DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH
oleh HIDRA VERTANA M0112042
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016
i
ii
ABSTRAK Hidra Vertana, 2016. DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang berkembang begitu cepat. Dalam kehidupan sehari-hari, teori graf membantu menyelesaikan permasalahan manusia dengan merepresentasikan objek diskrit sebagai vertex dan hubungan antar objek diskrit sebagai edge. Salah satu konsep teori graf yang menarik adalah dimensi partisi. Dimensi partisi pada graf G dinotasikan pd(G) adalah kardinalitas terkecil dari partisi pembeda terhadap V (G), dengan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } pada V (G) merupakan himpunan partisi pembeda sedemikian sehingga representasi jarak tiap vertex v ∈ V (G) ke Π berbeda. Tujuan penelitian ini untuk menentukan rumus umum dimensi partisi pada tiga hasil operasi graf cycle dengan graf path. Operasi tersebut adalah operasi product (graf Cm × Pn ), korona (graf Cm ⊙ Pn ), dan join (graf Cm + Pn ). Hasil dimensi partisi pada graf Cm × Pn adalah pd(Cm × Pn ) = 3 dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2. Selanjutnya, dimensi partisi graf Cm ⊙ Pn dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2 adalah pd(Cm ⊙ Pn ) = k + 1 dimana k bilangan bulat positif terkecil yang 3 2 memenuhi n ≤ 2 untuk k = 2, n ≤ 3k − 2 untuk k = 3, dan n ≤ k −3k 2+6k−2 untuk k ≥ 4. Dimensi partisi graf C3 +Pn dengan n ≥ 2 yaitu pd(C3 +Pn ) = g dimana g dimana bilangan positif terkecil yang memenuhi n ≤ 5g − 12 untuk g = 5 3 2 dan n ≤ g −7g +20g−18 untuk g ≥ 6, dan pd(Cq + Pn ) = min{p + f, r + t, x + y}, 2 untuk q ≥ 4 dan n ≥ 2 dimana p, f, r, t, x dan y merupakan bilangan bulat positif tertentu yang terkait dengan banyaknya kelas partisi yang memuat vertex-vertex Cq dan Pn . Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf Cm × Pn , graf Cm ⊙ Pn , graf Cm + Pn
iii
ABSTRACT Hidra Vertana, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION OF THREE OPERATIONS OF CYCLE GRAPH WITH PATH GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Graph theory is a branch of mathematics that developed rapidly. In daily life, the graph theory is used to solve some problems with vertex as discrete objects and edge as the relationship between both of them. One of the interesting concepts in graph theory is so called the partition dimension. The partition dimension of G denoted pd(G) is the minimum cardinality of partition of V (G), with Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } on V (G) is called a resolving partition if the representations of vertex v ∈ V (G) with respect to Π are distinct. In this research, we determine the partition dimension of three operations of cycle graph with path graph. The operations are product (Cm × Pn graph), corona (Cm ⊙ Pn graph), and join (Cm + Pn graph). The partition dimension of Cm × Pn graph is pd(Cm × Pn ) = 3 with m ≥ 3 and n ≥ 2. Next, the partition dimension of Cm ⊙ Pn graph with m ≥ 3 and n ≥ 2 is pd(Cm ⊙ Pn ) = k + 1 where k is the smallest positive integer such that 3 2 n ≤ 2 for k = 2, n ≤ 3k − 2 for k = 3, and n ≤ k −3k 2+6k−2 for k ≥ 4. The partition dimension of C3 +Pn graph with n ≥ 2 is pd(C3 +Pn ) = g where g is the 3 2 smallest positive integer such that n ≤ 5g − 12 for g = 5 and n ≤ g −7g +20g−18 2 for g ≥ 6, and pd(Cq + Pn ) = min{p + f, r + t, x + y} for q ≥ 4 and n ≥ 2 where p, f, r, t, x and y are some positive integers related to the number of partition classes containing vertices of Cq and Pn . Keywords : Partition dimension, resolving partition, Cm × Pn graph, Cm ⊙ Pn graph, Cm + Pn graph
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk ibu, bapak, dan kakak saya.
v
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa selesainya skripsi ini berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari semua pihak. Oleh karena itu penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai pembimbing yang telah memberikan bimbingan dalam materi dan penulisan, motivasi, dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.3
Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.4
Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
III METODE PENELITIAN
15 vii
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
16
4.1
Dimensi Partisi pada Graf Cm × Pn . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Dimensi Partisi pada Graf Cm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.3
Dimensi Partisi pada Graf Cm + Pn . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
36
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
DAFTAR PUSTAKA
38
viii
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf G1 dan Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
(a) Graf C3 dan P2 , (b) Graf C3 ∪ P2 , (c) Graf C3 +P2 , (d) Graf C3 ×P2 , dan (e) Graf C3 ⊙P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Graf Cm × Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5
Graf Cm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Graf Cm + Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7
Graf cycle C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
ix
DAFTAR NOTASI
G
: graf G
u, v
:
vertex
uv
:
edge
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|V (G)|
: banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
: banyaknya edge dari graf G (size)
deg v
:
degree vertex v dari graf G
d(u, v)
:
jarak dari vertex u ke v pada graf G
G∼ =H
: graf G isomorphic dengan graf H
d(v, S)
:
diam(G) :
jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G diameter dari graf G
∪
: operasi union
+
: operasi join
×
: operasi product
⊙
: operasi korona
⊂
: himpunan bagian
∈
: anggota
⌈⌉
: pembulatan ke atas (ceiling)
W
: himpunan pembeda
|W |
: kardinalitas himpunan pembeda
dim(G)
:
dimensi metrik pada graf G
x
Si
:
kelas partisi ke-i
|Si |
: kardinalitas dari kelas partisi ke-i
Π
:
partisi pembeda
|Π|
:
kardinalitas dari partisi pembeda
r(v|Π) :
representasi jarak setiap vertex v terhadap Π
pd(G)
:
dimensi partisi pada graf G
Pn
:
graf lintasan ber-order n
Cm
:
graf cycle ber-order m
xi
