MS |
RS(hs, 374) = | hs ∩ 374 | = min(1,1) = 1, 1 | 374 |
RE(me, PhD) = | me ∩ PhD | = min(0,1)
RS(hs, 400) = | hs ∩ 300 | = min(1,1) = 1,
1
| PhD |
= 0,
RE(le, N) = | le ∩ N | = min(1,1) = 1, |N|
1
RE(le, ES) = | le ∩ ES | = min(0.8,1) = 0.8, | ES |
1
RE(le, JHS) = | le ∩ JHS | = min(0.5,1) = 0.5, 1
| JHS |
RE(le, SHS) = | le ∩ SHS | = min(0,1) = 0, RE(le, BA) = | le ∩ BA | = min(0,1) = 0, 1
RS(hs, 420) = | hs ∩ 420 | = min(1,1) = 1, | 420 |
1
RS(hs, 470) = | hs ∩ 470 | = min(1,1) = 1, 1 | 470 | RS(hs, 500) = | hs ∩ 500 | = min(1,1) = 1, | 500 |
1
RS(ms, 100) = | ms ∩ 100 | = min(0,1) = 0, | 100 |
RE(le, MS) = | le ∩ MS | = min(0,1) = 0, | MS |
1
1
| SHS |
| BA |
| 300 |
RS(hs, 415) = | hs ∩ 415 | = min(1,1) = 1, 1 | 415 |
1
RS(ms, 125) = | ms ∩ 125 | = min(0.5,1) | 125 |
RE(le, PhD) = | le ∩ PhD | = min(0,1) = 0, 1 | PhD |
1
1
= 0.5, RS(ms, 150) = | ms ∩ 150 | = min(1,1) = 1, | 150 |
1
RS(hs, 100) = | hs ∩ 100 | = min(0,1) = 0,
RS(ms, 175) = | ms ∩ 175 | = min(1,1) = 1, 1 | 175 |
RS(hs, 125) = | hs ∩ 125 | = min(0,1) = 0, 1 | 125 |
RS(ms, 200) = | ms ∩ 200 | = min(1,1) = 1,
RS(hs, 150) = | hs ∩ 150 | = min(0,1) = 0, 1 | 150 |
RS(ms, 250) = | ms ∩ 250 | = min(1,1) = 1, 1 | 250 |
RS(hs, 175) = | hs ∩ 175 | = min(0,1) = 0,
RS(ms, 255) = | ms ∩ 255 | = min(0.9,1)
| 100 |
| 175 |
1
1
RS(hs, 200) = | hs ∩ 200 | = min(0,1) = 0, 1 | 200 | RS(hs, 250) = | hs ∩ 250 | = min(0,1) = 0, 1 | 250 |
| 200 |
1
1
| 255 |
= 0.9, RS(ms, 275) = | ms ∩ 275 | = min(0.5,1) 1
| 275 |
= 0.5,
RS(hs, 255) = | hs ∩ 255 | = min(0.1,1) = 0.1, 1 | 255 |
RS(ms, 300) = | ms ∩ 300 | = min(0,1) = 0,
RS(hs, 275) = | hs ∩ 275 | = min(0.5,1) = 0.5, 1 | 275 |
RS(ms, 315) = | ms ∩ 315 | = min(0,1) = 0, 1 | 315 |
RS(hs, 300) = | hs ∩ 300 | = min(1,1) = 1,
RS(ms, 340) = | ms ∩ 340 | = min(0,1) = 0,
RS(hs, 315) = | hs ∩ 315 | = min(1,1) = 1, 1 | 315 |
RS(ms, 350) = | ms ∩ 350 | = min(0,1) = 0, 1 | 350 |
RS(hs, 340) = | hs ∩ 340 | = min(1,1) = 1,
RS(ms, 355) = | ms ∩ 355 | = min(0,1) = 0,
| 300 |
| 340 |
1
1
| 300 |
| 340 |
| 355 |
1
1
1
29
RS(ms, 360) = | ms ∩ 360 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 255) = | ls ∩ 255 | =
RS(ms, 374) = | ms ∩ 374 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 275) = | ls ∩ 275 | = min(0,1) = 0,
RS(ms, 400) = | ms ∩ 300 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 300) = | ls ∩ 300 | = min(0,1) = 0,
RS(ms, 415) = | ms ∩ 415 | = min(0,1) = 0, 1 | 415 |
RS(ls, 315) = | ls ∩ 315 | = min(0,1) = 0, 1 | 315 |
RS(ms, 420) = | ms ∩ 420 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 340) = | ls ∩ 340 | = min(0,1) = 0,
RS(ms, 470) = | ms ∩ 470 | = min(0,1) = 0, 1 | 470 |
RS(ls, 350) = | ls ∩ 350 | = min(0,1) = 0, 1 | 350 |
RS(ms, 500) = | ms ∩ 500 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 355) = | ls ∩ 355 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 100) = | ls ∩ 100 | = min(1,1) = 1,
RS(ls, 360) = | ls ∩ 360 | = min(0,1) = 0, 1 | 360 |
1
| 360 |
1
| 374 |
1
| 300 |
1
| 420 |
1
| 500 |
| 100 |
1
RS(ls, 125) = | ls ∩ 125 | = min(0.5,1) 1 | 125 | = 0.5,
| 255 | | 275 | | 300 |
| 340 |
| 355 |
min(0,1) = 0, 1 1 1
1
1
RS(ls, 374) = | ls ∩ 374 | = min(0,1) = 0, | 374 |
1
RS(ls, 400) = | ls ∩ 300 | = min(0,1) = 0, 1 | 300 |
RS(ls, 150) = | ls ∩ 150 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 415) = | ls ∩ 415 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 175) = | ls ∩ 175 | = min(0,1) = 0, 1 | 175 |
RS(ls, 420) = | ls ∩ 420 | = min(0,1) = 0, 1 | 420 |
RS(ls, 200) = | ls ∩ 200 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 470) = | ls ∩ 470 | = min(0,1) = 0,
RS(ls, 250) = | ls ∩ 250 | = min(0,1) = 0, 1 | 250 |
RS(ls, 500) = | ls ∩ 500 | = min(0,1) = 0. 1 | 500 |
| 150 |
| 200 |
1
| 415 |
1
| 470 |
LAMPIRAN 3 Perhitungan Tabel 5
1
1
30
Tabel 25 Transformasi Tabel 5 me
he
ls
ms
hs
min (le, ls)
min (le, ms)
min (le, hs)
min (me, ls)
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0.9
0.1
0
1
0
0
0
0
0
u03
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
u04
0.5
0.5
0
0
1
0
0
0.5
0
0
u05
0.8
0.2
0
0.5
0.5
0
0.5
0.5
0
0.2
u06
0
0.9
0.1
0
1
0
0
0
0
0
u07
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
u08
0
0.9
0.1
0
1
0
0
0
0
0
u09
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
u10
0
0.9
0.1
0
0.5
0.5
0
0
0
0
u11
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
u12
0
0.9
0.1
0
0
1
0
0
0
0
u13
0
0.2
0.8
0
0
1
0
0
0
0
u14
0
0.9
0.1
0
0
1
0
0
0
0
u15
0
0.2
0.8
0
0
1
0
0
0
0
u16
0
0.9
0.1
0
1
0
0
0
0
0
u17
0
0.2
0.8
0
0
1
0
0
0
0
u18
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
u19
0.8
0.2
0
0.5
0.5
0
0.5
0.5
0
0.2
u20
0
0.9
0.1
0
1
0
0
0
0
0
u21
0
0.2
0.8
0
0
1
0
0
0
0
u22
0
0.9
0.1
0
0.9
0.1
0
0
0
0
u23
0
0.2
0.8
0
0
1
0
0
0
0
u24
0
0.9
0.1
0
1
0
0
0
0
0
∑
3.1
10.9
10
2
9.4
12.6
2
1.5
0
0.4
U
le
u01 u02
(Lanjutan Tabel 25) min U (me, ms)
min (me, hs)
min (he, ls)
min (he, ms)
min (he, hs)
min (ls, le)
min (ls, me)
min (ls, he)
31
u01
0
0
0
0
1
0
0
0
u02
0.9
0
0
0.1
0
0
0
0
u03
0
0
0
0
1
0
0
0
u04
0.5
0
0
0
0
0
0
0
u05
0.2
0
0
0
0
0.5
0.2
0
u06
0.9
0
0
0.1
0
0
0
0
u07
0
0
0
0
1
0
0
0
u08
0.9
0
0
0.1
0
0
0
0
u09
0
0
0
0
1
0
0
0
u10
0.5
0.5
0
0.1
0.1
0
0
0
u11
0
0
0
0
0
1
0
0
u12
0
0.9
0
0
0.1
0
0
0
u13
0
0.2
0
0
0.8
0
0
0
u14
0
0
0.1
0
0
0
0
0.9
u15
0
0.2
0
0
0.8
0
0
0
u16
0.9
0
0
0.1
0
0
0
0
u17
0
0
0
0
0.2
0
0
0.8
u18
0
0
0
0
1
0
0
0
u19
0.2
0
0
0
0
0.5
0.2
0
u20
0.9
0
0
0.1
0
0
0
0
u21
0
0.2
0
0
0.8
0
0
0
u22
0
0.1
0.1
0
0
0
0.9
0.1
u23
0
0.2
0
0
0.8
0
0
0
u24
0.9
0
0
0.1
0
0
0
0
∑
7.7
3.4
0
0.8
9.4
2
0.4
0
min (ms, me)
min (ms, he)
min (hs, le)
min (hs, me)
(Lanjutan Tabel 25) min U (ms, le)
min (hs, he)
32
u01
0
0
0
0
0
1
u02
0
0.9
0.1
0
0
0
u03
0
0
0
0
0
1
u04
0.5
0.5
0
0
0
0
u05
0.5
0.2
0
0
0
0
u06
0
0.9
0.1
0
0
0
u07
0
0
0
0
0
1
u08
0
0.9
0.1
0
0
0
u09
0
0
0
0
0
1
u10
0
0.5
0.1
0
0.5
0.1
u11
0
0
0
0
0
0
u12
0
0
0
0
0.9
0.1
u13
0
0
0
0
0.2
0.8
u14
0
0
0
0
0.9
0.1
u15
0
0
0
0
0.2
0.8
u16
0
0.9
0.1
0
0
0
u17
0
0
0
0
0.2
0.8
u18
0
0
0
0
0
1
u19
0.5
0.2
0
0
0
0
u20
0
0.9
0.1
0
0
0
u21
0
0
0
0
0.2
0.8
u22
0
0.9
0.1
0
0.1
0.1
u23
0
0
0
0
0.2
0.8
u24
0
0.9
0.1
0
0
0
∑
1.5
7.7
0.8
0
3.4
9.4
∑ m in( le , ls ) = 2 = 1, ∑ m in( ls ) 2 ϕℜ ({ls},{me}) = ∑ m in( ls , m e ) = 0.4 = 0.04, ∑ m in( m e ) 10.9 ϕℜ ({me},{ls}) = ∑ m in( m e , ls ) = 0.4 = 0.2, 2 ∑ m in( ls ) ϕℜ ({ms},{me})= ∑ m in( m s , m e ) = 7.7 = 0.71, ∑ m in( m e ) 10.9 ϕℜ ({he},{ls}) = ∑ m in( he , ls ) = 0 = 0, ∑ m in( ls ) 2 ϕℜ ({hs},{me}) = ∑ m in( hs , m e ) = 3.4 = 0.31, ∑ m in( m e ) 10.9 ϕℜ ({ls},{le})= ∑ m in( ls , le ) = 2 = 0.65, ∑ m in( le ) 3.1 ϕℜ ({le},{hs})= ∑ m in( le , hs ) = 0 = 0, ∑ m in( hs ) 12.6 ϕℜ ({ms},{le})= ∑ m in( m s , le ) = 1.5 = 0.48, 3.1 ∑ m in( le ) ϕℜ ({le}, {ls})
=
33
∑ m in( m e , hs ) = 3.4 = 0.27, ∑ m in( hs ) 12.6 ϕℜ ({hs},{le}) = ∑ m in( hs , le ) = 0 = 0, ∑ m in( le ) 3.1 ϕℜ ({he},{hs})= ∑ m in( he , hs ) = 9.4 = 0.75, ∑ m in( hs ) 12.6 ϕℜ ({le},{ms})= ∑ m in( le , m s ) = 1.5 = 0.16, ∑ m in( m s ) 9.4 ϕℜ ({ls},{he}) = ∑ m in( ls , he ) = 0 = 0, ∑ m in( he ) 10 ϕℜ ({me},{ms})= ∑ m in( m e , m s ) = 7.7 = 0.82, 9.4 ∑ m in( m s ) ϕℜ ({ms},{he}) = ∑ m in( m s , he ) = 0.8 = 0.08, 10 ∑ m in( he ) ϕℜ ({he},{ms}) = ∑ m in( he , m s ) = 0.8 = 0.09, ∑ m in( m s ) 9.4 ϕℜ ({hs},{he}) = ∑ m in( hs , he ) = 9.4 = 0.94. 10 ∑ m in( he ) ϕℜ ({me},{hs})
=
LAMPIRAN 4 Hasil Transformasi Tabel 8 untuk Contoh 5
Tabel 26 Relasi R(N='j',C='m',G='A') N = 'j'
C = 'm'
G = 'A'
min(N= 'j',G='A')
min(N='j',C='m')
min(N='j',C='m',G='A')
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
∑=3
∑=2
∑=3
∑=1
∑=1
∑=1
1. 2.
Qˆ ℜ (G ='A ' | N = ' j ') 0.1 = Qˆ ℜ (G='A' | N='j', C='m')0.1
∑ m in( G , N ) = 1 , ∑ m in( N ) 3 ∑ min(G, N , C ) = 1 = 1. = ∑ min( N , C ) 1
LAMPIRAN 5 Hasil Transformasi Tabel 9 untuk Contoh 6
34
Tabel 27 Relasi R(N, G) N = 'j'
N = 'p'
G = 'A'
G = 'B'
Min (G='A',N='j')
min (G='B', N='j')
min (G='A', N='p')
min (G='B',N='p')
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
∑=3
∑=3
∑=3
∑=3
∑=1
∑=2
∑=2
∑=1
∑ m in( G = ' A ', N = ' j ') = 1 , 3 ∑ m in( N = ' j ') ∑ m in( G ='B ', N = ' j ') = 2 , = 3 ∑ m in( N = ' j ') ∑ m in( G = ' B ', N = ' p ') = 1 , = 3 ∑ m in( N = ' p ') m in( G = ' A ', N = ' p ') 2 ∑ = = , 3 ∑ m in( N = ' p ')
1.
Qˆ ℜ (G ='A ' | N = ' j ') 0.1 =
2.
Qˆ ℜ (G ='B ' | N = ' j ') 0.1
3.
Qˆ ℜ (G ='B ' | N = ' p ') 0.1
4.
Qˆ ℜ (G ='A ' | N = ' p ') 0.1
LAMPIRAN 6 Hasil Transformasi Tabel 10 untuk Contoh 6
Tabel 28 Relasi R(C, G) min
min
min
(C='m',G='A')
(C='m',G='B')
(C='b',G='A')
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
C='m'
C ='b'
C ='k'
G = 'A'
G = 'B'
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
∑=2
∑=2
∑=2
∑=3
∑=3
∑=1
∑=2
∑=2
(Lanjutan Tabel 28) min (C=’b’,G=’B’)
min (C='b',G='A')
min (C='b',G='B')
35
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
∑=1
∑=2
∑=1
∑ m in( G = ' A ', C = ' m ') = 1 , 2 ∑ m in( C = ' m ') ∑ m in( G = ' A ', C = ' b ') = 1 , = 2 ∑ m in( C = ' b ') ∑ m in( G = ' A ', C = ' k ') = 1 , = 2 ∑ m in( C = ' k ') ∑ m in( G = ' B ', C = ' m ') = 1 , = 2 ∑ m in( C = ' m ') m in( G = ' B ', C = ' k ') 1 ∑ = = , 2 ∑ m in( C = ' k ') m in( G = ' B ', C = ' b ') 1 ∑ = = . 2 ∑ m in( C = ' b ')
1. Qˆ ( G ='A ' | C = ' m ') 0.1 = ℜ 2. Qˆ ( G ='A ' | C = ' b ') 0.1 ℜ 3. Qˆ ( G ='A ' | C = ' k ') 0.1 ℜ 4. Qˆ ( G ='B ' | C = ' m ') 0.1 ℜ 5. Qˆ ( G ='B ' | C = ' k ') 0.1 ℜ 6. Qˆ ( G ='B ' | C = ' b ') 0.1 ℜ
LAMPIRAN 7 Hasil Transformasi Tabel 4 untuk Contoh 7 dan Contoh 8
36
Tabel 29 R(U, he, hs) he
hs
min(he,hs)
max(he,hs)
u01
U
1
1
1
1
u02
0.1
0
0
0.1
u03
1
1
1
1
u04
0
0
0
0
u05
0
0
0
0
u06
0.1
0
0
0.1
u07
1
1
1
1
u08
0.1
0
0
0.1
u09
1
1
1
1
u10
0.1
0.5
0.1
0.5
u11
0
0
0
0
u12
0.1
1
0.1
1
u13
0.8
1
0.8
1
u14
0.1
1
0.1
1
u15
0.8
1
0.8
1
u16
0.1
0
0
0.1
u17
0.8
1
0.8
1
u18
1
1
1
1
u19
0
0
0
0
u20
0.1
0
0
0.1
u21
0.8
1
0.8
1
u22
0.1
0.1
0.1
0.1
u23
0.8
1
0.8
1
u24
0.1
0
0
0.1
∑
10
12.6
9.4
13.2
LAMPIRAN 8 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (27) yaitu Peluang Query untuk Objek ui dengan Diberikan “he AND hs”
∑ min(u , he, hs ) = 1 = 0.106, ∑ min( he, hs ) 9.4 ˆ Qℜ (u2|he,hs) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, ∑ min( he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u3|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 1 = 0.106, ∑ min(he, hs ) 9.4 ˆ (u |he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0 = 0, Qℜ 4 ∑ min( he, hs ) 9.4 ˆ Qℜ (u5|he,hs) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, ∑ min( he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u6|he,hs) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, ∑ min( he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u1|he,hs) =
1
2
3
4
5
6
37
∑ min(u , he, hs ) = 1 = 0.106, ∑ min(he, hs) 9.4 Qˆ ℜ (u8|he,hs) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, ∑ min( he, hs ) 9.4 ˆ (u |he,hs) = ∑ min(u , he, hs) = 1 = 0.106, Qℜ 9 ∑ min(he, hs) 9.4 Qˆ ℜ (u10|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.1 = 0.0106, ∑ min(he, hs ) 9.4 ˆ min(u , he, hs ) 0.1 (u |he,hs) = ∑ Qℜ 12 = = 0.0106, ∑ min(he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u13|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.8 = 0.085, ∑ min(he, hs) 9.4 Qˆ ℜ (u14|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.1 = 0.0106 ∑ min(he, hs) 9.4 ˆ (u |he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.8 = 0.085, Qℜ 15 ∑ min(he, hs) 9.4 ˆ Qℜ (u16|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0 = 0, ∑ min( he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u17|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.8 = 0.085, ∑ min(he, hs) 9.4 ˆ (u |he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 1 = 0.106, Qℜ 18 ∑ min(he, hs) 9.4 Qˆ ℜ (u19|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0 = 0, ∑ min( he, hs ) 9.4 ˆ min(u , he , hs ) (u |he,hs) = 0 ∑ Qℜ 20 = = 0, ∑ min( he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u21|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.8 = 0.085, ∑ min(he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u22|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.1 = 0.0106, ∑ min(he, hs) 9.4 ˆ min(u , he, hs ) 0.8 (u |he,hs) = ∑ Qℜ 23 = = 0.085, ∑ min(he, hs) 9.4 Qˆ ℜ (u24|he,hs) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0. ∑ min( he, hs ) 9.4 Qˆ ℜ (u7|he,hs) =
7
8
9
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
LAMPIRAN 9 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (27) yaitu Peluang Query untuk “he AND hs” dengan Diberikan Objek ui
∑ min(u , he, hs ) = 1 = 1, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u2) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs (he,hs |u ) = 1 ∑ Qℜ 3 = = 1, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u4) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u1) =
1
1
2
2
3
3
4
4
38
∑ min(u , he, hs ) = 0 = 0, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u6) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs (he,hs |u ) = 1 ∑ 7 Qℜ = = 1, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u8) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs ( he,hs |u ) = 1 ∑ Qℜ 9 = = 1, 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs 0.1 Qℜ (he,hs |u10) = ∑ = = 0.1, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u11) = ∑ min(u , he, hs ) = 0 = 0, 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs (he,hs |u ) = 0.1 ∑ 12 Qℜ = = 0.1, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u13) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.8 = 0.8, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u14) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.1 = 0.1, 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs (he,hs |u ) = 0.8 ∑ 15 Qℜ = = 0.8, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u16) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs (he,hs |u ) = 0.8 ∑ 17 Qℜ = = 0.8, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u18) = ∑ min(u , he, hs ) = 1 = 1, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u19) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0, 1 ∑ min(u ) ˆ u he hs min( , , ) ( he,hs |u ) = 0 ∑ Qℜ 20 = = 0, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u21) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.8 = 0.8, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u22) = ∑ min(u , he, hs ) = 0.1 = 0.1, 1 ∑ min(u ) ˆ min( , , ) u he hs (he,hs |u ) = 0.8 ∑ Qℜ 23 = = 0.8, 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs |u24) = ∑ min(u , he , hs ) = 0 = 0. 1 ∑ min(u ) Qˆ ℜ ( he,hs| u5) =
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
10
10
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
24
LAMPIRAN 10 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (30) yaitu Peluang Query Objek ui dengan Diberikan “he OR hs”
39
∑ max(min(u , he, hs )) = 1 = 0.076, 13.2 ∑ max( he, hs ) Qˆ ℜ (u2|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1 = 0.0076, 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs (u |he,hs) = 1 ∑ Qℜ 3 = = 0.076, max( he , hs ) 13.2 ∑ Qˆ ℜ (u4|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0 = 0, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u5|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0 = 0, 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs 0.1 Qℜ (u6|he,hs) = ∑ = = 0.0076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u7|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1 = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs (u |he,hs) = 0.1 ∑ Qℜ 8 = = 0.0076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u9|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1 = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u10|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.5 = 0.0379, 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs (u |he,hs) = 0 ∑ Qℜ 11 = = 0, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u12|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1 , 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs 1 Qℜ (u13|he,hs) = ∑ = = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u14|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1 = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u15|he,hs) = ∑ min(u , he, hs ) = 1 = 0.076, ∑ min(he, hs ) 13.2 ˆ (u |he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1 = 0.0076, Qℜ 16 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ Qℜ (u17|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1 = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u18|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1 = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs (u |he,hs) = 0 ∑ Qℜ 19 = = 0, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u20|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1 = 0.0076, 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs (u |he,hs) = 1 ∑ Qℜ 21 = = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u22|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1 = 0.0076, 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u23|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1 = 0.076, 13.2 ∑ max(he, hs ) ˆ max(min( , , )) u he hs (u |he,hs) = 0.1 ∑ Qℜ 24 = = 0.0076. 13.2 ∑ max(he, hs ) Qˆ ℜ (u1|he,hs) =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
40
LAMPIRAN 11 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (30) yaitu Peluang Query untuk “he OR hs” dengan Diberikan Objek ui
∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) ˆ max(min( u , he, hs )) (he,hs |u ) = ∑ 2 Qℜ = 0.1, max( u ) ∑ Qˆ ℜ (he,hs |u3) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) ˆ max(min( u , he, hs )) (he,hs |u ) = ∑ 4 Qℜ = 0, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u5) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u6) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u7) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) ˆ Qℜ (he,hs |u8) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u9) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) ˆ max(min( u , he, hs )) (he,hs |u ) = ∑ 10 Qℜ = 0.5, max( u ) ∑ Qˆ ℜ (he,hs |u11) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u12) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u13) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u14) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) ˆ min( (he,hs |u ) = ∑ u , he, hs ) = 1, 15 Qℜ ∑ min(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u16) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u17) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) ˆ max(min( u , he, hs )) Qℜ (he,hs |u18) = ∑ = 1, max( u ) ∑ Qˆ ℜ (he,hs |u19) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0, ∑ max(u ) ˆ max(min( u , he, hs )) (he,hs |u ) = ∑ 20 Qℜ = 0.1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (u21|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (u22|he,hs) = ∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1, ∑ max(u ) ˆ max(min( u , he, hs )) (u |he,hs) = ∑ Qℜ 23 = 1, ∑ max(u ) Qˆ ℜ (he,hs |u1) =
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
41
Qˆ ℜ (u24|he,hs) =
∑ max(min(u , he, hs )) = 0.1. ∑ max(u ) 24
24
