OPERASI PADA GRAF FUZZY Budi Setiawan, Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Surabaya 60231 Email:
[email protected],
[email protected].
ABSTRAK
KAJIAN TEORI
Pada operasi graf fuzzy, dipelajari empat operasi pada graf fuzzy diantaranya operasi gabungan, join, hasil kali silang dan komposisi. Pada tulisan ini, dibahas mengenai subgraf fuzzy parsial. Misal πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Maka πΊ1 βͺ πΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 βͺπΊ2 , ππΊ1 βͺπΊ2 dengan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 dan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 merupakan graf fuzzygabungan,πΊ1 + πΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 +πΊ2 , ππΊ1 +πΊ2 dengan ππΊ1 +πΊ2 = ππΊ1 + ππΊ2 dan ππΊ1 +πΊ2 = ππΊ1 + ππΊ2 merupakan graf fuzzy join, πΊ1 Γ πΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 ΓπΊ2 , ππΊ1 ΓπΊ2 dengan ππΊ1 ΓπΊ2 = ππΊ1 Γ ππΊ2 dan ππΊ1 ΓπΊ2 = ππΊ1 Γ ππΊ2 merupakan graf fuzzy hasil kali silang dan πΊ1 β πΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 βπΊ2 , ππΊ1 βπΊ2 dengan ππΊ1 βπΊ2 = ππΊ1 β ππΊ2 dan ππΊ1 βπΊ2 = ππΊ1 β ππΊ2 merupakan graf fuzzy komposisi.
2.1 2.1.1
Kata kunci : graf fuzzy, operasi graf fuzzy, subgraf fuzzy parsial.
PENDAHULUAN Teori graf fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Azriel Rosenfeld pada tahun 1975 yang merupakan suatu perluasan dari teori graf dan himpunan fuzzy. Telah dipelajari sebelumnya pada skripsi Rika Juwita Sari mengenai graf fuzzy M-strong dan membahas tentang bagaimana sifat graf fuzzy M-strong ketika dioperasikan. Pada tulisan ini akan membahas mengenai pengertian graf fuzzy secara umum, dilanjutkan dengan operasi gabungan, join, hasil kali silang dan komposisi pada graf fuzzy.
Himpunan Himpunan Tegas
Definisi 2.1.1.1 [3] Himpunan tegas adalah himpunan yang terdefinisi secara tegas, artinya bahwa untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah elemen tersebut merupakan anggota dari himpunan tersebut atau tidak. Definisi 2.1.1.2 [3] Jika setiap anggota himpunan π΄ merupakan anggota himpunan π΅ maka π΄ dikatakan sebagai himpunan bagian (subset) dari π΅ dan dinotasikan π΄ β π΅. Definisi 2.1.1.3 Gabungan dua himpunan π΄ dan π΅ (ditulis π΄ βͺ π΅) adalah himpunan semua anggota π΄ atau π΅, yaitu π΄ βͺ π΅ = {π₯|π₯ β π΄ ππ‘ππ’ π₯ β π΅} atau π΄ βͺ π΅ = {π₯|π₯ β π΄ β¨ π₯ β π΅}. Definisi 2.1.1.4 Irisan dua himpunan π΄ dan π΅ (ditulis π΄ β© π΅) adalah himpunan semua anggota π΄ yang juga menjadi anggota π΅, yaitu π΄ β© π΅ = {π₯|π₯ β π΄ πππ π₯ β π΅} atau π΄ β© π΅ = {π₯|π₯ β π΄ β§ π₯ β π΅}. Definisi 2.1.1.5 Selisih himpunan π΄ dari himpunan π΅ (ditulis π΄ β π΅) adalah himpunan yang anggotaanggotanya adalah semua anggota π΄ yang bukan anggota π΅, yaitu π΄ β π΅ = {π₯|π₯ β π΄ πππ π₯ β π΅} atau π΄ β π΅ = π₯ π₯ β π΄ β§ π₯ β π΅ . Definisi 2.1.1.6 Jumlah dua himpunan π΄ dan π΅ (ditulis π΄ + π΅) adalah himpunan semua anggota (π΄ βͺ π΅) tetapi bukan anggota (π΄ β© π΅), yaitu π΄ + π΅ = {π₯|π₯ β π΄ βͺ π΅ πππ π₯ β π΄ β© π΅ }. Definisi 2.1.1.7 Misalkan π΄ dan π΅ merupakan himpunan tidak kosong, maka hasil kali silang dari π΄ dan π΅ yang dinotasikan dengan π΄ πΉ π΅, didefinisikan oleh: π΄ Γ π΅ = {(π, π)|π β π΄, π β π΅}.
2.1.2 Himpunan Fuzzy (Fuzzy Set) Definisi 2.1.2.1 Himpunan fuzzy A pada X dikatakan subset dari himpunan fuzzy B pada X, jika dan hanya jika ππ΄ x β€ ππ΅ (x), βx β X. Catatan : Bisa juga ππ΄ (π₯) ditulis π΄(π₯) dan ππ΅ (π₯) ditulis π΅(π₯). Definisi 2.1.2.2 Diberikan dua himpunan fuzzy π΄ dan π΅ pada semesta X, π΄ βͺ π΅ dan π΄ β© π΅ adalah himpunan-himpunan fuzzy pada X yang derajat keanggotaannya didefinisikan untuk semua x β X oleh persamaan : π π΄βͺπ΅ x = ππ΄ x β¨ ππ΅ x = max ππ΄ x , ππ΅ x , βx β X dan π π΄β©π΅ x = ππ΄ x β§ ππ΅ x = min ππ΄ x , ππ΅ x , βx β X.
2.2
Graf
Definisi 2.2.1 [4] Sebuah graf πΊ berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tidak kosong π(πΊ) dari obyek-obyek yang disebut titik dan himpunan berhingga (mungkin kosong) πΈ(πΊ) yang elemenelemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen e dalam πΈ(πΊ) merupakan pasangan tidak terurut dari titik-titik di π(πΊ). Himpunan titik dari graf πΊ dinotasikan dengan π(πΊ), dan himpunan sisi dari graf πΊ dinotasikan πΈ(πΊ). Definisi 2.2.2 [4] Dua sisi atau lebih yang menghubungkan pasangan titik yang sama disebut sisi rangkap (multiple edges) dan sebuah sisi yang menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri disebut gelung (loop). Graf tanpa loop dan tanpa sisi rangkap disebut graf sederhana (simple graphs). Definisi 2.2.3 [4] Misalkan u dan v adalah dua titik di πΊ dan e = (π’, π£) adalah sebuah sisi di πΊ, bisa ditulis e = (π’π£). Kita katakan : titik u dan v berhubungan langsung (adjacent) di πΊ ; sisi e menghubungkan (joining) titik u dan v di πΊ ; u dan v titik-titik akhir sisi e ; sisi e terkait (incident) dengan titik π£ dan juga titik π’. Definisi 2.2.4 [4] Sebuah graf π» disebut graf bagian dari graf πΊ, ditulis π» β πΊ, jika π(π») β π(πΊ) dan πΈ(π») β πΈ(πΊ). Definisi 2.2.5 [4] Misalkan πΊ adalah graf, dan misalkan v adalah suatu titik dari πΊ. Derajat titik v adalah banyaknya sisi yang terkait dengan titik v (dengan
catatan setiap loop dihitung dua kali), dan dinotasikan oleh π(π£). Definisi 2.2.6 [2] Diberikan graf πΊ dan graf π», dengan himpunan titik π(πΊ) dan himpunan titik π(π») saling asing. Gabungan graf πΊ dan graf π» dinotasikan dengan πΊ βͺ π» dan didefinisikan oleh : i. π πΊ βͺ π» = π(πΊ) βͺ π(π»). ii. πΈ πΊ βͺ π» = πΈ(πΊ) βͺ πΈ(π»). Definisi 2.2.7 [2] Misalkan diberikan graf πΊ dan graf π», dengan himpunan titik π(πΊ) dan himpunan titik π(π») saling asing. Join graf πΊ dan graf π» yang dinotasikan dengan πΊ + π» didefinisikan oleh : i. π πΊ + π» = π(πΊ) βͺ π(π»). ii. πΈ πΊ + π» = πΈ πΊ βͺ πΈ π» βͺ {(π, β)|π β πΊ, β β π»}. Definisi 2.2.8 [2] Hasil kali silang graf πΊ1 dan graf πΊ2 adalah graf yang dinotasikan πΊ = πΊ1 Γ πΊ2 dan mempunyai himpunan titik π πΊ = π(πΊ1 ) Γ π(πΊ2 ), dan dua titik (π’1 , π’2 ) dan (π£1 , π£2 )dari graf G terhubung langsung jika dan hanya jika π’1 = π£1 dan π’2 π£2 β πΈ(πΊ2 ) atau π’2 = π£2 dan π’1 π£1 β πΈ(πΊ1 ). Definisi 2.2.9 [2] Komposisi graf πΊ1 dan graf πΊ2 adalah graf yang dinotasikan πΊ = πΊ1 β πΊ2 dan mempunyai himpunan titik π πΊ = π(πΊ1 ) Γ π(πΊ2 ), dan dua titik (π’1 , π’2 ) dan (π£1 , π£2 ) dari graf G terhubung langsung apabila : π’1 dan π£1 terhubung langsung atau π’1 = π£1 dan π’2 terhubung langsung dengan π£2 .
PEMBAHASAN 3.1
Pengertian Graf Fuzzy
Graf fuzzy diperoleh dengan memberi bobot atau derajat keanggotaan pada titik-titik (vertex) dan pada sisi-sisi (edge) dari suatu graf. Definisi 3.1.1 Graf fuzzy πΊ = π, ππΊ , ππΊ adalah himpunan berhingga titik tak kosong π dengan ππΊ adalah himpunan fuzzy pada π dengan fungsi keanggotaan π dan ππΊ adalah himpunan fuzzy pada π Γ π dengan fungsi keanggotaan π, sedemikian sehingga : Β΅ π₯, π¦ = Β΅ π₯π¦ β€ π π₯ β§ π π¦ ,β© π₯, π¦ β π, dengan β§ menyatakan minimum dari π π₯ π π¦ . ππΊ disebut himpunan titik fuzzy graf πΊ, dan ππΊ disebut himpunan sisi fuzzy graf πΊ.
dan
Definisi 3.1.2 Graf fuzzy π» = π, π£π» , π‘π» disebut subgraf fuzzy parsial dari graf fuzzy πΊ = π, ππΊ , ππΊ jika : i. ii.
π£(x) β€ π(x), βx β π(πΊ). π‘(xy) β€ π xy , βxy β π Γ π.
3.2 Operasi Pada Graf Fuzzy 3.2.1 Gabungan dan Join Pada Graf Fuzzy Definisi 3.2.1.1 Misalkan πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Didefinisikan gabungan fungsi keanggotaan πΊ1 dan πΊ2 sebagai berikut : i. π1 βͺ π2 π’ = π1 (π’) jika π’ β π1 \π2 , π1 βͺ π2 π’ = π2 (π’) jika π’ β π2 \π1 , dan π1 βͺ π2 π’ = π1 π’ β¨ π2 π’ = max π1 π’ , π2 π’ jika π’ β π1 β© π2 , ii. π1 βͺ π2 π’π£ = π1 (π’π£) jika π’π£ β πΈ1 \πΈ2 , π1 βͺ π2 π’π£ = π2 (π’π£) jika π’π£ β πΈ2 \πΈ1 , dan π1 βͺ π2 π’π£ = π1 π’π£ β¨ π2 π’π£ = max π1 π’π£ , π2 π’π£ jika π’π£ β πΈ1 β© πΈ2 , dengan πΈπ adalah himpunan sisi graf πΊπ , π = 1,2. Proposisi 3.2.1.2 Misalkan πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Maka πΊ1 βͺ πΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 βͺπΊ2 , ππΊ1 βͺπΊ2 dengan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 dan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy gabungan. Bukti : Misalkan π’π£ β πΈ1 \πΈ2 , i. Jika π’, π£ β π1 \π2 ; maka π1 βͺ π2 π’π£ = π1 π’π£ . β€ π1 π’ β§ π1 π£ . β€ (π1 βͺ π2 ) π’ β§ (π1 βͺ π2 )(π£). ii. Jika π’ β π1 \π2 dan π£ β π1 β© π2 ; maka π1 βͺ π2 π’π£ = π1 π’π£ β€ π1 π’ β§ π1 π£ β€ π1 π’ β§ π1 π£ β¨ π2 π£ . β€ (π1 βͺ π2 ) π’ β§ (π1 βͺ π2 )(π£).
iii. Jika π’, π£ β π1 β© π2 ; maka π1 βͺ π2 π’π£ = π1 π’π£ β€ π1 π’ β§ π1 π£ β€ (π1 βͺ π2 ) π’ β§ (π1 βͺ π2 )(π£). Misalkan π’π£ β πΈ2 \πΈ1 , i. Jika π’, π£ β π2 \π1 ; maka π1 βͺ π2 π’π£ = π2 π’π£ β€ π2 π’ β§ π2 π£ . β€ (π1 βͺ π2 ) π’ β§ (π1 βͺ π2 )(π£). ii. Jika π’ β π2 \π1 dan π£ β π1 β© π2 ; maka π1 βͺ π2 π’π£ = π2 π’π£ β€ π2 π’ β§ π2 π£ β€ π2 π’ β§ π1 π£ β¨ π2 π£ . β€ (π1 βͺ π2 ) π’ β§ (π1 βͺ π2 )(π£). iii. Jika π’, π£ β π1 β© π2 ; maka π1 βͺ π2 π’π£ = π2 π’π£ β€ π2 π’ β§ π2 π£ β€ (π1 βͺ π2 ) π’ β§ (π1 βͺ π2 )(π£). Misalkan π’π£ β πΈ1 β© πΈ2 ; maka π1 βͺ π2 π’π£
= π1 π’π£ β¨ π2 π’π£ β€ π1 π’ β§ π1 π£ π2 π’ β§ π2 π£
β¨
β€ π1 π’ β¨ π2 π’ π1 π£ β¨ π2 π£
β§
β€ π1 βͺ π2 π’ β§ π1 βͺ π2 π£ . Maka πΊ1 βͺ πΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 βͺπΊ2 , ππΊ1 βͺπΊ2 dengan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 dan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy gabungan. β Teorema 3.2.1.3 Jika πΊ merupakan graf gabungan dari dua graf πΊ1 dan graf πΊ2 , maka setiap subgraf fuzzy parsial dari πΊ adalah gabungan dari subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan subgraf fuzzy parsial dari πΊ2 . Definisi 3.2.1.4 Misalkan πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, diasumsikan π1 β© π2 = β
, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Didefinisikan join fungsi keanggotaan πΊ1 dan πΊ2 sebagai berikut : π1 + π2 π’ = π1 βͺ π2 (π’)βπ’ β π1 βͺ π2 ; (π1 + π2 ) π’π£ = π1 βͺ π2 π’π£ jika π’π£ β πΈ1 βͺ πΈ2 , dan (π1 + π2 ) π’π£ = π1 π’ β§ π2 π£
= min π1 π’ , π2 π£ jikaπ’π£ β πΈ β² . β²
dengan πΈ adalah himpunan semua garis yang menggabungkan titik-titik dari π1 dengan titik-titik dari π2 . Proposisi 3.2.1.5 Misal πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, π1 β© π2 = β
, dengan
dan πΊ2 = diasumsikan
ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Maka πΊ1 + πΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 +πΊ2 , ππΊ1 +πΊ2 dengan ππΊ1 +πΊ2 = ππΊ1 + ππΊ2 dan ππΊ1 +πΊ2 = ππΊ1 + ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy join. Teorema 3.2.1.6 Misalkan πΊ1 = π1 , πΈ1 dan πΊ2 = π2 , πΈ2 adalah graf. Misal π1 β© π2 = β
, dan ππΊ1 , ππΊ2 , ππΊ1 , ππΊ2 berturut-turut merupakan subset fuzzy π1 , π2 , πΈ1 , πΈ2 . Maka π1 , ππΊ1 , ππΊ1 βͺ π2 , ππΊ2 , ππΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 βͺπΊ2 , ππΊ1 βͺπΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 βͺ πΊ2 jika dan hanya jika π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan π2 , ππΊ2 , ππΊ2 berturut-turut adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan πΊ2 . Teorema 3.2.1.7 Misalkan πΊ1 = π1 , πΈ1 dan πΊ2 = π2 , πΈ2 adalah graf. Misal π1 β© π2 = β
, dan ππΊ1 , ππΊ2 , ππΊ1 , ππΊ2 berturut-turut merupakan subset fuzzy π1 , π2 , πΈ1 , πΈ2 . Maka π1 , ππΊ1 , ππΊ1 + π2 , ππΊ2 , ππΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 +πΊ2 , ππΊ1 +πΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 + πΊ2 jika dan hanya jika π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan π2 , ππΊ2 , ππΊ2 berturut-turut adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan πΊ2 .
3.2.2 Hasil kali silang dan Komposisi Pada Graf Fuzzy Definisi 3.2.2.1 Misal πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Didefinisikan hasil kali silang fungsi keanggotaan πΊ1 dan πΊ2 sebagai berikut : β© π’1 , π’2 β π1 Γ π2 , π1 Γ π2 π’1 , π’2 = π1 π’1 β§ π2 π’2 = min π1 π’1 , π2 π’2 ; β© π’ β π1 ,β© π’2 π£2 β πΈ2 ,
Β΅1 Γ Β΅2 π’, π’2 π’, π£2 min π1 π’ , Β΅2 π’2 π£2 ;
= π1 π’ β§ Β΅2 π’2 π£2 =
β© π€ β π2 ,β© π’1 π£1 β πΈ1 , Β΅1 Γ Β΅2
π’1 , π€ π£1 , π€ = π2 π€ β§ Β΅1 π’1 π£1 = min π2 π€ , Β΅1 π’1 π£1 .
Proposisi 3.2.2.2 Misal πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Maka πΊ1 Γ πΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 ΓπΊ2 , ππΊ1 ΓπΊ2 dengan ππΊ1 ΓπΊ2 = ππΊ1 Γ ππΊ2 dan ππΊ1 ΓπΊ2 = ππΊ1 Γ ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy hasil kali silang. Teorema 3.2.2.3 Misalkan πΊ adalah hasil kali silang graf πΊ1 dan graf πΊ2 . Misal π1 , ππΊ1 , ππΊ1 Γ π2 , ππΊ2 , ππΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 ΓπΊ2 , ππΊ1 ΓπΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ. Maka π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan πΊ2 jika dan hanya jika memenuhi tiga persamaan yang mempunyai solusi untuk π₯π , π¦π , π§ππ , dan π€πβ dengan π1 = {π£11 , π£12 , β¦ , π£1π } dan π2 = {π£21 , π£22 , β¦ , π£2π } : 1) π₯π β§ π¦π = π(π£1π , π£2π ), i = 1, . . . , n: j = 1, . . . , m; 2) π₯π β§ π§ππ = Β΅ π£1π , π£2π π£1π , π£2π , i = 1, . . . , n; j, k sedemikian sehingga π£2π π£2π β πΈ2 ; 3) π¦π β§ π€πβ = Β΅ π£1π , π£2π π£1β , π£2π , j = 1, . . . , m; i, h sedemikian sehingga π£1π , π£1β β πΈ1 . Definisi 3.2.2.4 Misal πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Didefinisikan komposisi fungsi keanggotaan πΊ1 dan πΊ2 sebagai berikut : β(π’1 , π’2 ) β π1 Γ π2 , π1 β π2 π’1 , π’2 = π1 π’1 β§ π2 π’2 = min π1 π’1 , π2 π’2
;
βπ’ β π1 , βπ’2 π£2 β πΈ2 , π1 β π2
π’, π’2 π’, π£2 = π1 π’ β§ π2 π’2 π£2 = min π1 π’ , π2 π’2 π£2 ;
βπ€ β π2 , βπ’1 π£1 β πΈ1 ,
π1 β π2
π’1 , π€ π£1 , π€ = π2 π€ β§ π1 π’1 π£1 = min π2 π€ , π1 π’1 π£1 ;
β π’1 , π’2 (π£1 , π£2 ) β πΈ β \πΈ,
2.
π1 β π2 π’1 , π’2 π£1 , π£2 = π2 π’2 β§ π2 π£2 β§ π1 π’1 π£1 = min π2 π’2 , π2 π£2 , π1 π’1 π£1 . Dengan
3.
πΈ β = π’, π’2 π’, π£2 π’ β π1 , π’2 π£2 β πΈ2 βͺ π’1 , π€ π£1 , π€ π€ β π2 , π’1 π£1 β πΈ1 βͺ π’1 , π’2 π£1 , π£2 π’1 π£1 β πΈ1 , π’2 β π£2 dan πΈ = π’, π’2 π’, π£2 π’ β π1 , π’2 π£2 β πΈ2 βͺ π’1 , π€ π£1 , π€ π€ β π2 , π’1 π£1 β πΈ1 . Proposisi 3.2.2.5 Misalkan πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Maka πΊ1 β πΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 βπΊ2 , ππΊ1 βπΊ2 dengan ππΊ1 βπΊ2 = ππΊ1 β ππΊ2 dan ππΊ1 βπΊ2 = ππΊ1 β ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy komposisi.
SIMPULAN 4.1 Simpulan Berdasarkan pembahasan sebelumnya, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Misalkan πΊ1 = π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan πΊ2 = π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah graf fuzzy, dengan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ , dan ππ adalah fungsi keanggotaan dari ππ Γ ππ , βπ = 1,2. Maka : a. πΊ1 βͺ πΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 βͺπΊ2 , ππΊ1 βͺπΊ2 dengan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 dan ππΊ1 βͺπΊ2 = ππΊ1 βͺ ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy gabungan. b. πΊ1 + πΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 +πΊ2 , ππΊ1 +πΊ2 dengan ππΊ1 +πΊ2 = ππΊ1 + ππΊ2 dan ππΊ1 +πΊ2 = ππΊ1 + ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy join. c. πΊ1 Γ πΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 ΓπΊ2 , ππΊ1 ΓπΊ2 dengan ππΊ1 ΓπΊ2 = ππΊ1 Γ ππΊ2 dan ππΊ1 ΓπΊ2 = ππΊ1 Γ ππΊ2 merupakan graf fuzzy dan disebut graf fuzzy hasil kali silang. d. πΊ1 β πΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 βπΊ2 , ππΊ1 βπΊ2 dengan ππΊ1 βπΊ2 = ππΊ1 β ππΊ2 dan ππΊ1 βπΊ2 = ππΊ1 β ππΊ2 merupakan graf
4.
fuzzy dan disebut graf fuzzy komposisi. Jika πΊ merupakan graf gabungan dari graf πΊ1 dan graf πΊ2 , maka setiap subgraf fuzzy parsial dari πΊ adalah gabungan dari subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan subgraf fuzzy parsial dari πΊ2 . Misalkan πΊ1 = π1 , πΈ1 dan πΊ2 = π2 , πΈ2 adalah graf. Misal π1 β© π2 = β
, dan ππΊ1 , ππΊ2 , ππΊ1 , ππΊ2 berturut-turut merupakan subset fuzzy π1 , π2 , πΈ1 , πΈ2 . Maka: a. π1 , ππΊ1 , ππΊ1 βͺ π2 , ππΊ2 , ππΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 βͺπΊ2 , ππΊ1 βͺπΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 βͺ πΊ2 jika dan hanya jika π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan π2 , ππΊ2 , ππΊ2 berturut-turut adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan πΊ2 . b. π1 , ππΊ1 , ππΊ1 + π2 , ππΊ2 , ππΊ2 = π1 βͺ π2 , ππΊ1 +πΊ2 , ππΊ1 +πΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 + πΊ2 jika dan hanya jika π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan π2 , ππΊ2 , ππΊ2 berturut-turut adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan πΊ2 . Misalkan πΊ adalah hasil kali silang graf πΊ1 dan graf πΊ2 . Misal π1 , ππΊ1 , ππΊ1 Γ π2 , ππΊ2 , ππΊ2 = π1 Γ π2 , ππΊ1 ΓπΊ2 , ππΊ1 ΓπΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ. Maka π1 , ππΊ1 , ππΊ1 dan π2 , ππΊ2 , ππΊ2 adalah subgraf fuzzy parsial dari πΊ1 dan πΊ2 jika dan hanya jika memenuhi tiga persamaan yang mempunyai solusi untuk π₯π , π¦π , π§ππ , dan π€πβ dimana π1 = {π£11 , π£12 , β¦ , π£1π } dan π2 = {π£21 , π£22 , β¦ , π£2π } : i. π₯π β§ π¦π = π(π£1π , π£2π ), i = 1, . . . , n: j = 1, . . . , m; ii. π₯π β§ π§ππ =
iii.
Β΅ π£1π , π£2π π£1π , π£2π , i = 1, . . . , n; j, k sedemikian sehingga π£2π π£2π β πΈ2 ; π¦π β§ π€πβ = Β΅ π£1π , π£2π π£1β , π£2π , j = 1, . . . , m; i, h sedemikian sehingga π£1π , π£1β β πΈ1 .
4.2 Saran Dalam mempelajari lebih mendalam mengenai graf fuzzy, pembahasan mengenai graf fuzzy M-strong dan komplemennya dapat dijadikan bahan tambahan untuk mempelajari lebih lagi mengenai graf fuzzy.
DAFTAR PUSTAKA [1]
[2]
[3]
[4]
(Reference from book) Mordeson J.N, dan Nair P.S, 2000, Fuzzy graphs and Fuzzy hypergraphs. PhysicaVerlag : New York. (Reference from book) Harary F, 1969, Graph Theory. AddisonWesley Publishing Co. Inc., Mas-sachussets :USA. (Reference from book) Klir G.J, Yuan B, 1995, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic; theory and applications. A Simon & Schuster : New York. (Reference from book) Budayasa, I Ketut, 2007, Teori Graph dan Aplikasinya, Unesa University Press : Surabaya.
